M6150 Funkcionálna analýza I
Lineárne funkcionály
Peter Šepitka
leto 2017
Obsah
1 Základné pojmy a vlastnosti
2 Hahnova–Banachova veta
3 Spojité lineárne funkcionály
4 Duálne priestory
5 Druhé duálne priestory
6 Banachova–Steinhausova veta
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Obsah
1 Základné pojmy a vlastnosti
2 Hahnova–Banachova veta
3 Spojité lineárne funkcionály
4 Duálne priestory
5 Druhé duálne priestory
6 Banachova–Steinhausova veta
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Pojem lineárneho funkcionálu
Definícia 1 (Lineárny funkcionál na vektorom priestore)
Nech X je lineárny priestor nad telesom R. Ľubovoľné zobrazenie f : X → R
nazývame funkcionálom na priestore X. Ak zobrazenie f je lineárne, t.j., platí
f(x + y) = f(x) + f(y), f(λ x) = λ f(x) pre každé x, y ∈ X a λ ∈ R, (1)
hovoríme o lineárnom funkcionále na priestore X.
Príklad 1
Pre zvolené n ∈ N položme X := Rn
a nech λ1, . . . , λn ∈ R je nejaká n-tica
skalárov. Potom zobrazenie f : X → R dané predpisom
f(x) := λ1 x1 + · · · + λn xn, x := (x1, . . . , xn) ∈ Rn
, (2)
je lineárny funkcionál na priestore X, ako sa možno ľahko presvedčiť.
Príklad 2
Pre pevný index k0 ∈ N je zobrazenie f : l2
→ R definované f(x) := xk0 pre
každú postupnosť x = {xk}∞
k=1 ∈ l2
lineárnym funkcionálom na priestore l2
.
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Príklad 3
Klasickým príkladom lineárneho funkcionálu na priestore X := C[a, b] reálnych
funkcií spojitých na intervale [a, b] je zobrazenie f : X → R dané predpisom
f(u) :=
b
a
u(x) y(x) dx, u ∈ C[a, b], (3)
kde y ∈ C[a, b] je pevne zvolená funkcia. Na priestore X je možné uvažovať i
lineárny funkcionál typu
δx0 (u) := u(x0), (4)
ktorý každej funkcii u ∈ C[a, b] priradí jej hodnotu vo zvolenom bode x0 ∈ [a, b].
Definícia 2 (Jadro lineárneho funkcionálu)
Nech X je lineárny priestor a f : X → R netriviálny lineárny funkcionál, t.j.,
zobrazenie f nie je identicky nulové na X. Množina
Ker f := {x ∈ X, f(x) = 0} (5)
sa označuje ako jadro lineárneho funkcionálu f.
Poznámka 1
Je zrejmé, že jadro Ker f lineárneho funkcionálu f je lineárny podpriestor v X.
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Veta 1
Nech X je lineárny priestor a f : X → R netriviálny lineárny funkcionál. Zvoľme
ľubovoľný prvok x0 ∈ X \ Ker f. Potom každý vektor x ∈ X je možné vyjadriť
jediným spôsobom v tvare x = λ x0 + y, kde λ ∈ R a y ∈ Ker f.
Dôkaz Vety 1.
Vďaka predpokladu netriviálnosti lineárneho funkcionálu f je množina X \Ker f
neprázdna. Vyberme teda nejaký vektor x0 ∈ X \ Ker f. Potom zrejme s
ohľadom na (5) platí f(x0) = 0. Pre ľubovoľne zvolený prvok x ∈ X položme
λ :=
f(x)
f(x0)
, y := x − λ x0 = x −
f(x)
f(x0)
x0. (6)
Nie je ťažké ukázať, že vektor y v (6) je prvkom jadra funkcionálu f, nakoľko
f(y)
(6)
= f x −
f(x)
f(x0)
x0
(1)
= f(x) −
f(x)
f(x0)
f(x0) = 0,
a tak y ∈ Ker f podľa (5). Pre daný prvok x teda platí reprezentácia v tvrdení
vety. Ukážeme jednoznačnosť takejto reprezentácie. Nech ˜λ ∈ R a ˜y ∈ Ker f
rovnako spĺňajú x = ˜λ x0 + ˜y. Potom platí y − ˜y = (˜λ − λ) x0, a následne
0
(5)
= f(y) − f(˜y) = f(y − ˜y) = f (˜λ − λ) x0 = (˜λ − λ) f(x0).
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Dôkaz Vety 1 (pokračovanie).
Keďže f(x0) = 0, z poslednej rovnosti vyplýva ˜λ = λ, a napokon i ˜y = y.
Poznámka 2 (Kodimenzia jadra lineárneho funkcionálu)
Výsledok Vety 1 možno ekvivalentne vyjadriť skutočnosťou, že pre každý netriviálny
lineárny funkcionál f na lineárnom priestore X je kodimenzia podpriestoru
Ker f v X rovná 1. Ďalej poznamenajme, že bez ujmy na všeobecnosti je možné
prvok x0 ∈ X \ Ker f zvoliť tak, aby f(x0) = 1. V tomto prípade je potom
podľa (6) pre každé x ∈ X skalár λ = f(x), a tak
pre každý vektor x ∈ X platí rozklad x = f(x) x0 + y, kde y ∈ Ker f. (7)
Definícia 3 (Nadrovina rovnobežná s lineárnym podpriestorom)
Nech X je lineárny priestor a A ⊆ X jeho lineárny podpriestor kodimenzie
1. Potom prvky faktorového priestoru X/A nazývame nadroviny rovnobežné s
podpriestorom A. Obzvlášť, ak x0 ∈ X \ A je pevne zvolený vektor, potom pre
každú nadrovinu E ∈ X/A existuje jediný skalár λ ∈ R s vlastnosťou
E = λ [x0] = {x ∈ X, x = λ x0 + y, y ∈ A}. (8)
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Veta 2
Nech X je lineárny priestor a f : X → R netriviálny lineárny funkcionál. Potom
podmnožina E ⊆ X je trieda rozkladu X/Ker f práve vtedy, keď E = {x ∈
X, f(x) = λ} pre nejaké λ ∈ R. V tomto prípade platí rovnosť E = λ [x0], kde
x0 ∈ X \ Ker f je ľubovoľne zvolený vektor spĺňajúci f(x0) = 1.
Dôkaz Vety 2.
Podľa Poznámok 1 a 2 je jadro Ker f daného lineárneho funkcionálu f lineárny
podpriestor v X kodimenzie 1. Zvoľme nejaký vektor x0 ∈ X \ Ker f taký, že
f(x0) = 1. Nech E ∈ X/Ker f je nejaké nadrovina rovnobežná s Ker f. V
súlade s Definíciou 3, v ktorej položíme A := Ker f, potom E = λ [x0] pre
jednoznačne určený skalár λ ∈ R. Využitím relácií (5) a (8) sa ľahko ukáže, že
na nadrovine E má funkcionál f konštantnú hodnotu λ, nakoľko platí
f(x)
(8)
= f(λ x0 + y) = λ f(x0) + f(y)
(5)
= λ f(x0) = λ pre každé x ∈ E. (9)
Na druhej strane, podľa poznatku (7) v Poznámke 2 a rovnosti (8) každý prvok
x ∈ X, v ktorom má funkcionál f hodnotu λ, patrí do danej triedy E, keďže
x
(7)
= f(x) x0 + y = λ x0 + y
(8)
∈ λ [x0] = E. (10)
Preto E = {x ∈ X, f(x) = λ}. Naopak, ak E ⊆ X je množina všetkých prvkov
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Dôkaz Vety 2 pokračovanie.
x ∈ X, v ktorých má funkcionál f danú hodnotu λ ∈ R, potom podľa (10)
máme E ⊆ λ [x0]. Podľa prvej časti dôkazu na nadrovine λ [x0] ∈ X/Ker f
má lineárny funkcionál f konštantnú hodnotu λ, teda λ [x0] ⊆ E. Takže platí
E = λ [x0] a E je nadrovina rovnobežná s podpriestorom Ker f.
Poznámka 3
Z Vety 2 vyplýva nasledujúce pozorovanie. Pre každý daný netriviálny lineárny
funkcionál f pôsobiaci na lineárnom priestore X platí, že rozklad X/Ker f splýva
s rozkladom priestoru X podľa relácie
prvky x, y ∈ X sú v relácii práve vtedy, keď f(x) = f(y). (11)
Dôsledok 1
Nech X je lineárny priestor a f : X → R netriviálny lineárny funkcionál. Potom
množina Ef = {x ∈ X, f(x) = 1} je nadrovina rovnobežná s Ker f.
Dôkaz Dôsledku 1.
Tvrdenie vyplýva priamo z Vety 2 pre voľbu λ := 1.
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Veta 3
Nech X je lineárny priestor a A ⊆ X lineárny podpriestor kodimenzie 1. Potom
pre každú triedu E ⊆ X/A rôznu od A a pre každý skalár λ ∈ R \ {0} existuje
jediný lineárny funkcionál f : X → R s vlastnosťou E = {x ∈ X, f(x) = λ}.
Naviac, pre jadro funkcionálu f platí Ker f = A.
Dôkaz Vety 3.
Nech E ⊆ X/A, E = A, a λ ∈ R \ {0} sú dané. Využitím predpokladov vety a
Definície 3 nie je ťažké si premyslieť, že existuje aspoň jeden prvok x0 ∈ X \ A
taký, že E = λ [x0]. Zároveň, nadrovina [x0] ∈ X/A zrejme generuje celý
faktorový priestor X/A, t.j.,
X/A = {α [x0], α ∈ R}. (12)
Obzvlášť, každý vektor x ∈ X sa teda dá jednoznačne vyjadriť v tvare
x = α x0 + y, α ∈ R, y ∈ A. (13)
Uvažujme teraz zobrazenie f : X → R definované predpisom
pre každé x ∈ X je f(x) := α, kde α ∈ R je dané v (13). (14)
Ľahko sa presvedčíme, že zobrazenie f v (14) je lineárny funkcionál na priestore
X, pričom z formuly (8) a z jednoznačnosti vyjadrenia v (13) vyplýva
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Dôkaz Vety 3 (pokračovanie).
f(x0) = 1, f(x) = λ ⇐⇒ x ∈ E, f(x) = 0 ⇐⇒ x ∈ A. (15)
To teda znamená, že E = {x ∈ X, f(x) = λ} a Ker f = A. Napokon ukážeme
jednoznačnosť funkcionálu f. Nech g : X → R je lineárny funkcionál spĺňajúci
E = {x ∈ X, g(x) = λ}. Nakoľko vektor λ x0 ∈ E = λ [x0] a λ = 0, platí
g(x0) = g
1
λ
λ x0 =
1
λ
g(λ x0) =
1
λ
· λ = 1. (16)
Ďalej, funkcionál g nadobúda na podpriestore A nulovú hodnotu, keďže pre každý
vektor y ∈ A máme
g(y) = g ([λ x0 + y] − λ x0) = g(λ x0 + y) − g(λ x0)
(8)
= λ − λ = 0. (17)
Kombináciou formúl (13), (14), (16) a (17) potom pre každé x ∈ X dostávame
g(x)
(13)
= g(α x0 + y) = α g(x0) + g(y)
(16),(17)
= α
(14)
= f(x),
z čoho vyplýva, že g = f na celom X. Dôkaz je teda kompletný.
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Dôsledok 2
Nech X je lineárny priestor a A ⊆ X lineárny podpriestor kodimenzie 1. Potom
pre každú nadrovinu E ⊆ X/A rôznu od A existuje jediný lineárny funkcionál
f : X → R taký, že E = {x ∈ X, f(x) = 1}.
Dôkaz Dôsledku 2.
Daný výsledok je špeciálnym prípadom tvrdenia Vety 3 pre hodnotu λ := 1.
Veta 4
Nech X je lineárny priestor. Potom existuje bijektívne zobrazenie medzi množinou
všetkých netriviálnych lineárnych funkcionálov f pôsobiacich na X a množinou
všetkých nadrovín priestoru X neobsahujúcich nulový vektor.
Dôkaz Vety 4.
Existencia daného bijektívneho zobrazenia je zaručená výsledkami Dôsledkov 1
a 2. Konkrétne, priradenie dané predpisom
netriviálny lineárny funkcionál f na X → nadrovina Ef = {x ∈ X, f(x) = 1},
je v súlade s Dôsledkom 1 zobrazením, kým podľa Dôsledku 2 je to bijekcia.
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Obsah
1 Základné pojmy a vlastnosti
2 Hahnova–Banachova veta
3 Spojité lineárne funkcionály
4 Duálne priestory
5 Druhé duálne priestory
6 Banachova–Steinhausova veta
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Konvexné množiny a konvexné funkcionály
Definícia 4 (Konvexná množina v lineárnom priestore)
Nech X je lineárny priestor a x, y ∈ X ľubovoľné vektory. Množina prvkov
U(x, y) := {λ x + η y, λ, η ∈ [0, ∞), λ + η = 1} (18)
sa označuje ako uzavretá úsečka v priestore X spájajúca body x, y. Množina
vektorov U(x, y) \ {x, y} sa nazýva otvorená úsečka v X spájajúca prvky x, y.
Množinu A ⊆ X potom nazývame konvexnou v priestore X, ak s každými dvomi
bodmi x, y ∈ A obsahuje i uzavretú úsečku U(x, y).
Definícia 5 (Konvexné teleso v lineárnom priestore)
Nech X je lineárny priestor a A ⊆ X je množina. Pod pojmom vnútro množiny
A rozumieme množinu I(A) všetkých vektorov x ∈ X s vlastnosťou
pre každé y ∈ X existuje ε > 0 tak, že vektor x + ty ∈ A pre každé |t| < ε. (19)
Každá konvexná množina A ⊆ X, ktorej vnútro I(A) je neprázdna množina, sa
nazýva konvexné teleso v priestore X.
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Definícia 6 (Konvexný funkcionál v lineárnom priestore)
Nech X je lineárny priestor. Ľubovoľný nezáporný funkcionál p : X → [0, ∞)
sa označuje prívlastkom konvexný, ak spĺňa vlastnosti
p(x + y) ≤ p(x) + p(y), p(λ x) = λ p(x) pre každé x, y ∈ X a λ ∈ [0, ∞). (20)
Príklad 4
Z Definície 6 je zrejmé, každá norma · definovaná na priestore X je konvexným
funkcionálom na X.
Príklad 5
Pre dané a, b ∈ R, a > b, položme X := B[a, b], t.j., množina všetkých reálnych
funkcií definovaných a ohraničených na intervale [a, b]. Z predchádzajúcich
prednášok vieme, že sa jedná o lineárny priestor. Naviac, nie je ťažké ukázať, že
zobrazenie p : X → R dané predpisom
p(f) := |f(a)|, f ∈ X, (21)
je konvexný funkcionál. Poznamenajme, že zobrazenie p v (21) predstavuje tzv.
pseudonormu na priestore X.
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Veta 5
Nech X je lineárny priestor a p : X → [0, ∞) konvexný funkcionál. Potom pre
každé kladné reálne číslo c je množina
Ec := {x ∈ X, p(x) ≤ c} (22)
konvexné teleso v X. Naviac, pre každé c > 0 vnútro množiny Ec spĺňa rovnosť
I(Ec) = {x ∈ X, p(x) < c}. (23)
Poznámka 4
Z druhej podmienky v (20) v Definícii 6 vyplýva, že každý konvexný funkcionál p
pôsobiaci na lineárnom priestore X spĺňa p(0) = 0. To znamená, že v kontexte
Vety 5 pre každé c > 0 vnútro I(Ec) konvexného telesa Ec v (22) obsahuje
nulový vektor. Obzvlášť, podľa Vety 5 s c := 1 je množina
E1 = {x ∈ X, p(x) ≤ 1} konvexné teleso s vnútrom I(E1) = {x ∈ X, p(x) < 1}.
Naopak, ak E je konvexné teleso v X spĺňajúce 0 ∈ I(E), potom zobrazenie
pE(x) := inf r > 0,
x
r
∈ E , x ∈ X, (24)
je nezáporný konvexný funkcionál na X, pričom I(E) = {x ∈ X, pE(x) < 1}.
Funkcionál pE v (24) sa nazýva Minkowského funkcionál pre konvexné teleso E.
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Hahnova–Banachova veta
Definícia 7 (Predĺženie lineárneho funkcionálu)
Nech X je lineárny priestor a A ⊆ X lineárny podpriestor. Nech fA : A → R
je lineárny funkcionál pôsobiaci na priestore A. Hovoríme, že lineárny funkcionál
f : X → R pôsobiaci na priestore X je predĺženie (rozšírenie) funkcionálu fA,
ak pre každý vektor x ∈ A platí rovnosť f(x) = fA(x).
Lema 1 (Kuratowskeho–Zornova)
Nech M je čiastočne usporiadaná množina. Predpokladajme, že každá lineárne
usporiadaná podmnožina N ⊆ M má horné ohraničenie v M. Potom množina
M má aspoň jeden maximálny prvok.
Poznámka 5
Poznamenajme, že Kuratowskeho–Zornova lema 1 je mimoriadne dôležitý výsledok
teórie množín, ktorý je kľúčovou súčasťou dôkazov mnohých významných
tvrdení z rozličných oblastí matematiky. Je ekvivalentná s tzv. axiómou výberu.
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Veta 6 (Hahnova–Banachova veta)
Nech X je lineárny priestor a A ⊆ X jeho lineárny podpriestor. Nech p : X → R
je konvexný funkcionál pôsobiaci na priestore X a fA : A → R je lineárny
funkcionál pôsobiaci na priestore A, pričom platí nerovnosť fA(x) ≤ p(x) pre
každý vektor x ∈ A. Potom existuje lineárny funkcionál f : X → R definovaný
na X, ktorý je predĺžením funkcionálu fA, a ktorý pre každý vektor x ∈ X spĺňa
nerovnosť f(x) ≤ p(x).
Dôkaz Vety 6.
Skôr, než pristúpime k dôkazu samotnému tvrdenia, odvodíme jedno pozorovanie.
Nech y, z ∈ A sú ľubovoľné vektory. Vďaka konvexnosti funkcionálu p platí
fA(y) − fA(z) = fA(y − z) ≤ p(y − z) = p(y + u − z − u) ≤ p(y + u) + p(−z − u)
⇓
−fA(z) − p(−z − u) ≤ −fA(y) + p(y + u) pre každý vektor u ∈ X. (25)
Využitím relácie (25) môžeme potom pre ľubovoľné u ∈ X definovať čísla
cI(u) := inf {−fA(y) + p(y + u), y ∈ A} , (26)
cS(u) := sup {−fA(z) − p(−z − u), z ∈ A} . (27)
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Dôkaz Vety 6 (pokračovanie).
Zrejme platí cS(u) ≤ cI (u) pre každý vektor u ∈ X. Predpokladajme teraz,
že podpriestor A = X (ak totiž A = X, tak predložená veta platí triviálne).
Dokážeme, že potom je možné lineárny funkcionál fA predĺžiť na istý väčší (v
zmysle inklúzie) lineárny podpriestor A′
⊆ X tak, aby sa zachovala nerovnosť
požadovaná vo vete. Zvoľme nejaký prvok u ∈ X \ A a položme
A′
:= Lin {A, u} = {x + tu, x ∈ A, t ∈ R}. (28)
Zrejme množina A′
v (28) je lineárny podpriestor v X spĺňajúci A A′
. Zvoľme
ďalej reálne číslo c tak, aby cS(u) ≤ c ≤ cI (u), kde cS(u), cI (u) sú pre daný
vektor u zavedené v (26) a (27), a definujme zobrazenie fA′ : A′
→ R predpisom
fA′ (x′
) := fA(x) + tc pre každý vektor x′
= x + tu ∈ A′
. (29)
Vďaka jednoznačnosti vyjadrenia prvkov podpriestoru A′
v (28) je zobrazenie
fA′ v (29) zavedené korektne, pričom sa jedná o lineárny funkcionál na A′
, ktorý
je zrejme predĺžením funkcionálu fA. Naviac, ukážeme, že platí nerovnosť
fA′ (x′
) ≤ p(x′
) pre každé x′
∈ A′
. (30)
Podľa predpokladov je táto nerovnosť splnená na podpriestore A. Vyberme preto
vektor x′
∈ A′
\ A, t.j., v súlade s (28) máme x′
= x + tu pre vhodné x ∈ A
a t = 0. Uvažujme najprv prípad t > 0. Kombináciou identít (26) a (29) s
nerovnosťou c ≤ cI (u) potom dostávame
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Dôkaz Vety 6 (pokračovanie).
fA′ (x′
)
(29)
= fA(x) + tc ≤ fA(x) + tcI (u)
(26)
≤ fA(x) + t [−fA(y) + p(y + u)] (31)
pre každé y ∈ A. Následne, položiac v (31) y := x
t
∈ A a využijúc vlastnosti
funkcionálov fA a p napokon máme
fA′ (x′
)
(31)
≤ fA(x)+t −fA
x
t
+ p
x
t
+ u = fA(x)−fA(x)+p(x+tu) = p(x′
).
V prípade t < 0 postupujeme analogicky. Pomocou (27), (29) a nerovnosti
cS(u) ≤ c postupne odvodíme
fA′ (x′
)
(29)
= fA(x) + tc ≤ fA(x) + tcS(u)
(27)
≤ fA(x) + t [−fA(z) − p(−z − u)] (32)
pre každé z ∈ A. Majúc na zreteli, že −t > 0, pre z := x
t
∈ A má (32) tvar
fA′ (x′
)
(32)
≤ fA(x)+t −fA
x
t
− p −
x
t
− u = fA(x)−fA(x)+p(x+tu) = p(x′
).
Ukázali sme teda existenciu predĺženia každého lineárneho funkcionálu pôsobiaceho
na ľubovoľnom lineárnom podpriestore v X a spĺňajúceho nerovnosť v zadaní
vety. Uvažujme teraz množinu M všetkých možných predĺžení ˜f lineárneho
funkcionálu fA, ktoré zachovávajú nerovnosť ˜f(x) ≤ p(x) na svojich definičných
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Dôkaz Vety 6 (pokračovanie).
oboroch. Množina M je zrejme vzhľadom na reláciu predĺženia čiastočne usporiadaná.
Ak N ⊆ M je nejaká lineárne usporiadaná podmnožina, potom lineárny
funkcionál ¯f, ktorý je definovaný na zjednotení definičných oborov všetkých
prvkov z N, a ktorý na definičnom obore každého funkcionálu z N nadobúda jeho
hodnoty, je zrejme horné ohraničenie množiny N. Podľa Kuratowskeho–Zornovej
lemy 1 má teda množina M aspoň jeden maximálny prvok. Tento maximálny
prvok je práve náš hľadaný lineárny funkcionál f. Z jeho maximality a z prvej
časti dôkazu totiž vyplýva, že je nutne definovaný na celom priestore X. A keďže
f ∈ M, je zároveň predĺžením lineárneho funkcionálu fA, ktoré spĺňa nerovnosť
f(x) ≤ p(x) pre každé x ∈ X. Dôkaze je teraz úplný.
Poznámka 6 (Hahnova–Banachova veta v komplexnom lineárnom priestore)
V prípade komplexného lineárneho priestoru X sa pod pojmom konvexný
funkcionál rozumie nezáporné zobrazenie p : X → R spĺňajúce
p(x + y) ≤ p(x) + p(y), p(λ x) = |λ| p(x) pre každé x, y ∈ X a λ ∈ C. (33)
Formulácia príslušnej Hahnovej–Banachovej vety pre komplexný priestor X je
identická s Vetou 6 s tým, že dané nerovnosti majú tvar |fA(x)| ≤ p(x), resp.
|f(x)| ≤ p(x) (keďže lineárne funkcionály na X majú komplexné hodnoty).
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Obsah
1 Základné pojmy a vlastnosti
2 Hahnova–Banachova veta
3 Spojité lineárne funkcionály
4 Duálne priestory
5 Druhé duálne priestory
6 Banachova–Steinhausova veta
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Lineárne funkcionály v normovanom priestore
Definícia 8 (Ohraničenosť funkcionálu)
Nech X je normovaný lineárny priestor s normou · a f : X → R funkcionál.
Hovoríme, že funkcionál f je ohraničený na priestore X, ak obraz f(A) každej
množiny A ⊆ X ohraničenej v norme · je množina ohraničená v priestore E.
Definícia 9 (Spojitosť funkcionálu)
Nech X je normovaný lineárny priestor s normou · a f : X → R funkcionál.
Hovoríme, že funkcionál f je spojitý v bode x0 ∈ X, ak pre každé ε > 0 existuje
δ > 0 také, že ak pre x ∈ X platí x − x0 < δ, potom |f(x) − f(x0)| < ε.
Funkcionál f sa potom označuje ako spojitý na normovanom priestore X, ak je
spojitý v každom bode priestoru X.
Veta 7
Nech X je normovaný lineárny priestor s normou · a f : X → R lineárny
funkcionál. Potom funkcionál f je spojitý na priestore X práve vtedy, keď je
spojitý aspoň v jednom bode x ∈ X.
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Dôkaz Vety 7.
Stačí zrejme dokázať platnosť implikácie “⇐”, nakoľko implikácia “⇒” vyplýva
priamo z Definície 9. Nech je teda lineárny funkcionál f spojitý v nejakom vektore
x ∈ X. Zvoľme ε > 0. Podľa Definície 9 potom existuje δ > 0 s vlastnosťou
ak pre ˜x ∈ X platí ˜x − x < δ, potom |f(˜x) − f(x)| < ε. (34)
Nech y ∈ X je ľubovoľný vektor a uvažujme ˜y ∈ X také, že ˜y−y < δ. Keďže
(˜y − y + x) − x = ˜y − y < δ, v súlade s linearitou f a reláciou v (34) platí
|f(˜y) − f(y)| = |[f(˜y) − f(y) + f(x)] − f(x)| = |f(˜y − y + x) − f(x)|
(34)
< ε.
Lineárny funkcionál f je teda v zhode s Definíciou 9 spojitý v bode y, a tak i na
celom priestore X, čo kompletizuje dôkaz.
Veta 8
Nech X je normovaný lineárny priestor s normou · a f : X → R lineárny
funkcionál. Potom funkcionál f je spojitý na priestore X práve vtedy, keď je
ohraničený na nejakom okolí bodu 0.
Dôkaz Vety 8.
Ak je lineárny funkcionál f spojitý na priestore X, tak potom je spojitý i v bode
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Dôkaz Vety 8 (pokračovanie).
0. Obzvlášť, voľbou ε := 1 v Definícii 9 máme zaručenú existuje δ > 0 tak, že
platí |f(x)| = |f(x) − f(0)| < 1 pre každý vektor x ∈ X spĺňajúci x < δ. To
znamená, že funkcionál f je ohraničený na otvorenej guli B(0, δ). Naopak, predpokladajme,
že funkcionál f je ohraničený na nejakom okolí nulového vektora,
t.j., existujú kladné reálne čísla c, r s vlastnosťou
|f(x)| ≤ c pre každý vektor x ∈ B(0, r). (35)
Zvoľme ľubovoľne ε > 0 a položme δ := εr
c
. Potom pre každý prvok x ∈ X
taký, že x < δ, platí c
ε
x = c
ε
x < r, a tak vektor c
ε
x ∈ B(0, r). Následne
|f(x) − f(0)| = |f(x)| =
ε
c
f
c
ε
x =
ε
c
f
c
ε
x
(35)
<
ε
c
c = ε,
a tak funkcionál f je spojitý v bode 0. Napokon, podľa Vety 7 je f spojitý i na
celom priestore X.
Poznámka 7
Posledné dve vety poukazujú na významnú vlastnosť lineárnych funkcionálov
pôsobiacich na normovaných lineárnych priestoroch. Konkrétne, spojitosť daného
lineárneho funkcionálu na priestore X je ekvivalentná s jeho ohraničenosťou na
X, resp. na nejakom okolí aspoň jedného bodu x ∈ X (typicky bodu 0).
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Norma lineárneho funkcionálu
Definícia 10 (Norma lineárneho funkcionálu)
Nech X je normovaný priestor a f : X → R spojitý lineárny funkcionál. Číslo
f := sup{|f(x)|, x ∈ X, x ≤ 1} (36)
sa nazýva norma lineárneho funkcionálu f.
Poznámka 8
Spojitosť a linearita zobrazenia f podľa Poznámky 7 zaručujú, že funkcionál f
je ohraničený na priestore X. V kontexte Definície 8 je preto zavedenie normy
f v (36) korektné pre každý spojitý lineárny funkcionál pôsobiaci na X. Ďalej,
nie je ťažké ukázať, že normu f v (36) možno ekvivalentne vyjadriť v tvaroch
f = sup{|f(x)|, x ∈ X, x = 1}, f = sup
|f(x)|
x
, x ∈ X \ {0} . (37)
Obzvlášť, z druhej formuly v (37) vyplýva nerovnosť
|f(x)| ≤ f · x pre každý vektor x ∈ X. (38)
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Príklad 6
Pre dané n ∈ N uvažujme X ako euklidovský priestor En
so štandardným
skalárnym súčinom ·, · . Z Príkladu 1 vyplýva, že pre pevne zvolený nenulový
vektor a ∈ X je zobrazenie f : X → R definované predpisom
f(x) := a, x , x ∈ X, (39)
je lineárny funkcionál na X. Nakoľko podľa Cauchyho–Schwarzovej–Buňakovského
nerovnosti pre skalárny súčin platí
|f(x)|
(39)
= | a, x | ≤ a · x pre každé x ∈ X, (40)
funkcionál f je v súlade s Definíciou 8 a Poznámkou 7 ohraničený, a teda i spojitý
na celom priestore X. Dokážeme, že jeho norma f = a . Skutočne, využijúc
(37) a (40) získame nerovnosť
f
(37)
= sup
|f(x)|
x
, x ∈ X \ {0}
(40)
≤ a .
Na druhej strane, platí |f(a)| = | a, a | = a 2
, a teda |f(a)|
a
= a . Podľa
druhej identity v (37) to znamená, že f ≥ a . Preto f = a .
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Príklad 7
Pre dané a, b ∈ R, a > b, nech BI [a, b] označuje množinu všetkých reálnych
funkcií, ktoré sú definované, ohraničené a (riemannovsky) integrovateľné na intervale
[a, b]. Z predchádzajúcich prednášok vieme, že BI [a, b] je (reálny) lineárny
priestor, na ktorom je možné zaviesť normu
u B := sup
x∈[a,b]
|u(x)|, u ∈ BI [a, b]. (41)
Uvažujme lineárny funkcionál f : BI [a, b] → R tvaru
f(u) :=
b
a
u(x) dx, u ∈ BI [a, b]. (42)
Funkcionál f v (42) je ohraničený na istom okolí funkcie identicky nulovej na
[a, b], keďže pre každé u ∈ BI [a, b] spĺňajúce u B ≤ 1 platí
|f(u)|
(42)
=
b
a
u(x) dx ≤
b
a
|u(x)| dx
(41)
≤ u B
≤1
b
a
dx ≤ b − a. (43)
Zobrazenie f je teda podľa Vety 8 spojité na priestore BI [a, b]. Obzvlášť, v
súlade s (36) vyplýva z nerovnosti (43) pre normu f odhad f ≤ b − a. Na
druhej strane, pre spojitú funkciu u(x) ≡ 1 na [a, b] podľa (41) a (42) platí
u B = 1 a |f(u)| = b − a, takže norma funkcionálu f spĺňa f = b − a.
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Príklad 8
Dá sa ukázať, že lineárny funkcionál f v (3) z Príkladu 3 je spojitý na normovanom
lineárnom priestore (C[a, b], · C ), pričom pre jeho normu platí
f =
b
a
|y(x)| dx. (44)
Poznámka 9 (Geometrický význam normy spojitého lineárneho funkcionálu)
Nech X je normovaný lineárny priestor s normou · a f : X → R netriviálny
spojitý lineárny funkcionál. V Dôsledku 1 sme ukázali, že potom množina
Ef = {x ∈ X, f(x) = 1} (45)
je nadrovina v lineárnom priestore X rovnobežná s podpriestorom Ker f. Nech
d označuje vzdialenosť bodu 0 od množiny Ef , t.j.,
d := ρ(Ef , 0) = inf{ x , x ∈ X, f(x) = 1}. (46)
Nie je ťažké ukázať, že množina Ef v (45) je uzavretá v normovanom priestore
X, a keďže zrejme 0 /∈ Ef , vzdialenosť d > 0. Dokážeme rovnosť
d =
1
f
, (47)
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Poznámka 9 (Geometrický význam normy spojitého lineárneho funkcionálu)
kde f je norma funkcionálu f definovaná v (41). Skutočne, vzhľadom na
charakter Ef v (45) podľa nerovnosti (38) platí 1 = |f(x)| ≤ f x , a tak
x ≥ 1
f
pre každý vektor x ∈ Ef , takže d ≥ 1
f
v súlade s (46). Na druhej
strane, z druhej identity v (37) v Poznámke 8 vyplýva, že pre každé kladné číslo
ε < f existuje nenulový vektor x ∈ X s vlastnosťou
0 < f − ε <
|f(x)|
x
. (48)
Položme ˜x := x
f(x)
. Keďže f(˜x) = 1 a ˜x = x
|f(x)|
, využijúc (45) a (48) máme
˜x
(45)
∈ Ef , ˜x =
x
|f(x)|
(48)
<
1
f − ε
, (49)
takže v zhode s (46) platí d < 1
f −ε
. Napokon, limitovaním tejto nerovnosti
pre ε → 0+
dostávame d ≤ 1
f
, čo završuje dôkaz formuly (47). Vidíme teda,
že normu každého netriviálneho spojitého lineárneho funkcionálu f pôsobiaceho
na normovanom priestore X možno geometricky interpretovať ako prevrátenú
hodnotu vzdialenosti nadroviny Ef v (45) od nulového vektora v X.
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Príklad 9
Aplikujúc výsledok (47) odvodený v Poznámke 9 na Príklad 6 dostávame, že
vzdialenosť množiny všetkých riešení lineárnej rovnice
a1 x1 + · · · + an xn = 1, (a1, . . . , an) ∈ Rn
\ {0}, xi ∈ R, i ∈ {1, . . . , n},
od nulového vektora je rovná 1√
a2
1+···+a2
n
. Podobne, v kontexte Príkladu 7 platí,
že vzdialenosť množiny všetkých funkcií u ∈ BI [a, b] spĺňajúcich
b
a
u(x) dx = 1
od funkcie identicky nulovej na intervale [a, b] je rovná číslu 1
b−a
.
Veta 9 (Hahnova–Banachova pre normované lineárne priestory)
Nech X je normovaný lineárny priestor, A ⊆ X jeho (uzavretý) podpriestor a
fA : A → R je spojitý lineárny funkcionál pôsobiaci na priestore A. Potom
existuje spojité predĺženie f : X → R funkcionálu fA na celý priestor X, ktoré
zachováva normu funkcionálu fA, t.j., platí rovnosť f X = fA A.
Dôkaz Vety 9.
Označme c := fA A a definujme funkcionál p : X → R predpisom
p(x) := c x , x ∈ X. (50)
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Dôkaz Vety 9 (pokračovanie).
Z Príkladu 4 vieme, že zobrazenie p v (50) je konvexný funkcionál pôsobiaci na
priestore X, pričom podľa (38) platí pre každý vektor x ∈ A nerovnosť
fA(x) ≤ |fA(x)|
(38)
≤ fA A · x = c x
(50)
= p(x). (51)
Následne, na základe Hahnovej–Banachovej vety 6 máme zaručenú existenciu
predĺženia funkcionálu fA na celý priestor X, ktoré zachováva nerovnosť (51).
Presnejšie, existuje lineárny funkcionál f : X → R s vlastnosťami
f(x) = fA(x) pre každé x ∈ A a f(x) ≤ p(x) = c x na X. (52)
Dokážeme, že každý takýto funkcionál f je spojitý na priestore X. Z (52) pre
každé x ∈ X máme −f(x) = f(−x) ≤ c − x = c x , a tak
|f(x)| ≤ c x pre každý prvok x ∈ X. (53)
V súlade s (53) a Definíciou 8 je teda funkcionál f ohraničený na okolí bodu 0
a podľa Vety 8 následne i spojitý na X. Obzvlášť, z druhej rovnosti v (37) a
relácie (53) vyplýva, že f X ≤ c. Na druhej strane, keďže c = fA A, A ⊆ X
a f = fA na podpriestore A, máme
c
(36)
= sup{|f(x)|, x ∈ A, x ≤ 1} ≤ sup{|f(x)|, x ∈ X, x ≤ 1}
(36)
= f X ,
a tak f X = fA A. Dôkaz je kompletný.
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Dôsledok 3
Nech X je normovaný lineárny priestor s normou · a x0 ∈ X nenulový vektor.
Potom existuje spojitý lineárny funkcionál f : X → R spĺňajúci
f(x0) = x0 a f = 1. (54)
Dôkaz Dôsledku 3.
Označme A := Lin {x0} = {λ x0, λ ∈ R}, t.j., lineárny podpriestor v X generovaný
vektorom x0, a definujme zobrazenie fA : A → R dané predpisom
fA(x) := λ x0 pre x = λ x0 ∈ A. (55)
Podpriestor A ⊆ X je zrejme nenulový a uzavretý v normovanom priestore X a
zobrazenie fA v (55) je lineárny funkcionál ohraničený v priestore A, nakoľko
|fA(x)|
(55)
= |λ| x0 = λ x0 = x pre každé x = λ x0 ∈ A. (56)
Podľa Vety 8 je preto lineárny funkcionál fA spojitý na priestore A. Naviac, pre
jeho normu fA A vzhľadom na A platí
fA A
(37)
= sup{|fA(x)|, x ∈ A, x = 1}
(56)
= sup{ x , x ∈ A, x = 1} = 1. (57)
Podľa Hahnovej–Banachovej vety 9 následne existuje spojitý lineárny funkcionál
f pôsobiaci na celom priestore X a spĺňajúci rovnosti v (54).
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Poznámka 10
Z Dôsledku 3 vyplývajú dva významné výsledky. Prvý z nich je záruka existencie
aspoň jedného netriviálneho spojitého lineárneho funkcionálu f : X → R pre
každý nenulový normovaný lineárny priestor X. Druhý výsledok je skutočnosť, že
množina všetkých netriviálnych spojitých lineárnych funkcionálov pôsobiacich na
danom nenulovom normovanom priestore X je “dostatočne bohatá”. Presnejšie,
pre ľubovoľné dva rôzne prvky x, y ∈ X vždy existuje spojitý lineárny funkcionál
f : X → R, ktorý oddeľuje tieto dva prvky, t.j., platí f(x) = f(y) (v Dôsledku 3
stačí položiť x0 := x − y).
Dôsledok 4
Nech X je normovaný lineárny priestor s normou · , A X je (uzavretý)
podpriestor a x0 ∈ X \ A daný vektor. Označme d := ρ(A, x0) > 0. Potom
existuje spojitý lineárny funkcionál f : X → R spĺňajúci
f(x) = 0 pre každé x ∈ A, f(x0) = d a f = 1. (58)
Dôkaz Dôsledku 4.
Postupujeme podobne ako v dôkaze Dôsledku 3. Uvažujme lineárny priestor
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Dôkaz Dôsledku 4 (pokračovanie).
˜A := Lin {A, x0} = {y + λ x0, y ∈ A, λ ∈ R}. (59)
Je zrejmé, že priestor ˜A je (uzavretý) podpriestor v normovanom priestore X.
Vďaka predpokladu x0 /∈ A je reprezentácia prvkov množiny ˜A v (59) jednoznačná,
t.j., pre každý vektor x ∈ ˜A existuje jediný vektor y ∈ A a jediný skalár
λ ∈ R tak, že x = y + λ x0. Z definície vzdialenosti d = ρ(A, x0) dostávame
0 < d ≤ x0 − y pre každé y ∈ A. (60)
Na podpriestore ˜A teraz uvažujme funkcionál f ˜A s predpisom
f ˜A(x) := λ d, x
(59)
= y + λ x0 ∈ ˜A. (61)
Nie je ťažké overiť, že f ˜A v (61) je lineárny funkcionál na ˜A spĺňajúci f ˜A(x) = 0
pre každé x ∈ A a f ˜A(x0) = d. Ďalej pre každý vektor x ∈ ˜A \ A platí
|f ˜A(x)|
(61)
= |λ| d =
|λ| d
x
x
(59)
=
|λ| d
y + λ x0
x =
|λ| d
|λ| · y
λ
+ x0
x
=
d
x0 − − y
λ
x
(60)
≤
d
d
x = x , (62)
pričom predposlednom kroku sme využili fakt, že vektor − y
λ
∈ A. Z nerovnosti
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Dôkaz Dôsledku 4 (pokračovanie).
(62) následne podľa Definície 8 vyplýva, že lineárny funkcionál f ˜A je ohraničený
na priestore ˜A, a teda v súlade s Definíciou 9 i spojitý na ˜A. Naviac, pre jeho
normu f ˜A ˜A vzhľadom na ˜A pomocou odhadu (62) a faktu f ˜A(A) = 0 platí
f ˜A ˜A
(37)
= sup
|f ˜A(x)|
x
, x ∈ ˜A \ {0}
(62)
≤ 1. (63)
Na druhej strane, iste existuje postupnosť {yk}∞
k=1 ⊆ A s vlastnosťou
lim
k→∞
x0 − yk = lim
k→∞
ρ(x0, yk) = d. (64)
Nakoľko x0 − yk ∈ ˜A pre každé k ∈ N, z vlastností zobrazenia f ˜A máme
lim
k→∞
f ˜A(x0 − yk) = lim
k→∞
[f ˜A(x0) − f ˜A(yk)
0
] = lim
k→∞
f ˜A(x0)
d
= d, (65)
|f ˜A(x0 − yk)|
(38)
≤ f ˜A ˜A · x0 − yk , k ∈ N. (66)
Limitovaním nerovnosti (66) pre k → ∞ a využitím relácií (64) a (65) získame
d ≤ f ˜A ˜A d, a tak 1 ≤ f ˜A ˜A. Preto norma f ˜A ˜A = 1. Napokon, Hahnova–
Banachova veta 9 nám zaručuje existenciu spojitého predĺženia f : X → R
funkcionálu f ˜A, ktoré spĺňa f X = f ˜A ˜A = 1. Dôkaz je kompletný.
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Obsah
1 Základné pojmy a vlastnosti
2 Hahnova–Banachova veta
3 Spojité lineárne funkcionály
4 Duálne priestory
5 Druhé duálne priestory
6 Banachova–Steinhausova veta
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Pojem duálneho priestoru a jeho vlastnosti
Poznámka 11
Nech X je (reálny) normovaný lineárny priestor s normou · . Je zrejmé, že pre
ľubovoľné dva (spojité) lineárne funkcionály f, g : X → R a pre každý skalár
λ ∈ R sú zobrazenia u, v : X → R definované
u(x) := f(x) + g(x), v(x) := λ f(x), x ∈ X,
(spojité) lineárne funkcionály na X. Množina všetkých (spojitých) lineárnych
funkcionálov pôsobiacich na priestore X teda vytvára vektorový priestor nad R.
Definícia 11 (Duálny priestor normovaného lineárneho priestoru)
Nech X je (reálny) normovaný lineárny priestor. Vektorový priestor všetkých
spojitých lineárnych funkcionálov f : X → R sa nazýva duálny priestor priestoru
X (tiež priestor adjungovaný k priestoru X) a označuje sa symbolom X′
.
Poznámka 12
Ľahko sa presvedčíme, že duálny priestor X′
je normovaným lineárnym priestorom
vzhľadom na normu funkcionálu zavedenú v Definícii 10 predpisom (36).
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Veta 10 (Úplnosť duálneho priestoru)
Nech X je normovaný lineárny priestor a X′
je jeho duálny priestor. Potom X′
je Banachov priestor, t.j., úplný normovaný priestor vzhľadom na normu v (36).
Dôkaz Vety 10.
Nech X a X′
sú ako v zadaní vety a nech {fk}∞
k=1 ⊆ X′
je cauchyovská postupnosť
spojitých lineárnych funkcionálov na priestore X, t.j., pre každé ε > 0
existuje nε ∈ N tak, že pre každé dva indexy n, m ≥ nε platí fn − fm < ε. (67)
Obzvlášť, využitím nerovnosti (38) pre každé dva indexy n, m ≥ nε dostávame
|fn(x) − fm(x)|
(38)
≤ fn − fm · x
(67)
< ε x pre každé x ∈ X. (68)
Z relácie (68) ihneď vyplýva, že pre každý pevný vektor x ∈ X je číselná postupnosť
{fk(x)}∞
k=1 cauchyovská, a teda vďaka úplnosti euklidovského priestoru
E i konvergentná. Existuje preto funkcionál f : X → R daný predpisom
f(x) := lim
k→∞
fk(x), x ∈ X. (69)
Ukážeme, že f ∈ X′
, t.j., že zobrazenie f je spojitý lineárny funkcionál na X.
Linearitu zobrazenia f možno ľahko vidieť z jeho definície v (69) a z linearity
funkcionálov fk, k ∈ N. Naviac, limitovaním nerovnosti (68) pre n → ∞ máme
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Dôkaz Vety 10 (pokračovanie).
|f(x) − fm(x)| < ε x pre každý index m ≥ nε a každé x ∈ X. (70)
Podľa (70) a Definície 8 je preto pre každé pevne zvolené ε > 0 lineárny
funkcionál f − fm pre m ≥ nε ohraničený na okoliach nulového vektora, a
teda v súlade s Vetou 8 i spojitý na celom priestore X. Vďaka spojitosti každého
z lineárnych funkcionálov fk, k ∈ N, na X je potom v súlade s Poznámkou 12
spojitý i lineárny funkcionál f = (f − fm) + fm, m ≥ nε, na priestore X. Takže
skutočne f ∈ X′
v zhode s Definíciou 11. Napokon dokážeme, že uvažovaná
postupnosť {fk}∞
k=1 konverguje podľa (69) k funkcionálu f nielen bodovo na X,
ale i v norme duálneho priestoru X′
. Zvoľme nejaké ε > 0. Kombináciou druhej
formuly v (37) a nerovnosti (70) potom dostávame, že pre každé m ≥ nε je
f − fm
(37)
= sup
|f(x) − fm(x)|
x
, x ∈ X \ {0}
(70)
≤ ε. (71)
To však znamená, že postupnosť {fk}∞
k=1 je konvergentná v norme priestoru X′
s limitou f ∈ X′
. Duálny priestor X′
je teda úplný a dôkaz je hotový.
Poznámka 13
Poznamenajme, že výsledok Vety 10 platí pre každý normovaný lineárny priestor
X bez ohľadu na to, či je alebo nie je Banachov priestor. Špeciálne, ak priestor
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Poznámka 13
X nie je úplný a ¯X označuje jeho úplný obal, potom sa dá dokázať, že odpovedajúce
duálne priestory X′
a ¯X′
sú izometricky izomorfné. Hlavná myšlienka je
založená na skutočnosti, že pre každý funkcionál f ∈ X′
existuje jediné spojité
predĺženie ¯f ∈ ¯X′
spĺňajúce ¯f ¯X = f X . Naopak, zúžením každého
funkcionálu ¯f ∈ ¯X na priestor X zrejme dostaneme spojitý lineárny funkcionál
f pôsobiaci na X. Priradenie f → ¯f preto sprostredkováva izometriu duálnych
priestorov X′
a ¯X′
.
Veta 11
Nech X je normovaný lineárny priestor a X′
je jeho duálny priestor. Ak X′
je
separabilný priestor, potom i pôvodný priestor X je separabilný.
Dôkaz Vety 11.
Nech · je norma na priestore X a predpokladajme, že duálny priestor X′
je
separabilný. Z teórie metrických priestorov vyplýva, že potom každá podmnožina
v X′
je ako metrický podpriestor tiež separabilná. Teda i jednotková sféra
S′
(0, 1) := {f ∈ X′
, f = 1} (72)
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Dôkaz Vety 11 (pokračovanie).
v priestore X′
je separabilná. Nech {fk}∞
k=1 ⊆ S′
(0, 1) je postupnosť hustá v
množine S′
(0, 1), t.j., pre každý funkcionál f ∈ S′
(0, 1) a každé ε > 0 existuje
index k ∈ N tak, že platí nerovnosť
f − fk ≤ ε. (73)
Nakoľko každý z funkcionálov fk, k ∈ N, má jednotkovú normu, v súlade s prvou
rovnosťou v (37) máme
sup {|fk(x)|, x ∈ X, x = 1} = 1 pre každé k ∈ N. (74)
Z rovnosti (74) a z vlastností supréma následne vyplýva, že pre každý index k ∈ N
existuje vektor xk ∈ X taký, že
xk = 1, |fk(xk)| >
1
2
. (75)
Uvažujme teraz racionálny lineárny obal postupnosti {xk}∞
k=1 ⊆ X zostrojenej
v (75) vzhľadom na priestor X, t.j.,
A := Lin Q{xk, k ∈ N}. (76)
Množina A v (76) teda predstavuje súbor všetkých konečných lineárnych kombinácií
vektorov xk, k ∈ N, s racionálnymi koeficientami. Nie je ťažké si premyslieť,
že A je spočítateľná množina. Ukážeme, že množina A ⊆ X je hustá v
priestore X, t.j., platí X = A. Predpokladajme sporom, že A X. Množina
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Dôkaz Vety 11 (pokračovanie).
X \ A je teda neprázdna. Zvoľme preto nejaký vektor y ∈ X \ A. Podľa
Dôsledku 4 Hahnovej–Banachovej vety 9 (pre A := A a x0 := y) potom existuje
spojitý lineárny funkcionál f pôsobiaci X spĺňajúci vlastnosti v (58), t.j.,
f(x) = 0 pre každé x ∈ A, f(y) = ρ(A, y) > 0, f = 1. (77)
Obzvlášť, v súlade s (72) a (76) funkcionál f ∈ S′
(0, 1) a f(xk) = 0 pre každé
k ∈ N. Využijúc relácie v (38) a (75), pre každé k ∈ N máme
1
2
(75)
< |fk(xk)| = [fk(xk) − f(xk)] + f(xk) ≤ |fk(xk) − f(xk)| + |f(xk)|
0
= |fk(xk) − f(xk)|
(38)
≤ fk − f · xk
(75)
= fk − f .
Posledná nerovnosť je však v rozpore s odhadom (73) pre hodnotu ε = 1
2
. To
znamená, že spočítateľná množina A v (76) je hustá v X, čo následne implikuje
separabilitu priestoru X. Dôkaz je kompletný.
Poznámka 14
Je nutné zdôrazniť, že opačné tvrdenie k Vete 11 vo všeobecnosti neplatí, t.j.,
duálny priestor X′
separabilného priestoru X nemusí byť nutne separabilný.
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Duálny priestor Hilbertovho priestoru
Veta 12 (Fréchetova–Rieszova reprezentačná)
Nech H je Hilbertov priestor so skalárnym súčinom ·, · a indukovanou normou
· a nech H′
je jeho duálny priestor. Potom pre každý spojitý lineárny funkcionál
f ∈ H′
existuje jediný vektor xf ∈ H s vlastnosťou
f(x) = x, xf pre každé x ∈ H, f = xf . (78)
Dôkaz Vety 12.
Zvoľme ľubovoľný netriviálny funkcionál f ∈ H′
. Kombinácia Poznámok 1 a 2
spolu so spojitosť zobrazenia f zaručujú, že jadro Ker f je uzavretý podpriestor
v H s kodimenziou 1. Z vlastností Hilbertovho priestoru H následne vyplýva,
že H = Ker f ⊕ (Ker f)⊥
, pričom dim (Ker f)⊥
= 1. Preto bez ujmy na
všeobecnosti v súlade s (7) existuje nenulový vektor x0 ∈ (Ker f)⊥
s f(x0) = 1
taký, že každý prvok x ∈ H možno jednoznačne reprezentovať v tvare
x = f(x) x0 + y, y ∈ Ker f. (79)
Pre daný funkcionál f definujme vektor xf ∈ H predpisom
xf :=
x0
x0
2
. (80)
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Dôkaz Vety 12 (pokračovanie).
Využitím vlastností skalárneho súčinu ·, · a linearity f pre každé x ∈ H platí
x, xf
(79),(80)
= f(x) x0 + y,
x0
x0
2
=
f(x)
x0
2
x0, x0 +
1
x0
2
y, x0
0
=
f(x)
x0
2
x0
2
= f(x), (81)
čo ihneď dokazuje prvú rovnosť v (78). Obzvlášť, pomocou rovnosti (81) a
Cauchyho–Schwarzovej–Buňakovského nerovnosti dostávame
|f(x)| = | x, xf | ≤ x · xf pre každý vektor x ∈ H. (82)
V zhode s druhou formulou v (37) ľahko vidíme, že podľa (82) pre normu f
platí f ≤ xf . Na druhej strane,
|f(xf )| = | xf , xf | = xf
2
, takže
|f(xf )|
xf
= xf ,
a teda, opäť podľa (37), máme xf ≤ f . Preto f = xf , ukázajúc
druhú identitu v (78). Zostáva overiť jednoznačnosť prvku xf v (80) pre daný
funkcionál f. Ak vektor x′
f ∈ H spĺňa f(x) = x, x′
f pre každé x ∈ H, potom
so zreteľom na (81) platí x, x′
f = x, xf , a tak x, x′
f − xf = 0 na H.
Obvzlášť, x′
f − xf
2
= x′
f − xf , x′
f − xf = 0, a tak x′
f = xf . Napokon, do-
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Dôkaz Vety 12 (pokračovanie).
-dajme, že v prípade triviálneho lineárneho funkcionálu f = 0 na H pre odpovedajúci
vektor xf v (78) platí xf = 0. Dôkaz je teraz úplný.
Poznámka 15
Z vlastností skalárneho súčinu ·, · vyplýva, že pre každý daný vektor y ∈ H je
zobrazenie fy dané predpisom
fy(x) := x, y , x ∈ H,
spojitý lineárny funkcionál pôsobiaci na Hilbertovom priestore H, t.j., fy ∈ H′
.
S ohľadom na Fréchetovu–Rieszovu reprezentačnú vetu 12 je potom priradenie
H ∋ y → fy := ·, y ∈ H′
, (83)
bijektívne zobrazenie medzi priestormi H a H′
zachovávajúce normu, t.j., izometria
priestorov H a H′
. Nie je ťažké overiť, že zobrazenie v (83) je lineárne.
Naviac, zobrazenie ·, · H′ : H′
× H′
→ R definované predpisom
f, g := xf , xg , f, g ∈ H′
, (84)
kde vektory xf , xg ∈ H sú jednoznačne určené podľa (78), predstavuje skalárny
súčin na priestore H′
, ktorý indukuje normu funkcionálu v (36). Priradenie v
(83) je preto dokonca izometrický izomorfizmus unitárnych priestory H a H′
.
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Príklad 10
Pre dané n ∈ N uvažujme normovaný lineárny priestor X := Rn
s nejakou
normou · a nech B := {e1, . . . , en} ⊆ X je ľubovoľná (algebraická) báza
priestoru X, t.j., každý vektor x ∈ X sa dá jednoznačne vyjadriť v tvare
x = x1 e1 + · · · + xn en, x1, . . . , xn ∈ R. (85)
Ak f : X → R je lineárny funkcionál na X, potom pomocou (85) máme
f(x) = x1 f(e1) + · · · + xn f(en) pre každé x = x1 e1 + · · · + xn en ∈ Rn
. (86)
Obzvlášť, z (86) vyplýva, že každý lineárny funkcionál f pôsobiaci na priestore
X je spojitý, t.j., f ∈ X′
. Pokúsime sa charakterizovať duálny priestor X′
.
Uvažujme množinu lineárnych funkcionálov B′
:= {g1, . . . , gn} na X spĺňajúcich
gi(ej ) :=
1, i = j,
0, i = j,
i, j ∈ {1, . . . , n}. (87)
V súlade s (85) potom pre každé x ∈ X platí
gi(x)
(85),(87)
= xi, i ∈ {1, . . . , n}, (88)
čo následne, s ohľadom na (86), dáva pre každé f ∈ X′
reprezentáciu
f = f(e1) g1 + · · · + f(en) gn. (89)
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Príklad 10
Množina B′
je zrejme lineárne nezávislá v priestore X′
a zo zreteľom na (89)
predstavuje (algebraickú) bázu duálneho priestoru X′
; hovoríme o tzv. duálnej
báze vzhľadom na bázu B. Reálne čísla
fi := f(ei), i ∈ {1, . . . , n}, (90)
sú v zhode s (89) súradnice daného funkcionálu f ∈ X′
vzhľadom na bázu B′
.
Duálny priestor X′
je teda n-rozmerný normovaný priestor s normou · ∗, ktorá
je indukovaná predpísanou normou · na X podľa (36). Je potrebné zdôrazniť,
že rôzne normy · na X indukujú rôzne normy · ∗ na X′
. Napríklad pre
každé zvolené p ∈ (1, ∞) platí, že
norma x :=
n
i=1
|xi|p
1/p
indukuje normu f ∗ :=
n
i=1
|fi|q
1/q
, (91)
kde q ∈ (1, ∞) je číslo konjugované s p, t.j., spĺňajúce 1
p
+ 1
q
= 1. Podobne
norma x :=
n
i=1
|xi| indukuje normu f ∗ := max
1≤i≤n
|fi|, (92)
norma x := max
1≤i≤n
|xi| indukuje normu f ∗ :=
n
i=1
|fi|. (93)
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Príklad 11
V tomto príklade ilustrujeme poznatky prezentované v Príklade 10 pre hodnotu
p = 3. Konkrétne, ukážeme, že na lineárnom priestore Rn
norma · tvaru
x :=
n
i=1
|xi|3
1/3
, x
(85)
= x1 e1 + · · · + xn en, (94)
indukuje podľa (91) s q = 3
2
na jeho duálnom priestore normu · ∗ tvaru
f ∗ :=
n
i=1
|fi|3/2
2/3
, f
(89),(90)
= f1 g1 + · · · + fn gn. (95)
Skutočne, využitím Hölderovej nerovnosti pre každý daný netriviálny lineárny
funkcionál f na Rn
reprezentovaný v súlade s (89) a (90) n-ticou (f1, . . . , fn) a
každý vektor x ∈ Rn
reprezentovaný v zhode s (85) n-ticou (x1, . . . , xn) platí
|f(x)|
(86),(90)
=
n
i=1
xi fi ≤
n
i=1
|xi fi|
Hölder
≤
n
i=1
|xi|3
1/3 n
i=1
|fi|3/2
2/3
(94)
= x ·
n
i=1
|fi|3/2
2/3
, a tak f ∗
(37)
≤
n
i=1
|fi|3/2
2/3
. (96)
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Príklad 11
Na druhej strane, špeciálnou voľbou ˜xi := |fi| sgn fi, i ∈ {1, . . . , n} máme
|f(˜x)|
(86),(90)
=
n
i=1
˜xi fi =
n
i=1
|fi|3/2
1/3 n
i=1
|fi|3/2
2/3
=
n
i=1
|fi| sgn fi
3
1/3 n
i=1
|fi|3/2
2/3
=
n
i=1
|˜xi|3
1/3 n
i=1
|fi|3/2
2/3
(94)
= ˜x ·
n
i=1
|fi|3/2
2/3
,
čo v súlade s druhou formulou v (37) znamená, že
n
i=1
|fi|3/2
2/3
≤ f ∗. (97)
Kombináciou nerovností v (96) a (97) potom dostávame identitu v (95).
Obzvlášť, duálny priestor normovaného priestoru (Rn
, · ) je izometricky
izomorfný s normovaným priestorom (Rn
, · ∗).
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Príklad 12
Poznamenajme, že v prípade euklidovskej normy · na Rn
, t.j., pre p = 2 v
(91), je duálny priestor k euklidovskému priestoru En
= (Rn
, · ) izometricky
izomorfný s En
, pretože v tomto prípade máme q = 2 a norma · ∗ v (91) je
tiež euklidovská. Tento výsledok je v plnom súhlase s Fréchetovou–Rieszovou
reprezentačnou vetou 12, nakoľko En
je Hilbertov priestor.
Príklad 13 (Duálne priestory priestorov lp
)
Pre dané reálne číslo p > 1 je duálny priestor normovaného priestoru lp
izometricky
izomorfný s normovaným priestorom lq
, kde q > 1 je číslo konjugované s p,
t.j., platí 1
p
+ 1
q
= 1. Ďalej, duálny priestor normovaného priestoru l1
je lineárne
izometrický s priestorom l∞
. Na druhej strane, duálny priestor vzhľadom na
priestor l∞
nie je izometricky izomorfný s l1
. Platí však že priestor l1
je izometrický
s vhodným vlastným podpriestorom duálneho priestoru (l∞
)′
. Skutočnosť,
že priestor l1
nemôže byť izometrický s celým (l∞
)′
, je jednoduchým dôsledkom
Vety 11. Z teórie metrických priestorov vieme, že l∞
nie je separabilný
priestor. V súlade s Vetou 11 nemôže byť separabilný ani jeho duálny priestor
(l∞
)′
. Priestor l1
je však separabilný, a preto nemôže byť izometrický s (l∞
)′
.
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Príklad 14
Duálne priestory normovaných lineárnych priestorov c a c0 sú lineárne izometrické
s priestorom l1
. Pripomeňme, že c, resp. c0, označuje lineárny priestor
všetkých konvergentných reálnych postupností, resp. všetkých reálnych postupností
s nulovou limitou, na ktorom je zavedená suprémová norma
x := sup
k∈N
|xk|, x = {xk}∞
k=1 ∈ c, resp. x = {xk}∞
k=1 ∈ c0. (98)
Príklad 15
Ako dôsledok poznatkov v Príklade 13 poznamenajme, že priestor l2
je izometricky
izomorfný so svojím duálnych priestorom (l2
)′
. Tento výsledok vyplýva i z
Fréchetovej–Rieszovej reprezentačnej vety 12, keďže l2
je (separabilný) Hilbertov
priestor, ako sme dokázali v prednáške o unitárnych priestoroch. Obzvlášť, každý
spojitý lineárny funkcionál f ∈ (l2
)′
je možné v súlade s (78) vyjadriť v tvare
f(x) = x, y =
∞
k=1
xk yk, x = {xk}∞
k=1 ∈ l2
, (99)
pre nejaký pevný prvok y = {yk}∞
k=1 ∈ l2
, pričom platí rovnosť f = y .
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Obsah
1 Základné pojmy a vlastnosti
2 Hahnova–Banachova veta
3 Spojité lineárne funkcionály
4 Duálne priestory
5 Druhé duálne priestory
6 Banachova–Steinhausova veta
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Pojem druhého duálneho priestoru
Definícia 12 (Druhý duálny priestor normovaného lineárneho priestoru)
Nech X je normovaný lineárny priestor a X′
jeho duálny priestor. Vektorový
priestor všetkých spojitých lineárnych funkcionálov pôsobiacich na X′
, t.j., duálny
priestor (X′
)′
, nazývame druhý duálny priestor priestoru X a označujeme X′′
.
Veta 13
Nech X je normovaný lineárny priestor s normou · a X′
je jeho duálny priestor.
Potom pre každé zvolené x ∈ X je zobrazenie Fx : X′
→ R definované
Fx(f) := f(x), f ∈ X′
, (100)
spojitý lineárny funkcionál na priestore X′
, pričom platí Fx = x .
Dôkaz Vety 13.
Zvoľme nejaký nenulový vektor x ∈ X. Je zrejmé, že zobrazenie Fx definované
v (100) je lineárny funkcionál pôsobiaci na duálnom priestore X′
, keďže
Fx(α f + β g)
(100)
= (α f + β g)(x) = α f(x) + β g(x)
(100)
= α Fx(f) + β Fx(g) (101)
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Dôkaz Vety 13 (pokračovanie).
pre každé f, g ∈ X′
a α, β ∈ R. Naviac, v súlade s nerovnosťou (38) máme
|Fx(f)|
(100)
= |f(x)|
(38)
≤ x · f pre každé f ∈ X′
, (102)
čo podľa Definície 8 a Vety 8 znamená, že zobrazenie Fx v (100) je ohraničené
na okolí nulového funkcionálu, a teda spojité na celom priestore X′
. Preto Fx
je spojitý lineárny funkcionál na X′
, t.j., Fx ∈ X′′
. Pre jeho normu dostávame
Fx
(37)
= sup
|Fx(f)|
f
, f ∈ X′
\ {0}
(102)
≤ x . (103)
Na druhej strane, z Dôsledku 3 vieme, že pre daný nenulový vektor x existuje
spojitý lineárny funkcionál f0 : X → R spĺňajúci f0(x) = x a f0 = 1, teda
|Fx(f0)|
(100)
= |f0(x)| = x = x · f0
1
, a tak
|Fx(f0)|
f0
= x . (104)
V zhode s druhou formulou v (37) to znamená, že norma Fx ≥ x . Preto
platí Fx = x . Napokon dodajme, že v prípade voľby x = 0 je odpovedajúce
zobrazenie Fx v (100) zrejme identicky nulový funkcionál na X′
, a teda opäť
Fx ∈ X′′
s Fx = 0 = x . Dôkaz je teraz kompletný.
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Poznámka 16 (Kanonické vnorenie do druhého duálneho priestoru)
Výsledok Vety 13 ukazuje, že na každom danom normovanom lineárnom priestore
X je korektne definované zobrazenie π : X → X′′
s predpisom
π(x) := Fx s Fx zavedeným v (100) pre x ∈ X. (105)
Zobrazenie π v (105) sa štandardne označuje ako prirodzené zobrazenie priestoru
X do jeho druhého duálneho priestoru X′′
. Zrejme sa jedná o lineárne zobrazenie,
nakoľko využitím (100) pre každé x, y ∈ X, α, β ∈ R a f ∈ X′
máme
Fα x+β y(f) = f(α x + β y) = α f(x) + β f(y) = α Fx(f) + β Fy(f), (106)
a tak v súlade s (105) platí π(α x + β y) = α π(x) + β π(y). Naviac, podľa
druhej časti Vety 13 je prirodzené zobrazenie π izometrické, t.j.,
π(x)
(105)
= Fx = x pre každý vektor x ∈ X. (107)
Obzvlášť, π je spojitá injekcia. Z tohto dôvodu sa preto o prirodzenom zobrazení
π často hovorí ako o kanonickom vnorení priestoru X do priestoru X′′
.
Definícia 13 (Reflexívny normovaný lineárny priestor)
Normovaný lineárny priestor X sa nazýva reflexívny, ak prirodzené zobrazenie
π : X → X′′
zavedené v (105) je surjektívne, t.j., platí rovnosť π(X) = X′′
.
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Poznámka 17
Z Definície 13 a Poznámky 16 ihneď vyplýva, že každý reflexívny normovaný
lineárny priestor X je izometricky izomorfný s druhým duálnym priestorom X′′
.
Príslušný izomorfizmus je sprostredkovaný prirodzeným zobrazením π v (105),
keďže v tomto prípade sa jedná o lineárnu bijekciu medzi priestormi X a X′′
,
ktorá zachováva normu. Následne, so zreteľom na Vetu 10, každý reflexívny
priestor je nutne Banachov, t.j., úplný normovaný priestor. Je však potrebné
zdôrazniť, že opačné tvrdenia neplatia. Konkrétne, z izometrického izomorfizmu
priestorov X a X′′
vo všeobecnosti nevyplýva reflexívnosť priestoru X. Slávnym
a klasickým príkladom nereflexívneho normovaného priestoru X, ktorý je lineárne
izometrický so svojim druhým duálnym priestorom X′′
, je tzv. Jamesov priestor.
Nereflexívne Banachove priestory uvedieme v Príkladoch 19, 20 a 21.
Veta 14 (Kritérium reflexívnosti Banachových priestorov)
Nech X je (reálny) Banachov priestor, t.j., úplný normovaný lineárny priestor.
Potom nasledujúce tvrdenia sú ekvivalentné.
(i) Priestor X je reflexívny.
(ii) Duálny priestor X′
je reflexívny.
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Poznámka 18
Z Vety 10 vieme, že duálny priestor X′
každého normovaného priestoru X je
Banachov. Podľa Vety 14 je tak X′
reflexívny práve vtedy, keď je reflexívny X′′
.
Príklad 16 (Reflexívnosť priestorov s konečnou dimenziou)
Každý normovaný lineárny priestor X s konečnou dimenziou n ∈ N je reflexívny.
Vyplýva to z pozorovania v Príklade 10, podľa ktorého duálny priestor X′
má
opäť dimenziu n. Obzvlášť, druhý duálny priestor X′′
je n-rozmerný normovaný
priestor. Na druhej strane, z lineárnej algebry vieme, že každé lineárne vnorenie
priestorov s rovnakou konečnou dimenziou je nutne i surjektívne. Preto je
prirodzené zobrazenie π v (105) lineárnou izometriou priestorov X a X′′
.
Príklad 17 (Reflexívnosť Hilbertovho priestoru)
Každý Hilbertov priestor H je reflexívny. Tento významný a klasický výsledok
je bezprostredným dôsledkom lineárnej izometrie priestorov H a H′
, a následne
i priestorov H′
a H′′
, diskutovanej v Poznámke 15. V oboch prípadoch je
uvedený izomorfizmus realizovaný pomocou skalárnych súčinov v súlade s (83) a
(84). Na druhej strane, obraz každého vektora x ∈ H v prirodzenom zobrazení
π : H → H′′
je možné reprezentovať práve skalárnym súčinom x, · .
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Príklad 18 (Reflexívnosť lp
-priestorov)
Dôležitým príkladom triedy reflexívnych normovaných priestorov, ktoré nie sú
Hilbertovými priestormi, sú priestory lp
pre p ∈ (1, ∞), p = 2. Podľa Príkladu 13
je totiž pre dané p ∈ (1, ∞) duálny priestor (lp
)′
lineárne izometrický s priestorom
lq
, kým duálny priestor (lq
)′
je izometricky izomorfný s priestorom lp
, kde q ∈
(1, ∞) je číslo konjugované s p, t.j., platí 1
p
+ 1
q
= 1. Celkovo je teda priestor lp
lineárne izometrický so svojim druhým duálnym priestorom (lp
)′′
, pričom jedna
z týchto izometrií je sprostredkovaná práve prirodzeným zobrazením π v (105).
Napokon dodajme, že pre p = 2 je reflexívnosť priestoru lp
zaručená i na základe
Príkladu 17, keďže v tomto prípade sa jedná o Hilbertov priestor.
Príklad 19 (Nereflexívnosť priestorov l1
a l∞
)
Na druhej strane, normovaný priestor l1
nie je reflexívny. Vyplýva to z Príkladu
13, podľa ktorého druhý duálny priestor (l1
)′′
je izometricky izomorfný s
duálnym priestorom (l∞
)′
, avšak l1
nie je izometrický s (l∞
)′
. Preto priestor l1
nie je izometricky izomorfný so svojím druhým duálnym priestorom (l1
)′′
, a teda
v súlade s Poznámkou 17 nemôže byť ani reflexívny. Obzvlášť, duálny priestor
(l∞
)′
nie je reflexívny. A keďže l∞
je Banachov priestor, z Vety 14 vyplýva i
nereflexívnosť normovaného priestoru l∞
.
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Príklad 20 (Nereflexívnosť priestorov c a c0)
Podobným spôsobom ukážeme i nereflexívnosti priestorov c a c0. Konkrétne, z
Príkladu 14 vieme, že obidva duálne priestory c′
a (c0)′
sú izometricky izomorfné
s priestorom l1
, a teda v zhode s Príkladom 19 sú nereflexívne. Jedná sa však o
Banachove priestory, preto podľa Vety 14 c a c0 nemôžu byť reflexívne priestory.
Príklad 21 (Nereflexívnosť priestoru spojitých funkcií)
Ďalším významným príkladom nereflexívneho Banachovho priestoru je priestor
C[a, b] všetkých reálnych funkcií spojitých na danom nedegenerovanom kompaktnom
intervale [a, b] ⊆ R s normou rovnomernej konvergencie · C . Výnimočnosť
priestoru C[a, b] je zvýraznená i skutočnosťou, že tento priestor dokonca nie je ani
izometricky izomorfný s duálnym priestorom žiadneho normovaného priestoru.
Poznámka 19
Napokon ešte dodajme, že v prípade reflexívnych normovaných priestorov možno
tvrdenie vo Vete 11 obrátiť. Presnejšie, reflexívny normovaný lineárny priestor
X je separabilný práve vtedy, keď je separabilný jeho duálny priestor X′
.
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Obsah
1 Základné pojmy a vlastnosti
2 Hahnova–Banachova veta
3 Spojité lineárne funkcionály
4 Duálne priestory
5 Druhé duálne priestory
6 Banachova–Steinhausova veta
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Slabá konvergencia v normovanom priestore
Definícia 14 (Slabá ohraničenosť v normovanom priestore)
Nech X je normovaný lineárny priestor s normou · a A ⊆ X je množina.
Hovoríme, že množina A je slabo ohraničená v priestore X, ak pre každý spojitý
lineárny funkcionál f : X → R pôsobiaci na X je množina
f(A) := {f(x), x ∈ A} ohraničená v R. (108)
Poznámka 20
V kontexte Definície 14 sa ohraničenosť množiny A ⊆ X v zmysle normy · ,
t.j., existencia kladnej reálnej konštanty K s vlastnosťou
x ≤ K pre každý vektor x ∈ A, (109)
niekedy označuje termínom silná ohraničenosť množiny A v priestore X. Pomocou
nerovnosti (38) platiacej pre každé f ∈ X′
ľahko overíme, že každá silno
ohraničená množina A ⊆ X je v súlade s (108) zároveň i slabo ohraničená v
priestore X. Jedným z významných výsledkov funkcionálnej analýzy s mnohými
praktickými aplikáciami je ukázanie platnosti obráteného tvrdenia – tzv. princíp
rovnomernej ohraničenosti alebo tiež Banachova–Steinhausova veta.
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Lema 2
Nech X je normovaný lineárny priestor s normou · , X′
jeho duálny priestor
a {xk}∞
k=1 ⊆ X postupnosť vektorov. Nech existuje nedegenerovaná uzavretá
guľa B ⊆ X′
s vlastnosťou, že množina
{f(xk), f ∈ B, k ∈ N} ⊆ R je ohraničená v R. (110)
Potom postupnosť noriem { xk }∞
k=1 je ohraničená v R.
Dôkaz Lemy 2.
Nech fB ∈ X′
označuje stred gule B a r ∈ (0, ∞) jej polomer, t.j., platí
B = {f ∈ X′
, f − fB ≤ r}. (111)
Z (111) je zrejmé, že množina všetkých funkcionálov 1
r
(f − fB), f ∈ B, predstavuje
uzavretú guľu B[0, 1] v X′
so stredom v nulovom funkcionále a s jednotkovým
polomerom. V súlade s (110) nech K > 0 je také, že
|f(xk)| ≤ K pre každé f ∈ B a k ∈ N. (112)
Využitím trojuholníkovej nerovnosti následne máme
1
r
(f − fB)(xk) =
1
r
f(xk) −
1
r
fB(xk) ≤
|f(xk)|
r
+
|fB(xk)|
r
(112)
≤
2K
r
(113)
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Dôkaz Lemy 2 (pokračovanie).
pre každý funkcionál f ∈ B a každý index k ∈ N. V kontexte vyššie uvedených
pozorovaní to znamená, že guľa B[0, 1] spĺňa reláciu
|g(xk)| ≤
2K
r
pre každé g ∈ B[0, 1] a k ∈ N. (114)
Pre každý index k ∈ N teraz uvažujme spojitý lineárny funkcionál Fxk : X′
→ R
definovaný v (100). Z Vety 13 vieme, že platí xk = Fxk . Využitím formúl
(36) a (100) v kombinácii s nerovnosťu (114) potom dostávame
xk = Fxk
(36)
= sup {|Fxk (g)|, g ∈ B[0, 1]}
(100)
= sup{|g(xk)|, g ∈ B[0, 1]}
(114)
≤
2K
r
pre každé k ∈ N. (115)
Podľa (115) je teda postupnosť noriem { xk }∞
k=1 je ohraničená.
Veta 15
Nech X je normovaný lineárny priestor s normou · a {xk}∞
k=1 ⊆ X slabo
ohraničená postupnosť vektorov. Potom existuje reálne číslo K > 0 tak, že
xk ≤ K pre každé k ∈ N, t.j., postupnosť {xk}∞
k=1 je (silno) ohraničená v X.
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Dôkaz Vety 15.
Nech X′
označuje duálny priestor normovaného priestoru X. Tvrdenie dokážeme
sporom. Predpokladajme teda, že postupnosť {xk}∞
k=1 nie je ohraničená v X,
t.j., postupnosť noriem { xk }∞
k=1 nie je ohraničená v R. Vo svetle Lemy 2 to
znamená, že pre každú nedegenerovanú uzavretú guľu B ⊆ X′
je množina
MB := {f(xk), f ∈ B, k ∈ N} ⊆ R (116)
neohraničená v R. Nech B0 ⊆ X′
je nejaká uzavretá guľa s polomerom r0 = 1.
Nakoľko odpovedajúca množina MB0 v (116) nie je ohraničená, existuje index
k0 ∈ N a funkcionál f0 ∈ B0 tak, že |f0(xk0 )| > 1. Obzvlášť, funkcionál
Fxk0
∈ X′′
predstavený v (100) spĺňa |Fxk0
(f0)| > 1, a vďaka jeho spojitosti
existuje uzavretá guľa B1 ⊆ B0 so stredom v f0 a polomerom r1 < 1
2
tak, že
|f(xk0
)|
(100)
= |Fxk0
(f)| > 1 pre každý funkcionál f ∈ B1. (117)
Vyššie uvedené argumenty teraz aplikujeme na uzavretú guľu B1. Príslušná
množina MB1 opäť nie je ohraničená v R, preto (bez ujmy na všeobecnosti)
existuje index k1 > k0 a uzavretá guľa B2 ⊆ B1 s polomerom r2 < 1
4
tak, že
|f(xk1
)| > 2 pre každý funkcionál f ∈ B2. (118)
Predĺžiac túto úvahu, zostrojíme rastúcu postupnosť indexov {kn}∞
n=0 a k nej
odpovedajúcu postupnosť {Bn}∞
n=0 do seba vložených uzavretých gulí v duálnom
priestore X′
, ktoré spĺňajú relácie
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Dôkaz Vety 15 (pokračovanie).
polomer Bn je menší než
1
2n
a |f(xkn )| > n pre každý funkcionál f ∈ Bn. (119)
Duálny priestor X′
je podľa Vety 10 úplný, a tak v zhode s výsledkami teórie
metrických priestorov postupnosť {Bn} má neprázdny prienik v X′
, t.j., existuje
(jediný) spojitý lineárny funkcionál ˜f : X → R spĺňajúci ˜f ∈ ∩∞
n=0Bn. Obvzlášť,
v súlade s (119) pre funkcionál ˜f platí nerovnosť
| ˜f(xkn )| > n pre každý index n ∈ N. (120)
Relácie v (120) znamenajú, že číselná postupnosť { ˜f(xk)}∞
k=1 nie je ohraničená v
R. Podľa Definície 14 to však odporuje predpokladu slabej ohraničenosti postupnosti
{xk}∞
k=1. Preto {xk}∞
k=1 je (silno) ohraničená v X a dôkaz je hotový.
Veta 16 (Banachova–Steinhausova)
Nech X je normovaný lineárny priestor. Potom každá podmnožina A ⊆ X, ktorá
je slabo ohraničená v X, je zároveň i (silno) ohraničená v priestore X. Inými
slovami, slabá a silná ohraničenosť množín v normovaných priestoroch splývajú.
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Dôkaz Vety 16.
Nech · je norma v priestore X a nech A ⊆ X je nejaká slabo ohraničená
podmnožina. Predpokladajme, že A nie je ohraničená v X. To znamená, že
existuje postupnosť {xk}∞
k=1 ⊆ A s vlastnosťou limk→∞ xk = ∞. Zo slabej
ohraničenosti množiny A vyplýva, že i postupnosť {xk}∞
k=1 je slabo ohraničená
v X. V súlade s Vetou 15 teda musí byť táto postupnosť i (silno) ohraničená v
X, čo však zrejme odporuje jej definícii. Množina A je preto (silno) ohraničená
v priestore X a dôkaz je kompletný.
Definícia 15 (Slabá konvergencia v normovanom priestore)
Nech X je normovaný lineárny priestor s normou · . Hovoríme, že postupnosť
vektorov {xk}∞
k=1 ⊆ X slabo konverguje v priestore X k bodu x ∈ X, ak pre
každý spojitý lineárny funkcionál f : X → R pôsobiaci na X je číselná postupnosť
{f(xk)}∞
k=1 konvergentná v R s limitou f(x). Vektor x potom nazývame
slabou limitou postupnosti {xk}∞
k=1 v priestore X a píšeme xk ⇀ x pre k → ∞.
Poznámka 21
Poznamenajme, že analogicky ako v Poznámke 20 sa konvergencia v norme ·
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Poznámka 21
označuje prívlastkom silná. Je zrejmé, že v súlade s Definíciou 15 každá silno
konvergentná postupnosť {xk}∞
k=1 ⊆ X so (silnou) limitou x ∈ X je zároveň
i slabo konvergentná v X s rovnakou (slabou) limitou x. Táto skutočnosť je
dôsledkom spojitosti funkcionálov f ∈ X′
. Opačné tvrdenie však neplatí, t.j.,
slabá konvergencia vo všeobecnosti neimplikuje (silnú) konvergenciu v norme.
Veta 17
Nech X je normovaný lineárny priestor s normou · a {xk}∞
k=1 ⊆ X je postupnosť
vektorov. Potom platia nasledujúce tvrdenia.
(i) Postupnosť {xk}∞
k=1 má najviac jednu slabú limitu v X.
(ii) Ak xk ⇀ x pre k → ∞, kde x ∈ X, potom každá vybraná podpostupnosť
{xkn }∞
n=1 je slabo konvergentná v X s limitou x.
(iii) Ak {xk}∞
k=1 slabo konverguje v X, potom je (silno) ohraničená v X.
Dôkaz Vety 17.
(i) Ak by pre k → ∞ platilo xk ⇀ x a zároveň xk ⇀ y, kde x, y ∈ X sú rôzne
prvky, potom podľa Poznámky existuje spojitý lineárny funkcionál f : X → R
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Dôkaz Vety 17 (pokračovanie).
s vlastnosťou f(x) = f(y). V súlade s Definíciou 15 by teda číselná postupnosť
{f(xk)}∞
k=1 mala dve rôzne limity f(x) a f(y), čo však je zrejmý spor. Preto
postupnosť {xk}∞
k=1 môže mať najviac jednu slabú limitu v X.
(ii) Tvrdenie vyplýva z pozorovania, že pre každé f ∈ X′
je {f(xkn )}∞
n=1 vybraná
podpostupnosť konvergentnej číselnej postupnosti {f(xk)}∞
k=1 s limitou f(x).
Preto limn→∞ f(xkn ) = f(x), a tak v zhode s Definíciou 15 je v X slabo
konvergentná i postupnosť {xkn }∞
n=1 s rovnakou limitou x.
(iii) Z kombinácie Definícií 14 a 15 vyplýva, že každá postupnosť, ktorá slabo konverguje
v priestore X, je slabo ohraničená v X. Predložená postupnosť {xk}∞
k=1
je teda slabo ohraničená v priestore X, čo vďaka Banachovej–Steinhausovej
vety 16 zaručuje i jej (silnú) ohraničenosť v X.
Veta 18
Nech X je normovaný lineárny priestor, X′
jeho duálny priestor a {xk}∞
k=1 ⊆ X.
Potom postupnosť {xk}∞
k=1 je slabo konvergentná v X s limitou x ∈ X práve
vtedy, keď je (silno) ohraničená v X a existuje množina A ⊆ X′
s vlastnosťami
Lin A = X′
a lim
k→∞
g(xk) = g(x) pre každý funkcionál g ∈ A. (121)
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Dôkaz Vety 18.
Platnosť implikácie “⇒” je priamym dôsledkom Definície 15 a Vety 17(iii). Zameriame
sa preto na dôkaz opačnej implikácie “⇐”. Nech teda postupnosť {xk}∞
k=1
je ohraničená v X a nech existuje množina A ⊆ X′
spĺňajúca relácie v (121) pre
nejaký prvok x ∈ X. Obzvlášť to znamená, že existuje K > 0 také, že platí
x ≤ K, a zároveň xk ≤ K pre každý index k ∈ N, (122)
kde · je norma v priestore X. Z prvej relácie v (121) ďalej vyplýva, že pre
každý funkcionál f ∈ X′
existuje postupnosť {gl}∞
l=1 ⊆ Lin A s vlastnosťou
lim
l→∞
f − gl = 0. (123)
Poznamenajme, že vďaka druhej rovnosti v (121) každý funkcionál gl, l ∈ N,
ako konečná lineárna kombinácia prvkov množiny A, spĺňa formulu
lim
k→∞
gl(xk) = gl(x). (124)
Zvoľme teraz nejaký funkcionál f ∈ X′
. Dokážeme platnosť rovnosti
lim
k→∞
f(xk) = f(x). (125)
Nech ε > 0 je dané. Z (123) vyplýva existencia indexu lε ∈ N s vlastnosťou
f − glε <
ε
3K
. (126)
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Dôkaz Vety 18 (pokračovanie).
Následne, rovnosť (124) s l := lε zaručuje existenciu indexu kε ∈ N spĺňajúceho
|glε (x) − glε (xk)| <
ε
3
pre každé k ≥ kε. (127)
Pomocou nerovností (38), (122), (126) a (127) potom pre každé k ≥ kε máme
|f(x) − f(xk)| = [f(x) − glε (x)] + [glε (x) − glε (xk)] + [glε (xk) − f(xk)]
≤ |f(x) − glε (x)| + |glε (x) − glε (xk)| + |glε (xk) − f(xk)|
(38),(127)
< f − glε · x +
ε
3
+ f − glε · xk
(122),(126)
<
ε
3K
· K +
ε
3
+
ε
3K
· K = ε. (128)
Získaná nerovnosť (128) je však ekvivalentná s reláciou (125). Keďže funkcionál
f ∈ X′
bol zvolený ľubovoľne, v súlade s Definíciou 15 je teda postupnosť
{xk}∞
k=1 slabo konvergentná v priestore X so slabou limitou x.
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Príklad 22 (Slabá konvergencia v priestoroch s konečnou dimenziou)
V každom normovanom lineárnom priestore X s konečnou dimenziou n ∈ N
je slabá konvergencia ekvivalentná so silnou konvergenciou v príslušnej norme
· . Dokážeme túto skutočnosť. Nech {e1, . . . , en} je nejaká (algebraická)
báza priestoru X a {g1, . . . , gn} je k nej odpovedajúca duálna báza predstavená
v Príklade 10. Predpokladajme, že postupnosť {xk
}∞
k=1 ⊆ X slabo konverguje k
vektoru x ∈ X. Nech (xk
1 , xk
2, . . . , xk
n) ⊆ Rn
a (x1, x2, . . . , xn) ⊆ Rn
označujú
súradnice prvkov xk
, k ∈ N, a x v báze {e1, . . . , en}, t.j.,
xk
= xk
1 e1 + xk
2 e2 + · · · + xk
n en, k ∈ N, (129)
x = x1 e1 + x2 e2 + · · · + xn en. (130)
Podľa rovností v (88) v Príklade 10 a reprezentácií v (129)–(130) potom platí
gi(xk
) = xk
i , gi(x) = xi, k ∈ N, i ∈ {1, . . . , n}. (131)
Keďže gi ∈ X′
pre každé i ∈ {1, . . . , n}, v súlade s Definíciou 15 máme
lim
k→∞
xk
i
(131)
= lim
k→∞
gi(xk
) = gi(x)
(131)
= xi, pre každé i ∈ {1, . . . , n}. (132)
Formula (132) teda ukazuje súradnicovú konvergenciu postupnosti {xk
}∞
k=1
vzhľadom na bázu {e1, . . . , en}, z ktorej však, vďaka konečnorozmernosti
priestoru X, vyplýva konvergencia v danej norme · .
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Príklad 23 (Slabá konvergencia v lp
-priestoroch)
Pri charakterizácii slabej konvergencie v priestore lp
, kde p > 1 je pevne dané,
využijeme výsledok Vety 18. Za týmto účelom pre každé n ∈ N označme
en
:= {δkn}∞
k=1, t.j., en
= (0, . . . , 1
n−tý člen
, . . . , 0, . . . ). (133)
Je zrejmé, že postupnosť en
∈ lp
pre každé n ∈ N. Ďalej uvažujme množinu
A := {gn : lp
→ R, n ∈ N} ⊆ (lp
)′
(134)
spojitých lineárnych funkcionálov pôsobiacich na priestore lp
tvaru
gm(en
) :=
1, m = n,
0, m = n,
m, n ∈ N. (135)
Z detailnej konštrukcie duálneho priestoru (lp
)′
v Príklade 13 vyplýva, že množina
A v (134) spĺňa rovnosť Lin A = (lp
)′
a pre každý prvok x = {xk}∞
k=1 ∈ lp
platí
gn(x) = xn, n ∈ N. (136)
Pomocou Vety 18 potom nie je ťažké si premyslieť, že postupnosť {xn
}∞
n=1 ⊆ lp
,
t.j., xn
= {xn
k }∞
k=1 ∈ lp
pre každé n ∈ N, je slabo konvergentná v priestore lp
s
limitou x = {xk}∞
k=1 ∈ lp
práve vtedy, keď platia podmienky
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Príklad 23 (Slabá konvergencia v lp
-priestoroch)
(i) postupnosť {xn
}∞
n=1 je (silno) ohraničená v lp
, t.j., číselná postupnosť
{ xn
}∞
n=1 je ohraničená v R,
(ii) postupnosť {xn
}∞
n=1 po zložkách konverguje k prvku x, t.j., platí
lim
n→∞
xn
k = xk pre každé k ∈ N. (137)
Poznamenajme, že na rozdiel od predchádzajúceho Príkladu 22 v tomto prípade
slabá konvergencia nie je ekvivalentná so silnou konvergenciou. Napríklad postupnosť
{en
}∞
n=1 ⊆ lp
definovaná v (133) konverguje slabo k identicky nulovej
postupnosti, keďže je očividne (silno) ohraničená a máme
lim
n→∞
en
k
(133)
= lim
n→∞
δkn = 0 pre každé pevné k ∈ N.
Na druhej strane, postupnosť {en
}∞
n=1 nemá v priestore lp
silnú limitu, pretože
nie je ani cauchyovská vzhľadom na normu · , nakoľko pre každé dva rôzne
indexy m, n ∈ N platí em
− en
= 21/p
, ako sa možeme ľahko presvedčiť.
Príklad 24 (Slabá konvergencia v priestore l1
– Schurova veta)
V priestore l1
slabá konvergencia a (silná) konvergencia v norme splývajú.
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Príklad 25 (Slabá konvergencia v priestore spojitých funkcií)
V prípade priestoru C[a, b] všetkých reálnych funkcií spojitých na netriviálnom
kompaktnom intervale [a, b], a < b, s normou rovnomernej konvergencie · C
má slabá konvergencia obzvlášť významnú interpretáciu. Dá sa totiž ukázať, že
postupnosť funkcií {uk}∞
k=1 ⊆ C[a, b] je slabo konvergentná v priestore C[a, b] so
slabou limitou u ∈ C[a, b] práve vtedy, keď
(i) postupnosť {uk}∞
n=1 je (silno) ohraničená v C[a, b], t.j., existuje kladná
reálna konštanta K taká, že platí
|uk(x)| ≤ K pre každé k ∈ N a každé x ∈ [a, b], (138)
(ii) postupnosť {uk}∞
n=1 bodovo konverguje k funkcii u na intervale [a, b], t.j.,
lim
k→∞
uk(x) = u(x) pre každé x ∈ [a, b]. (139)
Príklad 26 (Slabá a silná konvergencia v Hilbertovom priestore)
Nech H je Hilbertov priestor s normou · (indukovanou príslušným skalárnym
súčinom). Potom postupnosť {xk}∞
k=1 ⊆ H konverguje (silno) k vektoru x ∈ H
práve vtedy, keď je slabo konvergentná v H s limitou x a limk→∞ xk = x .
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Pojem ∗-slabej konvergencie v duálnom priestore
Definícia 16 (∗-slabá ohraničenosť v duálnom priestore)
Nech X je normovaný lineárny priestor, X′
jeho duálny priestor a A ⊆ X′
je
množina. Hovoríme, že množina A je ∗-slabo ohraničená v priestore X′
, ak pre
každý vektor x ∈ X je množina
Ax := {f(x), f ∈ A} ohraničená v R. (140)
Poznámka 22
S ohľadom na Definíciu 16 nie je ťažké si uvedomiť, že ∗-slabá ohraničenosť
podmnožín duálneho priestoru X′
je pojem “hrubší” než (silná) ohraničenosť v
norme priestoru X′
. Presnejšie, každá silno ohraničená množina A ⊆ X′
je zároveň
i ∗-slabo ohraničená v priestore X′
. Ak totiž pre nejaké K > 0 je f ≤ K
pre každý funkcionál f ∈ A, potom na základe nerovnosti (38) máme
|f(x)|
(38)
≤ f · x ≤ K x pre každé x ∈ X. (141)
Číselná množina Ax v (140) je teda pre každý daný vektor x ∈ X ohraničená, a
tak podľa Definície 16 je A ∗-slabo ohraničená v X′
. Opačné tvrdenie však
neplatí, t.j., ∗-slabá ohraničenosť v X′
v prípade všeobecného normovaného
lineárneho priestoru X neimplikuje (silnú) ohraničenosť v norme priestoru X′
.
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Príklad 27
Uvažujme reálny lineárny priestor X tvaru
X := x = {xk}∞
k=1 ⊆ l1
, x má len konečne veľa nenulových členov , (142)
na ktorom uvažujeme normu priestoru l1
, t.j., x = ∞
k=1 |xk| pre x ∈ X. Nech
X′
je odpovedajúci duálny priestor a nech A označuje množinu funkcionálov
fn : X → R, n ∈ N, s predpisom
fn(x) := n xn, n ∈ N, x = {xk}∞
k=1 ⊆ X. (143)
Nie je ťažké overiť, že pre každé n ∈ N je zobrazenie fn v (143) spojitý lineárny
funkcionál na X, t.j., A ⊆ X′
. Zvoľme nejaký prvok x = {xk}∞
k=1 ⊆ X a nech
Kx := max
k∈N
|xk|, nx := max{k ∈ N, xk = 0}. (144)
Využitím relácií v (143) a (144) potom pre každý index n ∈ N dostávame
|fn(x)|
(143)
= n |xn|
(144)
=
n |xn|, n ≤ nx,
0, n > nx,
(144)
≤ nx Kx, (145)
a teda odpovedajúca množina Ax v (140) je ohraničená. V súlade s Definíciou 16
to znamená, že predložená množina A je ∗-slabo ohraničená v X′
. Nie je však
ohraničená v X′
, nakoľko pre každé n ∈ N je |fn(en
)| = n, kde en
∈ X je
postupnosť definovaná v (133). A keďže en
= 1, podľa (37) platí fn ≥ n.
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Lema 3
Nech X je normovaný lineárny priestor s normou · , X′
jeho duálny priestor a
{fk}∞
k=1 ⊆ X′
postupnosť funkcionálov. Nech existuje nedegenerovaná uzavretá
guľa B ⊆ X s vlastnosťou, že množina
{fk(x), x ∈ B, k ∈ N} ⊆ R je ohraničená v R. (146)
Potom postupnosť noriem { fk }∞
k=1 je ohraničená v R.
Veta 19
Nech X je Banachov priestor, t.j., úplný normovaný lineárny priestor, X′
jeho
duálny priestor s normou · a {fk}∞
k=1 ⊆ X′
∗-slabo ohraničená postupnosť
funkcionálov. Potom existuje reálne číslo K > 0 tak, že fk ≤ K pre každé
k ∈ N, t.j., postupnosť {fk}∞
k=1 je (silno) ohraničená v X′
.
Veta 20 (Banachova–Steinhausova)
Nech X je Banachov priestor a X′
jeho duálny priestor. Potom každá podmnožina
A ⊆ X′
, ktorá je ∗-slabo ohraničená v X′
, je zároveň i (silno) ohraničená
v norme priestoru X′
. Inými slovami, ∗-slabá a silná ohraničenosť podmnožín v
duálnych priestoroch Banachových priestorov splývajú.
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Poznámka 23
Poznamenajme, že dôkazy Lemy 3 a Viet 19 a 20 sú založené na formálne
rovnakých myšlienkach ako dôkazy Lemy 2 a Viet 15 a 16 týkajúce sa slabej
ohraničenosti v priestore X. Obzvlášť, v tvrdeniach Viet 19 a 20 je kľúčový
predpoklad, že východiskový priestor X je Banachov. Úplnosť normovaného
priestoru X teda zaručuje ekvivalenciu ∗-slabej a silnej ohraničenosti v duálnom
priestore X′
. Táto skutočnosť je názorne ilustrovaná v Príklade 27, kde skúmaný
priestor X definovaný v (142) nie je Banachov (platí totiž X = l1
X, ako sme
diskutovali v jednom z príkladov v prednáškach o lineárnych priestoroch).
Definícia 17 (∗-slabá konvergencia v duálnom priestore)
Nech X je normovaný lineárny priestor a X′
jeho duálny priestor s normou
· . Hovoríme, že postupnosť funkcionálov {fk}∞
k=1 ⊆ X′
∗-slabo konverguje
v priestore X′
k funkcionálu f ∈ X′
, ak pre každý vektor x ∈ X je číselná
postupnosť {fk(x)}∞
k=1 konvergentná v R s limitou f(x). Funkcionál f potom
označujeme ako ∗-slabú limitu postupnosti {fk}∞
k=1 v duálnom priestore X′
a
píšeme fk
∗
⇀ f pre k → ∞.
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Poznámka 24
Analogicky ako v Poznámke 21 každá postupnosť {fk}∞
k=1 ⊆ X′
funkcionálov
konvergentná v norme priestoru X′
s limitou f ∈ X′
je zároveň i ∗-slabo konvergentná
v priestore X′
s rovnakou (slabou) limitou f. Tento fakt vyplýva z
nerovnosti (38), podľa ktorej platí
|fk(x) − f(x)|
(38)
≤ fk − f · x pre každé x ∈ X. (147)
Ak teda postupnosť fk → f pre k → ∞ v norme duálneho priestoru X′
, t.j.,
limk→∞ fk −f = 0, potom podľa (147) máme limk→∞ |fk(x)−f(x)| = 0 pre
každý vektor x ∈ X. V kontexte Definície 17 to potom znamená, že postupnosť
{fk}∞
k=1 konverguje ∗-slabo k funkcionálu f, t.j., fk
∗
⇀ f pre k → ∞. Opačná
implikácia samozrejme vo všeobecnosti neplatí, ako ukazujeme v Príklade 28.
Veta 21
Nech X je Banachov priestor, X′
jeho duálny priestor a {fk}∞
k=1 ⊆ X′
. Potom
postupnosť {fk}∞
k=1 je ∗-slabo konvergentná v X′
s limitou f ∈ X′
práve vtedy,
keď je (silno) ohraničená v X′
a existuje množina A ⊆ X s vlastnosťami
Lin A = X a lim
k→∞
fk(x) = f(x) pre každý vektor x ∈ A. (148)
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Príklad 28
Uvažujme normovaný lineárny priestor X := c0. Z Príkladu 14 vieme, že odpovedajúci
duálny priestor X′
je izometricky izomorfný s priestorom l1
, pričom
príslušná korešpondencia má tvar
X′
∋ f ↔ λ = {λk}∞
k=1 ∈ l1
, f(x) =
∞
k=1
λk xk, x = {xk}∞
k=1 ∈ X. (149)
Nech {fn}∞
n=1 ∈ X′
je postupnosť funkcionálov, ktorá v kontexte ekvivalencie
(149) odpovedá postupnosti {en
}∞
n=1, kde en
:= {δkn}∞
k=1 ∈ l1
pre každé n ∈ N.
Každý z funkcionálov fn, n ∈ N, teda spĺňa
fn(x)
(149)
= xn pre každé x = {xk}∞
k=1 ∈ X. (150)
Avšak limk→∞ xk = 0 pre každé {xk}∞
k=1 ∈ X, a tak z (150) vyplýva
lim
n→∞
fn(x)
(150)
= lim
n→∞
xn = 0 pre každý prvok x = {xk}∞
k=1 ∈ X. (151)
Podľa Definície 17 teda postupnosť {fn}∞
n=1 ∗-slabo konverguje v duálnom
priestore X′
k nulovému funkcionálu, t.j., fk
∗
⇀ 0 pre k → ∞. Nejedná sa
však o silnú konvergenciu v X′
, pretože pre každý daný index n ∈ N voľbou
x := {δkn}∞
k=1 ∈ X máme fn(x) = 1, a keďže x X = 1, platí fn ≥ 1.
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Príklad 29
Z Príkladov 3 a 8 vieme, že pre danú reálnu funkciu y spojitú na kompaktnom
intervale I := [−1, 1] je zobrazenie f definované predpisom
f(u) :=
1
−1
u(x) y(x) dx, kde u je funkcia spojitá na I,
spojitý lineárny funkcionál pôsobiaci na normovanom priestore X := C(I) s normou
rovnomernej konvergencie · C . Uvažujme postupnosť spojitých funkcií
{yk}∞
k=1 ⊆ X spĺňajúcich pre každé k ∈ N vlastnosti
yk(x) ≥ 0, x ∈ I, yk ≡ 0 na I \ −
1
k
,
1
k
,
1
−1
yk(x) dx = 1. (152)
Súbor funkcií yk, k ∈ N, určuje postupnosť funkcionálov {fk}∞
k=1 ⊆ X′
tvaru
fk(u) :=
1
−1
u(x) yk(x) dx, u ∈ X. (153)
Pomocou (153), formuly (44) a podmienok v (152) nie je ťažké overiť, že
fk
(153),(44)
=
1
−1
|yk(x)| dx
(152)
=
1/k
−1/k
yk(x) dx = 1. (154)
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Príklad 29
Dokážeme, že postupnosť {fk}∞
k=1 konverguje ∗-slabo v duálnom priestore X′
k
funkcionálu δ0 ∈ X′
z Príkladu 3 s predpisom
δ0(u) := u(0), u ∈ X. (155)
Skutočne, pre každý index k ∈ N a každý prvok u ∈ X postupne platí
|fk(u) − δ0(u)|
(153),(155)
=
1
−1
u(x) yk(x) dx − u(0)
(152)
=
1
−1
[u(x) − u(0)] yk(x) dx
≤
1
−1
|u(x) − u(0)| yk(x) dx
(152)
=
1/k
−1/k
|u(x) − u(0)| yk(x) dx
= |u(ηk) − u(0)|
1/k
−1/k
yk(x) dx
(152)
= |u(ηk) − u(0)| pre isté ηk ∈ −
1
k
,
1
k
. (156)
V predposlednom kroku v (156) sme využili kombináciu vety o strednej hodnote
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Príklad 29
a Bolzanovej vety pre spojitú funkciu |u − u(0)| na kompaktnom intervale
− 1
k
, 1
k
. A keďže postupnosť {ηk}∞
k=1 očividne spĺňa limk→∞ ηk = 0, máme
lim
k→∞
|fk(u) − δ0(u)|
(156)
= lim
k→∞
|u(ηk) − u(0)| = |u(0) − u(0)| = 0 pre každé u ∈ X,
a tak podľa Definície 17 platí fk
∗
⇀ δ0 pre k → ∞. Naviac, platí δ0 = 1,
ako sa môžeme ľahko presvedčiť. Na druhej strane, dá sa ukázať, že uvažovaná
postupnosť {fk}∞
k=1 pre žiadnu voľbu funkcií yk, k ∈ N, spĺňajúcich vlastnosti
(152) nekonverguje silno, t.j., v norme duálneho priestoru X′
. Dôkaz je založený
na pozorovaní, že postupnosť {fk}∞
k=1 nie je cauchyovská v norme priestoru X′
,
a teda nemôže byť ani (silno) konvergentná v X′
.
Poznámka 25 (Silná a ∗-slabá topológia v duálnom priestore)
V súlade s prezentovanou teóriu máme teda v duálnom priestore X′
každého
normovaného lineárneho priestoru X s normou · zavedené dve topológie – silnú
a ∗-slabú. Nech A ⊆ X′
je nejaká podmnožina spojitých lineárnych funkcionálov.
Podľa Definície 8 je množina A silno ohraničená v X′
, t.j., ohraničená v silnej
topológii, ak existuje kladná reálna konštanta K taká, že f ≤ K pre každé
f ∈ A. Nie je ťažké ukázať, že táto skutočnosť je ekvivalentná s vlastnosťou
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Poznámka 25 (Silná a ∗-slabá topológia v duálnom priestore)
pre každú ohraničenú množinu B ⊆ X je {f(x), f ∈ A, x ∈ B} ohraničená. (157)
Analogicky možno v zhode s Definíciou 16 ∗-slabú ohraničenosť množiny A v
X′
, t.j., v ∗-slabej topológii, charakterizovať vlastnosťou
pre každú konečnú množinu B ⊆ X je {f(x), f ∈ A, x ∈ B} ohraničená. (158)
Z relácií v (157) a (158) následne vyplýva tvar okolí prvkov duálneho priestoru
X′
jednotlivých topológiách. Konkrétne, pre každé ε > 0 a f ∈ X′
máme
ε-okolie prvku f v silnej topológii : {g ∈ X′
, g − f < ε}, (159)
ε-okolie prvku f v ∗-slabej topológii : {g ∈ X′
, |g(x) − f(x)| < ε, x ∈ B}
pre nejakú konečnú množinu B ⊆ X. (160)
Ďalej vieme, že silná konvergencia v duálnom priestore X′
, t.j., konvergencia
vzhľadom na normu · , je indukovaná metrikou, konkrétne ρ(f, g) := f − g ,
f, g ∈ X′
. Priestor X′
je teda ako topologický lineárny priestor vzhľadom na silnú
topológiu metrizovateľný. Dá sa ukázať, že v prípade separabilného priestoru X
je i ∗-slabá konvergencia indukovaná istou metrikou. Presnejšie, ak B′
[0, 1] ⊆ X′
je uzavretá jednotková guľa v duálnom priestore X′
, potom ∗-slabá konvergencia
v B′
[0, 1] je ekvivalentná s konvergenciou v metrike ρ′
tvaru
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Poznámka 25 (Silná a ∗-slabá topológia v duálnom priestore)
ρ′
(f, g) :=
∞
k=1
|f(xk) − g(xk)|
2k
, f, g ∈ B′
[0, 1], (161)
kde {xk}∞
k=1 ⊆ B[0, 1] je spočítateľná množina hustá v uzavretej jednotkovej guli
B[0, 1] ⊆ X. To znamená, že množina B′
[0, 1] je metrizovateľný topologický
priestor vzhľadom na ∗-slabú topológiu. Dodajme, že tento záver platí pre každú
uzavretú guľu B′
[0, r], r > 0, resp. pre každú ohraničenú množinu A ⊆ X′
.
Poznámka 26
Poznamenajme, že v duálnom priestore X′
môžeme okrem ∗-slabej ohraničenosti
a konvergencie zavedených v Definíciách 16 a 17 uvažovať i “klasickú” slabú
ohraničenosť a konvergenciu v zmysle Definícií 14 a 15, v ktorých budeme X′
chápať ako východiskový normovaný lineárny priestor a druhý duálny priestor
X′′
ako k nemu odpovedajúci duálny priestor. Konkrétne, množina spojitých
lineárnych funkcionálov A ⊆ X′
je slabo ohraničená v priestore X′
, ak pre každý
spojitý lineárny funkcionál F : X′
→ R pôsobiaci na X′
je množina
F (A) := {F (f), f ∈ A} ohraničená v R. (162)
Podobne, postupnosť {fk}∞
k=1 ⊆ X′
je slabo konvergentná v X′
so slabou limitou
f ∈ X′
, ak pre každý funkcionál F ∈ X′′
je limk→∞ F(fk) = F(f).
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Poznámka 26
Vďaka kanonickému vnoreniu π v (105) a (100) zo slabej ohraničenosti, resp.
konvergencie, vyplýva ∗-slabá ohraničenosť, resp. konvergencia. Skutočne, ak
množina A ⊆ X′
je slabo ohraničená v X′
, potom pre každé x ∈ X je množina
Ax
(140)
= {f(x), f ∈ A}
(100)
= {Fx(f), f ∈ A}
(162)
= Fx(A) (163)
ohraničená v R, a tak podľa Definície 16 je A ∗-slabo ohraničená v X′
. Analogicky,
ak postupnosť {fk}∞
k=1 ⊆ X′
slabo konverguje v X′
k funkcionálu f ∈ X′
,
potom pre každý vektor x ∈ X máme
lim
k→∞
fk(x)
(100)
= lim
k→∞
Fx(fk) = Fx(f)
(100)
= f(x), (164)
čo v súlade s Definíciou 17 znamená, že postupnosť {fk}∞
k=1 ∗-slabo konverguje
s ∗-slabou limitou f v priestore X′
. Platia teda nasledujúce relácie
silná topológia v duálnom priestore X′
⇓
slabá topológia v duálnom priestore X′
⇓
∗-slabá topológia v duálnom priestore X′
.
Napokon dodajme, že slabá a ∗-slabá topológia v X′
splývajú práve vtedy, keď
priestor X je reflexívny, ako možno vidieť prostredníctvom Definície 13.
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Veta 22
Nech X je separabilný normovaný lineárny priestor, X′
jeho duálny priestor a
{fk}∞
k=1 ⊆ X′
(silno) ohraničená postupnosť. Potom z {fk}∞
k=1 je možné vybrať
podpostupnosť, ktorá ∗-slabo konverguje v X′
.
Dôkaz Vety 22.
Nech A := {xk}∞
k=1 ⊆ X je spočítateľná množina hustá v priestore X, t.j.,
platí A = X v norme · priestoru X. Keďže postupnosť {fk}∞
k=1 je (silno)
ohraničená v duálnom priestore X′
, existuje K > 0 s vlastnosťou
fk ≤ K pre každý index k ∈ N. (165)
Následne, využijúc nerovnosť (38), dostávame reláciu
|fk(xl)|
(38)
≤ fk · xl ≤ K xl pre každú dvojicu indexov k, l ∈ N. (166)
To znamená, že pre každý daný vektor xl, l ∈ N, je číselná postupnosť
{fk(xl)}∞
k=1 ohraničená v euklidovskom priestore E. Obzvlášť, číselná postupnosť
{fk(x1)}∞
k=1 je ohraničená v E, a preto podľa Bolzanovej–Weierstrassovej
vety je možné z nej vybrať konvergentnú podpostupnosť. Inými slovami, z postupnosti
funkcionálov {fk}∞
k=1 je možné vybrať podpostupnosť {f1
k }∞
k=1 tak, že
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Dôkaz Vety 22 (pokračovanie).
postupnosť {f1
k (x1)}∞
k=1 konverguje v E. Nech L1 ∈ R označuje jej limitu, t.j.,
lim
k→∞
f1
k (x1) =: L1. (167)
Postupnosť {f1
k }∞
k=1 je však tiež (silno) ohraničená v X′
, a tak i číselná postupnosť
{f1
k (x2)}∞
k=1 je ohraničená v E. Preto je možné z nej vybrať konvergentnú
podpostupnosť, t.j., z postupnosti funkcionálov {f1
k }∞
k=1 je možné vybrať podpostupnosť
{f2
k }∞
k=1 tak, že {f2
k (x2)}∞
k=1 konverguje v E s limitou
lim
k→∞
f2
k (x2) =: L2. (168)
V súlade s rovnosťou (167) je zároveň konvergentná i postupnosť {f2
k (x1)}∞
k=1
(ako vybraná z postupnosti {f1
k (x1)}∞
k=1) s limitou L1, teda limk→∞ f2
k (x1) =
L1. V podobnom duchu pokračujeme ďalej. Zostavíme tak postupnosť
f1
1 , f1
2 , f1
3 , . . . , f1
k , . . . ,
f2
1 , f2
2 , f2
3 , . . . , f2
k , . . . ,
f3
1 , f3
2 , f3
3 , . . . , f3
k , . . . ,
...
...
...
...
fn
1 , fn
2 , fn
3 , . . . , fn
k , . . . ,
...
...
...
...
(169)
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Dôkaz Vety 22 (pokračovanie).
ktorá spĺňa nasledujúce vlastnosti.
(i) Pre každé n ∈ N je postupnosť {fn+1
k }∞
k=1 vybraná z postupnosti {fn
k }∞
k=1.
(ii) Pre každý daný index n ∈ N je každá z číselných postupností {fn
k (xl)}∞
k=1,
kde l ∈ {1, . . . , n}, konvergentná, pričom pre každé pevné l ∈ N platí
lim
k→∞
fn
k (xl) =: Ll pre každé n ≥ l. (170)
V schéme (169) teraz uvažujme diagonálnu vybranú podpostupnosť {fk
k }∞
k=1 a
dokážeme, že bodovo konverguje v každom vektore xl, l ∈ N. Skutočne, pre
každý pevne zvolený index l ∈ N je číselná postupnosť {fk
k (xl)}∞
k=l vybraná
podpostupnosť z konvergentnej postupnosti {fl
k(xl)}∞
k=1 s limitou Ll, v súlade
s (170). Preto aj {fk
k (xl)}∞
k=l je konvergentná s rovnakou limitou Ll. Následne
dostávame i konvergenciu číselnej postupnosti {fk
k (xl)}∞
k=1 a rovnosť
lim
k→∞
fk
k (xl) = Ll pre každé l ∈ N. (171)
A keďže podľa predpokladov množina A = {xk}∞
k=1 spĺňa Lin A = X, ako
možno ľahko overiť, podľa Vety 21 je vybraná podpostupnosť funkcionálov
{fk
k }∞
k=1 ∗-slabo konvergentná v duálnom priestore X′
.
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Poznámka 27
Nech X je separabilný normovaný lineárny priestor s normou · a X′
jeho
duálny priestor. V prednáškach o metrických priestoroch sme zaviedli pojem
kompaktnosti, resp. prekompaktnosti podmnožín metrického priestoru. Keďže v
súlade s Poznámkou 25 každá silno ohraničená množina A ⊆ X′
je vzhľadom na
∗-slabú topológiu v X′
metrickým priestorom s metrikou definovanou v (161),
môžeme uvažovať o tzv. ∗-slabej kompaktnosti, resp. ∗-slabej prekompaktnosti
množiny A. Ohraničená množina A ⊆ X′
sa označuje ako ∗-slabo uzavretá v
X′
, ak pre každú postupnosť {fk}∞
k=1 ⊆ A ∗-slabo konvergentnú v X′
jej ∗-slabá
limita f ∈ A. Inými slovami, ∗-slabý uzáver množiny A v X′
splýva s A. Ďalej,
ohraničenú množinu A ⊆ X′
budeme nazývať ∗-slabo (spočítateľne) kompaktnú,
ak každá jej nekonečná podmnožina obsahuje ∗-slabo konvergentnú postupnosť
s limitou v A. Napokon, (silno) ohraničená množina A ⊆ X′
sa nazýva ∗-slabo
prekompaktná, ak jej ∗-slabý uzáver v X′
je ∗-slabo kompaktný. Pre ∗-slabú
kompaktnosť (silno) ohraničených podmnožín duálneho priestoru X′
separabilného
priestoru X platia analogické vlastnosti ako v prípade “klasickej” kompaktnosti
v metrických priestoroch. Obzvlášť, každá ∗-slabo kompaktná podmnožina
A ⊆ X′
je ∗-slabo uzavretá a ∗-slabo ohraničená v duálnom priestore X′
. Dodajme,
že kompaktnosť, resp. prekompaktnosť podmnožín duálneho priestoru
X′
vzhľadom na metriku ρ(f, g) := f − g , f, g ∈ X′
, sa niekedy označuje
prívlastkom silná kompaktnosť, resp. silná prekompaktnosť.
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Veta 23
Nech X je separabilný normovaný lineárny priestor, X′
jeho duálny priestor a
A ⊆ X′
(silno) ohraničená množina. Potom A je ∗-slabo prekompaktná množina.
Dôkaz Vety 23.
Tvrdenie je priamym dôsledkom Vety 22 a komentára v Poznámke 27. Označme
symbolom A
∗
∗-slabý uzáver množiny A v duálnom priestore X′
. Potom množina
A
∗
je (silne) ohraničená a ∗-slabo uzavretá v X′
. Následne, podľa Vety 22, každá
nekonečná podmnožina B ⊆ A
∗
obsahuje ∗-slabo konvergentnú postupnosť,
ktorej limita patrí do A
∗
. V zhode s Poznámkou 27 je teda množina A
∗
∗-slabo
kompaktná, a teda A je ∗-slabo prekompaktná množina. Dôkaz je úplný.
Dôsledok 5
Nech X je separabilný normovaný priestor a X′
jeho duálny priestor. Potom
každá ohraničená a ∗-slabo uzavretá množina A ⊆ X′
je ∗-slabo kompaktná.
Dôkaz Dôsledku 5.
Výsledok vyplýva z dôkazu Vety 23, nakoľko v tomto prípade platí A = A
∗
.
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Lema 4
Nech X je separabilný normovaný lineárny priestor, X′
jeho duálny priestor a
B′
⊆ X′
(silno) uzavretá guľa. Potom B′
je ∗-slabo uzavretá množina v X′
.
Dôkaz Lemy 4.
Je zrejmé, že bez ujmy na všeobecnosti stačí uvedenú vlastnosť dokázať iba pre
uzavreté gule so stredom v nulovom funkcionále, t.j.,
B′
:= B′
[0, r] = {f ∈ X′
, f ≤ r}, r ∈ (0, ∞), (172)
kde · norma funkcionálu definovaná v (36). Zvoľme teda nejaké r > 0
a nech {fk}∞
k=1 ⊆ B′
[0, r] je ∗-slabo konvergentná postupnosť funkcionálov s
limitou f ∈ X′
. Ukážeme, že funkcionál f ∈ B′
[0, r], t.j., že f ≤ r. Podľa
Definície 17 pre každý daný vektor x ∈ X spĺňajúci x ≤ 1 platí
lim
k→∞
fk(x) = f(x), a teda lim
k→∞
|fk(x)| = |f(x)|. (173)
Ďalej, z (36) a (172) vyplýva, že |fk(x)| ≤ fk ≤ r pre každý index k ∈ N
a každé x ∈ X s x ≤ 1. Následne, využitím (173) dostávame nerovnosť
|f(x)| ≤ r pre každé x ∈ X s x ≤ 1. To napokon podľa (36) znamená, že
f ≤ r, t.j., funkcionál f ∈ B′
[0, r]. V súlade s Poznámkou 27 je teda (silno)
uzavretá guľa B′
[0, r] i ∗-slabo uzavretá v duálnom priestore X′
.
Základy Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus
Dôsledok 6 (Banachova–Alaogluova veta)
Nech X je separabilný normovaný lineárny priestor a X′
jeho duálny priestor.
Potom každá uzavretá guľa B′
⊆ X′
je ∗-slabo kompaktná množina.
Dôkaz Dôsledku 6.
Platnosť tvrdenia je založená na kombinácii výsledkov Dôsledku 5 a Lemy 4.
Konkrétne, každá uzavretá guľa B′
⊆ X′
je zrejme (silne) ohraničená a podľa
Lemy 4 i ∗-slabo uzavretá v duálnom priestore X′
. Podľa Dôsledku 5 je potom
B′
∗-slabo kompaktná množina a dôkaz je hotový.
Poznámka 28 (Eberleinova–Šmuljanova veta)
Pojem slabej a ∗-slabej konvergencie v normovaných a duálnych priestoroch má
rozsiahle využitie v konkrétnych aplikáciach v mnohých oblastiach matematiky.
Na záver tejto prednášky uvedieme jednu takúto aplikáciu týkajúcu sa charakterizácie
vlastnosti reflexívnosti Banachových priestorov. Toto tvrdenie sa v literatúre
označuje ako Eberleinova–Šmuljanova veta. Konkrétne, Banachov priestor
X je reflexívny práve vtedy, keď z každej (silno) ohraničenej postupnosti v X je
možné vybrať slabo konvergentnú podpostupnosť (v zmysle Definície 15).