M6201 Příklady - lineární systémy
Lenka Přibylová
pribylova@math.muni.cz
Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity
8. února 2020
Příklad
Najděte obecné řešení lineárního systému
˙x1 = 7x1 + 3x2
˙x2 = x1 + 5x2.
L. Přibylová ·Příklady ·8. února 2020 2 / 14
Příklad
Najděte obecné řešení lineárního systému
˙x1 = 7x1 + 3x2
˙x2 = x1 + 5x2.
Řešení:
A =
7 3
1 5
L. Přibylová ·Příklady ·8. února 2020 2 / 14
Příklad
Najděte obecné řešení lineárního systému
˙x1 = 7x1 + 3x2
˙x2 = x1 + 5x2.
Řešení:
A =
7 3
1 5
det(A − λI) =
7 − λ 3
1 5 − λ
= λ2 − 12λ + 32 = (λ − 8)(λ − 4) = 0
L. Přibylová ·Příklady ·8. února 2020 2 / 14
Příklad
Najděte obecné řešení lineárního systému
˙x1 = 7x1 + 3x2
˙x2 = x1 + 5x2.
Řešení:
A =
7 3
1 5
det(A − λI) =
7 − λ 3
1 5 − λ
= λ2 − 12λ + 32 = (λ − 8)(λ − 4) = 0
λ1 = 8 :
−1 3
1 −3
v1 =
3
1
λ2 = 4 :
3 3
1 1
v2 =
1
−1
, T = (v1, v2) =
3 1
1 −1
.
L. Přibylová ·Příklady ·8. února 2020 2 / 14
x = Tu ⇒ ˙x = Ax ⇒ T ˙u = ATu
˙u = T−1
ATu = 1
4
1 1
1 −3
7 3
1 5
3 1
1 −1
u
˙u1
˙u2
=
8 0
0 4
u1
u2
˙u1 = 8u1
˙u2 = 4u2
L. Přibylová ·Příklady ·8. února 2020 3 / 14
x = Tu ⇒ ˙x = Ax ⇒ T ˙u = ATu
˙u = T−1
ATu = 1
4
1 1
1 −3
7 3
1 5
3 1
1 −1
u
˙u1
˙u2
=
8 0
0 4
u1
u2
˙u1 = 8u1
˙u2 = 4u2
Řešení: u1(t) = c1e8t, u2(t) = c2e4t
L. Přibylová ·Příklady ·8. února 2020 3 / 14
x = Tu ⇒ ˙x = Ax ⇒ T ˙u = ATu
˙u = T−1
ATu = 1
4
1 1
1 −3
7 3
1 5
3 1
1 −1
u
˙u1
˙u2
=
8 0
0 4
u1
u2
˙u1 = 8u1
˙u2 = 4u2
Řešení: u1(t) = c1e8t, u2(t) = c2e4t
x = T
u1
u2
= (v1, v2)
c1e8t
c2e4t = c1e8t 3
1
+ c2e4t 1
−1
=
3c1e8t + c2e4t
c1e8t − c2e4t .
L. Přibylová ·Příklady ·8. února 2020 3 / 14
˙u1 = 8u1
˙u2 = 4u2
L. Přibylová ·Příklady ·8. února 2020 4 / 14
˙u1 = 8u1
˙u2 = 4u2
x = T
u1
u2
=
3 1
1 −1
u1
u2
L. Přibylová ·Příklady ·8. února 2020 4 / 14
˙u1 = 8u1
˙u2 = 4u2
x = T
u1
u2
=
3 1
1 −1
u1
u2
u1
u2
0
L. Přibylová ·Příklady ·8. února 2020 4 / 14
˙u1 = 8u1
˙u2 = 4u2
x = T
u1
u2
=
3 1
1 −1
u1
u2
u1
u2
0
0
L. Přibylová ·Příklady ·8. února 2020 4 / 14
Příklad
Najděte obecné řešení lineárního systému
˙x1 = 4x1 + 5x2
˙x2 = −x1 − 2x2.
L. Přibylová ·Příklady ·8. února 2020 5 / 14
Příklad
Najděte obecné řešení lineárního systému
˙x1 = 4x1 + 5x2
˙x2 = −x1 − 2x2.
Řešení:
A =
4 5
−1 −2
L. Přibylová ·Příklady ·8. února 2020 5 / 14
Příklad
Najděte obecné řešení lineárního systému
˙x1 = 4x1 + 5x2
˙x2 = −x1 − 2x2.
Řešení:
A =
4 5
−1 −2
det(A − λI) =
4 − λ 5
−1 −2 − λ
= λ2 − 2λ − 3 = (λ − 3)(λ + 1) = 0
L. Přibylová ·Příklady ·8. února 2020 5 / 14
Příklad
Najděte obecné řešení lineárního systému
˙x1 = 4x1 + 5x2
˙x2 = −x1 − 2x2.
Řešení:
A =
4 5
−1 −2
det(A − λI) =
4 − λ 5
−1 −2 − λ
= λ2 − 2λ − 3 = (λ − 3)(λ + 1) = 0
λ1 = 3 :
1 5
−1 −5
v1 =
5
−1
λ2 = −1 :
5 5
−1 −1
v2 =
1
−1
,
T = (v1, v2) =
5 1
−1 −1
.
L. Přibylová ·Příklady ·8. února 2020 5 / 14
x = Tu ⇒ ˙x = Ax ⇒ T ˙u = ATu
˙u = T−1
ATu = 1
4
1 1
−1 −5
4 5
−1 −2
5 1
−1 −1
u
˙u1
˙u2
=
3 0
0 −1
u1
u2
˙u1 = 3u1
˙u2 = −u2
L. Přibylová ·Příklady ·8. února 2020 6 / 14
x = Tu ⇒ ˙x = Ax ⇒ T ˙u = ATu
˙u = T−1
ATu = 1
4
1 1
−1 −5
4 5
−1 −2
5 1
−1 −1
u
˙u1
˙u2
=
3 0
0 −1
u1
u2
˙u1 = 3u1
˙u2 = −u2
Řešení: u1(t) = c1e3t, u2(t) = c2e−t
L. Přibylová ·Příklady ·8. února 2020 6 / 14
x = Tu ⇒ ˙x = Ax ⇒ T ˙u = ATu
˙u = T−1
ATu = 1
4
1 1
−1 −5
4 5
−1 −2
5 1
−1 −1
u
˙u1
˙u2
=
3 0
0 −1
u1
u2
˙u1 = 3u1
˙u2 = −u2
Řešení: u1(t) = c1e3t, u2(t) = c2e−t
x = T
u1
u2
= (v1, v2)
c1e3t
c2e−t = c1e3t 5
−1
+ c2e−t 1
−1
=
5c1e3t + c2e−t
−c1e3t − c2e−t .
L. Přibylová ·Příklady ·8. února 2020 6 / 14
˙u1 = 3u1
˙u2 = −u2
L. Přibylová ·Příklady ·8. února 2020 7 / 14
˙u1 = 3u1
˙u2 = −u2
x = T
u1
u2
=
5 1
−1 −1
u1
u2
L. Přibylová ·Příklady ·8. února 2020 7 / 14
˙u1 = 3u1
˙u2 = −u2
x = T
u1
u2
=
5 1
−1 −1
u1
u2
u1
u2
0
L. Přibylová ·Příklady ·8. února 2020 7 / 14
˙u1 = 3u1
˙u2 = −u2
x = T
u1
u2
=
5 1
−1 −1
u1
u2
u1
u2
0
0
L. Přibylová ·Příklady ·8. února 2020 7 / 14
Příklad
Najděte obecné řešení lineárního systému
˙x1 = −x1 + 6x2
˙x2 = 2x1 + 3x2.
L. Přibylová ·Příklady ·8. února 2020 8 / 14
Příklad
Najděte obecné řešení lineárního systému
˙x1 = −x1 + 6x2
˙x2 = 2x1 + 3x2.
Řešení:
A =
−1 6
2 3
L. Přibylová ·Příklady ·8. února 2020 8 / 14
Příklad
Najděte obecné řešení lineárního systému
˙x1 = −x1 + 6x2
˙x2 = 2x1 + 3x2.
Řešení:
A =
−1 6
2 3
det(A − λI) =
−1 − λ 6
2 3 − λ
= λ2 − 2λ − 15 = (λ − 5)(λ + 3) = 0
L. Přibylová ·Příklady ·8. února 2020 8 / 14
Příklad
Najděte obecné řešení lineárního systému
˙x1 = −x1 + 6x2
˙x2 = 2x1 + 3x2.
Řešení:
A =
−1 6
2 3
det(A − λI) =
−1 − λ 6
2 3 − λ
= λ2 − 2λ − 15 = (λ − 5)(λ + 3) = 0
λ1 = 5 :
−6 6
2 −2
v1 =
1
1
λ2 = −3 :
2 6
2 6
v2 =
3
−1
L. Přibylová ·Příklady ·8. února 2020 8 / 14
Příklad
Najděte obecné řešení lineárního systému
˙x1 = −x1 + 6x2
˙x2 = 2x1 + 3x2.
Řešení:
A =
−1 6
2 3
det(A − λI) =
−1 − λ 6
2 3 − λ
= λ2 − 2λ − 15 = (λ − 5)(λ + 3) = 0
λ1 = 5 :
−6 6
2 −2
v1 =
1
1
λ2 = −3 :
2 6
2 6
v2 =
3
−1
x =
1 3
1 −1
c1e5t
c2e−3t =
c1e5t + 3c2e−3t
c1e5t − c2e−3t .
L. Přibylová ·Příklady ·8. února 2020 8 / 14
Příklad
Najděte obecné řešení lineárního systému
˙x1 = 3x1 − 2x2
˙x2 = 2x1 − 1x2.
L. Přibylová ·Příklady ·8. února 2020 9 / 14
Příklad
Najděte obecné řešení lineárního systému
˙x1 = 3x1 − 2x2
˙x2 = 2x1 − 1x2.
Řešení:
L. Přibylová ·Příklady ·8. února 2020 9 / 14
Příklad
Najděte obecné řešení lineárního systému
˙x1 = 3x1 − 2x2
˙x2 = 2x1 − 1x2.
Řešení:
A =
3 −2
2 −1
L. Přibylová ·Příklady ·8. února 2020 9 / 14
Příklad
Najděte obecné řešení lineárního systému
˙x1 = 3x1 − 2x2
˙x2 = 2x1 − 1x2.
Řešení:
A =
3 −2
2 −1
det(A − λI) =
3 − λ −2
2 −1 − λ
= λ2 − 2λ + 1 = (λ − 1)2 = 0
L. Přibylová ·Příklady ·8. února 2020 9 / 14
Příklad
Najděte obecné řešení lineárního systému
˙x1 = 3x1 − 2x2
˙x2 = 2x1 − 1x2.
Řešení:
A =
3 −2
2 −1
det(A − λI) =
3 − λ −2
2 −1 − λ
= λ2 − 2λ + 1 = (λ − 1)2 = 0
λ1 = 1 :
2 −2
2 −2
v1 =
1
1
L. Přibylová ·Příklady ·8. února 2020 9 / 14
Příklad
Najděte obecné řešení lineárního systému
˙x1 = 3x1 − 2x2
˙x2 = 2x1 − 1x2.
Řešení:
A =
3 −2
2 −1
det(A − λI) =
3 − λ −2
2 −1 − λ
= λ2 − 2λ + 1 = (λ − 1)2 = 0
λ1 = 1 :
2 −2
2 −2
v1 =
1
1
Av2 = λ1v2 + v1 :
2 −2 1
2 −2 1
v2 =
1
1
2
L. Přibylová ·Příklady ·8. února 2020 9 / 14
x = Tu ⇒ T ˙u = ATu ⇒ ˙u = T−1
ATu
L. Přibylová ·Příklady ·8. února 2020 10 / 14
x = Tu ⇒ T ˙u = ATu ⇒ ˙u = T−1
ATu
˙u1
˙u2
=
1 1
0 1
u1
u2
˙u1 = u1 + u2
˙u2 = u2
L. Přibylová ·Příklady ·8. února 2020 10 / 14
x = Tu ⇒ T ˙u = ATu ⇒ ˙u = T−1
ATu
˙u1
˙u2
=
1 1
0 1
u1
u2
˙u1 = u1 + u2
˙u2 = u2
Řešení: u2(t) = c2et, dosazením do první rovnice máme
˙u1 − u1 = c2et
˙u1e−t
− u1e−t
= du1e−t
dt = c2.
L. Přibylová ·Příklady ·8. února 2020 10 / 14
x = Tu ⇒ T ˙u = ATu ⇒ ˙u = T−1
ATu
˙u1
˙u2
=
1 1
0 1
u1
u2
˙u1 = u1 + u2
˙u2 = u2
Řešení: u2(t) = c2et, dosazením do první rovnice máme
˙u1 − u1 = c2et
˙u1e−t
− u1e−t
= du1e−t
dt = c2.
Odtud u1 = (c1 + c2t)et
L. Přibylová ·Příklady ·8. února 2020 10 / 14
x = Tu ⇒ T ˙u = ATu ⇒ ˙u = T−1
ATu
˙u1
˙u2
=
1 1
0 1
u1
u2
˙u1 = u1 + u2
˙u2 = u2
Řešení: u2(t) = c2et, dosazením do první rovnice máme
˙u1 − u1 = c2et
˙u1e−t
− u1e−t
= du1e−t
dt = c2.
Odtud u1 = (c1 + c2t)et
x = T
u1
u2
= (v1, v2)
(c1 + c2t)et
c2et =
(c1 + c2t)et 1
1
+ c2et 1
1
2
=
(c1 + c2t + c2)et
(c1 + c2t + 1
2c2)et .
L. Přibylová ·Příklady ·8. února 2020 10 / 14
˙u1 = u1 + u2
˙u2 = u2
L. Přibylová ·Příklady ·8. února 2020 11 / 14
˙u1 = u1 + u2
˙u2 = u2
x = T
u1
u2
=
1 1
1 1
2
u1
u2
L. Přibylová ·Příklady ·8. února 2020 11 / 14
˙u1 = u1 + u2
˙u2 = u2
x = T
u1
u2
=
1 1
1 1
2
u1
u2
u1
u2
0
L. Přibylová ·Příklady ·8. února 2020 11 / 14
˙u1 = u1 + u2
˙u2 = u2
x = T
u1
u2
=
1 1
1 1
2
u1
u2
u1
u2
0
0
L. Přibylová ·Příklady ·8. února 2020 11 / 14
Příklad
Najděte obecné řešení lineárního systému
˙x1 = x1 − 4x2
˙x2 = x1 + x2.
L. Přibylová ·Příklady ·8. února 2020 12 / 14
Příklad
Najděte obecné řešení lineárního systému
˙x1 = x1 − 4x2
˙x2 = x1 + x2.
Řešení:
A =
1 −4
1 1
,
L. Přibylová ·Příklady ·8. února 2020 12 / 14
Příklad
Najděte obecné řešení lineárního systému
˙x1 = x1 − 4x2
˙x2 = x1 + x2.
Řešení:
A =
1 −4
1 1
, det(A − λI) =
1 − λ −4
1 1 − λ
= λ2 − 2λ + 5 = 0
L. Přibylová ·Příklady ·8. února 2020 12 / 14
Příklad
Najděte obecné řešení lineárního systému
˙x1 = x1 − 4x2
˙x2 = x1 + x2.
Řešení:
A =
1 −4
1 1
, det(A − λI) =
1 − λ −4
1 1 − λ
= λ2 − 2λ + 5 = 0
λ1 = 1 + 2i :
−2i −4
1 −2i
v1 =
2i
1
L. Přibylová ·Příklady ·8. února 2020 12 / 14
Příklad
Najděte obecné řešení lineárního systému
˙x1 = x1 − 4x2
˙x2 = x1 + x2.
Řešení:
A =
1 −4
1 1
, det(A − λI) =
1 − λ −4
1 1 − λ
= λ2 − 2λ + 5 = 0
λ1 = 1 + 2i :
−2i −4
1 −2i
v1 =
2i
1
λ2 = 1 − 2i :
2i −4
1 2i
v2 =
−2i
1
L. Přibylová ·Příklady ·8. února 2020 12 / 14
Příklad
Najděte obecné řešení lineárního systému
˙x1 = x1 − 4x2
˙x2 = x1 + x2.
Řešení:
A =
1 −4
1 1
, det(A − λI) =
1 − λ −4
1 1 − λ
= λ2 − 2λ + 5 = 0
λ1 = 1 + 2i :
−2i −4
1 −2i
v1 =
2i
1
λ2 = 1 − 2i :
2i −4
1 2i
v2 =
−2i
1
x =
2i −2i
1 1
c1e(1+2i)t
c2e(1−2i)t .
L. Přibylová ·Příklady ·8. února 2020 12 / 14
Označme u = Re v1 a w = Im v1, tedy v1 = u + iw a v2 = u − iw.
L. Přibylová ·Příklady ·8. února 2020 13 / 14
Označme u = Re v1 a w = Im v1, tedy v1 = u + iw a v2 = u − iw.
Pak platí
x = (u + iw, u − iw)
c1et(cos 2t + i sin 2t)
c2et(cos 2t − i sin 2t)
= c1et
cos 2tu − c1et
sin 2tw + c2et
cos 2tu − c2et
sin 2tw
+ic1et
cos 2tw + ic1et
sin 2tu − ic2et
cos 2tw − ic2et
sin 2tu
= (c1 + c2)et
cos 2tu − (c1 + c2)et
sin 2tw
+i(c1 − c2)et
cos 2tw + i(c1 − c2)et
sin 2tu
= et
(k1 cos 2t + k2 sin 2t)u + et
(k2 cos 2t − k1 sin 2t)w,
kde k1 = (c1 + c2) a k2 = i(c1 − c2).
L. Přibylová ·Příklady ·8. února 2020 13 / 14
Označme u = Re v1 a w = Im v1, tedy v1 = u + iw a v2 = u − iw.
Pak platí
x = (u + iw, u − iw)
c1et(cos 2t + i sin 2t)
c2et(cos 2t − i sin 2t)
= c1et
cos 2tu − c1et
sin 2tw + c2et
cos 2tu − c2et
sin 2tw
+ic1et
cos 2tw + ic1et
sin 2tu − ic2et
cos 2tw − ic2et
sin 2tu
= (c1 + c2)et
cos 2tu − (c1 + c2)et
sin 2tw
+i(c1 − c2)et
cos 2tw + i(c1 − c2)et
sin 2tu
= et
(k1 cos 2t + k2 sin 2t)u + et
(k2 cos 2t − k1 sin 2t)w,
kde k1 = (c1 + c2) a k2 = i(c1 − c2).
Maticově lze řešení zapsat jako x = TR
k1et
k2et ,
kde T = (u, w) a R =
cos 2t sin 2t
− sin 2t cos 2t
je matice rotace o úhel −2t
(po směru hodinových ručiček).
L. Přibylová ·Příklady ·8. února 2020 13 / 14
x = TR
k1et
k2et ,
kde T =
0 2
1 0
a R =
cos 2t sin 2t
− sin 2t cos 2t
L. Přibylová ·Příklady ·8. února 2020 14 / 14
x = TR
k1et
k2et ,
kde T =
0 2
1 0
a R =
cos 2t sin 2t
− sin 2t cos 2t
0
L. Přibylová ·Příklady ·8. února 2020 14 / 14
x = TR
k1et
k2et ,
kde T =
0 2
1 0
a R =
cos 2t sin 2t
− sin 2t cos 2t
0
0
L. Přibylová ·Příklady ·8. února 2020 14 / 14