M6201 Příklady - nulkliny a fázové portréty Lenka Přibylová pribylova@math.muni.cz Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity 22. února 2020 Příklad Najděte rovnováhy systému, vyšetřete jejich stabilitu a typ a nakreslete nulkliny a fázový portrét systému ˙x = y, ˙y = x(1 − x2 ) − y. L. Přibylová ·Příklady ·22. února 2020 2 / 16 Příklad Najděte rovnováhy systému, vyšetřete jejich stabilitu a typ a nakreslete nulkliny a fázový portrét systému ˙x = y, ˙y = x(1 − x2 ) − y. Řešení: Rovnováha splňuje y = 0 a x = 0 nebo x = ±1. Jsou tedy tři: [0, 0], [1, 0] a [−1, 0]. L. Přibylová ·Příklady ·22. února 2020 2 / 16 Příklad Najděte rovnováhy systému, vyšetřete jejich stabilitu a typ a nakreslete nulkliny a fázový portrét systému ˙x = y, ˙y = x(1 − x2 ) − y. Řešení: Rovnováha splňuje y = 0 a x = 0 nebo x = ±1. Jsou tedy tři: [0, 0], [1, 0] a [−1, 0]. Jacobiho matice je tvaru J = 0 1 1 − 3x2 −1 . L. Přibylová ·Příklady ·22. února 2020 2 / 16 Příklad Najděte rovnováhy systému, vyšetřete jejich stabilitu a typ a nakreslete nulkliny a fázový portrét systému ˙x = y, ˙y = x(1 − x2 ) − y. Řešení: Rovnováha splňuje y = 0 a x = 0 nebo x = ±1. Jsou tedy tři: [0, 0], [1, 0] a [−1, 0]. Jacobiho matice je tvaru J = 0 1 1 − 3x2 −1 . J(0, 0) = 0 1 1 −1 a protože det J([0, 0]) = −1 < 0, je bod [0, 0] sedlo. L. Přibylová ·Příklady ·22. února 2020 2 / 16 ˙x = y, ˙y = x(1 − x2 ) − y. J = 0 1 1 − 3x2 −1 L. Přibylová ·Příklady ·22. února 2020 3 / 16 ˙x = y, ˙y = x(1 − x2 ) − y. J = 0 1 1 − 3x2 −1 J([±1, 0]) = 0 1 −2 −1 a protože det J([±1, 0]) = 2 > 0 a tr J([±1, 0]) = −1 < 0 jsou oba body [±1, 0] stabilní. L. Přibylová ·Příklady ·22. února 2020 3 / 16 ˙x = y, ˙y = x(1 − x2 ) − y. J = 0 1 1 − 3x2 −1 J([±1, 0]) = 0 1 −2 −1 a protože det J([±1, 0]) = 2 > 0 a tr J([±1, 0]) = −1 < 0 jsou oba body [±1, 0] stabilní. Protože (tr J([±1, 0]))2 − 4 det J([±1, 0]) < 0, jde o stabilní ohniska. L. Přibylová ·Příklady ·22. února 2020 3 / 16 ˙x = y, ˙y = x(1 − x2 ) − y. Fázový portrét nakreslíme s pomocí nulklin: ˙x = 0 ⇐⇒ y = 0 a x klesá v bodech pod osou x a roste nad ní, L. Přibylová ·Příklady ·22. února 2020 4 / 16 ˙x = y, ˙y = x(1 − x2 ) − y. Fázový portrét nakreslíme s pomocí nulklin: ˙x = 0 ⇐⇒ y = 0 a x klesá v bodech pod osou x a roste nad ní, ˙y = 0 ⇐⇒ y = x(1 − x2) a y klesá v bodech nad touto kubickou parabolou a roste pod ní. L. Přibylová ·Příklady ·22. února 2020 4 / 16 Příklad Najděte rovnováhy systému, vyšetřete jejich stabilitu a typ a nakreslete nulkliny a fázový portrét systému ˙x = x(y + x2 − 4), ˙y = 3x2 − y. L. Přibylová ·Příklady ·22. února 2020 5 / 16 Příklad Najděte rovnováhy systému, vyšetřete jejich stabilitu a typ a nakreslete nulkliny a fázový portrét systému ˙x = x(y + x2 − 4), ˙y = 3x2 − y. Řešení: Rovnováha splňuje x = 0 a y = 0 nebo y = 4 − x2, což implikuje x2 = 1. Jsou tedy tři: [0, 0], [1, 3] a [−1, 3]. L. Přibylová ·Příklady ·22. února 2020 5 / 16 Příklad Najděte rovnováhy systému, vyšetřete jejich stabilitu a typ a nakreslete nulkliny a fázový portrét systému ˙x = x(y + x2 − 4), ˙y = 3x2 − y. Řešení: Rovnováha splňuje x = 0 a y = 0 nebo y = 4 − x2, což implikuje x2 = 1. Jsou tedy tři: [0, 0], [1, 3] a [−1, 3]. Jacobiho matice je tvaru J = y + 3x2 − 4 x 6x −1 . L. Přibylová ·Příklady ·22. února 2020 5 / 16 Příklad Najděte rovnováhy systému, vyšetřete jejich stabilitu a typ a nakreslete nulkliny a fázový portrét systému ˙x = x(y + x2 − 4), ˙y = 3x2 − y. Řešení: Rovnováha splňuje x = 0 a y = 0 nebo y = 4 − x2, což implikuje x2 = 1. Jsou tedy tři: [0, 0], [1, 3] a [−1, 3]. Jacobiho matice je tvaru J = y + 3x2 − 4 x 6x −1 . J(0, 0) = −4 0 0 −1 , bod [0, 0] stabilní uzel. L. Přibylová ·Příklady ·22. února 2020 5 / 16 ˙x = x(y + x2 − 4), ˙y = 3x2 − y. J = y + 3x2 − 4 x 6x −1 L. Přibylová ·Příklady ·22. února 2020 6 / 16 ˙x = x(y + x2 − 4), ˙y = 3x2 − y. J = y + 3x2 − 4 x 6x −1 J([±1, 3]) = 2 ±1 ±6 −1 a protože det J([±1, 3]) = −8 < 0 jsou oba body [±1, 3] sedla. L. Přibylová ·Příklady ·22. února 2020 6 / 16 ˙x = x(y + x2 − 4), ˙y = 3x2 − y. Fázový portrét nakreslíme s pomocí nulklin: ˙x = 0 ⇐⇒ x = 0 nebo y = 4 − x2, x roste resp. klesá podle znamének v jednotlivých oblastech oddělených těmito křivkami, L. Přibylová ·Příklady ·22. února 2020 7 / 16 ˙x = x(y + x2 − 4), ˙y = 3x2 − y. Fázový portrét nakreslíme s pomocí nulklin: ˙x = 0 ⇐⇒ x = 0 nebo y = 4 − x2, x roste resp. klesá podle znamének v jednotlivých oblastech oddělených těmito křivkami, ˙y = 0 ⇐⇒ y = 3x2 a y klesá v bodech nad touto parabolou a roste pod ní. L. Přibylová ·Příklady ·22. února 2020 7 / 16 Příklad Najděte rovnováhy systému v 1. kvadrantu (x ≥ 0, y ≥ 0), vyšetřete jejich stabilitu a typ a nakreslete nulkliny a fázový portrét systému ˙x = x(y + x2 − a), ˙y = bx2 − y, kde a > 0 a b > 0 jsou parametry. L. Přibylová ·Příklady ·22. února 2020 8 / 16 Příklad Najděte rovnováhy systému v 1. kvadrantu (x ≥ 0, y ≥ 0), vyšetřete jejich stabilitu a typ a nakreslete nulkliny a fázový portrét systému ˙x = x(y + x2 − a), ˙y = bx2 − y, kde a > 0 a b > 0 jsou parametry. Řešení: Rovnováha splňuje x = 0 a y = 0 nebo y = a − x2, což implikuje x2 = a b+1. Jsou tedy dvě: [0, 0] a [x∗, y∗] = [ a b+1, ab b+1] . L. Přibylová ·Příklady ·22. února 2020 8 / 16 Příklad Najděte rovnováhy systému v 1. kvadrantu (x ≥ 0, y ≥ 0), vyšetřete jejich stabilitu a typ a nakreslete nulkliny a fázový portrét systému ˙x = x(y + x2 − a), ˙y = bx2 − y, kde a > 0 a b > 0 jsou parametry. Řešení: Rovnováha splňuje x = 0 a y = 0 nebo y = a − x2, což implikuje x2 = a b+1. Jsou tedy dvě: [0, 0] a [x∗, y∗] = [ a b+1, ab b+1] . Jacobiho matice je tvaru J = y + 3x2 − a x 2bx −1 . L. Přibylová ·Příklady ·22. února 2020 8 / 16 Příklad Najděte rovnováhy systému v 1. kvadrantu (x ≥ 0, y ≥ 0), vyšetřete jejich stabilitu a typ a nakreslete nulkliny a fázový portrét systému ˙x = x(y + x2 − a), ˙y = bx2 − y, kde a > 0 a b > 0 jsou parametry. Řešení: Rovnováha splňuje x = 0 a y = 0 nebo y = a − x2, což implikuje x2 = a b+1. Jsou tedy dvě: [0, 0] a [x∗, y∗] = [ a b+1, ab b+1] . Jacobiho matice je tvaru J = y + 3x2 − a x 2bx −1 . J(0, 0) = −a 0 0 −1 , bod [0, 0] stabilní uzel. L. Přibylová ·Příklady ·22. února 2020 8 / 16 ˙x = x(y + x2 − a), ˙y = bx2 − y. J = y + 3x2 − a x 2bx −1 L. Přibylová ·Příklady ·22. února 2020 9 / 16 ˙x = x(y + x2 − a), ˙y = bx2 − y. J = y + 3x2 − a x 2bx −1 J([x∗, y∗]) = 2(x∗)2 x∗ 2bx∗ −1 a protože det J([x∗, y∗]) = −2(x∗)2 − 2b(x∗)2 < 0 je bod [x∗, y∗] sedlo. L. Přibylová ·Příklady ·22. února 2020 9 / 16 ˙x = x(y + x2 − a), ˙y = bx2 − y. Fázový portrét nakreslíme s pomocí nulklin: ˙x = 0 ⇐⇒ x = 0 nebo y = a − x2, x roste resp. klesá podle znamének v jednotlivých oblastech oddělených těmito křivkami, L. Přibylová ·Příklady ·22. února 2020 10 / 16 ˙x = x(y + x2 − a), ˙y = bx2 − y. Fázový portrét nakreslíme s pomocí nulklin: ˙x = 0 ⇐⇒ x = 0 nebo y = a − x2, x roste resp. klesá podle znamének v jednotlivých oblastech oddělených těmito křivkami, ˙y = 0 ⇐⇒ y = bx2 a y klesá v bodech nad touto parabolou a roste pod ní. L. Přibylová ·Příklady ·22. února 2020 10 / 16 Příklad Najděte rovnováhy systému, vyšetřete jejich stabilitu a typ a nakreslete nulkliny a fázový portrét systému ˙x = x + y − 2, ˙y = x + y2 − 2. L. Přibylová ·Příklady ·22. února 2020 11 / 16 Příklad Najděte rovnováhy systému, vyšetřete jejich stabilitu a typ a nakreslete nulkliny a fázový portrét systému ˙x = x2 + x − y, ˙y = 2x − y. L. Přibylová ·Příklady ·22. února 2020 12 / 16 Příklad Najděte rovnováhy systému, vyšetřete jejich stabilitu a typ a nakreslete nulkliny a fázový portrét systému ˙x = x(4 − 2x − y), ˙y = y(7 − x − 3y). L. Přibylová ·Příklady ·22. února 2020 13 / 16 Příklad Najděte rovnováhy systému, vyšetřete jejich stabilitu a typ a nakreslete nulkliny a fázový portrét systému ˙x = x(x − y + 2), ˙y = y − x2 . L. Přibylová ·Příklady ·22. února 2020 14 / 16 Příklad Najděte rovnováhy systému, vyšetřete jejich stabilitu a typ a nakreslete nulkliny a fázový portrét systému ˙x = y − y3 − ax, ˙y = x − y − xy. L. Přibylová ·Příklady ·22. února 2020 15 / 16 Příklad Najděte rovnováhy systému, vyšetřete jejich stabilitu a typ a nakreslete nulkliny a fázový portrét systému ˙x = x(1 − x − ay), ˙y = y(1 − bx − y). L. Přibylová ·Příklady ·22. února 2020 16 / 16