M6201 Příklad Poincarého zobrazení Lenka Přibylová pribylova@math.muni.cz Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity 5. dubna 2020 Příklad Nalezněte Poincarého zobrazení pro systém v polárních souřadnicích ˙r = r(1 − r2 ) ˙θ = 1 L. Přibylová ·Příklady ·5. dubna 2020 2 / 6 Systém má v počátku nestabilní rovnováhu a stabilní invariantní množinu – cyklus, kterou je kružnice o poloměru 1. L. Přibylová ·Příklady ·5. dubna 2020 3 / 6 Systém má v počátku nestabilní rovnováhu a stabilní invariantní množinu – cyklus, kterou je kružnice o poloměru 1. Uvažujme libovolný bod B = [r0, θ0] kromě počátku a veďme tímto bodem z počátku O polopřímku OB. Tato polopřímka nemůže být tečná k trajektorii procházející bodem B, protože OB svírá s horizontální osou úhel θ0 a ˙θ(r0, θ0) = 1 = 0. Polopřímka OB je Poincarého řezem trajektorie systému v bodě B. L. Přibylová ·Příklady ·5. dubna 2020 3 / 6 Systém má v počátku nestabilní rovnováhu a stabilní invariantní množinu – cyklus, kterou je kružnice o poloměru 1. Uvažujme libovolný bod B = [r0, θ0] kromě počátku a veďme tímto bodem z počátku O polopřímku OB. Tato polopřímka nemůže být tečná k trajektorii procházející bodem B, protože OB svírá s horizontální osou úhel θ0 a ˙θ(r0, θ0) = 1 = 0. Polopřímka OB je Poincarého řezem trajektorie systému v bodě B. Definujme Poincarého zobrazení libovolného bodu na OB ve vzdálenosti r od počátku jako vzdálenost P(r) od počátku pro následující protnutí OB trajektorií z bodu [r, θ0]. L. Přibylová ·Příklady ·5. dubna 2020 3 / 6 Trajektorie z libovolného bodu B = [r0, θ0] kromě počátku tak pro tento bod definuje diskrétní systém rn+1 = P(rn), s počáteční vzdáleností r0. r0 r1 = P(r0) O B L. Přibylová ·Příklady ·5. dubna 2020 4 / 6 dr dt = r(1 − r2 ) r1 r0 dr r(1−r2) = θ0+2π θ0 dt = 2π = ln r√ |r2−1| r1 r0 = ln r1 r0 r2 0 −1 r2 1 −1 L. Přibylová ·Příklady ·5. dubna 2020 5 / 6 dr dt = r(1 − r2 ) r1 r0 dr r(1−r2) = θ0+2π θ0 dt = 2π = ln r√ |r2−1| r1 r0 = ln r1 r0 r2 0 −1 r2 1 −1 a po úpravě dostaneme r1 = P(r0) = 1 + e−4π (r−2 0 − 1) − 1 2 L. Přibylová ·Příklady ·5. dubna 2020 5 / 6 Poincarého zobrazení je dáno předpisem P(r) = 1 + e−4π (r−2 − 1) − 1 2 a jeho rovnováha r∗ = 1 stabilní, protože P (1) = e−4π < 1. 0 1 r P(r) r1r0 r21 L. Přibylová ·Příklady ·5. dubna 2020 6 / 6