Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Univerzita obrany Fakulta vojenských technologií Katedra matematiky a fyziky NUMERICKÉ METODY Jaromír Kuben Pavlína Račková Brno 2019 Obsah Jdi na stranu ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Předmluva Tento elektronický e-learningový text obsahuje základní poznatky z numerických metod a je primárně určen studentům FVT UO, Brno. Lze jej však využít při výuce základů numerických metod na jakýchkoli vysokých školách, zejména technického zaměření. Numerické metody jsou na FVT UO součástí předmětů v několika studijních programech. Podle toho se liší probíraný rozsah látky. Studentům tříletého bakalářského programu Technologie pro obranu a bezpečnost a končícího pětiletého magisterského programu (SP 2014) Vojenské technologie jsou určeny kapitoly 1-6, zatímco studentům dvouletého nadstavbového magisterského programu Vojenské technologie jsou určeny kapitoly 1, 2, 4, 6 a 7 (s tématikou kapitol 3 a 5 se seznámili již v předcházejícím studiu). V nových pětiletých magisterských programech (SP 2019) Vojenské technologie strojní resp. elektrotechnické budou využity kapitoly 1-7. Některé kapitoly obsahují náročnější rozšiřující materiál, který není určen pro výuku ve zmíněných základních kurzech, ale bude využit v předmětu Numerická matematika v doktorských studijních programech. 3 Obsah Jdi na stranu \< ►I Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické metody patří bezesporu k základnímu matematickému vzdělání inženýra. Potřeba řešit neustále složitější matematické modely a existence čím dál výkonnějších počítačů vede k bouřlivému rozvoji numerické matematiky. Bohužel mnohé soudobé metody jsou velmi složité a jejich vysvětlení nematematikovi je velice obtížné až nemožné. Nicméně většina těchto metod staví na klasických poznatcích z numerické matematiky. Cílem předkládaného textuje předvést průřez nej důležitějšími partiemi numerické matematiky a seznámit studenty se základními klasickými výsledky. Pro správné pochopení numerických metod je bezpodmínečně nutné šije „ohmatat" a prakticky vyzkoušet na počítači. Jen pak může jejich výuka přinést potenciálním uživatelům nějaký užitek. Téměř každý student na vysoké škole technického zaměření se totiž časem setká s potřebou vyřešit nějakou matematickou úlohu nemající řešení dané explicitním vzorcem. Ve skutečnosti je většina reálných a z praktického hlediska důležitých a užitečných úloh tohoto druhu. Takovou úlohu je nutné řešit přibližně pomocí vhodné numerické metody. Studenti by měli být na takovou situaci připraveni a měli by vědět, kam sáhnout. Proto je většina cvičení prováděna na počítači s vhodným programovým vybavením. Existuje celá řada komerčních i volně šiřitelných velmi kvalitních programů, které poskytují potřebné nástroje. Z nich lze jmenovat např. komerční programy Maple, Matlab, Mathematica, Mathcad a volně šiřitelné programy Maxima, Sage, Octave a řadu dalších. 4 Obsah Jdi na stranu \< ►I Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Jelikož počet hodin na výuku numerické matematiky je dost omezený, museli jsme pominout některé podstatné partie (např. partie z lineární algebry jako vlastní čísla a vektory matic a řadu dalších, optimalizaci, okrajové úlohy pro řešení obyčejných diferenciálních rovnic, variační metody pro řešení parciálních diferenciálních rovnic, metodu konečných prvků apod.). Zájemci o ně najdou odkazy v seznamu literatury. Protože text je určen především inženýrům, je naprostá většina poznatků uvedena bez důkazů. Čtenář, který by se s nimi chtěl seznámit, najde v textu četné odkazy na vhodnou literaturu. Skriptum obsahuje poměrně rozsáhlý seznam literatury od elementárních textů až po specializované monografie. V současnosti je dostupná řada velmi pěkných úvodních i pokročilejších textů, jak v tištěné podobě tak v elektronické podobě na Internetu. Z úvodních textů lze doporučit např. [9, 11, 13, 41], z pokročilejších pak [8, 22, 52]. V seznamu lze nalézt většinu podstatných publikací z numerické matematiky, které byly česky celostátně vydány za posledních 50 let. Základem tohoto materiálu byl učební text [35], který byl obohacen o prvky charakteristické pro e-learning. Do každé kapitoly byly doplněny cíle, pojmy k zapamatování, kontrolní otázky, cvičení s výsledky (pokud byla vhodná pro ruční výpočty) a interaktivní testy. Za poslední kapitolu byly přidány souhrnné interaktivní testy, pokrývající všechny kapitoly. Celý materiál je hypertextový, obsahuje řadu odkazů jak v rámci textu (vzorce, Obsah Jdi na stranu \< ►I Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž věty, definice, rejstřík, obsah apod.), tak na internet (např. údaje o významných matematicích, jejichž jména se v textu objevují, nebo na studijní zdroje). Všechny ilustrace jsou nyní barevné, některé statické obrázky byly nahrazeny animacemi resp. pohyblivými 3D objekty. Po obsahové stránce byl text rozšířen. Zejména byly zařazeny ukázkové příklady v kapitole 2. Dále byl v kapitole 4 rozšířen oddíl o Hermitově interpolačním polynomu a v kapitole 5 přidány oddíly o numerické derivaci a její podmíněnosti. Děkujeme recenzentům doc. RNDr. Liboru Čermákovi, CSc. z Ústavu matematiky Fakulty strojního inženýrství VUT v Brně a Mgr. Jiřímu Zelinkovi, Dr. z Ústavu matematiky a statistiky Přírodovědecké fakulty Masarykovy univerzity v Brně za velmi cenné připomínky, které přispěly ke zkvalitnění textu. Rovněž děkujeme kolegům z naší katedry Mgr. Vojtěchu Růžičkovi, Ph.D. a Mgr. Jaromíru Kubenovi za pečlivou kontrolu interaktivních testů a druhému jmenovanému rovněž za důkladné přečtení celého textu, připomínky k němu a zejména za větu 4.13. Text ve formátu PDF byl připraven sázecím systémem TjnX pomocí TjnXového formátu pdfTMJHX2£, statické obrázky byly vytvořeny programem METR P O ST s použitím balíku TgXovských maker m f p i c, animace a 3D obrázky byly připraveny v programu Maple. Interaktivní testy byly vytvořeny s použitím ETgXovského balíku Acrotex. Aby animace, 3D obrázky a testy fungovaly, je nutné použít jako prohlížeč Adobe Reader (nebo plný Obsah Jdi na stranu \< ►I Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Adobe Acrobat). Dále je třeba v menu Upravy/Předvolby/3D a multimédia zatrhnout volbu Aktivovat prehrávaní 3D obsahu a vhodné je rovněž zatrhnout volbu Povolit oboustranné vykreslení. V jiných prohlížečích tyto prvky nebudou funkční. Protože na některých počítačích po otevření určitých 3D objektů dochází v důsledku nedostatečných parametrů grafiky k „zamrzávání" Adobe Readeru, je u všech 3D objektů nejprve znázorněn bitmapový náhled (ten je vidět i v jiných prohlížečích) a k aktivaci dojde až po kliknutí na jeho plochu (pokud je povoleno přehrávání 3D objektů). Problémy nejsou v plném Adobe Acrobatu. Brno, červen 2019 autoři Obsah Jdi na stranu Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Obsah Předmluva 3 1 Uvod do problematiky numerických metod 16 1.1 Zdroje chyb ............................... 19 1.2 Aproximace čísel............................. 20 1.3 Reprezentace čísel v počítači....................... 26 1.4 Korektnost a podmíněnost úlohy..................... 29 1.5 Vlastnosti numerických algoritmů.................... 34 1.6 Symbol O................................ 36 1.7 Vektorové a maticové normy, skalární součin.............. 39 1.7.1 Vektorové normy ........................ 40 1.7.2 Maticové normy......................... 49 1.7.3 Číslo podmíněnosti čtvercové matice .............. 64 8 Jdi na stranu \< ►I Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž 1.7.4 Spektrální poloměr ....................... 67 1.7.5 Skalární součin ......................... 69 Pojmy k zapamatování............................. 86 Kontrolní otázky................................ 87 Cvičení..................................... 89 Řešení.................................. 94 Testy ke kapitole 1............................... 97 Test 1................................... 97 Test 2................................... 101 Test 3................................... 105 Test 4................................... 109 Numerické řešení nelineárních rovnic 113 2.1 Nelineární rovnice o jedné neznámé................... 114 2.1.1 Postup při hledání kořenů.................... 116 2.1.2 Zastavovací podmínky...................... 119 2.1.3 Rychlost konvergence...................... 121 2.2 Iterační metody pro řešení rovnic o jedné neznámé ........... 123 2.2.1 Klasifikace iteračních metod................... 123 9 strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž 2.2.2 Metoda bisekce (metoda půlení intervalu)............ 125 2.2.3 Metoda regula falsi (metoda tětiv)................ 131 2.2.4 Metoda prosté iterace...................... 143 2.2.5 Newtonova metoda (metoda tečen) ............... 154 2.2.6 Metoda sečen.......................... 161 2.3 Systémy nelineárních rovnic....................... 170 2.3.1 Metoda prosté iterace...................... 173 2.3.2 Newtonova metoda pro systémy................. 175 Pojmy k zapamatování............................. 181 Kontrolní otázky................................ 183 Testy ke kapitole 2............................... 187 Test 1................................... 187 Test 2................................... 193 Test 3................................... 198 3 Numerické řešení systémů lineárních rovnic 203 3.1 Přímé metody.............................. 207 3.1.1 Gaussova eliminační metoda................... 207 3.1.2 Metoda LU rozkladu....................... 229 10 Obsah Jdi na stranu \< A ► H ■+ Celá obrazovka/Okno Zavřít strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž 3.1.3 Choleského metoda....................... 244 3.1.4 Analýza chyb při numerickém řešení soustav lineárních rovnic . 249 3.2 Iterační metody ............................. 257 3.2.1 Jacobiova metoda........................ 263 3.2.2 Gaus sova-S eidelova metoda................... 268 3.2.3 Relaxační metody, metoda S OR................. 275 Pojmy k zapamatování............................. 280 Kontrolní otázky................................ 282 Testy ke kapitole 3............................... 287 Test 1................................... 287 Test 2................................... 292 Test 3................................... 297 Interpolace a aproximace funkcí 303 4.1 Interpolační polynom .......................... 307 4.1.1 Lagrangeův tvar interpolačního polynomu............ 309 4.1.2 Newtonův tvar interpolačního polynomu ............ 317 4.1.3 Newtonův interpolační polynom — ekvidistantní uzly...... 324 4.1.4 Hermitův interpolační polynom................. 335 11 Obsah Jdi na stranu \< A ► H ■+ Celá obrazovka/Okno Zavřít strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž 4.2 Interpolace splajny............................ 366 4.3 Aproximace metodou nej menších čtverců................ 389 4.3.1 Obecný případ.......................... 389 4.3.2 Vyrovnání polynomy....................... 396 4.3.3 Určení stupně aproximačního polynomu............. 405 Pojmy k zapamatování............................. 410 Kontrolní otázky................................ 411 Cvičení..................................... 416 Řešení.................................. 427 Testy ke kapitole 4............................... 434 Test 1................................... 434 Test 2................................... 440 Test 3................................... 447 Test 4................................... 454 5 Numerická derivace a integrace 460 5.1 Princip numerické integrace....................... 465 5.2 Kvadraturní formule........................... 467 5.3 Newtonovy-Cotesovy kvadraturní formule................ 475 12 Obsah Jdi na stranu \< < ► H + Celá obrazovka/Okno Zavřít strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž 5.3.1 Uzavřené Newtonovy-Cotesovy kvadraturní formule...... 476 5.3.2 Otevřené Newtonovy-Cotesovy kvadraturní formule....... 484 5.3.3 Složené Newtonovy-Cotesovy kvadraturní formule....... 494 5.4 Gaussovy kvadraturní formule...................... 503 5.5 Rombergova kvadratura......................... 517 5.6 Numerická derivace........................... 526 5.7 Podmíněnost numerické derivace a integrace .............. 544 Pojmy k zapamatování............................. 552 Kontrolní otázky................................ 553 Testy ke kapitole 5............................... 555 Test 1................................... 555 Test 2................................... 562 Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 568 6.1 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu.................. 570 6.1.1 Základní vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic 1. řádu . . 570 6.1.2 Numerické řešení diferenciálních rovnic 1. řádu......... 580 6.1.3 Jednokrokové metody...................... 588 6.1.4 Vlastnosti jednokrokových metod................ 595 13 Obsah Jdi na stranu \< A ► H ■+ Celá obrazovka/Okno Zavřít strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž 6.1.5 Metody Rungeho-Kutty..................... 606 6.1.6 Vícekrokové metody....................... 623 6.1.7 Vlastnosti vícekrokových metod................. 626 6.1.8 Příklady lineárních vícekrokových metod............ 633 6.1.9 Tuhé problémy.......................... 640 6.2 Systémy obyčejných diferenciálních rovnic ............... 646 6.3 Diferenciální rovnice vyšších řádů.................... 652 Pojmy k zapamatování............................. 661 Kontrolní otázky................................ 663 Testy ke kapitole 6............................... 666 Test 1................................... 666 Test 2................................... 671 Test 3................................... 677 Test 4................................... 682 Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 687 7.1 Klasifikace metod............................ 688 7.2 Metoda sítí................................ 691 7.2.1 Princip metody sítí........................ 691 14 Obsah Jdi na stranu \< A ► H + Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž 7.2.2 Korektnost, stabilita, aproximace a konvergence......... 695 7.2.3 Náhrada derivací diferencemi.................. 698 7.3 Dirichletova úloha pro Poissonovu rovnici................ 701 7.4 Smíšená úloha pro rovnici vedení tepla ................. 712 7.5 Smíšená úloha pro vlnovou rovnici.................... 729 Pojmy k zapamatování............................. 751 Kontrolní otázky................................ 753 Testy ke kapitole 7............................... 756 Test 1................................... 756 Test 2................................... 763 Test 3................................... 769 Souhrnné testy 775 Testl ..................................... 775 Test 2 ..................................... 782 Test 3 ..................................... 788 Literatura Rejstřík 794 807 15 Obsah Jdi na stranu \< ►I Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž 16 Kapitola 1 Úvod do problematiky numerických metod Cíle Po prostudování této kapitoly budete schopni vysvětlit: • čím se zabývá numerická matematika, • jaké druhy chyb vznikají při numerickém řešení úloh, • jak jsou uložena čísla v počítači a jak se správně zaokrouhluje, • co jsou to korektní a dobře podmíněné úlohy, • jaké vlastnosti musí mít numerické algoritmy, • co jsou to vektorové a maticové normy a skalární součin. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 17 Numerická matematika se zabývá procesy, které umožňují řešit matematické problémy pomocí čtyř aritmetických operací (sečítání, odečítání, násobení a dělení) s využitím počítače, popř. s pomocí kalkulačky nebo ručně. Cílem je vytvořit efektivní algoritmy pro řešení nejrůznějších matematických problémů. Formulace úloh a způsob jejich řešení je v dnešní době závislý na skutečnosti, že pracujeme s počítačem. To vyžaduje, abychom zadali do počítače konečný počet číselných údajů a postup, tzv. algoritmus, prostřednictvím kterého po konečném počtu kroků dostaneme na výstupu výsledek. V praxi probíhá celý postup obvykle podle následujícího diagramu: Reálný problém Matematický model Numerická úloha Numerický algoritmus Všimneme si nyní jednotlivých kroků. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 18 Reálný problém Jde o zadanou úlohu z nejrůznějších oborů (fyzika, technika, chemie, biologie, lékařství, humanitní obory apod.), kterou chceme řešit pomocí matematických prostředků. Matematický model Zkoumanou skutečnost popíšeme pomocí vhodného věrohodného matematického modelu. Obvykle čím je model přesnější, tím je složitější. Takovým modelem může být např. systém lineárních nebo nelineárních rovnic, obyčejné diferenciální rovnice, parciální diferenciální rovnice, integrální rovnice atd. Numerická úloha Matematický model nelze většinou řešit přímo pomocí aritmetických operací, je nutné provést jeho „digitalizaci". Tak dostaneme úlohu, kterou lze řešit pomocí aritmetických operací. Může to být např. soustava lineárních algebraických rovnic. Vstupem i výstupem numerické úlohy jsou čísla. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 19 Numerický algoritmus Numerickou úlohu lze řešit různými způsoby. Numerickým algoritmem rozumíme postup řešení numerické úlohy. Přesný popis kroků (akcí, které může realizovat počítač), které vedou k vyřešení numerické úlohy, nazýváme numerický algoritmus. Je to tedy jednoznačný funkční popis vztahů mezi konečným počtem vstupních a konečným počtem výstupních hodnot. 1.1 Zdroje chyb Při řešení reálných problémů téměř nikdy nezískáme přesná řešení, musíme se spokojit s přibližnými řešeními, která jsou zatížena chybami. Jedním z nej důležitějších úkoluje zorganizovat postup výpočtů tak, aby celková chyba byla co nej menší. Numerická řešení problémů jsou obvykle zatížena chybami (nepřesnostmi), které vznikají ve dvou oblastech: těmi, které jsou obsaženy v matematické formulaci problému (včetně chyb ve vstupních údajích), a těmi, které jsou způsobeny hledáním numerickou cestou. Do první skupiny patří: Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 20 1. Chyby matematického modelu —je jen „aproximací", idealizací reálné skutečnosti. 2. Chyby ve vstupních datech — např. chyby v empirických hodnotách získaných měřením nebo nepřesnosti fyzikálních konstant. Do druhé skupiny patří: 1. Chyba numerické úlohy — neřeší se problém, který byl původně zadán, ale nějaká jeho aproximace (numerická úloha). Řešení numerické úlohy, které stejně většinou nejsme schopni získat zcela přesně, je pouze přibližným řešením matematického modelu. 2. Zaokrouhlovací chyby —jsou dvojího druhu: chyby, které vzniknou zaokrouhlením vstupních hodnot, a chyby, vznikající při aritmetických operacích na počítači. Důvodem je, že počítač pracuje pouze s konečnou množinou čísel — podrobněji viz odstavec 1.3. 1.2 Aproximace čísel Ve výpočtech jsme často nuceni nahradit přesné číslo x přibližnou hodnotou x. Číslo x se pak nazývá aproximací čísla x. Rozdíl x — x — A x nazýváme absolutní chybou Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 21 aproximace x a podíl x x Ax x ŕ 0. x x nazýváme relativní chybou aproximace x. Jestliže pro nějaké s > 0 platí | Ax\ ^ s, říkáme, že s je odhadem absolutní chyby. Pak platí x — s ^ x ^ x -\- s. Používá se symbolický zápis x = x ± s. Podobně jestliže pro nějaké 8 > 0 platí | Ax/x\ ^ <5, říkáme, že 8 je odhadem relativní chyby. Pak platí x — 8\x\ ^ x ^ x + <5|x|. Používá se symbolický zápis x — x(l ± 8). Každé reálné číslo lze zapsat pomocí konečného nebo nekonečného dekadického rozvoje. Každé číslo má buď jeden nebo dva takové rozvoje. Má-li některé číslo dva různé rozvoje, pak jeden je konečný (od jistého místa jsou cifry nulové) a druhý je nekonečný a má od jistého místa samé devítky. Např. zápisy 23,42 a 23,419 999 999... = 23,419 určují jedno a totéž číslo. Označme d\, d2,..., kde dj G {0,1,..., 9}, / = 1,2,..., d\ ^0, cifry dekadického rozvoje aproximace x. Nechť d\ (první nenulová cifra zleva) stojí u mocniny 10ď, Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 22 kde e je celé číslo. Pak x = ±[dx • 10* + d2 • 10*"1 + ••• + dk • ioe+1~k + 4+1 • 10'-* + •••] Řekneme, že fc-tá dekadická cifra ^ aproximace x je platná, jestliže x x (1.1) tj. když se x liší od x nejvýše o pět jednotek řádu příslušejícího následující cifre. Pokud nerovnost (1.1) platí pro k ^ p, ale už neplatí pro k — p + l, říkáme, že x má p platných cifer. Číslo ±[dx • 10* + d2 • ÍO""1 + • • • + dp • ÍO^1"^] = ±dxd2 ...dp- lOe+l~P se pak nazývá správně zaokrouhlenou hodnotou čísla x. Z uvedené definice je zřejmé, že když dk je platná cifra, jsou i všechny předcházející cifry, tj. dfc-i, dk-2, ..., d\, také platné. Řekneme, že aproximace x čísla x má desetinné místo platné, jestliže x x ^ 5 - 10~*~\ (1.2) Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 23 tj. když se x liší od x nejvýše o pět jednotek řádu příslušejícího následujícímu desetinnému místu. Pokud nerovnost (1.2) platí pro k ^ p, ale už neplatí pro k = p + 1, říkáme, že x má p platných desetinných míst. Správně zaokrouhlená hodnota čísla x má tedy všechna desetinná místa platná. Z uvedené definice je zřejmé, že když je k-té desetinné místo platné, jsou platná i všechna předchozí desetinná místa. Pro lepší pochopení pojmů platná dekadická cifra a platné desetinné místo si uvedeme několik příkladů. x x platné cifry platná desetinná místa 374 -34,5438 100,001 99,9965 0,873 -0,004837 2,753 • 10"8 380 -34,497 99,9965 100,001 0,871 -0,0053 3,4- 10"8 1 3 4 5 2 1 0 1 2 2 2 3 7 Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 24 Všimněte si, že v posledních dvou příkladech nejsou nuly za desetinnou čárkou platné cifry (není před nimi žádná nenulová cifra), ale jsou to platná desetinná místa. Při provádění výpočtů s aproximacemi přesných hodnot může dojít ke zvětšení absolutní nebo relativní chyby výsledku a k významné ztrátě platných cifer. Jako nejkritičtější z hlediska šíření chyb se jeví odečítání dvou velmi blízkých čísel, kdy významně narůstá relativní chyba, a dělení číslem blízkým nule, kdy významně narůstá absolutní chyba. Podrobněji viz např. [13, 41, 62]. Zaokrouhlovací pravidla Připomeňme ještě pravidla pro správné zaokrouhlování. Předpokládejme, že číslo x má (konečný nebo nekonečný) dekadický rozvoj x = ±[dľ I0e + d2 • + • • • + dk • I0e+1~k + dk+l • 10'-* + • • • ] Někdy chceme číslo x zaokrouhlit na k cifer, tj. odseknout část dekadického rozvoje začínající cifrou 4+ia případně upravit poslední cifru dk (eventuálně i předcházející, pokud je dk — 9). V tom případě postupujeme následovně: Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 25 1) Je-li dk+\ G {0,1,2, 3,4}, cifru dk neměníme. 2) Je-li dk+\ £ {6,7, 8, 9}, cifru dk zvětšíme o jedničku. 3) Je-li dk+\ — 5, rozlišíme dva případy: • Jestliže je některá z cifer dk+2, dk+?>,... nenulová, cifru dk zvětšíme o jedničku. • Jestliže jsou všechny cifry dk+2, dk+?>,... nulové, cifru dk neměníme, pokud je sudá, a zvětšíme ji o jedničku, pokud je lichá. Číslo x, které takto dostaneme, bude vždy správně zaokrouhlenou hodnotou čísla x. Uveďme několik příkladů: počet cifer x x počet cifer x x 2 3 245 3 200 4 0,99999 1,0000 2 3 254 3 300 3 -5,2551 -5,26 3 2,463 2,46 2 3,25 3,2 4 -31,378 -31,38 2 3,35 3,4 4 7,2396 7,240 3 -2,395 -2,40 Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 26 Všimněte si, že koncové nuly v zaokrouhlených číslech 3 200 a 3 300 nejsou platné, ale musí být napsány, protože jinak by zápis nedával smysl (dostali bychom čísla 32 a 33). Naproti tomu koncové nuly v čísle 1,0000 jsou platné, a proto jsou napsány (kdybychom je vynechali, dostali bychom číslo laz tohoto zápisu by nebylo možné zjistit, že číslo má pět platných cifer). Tedy u celých čísel vzniklých zaokrouhlením nelze jednoznačně říci (bez znalosti přesného čísla), kolik cifer je platných. Např. číslo 5 000 může mít jednu až čtyři platné cifry. 1.3 Reprezentace čísel v počítači Reálná čísla jsou v počítači reprezentována v systému čísel s pohyblivou řádovou čárkou. V podstatě jde o semilogaritmický zápis s normalizovanou mantisou a základem q. Například 5,623 • 105 (q = 10) nebo 1,01011 • 2~10 (q = 2). Systém těchto čísel lze charakterizovat čtyřmi celými čísly: základem číselné soustavy q ^ 2, přesností p ^ 1 (počet cifer mantisy) a rozsahem exponentu [L,U], kde L < 0 < U. Označíme-li tento Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 27 systém písmenem F, pak každé nenulové číslo x e F má tvar (I2 d% dp x — ±m • q , kde m — d\ H---1—- + ••• + q q< p-i di G {0,1,..., q — 1}, / = 1,^ 0 a L ^ e ^ í/. Číslo m je normalizovaná mantisa a e je exponent. Pro x = 0 klademe m = e = 0. Snadno se ověří, že množina F je konečná a obsahuje 2(q — \)qp~l(U — L + 1) + 1 čísel. Čísla z množiny F nazýváme strojová čísla. Reálné číslo x lze zapsat v počítači přesně, jen pokud x G F. Číslo x, které není strojové, musí být při vložení do počítače zaokrouhleno na nejbližší strojové číslo. Podobně při provádění aritmetických operací se strojovými čísly není výsledek obecně strojové číslo a musí být opět zaokrouhlen na nejbližší strojové číslo. Navíc se může stát, že vkládané číslo nebo číslo, které je výsledkem aritmetické operace, je v absolutní hodnotě příliš velké a je mimo rozsah množiny F. Pak dojde k tzv. přetečení a výpočet je přerušen. Podrobnější informace viz [13, 22, 41, 52, 62]. V počítačích vyrobených po roce 1985 jsou čísla reprezentována podle standardu Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 28 IEEE 754-19851. Standard IEEE 754-2008 ze srpna 2008, který vychází z původního standardu, definuje pět základních formátů: tři binární (q = 2) a dva dekadické (q = 10). Podle počtu bitů použitých k uložení čísla v počítači, se označují binary32 (jednoduchá přesnost), binary64 (dvojnásobná přesnost), binaryl28 (čtyřnásobná přesnost), decimal64 a decimall28. Více podrobností lze nalézt v [71, 75]. Kromě této tzv. hardwarové pohyblivé čárky, kdy aritmetické výpočty jsou prováděny přímo v procesoru a jsou rychlé, se používá zápis čísel v softwarové pohyblivé čárce. V tomto případě jsou výpočty emulovány softwarově (pracuje se s teoreticky libovolně dlouhými řetězci cifer). Mluvíme o aritmetice s libovolnou přesností. Výpočty jsou výrazně pomalejší, ale přesnost je omezena jen množstvím volné paměti hostitelského systému. Důvodem použití softwarové pohyblivé čárky je, že hardwarová přesnost někdy není dostatečná. Viz [60]. !I s (IEEE) je profesní sdružení, jehož vedení sídlí v New Yorku a jehož posláním je podpora technologického pokroku a dokonalosti. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 29 1.4 Korektnost a podmíněnost úlohy Korektní úlohy Matematickou úlohu lze obvykle chápat jako zobrazení f (x), které vstupu x z množiny vstupních dat A přiřadí výstup y z množiny výstupních dat B. Řekneme, že taková úloha je korektní, jestliže 1) pro libovolná vstupní data x G A existuje jediné řešení y — f (x) G B, 2) toto řešení spojité závisí na vstupních datech, tedy dostatečně malé změny vstupu x vyvolávají pouze malé změny výstupu y. Úlohy, které nejsou korektní (např. nemají pro některá vstupní data jediné řešení), nelze rozumně numericky řešit. Podmíněnost úloh U korektní úlohy dostatečně malá změna ve vstupních datech vyvolává malou změnu ve výstupních datech. Otázkou ovšem je, co znamenají slova „dostatečně malá". Zdaje Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 30 u konkrétni úlohy z praktického hlediska možné zajistit dostatečně malé nepřesnosti na vstupu, aby nepřesnosti vznikající díky tomu na výstupu byly přijatelné. Je tedy třeba nějakým způsobem kvantifikovat vztah mezi velikostí odchylek na vstupu a na výstupu. Řekneme, že korektní úloha je dobře podmíněna, jestliže je poměr relativní chyby výstupu a vstupu malý. Předpokládejme pro jednoduchost, že vstupy A a výstupy B jsou reálná čísla. Označme: • x vstupní údaj, • Ax absolutní chybu na vstupu, • y — f (x) výstupní údaj, • Ay absolutní chybu na výstupu. Číslo Ay 1 Ax y 1 X I relativní chyba na výstupu | | relativní chyba na vstupu | nazýváme číslem podmíněnosti úlohy y = f (x). Je-li Cp & 1, je úloha (velmi) dobře podmíněná, je-li Cp ^> 1 (např. Cp & 100), je úloha špatně podmíněná. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 31 Obdobně postupujeme, jsou-li prvky množin A, B složitější, např. jsou-li to /2-tice reálnych čísel. Absolutní hodnoty v definici čísla podmíněnosti nahradíme normami (např. eukleidovskými, které jsou indukované standardním skalárním součinem v W1, viz definice 1.3). Výpočet čísla podmíněnosti si ukážeme na příkladu. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 32 Příklad 1.1 Uvažujme soustavu lineárních rovnic o dvou neznámých a soustavu, která z ní vznikla malou změnou jednoho koeficientu: a + b — 2, a + 1,01* = 2,01, a + b — 2, a + 1,01* = 2,02 Posuďte podmíněnost výchozí soustavy lineárních rovnic. Řešení. Nejprve ověříme, že úloha je korektní. Obě soustavy lze zapsat jedním zápisem a + b — 2, a + 1,01* = x, kde za x dosadíme 2,01 nebo 2,02. Vstupem je tudíž parametr x a výstupem dvojice řešení (a,b). Snadno se ověří, že soustava má pro libovolné x jediné řešení a — 2,02 - x 0,01 * = x — 2 0,01 Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 33 Z předchozích vzorců je navíc vidět, že výstup (a, b) spojitě závisí na vstupu x. Pro uvažované dvě hodnoty parametru x dostaneme: x — 2,01 a — 1, b — 1, x — 2,02 a — 0, b — 2. Tedy malá změna druhého koeficientu pravé strany vedla k podstatně jinému řešení soustavy. Určíme číslo podmíněnosti: Vstup: x = 2,01, |jc| = 2,01, Ax = 2,01-2,02 = -0,01, |Ax| = 0,01, Výstup: y = (1,1), UjII = Vl2 + 1* = V2, Aj = (1,1)-(0,2) = (1,-1), IIAjH = Vi2 + (-1)2 = V2, takže ||Aj/|| /|Ajc| _ V2 /0,01 _ 2,01 = 201 Úloha je tedy špatně podmíněná. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 34 Připomeňme ještě Cramerovo pravidlo pro řešení čtvercových soustav lineárních rovnic s regulární maticí soustavy. Vzorce pro neznámé mají tvar zlomku, kde ve jmenovateli je determinant matice soustavy. Ten jev našem případě \ x\x pro a a b), což je malé číslo. To je příčinou špatné podmíněnosti a numerických problémů při řešení naší soustavy. A = 0,01 (srovnejte vzorce 1.5 Vlastnosti numerických algoritmů Jak již bylo řečeno v úvodu, postup, který vede k řešení numerické úlohy, se nazývá numerický algoritmus. Co je obecně algoritmus (přesněji co jsme ochotni považovat za algoritmus), není jednoduchá otázka (viz Churchova1 -Turingova2 teze, [1 3]) a není !A1< i (1903-1995) (čti čerč) — americký matematik a logik, který přispěl významně k rozvoji matematické logiky a teoretických základů informatiky. 2Alai (1912-1954) (čti tjuring) — britský matematik, logik a expert na dešifrování, který významně přispěl k rozvoji informatiky. Během 2. světové války se rozhodujícím způsobem podílel na rozluštění kódu německého šifrovacího stroje Enigma. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 35 naším úkolem ji řešit. Zabývá sejí teorie algoritmů, která je součástí algebry a teoretické informatiky. Intuitivně za algoritmus považujeme jakýsi postup, který slouží k řešení nějakého problému. Příkladů algoritmů z matematiky i jiných oblastí známe řadu, např. ruční postupy pro sečítání, odčítání, násobení a dělení, Eukleidův algoritmus pro nalezení společného dělitele, Hornerovo schéma, dělení polynomů se zbytkem, návod na instalaci softwaru, návod jak vymalovat pokoj, návod jak pěstovat květinu atd. Nás budou zajímat numerické algoritmy, tedy algoritmy, jejichž vstupy i výstupy jsou konečné množiny čísel a kde kroky algoritmů se provádějí na počítači. Při tom, jak již víme, vznikají zaokrouhlovací chyby, nejprve při ukládání vstupních hodnot a pak při provádění aritmetických operací. Aby výstup nebyl zcela znehodnocen a získané výsledky nebyly nesmyslné, je třeba, aby algoritmus byl tzv. stabilní. To znamená, že musí být 1) dobře podmíněný, tj. málo citlivý na poruchy ve vstupních datech, 2) numericky stabilní, tj. málo citlivý na vliv zaokrouhlovacích chyb vznikajících během výpočtu. Obsah Jdi na stranu \< ►I Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 36 1.6 Symbol O V numerické matematice (i v jiných oblastech matematiky, např. teorii čísel, teorii složitosti algoritmů, v analýze a obecně při studiu asymptotických vlastností) je často potřebné vyjádřit, že jedna veličina se zmenšuje rychleji nebo roste pomaleji než jiná veličina. K tomu se používá speciální symbol O, často označovaný jako Landauův1 symbol velké O. Formální definice je následující: Definice 1.2 Nechť /(x) a g(x) jsou funkce definované v okolí bodu Xo (připouštíme i Xo = ±oo). Řekneme, že / (x) = 0(g(x)) v bodě Xo (čteme f je velké O g), jestliže existuje konstanta C > 0 taková, že \f(x) | ^ C \g(x) | v nějakém (jednostranném nebo oboustranném) okolí bodu Xq. Tedy blízko bodu Xq nemůže být | /(x) \ v jistém smyslu větší než \g(x) \. Říkáme rovněž, že funkce f(x) je v bode x o nejvýše stejného řádu jako funkce g{x). Nás bude nejvíce zajímat případ, kdy Xq = 0 a funkce g(x) bude mocnina proměnné x. dau (1877-1938) — německý matematik, který se zabýval teorií čísel a funkcemi komplexní proměnné. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 37 Např. zápis /(x) = O (x2) v bodě nula znamená, že existuje konstanta C > 0 taková, že v dostatečně malém okolí nuly platí | f (x) | ^ C x2,t].— C x2 ^ f {x) ^ C x2. Situace je znázorněna na obr. 1.1; na intervalu (0, 8) je graf funkce /(x) mezi grafy funkcí —Cx2 a C x2. O y y = Cx: y = f M y = -Cx- Obr. 1.1: Význam symbolu /(x) = 0(g(x)) pro g(x) = x Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 38 Při počítání se symbolem O musíme být obezřetní. Např. ze vztahů f\ (x) = 0(g(x)) a /2W — 0(g(x)) v bodě Xo rozhodně nelze usuzovat, že platí f\(x) — f2(x). Zmíněné zápisy totiž pouze značí, že existují kladné konstanty C\ a C2 takové, že I fi (x) I = C\\g(x) | a | f2(x)| ^ C2\g(x) | v nějakém okolí bodu Xo. Např. v bodě nula platí x sin x = 0(x) a x cos x = O (x), ale určitě není pravda, že x sin x = x cos x. Podobně musíme chápat např. zápisy v bodě nula 0(xk)±0(xk) = 0(xk), xlO(xk) = 0(xk+l), 0(xk)0(xl) = 0(xk+l) apod. Např. první z nich znamená, že pokud f(x) = 0(xk) a g(x) = 0(xk), pak rovněž platí f(x) ± g(x) = 0(xk). Protože jiný případ než Xq = 0 a pouze pravé okolí nebudeme až na výjimky potřebovat, budeme slova „v bodě nula" obvykle vynechávat. Existují i další Landauovy symboly, o (malé o), Í2, co, 0 a ~, vyjadřující různé vztahy mezi rychlostmi změn dvou veličin — viz [či]. Symbol o je používán často v analýze, viz [33, str. 301]. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 39 1.7 Vektorové a maticové normy, skalární součin Chceme-li popsat, jak moc se liší dvě reálná čísla x a y, řekneme, jaká je jejich vzdálenost. Taje, jak známo, dána absolutní hodnotou jejich rozdílu \x — y |. Jsou-li tedy tato čísla blízká, je \x — y\ malé číslo. Jestliže nekonečná posloupnost čísel {x^} má limitu x, znamená to, že lim \xk — x | = 0, tedy že vzdálenosti čísel Xk od čísla x se s rostoucím k přibližují k nule. Připomeňme, jak je absolutní hodnota definovaná a jaké má vlastnosti. Pro reálné číslo x klademe x pro x ^ 0, —x pro x < 0. x Hodnota |x| udává vzdálenost čísla x od nuly, tj. od počátku souřadnic na číselné ose. Zřejmě |x| ^ 0, přičemž |x| = 0 právě tehdy, když x = 0. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 40 Pro libovolná dvě reálná čísla x, y platí následující vztahy: —x x \xy\ = \x\• \y x ±y < X \x\ y \y\ X + \y\, (y + o). x ± y > x -\y\ Hodnota \x — y | udává, jak již bylo řečeno, vzdálenost čísel x a y na číselné ose. 1.7.1 Vektorové normy V dalším textu budeme pracovat s uspořádanými /2-ticemi reálných čísel X\, X2, ..., xn, kde n G N. Ty lze chápat jako řádkové matice [x\,..., xn] nebo sloupcové matice [x\,..., xn]T (symbol T značí transponování). Často se pro ně rovněž používá název (aritmetické) vektory. Rádi bychom také dovedli vyjádřit, že jejich vzdálenost je malá, že se posloupnost takových n-tic přibližuje k nějaké /2-tici apod. Pro n = 2 a n = 3 můžeme dvojice resp. trojice reálných čísel chápat jako souřadnice bodů v rovině resp. prostoru. V těchto případech máme názornou představu, co znamená jejich vzdálenost. Pro n ^ 4 tomu už tak není. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 41 Abychom mohli nějakým způsobem měřit velikost a vzdálenost takových vektorů, zavedeme následující důležitý pojem, jehož definice je motivovaná některými vlastnostmi absolutní hodnoty. Připomeňme, že pro každé dvě /2-tice x, y (chápané jako matice) je definován jejich součet x + y (sčítají se složky vektorů se stejnými indexy) a pro každé číslo c a každou /2-tici x je definován (skalární) násobek vektoru číslem c x (číslem c se násobí každá složka vektoru). V dalším textu bude vhodnější, když budeme vektory považovat za sloupcové matice. Tedy n -rozměrný vektor označíme x = [x\,..., xn]T (zápis pomocí transponování je vhodnější, zabere v textu méně místa). Speciálně 0 bude nulový vektor, tj. 0 = [0,..., 0]T. Množinu všech takových sloupcových vektorů označíme W1. Definice 1.3 Funkce, která každému vektoru x e ľ1 přiřazuje reálné číslo ||x||, se nazývá (vektorová) norma na W1, jestliže má následující vlastnosti: 1) ||x || ^ 0 pro každý vektor x G lw, přičemž ||x || = 0, právě když x — 0; 2) ||cx 3) \\x+y c\ • ||x II pro každé číslo c G M a každý vektor x G ff2; < x II + IIJII Pro každé vektory x, y Gl". Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 42 Druhá vlastnost se (někdy) nazývá homogenita, třetí pak trojúhelníková nerovnost nebo subaditivita. Na množině W1 existuje nekonečně mnoho různých norem. Pokud budeme pracovat Wh, kde a a s více normami najednou, označíme je vhodným dolním indexem, např. a, b jsou nějaké symboly. Uvedeme nyní příklady nej důležitějších norem, které se praxi používají. Nechť p ^ 1 je reálné číslo. Pak funkce definovaná vztahem n i = \ Up X j (1.3) je vektorová norma. Ověření prvních dvou vlastností normy je snadné, důkaz trojúhelníkové nerovnosti viz např. [15, str. 70]. Nejčastěji užívané speciální případy jsou (součtová norma), x i = Ui H-----\-\xn x x j = max{|xi + x n Xn\} (eukleidovská norma), (maximální norma). Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 43 Třetí norma není speciálním případem vzorce (1.3), ale snadno se ověří pomocí věty o limitě tří funkcí (viz [16, str. 70] nebo [33, str. 156]), že lim je tedy logické. p °° 00' Označení Příklad 1.4 Je dán vektor x = [—1,2,3,—2]T Gl4. Vypočtěte jeho normy ||x pro p — 1,2, oo. Řešení. Platí: x x i = -1 + 2 + 3 + -2 = 8, = V(-l)2 + 22 + 32 + (-2)2 = VIŠ, = max{|-l|,|2|,|3|,|-2|} = 3. Pro dva vektory x, y G Mw se číslo ||x — y\\ nazývá vzdálenost vektorů x,y v norme || (srovnejte se vzorcem pro vzdálenost dvou čísel). Dále pro vektor x o G W1 a číslo r > O se množina K(xo, r) = {x G Mn : ||x — xo|| = r) nazývá uzavřená koule v normě \\.\\ se středem x o a poloměrem r. Je to tedy množina všech vektorů, které mají od pevného vektoru x q vzdálenost nejvýše r. Podobně definujeme otevřenou kouli Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 44 0(xo, r) = {x G Rn : ||x — xo|| < r) a kulovou plochu S(xo, r) = {x G Rn : ||x — — x o || = r). Je-li n — 2, používáme místo názvu koule název kruh a místo názvu kulová plocha název kružnice. Pojmenování koule a kulová plocha resp. kruh a kružnice musíme brát s rezervou. Vzdálenost se měří pomocí dané normy, takže tvar těchto množin obecně neodpovídá tomu, co standardně tato slova označují, viz následující příklad. Příklad 1.5 Nakreslete obrázky kruhů se středem v počátku a poloměrem r > 0 v M2 v normách H.H^ pro p — 1, 2, oo. Řešení. Prvky množiny M2 lze ztotožnit s kartézskými souřadnicemi bodů v rovině. Hledáme tedy dvojice x — [x\, X2Y, pro něž platí || x — 0 normách. ^ r v uvedených 1 — Xi I + l*2| = r- Zjistíme, jak tato podmínka 1) Pro p — 1 dostaneme nerovnost x vypadá v jednotlivých kvadrantech. V prvním kvadrantu je X\ ^ 0 a x 2 = 0, takže má platit X\ + x 2 = r. Body tudíž leží pod přímkou o rovnici X2 = —X\ + r. Ve druhém kvadrantu je X\ ^ 0 a X2 = 0, takže má platit —X\ + X2 = r. Body tudíž leží pod přímkou o rovnici x2 = X\ + r. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 45 Ve třetím kvadrantu je X\ ^ O a x 2 = O, takže má platit —X\ — x2 = r. Body tudíž leží nad přímkou o rovnici X2 = —X\ — r. Ve čtvrtém kvadrantu je X\ ^ 0 a x 2 = 0, takže má platit X\ — x 2 = r. Body tudíž leží nad přímkou o rovnici x2 = X\ — r. Výsledek je znázorněn na obr. 1.2 a). Jedná se o čtverec s vrcholy [r, 0], [0, r], [—r, 0] a[0,-r]. 2) Pro p — 2 dostaneme nerovnost ||x ||2 = Vx2 + xf ^ r, tj. x2 + x\ ^ r2. Jedná se tedy o kruh v normálním slova smyslu, viz obr. 1.2 b), což se dalo čekat, protože jde o eukleidovskou normu. 3) Pro p — 00 dostaneme nerovnost ||x||oo — niax{| X\ , x2 |} ^ r. Musí tudíž platit |*i I = r i l*2| = tj- — r = X\ ^ r a současně — r ^ a2 = r. Body splňující první podmínku leží mezi svislými přímkami o rovnicích X\ — —r a X\ — r a body splňující druhou podmínku leží mezi vodorovnými přímkami o rovnicích x2 = — r a x2 = r. Výsledek je znázorněn na obr. 1.2 c). Jedná se o čtverec s vrcholy [r, r], [-r, r], [-r,-r] a [r,-r]. Á Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 46 —r a) Součtová norma —r b) Eukleidovská norma 2 ,T o —r x2 p 11 —r c) Maximálni norma Obr. 1.2: Kruh v M v ruzných normách V dalším textu budeme pracovat s posloupnostmi vektorů. Protože dolními indexy jsou očíslovány složky vektorů, použijeme, tak jak je obvyklé, pro označení pořadí členů posloupnosti horní indexy v kulatých závorkách. Tedy x(k) = .....x(fe)]t} kde k G N. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 47 Definice 1.6 Nechť {x^},k = 1,2,..., je posloupnost vektorů v J\ln. Řekneme, že tato posloupnost konverguje v normě ||.|| k vektoru x £ W1 a píšeme lim x^ — x k^*oo nebo x^ -> x pro k -> oo, právě když lim — x || = 0. A:—>-oo Konvergence v normě je tedy definována pomocí konvergence číselné posloupnosti x^ — x ||. Její hodnoty však závisí na volbě normy. Je tedy přirozené položit si otázku, zdaje možné, že nějaká posloupnost v jedné normě konverguje, ale v jiné ne. K odpovědi na tuto otázku zavedeme následující pojem. Definice 1.7 Řekneme, že dvě normy ||.||a a ||.||& na jsou ekvivalentní, jestliže existují kladné konstanty C\ a c>i takové, že pro libovolný vektor x G W1 platí nerovnosti ^1 lišila = ^\b = ^21|||a • v (^) _ v a = 0, právě když Je zřejmé, že pro ekvivalentní normy platí, že lim k->oo lim ||x^ — x ||& = 0. Tedy ekvivalentní normy určují tytéž konvergentní posloupnosti k^*oo Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 48 vektorů. Jako příklad ekvivalentních norem lze uvést dvojici ||. || i a 00- Platí totiž: oo = max{|xi x||i ^ X i xn I} — Xj H-----hUr < = II xi H-----h x n X r — n oo' n krát Lze tedy zvolit C\ — 1 a c2 — n. Tyto konstanty nelze zlepšit (c\ zvětšit a c2 zmenšit), protože pro x = [1,0,... ,0]T platí ||jc||oo — 1 — lišili a pro x = [1,1,..., 1]T platí ||x || oo — 1 a ||x ||i = n, tedy ||x ||i = n\\x W^. Lze dokázat následující netriviální výsledek (viz např. [8, str. 157], [52, str. 209] nebo [54, str. 93 a 100]). Věta 1.8 Libovolné dvě vektorové normy na W1 jsou ekvivalentní. Z předchozí věty vyplývá, že pokud nějaká posloupnost vektorů konverguje v jedné normě, konverguje v jakékoli jiné a limita je vždy stejná. Dále je snadno vidět, že posloupnost vektorů konverguje v normě ||. || i k vektoru x, právě když posloupnosti jednotlivých složek xjk\ i = 1,..., n, konvergují ke složkám xt. Ve spojení s větou 1.8 dostáváme následující důležitý výsledek. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 49 Důsledek 1.9 Posloupnost vektoru konverguje v nějaké vektorové normě na W1 k vektoru x, právě kdy z lim x^ — x t pro každé i — 1,..., n. Tedy konvergence posloupnosti vektorů v libovolné normě je ekvivalentní s konvergencí číselných posloupností složek (mluvíme o konvergenci po složkách). Zdánlivě by tudíž stačilo vybrat a používat jen jednu normu. Ukazuje se však, že to není pravda, v různých situacích je výhodné pracovat s různými normami. Poznámka 1.10 Doposud jsme pracovali s vektory, jejichž složky byla reálná čísla. Analogicky je možné uvažovat vektory, jejichž složky jsou komplexní čísla. Množinu všech takových sloupcových matic označíme Cn. Ukazuje se, že všechny pojmy, které jsme zavedli v tomto oddílu, je možné beze změn přenést i na komplexní případ. (U eukleidovské normy musí být místo xf, což nemusí být reálné číslo, \x\ |2.) Rovněž všechna uvedená tvrzení zůstávají v platnosti. 1.7.2 Maticové normy Podobně jako je v nejrůznějších částech matematiky třeba pracovat s řádky nebo sloupci čísel, je často potřebné pracovat se soubory čísel uspořádanými do obdélníkových schémat, Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 50 tedy s maticemi. I v případě matic je žádoucí mít možnost posuzovat, jak je daná matice „velká" nebo jak jsou dvě matice „vzdálené". Označme Mm?„ množinu všech obdélníkových matic o m řádcích a n sloupcích s reálnými prvky. Je-li m = n, tj. jde-li o čtvercové matice, použijeme označení Mw. Připomeňme, že pro libovolné matice A, B G Mm?„ a libovolné číslo c G M je definován součet matic i + 5a násobek matice číslem c A. Naskládáme-li prvky matice z množiny Mm?„ do jednoho sloupce, dostaneme vlastně vektor z množiny WLmxn. Při tomto ztotožnění si budou odpovídat i operace sečítání matic a násobení matice číslem. Nepřekvapí proto, že definice normy matice bude téměř identická s definicí normy vektoru (což je vlastně sloupcová matice). Definice 1.11 Funkce, která každé matici A G Mm?„ přiřazuje reálné číslo ||^4||, se nazývá (maticová) norma na Mm?„, jestliže má následující vlastnosti: 1) II A1| ^ 0 pro každou matici A G Mm?„, přičemž ||^4|| = 0 právě tehdy, když A = O: \c • A < A 3) \\A + 51| ^ \\A\\ + ||51| pro každé matice A, B G Mmn. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 51 Druhá vlastnost se (někdy) nazývá homogenita, třetí pak trojúhelníková nerovnost nebo subaditivita. Na množině Mm?„ existuje nekonečně mnoho různých norem. Pokud budeme pracovat s více normami najednou, označíme je vhodným dolním indexem, např. ||.||a a ||.||^, kde a, b jsou nějaké symboly. Uvedeme nyní příklady tří norem, které jsou analogiemi vektorových norem ||.||i, ||.||2 a ||-1|oo- m n A s — a i=\ j=i m n A A f — M — a i=\ j=i max {\aij\} l í j * * * j j j = l,...,n (součtová norma) (Frobeniova1 norma) (maximálni norma). *Fer ius (1849-1917) — německý matematik. Zabýval se zejména algebrou. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 52 Frobeniova norma je také známá pod názvy Hilbertova^Schmidtova2 norma nebo Schurova3 norma. Pro maticové normy se zavádějí obdobné pojmy a platí obdobné výsledky jako pro vektorové normy. Nebudeme je podrobně vypisovat, uvedeme jen stručný přehled. 1. Pro posloupnost matic e Mm?„, k = 1, 2,..., a matici A e Mm?„ definujeme, ze lim A™=A v normě ||.||, právě když lim ||^4^ — ^4|| =0 (definice 1.6). 2. Stejným způsobem se zavádí ekvivalentní maticové normy (definice 1.7). Ty určují tytéž konvergentní posloupnosti matic v MmjW. 3. Všechny maticové normy v Mm?„ jsou ekvivalentní (věta 1.8). 1 Davii t (1862-1943) — významný německý matematik. Ovlivnil řadu matematických oborů. Je považován za jednoho z nej významnějších matematiků všech dob. Na 2. mezinárodním kongresu matematiků v Paříži v roce 1900 předložil 23 otevřených problémů, dnes nazývaných 1 ly, které považoval za klíčové pro další rozvoj matematiky. Ne všechny byly dodnes vyřešeny. 2Erha] t (1876-1959) (čti šmid) — německý matematik. Zabýval se integrálními rovnicemi a topologií. 3L * (1875-1941) (čti šur) — německý matematik židovského původu narozený v Rusku. Zabýval se reprezentací grup. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 53 4. Posloupnost matic G Mm?„ konverguje v nějaké normě k matici A G Mm?„ právě tehdy, když konvergují posloupnosti jednotlivých složek, tj. lim = aij, i — 1,..., m, j — 1,..., n (důsledek 1.9). k^oo Pro matice však existuje ještě jedna důležitá operace, a to násobení matic. Pro matici A G Mm?/2 a vektor x G 1" je jejich součin Ax vektorem v Mm a pro matice A G Mm?w a 5 G M^?/7 je jejich součin AB maticí v Mm?/7. Na začátku oddílu 1.7 jsme mluvili o absolutní hodnotě, která byla inspirací pro definici normy. Jednou z vlastností absolutní hodnoty je, že pro součin dvou čísel platí \ab\ = \a\ • \b\. Tento požadavek však pro normy nelze rozumně splnit. Nicméně v mnoha aplikacích je podstatné umět odhadnout normu součinu pomocí norem činitelů. Proto se zavádějí následující dva důležité pojmy. Obsah Jdi na stranu \4 ►I Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 54 Definice 1.12 1) Nechť ||.||a je vektorová norma na W1, ||.||& je vektorová norma na Mm a ||.|| je maticová norma na M m,n Řekneme, že maticová norma ||. || je souhlasná s vektorovými normami a a jestliže nerovnost ||^4jc||^ ^ ||^4|| • platí pro libovolnou matici A G Mm?„ a libovolný vektor x G W1. Speciálně, je-li \\.\\a = ||. ||& (nemusí nutně platit m — n, touto rovností se myslí, že normy jsou dány obdobnými vzorci, viz např. (1.3)), říkáme, že maticová norma je souhlasná s vektorovou normou ||. 2) Nechť ||. || je maticová norma definovaná na Mm?„ pro libovolné rozměry m a n Řekneme, že maticová norma ||. || je submultiplikativní, jestliže nerovnost \\AB < < A\\ • \\B\\ platí pro libovolnou dvojici matic A G Mm?„ a B G MWj/>. Požadavek submultiplikativity se často zahrnuje do definice 1.11 maticové normy. Lze např. ukázat, že Frobeniova maticová norma je souhlasná s eukleidovskou vektorovou normou, tj. platí || Ak H2 = \\A\\f • H2- Dále platí, že Frobeniova norma je submultiplikativní, tedy ||^45||/r ^ ||^4||f • IIB\\ f- Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 55 Konstrukce operátorové normy V obecném případě však bohužel výše uvedené dvě důležité vlastnosti norem neplatí. Proto si nyní popíšeme konstrukci, která ke dvojici vektorových norem přiřadí jistou „nejmenší" souhlasnou maticovou normu. Nechť ||. ||«je vektorová norma na Mw, ||. ||& je vektorová norma na Mm a A G Mm?„ je libovolná matice. Uvažujme množinu všech jednotkových vektorů v W1, tj. takových vektorů x G W1, pro něž platí = 1. Tyto vektory tvoří jednotkovou kulovou plochu S(0,1) v normě ||.||a v W1. Lze ukázat, že reálná nezáporná funkce || A*: ||& na S (0,1) nabývá nej větší i nejmenší hodnotu. Nej větší hodnotu označíme symbolem || A || a h-Tedy A a,b = max \\Ax\\b ll*L=i (1.4) Věta 1.13 Funkce \\A\\a£ definovaná vztahem (1.4) je maticová norma na Mm?w x Důkaz. Zřejmě ||^4||a £ ^ Oa || £ = 0. Je-li A ^ O, existuje x G W1, že Ax 0, takže ||^4jc > 0. Tedy musí platit ||^4||a £ > 0. Pro c G R je ||c^4x||^ = |c| • ||^4x||^, takže max ||c^4x||^ = \c znamená, ze cA a,b — C A a,b \x\\a = l max l*lla = i a = 1, takový, Ax\b- To Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 56 < Konečně pro libovolný vektor x G Rn, \\x\\a = 1, je \\(A + #)x||& = ||^4x + Bx\\b ^ Ax \\b + \\Bx\\b £ ||^4\\ab + || B\\ab, takže musí platit nerovnost \\A + B\\ab £ ||^4||a,£ + + B a,b- □ O maticové normě ||. \ \a b říkáme, že je indukovaná vektorovými normami a a nebo že je přidružená k vektorovým normám a & \\-\\b- Je-li \a \b (nemusí platit m = n, touto rovností se myslí, že normy jsou dány obdobnými vzorci), používáme (pokud nemůže dojít nedorozumění) pro normu matice ,4 rovněž označeni || A \ \a a říkáme, že maticová norma \\.\\a je indukovaná vektorovou normou \\.\\a nebo že maticová norma ||. ||a je přidružená k vektorové normě ||. Maticová norma indukovaná nějakými vektorovými normami se nazývá operátorová maticová norma. Uvedeme dva další vztahy, pomocí nichž lze ekvivalentně maticovou normu ||. \\a,b definovat. Pro nenulový vektor x platí l*lla "0 \a a \a |*|| a — 1 (použili jsme homogenitu normy). Dále ^(-jt^-) = AÍ-rrKr-x) = tÁt-Ax (podle pravidel pro náso- Mlžila' Mlžila ' lišila bení matice číslem). Tedy (opět použijeme homogenitu normy) platí, že \\A(ttj-) II h — ll mI^hIčí' lit? Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 57 r-k-Ax r = \\Ax |L. Probíhá-li x všechny nenulové vektory v M*2, pak -^Ar- \X\\ci O ll^lltí ll^lltí probíhá všechny vektory v S(0,1). Platí tudíž, že A m a m \\Ax\\b a9b — max = max——-— ll-^llcz = l X^O \\x Ljr (1.5) Z předchozího vztahu plyne důležitý poznatek, že pro libovolný nenulový vektor x G M'2 je splněna nerovnost \\Ax ||& ^ ||^4||a^ • ||x Ta platí triviálně i pro nulový vektor. Přitom číslo ||^4 je nejmenší konstanta k, pro niž platí pro všechna x G IR/2 nerovnost \\Ax ||& ^ £ ||x Dostáváme následující tvrzení. Důsledek 1.14 Maticová norma ||. je souhlasná s vektorovými normami které ji indukují. a a Ze vztahu (1.5) rovněž plyne, že norma ||. je nejmenší maticová norma, která je souhlasná s vektorovými normami a a Nechť A G Mm?/2 a i? G MWj/>. Jestliže na Mm, M71 i zvolíme tutéž vektorovou normu a,budeprox G platit,že ||^45x||a ^ ||^4||a-||5jc < a = a a Protože |a je nejmenší číslo k, které splňuje nerovnost ||^45x \\a ^ k\\x \\a, dostá- vame, ze AB < a = A a ' B\\a. Tudíž: Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 58 Důsledek 1.15 Maticová norma \-\a indukovaná vektorovou normou W-Wa j& submul-tiplikativní. Nechť \\.\\a,b je maticová norma indukovaná vektorovými normami a a Pro x e Rn, \\x\\a ^ 1, dostaneme, že ||^4*|U = II^IU,^ • II* IL = °d-kud max ||^4jc||^ = ||^4||a^. Na druhé straně, jelikož S(0,1) c K(0,1), platí, že 11*11 = 1 \\A\\ab = max ^ max \\Ax \\b-Tedy ||^4||a b — max 11^4* \\b a můžeme do- ll*ll=i ll*ll=i ' ll*ll=i plnit vztah (1.5) o třetí ekvivalentní definici. Maticovou normu indukovanou vektorovými normami můžeme tudíž definovat kterýmkoli v z následujících výrazů. A a,b — max l*lla = l AxWh — max \\Ax \\b = max |x||fl = l x^O Ax \a (1.6) Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 59 Nejužívanější operátorové maticové normy Uvažujme matici A e MmjW. Na množinách Mm a W1 budeme vždy uvažovat tutéž vektorovou normu ||. H^, kde p = 1,2 nebo oo. Půjde tedy o součtovou, eukleidovskou nebo maximální vektorovou normu. Lze ukázat, že maticové normy H.H^ indukované těmito vektorovými normami mají následující vzorce (viz např. [18, str. 167] nebo [52, str. 210]). m 1) || A || i = max y j = l,...,n ' i = l a Norma ||^4||i je tedy rovna maximu sloupcových součtů absolutních hodnot prvků matice A. 2) || A || 2 = V^mäx' kde Amax je nej větší vlastní číslo matice ATA. n 3) || 41| oo = max i = l,...,m L—' .7 = 1 a Norma ||^4||oo Je tedy rovna maximu řádkových součtů absolutních hodnot prvků matice A. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 60 Vzorec pro maticovou normu ||. H2 potřebuje jisté vysvětlení. Čtvercová matice B se nazývá symetrická, jestliže platí BT = B. Je-li B g Wín symetrická a pro libovolný nenulový vektor x g Wn platí xTBx > 0 (xTBx ^ 0), nazývá se matice B pozitivně definitní (semidefinitní). Viz též str. 225. Uvědomte si, že xTBx je jednorozměrná matice, tj. číslo. Lze dokázat, že všechna vlastní čísla, tj. kořeny charakteristického polynomu, pozitivně definitní (semidefinitní) matice jsou reálná a kladná (nezáporná). Matice ATA je symetrická, protože (ATA)T = ^4T(^4T)T = ATA. Je rovněž pozitivně semidefinitní, protože xTATAx = = (Ax)TAx = || Ax || 2 =0. Tudíž Amax ^ 0a zmíněný vzorec má smysl. Podle důsledku 1.14 jsou všechny tři výše uvedené maticové normy souhlasné s normou, která je indukuje, tj. platí H^t^H/? = \\A\\P • ||x H^, kde p = 1,2, 00. Podle dů- sledku 1.15 jsou tyto normy rovněž submultiplikativní, tj. platí \\AB kde p = 1,2, 00. < p = A B p> Obsah Jdi na stranu \4 ►I Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 61 Příklad 1.16 Vypočtěte maticové normy ||^4||s, ||^4||f> \\A pro matici M? A\\u \\A 2 a A oo A = 2-1 0 -3 1 -2 Řešení Pomocí výše uvedených vzorců dostaneme: A s = 2 + |-1| + |0| + -3| + |1| + -2| = 9, A f = V22 + (-1)2 + O2 + (-3)2 + l2 + (-2)2 = VÍ9, A m — max{|2|, | — 1|,|0|,|-3|,|1|,|-2|} = 3, A 1 — max{|2| + -3|,|-1|+ 1|,|0| + |-2|} = 5, A 00 — max{|2| + -1 + |0|,|-3| + |1| + |-2|} = 6. K určení normy ||^41|2 musíme nejprve spočítat matici ATA, najít její charakteristický Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 63 Poznámka 1.17 Je-li ||.|| operátorová norma na Mw indukovaná nějakou vektorovou normou na Mw, je z její definice zřejmé, že || E \\ = 1, kde E g Mw je jednotková matice. Protože || £ || f = ^/Ťž, je jasné, že Frobeniova norma není pro n > 1 operátorová. Poznámka 1.18 Výsledky tohoto oddílu platí i pro matice, jejichž prvky jsou komplexní čísla — srovnejte poznámku 1.10. Je pouze třeba provést několik drobných modifikací. Vektory budou prvky množiny Cn. V definici Frobeniovy normy je třeba změnit afj (což nemusí být reálné číslo) na a\j . Ve vzorci pro maticovou normu ||. H2 je třeba matici Á^A nahradit maticí A*A. Zde A* značí matici konjugovanou k AT. Taje rovna matici AT, jejíž prvky se nahradí komplexně sdruženými čísly. Čtvercová matice B = A*A je pak tzv. hermitovská, což znamená, že pro ni platí B* = B. Definice pozitivně definitní resp. semidefinitní matice se zavádí pro hermitovské matice. Pro nenulové vektory x g Cn musí platit x * Bx > 0 resp. x* Bx ^ 0, kde B je hermitovská matice. (Lze ověřit, že x*Bx je pro hermitovskou matici reálné číslo.) Všechna vlastní čísla pozitivně definitních resp. semidefinitních matic jsou reálná a kladná resp. nezáporná. Obsah Jdi na stranu \4 ►I Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 64 1.7.3 Číslo podmíněnosti čtvercové matice Předpokládejme, že ||. || je maticová norma na množině čtvercových matíc M„, která je submultiplikativní, je souhlasná s vektorovou normou ||.|| na M" a platí, že || £ľ || = 1. Například to může být operátorová maticová norma indukovaná nějakou vektorovou normou — viz důsledky 1.14, 1.15 a poznámka 1.17. Připomeňme, že čtvercová matice A se nazývá regulární, právě když det A ^ 0. Tato vlastnost je současně ekvivalentní existenci inverzní matice A-1. Definice 1.19 Nechť A je regulární čtvercová matice. Číslo k (A) = \\A\\ • \\A nazývá číslo podmíněnosti matice A. -i se Jak uvidíme v kapitole 3, číslo podmíněnosti matice má zásadní význam při vyšetřování citlivosti numerického řešení soustav lineárních algebraických rovnic na chybách ve vstupních datech a zaokrouhlovacích chybách. Číslo podmíněnosti závisí pochopitelně na volbě konkrétní maticové normy. V aplikacích to však většinou nehraje podstatnou roli. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 65 Vzhledem k předpokladům, které jsme udělali o použité maticové normě, platí E — AA~l < A • A~l Pro libovolnou čtvercovou matici je proto k (A) ^ 1. Je-li k (A) ^ 1, nazývá se matice dobře podmíněná. Je-li k (A) hodně větší nezjedná, je matice špatně podmíněná — srovnejte definici podmíněnosti korektní úlohy na str. 30. Na závěr uvedeme ještě jedno vyjádření čísla podmíněnosti matice. Je-li A regulární matice a vektor x probíhá všechny nenulové vektory množiny Mw, pak také vektory A x probíhají celou tuto množinu. Jak již bylo zmíněné před vztahem (1.4), funkce || A* || nabývá na S (0,1) i minimum, které musí být pro regulární matici kladné, protože Ax ^ 0 pro x j^z 0. Vypočítáme nyní normu inverzní matice. Vyjde: A -i = max — max A~\ max 1 A~lAx II Ar II 1 x^o \\Ax mm x^O \Ax mm Ix|| = l \Ax Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 66 Dostáváme tak, že k(A) = max \\Ax ||x|| = l min \\Ax Ilx|| = l \Ax max- x^O x \Ax min- x^O x -1 Pro singulární matici je min || A x \\ = 0, proto je pro takovou matici rozumné položit k(A) — oo. Il^ll-1 Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 67 1.7.4 Spektrální poloměr Uvažujme čtvercovou matici A s reálnymi nebo komplexními prvky. Připomeňme, že vlastní čísla matice A jsou kořeny charakteristického polynomu det(^4 — A E). Obecně jsou to komplexní čísla (i v případě, že matice A je reálná). Definice 1.20 Nechť Ai, a2,..., Aw jsou vlastní čísla matice A. Číslo p(A) — max \Xt \ l 1 ^ • • • ^ ~f% (1-7) se nazývá spektrální poloměr matice A. Spektrální poloměr hraje důležitou roli např. při vyšetřování konvergence iteračních metod řešení soustav lineárních rovnic. Určit jej je obecně poměrně obtížné, avšak jeho velikost lze odhadnout pomocí vhodné maticové normy. V následující větě předpokládáme, že použitá maticová norma je souhlasná s nějakou vektorovou normou. Protože vlastní čísla mohou být komplexní, a tudíž složky příslušných vlastních vektorů mohou být rovněž komplexní, je třeba obecně pracovat s vektorovými Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 68 normami naC" a maticovými normami, které jsou určeny pro matice s komplexními prvky — viz poznámky 1.10a 1.18. Věta 1.21 Nechť A je čtvercová matice. Pak pro její spektrální poloměr platí nerovnost p(A) ^ || A ||, kde \\.\\je libovolná maticová norma, která je souhlasná s nějakou vektorovou normou. Důkaz. Nechť uvažovaná maticová norma je souhlasná s vektorovou normou II. \ \a. Předpokládejme, že A je vlastní číslo matice A příslušné vlastnímu vektoru x. Ze vztahu Ax = Xx dostaneme: A a a — \\Ax \\a ^ A a Protože x ^ 0, je ||x ||a > 0, takže z předchozí nerovnosti dostaneme, že |A Jelikož vlastní číslo A bylo libovolné, platí dokazovaná nerovnost. < A □ Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 69 1.7.5 Skalární součin V oddílu 4.3 budou použity některé poznatky o ortogonálních vektorech v W1. Uvedeme nyní proto stručný přehled potřebných pojmů a výsledků. Definice 1.22 Funkce, která každé dvojici vektorů x, y G W1 přiřazuje reálné číslo (x, y), se nazývá skalární součin na IĽ\ jestliže jsou splněny následující čtyři vlastnosti: 1) (x, y) = (y, x) pro každé vektory x, y Gl"; 2) (cx, y) = c(x, y) pro každé číslo c G M a každé vektory x, y Gl"; 3) (x + y, z) = (x, z) + (j, z) pro každé vektory x, j, z G Mw; 4) (x, x) > 0 pro každý nenulový vektor xgI". První vlastnost se nazývá komutativní zákon, druhá homogenita v první složce a třetí pravý distributivní zákon. Poznamenejme, že v elementární analytické geometrii a ve fyzice se skalární součin obvykle značí tečkou, tj. x y. Naše označení má však své přednosti, zejména při zápisu složitějších výrazů. Z definice skalárního součinu se snadno odvodí další vlastnosti, které pro něj platí. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 70 a) (x, c y) = (cy ,x) — c(y, x) = c(x, y) pro každé číslo c G M a každé vektory x, y e Rn. Platí tedy i homogenita ve druhé složce. b) (z, x + y) = (x + y,z) = (x, z) + (j, z) = (z, x) + (z, y) pro každé vektory x,y,z G Rn. Platí tedy i levý distributivní zákon. c) (0, x) = (0 • 0, x) = 0 (0, x) = 0 pro každý vektor x G Rn. Tedy skalární součin nulového vektoru s libovolným dalším vektorem je číslo nula. Čtvrtou vlastnost skalárního součinu lze proto zformulovat také tak, že (x, x) ^ 0 pro každý vektor x G Rn, přičemž rovnost nastane pouze pro nulový vektor. Skalární součin úzce souvisí s vektorovou normou, což je obsahem následující věty. Ta říká, že na prostoru se skalárním součinem je dána jistá přirozená norma. Věta 1.23 Nechť je na Rn dán skalární součin. Pak funkce \\.\\ daná vztahem = y/(x,x), xeť, (1.8) je vektorová norma na WLn. Říkáme, ze tato norma je indukovaná skalárním součinem. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 71 Důkaz. První vlastnost normy je zřejmá. Ověření druhé vlastnosti normy je snadné. Pro c GMax gM"s využitím homogenity v obou složkách vyjde cx\\ = \l (c x, cx) = ^/c2(x,x) = Vč2^/ (x,x) = \c\ • \\x Třetí vlastnost, trojúhelníková nerovnost, se odvodí pomocí důležité nerovnosti, známé pod jmény Cauchyova1 -Bunjakovského2 -Schwarzova3, která říká, že pro libovolné vektory x,y eRn platí \(x,y)\ ^ ||x|| • \\y (1.9) kde = ^/(x, x) a || j || = yj(j, y). Důkaz viz např. [36, str. 66]. S využitím 1 Au y (1789-1857) (čti koši) — vynikající francouzský matematik, autor 789 prací. Položil základy současné matematiky, zejména analýzy. 2\ ikovskij (1804-1889) — ruský matematik. Zabýval se teorií čísel, geometrií a aplikovanou matematikou. 3ř Schwarz (1843-1921) (čti Švarc) — německý matematik. Zabýval se analýzou a jejími aplikacemi v geometrii. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 72 distributivního a komutativního zákona a této nerovnosti dostaneme: x + JII2 = (* + yx + y) = (x>x) + (x, y) + (y, x) + (y, y) = = \\x\\2 + 20, j) + || j||2 £ ||x||2 + 2||x||||j|| + || j||2 = = (II* II + \\y Po odmocnění obdržíme trojúhelníkovou nerovnost. □ Nej důležitějším příkladem skalárního součinu na M72 je tzv. standardní skalární součin, který je dán vzorcem (x,y) = xiyi H-----h xnyn. Jím indukovaná vektorová norma je pak X || = y/(x,x) = Jx\-\-----V Xl což je nám již známá eukleidovská norma, kterou značíme Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 73 Není těžké popsat všechny skalární součiny na Mw. Protože však v dalším textu budeme potřebovat právě standardní skalární součin, další příklady nebudeme uvádět. Nicméně následující výsledky platí pro libovolné skalární součiny. Poznámka 1.24 Viděli jsme, že eukleidovskou vektorovou normu lze indukovat skalárním součinem. Je přirozené položit si otázku, zda každá vektorová norma může být indukovaná nějakým skalárním součinem. Odpověď je negativní. Pomocí vlastností skalárního součinu se snadno ověří, že pro normu indukovanou skalárním součinem, tj. danou vztahem (1.8), platí identita x + y II + \\x — y II = 2 + 2||v Lze ukázat, že tato podmínka je i postačující. Důkaz není triviální, viz např. [32, str. 68]. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 74 Pravoúhlý průmět vektoru na podprostor V oddílu 4.3 budeme potřebovat umět rozložit daný vektor na součet dvou kolmých vektorů. Zavést pojem kolmosti nám umožní právě skalární součin. Definice 1.25 Předpokládejme, že na Mw je dán skalární součin (•,•). Řekneme, že dva vektory x, y ei" jsou ortogonální neboli kolmé (vzhledem k tomuto skalárnímu součinu) a píšeme x _L y, jestliže platí (x, j) = 0. (1.10) Dále řekneme, že vektor x je ortogonální nebo kolmý k množině vektorů A C W1 a píšeme x _L A, jestliže je vektor x ortogonální ke každému vektoru y G A. V případě množin M2 a M3 se standardním skalárním součinem, jejichž geometrickými modely jsou rovina a (trojrozměrný) prostor s eukleidovskou vzdáleností, jde o obvyklý pojem kolmosti, jak ho známe z analytické geometrie. Nechť x(1), x(2),..., x(m) G W1 je daná množina m vektorů. Uvažujme nyní mno- Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 75 žinu [/ Cl" všech vektorů x G W1 tvaru X — C\X | C^X | * | CfljX , (1.11) kde C\, c2,..., cm jsou libovolná reálná čísla. Říkáme, že vektor x je lineární kombinací vektoru x^\ x^ s koeficienty C\, cm. Množina U se nazývápodprostor W1 generovaný vektory x ^\ x^ a použijeme pro ni označení tj _ rv(l) r(2) (m)i Snadno je vidět, že pokud x, y G U a c je libovolné číslo, pak také x + j G U a cx e U. Vektory xaj mají totiž vyjádření x = C\X^ + • • • + cmx^ aj = = + • • • + dmx(m\ takže x + y = (ci + ú?i)x(1) H-----h (cm + dm)x C X — C C \ X I * I (ľ Cjfi x , (m) což jsou opět vektory mající vyjádření ve tvaru (1.11). Tedy množina U s každými dvěma vektory obsahuje jejich součet a s každým vektorem obsahuje jeho libovolný násobek. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 76 Právě podmnožiny W1 mající tyto dvě vlastnosti se nazývají podprostory W1. Všimněte si, že zejména ..., G U. Pro libovolné / = 1,..., m stačí položit ci — 1 a c j = 0 pro / ^ j. Pak dx(1) + • • • + cmx(m) = x(i\ Dále uvažujme vektory x G P, které jsou ortogonální k množině U, tj. x _L U. Množinu všech takových vektorů nazýváme ortogonální doplněk U a značíme ji U^. Tedy x G ř/1, právě když (x, y) — 0 pro každý vektor y G U. Pomocí vlastností skalárního součinu (distributivního zákona a homogenity) se snadno ověří, že pokud x,y G ř/^acje libovolné číslo, pak také x + y G ř/^acx G U^. Pro libovolný vektor z e U totiž platí: (x + y,z) = (x,z) + (y,z) = 0 + 0 = 0, (cx, z) — c(x, z) = c • 0 = 0. Tudíž ortogonální doplněk U1- je také podprostor W1. Protože všechny vektory x^\ ..., x^ leží v ř7, musí k nim být libovolný vektor y e U1- ortogonální, tj. musí platit, že y 1 x^, / = 1,..., m. Platí však i opačné tvrzení, tzv. kritérium kolmosti: Je-li některý vektor y G W1 ortogonální ke všem vektorům Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 77 ..., x^m\ pak y g U^. Skutečně. Libovolný vektor x g U má tvar (1.11). Tedy (y, x) = (j,CiX(1) + -.. + cmx(m)) = cl(y,x{l)) + --- + cm(y,x{m)) = = ci-0 + --- + cm-0 = 0, takže vektor y je kolmý ke každému vektoru z podprostoru U. Nyní již můžeme zformulovat hlavní výsledek. Věta 1.26 Nechť U = [x^\x^2\ ... ,x^]je podprostorW1 a je jeho ortogonální doplněk. K libovolnému vektoru y g W1 existuje právě jedna dvojice vektorů x g U a z g U1-taková, že y = x + z. Důkaz viz např. [36, str. 96]. Vektor x se nazývá pravoúhlý průmět vektoru y na pod-prostor U. Věta říká, že libovolný vektor lze jednoznačně rozložit na součet ortogonálních složek, přičemž jedna z nich leží v daném podprostoru. Pravoúhlý průmět x má důležitou vlastnost. Je nej lepší aproximací vektoru y ze všech vektorů f g U, tj. minimalizuje výraz \\y — x\\. Skutečně. Platí totiž, že y — — x — x -\- z — x — x — x + z, kde x — x e U a z e č/-1, takže (x — x, z) = 0. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 78 Odtud y — x ||2 = || x + z — x ||2 = (x — x + z, x — x + z) = (x — x, x — x) + + (x — x, z) + (z, x — x) + (z, z) = || x — x ||2 + Pro x j^z x je proto ~ 2 I > y — x Tudíž y — x — min xeU y -x (1.12) přičemž pravouhlý průmět x je jediný vektor, v něž se toto minimum nabývá. Dále je vidět, že číslo ||z|| udává, jaké chyby se při náhradě vektoru y vektorem x dopustíme. Pro lepší představu znázorníme pravouhlý průmět vektoru y v množině M3 se standardním skalárním součinem, která je modelem trojrozměrného prostoru s běžnou eukleidovskou metrikou. Kolmost má tedy běžný význam a vše si dokážeme představit. Vektory umístíme do počátku O. Trojici čísel chápeme jako souřadnice koncového bodu vázaného vektoru, tj. orientované úsečky, jejímž počátečním bodem je počátek. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 79 Nechť U = [x^\ x^] a předpokládejme, že vektory x^ a x^ jsou nekolineární (jeden není násobkem druhého). Pak trojice tvaru C\X^ + C2X^2\ kde C\ a C2 jsou libovolná čísla, odpovídají bodům, které leží v rovině procházející počátkem a jejímiž směrovými vektory jsou právě x^ ax®. Vlastně jde o parametrické rovnice této roviny. Zvolme pro jednoduchost x^ = [1,0,0]T a x^ = [0,1,0]T (v analytické geometrii tyto vektory obvykle značíme i a j). Potom podprostor U splývá s půdorysnou a ortogonální doplněk U1- splývá s přímkou, která je k půdorysně kolmá a prochází počátkem — viz obr. 1.3. Nechť vektor y neleží v podprostoru U. Jeho pravoúhlý průmět x dostaneme tak, že z koncového bodu spustíme kolmici na půdorysnu. Dále z = y — x a tento vektor leží v ř/1. Zvolme vektor jř G U, x ^ x. Pak koncové body vektorů j, x a f určují pravoúhlý trojúhelník. Délky jeho stran jsou \\y —x\\ (přepona), ||x — JĚ || a ||z|| (odvěsny). Vztah II37 — x p = IIx — f II + tedy představuje Pythagorovu větu. Z obrázku je zřejmé, že délka \\y — x \\ je minimální, právě když je jř = x. Obsah Jdi na stranu \4 ►I Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 81 Nalezení pravouhlého průmětu Na závěr popíšeme, jak lze složky jednoznačného rozkladu y = x + z určit. Předpokládejme, že U = [x^\ x^2\ ..., x^]. Protože x G U, lze tento vektor vyjádřit ve tvaru x = C\X^ + c2x^ + • • • + cmx^m\ Po dosazení dostaneme y = + c2x(2) + • • • + cmx(m) + z. V předchozí rovnici neznáme konstanty C\, c2,..., cm a vektor z. Toho se však elegantně zbavíme. Vime totiž, že leží vr/1, takže je ortogonální ke všem vektorům x^\x^ až x ^, tudíž (x^l\z) = 0, / = 1,..., m. Předchozí rovnost proto postupně těmito vektory skalárně vynásobíme. Dostaneme: Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 82 (x(2\y) Cy(x(l\xW) +C2(x(1),*(2)) + • • • + Cm(xW, *(m)) d(x(2),*(1)) + c2(x{2\ x{2)) +... + Cm(x{2\x{m)) (x{m-l\ y) = ci (x(m_1), x(1)) + c2(x(m_1), x(2)) + • • • + cm(x(m_1), *(m)), (x, j) = Cl(jt(m),*(1)) + c2(x(m),*(2)) + --- + cm(*(m),x(m)). (1.13) To je soustava m lineárních rovnic pro m neznámych. Nazývá se normální soustava rovnic. Věta 1.26 zaručuje, že tato soustava má řešení. Jakmile známe konstanty C\, c2,..., cm, můžeme určit vektor x = C\x ^ + c2x ^ H-----h cmx ^ a následně i vektor z = y — x. Na závěr si všimneme, kolik má soustava (1.13) řešení. Matice soustavy má tvar I , c\ tu, , (2) (*(1),*(m))' G(*(1),...,x(m)) (jc^.x^) (x ) (2) v(m) ) \ (x{m-l\xw) (x^-V, x®) (x(m),x(1)) (x(m),x(2)) (x(m_1),x(m)) (x (m) „(m) Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 83 Nazývá se Gramová1 matice systému vektorů ..., x^m\ Je symetrická a lze o ní dokázat, že det G(x^\ ..., x^) ^ 0, přičemž rovnost nastane právě tehdy, když jsou vektory x^\ ..., x^ lineárně závislé, tj. když je hodnost matice, která má za sloupce právě tyto vektory, menší než m. Pokud jsou tedy vektory x^\ ..., x^m\ které generují podprostor U, lineárně nezávislé, je matice soustavy regulární a soustava (1.13) má jediné řešení. Jsou-li závislé, má soustava nekonečně mnoho řešení závisejících na jednom nebo více parametrech, ale díky jednoznačnosti pravoúhlého průmětu vyjde tento vektor vždy stejný (parametry se po dosazení za C\, ..., cm do vzorce pro x vyruší). Příklad 1.27 V prostoru M3 se standardním skalárním součinem jsou dány vektory = [1,-1,2]T, x(2) = [-3,1,-2]T aj = [3,-1,1]T. Najděte pravoúhlý průmět vektoru y na podprostor U — [x^,x^\. Řešení. Podle věty 1.26 lze vektor y vyjádřit ve tvaru y — x + z, kde x G ř/az G í/1. Tedy x — C\x^ + c2x^ a = + c2x(2) + z, 1 Jí i (1850-1916) — dánský matematik. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 84 Předchozí rovnost skalárně vynásobíme postupně vektory ax®. Dostaneme: y) = + c2(x(1),x(2)) + (x(1\z), (x(2),j) = d(x(2),x(1)) + c2(x(2),x(2)) + (x(2\z). Víme, že (x^\z) = (x^2\z) = 0. Vypočítáme zbývající skalární součiny. xw) = 6, *(2)) = -8, (x(2), *(2)) = 14, (xw,y) = 6, (x(2),.y) = -12. Soustava lineárních rovnic má tvar 6c\ — 8c2 = 6, -8ci + 14c2 = -12. Jejím jediným řešením je c2 = — 5 Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 85 Po dosazení máme x = —| [1,-1,2]T — | [—3,1, —2]T = 3 6 3,—, -5 5 -|T a Z = y -x = [3,-1, 1]T -Podle (1.12) pak 3 6 3,—,-5 5 -|T 2 1 0,—,— 5 5 -iT y - x — min x II-II2 a ||.||00 pro matice A = -1 1 2 2 0 1 1 -1 1 B = 2 4 5 -3 C = -2 -5 5 2 Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 91 7. Vypočtěte maticové normy ||. || 5 f •> • m qq pro matice A = -1 1 2 2 0 1 B = AT, C = 3 1 -5 1 3 1 . D = C 8. Vypočtěte maticové normy ||. || 5 A = M' qq pro matice D = C 9. Vypočtěte maticové normy ||.||s, ||.||f» II-II at pro II. II2 je třeba získat numericky. oo následujících matic. Řešení B = C = Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 92 10. Určete spektrální poloměr čtvercových matic. A = C = D = F = J = G = L = H = -1 1 1 0 1 0 -2 2 1 M = 11. V prostoru R3 se standardním skalárním součinem jsou dány vektory = [— 1,1,1]T, jk;(2) = [1, — 1,1]T a j = [3, — 1, 7]T. Najděte pravoúhlý průmět z vektoru y na podprostor U = [x(1),x(2)]. Obsah Jdi na stranu \4 Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 93 12. V prostoru R3 se standardním skalárním součinem jsou dány vektory = [1,1,1]T, x^ = [—3, 3, 6]T a y = [2, 1, 4]T. Najděte pravoúhlý průmět z vektoru y na podprostor U = [xM,xV>]. 13. V prostoru R4 se standardním skalárním součinem jsou dány vektory x^ = [1,-1,0, 2]T, jk;(2) = [l,2,l,l]Taj = [1, —2, 3, 4]T. Najděte pravoúhlý průmět z vektoru y na podprostor U = [XM,xV>]. 14. V prostoru R4 se standardním skalárním součinem jsou dány vektory x^ = [1,1,1,1]T, x^ = [—2, —1, 3, 2]T a y = [2, —2, —1, 1]T. Najděte pravoúhlý průmět z vektoru y na podprostor ř/ = [x (1 ^, x ^ ]. 15. V prostoru R4 se standardním skalárním součinem jsou dány vektory x^ = [1,1,1,1]T, x(2) = [-2, -1,0,1]T, x(3) = [4, 1,0, 1]T a j = [-1,2, 0, 1]T. Najděte pravoúhlý průmět z vektoru y na podprostor U = [x^\ x^2\ x^]. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 94 Rešení z i = 30, z 2 = 16, z oo = 39, u i = 26, w 2 = 2v/37, w oo = 8. 1. x i z i = 2. x i 3. x i 4. x i 5. A s C s 6. A s B s C s 7. A s B f i = 12, = VŠ2, = 7, HjIIi = 11, ||j||2 = V39, y oo = 5, = 17, = 86, x x 2 = V79, 2 =2^466, x oo — 8, J i =24, J 2 = x oo = 7, J i = 14, J 2 = oo — 31, J i = 140, y 2 = m = 7, 5 5 = 29, B f z oo — 9. oo = 4. oo = 83. C s = 36, C i? = 16, C m = 11. 6. ||4||s = 10, ||4||F = VT4, P||M = 2, P||i = 4, ||4||2 = V4+ VTÔ, \\A\loo = 4, m = 2, A i = 4, A m = 5, B i =7, B m = 5, C i =7, C oo = 7. 7. PHs = 7, \\A\\F = VTT, P||m = 2, IMUi = 3, ||A||2 = Vš, Plloo = 4, ||£||s = 7, = VTT, ||5||M = 2, IIBIIi =4, ||fl||2 = Vš, \\B\U = 3, IIC|k = 14, IICIU = Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 95 = V46, \\C\\M = 5, ||C||x = 6, ||C||2 = V23 + VÍ45, Hdloo = 9, = 14, D F = V46, D m =5, D 1 = 9, D 2 = ^23 + VÍ45, D 00 = 6. 8. A B s s = 12, A F = 4V2, |M m = 4, ^i=7, ^ 2 = Vl6 + 5VT(5, ^ oo = 7 l# m = 4, 5 1 — 7, 6, C m = 5, C 1 = m = 5, D 1 = 6, 00 00 — = 6, 9. A B B C s s 00 00 1 A M = 6, A 1 = H, y4 \\B\\m = 4, B 1 = 5, B 00 = 12, 6, H C H s = 16,||C||f =4a/3, ||C 9. m = 5, C i=7, ČIU = V21 + V29T, 10. p04) = 1, p(B) = 15, p(C) = 1 + Vl4, p(D) = 5, p(F) = VTT, p(G) p(#) = 1, p(J) = 1 + V2, p(K) = 3, p(L) = VT3, p(M) = 5. 11. z = [2,-2,7]T. 12. z =[§,§, 3]T. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 97 Testy ke kapitole 1 Vyberte správnou odpověď (právě jedna je správná). Za chybnou odpověď se neodečítají body. Test lze kdykoli tlačítky na konci ukončit a nechat si vypsat správné odpovědi. Testi 1. (lb.) Které čtyři matematické operace se využívají při numerickém řešení úloh? Sčítání, odečítání, násobení a umocňování. Sčítání, odečítání, derivování a integrování. Sčítání, odečítání, násobení a dělení. Logaritmování, derivování, integrování a umocňování. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 98 2. (lb.) Co zadáváme na vstup numerické úlohy a co získáváme na výstupu? Čísla/funkce. Čísla/čísla. Funkce/čísla. Funkce/funkce. 3. (lb.) Dokončete větu tak, aby byla pravdivá. Korektní úloha je dobře podmíněna, jestliže je poměr absolutní chyby výstupu a vstupu malý. je poměr čísel na výstupu a vstupu malý. je poměr relativní chyby vstupu a výstupu malý. je poměr relativní chyby výstupu a vstupu malý. 4. (lb.) Rozhodněte, zdaje následující tvrzení pravdivé. Jestliže je algoritmus numericky stabilní, pak je málo citlivý na vliv zaokrouhlovacích chyb, které vznikají během výpočtu. Ano. Ne. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 99 _ m ____ r 5. (lb.) Je dán vektor x — [1, —2, —8,7,4] el . Pak je jeho maximální norma rovna: 2. 8. 7. Vl34. 6. (lb.) Vektorová norma Eukleidovská. x 2 — J x2 + x% + • • • + x'n se nazývá: Součtová. Frobeniova. Maximální. 7. (lb.) Na množině matic Mm?w lze zavést tzv. operátorové normy díky tomu, že je na ní definována operace ... matic se sloupcovými vektory délky n. sečítání, umocňování, násobení, odečítání. 8. (lb.) Vyberte tu vlastnost, kterou nesplňuje norma ||x || nenulového vektoru xeť c • x II = \c • x x = 0. x + y < x\\ + II y II' Pro každý vektor jgM". x > 0. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 100 9. (lb.) Spektrální poloměr p (A) matice A e Mw je roven hodnotě max \Xi\, kde X i jsou vlastní čísla matice A. I 1 ^ • • • 5 n nax 1";=i max i = a , kde fl/y jsou prvky matice A, max 1}, kde a\j jsou prvky matice A l 1 ^ • • • 5 5 7 = 1,...,« 10. (lb.) Která z vlastností platí pro skalární součin na M72? (x + y, z) = (x, y + z), (x,x) ^ 0. (x + y,z) = (x,z) + (j,z). Správně zodpovězené otázky: Získané body: Procento úspěšnosti: (cx, cy) = c(x, y), kde cgí Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 101 Test 2 1. (lb.) Vyberte zjednodušené schéma numerického řešení nějaké úlohy. Reálny problém - numerická úloha - numerický algoritmus - matematický model. Reálný problém - matematický model - numerická úloha - numerický algoritmus. Experiment - analytické řešení - matematický model - numerický algoritmus. Reálný problém - numerický model - matematický model - numerický algoritmus. 2. (lb.) Je-li x přesné číslo a x jeho přibližná hodnota, pak rozdíl x—x — Ax nazýváme absolutní chybou aproximace x. odhadem relativní chyby. relativní chybou aproximace x odhadem absolutní chyby. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 102 3. (lb.) Dokončete větu tak, aby byla pravdivá. Je-li číslo podmíněnosti úlohy Cp ^ 150, pak je úloha dobře podmíněná. chybně zadaná. špatně podmíněná neřešitelná. 4. (lb.) Doplňte tvrzení tak, aby bylo pravdivé. Norma libovolného vektoru x G W1 je větší než 0. menší nebo rovna 0. menší než 0. větší nebo rovna 0. 5. (lb.) Je dán vektor x = [—1,3, —4, —5, —2, 3] G M . Pak je jeho eukleidovská norma rovna: -7. 5. 8. 18. 6. (lb.) Vektorová norma \\x \\ oo — max{\x\ |, \x2\%n |} se nazývá: Součtová. Frobeniova. Eukleidovská. Maximální. Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 103 7. (lb.) Maticové normy se zavádějí pouze pro čtvercové matice Mw Ano. Ne. 8. (lb.) Vypočtěte maximální normu matice -6 2-10 3 1 -2 2 4 -5 26. A = V98. 9. (lb.) Číslo podmíněnosti matice ze základního definičního vztahu lze určit pro libovolnou matici. čtvercovou matici. regulární matici. matici, jejíž determinant je roven jedné. 10. (lb.) V případě, že pro dva nenulové vektory x, y G W1, kde M.n je prostor se skalárním součinem, platí, že (x, y) = 0, pak je jeden vektor násobkem druhého. jsou vektory k sobě kolmé. norma jednoho z vektorů je rovna nule. tato skutečnost nemůže nikdy nastat. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 105 Test 3 1. (lb.) Jaký je vztah mezi matematickým modelem a numerickou úlohou? Výsledkem zanedbáním některých rovnic v matematickém modeluje numerická úloha. Jestliže v matematickém modelu zaokrouhlíme naměřené veličiny a fyzikální konstanty, získáme numerickou úlohu. Numerická úloha je výsledkem digitalizace matematického modelu. Numerická úloha je postup řešení matematického modelu. 2. (lb.) Označme x přesné číslo a x jeho přibližnou hodnotu. Vyberte vztah pro výpočet relativní chyby aproximace x. x x X X X. X X X X X Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 106 3. (lb.) Kdy mohou vznikat při řešení numerické úlohy zaokrouhlovací chyby? Při měření vstupních dat empirických hodnot. Při nevhodné volbě matematického modelu. Při provádění aritmetických operací na počítači. Při aproximaci matematického modelu numerickou úlohou. 4. (lb.) Co znamená, že numerický algoritmus je dobře podmíněný? Je málo citlivý na poruchy ve vstupních datech. Je málo citlivý na vliv zaokrouhlovacích chyb vznikajících při výpočtu. 5. (lb.) Vyberte tu vlastnost, kterou vektorová norma na M.n nemá (x a y jsou vektory zM^ace M). x >0. cx x - y < x + y c < + \\y Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Úvod do problematiky numerických metod 107 6. (lb.) Je dán vektor x = [—1, 3, —2, —7,4, 6] G M . Pak je jeho součtová norma rovna: 3. 7. 23. VŠ7. 7. (lb.) Vyberte předpis, který se používá pro výpočet Frobeniovy normy (A e Mm?„, A m = max {|i,..., která konverguje ke kořenu a, tj. lim Xyi — oč , /(a) = 0, viz obr. 2.2. Sestrojení takové posloupnosti se dělá pomocí některé z iteračních metod, které budou uvedeny v následujícím textu. ^er ) (1781-1848) — filozof a největší český matematik 19. století. Působil jako profesor filozofie a náboženství na Karlově univerzitě. Většina jeho matematických prací zůstala v rukopisech a nebyla tehdy známa, takže neovlivnila další rozvoj matematiky. Jeho výsledky byly později znovuobjeveny. Přes tragický osud jeho díla je mu dnes přiznána priorita v mnoha myšlenkách a je po něm pojmenována řada tvrzení zejména diferenciálního počtu. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic lil = /(*) Obr. 2.2 Aproximace kořenu Pro separaci kořenů neexistuje jednoznačná a spolehlivá univerzální metoda. Obvykle informaci o poloze kořenů získáváme některým z následujících postupů. (a) Graficky — z obrázku grafu přibližně odhadneme polohu kořenů. Tento způsob je dnes, kdy jsou k dispozici počítačové programy, které graf dokážou snadno a s velkou přesností nakreslit, nejčastější. (b) Pomocí tabulky hodnot — vypočítáme funkční hodnoty ve vhodných bodech x a vybereme ty intervaly, v jejichž krajních bodech mají funkční hodnoty opačná znaménka. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 118 Tento postup byl typický v minulosti, kdy nebyly k dispozici počítače, ale pouze kalkulačky, popř. jen ruční výpočty a pomůcky, které je usnadňovaly (logaritmické pravítko, tabulky logaritmů, goniometrických funkcí apod.). (c) Z vlastností problému, který je uvažovanou rovnicí modelován. (d) Analýzou vlastností funkce nástroji diferenciálního počtu. Je-li f{a)- f (b) < 0, a < b, pak mezi a a b existuje kořen. Monotonie funkce / na intervalu {a,b) Obr. 2.3: Existence a jednoznačnost kořenu Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 119 potom zaručuje jednoznačnost, viz obr. 2.3. Její ověření je obecně obtížné. (Monotonii lze sice určit pomocí znaménka derivace, k tomu jsou ale obvykle potřebné kořeny funkce fř(x), které často neumíme určit jinak než numericky, čímž se dostáváme do začarovaného kruhu.) 2.1.2 Zastavovací podmínky Při použití iterační metody sestrojíme podle nějakého vzorce posloupnost čísel {xn}. Nejčastěji se hodnota xn počítá z předcházející hodnoty xn-\ nebo dvojice předcházejících hodnot xn-\ diXn-2, jsou ale i složitější vzorce. S konkrétními příklady se seznámíme dále. Nicméně na počítači pochopitelně můžeme vypočítat pouze konečný počet členů posloupnosti {xn}. V určitý okamžik proces musíme ukončit. Obvykle se zadá malé kladné číslo s a posuzuje se, zda velikost nějaké veličiny je již menší než toto číslo. Ideální by bylo posuzovat vzdálenost \xn — a\ od přesné hodnoty kořenu a, ten však neznáme. V praxi proto k zastavení iteračního procesu používáme některou z následujících zastavovacích podmínek (je možné použít i jejich kombinaci): Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 120 i) \xn Xn—\ 0 a číslo k takové, že xn+\ — a _ hm -— = C. Oi nazývá se rad konvergence posloupnosti a C chybová konstanta. Říkáme, že daná iterační metoda je řádu k, jestliže libovolná konvergentní posloupnost získaná touto metodou má řád konvergence větší nebo rovný k a alespoň jedna posloupnost má řád konvergence přesně k. Je-li řád konvergence posloupnosti {xn} roven k, platí v blízkosti kořenu, tj. pro velká n, přibližný vztah \xn+\ —a\ & C\ Xyi Oč | . Protože pro velká n je \xn —a \ malé číslo, je pro velké k číslo \xn — a \k ještě mnohem menší, tudíž absolutní chyba \xn+\ — a bude daleko menší než absolutní chyba \xn — a\. Tedy čím vyšší je řád konvergence, tím rychleji se xn přibližuje k a. Používá se terminologie lineární (k — 1, C < 1), superlineární (k > 1) a kvadratická (k = 2) konvergence. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 123 2.2 Iterační metody pro řešení rovnic o jedné neznámé V tomto oddílu uvedeme pět klasických iteračních metod pro řešení nelineárních rovnic o jedné neznámé. Tento výčet zdaleka není úplný, v literatuře lze nalézt řadu dalších metod, viz např. [22, 43, 52]. 2.2.1 Klasifikace iteračních metod Iterační metody se obvykle dělí na dva typy: i) Startovací metody —jsou vždy konvergentní, ale konvergence je pomalá. ii) Zpřesňující metody —jsou rychlejší, ale počáteční aproximace musí být dostatečně blízko kořenu, aby metoda konvergovala. Obvykle postupujeme tak, že provedeme separaci kořenu, tj. určíme dostatečně malý interval obsahující jediný kořen dané rovnice. Pak některou startovací metodou najdeme přibližnou hodnotu tohoto kořenu. Tu pak zlepšíme vhodnou zpřesňující metodou. Z pěti níže uváděných metod se mezi startovací řadí metoda bisekce (metoda půlení intervalu) a metoda regula falši (metoda tětiv), které konvergují za dosti obecných předpo- Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 124 kladů, ale jejich konvergence bývá pomalá. Proto se používají pouze k hrubé aproximaci kořenu. Mezi zpřesňující metody patří metoda prosté iterace, Newtonova metoda (metoda tečen) a metoda sečen. V konkrétním případě může být startovací metoda rychlá a zpřesňující metoda pomalá. Klasifikace není jednoznačná, někdy se metoda prosté iterace řadí mezi startovací metody. Navíc tuto metodu lze chápat jako jakési obecné východisko pro konstrukci dalších metod. Ani vyšší řád konvergence nemusí u konkrétní rovnice nutně znamenat rychlejší konvergenci. U každé metody kromě jejího popisu a podmínek konvergence uvedeme ukázkový příklad. Jeho účelem je především pochopit, jaký je geometrický princip dané metody. K tomu slouží zařazené animace. Aby bylo dobře vidět jednotlivé kroky, byly úmyslně vybrány poněkud „neobvyklé" rovnice a počáteční aproximace byly voleny ne příliš blízko hledaného kořenu. Jinak by totiž další aproximace byly rychle příliš dobré a v animacích bychom toho moc neviděli. Výpočty byly provedeny v programu Maple 2018, počet dekadických cifer mantisy byl nastaven na 10. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 125 2.2.2 Metoda bisekce (metoda půlení intervalu) Předpokládáme, že funkce / (x) je spojitá na intervalu {a, b) a platí / (a) f (b) < 0. To zajišťuje existenci aspoň jednoho kořenu rovnice /(x) = 0 uvnitř tohoto intervalu. Následující konstrukce nevyžaduje, aby kořen byl jediný. Postup: Označme ao = a, bo = b. Sestrojíme posloupnost vnořených intervalů, které vždy obsahují kořen rovnice, přičemž jejich délka se zmenšuje a konverguje k nule. (1) Určíme střed c0 = ^±ko mtervalu {a0, b0). Je-li /(co) = 0, našli jsme kořen a = Cq a postup končí. V opačném případě některý z intervalů {ao,Co)9 (co,&o) obsahuje kořen. Platí-li / (ao) f (c o) < 0, je to interval {ao, c o), je-li / (co) / (^o) < 0, je to interval {cq, bo). Tento interval označíme {a\,b\). Zřejmě platí b\ — a\ — b°~a° a f (a\)f (b\) < 0. (2) Postup opakujeme. Obecně v /2-tém kroku vycházíme z intervalu {an-\, bn-\), pro nějž platí bn-x - an-X = a / (an-\) f(bn-\) < 0. _ an-\+bn-2 Je-li f(cn-\) — 0, našli jsme kořen a — cn-\ a postup končí. Určíme střed cn-\ — Un l~^Un 1 intervalu {an-\,bn-\) Obsah Jdi na stranu \4 ►I Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 126 y = /(*) Obr. 2.4: Metoda bisekce V opačném případě některý z intervalů {an-i, cn-\), (cn-\,bn-\) obsahuje kořen. Jestliže platí /(an-\) f (cn-\) < 0, je to interval {an-i, cn-\), jestliže platí f(cn-\)f (bn-i) < 0, je to interval (cn-\, bn-\). Tento interval označíme {an,bn). Zřejmě platí bn - a„ = ^=1^=1 = ^=ssl a f(an)f(b„) < 0. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 127 (3) Na obr. 2.4 jsou znázorněny první dva kroky. Teoreticky můžeme po konečném počtu kroků najít přesnou hodnotu kořenu, kromě velmi jednoduchých rovnic je to však vzhledem k zaokrouhlovacím chybám nepravděpodobné. Za členy posloupnosti, která konverguje ke kořenu a, zvolíme středy intervalů {an, bn) tj. xn — - **±^,n = 0,1,2, Konvergence: Jedná se o vždy konvergentní metodu. Zřejmě ao — a\ _ — • • • (posloupnost je neklesající), bo — b\ = ^2 = • • • (posloupnost je nerostoucí) aan má rovnice l(x) = 0 v tomto intervalu jediný kořen, který označíme Co- Z rovnice r, x , f(Po)-f(ao) , . n f(a0) H----(c0 - cio) = 0 b0 - ao Obsah Jdi na stranu \< ►I Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 132 vypočítáme, že Co — #o /(flo) (b0 -a0) (2.2) f(b0) - f (a0) Jmenovatel /(bo) — /(#o) v předchozím vztahu je nenulový, protože čísla /(^o) a /(bo) mají opačná znaménka. Je-li /(co) — 0, našli jsme kořen a = Cq a postup končí. V opačném případě některý z intervalů (tfo,Co), (co>^o) obsahuje kořen. Platí-li / (do) f (co) < 0, je to interval {ao, Cq) , je-li / (co) / (bo) < 0, je to interval (co, bo). Tento interval označíme (a\,b\). Zřejmě platí f (a\) f (b\) < 0. (2) Postup opakujeme. Obecně v /2-tém kroku vycházíme z intervalu {an-\, bn-\), pro nějž platí f (an-\) f (bn-\) < 0. Graf funkce / nahradíme na tomto intervalu přímkou, která prochází body [an-\, /(an-\)] a [bn-\, /(bn-\)]. Lineární funkce /, jejímž grafem je tato přímka, má vzorec l(x) = f(an-\) + k(x — an-\), kde k = /(^;_11)l4(!rl) Je SměrníCe- PrQtQŽe Kan-ÚKbn-ú = f(dn-X)f(bn-X) < 0, má rovnice l(x) = 0 v tomto intervalu jediný kořen, který označíme cn-\.Z rovnice f(an-i) H----(cn-i - an-i) = 0, £>n-l — an-\ Obsah Jdi na stranu \< ►I Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 133 vypočítáme, že ť n — 1 — U n — 1 /(tf/i-l) f(bn-i) - f(an-i) (bn-l — ttn-l)' (2.3) Jmenovatel f(bn-\) — f(an-\) v předchozím vztahu je nenulový, protože čísla /(an-\) a /(bn-i) mají opačná znaménka. Je-li f(cn-\) = 0, našli jsme kořen a = cn-\ a postup končí. V opačném případě některý z intervalů {an-i, cn-\), (cn-\,bn-\) obsahuje kořen. Jestliže platí /(an-\) f (cn-\) < 0, je to interval {an-i, cn-\), jestliže platí f(cn-\)f (bn-i) < 0, je to interval {cn-\, bn-\). Tento interval označíme {an,bn). Zřejmě platí /(an) f (bn) < 0. (3) Na obr. 2.7 jsou znázorněny první dva kroky. Získali jsme posloupnost vnořených intervalů {an, bn), jejichž délky se zkracují. Na rozdíl od metody bisekce však tentokrát nemusí platit, že lim (bn — an) — 0. Naopak, jak uvidíme dále, v „rozumných" případech tomu tak není. Nyní položíme: Xo — a^,X\ — bo (nebo naopak, pořadí není podstatné) a xn — cn-2 pro n ^ 2. Cleny posloupnosti {xn\ jsou tedy a o, bo,Co,Ci, c2,... Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 134 y = /(*) Obr. 2.7: Metoda regula falsi Stručně shrnuto: Nový interval {an,bn) vzniká z předchozího tak, že jeden koncový bod se zachová (zůstává pevný), druhý se změní (posune se „dovnitř"). Zda se mění Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 135 levý nebo pravý koncový bod, je obecně zcela nepravidelné (závisí to na hodnotách funkce /), je např. možné, že jeden koncový bod je pořád pevný a mění se pouze druhý. Ty koncové body, které se mění, vytvářejí posloupnost {cn}, a tudíž i {xn}. (4) Najdeme rekurentní vztah pro členy posloupnosti {xn}. Předpokládáme, že přesnou hodnotu kořenu nenajdeme po konečném počtu kroků, tj. platí /(xn) ^ 0 pro n = = 0,1, 2,... Z (2.3) je vidět, že pro n ^ 2 se cn počítá z an abn. Přitom jedno z těchto čísel je cn-\. Druhé je koncovým bodem některého z předchozích intervalů {ajc, bk),k < n.Ph našem označení lze závislost popsat takto: Pro n ^ 1 označme m = m (n) (zápisem m = m (n) zdůrazňujeme, že m závisí na n) nej větší index m < n takový, že / (xn) f (xm) < 0. Na intervalu s koncovými body xn a xm nahradíme graf funkce / přímkou procházející body [xn, /(xn)] a [xm, /(xm)]. Lineární funkce /, j ejímž grafem j e tato přímka, má vzorec / (x) = / (xn ) + k(x—xn), kde k = ^(*rc)-/Om) je smernice Protože l(xn)l(xm) = f(xn)f(xm) < 0, má rovnice l(x) = 0 mezi xn a xm jediný kořen xn+\. Z rovnice Xyi x m Obsah Jdi na stranu \4 ►I Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 136 vypočítáme, že neboli po úpravě Xn+\ — fip^n) f(Xm) (xn Xm), 71 — 1,2, ^mfip^n) %n f (xm) n = 1,2, (2.4) (2.5) f (x n) f (x m) Jmenovatel / (xn) — f (xm) v předchozím vztahuje nenulový, protože čísla / (xn) a /(xm) mají opačná znaménka. Nový člen xn+\ posloupnosti {xn} se tudíž počítá z předchozího členu xn a ještě jednoho dřívějšího členu xm. Metoda regula falši je proto dvoukroková. Protože index m je proměnný (závisí na n a pochopitelně také na funkci /), říkáme, že jde o nestacionární dvoukrokovou iterační metodu. Konvergence: Jedná se o vždy konvergentní metodu (viz [8, str. 275], důkaz není triviální). Platí lim xn — = a, kde a je kořen rovnice. Pokud výchozí interval {a, b) obsahoval více kořenů, metoda Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 137 dává posloupnost {xn}, která sice konverguje ke kořenu rovnice /(x) = 0, nevíme ovšem ke kterému. Když výpočet po konečném počtu kroků zastavíme, může být v tomto případě ve výsledném intervalu {an,bn) více kořenů. Metoda regula falši konverguje poměrně pomalu, lze ukázat, že (za předpokladu konstantního znaménka druhé derivace f" y okolí kořenu) řád konvergence je jedna, viz [52, str. 340]. Všimneme si podrobněji, jak vypadá posloupnost {xn}. Funkce / nabývá podle předpokladu v koncových bodech intervalu (a,b) hodnoty opačných znamének. Předpokládejme pro určitost, že f (a) < 0a f(b) > 0. Případ opačných znamének se vyšetří obdobně. Z výše popsané konstrukce plyne, že potom f(an) < 0 a f(bn) > 0 pro libovolné n = 0, 1, 2,... Protože xq = «o, x\ = bo a xn = cn-2 pro n ^ 2, je každý člen xn, n ^2, roven některému nebo b^, kde kSn-2. Členy posloupnosti {xn } rozdělíme do dvou podposloupností. V první budou ta xn, pro něž f(xn) < 0? ve druhé ta, pro něž f(xn) > 0. Ani jedna podposloupnost nebude prázdná, protože f(xo) < 0a f(x{) > 0. Členy první podposloupnosti označíme xľk a druhé xSk. Zřejmě r q = 0 a So = 1- Protože intervaly (an, bn) jsou do sebe vnořené, bude první podposloupnost neklesající Obsah Jdi na stranu \< Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 138 a druhá nerostoucí, tj. x0 = -*Y i = -*>2 (2.6) Mohou nastat dva případy: (i) Jedna podposloupnost je konečná a druhá nekonečná. Nechť je nekonečná např. podposloup-nost {xľk}. K tomu dojde, právě když existuje číslo p takové, že index m (n) ze vztahu (2.4) bude počínaje hodnotou p konstantní, tj. m (p) = m (n) pro n ^ p. (Jinými slovy, pro velká k se pravé konce intervalů přestanou měnit a členy xn budou rovny levým koncům těchto intervalů.) Podposloupnost {xrk} je neklesající a ohraničená, takže má limitu. Nechť lim xrk = a. Limitním přechodem ve vztahu (2.4) dostaneme vzhledem ke spojitosti funkce /, že /(«) a = a — (a xm(p^). f (a) - f(xm(p)) Protože f(xrk) < 0, musí být f (a) ^ 0. Dále platí f(xm^) > 0. Odtud dostaneme, že jmenovatel f (a) — f(xm(p)) předchozího vyřazuje nenulový a a ^ xm(pyZ toho plyne, že nutně f (a) = 0. V tomto případě neplatí, že lim (bn — an) = 0. Obsah Jdi na stranu \4 Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 139 (ii) Obě podposloupnosti jsou nekonečné. Protože jsou obě monotónní, mají limitu. Nechť lim lim xSk = P. Vzhledem k (2.6) musí platit a ^ fi, f (a) ^ 0 a f($) ^ 0. Je-li a = P, platí, že lim xn = a a f (a) = 0. Lze ukázat, že případ a < P nemůže nastat, viz výše zmíněný odkaz [8, str. 275]. V tomto případě platí, že lim (bn — an) = 0. Uvažujme speciální případ, kdy funkce / je na intervalu {a, b) konvexní nebo konkávni. Tuto vlastnost lze např. zjistit pomocí druhé derivace. Platí-li na {a, b) nerovnost f"(x) _ 0, je zde funkce / konvexní, platí-li f"(x) _ 0, je konkávni; viz [16, str. 124] nebo [33, str. 244]. Snadno lze ukázat, že jestliže funkce / je na intervalu {a, b) konvexní nebo konkávni a platí / (a) f(b) < 0 (tzv. Fourierovy1 podmínky), má rovnice / (x) = Ona tomto intervalu jediný kořen a, jeden z koncových bodů an, bn se nemění a druhý konverguje monotónně ke kořenu a. V případě konvexní funkce se nemění ten koncový 1 J< r (1768-1830) (čti furje) — francouzský matematik, jeden ze zakladatelů matematické fyziky. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 140 bod d g {a, b), v němž /(d) > 0, zatímco u konkávni funkce je to ten koncový bod d, v němž f (d) < 0. Má-li funkce / nenulovou druhou derivaci a ú? je ten koncový bod, pro nějž f (d) f "(d) > 0, pak se tento koncový bod nemění. Funkce na obr. 2.7 je konkávni, tj. f "(x) je záporná, tudíž / (a) f "{a) > 0. Je pěkně vidět, že posloupnost {cn} je ryze monotónní (klesající) a konverguje ke kořenu a zprava, levé konce an jsou pořád rovny a. Příklad 2.3 Metodou regula falši najděte nej menší kladný kořen rovnice ln(x2 + 1) - x e"0'2* - 0,9 + sin(0,7x) = 0. Použijte zastavovací podmínku \X n < s, kde s = 0,006. Řešení. Nejprve nakreslíme graf funkce /(x) — ln(x2 + 1) — x e-0,2* — 0,9 + sin(0,7x) — viz obr. 2.8. Z obrázku je vidět, že hodnota nejmenšího kladného kořenu a je a & 1,5. Zvolíme tedy a o = 0,5a^o — 4,5.V intervalu {a o, bo) má rovnice jediný kořen. Nyní podle výše popsaného postupu s použitím vztahu (2.5) určíme intervaly (fli, Z>i), (#2* bi) atd. Výsledky jsou zapsány v následující tabulce. Je vidět, že zastavující podmínka byla splněna po pěti krocích. Platí x$ — 1,454 836 146, tedy a ^ 1,454 836 146. Obsah Jdi na stranu \4 ►I Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 141 -0,9 Obr. 2.8: Graf funkce z příkladu 2.3 n CLn bn Xn+2 chyba 0 0,5 4,500000000 3,347224152 0,3443975652 1 0,5 3,347224152 2,109958583 0,5863932965 2 0,5 2,109958583 1,560007057 0,3525314347 3 0,5 1,560007057 1,462935229 0,06635415299 4 0,5 1,462935229 1,454836146 0,005567006994 Na obr. 2.9 je uvedena animace, která znázorňuje konstrukci jednotlivých členů posloupnosti {xn}, jež konverguje ke kořenu a. A Obsah Jdi na stranu \4 ►I Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 143 2.2.4 Metoda prosté iterace Rovnici /(x) = 0, která má kořen a, upravíme na ekvivalentní (alespoň v okolí kořenu) tvar x = g (x). Místo rovnice f (x) = 0 pak budeme řešit rovnici x = g (x). Tato rovnice bude mít rovněž kořen a, tj. musí platit a = g (a). Hledáme tedy číslo, které po dosazení do funkce g (x) dá touž hodnotu. Takovému číslu říkáme pevný bod funkce g (x). Z geometrického hlediska hledáme průsečík grafu funkce g (x) s přímkou o rovnici y — x. Postup: Rovnici /(x) — 0 upravíme na tvar x — g (x) (na tzv. tvar vhodný k iteraci). (1) Zvolíme počáteční aproximaci Xo (dostatečně blízko kořenu a). Dále položíme: X\ — — g(xo), %2 — g(xi) atd. Obecně se další členy počítají podle vztahu xn+x = g(xn) n = 0,1,2,... (2.7) Jedná se o tzv. stacionární j ednokrokovou iterační metodu. Nový člen posloupnosti {xn} se počítá z bezprostředně předcházejícího. Pochopitelně je třeba zajistit, aby hodnota g(xn) byla vždy definovaná. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 144 (2) Pokud narazíme na kořen, bude pro některé k platit x k = g (x k). Obecně se tak asi nestane a dostaneme posloupnost Xo, X\, X2,... Je třeba zajistit, aby tato posloupnost konvergovala ke kořenu a. (3) Znázorníme-li číslo x i jeho obraz g(x) na číselné ose a přiřazení vyznačíme šipkou, hledáme bod a, který se zobrazí sám na sebe. Odtud pochází název pevný bod; viz obr. 2.10, který ilustruje vytváření členů posloupnosti {xn}, jež konverguje k pevnému bodu a. x2 x3 X4 a x0 Obr. 2.10: Princip pevného bodu Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 145 y = x Obr. 2.11: Kořen rovnice x2 = e x Danou rovnici lze upravit mnoha způsoby. Uvažujme např. rovnici x2 — e~x = 0, tj. /(x) — x2 — e~*. Rovnici lze psát ve tvaru x2 — e~*. Z obr. 2.11 je zřejmé, že grafy funkcí x2 a t~x mají jediný průsečík. Uvažovaná rovnice má tudíž jediný kořen a a ten je kladný. Při převodu na tvar x = g (x) se nabízejí následující formální úpravy: Obsah Jdi na stranu \4 ►I Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 146 x2 = e"x x2 = e"x x2 = e"x x2 = e"x x2 — e_x = O e-x - x2 = O X = Ve~* (odmocnění) g (x) x = - Ve"* (odmocnění) g (x) = -Ve-*, x = —2 ln x (logaritmování) g (x) = —2 ln x, x = -2 ln(-x) (logaritmování) g (x) = —21n(—x), x = x + x2 - e~* g (x) = x + /(x), x = x + e~x - x2 g (x) = x - /(x). Vzhledem k tomu, že kořen a je kladný, jsou některé úpravy nesmyslné. Konvergence: Metoda nemusí konvergovat. Konvergence je např. zaručena, když jsou splněny předpoklady Banachovy1 věty o kontrakci. Tak tomu bude, když na nějakém uzavřeném ohraničeném intervalu I obsahujícím kořen a bude existovat spojitá derivace g'(x) a pro x G I 1^ i (1892-1945) — významný polský matematik, jeden ze zakladatelů funkcionální analýzy. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 147 bude platit g (x) G / (tj. interval se bude zobrazovat do sebe) a |g'0*;)| < 1 (viz [22, str. 28]). Metoda je obecně pouze řádu jedna, ale při vhodné volbě funkce g (x) může být řád daleko větší. Čím menší je |g'0*;)| v okolí kořenu, tím je konvergence rychlejší. Pokud je absolutní hodnota derivace v okolí kořenu jen o málo menší než jedna, pak je vhodné zvolit jinou úpravu nebo použít jinou numerickou metodu. Neexistuje žádný univerzální postup, jak lze rovnici /(x) = 0 upravit na tvar x = = g (x) tak, abychom dostali posloupnost konvergující ke kořenu. Má-li funkce / spojitou derivaci, často pomůže úprava na tvar x — x — f (x)/k, kde k je vhodná konstanta. Položíme-li g (x) — x — f (x) / k, platí g'(x) = 1 — f (x) / k. Zvolíme-li za k hodnotu k = fř(xo), kde Xo je číslo blízké hledanému kořenu, bude v jeho okolí platit g'(x) & 0 a je velká naděje, že metoda bude rychle konvergovat. Podle znaménka a velikosti derivace g'(x) mohou v okolí kořenu nastat v podstatě čtyři možnosti. (a) Posloupnost {xn} je monotónní a vzdaluje se (doleva nebo doprava) od kořenu a. Tato situace je znázorněna na obr. 2.12. Toto chování lze očekávat, když 1 < gr(ci). Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 148 *3 = g(x2)" x2 = g(xi)~ x\ = g(xo)- Obr. 2.12: Prostá iterace — {xn} se monotónně vzdaluje doprava od kořenu a Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 149 x\ = gOo)" X2 = g(Xl)~ y = x y = g (x) Obr. 2.13: Prostá iterace — {xn} monotónně konverguje zprava ke kořenu a (b) Posloupnost {xn} je monotónní a konverguje (zleva nebo zprava) ke kořenu a. Tato situace je znázorněna na obr. 2.13. Toto chování lze očekávat, když 0 < gř(a) < 1. (c) Posloupnost {xn} střídavě přeskakuje přes kořen a a vzdaluje se od něho. Tato situace je znázorněna na obr. 2.14. Toto chování lze očekávat, když gř(a) < — 1. (d) Posloupnost {xn} střídavě přeskakuje přes kořen a a konverguje k němu. Tato situace je znázorněna na obr. 2.15. Toto chování lze očekávat, když — 1 < gř(a) < 0. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 150 y x4 = g(x3)- X2 = g(Xi)~ x3 x5 y = g (x) Obr. 2.14: Prostá iterace — {xn} se vzdaluje střídavě vlevo a vpravo od kořenu a y = g (x) x2 X4 x5 x3 X\ V x\ x3 a X4 X2 Obr. 2.15: Prostá iterace — {xn} konverguje střídavě zleva a zprava ke kořenu a Předchozí možnosti popisují chování posloupnosti {xn} v okolí kořenu a. Pokud tato posloupnost nekonverguje ke kořenu a, může být její chování velmi složité. V jednodušších případech je např. možné, že diverguje do nekonečna nebo konverguje k jinému kořenu. Může však také různě oscilovat apod. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 151 Podrobnější informace o jednokrokových iteračních metodách a podmínkách jejich konvergence lze nalézt např. v [8, str. 188], [22, str. 26] nebo [52, str. 290]. Příklad 2.4 Metodou prosté iterace najděte nejmenší kladný kořen rovnice x2 ln(x + 4) + x - 0,5 = 0. Použijte zastavovací podmínku \Xn Xn—\ \X n < £, kde s — 0,05. Řešení. Nejprve nakreslíme graf funkce f(x) = x2 ln(x + 4) + x — 0,5 — viz obr. 2.16. Z obrázku je vidět, že hodnota nejmenšího kladného kořenu a je a & 0,3. Nyní musíme rovnici /(x) = 0 nějak upravit na tvar vhodný k iteraci. Použijeme lokálně ekvivalentní rovnici x — x — ^y~p> za funkci g(x), jejíž pevný bod budeme hledat, tudíž zvolíme g(x) — x — Grafy této funkce a rovněž přímky y — x jsou také znázorněné na obr. 2.16. Vlastně hledáme x-ovou souřadnici průsečíku těchto dvou grafů, což je právě kořen a. Za počáteční aproximaci vybereme Xq — 0,06. Pomocí vzorce (2.7) vypočítáme další členy x\, x>i atd. Výsledky jsou zapsány v následující tabulce. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 152 y = x y = g (x) Obr. 2.16: Graf funkce z příkladu 2.4 i Je vidět, že zastavující podmínka byla splněna po šestnácti krocích. Platí xi6 = 0,328 408 8290, tedy a ^ 0,328 408 8290. Na obr. 2.17 je uvedena animace, která znázorňuje konstrukci jednotlivých členů posloupnosti {xn}, jež konverguje ke kořenu a. A n X>n chyba 0 0,0600000000 — 1 0,4554143103 0,8682518343 2 0,2142342305 1,125777516 3 0,4140027827 0,4825294915 4 0,2608283384 0,5872615117 5 0,3886125134 0,3288215654 6 0,2868192317 0,3549039620 7 0,3717646516 0,2284924603 8 0,3029956456 0,2269636775 9 0,3602959011 0,1590366566 10 0,3135223314 0,1491873625 11 0,3524247390 0,1103850079 12 0,3205206557 0,09953830660 13 0,3470130449 0,07634407291 14 0,3252257322 0,6699135567 15 0,3432941626 0,05263250113 16 0,3284088290 0,04532561943 Obsah Jdi na stranu \< ►I Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 153 Obr. 2.17: Animace k příkladu 2.4 metoda prosté iterace g(Po) ML ML 16 iterations of the fixed-point iteration applied to f{x) = 0.909090909 Lj^ln(jc+4) + 0.9090909091*- 0.4545454546 with initial point= 0.06. Obsah Jdi na stranu \4 ►I Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 154 2.2.5 Newtonova metoda (metoda tečen) Tato metoda vyžaduje, aby existovala derivace fř(x). Newtonova metoda totiž využívá k nalezení kořenu rovnice f(x) = 0 tečny ke grafu funkce /. Postup: Graf funkce / v okolí kořenu nahrazujeme tečnou. Předpokládejme, že existuje f'(x) a že v nějakém okolí kořenu a platí f'(x) ^ 0. (1) Zvolíme počáteční aproximaci Xo, která leží dostatečně blízko kořenu a. V bodě [xo, /(^o)] nyní sestrojíme tečnu ke grafu funkce /(x). Průsečík tečny s osou x bude nová aproximace kořenu. Rovnice tečny ke grafu funkce /(x) v bodě [xo, /(^o)] Je y = f(x0) + /'(x0)(x - x0). Najdeme průsečík X\ této tečny s osou x, viz obr. 2.18. Z rovnice 0 = f(x0) + /'(x0)(xi - x0) Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 156 (2) Analogicky postupujeme v dalších krocích. Obecně člen xn+\ sestrojíme z členu xn tak, že sestrojíme tečnu ke grafu funkce / (x) v bodě [xn, / (xn)] a určíme její průsečík s osou x. Rovnice této tečny je y = f(xn) + /'(**)(x - xn). Z rovnice dostaneme, že 0 = f(xn) + f'(xn)(xn + i - Xn) f (X n) n = 0,1,2,... (2.8) f'(xn) Nový člen xn+\ posloupnosti {xn} se tudíž počítá z předchozího členu xn. Newtonova metoda je proto stacionární jednokroková iterační metoda. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 157 Konvergence: Metoda nemusí konvergovat. Lze však ukázat, že pokud má / spojitou druhou derivaci, a je jednoduchý kořen, tj. platí f (pí) ^ 0, a počáteční aproximaci Xq zvolíme dostatečně blízko kořenu, dává vztah (2.8) posloupnost {xn} konvergující ke kořenu a. Rychlost konvergence je přitom aspoň kvadratická. Viz [22, str. 41] nebo [52, str. 295]. Pro svou rychlost se tato metoda velmi často užívá. Je-li kořen vícenásobný, tj. f'(ot) = 0, je konvergence pouze lineární, viz [52, str. 295]. Konvergence je zaručena, platí-li tzv. Fourierovy podmínky f(a)- f (b) < 0 (existuje kořen), fix) / Ona intervalu {a,b) (funkce je ryze monotónní) a fix) / 0 na intervalu {a,b) (funkce je buď konvexní nebo konkávni). Za Xo je třeba zvolit ten konec c G {a, b}, pro nějž platí /(c) • fic) > 0. Posloupnost {xn} je přitom monotónní. Viz [22, str. 44]. Na obr. 2.18 je funkce rostoucí a konvexní, takže platí /ib) • fib) > 0. Správná volba je v tomto případě proto Xq — b. Začneme-li v druhém konci, může se stát, že průsečík tečny s osou x je daleko od kořenu a. Pokud nejsou splněny Fourierovy podmínky a počáteční aproximace x o není dostatečně blízko kořenu a, nemusí metoda konvergovat nebo může konvergovat k jinému kořenu, jak ilustruje obr. 2.19. Obsah Jdi na stranu \4 ►I Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 158 y = /(*) x Obr. 2.19: Newtonova metoda může divergovat, nejsou-li splněny Fourierovy podmínky Příklad 2.5 Newtonovou metodou najděte nej větší záporný kořen rovnice 1>9e-o,oi* _ Qlx _ V4-x2 = 0. Použijte zastavovací podmínku \xn — xn-\ \ < s, kde s = 0,001. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 159 Řešení. Nejprve nakreslíme graf funkce /(x) = = 1,9 e"0'01* -0,1a: - V4-x2 — viz obr. 2.20. Z obrázku je vidět, že hodnota nej většího záporného kořenu a je a & —0,5. Za počáteční aproximaci vybereme x o = —1,95. Pomocí vzorce (2.8) vypočítáme další členy x\, x2 atd. Výsledky jsou zapsány v sousední tabulce. Je vidět, že zastavující podmínka byla splněna po šesti krocích. Platí x^ = —0,435 986 735 8, tedy a ^ -0,435 986 735 8. Na obr. 2.21 je uvedena animace, která znázorňuje konstrukci jednotlivých členů posloupnosti {xn}, jež konverguje ke kořenu a. A y = f M y Obr. 2.20: Graf funkce z příkladu 2.5 n Xn chyba 0 -1,950000000 — 1 -1,575488656 0,374511344 2 -0,9634337644 0,6120548916 3 -0,5716120111 0,3918217533 4 -0,4482688909 0,1233431202 5 -0,4361033189 0,0121655720 6 -0,4359867358 0,0001165831 Obsah Jdi na stranu \4 ►I Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 160 Obr. 2.21: Animace k příkladu 2.5 — Newtonova metoda (metoda tečen) 6 iterations o f Nevvton's meťhod applied to 0.01 x f[x) = 1.9 e - 0.1 x - -J -jŕ + 4 \vith initial point pQ = -1.95. ~)bsah Jdi na stranu N 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 161 2.2.6 Metoda sečen Newtonova metoda je velmi rychlá, ale vyžaduje v každém kroku výpočet derivace fř(xn). V případech, kdy je derivace dána příliš složitým vztahem nebo neexistuje, se proto často používá náhrada tečny sečnou. Sečnou rozumíme přímku, která prochází dvěma body grafu funkce f(x). Postup: Tato metoda vyžaduje dva startovací body Xo, X\, blízké kořenu a rovnice /(x) = 0. Nemusí nutně platit /(xo)/(x\) < 0, tedy kořen nemusí ležet mezi nimi. Myšlenka je obdobná jako u Newtonovy metody, jen místo tečny nahrazujeme graf funkce / sečnou. (1) Graf funkce / nahradíme přímkou, která prochází body [xq, /C^o)] a [*i» /(*i)]-Lineární funkce /, jejímž grafem je tato přímka, má vzorec / (x) = f(xi)+k(x—X\), kde k = ^xxIZxqxo^ Je směrnice. Předpokládejme, že tato přímka protne osu x v bodě x2. Z rovnice j{xx) -\--(x2 ~ Ai) = 0 X\ — Xq Obsah Jdi na stranu \4 ►I Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 162 vypočítáme, že X2 — X\ X\ — Xq ZOO- /Oi) - /Po) Předpokládáme, že jmenovatel zlomku v předchozím výrazu je nenulový. Vlastně jsme oproti Newtonově metodě nahradili směrnici f'(x\) tečny ke grafu funkce / v bodě [x\, /pi)] směrnicí sečny, která je určena dvěma body [xo, /(xo)] a [x\, /Oi)]. Pro blízké body lze totiž předpokládat, že fix,) /Oi) - /Po) X\ — Xq (2) Postup opakujeme. Obecně v n-tém kroku nahradíme graf funkce / přímkou, která prochází body [xn-\, / (xn-\)] a [xn, / (xn)]. Lineární funkce /, jejímž grafem je tato přímka, má vzorec l(x) = f (xn) + k(x — xn), kde k = ^Xn^~^Xn~^ je směrnice. Předpokládejme, že tato přímka protne osu x v bodě xn+\. Z rovnice f(xn) + —--——-- p^+i — xn) — 0 Xn Xn—\ Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 163 dostaneme, že Xn + \ — Xn Xn Xn—\ f(*n) ~ f(Xn-l) fiXn). n = 0,1,2,... (2.9) Předpokládáme, že jmenovatel zlomku ve vztahu (2.9) je nenulový pro libovolné n = 0,1,2, (3) Nový člen xn+\ posloupnosti {xn} se tudíž počítá ze dvou předchozích členů xn-\ a xn. Metoda sečen je proto dvoukroková. Říkáme, že jde o stacionární dvoukrokovou iterační metodu. Srovnejte se vzorcem (2.4) pro metodu regula falši, která je nestacionární. Všimněte si rovněž, že na rozdíl od metody bisekce nebo regula falši nemusí platit, že /(xn-i) f (xn) < 0. Na obr. 2.22 jsou znázorněny první dva kroky metody sečen. Konvergence: Metoda není vždy konvergentní. Konvergence je zaručena, pokud má funkce spojitou první a druhou derivaci, přičemž f'ipi) ^ 0 (kořen je jednoduchý), a pokud volíme počáteční aproximace x o a X\ blízko kořenu a. Rychlost konvergence je za uvedených Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 164 y y = /(*) Obr. 2.22: Princip metody sečen předpokladů řádu ^(1 + VŠ) = 1,618 (toto číslo je kladným kořenem kvadratické rovnice /z2 - fi - 1 =0). Viz [22, str. 49] nebo [52, str. 341]. Metoda sečen má nižší řád než Newtonova metoda, takže lze očekávat, že konverguje pomaleji. Nicméně lze ukázat, že při srovnatelné výpočetní náročnosti (dva kroky metody Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 165 sečen jsou maximálně tak drahé jako jeden krok Newtonovy metody) lokálně konverguje rychlostí \{\ + VŠ) + 1 = 2,618, tj. rychleji než Newtonova metoda, viz [52, str. 342]. Použití vyžaduje jistou opatrnost. Je-li zastavovací podmínka např. < s, kde s je velmi malé, může se stát, že podmínka ještě není splněna, avšak v rámci strojové přesnosti je xn — xn-\, takže ve vzorci (2.9) dostaneme neurčitý výraz | a výpočet zhavaruje. Příklad 2.6 Metodou sečen najděte nejmenší kladný kořen rovnice cos(0,3x) Vx2 + 2x + 4 - 2(9 - 0,016x6)0'25 + 0,6 = 0. Použijte zastavovací podmínku \xn — xn-\ \ < s, kde s = 0,05. Řešení. Nejprve nakreslíme graf funkce f(x) = cos(0,3x) \/x2 + 2x + 4 — 2(9 — — 0,016x6)0'25 + 0,6 — viz obr. 2.23. Z obrázku je vidět, že hodnota nejmenšího kladného kořenu a je a ^ 1,7. Zvolíme Xo = 2,86 a X\ — 2,8. Pomocí vzorce (2.9) vypočítáme další členy x2, X3 atd. Výsledky jsou zapsány v následující tabulce. Je vidět, že zastavující podmínka byla splněna po šesti krocích. Platí x7 = 1,768 854 775, tedy a ^ 1,768 854 775. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 166 Obr. 2.23: Graf funkce z příkladu 2.6 n chyba 0 2,860000000 — 1 2,800000000 — 2 2,693153896 0,106846104 3 2,499248330 0,193905566 4 2,254566608 0,244681722 5 1,992118060 0,262448548 6 1,814275893 0,177842167 7 1,768854775 0,045421118 Na obr. 2.24 je uvedena animace, která znázorňuje konstrukci jednotlivých členů posloupnosti {xn}, jež konverguje ke kořenu a. Všimněte si, že na rozdíl od metody regula falši je podstatné, který bod je označen jako Xo a který jako X\. Při změně pořadí dostaneme jinou posloupnost — viz animace na obr. 2.25. A Obsah Jdi na stranu \< ►I Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 167 Obr. 2.24: Animace k příkladu 2.6 metoda sečen b a 6 iteration(s) of the secant method applied to f{x) = J^ + lx + A cos(0.3x) -2(9- 0.016/)°^ 4- 0.6 with initial points a= 2.86 and h = 2.8. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic Obr. 2.25: Animace k příkladu 2.6 — metoda sečen — změna pořadí startovacích bodů p- a b HA 7 iteration(s) of the secant method applied to f{x) =V^ + 2jc + 4 cos(0.3j:) -2(9- 0.016jc6) ' 3 + 0.6 with initial points a = 2.8 and i = 2.86. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 169 Poznámka 2.7 i) Kromě pěti klasických metod, které jsme uvedli, existuje mnoho dalších metod. Jejich popis lze najít v řadě učebnic numerické matematiky, např. [4, 22, 42, 43, 52]. ii) Důležitou úlohou je hledání kořenů polynomů. Pro hledání reálných kořenů lze použít kteroukoli z předchozích metod. Vzhledem k významu této úlohy však byly vyvinuty speciální velmi účinné metody pro nalezení jak reálných tak i komplexních kořenů, viz např. [22, 52]. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 170 2.3 Systémy nelineárních rovnic Obdobně jako se řeší numericky jedna rovnice o jedné neznámé, je možné řešit i soustavy rovnic. Předpokládejme, že je dán systém n rovnic o n neznámých fn (x i, X2 -> • • • -> Xn ) — 0. Jeho kořenem rozumíme uspořádanou /2-tici čísel a = [oti,..., an] takovou, že platí rovnosti f i (a\,..., an) = 0 pro / = 1,..., n. Označíme-li x = [x\,..., xn]T a /(x) = [f\(x),..., fn(x)]T9 můžeme předchozí systém stručně zapsat pomocí vektorové symboliky jako f (x) — 0. Obecně jde o náročnou problematiku, proto se omezíme pouze na základní informace. Výchozí myšlenka je stejná — nejprve se určí přibližná hodnota kořenu (separace) a pak se najde posloupnost {x^} taková, že lim x^ = a (aproximace). Limitu chápeme po složkách, tedy označíme-li x^ = [x[k\ ..., x^]T, musí platit lim x\k^ — oíí pro k->oo Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 171 / = 1,..., n. Podle důsledku 1.9 je to ekvivalentní konvergenci posloupnosti {x^} k vektoru a v libovolné vektorové normě. Rovněž zastavovací podmínky se používají obdobné, jen místo absolutní hodnoty se použije vhodná vektorová norma. Tedy výpočet ukončujeme, když je splněna některá z podmínek Y(k) _ Y(k-1) < s. (k) _x(k-l) (k) < s. \\f(x^)\\<8 kde s > Oje zadané malé číslo. Separace kořenů Nalezení přibližné polohy kořenů je velmi obtížné. Neexistuje žádný univerzální postup. Pro n = 2 lze odhad provést graficky pomocí vhodného softwaru (znázorníme „křivky", které odpovídají rovnicím fi(x\,X2) = 0, y^O^i*^) — 0 a odhadneme souřadnice jejich průsečíků). Někdy lze kořen odhadnout na základě znalosti konkrétního problému, jehož matematickým modelem soustava je. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 172 Aproximace kořenů Ne všechny metody pro nalezení kořenu rovnice o jedné neznámé lze přenést na systémy. Nejde to např. u těch, které jsou založené na tom, že spojitá funkce má mezi dvěma body, v nichž nabývá hodnot opačných znamének, aspoň jeden kořen. Z těch, které jsme uvedli, je to metoda bisekce a regula falši. Zmíníme se pouze o metodě prosté iterace a Newtonově metodě pro soustavy rovnic. Kromě nich existuje řada dalších, důležité a účinnejšou zejména metody, které úlohu najít kořen převedou na hledání minima funkce více proměnných. Vzhledem k rozsahu a určení tohoto textu se jimi nemůžeme zabývat. Viz např. [8, 22, 43,52]. Iterační metody mají ve vektorovém zápisu obdobný tvar jako v případě jedné rovnice, a to Xik+l) = jfc =0,1,..., kde = [x[k\ ..., x^Y Je k-tá aproximace kořenu a = [cti, ®2> • • •»&n]T a S — — > g"2> • • • > gw] je ft-tice funkcí n proměnných. V dalším výkladu se pro jednoduchost omezíme na případ dvou rovnic o dvou neznámých, které označíme x a y. Obecný případ je obdobný. Protože nebudeme potřebovat Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 173 dolní indexy k označení neznámych, použijeme je k označení pořadí iterace, čímž se značení zjednoduší. Tudíž [x^, yk] bude značit k-tou aproximaci kořenu, který označíme 2.3.1 Metoda prosté iterace Budeme řešit soustavu dvou rovnic fi(x,y) = 0, f2(x,y) = 0 mající kořen [a, /3], tj. platí, že f\(a,f5) — 0 a f2(ci, fí) = 0. Musíme ji nahradit ekvivalentní soustavou (aspoň v okolí hledaného kořenu) x = g\(x,y), y = gi(x,y), pro kterou platí, že a = g\ (a, /3) a f} = g2Ípi,P). Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 174 Zvolíme počáteční aproximaci [xo, y o]- Pak položíme x\ = g\(x0,y0), y\ = g2(x0,yo). Obdobně pokračujeme dál. Obecně bude platit Xk+i = g\(xk,yk), yk+\ = g2(xk,yk), k = 0,1,2, (2.10) Podmínky zaručující konvergenci lim xk — ot a lim — f} jsou poměrně kompliko- vaně, viz např. [22, str. 64] nebo [52, str. 293]. Zhruba lze říci, že pokud mají funkce g\ a g2 spojité první parciální derivace, jejichž hodnoty jsou v okolí kořenu malé, a počáteční aproximace [xo, yo] je dostatečně blízko kořenu, bude iterační proces (2.10) konvergovat k řešení [a, /3]. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 175 2.3.2 Newtonova metoda pro systémy Budeme řešit soustavu dvou rovnic fi(x,y) = 0, fi(x,y) = 0. (2.11) Rovnice linearizujeme v okolí bodu [xo, y o], který leží dostatečně blízko přesného řešení, které hledáme. Připomeňme definici totálního diferenciálu funkce g, mající spojité první parciální derivace. Označíme-li h — x — Xo a — y — y o, platí 3 g dg g(x0 + h, y0 + k) = g(x0, y0) + t~ Oo, yo)-h + — (*o, y0)-k + R(h, k) ox oy \/ • • • s resp. pri jmem označeni dg dg g(x, y) = g(x0, y0) + t-Oo, Jo) ■ (x - x0) + t-(*o, Jo) ■ (j - Jo) + ox oy + R(x -x0, y - jo), Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 176 kde zbytek R je (v rozumných případech) malý pro [h, k] = [x — Xo, y — y o] blízké [0,0]. Jeho zanedbáním dostaneme, že pro [x, y] blízké [xo, y o] přibližně platí dg dg g(x, y) ^ g(x0, v0) + t-Oo, y o)' (x - x0) + — Oo, y o) • (y ~ yo). ox oy Výraz napravo je lineární funkce proměnných x, y, která je rovnicí tečné roviny ke grafu funkce g v bodě [x0, y o, g(x0, yo)]- Tímto způsobem nahradíme obě funkce v soustavě (2.11). Dostaneme následující přibližné vztahy: v J fi(x,y) « /i(x0, v0) + Tj C^o> y o)' (x-x0) + — (x0, y0) • (v - y0) ox oy df2 df2 f2(x, y) « f2(x0, y0) + -z-(x0, yo) • (x - x0) + — (x0, y0) • (v - y0) 3/i 3x dy Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 177 (2.12) Místo soustavy (2.11) budeme řešit pomocnou lineární soustavu (neznámejšou x a y) Mxo, yo) + t-^Oo, yo) - (x - x0) + t-^Oo, yo) • O - yo) = o, ox oy df2 df2 fi(xo, yo) + t— (xo, yo) - (x - x0) + — (xo, yo) • (y - yo) = 0. ox oy Přepíšeme ji do maticového zápisu. Zavedeme označení f(x,y) = fi(x,y) J(x,y) =\d* '7 lyf dx dy Tedy / je sloupcová matice 2 x 1 a / (tzv. Jacobiova1 matice) je čtvercová 2x2. Pak soustavu (2.11) lze stručně zapsat jako f(x,y) = *( i (1804-1851) (čti jakobi) — významný německý matematik. Zabýval se teorií funkcí, lineární algebrou, diferenciálními rovnicemi a mechanikou. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 178 a její linearizovanou verzi (2.12) (s využitím maticových operací sečítání a násobení) jako x — Xq\ /O f(x0,yo) + J(x0,yo) y-yo (2.13) Pokud existuje inverzní matice / 1 (xq, yo), soustavu (2.13) snadno vyřešíme: X — Xq y - yo X Označme její řešení X\ a y\, tj, = -/ 1(x0,yo)f(xo,y0), x0 yo - J 1(x0,yo)f(x0,yo) x0 - J 1(x0,yo)f(x0,yo) X\ yi) \yo Nyní nahradíme bod [xo, y o] bodem [x\, y\] a obdobně určíme bod [x2, y 2]- A tak dál. Obecně bude platit: Xk + \ yk+\ Xk yk -J l(xk,yk)f(xk,yk), k = 0,1,2, (2.14) Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 179 Poznámka 2.8 Porovnejte vzorec (2.14) se vzorcem (2.8) pro „skalární" případ %k+\ — xk f(*k) který jsme použili pro řešení jedné rovnice /(x) = 0 Newtonovou metodou (náhrada grafu funkce / tečnou v bodě [x^, /(%k)])- Zřejmě jde o jeho maticovou verzi. V tomto případě je totiž J(x) = (f'(x))9 takže tato jednorozměrná matice je regulární, právě když f'(x) 0. Inverzní matice je pak J~l(x) — (1/fr(x)). Obdobně lze postupovat pro soustavy tří a více rovnic, maticový zápis vzorce pro výpočet iterací je obdobný jako (2.14). Výpočet iterace [x^+i, yk+\] z iterace [x^, yk] pomocí vzorce (2.14) vyžaduje výpočet inverzní matice J~l (x^, yk), což není problém pro dvě neznámé, ale pro větší počet je to numericky poměrně náročné. Proto se výpočet obvykle organizuje jinak. Označme Uk Vk Xk + \ yk+\ Xk yk Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 180 Pak ze (2.14) je vidět, že M k J(*k,yk) i Vjc) = ~f(xk,yk) což je soustava lineárních rovnic s neznámými u k a^.Na nalezení jejího řešení existují velmi účinné numerické metody, viz kapitola 3. Potom Xk + l yk+\ Xk yk + Uk Vk Tento postup je (zejména pro větší počet neznámých) daleko účinnější. Konvergence: Lze ukázat, že pokud funkce f\ a f i mají spojité druhé parciální derivace, platí, že det /(x, y) ^ 0 v blízkosti přesného řešení soustavy (2.11) (tato podmínka zajišťuje existenci inverzní matice k Jacobiově matici) a počáteční aproximace [xo, y o] je dostatečně blízká tomuto řešení, pak posloupnost [xjc, yk] daná vzorcem (2.14) konverguje pro k oo k přesnému řešení a rychlost konvergence je kvadratická. Obdobný výsledek Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 181 platí i pro soustavy o více neznámych. Přesná formulace je poměrně komplikovaná, viz např. [4, II. díl, str. 155], [30, str. 703], [52, str. 299] nebo [69, str. 20]. Poznámka 2.9 Newtonovu metodu lze dalekosáhle zobecnit na operátorové rovnice, které v sobě zahrnují jako speciální případ nejen výše uvažované rovnice v W1, ale rovněž obyčejné a parciální diferenciální rovnice apod. Viz [8, str. 290] nebo [30, str. 689]. Touto problematikou se zabýval Kantorovič1. Pojmy k zapamatování — kořen nelineární rovnice — existence a jednoznačnost kořenu — separace kořenů — aproximace kořenů !Le z (1912-1986) — ruský matematik. Zabýval se funkcionální analýzou a matematickými metodami v ekonomii (matematické programování). V roce 1975 obdržel Nobelovu cenu za ekonomii (společně s 1 sem) za „příspěvek k teorii optimální alokace zdrojů". Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 182 zastavovací podmínky rychlost konvergence, řád iterační metody startovací a zpřesňující metody metoda bisekce (půlení intervalu) metoda regula falši (tětiv) metoda prosté iterace pevný bod funkce Newtonova metoda (tečen) metoda sečen kořen systému nelineárních rovnic separace a aproximace kořenů systémů rovnic metoda prosté iterace pro systémy Newtonova metoda pro systémy Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 183 Kontrolní otázky 1. Která čísla nazýváme kořeny rovnice f(x) = 0? 2. Jakými způsoby lze získat informaci o poloze kořenů rovnice f(x) = 0? 3. Popište postup při hledání kořenů. 4. Vysvětlete, co znamená pojem separace kořenů. 5. Vysvětlete, co znamená pojem aproximace kořenů. 6. Uveďte podmínky, které zaručují, že funkce f(x) = 0 má na intervalu (a,b) alespoň jeden kořen. 7. Pro funkci f(x) spojitou na intervalu (a, b) platí f (a) f(b) < 0. Co můžeme říci o počtu kořenů rovnice f(x) = 0? 8. Pro funkci f(x) spojitou na intervalu (a,b) platí f (a) f(b) < 0, přičemž ff(x) nemění na (a, b) znaménko. Co můžeme říci o počtu kořenů rovnice f(x) = 0? 9. Uveďte podmínku, která zaručuje, že spojitá funkce splňující f (a) f(b) < 0 má na intervalu (a,b) právě jeden kořen. 10. Uveďte podmínky, které se používají pro zastavení výpočtu při hledání kořenu numerickou metodou. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 184 11. V případě, že je splněna některá ze zastavovacích podmínek na straně 120, znamená to, že platí \a — xn\ < £? 12. Jaké jsou přednosti a nedostatky jednotlivých zastavovacích podmínek na straně 120? 13. Vysvětlete, co je řád konvergence posloupnosti {xn} a řád iterační metody. 14. Vysvětlete princip metody bisekce. 15. Kolik startovacích bodů potřebuje metoda bisekce? 16. Vysvětlete princip metody regula falši. 17. Co rozumíme tětivou u metody regula falši? 18. Kolik startovacích bodů potřebuje metoda regula falši? 19. Uveďte, jaké podmínky zaručují, že metoda regula falši konverguje. 20. Vysvětlete princip metody prosté iterace. 21. S čím souvisí rychlost konvergence prosté iterační metody? 22. Jaké podmínky zaručují, že metoda prosté iterace konverguje? 23. Vysvětlete princip Newtonovy metody. 24. Kolik startovacích bodů potřebuje Newtonova metoda? 25. Uveďte, jaké podmínky zaručují, že Newtonova metoda konverguje. Obsah Jdi na stranu \4 Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 185 26. Kdy je výhodnější místo Newtonovy metody použít metodu sečen? 27. Vysvětlete princip metody sečen. 28. Co rozumíme sečnou u metody sečen? 29. Kolik startovacích bodů potřebuje metoda sečen? 30. Uveďte, jaké podmínky zaručují, že metoda sečen konverguje. 31. Která z probíraných metod používajících dva startovací body nevyžaduje, aby funkční hodnoty ve startovacích bodech měly opačná znaménka? 32. Které z iteračních metod pro nalezení kořenů jsou vždy konvergentní, pokud spojitá funkce f(x) na intervalu (a, b) splňuje podmínku f (a) f(b) < 0? 33. Které metody označujeme jako startovací a proč? 34. Které metody označujeme jako zpřesňující a proč? 35. Co rozumíme kořenem systému rovnic? 36. Jaké znáte iterační metody pro systémy nelineárních rovnic? 37. Popište, jak lze postupovat při hledání kořenu systému dvou nelineárních rovnic. 38. Vysvětlete princip metody prosté iterace pro systémy rovnic. Obsah Jdi na stranu Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 186 39. Máte nalézt řešení soustavy rovnic f\(x, y) = 0, fi(x, y) = 0 pomocí metody prosté iterace. Napište, jak vypadá její přepis na ekvivalentní soustavu vhodnou pro řešení touto metodou. 40. Jaké podmínky zaručují, že metoda prosté iterace pro systémy konverguje? 41. Vysvětlete princip Newtonovy metody pro systémy rovnic. 42. Jaké podmínky zaručují, že Newtonova metoda pro systémy konverguje? Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 187 Testy ke kapitole 2 Vyberte správnou odpověď (právě jedna je správná). Za chybnou odpověď se neodečítají body. Test lze kdykoli tlačítky na konci ukončit a nechat si vypsat správné odpovědi. Testi 1. (lb.) Nechť funkce /(x) má na intervalu {a, b) kořen. Aby bylo zaručeno, že tento kořen je jediný, stačí, aby funkce /(x) byla na tomto intervalu konkávni, funkce /(x) byla na tomto intervalu konvexní, funkce /(x) měla první derivaci rovnou nule. funkce /(x) byla na tomto intervalu ryze monotónní. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 188 2. (lb.) Má kvadratická rovnice (x — 1) +2 = 0 reálné kořeny? Nemá. Ano, má dvojnásobný kořen x 1,2 = 1 + V-2. Ano, má kořeny X\ = 1 a x2 = —2. Ano, má kořeny X\ 2 = 1 ± V—2. 3. (lb.) Máme nalézt nej větší záporný kořen rovnice / (x) = 0 pomocí Newtonovy metody. Pak volíme libovolný startovací bod kdekoli na ose x. volíme jeden startovací bod poblíž tohoto kořenu. volíme dva startovací body tak, aby hledaný kořen ležel mezi nimi. volíme dva startovací body tak, aby hledaný kořen ležel mezi nimi a funkční hodnoty v těchto bodech měly opačná znaménka. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 189 4. (lb.) Vyberte, o kterou iterační metodu se jedná: Graf funkce /(x) se na intervalu {a, b) nahradí přímkou, která prochází body [a, f (a)] &[b, f (b)]9 průsečík Xo této přímky s osou x je přibližný odhad kořenu. Dále pak vybereme ten z intervalů {a, Xo) nebo (xo, b), pro který platí / (a) f (xo) < 0 nebo / (xo) / (b) < 0, a postup opakujeme. Metoda bisekce. Newtonova metoda (metoda tečen). Metoda regula falsi (metoda tětiv). Metoda sečen. 5. (lb.) V případě, že posloupnost čísel Xo, X\,... konverguje ke kořenu a rovnice /(x) = 0 velmi pomalu, pak zastavovací podmínku zvolíme raději nastavením maximálního počtu iterací. zastavovací podmínku volíme ve tvaru \xn — xx-\ \ < s. zastavovací podmínku volíme ve tvaru Xn xx—\ X n < s. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 190 6. (lb.) Je číslo 0 kořenem rovnice 2 sin x H— e* — 0,6 = x2? Ne. Ano. Nelze rozhodnout. 7. (lb.) Jestliže rovnici /(x) = 0 přepíšeme do tvaru f\ (x) = ^(i), pak funkční hodnoty v kořenech původní rovnice jsou stejné jako funkční hodnoty v x-ových souřadnicích průsečíků grafů funkcí f\ (x) a f2Íx). funkční hodnoty v kořenech původní rovnice jsou stejné jako j-ové souřadnice průsečíků grafů funkcí /i(x)a f2Íx). kořeny původní rovnice a x-ové souřadnice průsečíků grafů funkcí f\ (x) a f2Íx) mají stejné hodnoty. kořeny původní rovnice mají jiné hodnoty než x-ové souřadnice průsečíků grafů funkcí /i(x)a f2(x). Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 191 8. (lb.) Jsou-li splněny podmínky pro konvergenci prosté iterační metody xn+\ — g(xn) na intervalu {a,b), pak počet iterací nutných k dosažení předepsané přesnosti je ovlivněn znaménkem funkční hodnoty v počáteční aproximaci, je ovlivněn volbou počáteční aproximace, není ovlivněn vlastnostmi funkce g(x). lze ovlivnit tím, že funkci derivujeme a hledáme kořen rovnice gř(x) = 0. 9. (lb.) Co je kořenem soustavy n rovnic o n neznámých tvaru fx (x\,..., xn) — 0, / = 1,..., n, n > 1? Kořenem je reálné číslo a takové, že pro všechna / = 1,..., n platí rovnosti f i (a,..., a) = 0. Kořenem je uspořádaná /2-tice čísel a = [oti,..., an] taková, že pro všechna / = 1,..., n platí rovnosti f i (at,..., c^) = 0. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 192 Kořenem je uspořádaná /2-tice čísel a — \a\,..., an\ taková, že alespoň pro jedno / = 1,..., n platí rovnost f\{pt\,..., an) = 0. Kořenem je uspořádaná /2-tice čísel a = [oti,..., an] taková, že pro všechna / = 1,..., n platí rovnosti f i (a\,..., an) = 0. Správně zodpovězené otázky: Získané body: Procento úspěšnosti: Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 193 Test 2 1. (lb.) Kořenem rovnice /(x) — 0 je libovolné reálné číslo a, pro které platí: a = 0. f(a) = 0. /(O) = a. f(a) = 1 2. (lb.) Polynom P(x) = ax3 — bx + c, kde Gl,a/ O, má v reálném oboru právě 3 kořeny (počítáno včetně násobností). má v reálném oboru vždy 3 různé kořeny, má v komplexním oboru více než 3 kořeny. má v komplexním oboru právě 3 kořeny (počítáno včetně násobností). Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 194 3. (lb.) Jestliže separujeme kořeny, pak stanovíme jejich přesnou hodnotu pomocí některé z iteračních metod. určíme intervaly, které jsou dostatečně malé a obsahují jediný kořen, nalezneme posloupnost čísel Xo, X\,..., která konverguje ke kořenu, z obrázku přibližně odhadneme jejich hodnotu. 4. (lb.) Vyberte vhodný interval, kterým lze odstartovat metodu bisekce při hledání záporného kořenu funkce f {x) — 3x2 — 3. (-2,0). (-2,2). (0,2). (1/2,3/2). 5. (lb.) Která z metod využívá při hledání kořenu rovnice /(x) = 0 ekvivalentní zápis x = g{x)l Metoda bisekce. Newtonova metoda. Metoda prosté iterace. Metoda sečen. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 195 6. (lb.) Předpokládejme, že data v tabulce jsou ze spojité funkce. Vyberte dvojici bodů, mezi kterými musí ležet alespoň jeden kořen této funkce. 1,0 1,5 2,0 2,3 2,7 3,0 f(Xi) 0,7 0,1 -0,4 -1,0 -2,1 -2,3 1,0 a 1,5. 1,5 a 2,0. 2,7 a 3,0. 2,3 a 3,0. 7. (lb.) Hledáme-li kořeny funkce /(x) na intervalu {a, b) a vynecháme požadavek na spojitost funkce /(x), pak spojitost první derivace funkce /(x) zaručuje, že je na intervalu {a, b) kořen. v případě, že funkce / (x) je na intervalu {a, b) monotónní a platí / (a) f (b) < 0, bude mít funkce na intervalu {a, b) kořen. podmínka /(a) f(b) < 0 nezaručuje, že na intervalu {a, b) má funkce kořen. podmínka / (a) f (b) < Oje postačující k tomu, aby funkce / (x) měla na intervalu {a, b) kořen. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 196 8. (lb.) Vyberte iterační metodu pro hledání kořenů nelineárních rovnic, která potřebuje k odstartování pouze jeden bod blízko kořenu. Metoda tětiv. Metoda Newtonova. Metoda sečen. Metoda bisekce. 9. (lb.) Které z metod pro nalezení kořenu nelineární rovnice o jedné neznámé lze přenést na systémy n nelineárních rovnic o n neznámých? Metodu prosté iterace a Newtonovu metodu. Metodu bisekce a metodu tětiv. Metodu prosté iterace a metodu sečen. Newtonovu metodu a metodu regula falši. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 1. (lb.) Jaké podmínky zaručují, aby funkce /(x) měla uvnitř intervalu (a, b) kořen? Funkce /(x) má v krajních bodech intervalu hodnoty opačných znamének. Funkce /(x) je na tomto intervalu spojitá. Funkce /(x) je na tomto intervalu spojitá a hodnoty v krajních bodech intervalu mají opačná znaménka. Funkce /(x) je na tomto intervalu spojitá a hodnoty v krajních bodech intervalu mají stejná znaménka. 2. (lb.) Vyberte tu odpověď, která obsahuje všechny kořeny polynomu P(x) = x4 + x3 -2x2. 0, —1, 2. 0 (dvojnásobný kořen), 1, —2. 0, 1 (dvojnásobný kořen), —2. 0, —1, 1, —2. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 199 3. (lb.) Aproximací kořenu rozumíme nalezení posloupnosti čísel Xo, X\,..., která konverguje ke kořenu a, tj. platí lim xn — a, f (a) — 0. nalezení intervalů, v nichž vždy leží jediný kořen, nalezení čísel a, pro která platí /(a) = 0. postup, kterým nalezneme kořeny dané rovnice. 4. (lb.) Iterační metodou byla sestrojena posloupnost konvergující ke kořenu rovnice /(x) = 0. Výpočet byl zastaven po splnění podmínky \xn+\ — xn \ < 5-10-5. Určete, která posloupnost byla získána. 0,5; 0,10981; 0,20970; 0,27240; 0,28611; 0,28607; 0,28607. 0,9; -0,68658; 0,33871; 0,82083; -0,12534; 0,97675; -0,63310; 0,43512. 0,6; 0,41788; 0,72451; 0,13585; 0,97188; -0,61558; 0,46515. 0; 1; 0,73212; 0,37303; 0,58097; 0,55938; 0,55653; 0,55649. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 200 5. (lb.) Kdy je zaručeno, že Newtonova metoda bude na intervalu (a, b) konvergovat? Pokud má funkce /(x) spojitou druhou derivaci a počáteční aproximaci Xq zvolíme blízko kořenu. Pokud jsou splněny podmínky f(a)f(b) < 0, fr(x) ^ 0, f"(x) ^ 0 aza počáteční aproximaci x o zvolíme a nebo b tak, aby / (xo) f"(xo) > 0. Pokud jsou splněny podmínky /(a) f(b) > 0 a f\x) ^ 0. Newtonova metoda je vždy konvergentní. 6. (lb.) Na jakém principu funguje metoda bisekce? Najdeme střed Xq intervalu {a,b), zjistíme, zdaje v něm funkční hodnota rovna nule, pokud ano, máme kořen. Jinak pokračujeme stejným způsobem dále s tím, že pracujeme s intervalem, pro který platí f (a) f (x o) > 0 resp. f (b) f (x o) > 0. Najdeme střed Xo intervalu {a, b), zjistíme, zdaje v něm funkční hodnota rovna nule, pokud ano, máme kořen. Jinak pokračujeme stejným způsobem dále s tím, že pracujeme s intervalem pro který platí f (a) f (x o) < 0 resp. f (b) f (x o) < 0. Obsah Jdi na stranu \4 ►I Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 201 Najdeme střed Xq intervalu {a,b), zjistíme, zdaje v něm funkční hodnota rovna nule, pokud ano, máme kořen. Jinak pokračujeme stejným způsobem dále s tím, že pracujeme s libovolným z intervalů {f(a)9 f C^o)) resp. (/(xo), f(b)). Ani jedna z předchozích možností neodpovídá metodě bisekce. 7. (lb.) Máme nalézt kořeny rovnice x 3-2x2-47x-44 x-ové souřadnice průsečíků grafů funkcí f\(x) — x3 Najdeme stejné kořeny? Ne. Ano. 0. Místo toho budeme hledat 2x2 a f2(x) = -47x - 44. 8. (lb.) Která z iteračních metod pro hledání kořenů na intervalu {a, b) je založena na tzv. větě o pevném bodu? Prostá iterační metoda. Metoda tečen (Newtonova metoda). Metoda sečen. Metoda tětiv (metoda regula falsi). Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení nelineárních rovnic 202 9. (lb.) Která z metod pro hledání kořenů nelineární rovnice f(x) = 0 vyžaduje existenci derivace funkce /(x)l Prostá iterační metoda. Metoda tětiv. Metoda sečen. Newtonova metoda. Správně zodpovězené otázky: Získané body: Procento úspěšnosti: Obsah Jdi na stranu N < ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž 203 Kapitola 3 Numerické řešení systémů lineárních rovnic Cíle Po prostudování této kapitoly budete schopni vysvětlit: • jak vypadá maticový zápis systému lineárních rovnic, • v čem spočívá obtížnost numerického řešení systémů lineárních rovnic, • podle čeho metody klasifikujeme, • které jsou nej důležitější přímé metody a jak fungují, • které jsou nej důležitější iterační metody a jak fungují, • co ovlivňuje velikost chyb při numerickém řešení systémů lineárních rovnic. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 204 Řešení systémů lineárních rovnic patří k nej důležitějším úlohám numerické matematiky. Důvodem je, že řada jiných problémů se převádí na tuto úlohu. Zdánlivě jde o jednoduchou záležitost. Ze základního kurzu lineární algebry víme, že na rozdíl od nelineárních rovnic dokážeme po konečném počtu kroků teoreticky určit přesné řešení lineárního systému. Skutečnost je ovšem poněkud jiná. V současnosti se řeší systémy mající řádově až miliony rovnic a neznámých. Výpočty takového rozsahu je pochopitelně nutné provádět numericky na počítači. Řešení proto dostaneme jen přibližně. Nevhodně zvolený postup může kvůli zaokrouhlovacím chybám u konkrétního systému způsobit, že dostaneme naprosto chybné řešení. Potíže tohoto druhu, způsobené výpočty v množině strojových čísel, lze ale demonstrovat i na zcela malých systémech, viz příklad 1.1. Zformulujme nejprve přesně, jakou úlohu vlastně budeme řešit. Z lineární algebry je známo, že systém lineárních rovnic má buď jediné řešení, nebo žádné řešení, nebo nekonečně mnoho řešení. My se budeme zabývat numerickým řešením systémů majících jediné řešení. V tomto případě musí být počet rovnic stejný jako počet neznámých nebo větší. Je-li větší, jsou rovnice lineárně závislé a některé z nich je možné vynechat, takže zbylé rovnice budou lineárně nezávislé a bude jich tolik, kolik je neznámých. Obsah Jdi na stranu \< ►I Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 205 Budeme tedy uvažovat čtvercový systém lineárních rovnic o n neznámých tvaru a\\X\ + 012*2 + ••• + tfi tix/i = b\, 021*1 + 022*2 + + a2nXn = b2, (3.1) 072l*l H" 0722*2 H~ " " " H~ 07272*72 — ^72 kde n ^ 1 je přirozené číslo. Reálná čísla 0^, / = 1,..., n, j cienty u neznámých x j, j = 1,..., n, a reálná čísla bi, i = 1, pravých stran. Označíme 011 012 • • • 01tA 021 022 • • • 0272 1, ...,n, jsou koefi-, n, jsou koeficienty A = B = x — 0721 0722 ••• 072 72 y \ ^72 j \ *72 j Pak ^4 G Mw je matice soustavy, B G W1 je vektor pravých stran a x G Mw je vektor neznámych. Systém (3.1) pak můžeme stručně maticově zapsat ve tvaru Ax = B, (3.2) Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 206 kde Ax je maticový součin čtvercové matice A a sloupcové matice x. Předpoklad, že tento systém má právě jedno řešení, je ekvivalentní tomu, že matice A je regulární, tj. det A ^ 0. Tato podmínka je rovněž ekvivalentní s existencí inverzní matice A~l, tedy matice, pro niž platí AA _1 = A~l A — E, kde E je jednotková matice. Další ekvivalentní podmínkou je, že pro hodnost matice A platí h 04) = n. Připomeňme ještě, že matice 0415) £ MWjW+i, která vznikne připojením sloupce B k matici A, se nazývá rozšířená matice soustavy. Klasifikace metod Metody numerického řešení systému (3.1) rozdělíme do dvou skupin. (A) Přímé/finitní metody Po konečném počtu kroků dostaneme (při počítání bez zaokrouhlování) přesné řešení. Jelikož zaokrouhlování se nevyhneme, získané řešení bude pouze přibližné. (B) Iterační metody Konstruujeme (obecně nekonečnou) posloupnost vektorů x(°\ x^\ x^2\ ..., která konverguje k přesnému řešení. Po konečném počtu kroků, když je splněna vhodná zastavovací podmínka, výpočet zastavíme. Nalezneme tedy jen přibližné řešení. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 207 3.1 Přímé metody Základem většiny těchto metod je Gaussova1 eliminační metoda (GEM), se kterou se studenti seznamují v úvodním kurzu lineární algebry. Připomeneme příslušný algoritmus a všimneme si, jaká úskalí přináší při výpočtech na počítači, kdy dochází k zaokrouhlování. 3.1.1 Gaussova eliminační metoda Při této metodě nahrazujeme daný systém postupně ekvivalentními systémy, tj. systémy které mají totéž řešení. Na konci tohoto řetězce dostaneme systém, který lze snadno řešit. Při vytváření ekvivalentních systémů používáme tzv. elementární řádkové úpravy matic. Ty jsou tří typů: 1) výměna dvou řádků matice, 2) vynásobení řádku matice libovolným nenulovým číslem, 3) přičtení násobku jednoho řádku matice k jinému řádku matice. 1 J( s (1777-1855) — vynikající německý matematik, astronom a kartograf. Jeden z nej větších matematiků všech dob. Jeho práce podstatně ovlivnily mnoho matematických oborů. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 208 Provedeme-li posloupnost libovolných elementárních řádkových úprav s rozšířenou maticí 0415) soustavy (3.2), dostaneme matici (U\D), kde U je opět čtvercová matice a D je sloupcová matice Ze základního kurzu lineární algebry je známo, že systém U x = Z) je s výchozím systémem A x = B ekvivalentní. Cílem je provést úpravy tak, aby matice U byla horní trojúhelníková, protože pak je systém U x = D snadno řešitelný. Zmíněný algoritmus nyní popíšeme přesněji. GEM sestává ze dvou částí: přímého chodu, v němž se vytvoří ekvivalentní systém s horní trojúhelníkovou maticí soustavy, a zpětného chodu, v němž se tento speciální systém vyřeší. Obsah Jdi na stranu \< ►I Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 209 Přímý chod GEM Označme ^4^°^ = A, = B. Nyní postupně vytvoříme ekvivalentní systémy A^x = = B^\A^l)x = B^\...,A^n~l)x = B^~l) takové, že v matici A^k\k = — 1, budou všechny prvky pod hlavní diagonálou v prvních k sloupcích nulové. Tedy matice A^n~^ bude horní trojúhelníková. První krok: Vytvoření systému A^x = (1) Položíme = ^(0) a5(1) = £(0). (2) Předpokládejme, že prvek ^ 0. Nazýváme ho hlavní prvek nebo pivot. První řádky nových matic už nebudeme měnit. Ostatní budeme modifikovat. Určíme, kolikanásobky prvního řádku musíme postupně odečíst od druhého až posledního řádku, abychom v prvním sloupci dostali pod hlavní diagonálou nuly. Označme tato čísla In, / = 2,..., n. Tedy / „(i)/M) / n(i) /n(i) Í21 — CL2\ j a\\ » '31 — #31 j d\\ , _ „(1) /„(l) ln\ — un\ j un Nyní postupně odečteme od druhého řádku I21 -násobek prvního řádku, od třetího Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 210 řádku /31-násobek prvního řádku atd. Nové prvky tedy budou (symbol := značí, že prvky v matici přepíšeme; napravo je použita původní hodnota, levá strana pak značí novou hodnotu): (D (i) / aij -=a}/ -lna (D 1/ Z 2* ^ • • • ^ J^L ^ J 2* ^ • • • ^ J^L Totéž uděláme s vektorem Jeho nové prvky budou: := - lnb\1', i = 2 (D Dostaneme tudíž matice I an 0 (D „(D 12 (D a a 22 a a (D ln (1) 2n \ 0 an (D 2 unn (D' 5« = .a) (1) Matice má v prvním sloupci pod hlavní diagonálou nuly. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 211 Obecný k-tý krok, k Vytvoření systému A^x = (1) Položíme A(k) = a B(k) = (2) Protože matice A^k~^ měla v prvních k — 1 sloupcích pod hlavní diagonálou nuly, má tuto vlastnost i matice A^k\ Předpokládejme, že prvek ^ 0. Nazýváme ho hlavní prvek nebo pivot. Prvních k řádků nových matic už nebudeme měnit. Ostatní budeme modifikovat. Určíme, kolikanásobky k-tého řádku musíme postupně odečíst od (k + l)-ního až posledního řádku, abychom v k-těm sloupci dostali pod hlavní diagonálou nuly. Označme tato čísla i' = k + 1,..., n. Tedy (k) j _ W / lk+\,k - ak+\,klakk (k) , <*) / nW i (k) j (k) i lk+2,k — ak+2,kl akk ' ' ' ' ' Lnk — ^nk / ukk Nyní postupně odečteme od (k + l)-ního řádku lk+\,k-násobek fc-tého řádku, od (k + 2)-hého řádku lk+2,k-násobek fc-tého řádku atd. Nové prvky tedy budou: (k) . (k) a,-- — a--uij • uij - hkak (k) j i = k + l,... ,n, j = k + l,... ,n. Totéž uděláme s vektorem B^k\ Jeho nové prvky budou: b(k)._ b(k) _ likbwt i=k + i ,n Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 213 Označíme U — i^-1^ a Z) = B^n~1^. Matice U je horní trojúhelníková s nenulovými prvky na diagonále, takže je regulární. Zavedeme ještě dolní trojúhelníkovou matici L, jež má na hlavní diagonále jedničky a pod ní prvky li j — 1 až i — l, které jsme získali v předchozím postupu. Význam této matice uvidíme později. Tedy ^11 ^12 • • • U\n \ / 1 o ... o\ u = 0 W22 o o U2n U nn j L = hi 1 0 ^nl hl ■ ■ ■ 1 / (3.3) Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 214 Zpětný chod GEM Nyní vyřešíme soustavu Ux = D s horní trojúhelníkovou maticí soustavy, která má totéž řešení jako výchozí soustava Ax = B. Její tvar je Ui\X\ + U12X2 + ••• + Ui^n-\Xn-i + U\nxn — d\, U22X2 + + U2,n-lxn-l + U2nxn — <^2> ................................... (3.4) ^n—\,n—\xn—\ ^n—\,nxn — dn—\, Mnn xn — dn. Soustavu začneme řešit pozpátku od poslední rovnice. Všechny diagonální prvky matice U jsou nenulové. Z poslední rovnice vyjde xn — dn/unn. Tuto hodnotu dosadíme do předposlední rovnice a určíme neznámou xn-\ — (dn —1 ^n—\.nxn)l ^n—i,n—i • Obdobně postupujeme dále, až nakonec z první rovnice určíme neznámou X\. Výše popsaný algoritmus tvořený přímým a zpětným chodem se nazývá GEM bez výběru hlavních prvků (pivotů). Postup je pochopitelně možný, právě když jsou všechny hlavní prvky ^ 0, k = l, ...,n — 1. Následující věta (viz [22, str. 105]) uvádí, kdy tomu tak je. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 215 Věta 3.1 Soustavu Ax — B lze řešit GEM bez výběru hlavních prvků právě tehdy, když všechny horní rohové hlavní minory matice A jsou nenulové, tj. když an ^ O, 011 012 021 022 011 012 013 021 022 023 031 032 033 ^0,... 011 0ftl 01« GEM s částečným výběrem hlavních prvků Pokud v algoritmu GEM při provádění fc-tého kroku, 1 ^ k ^ n — 1, dojde k tomu, že hlavní prvek = 0, výpočet zhavaruje. Vzhledem k tomu, že matice A^k~^ má plnou hodnost, tj. h(^4^-1^) = n, musí být některý z poddiagonálních prvků k-tého sloupce této matice nenulový, tj. 0^^ ^ 0 pro některé r, k + l ^ r ^ n. Pak můžeme v soustavě A^k~^x = B^k~^ vyměnit k-tou a r-tou rovnici a pokračovat standardním krokem GEM. Vzhledem k tomu, že však předpokládáme, že při výpočtech dochází k zaokrouhlova-cím chybám, problém může nastat, i když je hlavní prvek sice nenulový, ale hodně malý ve Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 216 srovnání s dosud neeliminovanými pod ním ležícími prvky fc-tého sloupce. Koeficienty 1 ^ k ^ n — l,k + l ^ i ^n, mohou být obrovské, což má za následek, že v dalších výpočtech dojde k velkým zaokrouhlovacím chybám a získané výsledné hodnoty pro neznámé X\, ..., xn jsou naprosto chybné. Abychom se právě popsané situaci vyhnuli, provádíme na začátku každého kroku GEM tzv. částečný výběr hlavního prvku (pivota). Z prvků *\ kde / = k, ..., /2, vybereme ten, který je v absolutní hodnotě největší. Nechť a (k-i) rk — max k s nebo r = s). Změna pořadí neznámých se obvykle zaznamenává v pomocném vektoru /?, jehož složky jsou na počátku čísla 1 až n. V každém kroku se s výměnou sloupců vymění i odpovídající složky vektoru /?, takže na konci přímého chodu GEM složky tohoto vektoru, jež jsou permutací čísel 1 až n, udávají správné pořadí neznámých. Z nich se vytvoří permutační matice P r = P^~1^ • • • Pr^ P)jP • Platí x = PrX^°\ Obsah Jdi na stranu \4 ►I Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 220 Xk-l) (k-l) "ir. "12 O '-a (k-l) 22 f----h llk j l2k 0 0 I (Äľ-l) ■\akk \ 0 0 rk : o 0 \: o 0 1 (Äľ-l) i nk Ak-l) llr Ak-l) l2r Ak-l) lkr Ak-l) Ak-l) Ak-i) l) D (£-1) (£-1) Obr. 3.2: GEM s úplným výběrem hlavních prvků. Prvek, který se stane hlavním prvkem, je zakroužkován. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 221 Výpočtová náročnost GEM Všimneme si, kolik aritmetických operací je třeba k vyřešení soustavy lineárních rovnic Ax — B pomocí GEM. Vzhledem k tomu, jak dlouho trvají jednotlivé operace, je vhodné rozdělit je do dvou skupin: sčítací (sčítání a odčítání) a násobící (násobení a dělení). Tabulka 3.1 uvádí příslušné počty (odvození viz [22, str. 100]). Hodnoty jsou polynomy v proměnné n, která udává počet neznámých. Protože pro velká n je rozhodující nej vyšší mocnina, můžeme pomocí symbolu O (definice 1.2) pro n -> oo zapsat, že počet sčítacích i násobících operací přímého chodu GEM je Sčítací operace: Násobící operace: Přímý chod Zpětný chod n —n 2n3 + 3n2 — 5n n2 — n n2 + n Celkově 2n3 + 3n2 — 5n 6 n3 + 3n2 — n Tab. 3.1: Počty operací v GEM Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 222 ^ + O (n2), kdežto u zpětného chodu je to pouze ^- + 0(n). Přímý chod je tedy co do počtu operací daleko náročnější. Navíc u GEM s částečným nebo úplným výběrem hlavních prvků je třeba při hledání největšího prvku provést srovnání čísel. Jejich počty jsou (viz [22, str. 102]): Částečný výběr: Úplný výběr: n2 — n —2 n2 _ / x -= — + 0(n) 2 2 w 2n3 + 3n2 — 5n n3 = - + 0(n2) Obvykle používáme GEM s částečným výběrem hlavních prvků. Praktické i teoretické poznatky totiž ukazují, že je postačující k tomu, aby zaokrouhlovací chyby zůstaly malé a neznehodnotily výsledky (viz str. 250). Navíc počet operací je daleko nižší než u GEM s úplným výběrem hlavních prvků. Speciální matice V řadě aplikací vzniká ve finální fázi potřeba numericky řešit systémy lineárních rovnic, jejichž matice soustavy mají speciální vlastnosti. Díky tomu se některé postupy zjednoduší, Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 223 některé předpoklady jsou automaticky splněny apod. Uvedeme nyní několik takových nej častějších typů matic. Definice 3.2 Čtvercová matice A G Wín se nazývá ryze řádkově diagonálně dominantní, jestliže platí n a ii > .7 = 1 j H a i = 1, n Čtvercová matice A G Wín matice se nazývá ryze sloupcově diagonálně dominantní, jestliže platí n a jj > ľ i = \ a j = Tedy absolutní hodnota libovolného diagonálního prvku je větší než součet absolutních hodnot zbývajících prvků v temže řádku (sloupci). Zřejmě všechny diagonální prvky takové matice musí být nenulové. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 224 Věta 3.3 Ryze řádkově nebo sloupcově diagonálně dominantní matice je regulární. Důkaz. Připusťme, že A je ryze řádkově diagonálně dominantní a je singulární. Pak má homogenní soustava A x = 0 netriviální řešení x. Nechť Xi — max{|xi |, \x2 Xn I } Tedy xr je složka, která je v absolutní hodnotě nej větší. Zřejmě \xr \ > 0. Uvažujme nyní r-tou rovnici soustavy Ax — 0. Osamostatníme z ní xr. CLffXf — CLf\X\ * ^r,r — —1 ^r,r~\~\Xf-\-\ * ^tyiXyi. Vypočítáme absolutní hodnotu obou stran předchozí rovnosti. S využitím pravidel pro počítání s absolutní hodnotou (viz str. 40) vyjde a rr Xi cir\X\ ''' arr—\xr—\ arr-\-\xr-\-\ • • • cirnxn < < ar\ - X\ + • • • + cirs-\ - xr-\ + < = (|#rl | + '"+ Wr,r-1 | + \^r,r + \ | + ' ' ' + \o>rn l) X i Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 225 Po vydělení kladným číslem \xr | dostaneme a rr < Clr\ + '" + #r,r-l + #r,r + l + ' ' ' + a rn což je spor s předpokladem, že matice A je ryze řádkově diagonálně dominantní. Je-li A ryze sloupcově diagonálně dominantní, je podle první části důkazu matice AT regulární, protože AT je ryze řádkově diagonálně dominantní. Protože A a AT mají stejný determinant, je A regulární. □ Další vlastnost je definovaná pro symetrické matice, tj. takové čtvercové matice, pro něž platí AT = A. S následujícím důležitým pojmem jsme se již setkali na str. 60. Definice 3.4 Symetrická matice A e Mw se nazývá pozitivně definitní, jestliže pro libovolný nenulový vektor x G W1, x ^ 0, platí, že xTAx > 0. Přímo z definice snadno plynou některé vlastnosti pozitivně definitních matic. Taková matice je nutně regulární. Jinak by existoval x ^ 0 takový, že Ax = 0. Pak by ovšem pro tento vektor platilo xTAx = xT0 = 0, což je spor. Dále pro vektor, jehož i-tá složka je Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 226 jednička a ostatní jsou nulové, tj. xT = [0,..., 0,1,0,..., 0], vyjde xTAx = au. Tedy všechny diagonální prvky musí být kladné. Existuje nutná a postačující podmínka pozitivní definitnosti. Její použití v případě rozsáhlé matice ovšem není snadné. Věta 3.5 (Sylvestrovo1 kritérium) Symetrická matice A £ Wín je pozitivně definitníprávě tehdy, když všechny horní rohové hlavní minory matice A jsou kladné, tj. když a\\ > 0. #21 #22 >0, #n #21 #31 #12 #22 #32 #13 #23 #33 > 0. #11 #«1 #1« > 0. Důkaz viz [18, str. 56] nebo [52, str. 204 a 283]. Poznámka 3.6 Je-li A e Wín symetrická matice a pro libovolný nenulový vektor x G Rw platí xTAx ^ 0, nazývá se A pozitivně semidefinitní. Pozitivně semidefinitní matice, která není pozitivně definitní, je určitě singulární. 1 Jí (1814-1897) — anglický matematik. Zabýval se algebrou, maticemi a teore- tickou a aplikovanou kinematikou. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 227 Lze ukázat, že A je pozitivně semidefinitní, právě když všechny hlavní minory (tj. determinanty podmatic tvořených týmiž řádky a sloupci) jsou nezáporné. Obdobně se zavádí pojmy negativně definitní (xTAx < Oprox 7^ 0) a negativně semidefinitní (xTAx ^ 0 pro libovolné x) matice. Snadno je vidět, že A je negativně (semi)definitní, právě když je — A pozitivně (semi)definitní. Odtud lze snadno odvodit kritéria ověřující tyto vlastnosti pomocí hlavních minorů. Symetrická matice, která nemá žádnou ze čtyř zmíněných vlastností, se nazývá indefinitní. Symetrické matice mají řadu důležitých vlastností, viz např. [18, str. 44-65] a hrají významnou roli v mnoha částech matematiky včetně numerických metod. Nás zajímají tyto speciální matice v souvislosti s GEM. Zřejmě každá horní rohová podmatice ryze řádkově nebo sloupcově diagonálně dominantní matice má tutéž vlastnost. Z vět 3.1, 3.3 a 3.5 proto plyne následující tvrzení. Věta 3.7 Je-li matice A £ Wín ryze řádkově nebo sloupcově diagonálně dominantní nebo symetrická pozitivně definitní, lze soustavu Ax — B s libovolnou pravou stranou B £ W1 řešit GEM bez výběru hlavních prvků. Často se setkáváme s (velkými) maticemi, které mají většinu prvků nulových. Takovým maticím se říká řídké. Tato vlastnost je důležitá z hlediska paměťových nároků, nulové Obsah Jdi na stranu \< ►I Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 228 prvky není nutné ukládat. Obvyklé jsou případy, kdy nenulové prvky jsou pouze na hlavní diagonále a v její blízkosti. Definice 3.8 Matice A e Mw se nazývá pásová, jestliže existují čísla p, q G No, 0 = p,q = n — 1» taková, že pro j — i > p nebo i — j > q platí a\j — 0. Číslo p + q + 1 je šířka pásu. Předchozí vlastnost znamená, že A může mít nenulové prvky pouze na hlavní diagonále, p naddiagonálách a q poddiagonálách. Častejšou zejména třídiagonální matice (p = = q = 1, tj. šířka pásuje tři). Pro p = q = 0 jde o diagonální matici. Je-li matice A pásová, je celkem zřejmé, že v přímém chodu GEM bez výběru hlavních prvků nemohou vzniknout v maticích A^k\ k = 1,..., n — 1, nenulové prvky mimo tento pás. Je-li pás úzký, počet operací potřebných k eliminaci se významně redukuje a i paměťové nároky na uložení průběžných výsledků se znatelně sníží. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 229 3.1.2 Metoda LU rozkladu Definice 3.9 Jestliže lze matici A e Mw vyjádřit ve tvaru součinu A = LU, kde L je dolní trojúhelníková matice a U je horní trojúhelníková matice, nazývá se toto vyjádření LU rozklad matice A. Nás bude zajímat případ, kdy matice A je regulární. Pak i matice L a U musí být regulární (součin dvou čtvercových matic je regulární, právě když jsou oba činitelé regulární). Protože jsou trojúhelníkové, musí být tudíž všechny jejich diagonální prvky nenulové. V přímém chodu GEM bez výběru hlavních prvků jsme z matice A získali dvě matice — horní trojúhelníkovou matici U a dolní trojúhelníkovou matici L, viz (3.3). Matice U byla dále využita ve zpětném chodu GEM. Velmi důležitá je však i matice L. Lze dokázat (viz např. [22, str. 98]), že tyto matice určují LU rozklad matice A, tj. A = LU. (3.5) Všimneme si existence takového rozkladu. Jestliže je možné provést přímý chod GEM bez výběru hlavních prvků, zmíněný rozklad existuje. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 230 Nechť naopak LU rozklad existuje. Označme A^, a Ujc podmatice matic A, L a U tvořené prvními k řádky a prvními k sloupci, k — 1, ..., n. Zřejmě matice L k a U k budou trojúhelníkové a regulární (protože mají nenulové diagonální prvky). Snadno je vidět, že A k = L^Uk, takže A^ jsou regulární. To znamená, že všechny horní rohové hlavní minory jsou nenulové, takže podle věty 3.1 je možné provést GEM bez výběru hlavních prvků. Dostáváme následující výsledek: Věta 3.10 Nechť A £ Wínje regulární matice. Pak LU rozklad této matice existuje právě tehdy, když lze systém Ax — B, kde B £ W1 je libovolný sloupec, řešit GEM bez výběru hlavních prvků. Připomeňme, že podle věty 3.1 je další ekvivalentní podmínkou existence LU rozkladu nenulovost všech horních rohových hlavních minorů matice A. Poznámka 3.11 LU rozklad regulární matice A není určen jednoznačně. Abychom mohli tuto otázku vyřešit, budeme potřebovat některé poznatky o trojúhelníkových maticích, které lze snadno ověřit. O všech maticích předpokládáme, že jsou čtvercové řádu n. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 231 • Součin dvou horních (dolních) trojúhelníkových matic je opět horní (dolní) trojúhelníková matice. • Inverzní matice k regulární horní (dolní) trojúhelníkové matici je opět horní (dolní) trojúhelníková matice. • Jsou-li R a S horní (dolní) trojúhelníkové matice aľ = RS, pak ta = rasa, i = 1 až n. Tedy diagonální prvky součinu dvou horních (dolních) trojúhelníkových matic jsou rovny součinu diagonálních prvků jednotlivých činitelů. • Je-li R regulární trojúhelníková matice, jsou diagonální prvky matice R~l rovny 1/raJ = 1 až n. Tedy diagonální prvky matice inverzní k trojúhelníkové matici jsou rovny převráceným hodnotám diagonálních prvků původní matice. Všechna předchozí tvrzení zejména platí pro diagonální matice, které jsou současně horní i dolní trojúhelníkové. Ukazuje se, že rozklad A = LU je jednoznačně určen, jestliže předepíšeme všechny diagonální prvky buď matice L nebo U. Předepsané hodnoty musí být samozřejmě nenulové. Předpokládejme, že A = L U je nějaký LU rozklad matice A a zvolme nenulová čísla p\ až pn. Ukážeme, že pak existuje LU rozklad, kde např. první činitel má na diagonále předepsaná Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 232 čísla. Označme D diagonální matici, jejíž diagonální prvky jsou čísla p\ / la. Pak platí A = LU = LDD~lU = LiC/i, kdeLi = LD, U\ = D~lU. Matice L\ je dolní trojúhelníková a U\ je horní trojúhelníková. Přitom L\ má na diagonále čísla Pu Pn- Připusťme, že existuje ještě druhý LU rozklad A = L2U2, kde matice L2 má na diagonála tatáž čísla p\, ..., pn. Pak L1U1 =L2U2, odkud L\XL2 = U1U21 Matice L^1 L2 je dolní trojúhelníková a matice U\ U^1 je horní trojúhelníková. Protože se rovnají, musí být rovny nějaké diagonální matici D. Jelikož L \ a L2 mají stejné diagonální prvky, musí být D jednotková matice. Z rovností L^1 L2 = E a UiU^1 = E plyne, že L\ = L2 a U\ = ř/2, takže LU rozklad je určen jednoznačně. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 233 Použití LU rozkladu k řešení lineárních systémů Předpokládejme nyní, že jsme pomocí přímého chodu GEM našli LU rozklad matice soustavy A ve tvaru A — LU. Ukážeme, jak jej můžeme použít k řešení soustavy Ax — B s libovolnou pravou stranou B. Tento postup se nazývá metoda LU rozkladu. Soustava má tvar LU x = B. Označíme-li U x = j, je vektor y řešením soustavy L y = B. Ta má tvar (připomeňme, že L má na hlavní diagonále jedničky — viz (3.3)) h\y\ + = b2, (3.6) ln-\,\y\ + ^-1,2^2 + ln,iyi + ln,2yi + + yn-\ + ln,n-iyn-l + y n bn-1 bn- Tu snadno vyřešíme. Z první rovnice máme y\ — b\.Vo dosazení do druhé rovnice vypočítáme y2 = b2 — hiyi- A tak dále až z poslední rovnice vypočítáme yn. Se soustavou U x — y jsme se setkali ve zpětném chodu GEM — viz (3.4). Snadno ji vyřešíme, tentokrát od konce. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 234 Použití metody LU rozkladu je zejména výhodné, když máme řešit více soustav Ax — B s různými pravými stranami B, ale touž maticí A. Stačí jednou najít LU rozklad matice A, což je výpočtově mnohem náročnější část, a pak jen pro každou pravou stranu B vyřešit dvojici trojúhelníkových soustav, což je daleko méně náročné. Všimneme si výpočtové náročnosti metody LU rozkladu. Nejprve musíme najít rozklad A = LU, což je rovnocenné přímému chodu GEM. Neupravujeme však žádný sloupec B, takže počet sčítacích i násobících operací se oproti tabulce 3.1 sníží o !L-^JL . Nicméně asymptoticky tyto počty zůstanou stejné, tj. ^ + 0(n2). Pak provedeme zpětný chod metody LU rozkladu, tedy vyřešíme dvě trojúhelníkové soustavy, což odpovídá dvěma zpětným chodům GEM, tj. n2 + 0(n) sčítacím i násobícím operacím. Použití metody si ukážeme na příkladu. Protože nám jde o pochopení algoritmu a ne o problémy se zaokrouhlováním, výpočty provedeme v celočíselné aritmetice. Příklad 3.12 Metodou LU rozkladu najděte řešení soustavy X\ + 2x2 + X3 = 3, X\ -\- x2 — — 5, 3x\ — X2 — X3 = —2. Obsah Jdi na stranu \4 ►I Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 235 Řešení. Nejprve ověříme, že metodu LU rozkladu lze použít. Podle vět 3.10 a 3.1 musí být všechny horní rohové hlavní minory nenulové. Dostaneme: 1^0, 1 2 1 1 = -1^0, 1 2 1 1 1 -2 3 -1 -1 = -17 ^ 0. LU rozklad matice soustavy A tedy existuje. V následujících úpravách čísla v kulatých závorkách značí řádky, koeficienty u nich udávají, čím řádky násobíme. Čísla řádků se vždy vztahují k předchozí matici, výsledky se zapisují do toho řádku nové matice, vedle kterého údaje stojí. 1 2 1 0-1-3 1 (2)-1(1) 0 -7 -4/ (3)-3(1) 1 2 1 0 -1 -3 0 0 17/ (3)-7(2) Koeficienty 1^ udávají, kolikanásobek j -tého řádku odečítáme od / -tého řádku — viz algoritmus přímého chodu GEM. Tedy /21 = 1, /31 = 3 a I32 — 7. Nyní již můžeme Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 236 sestavit matice L (na hlavní diagonále má jedničky) a U — viz (3.3). Řešení soustavy Ax — B, t\. LUx — B, dostaneme postupným řešením soustav L y — B d U x — y. Vyjde: y\ + yi 3, 5, 3ji + 7j2 + J3 = -2, odkud Vi = 3, yi = 5-yi = 2, y3 = -2- 3yi - ly2 = -25. x\ + 2x2 + X3 = 3, —x 2 — 3x3 — 2, 17x3 = —25, odkud x3 x2 X\ 25 17 2 3x3 — 3 — 2x2 — x 3 = _6_ 17 Obsah Jdi na stranu H < ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 237 LU rozklad s částečným výběrem hlavních prvků Jak víme, ne každá regulární matice A má LU rozklad. Ten podle vět 3.10 a 3.1 existuje, právě když jsou všechny horní rohové hlavní minory nenulové. Neexistence LU rozkladu se v přímém chodu GEM projeví tím, že v některém kroku je hlavní prvek = 0. Pak je nutné sáhnout k výměně řádků. Jak jsme ale vysvětlili v GEM s částečným výběrem hlavních prvků, problémem jsou i malé hlavní prvky a^, které způsobují velké zaokrouhlovací chyby. Stejný problém se projevuje i při LU rozkladu. Abychom se těmto potížím vyhnuli, i v tomto případě používáme částečný výběr hlavních prvků. Postup je obdobný jako u GEM — viz str. 215. Je však třeba rozmyslet si, jak získáme dolní trojúhelníkovou matici L a horní trojúhelníkovou matici U. Při GEM s částečným výběrem hlavních prvků provádíme (pokud je to nutné) výměny řádků upravované matice A. Celou situaci si můžeme představit tak, že provádíme GEM bez výběru hlavních prvků, tj. bez přehazování řádků, ale ne s maticí A, avšak s jistou maticí A , jež z A vznikne vhodným přeházením řádků. Bohužel dopředu nevíme, které řádky se mají přeházet. To zjišťujeme až během přímého chodu GEM. Obsah Jdi na stranu \< ►I Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 238 Při popisu GEM s částečným výběrem hlavních prvků jsme zavedli permutační matice p(k\k = 1, ..., n — 1. Vynásobení zleva těmito maticemi provedlo výměnu dvojice řádků. Matice Aik\ v níž jsme v k-tém kroku eliminovali poddiagonální prvky, se proto rovnala p^ A^k_1\ Postupné násobení zleva těmito permutačními maticemi tudíž vytvoří z matice A hledanou matici A. Tedy A = p^-\) p{n-2)... p(2)p{\)A Stačilo by tedy vzít matici A a najít její LU rozklad, tj. A — LU. Označíme-li P = P{n~l) • • • bude platit P A = Ä = LU. Matice P se rovněž nazývá permutační. Vznikne z jednotkové matice postupným přehazováním řádků. Tedy P má v každém řádku a každém sloupci právě jednu jedničku, její ostatní prvky jsou nulové. Bohužel, jak již bylo řečeno, matice P^\ ..., p(n~^ předem neznáme. Můžeme však vzít vektor pT e W1, do něhož před zahájením výpočtu vložíme čísla 1 až n, tj. p — [1,2,...,/2]T. Když budeme v některém kroku měnit např. k-tý a r-tý řádek, vyměníme ve vektoru p jeho k-tou a r-tou složku. Na konci budeme mít v p poznačeno, jak se řádky matice A přeházely, a snadno vytvoříme matici P. Horní trojúhelníková matice U, kterou dostaneme, je rovněž ta, kterou potřebujeme. Jak však dostaneme správnou dolní trojúhelníkovou matici L? Víme, že průběžně Obsah Jdi na stranu \4 ►I Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 239 ukládáme po sloupcích její prvky pod hlavní diagonálou. Představme si, že bychom předem věděli, že v k-tém kroku přímého chodu GEM bude nutné vyměnit k-tý a r-ty řádek. Jaký by to mělo dopad na průběžně vytvářenou matici L, kdybychom výměnu skutečně předem provedli? Zřejmě by se vyměnil k-tý a r-tý řádek v dosud hotové části matice L, tj. prvky v prvních k — 1 sloupcích. Celý výpočet lze zorganizovat následovně. 1) Do postupně eliminovaných sloupců matice A zapisujeme pod hlavní diagonálu místo nul prvky matice L. 2) Pokud je třeba provést v k-tém kroku výměnu k-tého a r-tého řádku, provedeme ji s celými n-člennými řádky, tj. vyměníme vlastně jak dosud hotové části k-tého a r-tého řádku matice L (první až (k — l)-ní sloupec), tak dosud neeliminované části k-tého a r-tého řádku matice A (k-tý až n-tý sloupec). 3) Při následné eliminaci poddiagonálních prvků k-tého sloupce, tj. odečítání /^-násobků k-tého řádku od řádků ležících pod ním, se prvky v prvním až (k — l)-ním sloupci nemění (tvoří část matice L), do vynulovaných poddiagonálních pozic k-tého sloupce se uloží další prvky matice, tj. čísla l\k, a prvky v k-tém až n-tém sloupci se standardně upraví. Obsah Jdi na stranu \4 ►I Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 240 Tento postup je výhodný i z hlediska úspory místa, zejména u velkých matic. Nulové poddiagonální prvky není třeba ukládat, místo nich tam uschováme prvky matice L. Taková strategie, tj. uložení prvků matice L do eliminovaných pozic pod diagonálou, je samozřejmě možná a vhodná i u LU rozkladu bez výběru hlavních prvků. Ve výsledné matici A^n~^ prvky na hlavní diagonále a nad ní určují horní trojúhelníkovou matici U a prvky pod ní určují dolní trojúhelníkovou matici L (ta má na diagonále jedničky). Pomocí vektoru p vytvoříme matici P. Je-li i-ty prvek p roven číslu j, má matice P v i-tém řádku a y-tém sloupci jedničku, ostatní prvky /-tého řádku jsou nuly. Dále platí PA = LU. (3.7) Mluvíme o tzv. P LU rozkladu matice A. Tento rozklad můžeme využít k řešení soustavy A x — B. Po vynásobení permutační maticí P dostaneme P A x — P B, tedy LU x — P B. Označíme-li U x — y, dostáváme opět dvě trojúhelníkové soustavy L y = P B aUx = y. Postup nazýváme metoda LU rozkladu s částečným výběrem hlavních prvků. Výpočtová složitost je stejná jako u GEM s částečným výběrem hlavních prvků, tj. 3 2 \ + 0(n2) sčítacích a násobících operací a \ + 0(n) srovnání pro nalezení PLU Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 241 rozkladu a n2 + 0(n) sčítacích a násobících operací pro řešení dvou trojúhelníkových soustav. Poznámka 3.13 Snadno se zváží, že při dané permutační matici P je PLU rozklad jednoznačný, když předepíšeme diagonální prvky matice L (v našem případě jsou to jedničky) nebo U, srovnejte poznámku 3.11. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 242 Příklad 3.14 Vyřešte soustavu z příkladu 3.12 metodou LU rozkladu s částečným výběrem hlavních prvků. Řešení. Budeme postupovat obdobně jako v příkladu 3.12. Do vynulovaných poloh pod hlavní diagonálou ale budeme psát prvky matice L (jsou v rámečcích). 1 2 1 1 1 -2 3 -1 -1 3 -1 -1\ (3) 1 1 -2 1 2 1/(1) 1 4 3 7 3 -id) -1 - \ (3) f -f/(2) -1 7 3_ 4 7 Do vektoru p zapíšeme výměny řádků: (3) - f (2) Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 243 Nyní již můžeme sestavit matice L (na hlavní diagonále má jedničky), U a P L= Í U = '3 -1 7 3 o Ještě určíme vektor P B: PB = P = Řešení soustavy PAx = PB, tj. LU x = PB, dostaneme postupným řešením soustav Ly — PB diUx — y. Vyjde: Vi = -2. \y\ + yi = 3. \y\ + 1^2 + j3 = 5. odkud Vi = -2, J2 = 3 - \yx J3 = 5- \yx u_ 3 7 y 2 = 25 7 ' Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 244 3x\ — X2 — f*2 + X3 = 4 v _ — 3 17 7 X3 = -2, _n 3 ' 25 7 ' odkud x3 X2 X\ 25 17 2 — 3 — 2^2 — *3 = _6_ 17 3.1.3 Choleského metoda Metoda, kterou nyní uvedeme, je určena pouze pro případ, kdy matice soustavy je symetrická a pozitivně definitní. Je založena na následujícím výsledku (viz [52, str. 205]). Věta 3.15 Nechť A je symetrická pozitivně definitní matice. Pak existuje právě jedna dolní trojúhelníková matice L s kladnými prvky na hlavní diagonále taková, ze platí A — LLT. Vyjádření z předchozí věty se nazývá Choleského1 rozklad matice A. 1Ai\ >ky (1875-1918) (čti šolesky) — francouzský důstojník, zabýval se geodézií a kartografií. Na začátku 20. století se podílel na zeměměřických pracích na Krétě a v severní Africe. Padl krátce před koncem první světové války. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 245 Pro výpočet prvků matice L se snadno odvodí rekurentní vzorce. Protože tato matice je dolní trojúhelníková, pro / < k je Uk — 0. Z rovnosti A — LLT dále dostaneme IkA + lli H-----r- li* — akk, kl t lk2 kk k = 1.....72 Wii + ^2^-2 H-----h /^/^ = fliti, \ ^ k < i ^ n. Prvky nyní počítáme po sloupcích. In In \law> a k-i 2 kk / ;lki .7 = 1 k-1 kk = \akk-J2l Uk = ^(%,-5>a) Z ' ^ • • • ^ ^z ^ ^ • • • ^ /T ^ k — 2,... ,n, i — k + 1,... ,n (3.8) (3.9) Při řešení soustavy Ax = B se symetrickou pozitivně definitní maticí soustavy Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 246 najdeme nejprve rozklad A — LLT a pak podobně jako u LU rozkladu řešíme dvě trojúhelníkové soustavy L y = B a LTx = y. Postup nazýváme Choleského metoda. Výpočtová složitost Choleského rozkladu je ^- + 0(n2) sčítacích a násobících operací a výpočet n druhých odmocnin (což je zanedbatelné) a řešení dvou trojúhelníkových soustav, jak již víme, n2 + 0(n) sčítacích a násobících operací. Z první rovnosti v (3.8) je vidět, že Ikj = \/akk' ^ ~ ^' • • •' n> J ~ te(ty prvky matice L nemohou příliš narůstat oproti diagonálním prvkům matice A. Poznámka 3.16 Choleského rozklad existuje i pro symetrické matice, které nejsou pozitivně definitní, ale mají LU rozklad (horní rohové hlavní minory jsou nenulové, viz věty 3.10 a 3.1). Pak ovšem některé diagonální prvky matice L budou ryze imaginární (pod odmocninou ve (3.9) vyjde záporné číslo). Stane-li se to pro pak i všechna Ijk, j = k + 1,..., n, budou ryze imaginární. Při řešení trojúhelníkových soustav se tato komplexní čísla zruší (při přesném výpočtu). Viz [22, str. 108]. Příklad 3.17 Choleského metodou najděte řešení soustavy X\ -\- 2*2 — *3 = 3, 2x\ + 5x2 — 2x3 = 5, —a i — 2x2 + 3*3 — —2. Obsah Jdi na stranu \4 ►I Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 247 Řešení. Matice soustavy A je zřejmě symetrická. Ověříme pomocí Sylvestrova kritéria, že je pozitivně definitní. 1 > 0, 1 2 2 5 1 2 -1 1 > 0, 2 5 -2 = 2 > 0 -1 -2 3 Protože všechny horní rohové hlavní minory jsou kladné, je A skutečně pozitivně definitní. Najdeme Choleského rozklad matice soustavy A — LLT.Zt vzorců (3.9) dostaneme: hi — \/a\\ — 1> a 12 In ln — \la22 ~^2\ ~ 1' ^32 — I— (#23 — hlhl) — 0. In 1 = 2. /31 - a 13 = -1 22 h3 — y#33 - l\x - l%2 — >/2. Řešení soustavy Ax = B, tj. LLTx = B, dostaneme postupným řešením soustav Obsah Jdi na stranu N < ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 248 L y — B a LTx = y. Vyjde: Vi = 3, 2y i + y2 = 5, -Vi + V2j3 = -2, X\ -\- 2x2 — -^3 = 3, x2 — — 1, V2x3 = #, odkud odkud yi yi x3 x2 = 3, = 5 - 2y x = -1, = ^(-2 + yi) = 2' "I, 3 — 2x2 + X3 V2 2 Poznámka 3.18 Choleského rozklad je zřejmě speciálním případem LU rozkladu. Zatímco při hledání LU rozkladu jsme použili algoritmus GEM, pro Choleského rozklad máme vzorce (3.9) pro nalezení prvků matice L. Obdobné tzv. přímé vzorce lze odvodit i pro obecný případ LU rozkladu. Existují různé postupy, v jakém pořadí se počítají prvky matic L a U. U Croutovy1 metody se střídavě počítají shora řádky matice U a zleva sloupce matice L, zatímco u Banachiewiczovy2 metody se střídavě počítají shora řádky matice U a matice L. Podrobněji viz [52, str. 197]. ^rescott Durand Crout (1907-1984) (čti kraut) — americký matematik. 2Tai iewicz (1882-1954) (čti banachievič) — polský astronom a matematik. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 249 3.1.4 Analýza chyb při numerickém řešení soustav lineárních rovnic V předchozích oddílech jsme se zabývali přímými metodami řešení soustav lineárních rovnic Ax — B s regulární maticí soustavy A. Při přesném počítání tyto metody dávají přesné řešení x. Avšak provádíme-li výpočty na počítači v číselné soustavě s plovoucí řádovou čárkou, dochází nutně k zaokrouhlování. Důsledkem toho je, že dostaneme pouze přibližné řešení x. Zásadní otázkou je, nakolik je tento výsledek přesný. Celá tato problematika je technicky obtížná a výsledky formulované jako přesné matematické věty jsou složité, zájemci je naleznou ve specializované literatuře. My se omezíme na volný popis základních poznatků, které ukazují, co ovlivňuje přesnost numericky nalezeného řešení. V oddílu 1.4 jsme mluvili o podmíněnosti numerických úloh a v oddílu 1.5 pak o numericky stabilních algoritmech. Jak uvidíme, právě tyto vlastnosti hrají při numerickém řešení soustav lineárních rovnic klíčovou roli. Numerická stabilita Přibližné řešení jř soustavy Ax — B nebude tuto soustavu splňovat přesně. Budeme však požadovat, aby splňovalo přesně soustavu, jejíž koeficienty se jen málo liší od koeficientů Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 250 matice A a vektoru B. Proto zavádíme následující pojem. Definice 3.19 Algoritmus pro výpočet řešení lineární soustavy Ax = B se nazývá numericky stabilní, jestliže přibližné řešení x jím vypočtené splňuje soustavu (A + 8A)x = B + 8B, kde matice 8A a vektor 8B jsou malé (v nějakých normách). Přitom 8A se nazývá chybová matice. Je možné, že některý algoritmus obecně není numericky stabilní, ale pro jisté speciální případy numericky stabilní je. Lze ukázat (viz [22, str. 121], [52, str. 215] a v nich uvedené odkazy), že pro metody, o kterých jsme mluvili v předchozím textu, platí: Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 251 GEM bez výběru hlavních prvků numericky nestabilní GEM s částečným nebo úplným výběrem hlavních numericky stabilní prvků GEM bez výběru hlavních prvků pro ryze diago- numericky stabilní nálně dominantní nebo pozitivně definitní matice Choleského metoda numericky stabilní Předchozí závěry platí i pro metodu LU resp. PLU rozkladu, protože je ekvivalentní GEM bez výběru hlavních prvků resp. s částečným výběrem hlavních prvků. Je-li x přibližné řešení soustavy Ax — B, nazývá se rozdíl r — B — Ax reziduum. Předchozí poznatky lze stručně shrnout takto: GEM s částečným nebo úplným výběrem hlavních prvků zaručuje vznik malých reziduí. Otázkou ovšem je, zda malé reziduum zajišťuje, že x je dobrou aproximací přesného řešení x. Odpověď je bohužel negativní, jak ukazují už příklady dvou rovnic o dvou neznámých. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 252 Podmíněnost soustav lineárních rovnic Je-li algoritmus pro řešení soustavy A x — B, mající přesné řešení x, numericky stabilní, vyhovuje získané přibližné řešení x soustavě, která má od původní soustavy jen velmi málo odlišné koeficienty (definice 3.19). Otázkou však je, zda naopak platí, že řešení soustavy s málo odlišnými koeficienty od soustavy Ax — B se jen málo liší od jejího přesného řešení x. K téže otázce můžeme dojít i jinak. Koeficienty matice A a vektoru B jsou často získané měřením a jsou tudíž jen přibližné. Říkáme, že prvky Ad, B vznikly poruchou neboli perturbací přesných hodnot. Ve skutečnosti tudíž neřešíme „správnou" soustavu, ale pouze její aproximaci. Musíme se tedy zajímat o to, jak vzniklé nepřesnosti ovlivní řešení a zda vůbec přesné řešení perturbovaného systému dobře aproximuje přesné řešení systému se správnými, ale nám neznámými koeficienty. Uvažujme soustavu Ax — B, která má přesné řešení x. Jejím porušením vznikne soustava Ax — B, mající přesné řešení x. Označme A = A + 8A, B = B + 8B a í = x + 8x. Tedy 8A a 8B jsou poruchy matice A a vektoru B, 8x udává, o kolik se liší přesné řešení porušené soustavy (A + 8A)(x + 8x) = B + 8B od přesného řešení soustavy A x = B. Obsah Jdi na stranu \4 ►I Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 253 Připomeňme, že jsme v definici 1.19 zavedli číslo podmíněnosti k (A) regulární matice A dané vztahem k (A) = ||^4||||^4_1||. Vždy platí k (A) ^ 1. O normách, které budeme v dalším potřebovat, budeme předpokládat, že splňují požadavky uvedené před zmíněnou definicí. Lze dokázat následující výsledek (viz [22, str. 125]). Věta 3.20 Nechť A je regulární matice a pro poruchu 8 A platí \\SA\\ < l/\\A~1\\ (tj. 8A je dostatečně malá porucha). Potom pro řešení x soustavy Ax — Ba řešení x — x -\-8x porušené soustavy (A + 8A)(x + 8x) = B + 8B platí \\8x < k (A) f\\8B\\ | ||M||^ I-k(A) 11*411 \A\ B (3.10) Předchozí vztah udává horní odhad relativní chyby řešení x. Odhad závisí na relativních chybách ia5a číslu podmíněnosti k {A). Všimneme si dvou speciálních případů. Předpokládejme nejprve, že porušen je jen vektor B, tj. 8A = O, takže ||&4|| = 0. Vyjde \\8x á k (A) \\SB\\ WBW (3.11) Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 254 Předchozí vztah ukazuje, že relativní chyba řešení x nemůže být víc než k (ä) -krát větší, než je relativní chyba pravé strany B. Existují však matice A, pro něž v (3.11) nastává rovnost, tudíž relativní chyba řešení může být až k (A)-krát větší než je relativní chyba pravé strany. Tedy číslo podmíněnosti funguje jako jakýsi zesilující koeficient, který nás informuje, jak moc se může zvýšit relativní chyba řešení oproti relativní chybě pravé strany. Pokud je tedy k (A) hodně velké, může se stát, že i když je relativní chyba vektoru B malá, může být relativní chyba řešení x hodně velká. Pro reziduum platí r = B - Ax = B - (B + 8B) = -8B, tedy \\8x á k (A) B Tato nerovnost potvrzuje skutečnost, kterou jsme již konstatovali: Je-li reziduum malé, nemusí být (v případě velkého čísla podmíněnosti k (A)) malá relativní chyba řešení. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 255 Nyní předpokládejme, že je porušena jen matice soustavy A, tj. 8B = 0, takže \\SB || = 0. Tentokrát vyjde \\8x < k (A) \\SA\\ l-*04)ff \\A\\ ' (3.12) Protože 0 < 1 - k(A)^j$- < 1, je k (A) l-K(A)m U *m>KiA)mi A Obdobně jako v předchozí situaci i v tomto případě může být relativní chyba řešení mnohem větší, než je relativní chyba matice soustavy A. Číslo podmíněnosti matice k (A) tedy hraje důležitou roli při numerickém řešení lineárních soustav Ax = B. Z předchozích úvah je vidět, že soustavy se špatně podmíněnou maticí (např. k (A) > 100) dělají při numerickém řešení problémy a nezáleží přitom na volbě algoritmu. Jedinou cestou je použití mantisy s velkým počtem cifer; ani hardwarová dvojnásobná přesnost však nemusí být dostatečná. Naopak soustavy s dobře podmíněnou Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 256 maticí soustavy lze GEM s částečným nebo úplným výběrem hlavních prvků úspěšně resit. Poznámka 3.21 Poznamenejme, že řešení x soustavy Ax = 5 s regulární maticí A (mající tedy jediné řešení) spojitě závisí na A a B. To vyplývá ze vztahu x — A~lB, vzorce pro inverzní matici A~l = -^j adj AT a definičního vzorce pro determinant; připomeňme, že prvky adjungované matice jsou minory matice A, tj. jsou rovněž definované pomocí determinantů. Úloha nalezení řešení soustavy Ax = B je tudíž korektní (viz oddíl 1.4), avšak nemusí být dobře podmíněná. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 257 3.2 Iterační metody Jak již bylo řečeno, u těchto metod konstruujeme posloupnost vektorů x^°\ x^2\ ..., vlastně jakýchsi přibližných řešení, která konverguje k přesnému řešení systému Ax = B. Celá situace připomíná postup při řešení nelineárních rovnic z kapitoly 2. Musíme provést následující kroky: • Upravit výchozí soustavu A x = B na tvar, který umožní vytvářet ze zvolené počáteční aproximace x ^ další členy x ^. • Ověřit konvergenci posloupnosti {x^} k přesnému řešení. • Po konečném počtu kroků na základě nějakého kritéria (zastavovací podmínky) rozhodnout o ukončení postupu. Poslední člen získané posloupnosti prohlásíme za přibližné řešení. Iterační metody se používají zejména pro řešení rozsáhlých systémů s řídkými maticemi soustavy. Takové systémy se vyskytují v řadě aplikací. Pro menší systémy (počet rovnic je kolem stovek) obvykle dáváme přednost přímým metodám, které jsou většinou přesnější. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 258 Úprava na tvar vhodný k iterování Máme zadán lineární systém Ax — B s regulární maticí soustavy A e Mw, vektorem pravých stran B e W1 a vektorem neznámých x G ln. Matici A vyjádříme ve tvaru M + N, kde M je regulární, takže existuje M~l. Po úpravách dostaneme: Ax (M + N)x Mx x — B, B, -Nx + B, -M~lNx + M~lB. Označíme-li T = —M~lN a C = M~LB, platí T e Mn, C e Rn Soustava x = T x + C je ekvivalentní s původní soustavou Ax = B. Nyní zvolíme počáteční aproximaci x^ ePa definujeme (fc + l)-ní aproximaci řešení vztahem x(k+i) = Tx(k) + c> jk = o,l,2; (3.13) Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 259 Matice T se nazývá iterační. Hledáme vlastně pevný bod zobrazení definovaného vztahem (3.13). Rozepsáním do složek dostaneme x x (*+D _ Ť r(*) , Ť r(*) , , Ť r(*) , 1 — hlxi -r l\2X2 ~r -r hnxn t q, 2 — í2ix1 -h í22-^2 ~r ''' ~r l2nxn ~r r(*+D _ , r(*) , , r(*) , , t r(*) , Konvergence posloupnosti aproximací Protože přesné řešení neznáme, volíme počáteční aproximaci x ^ libovolně a požadujeme, abychom vždy dostali konvergentní posloupnost. Pojem konvergence vektorů byl zaveden v definici 1.6 pomocí normy. Z důsledku 1.9 víme, že na konkrétní volbě normy nezáleží a že lim x^ = x, právě když lim x\k^ — Xt pro každou složku / = 1,..., n. Je-li posloupnost {x^} konvergentní a má limitu x, dostaneme limitním přechodem v (3.13), že platí x = Tx + C, a tedy i Ax = B. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 260 Všimneme si podmínek zaručujících konvergenci. Ve formulaci následujícího výsledku budeme potřebovat pojem spektrálního poloměru matice zavedený v definici 1.20. Věta 3.22 Posloupnost určená vzorcem (3.13) konverguje pro libovolnou počáteční aproximaci právě tehdy, když p(T) < 1. Důkaz viz [22, str. 135] nebo [52, str. 624]. Čím menší je p(T), tím je konvergence rychlejší. Je-li p(T) jen o málo menší nezjedná, může se díky zaokrouhlovacím chybám stát, že dostaneme nekonvergentní posloupnost. Určit spektrální poloměr matice je obtížné. Nicméně s využitím věty 1.21 dostaneme následující postačující podmínku konvergence, která se ověří daleko snáz. Důsledek 3.23 Je-li \\T\\ < 1, kde \\.\\je libovolná maticová norma, která je souhlasná s nějakou vektorovou normou, konverguje iterační proces (3.13) pro libovolnou počáteční aproximaci x (0) Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 261 Zastavovací podmínky Protože při numerickém řešení můžeme provést pouze konečný počet kroků, musíme výpočet v jistém okamžiku zastavit. To učiníme, když na základě vhodného kritéria považujeme získané řešení za dostatečně přesné. Popíšeme nyní, jak v praxi postupujeme. Uvažujme soustavu A x — B, jejíž řešení získáváme iterační metodou (3.13). Zvolíme nějaké malé číslo s > 0 (přesnost řešení) a vhodnou vektorovou a s ní souhlasnou maticovou normu. V praxi se používají následující zastavovací podmínky. i (k) _ x(k-\) i) ii) (k) < s. r(k) \\A\\ ||jt<*>| 1 + 1 < e, kder(/:) = B - Ax(k\ V prvním případě tedy posuzujeme relativní změnu aproximace, v druhém relativní velikost rezidua. Je-li zvolená podmínka splněna, výpočet ukončíme a x^ považujeme za přibližné řešení. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 262 Jsou-li splněny předpoklady důsledku 3.23, lze dokázat nerovnost (viz [22, str. 136]) (k) < T 1 - T V(D _ v(o) Tentokrát jsme tedy schopni odhadnout vzdálenost k-té aproximace od přesného řešení a to pomocí vzdálenosti prvních dvou aproximací a normy matice T. Protože lim || T ||^ = 0, je pro dostatečně velké k pravá strana předchozí nerovnosti libovolně malá, takže lze najít takové k, že bude menší než zvolené s. Tento odhad je však obvykle hodně pesimistický, bývá pro takto určené k mnohem menší, tedy k je skutečná vzdálenost zbytečně velké. Nyní si všimneme konkrétních úprav systému Ax = B na tvar vhodný k iteraci. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 263 3.2.1 Jacobiova metoda Uvažujme systém Ax = B s regulární maticí soustavy A. Tuto matici rozdělíme na tři části: diagonálu a dvě trojúhelníkové matice s naddiagonálními resp. poddiagonálními prvky (s opačnými znaménky). Označíme D = ci\\ 0 0 a22 0 0 0 0 0 0 0 0 \ (3.14) ^n-\,n-\ 0 0 &nn J Obsah Jdi na stranu \A 4 ► ►! Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systému lineárních rovnic 264 L = U = O «21 O O an\ ~dn2 O -d\2 O O O O o o O O O O O ~@n,n—l O O \ o o / \ ~@n — l,n o (3.15) (3.16) Zřejmě platí A = D — L — U. Budeme předpokládat, že matice A má nenulové diagonálni prvky. Potom je matice D regulární, k ní inverzní matice Z)-1 je rovněž diagonální a má na diagonále prvky l/au, l/^nn- Tvar vhodný k iteraci získáme tak, že z první rovnice osamostatníme neznámou X\, Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 265 z druhé rovnice neznámou x 2, a tak dále, až z poslední rovnice osamostatníme neznámou xn. Maticově vypadá zápis takto: Ax (D-L- U)x Dx x X B, (L + U)x + B, D-\L + U)x + D-lB, TjX + D~XB, kde / Tj = D~\L + U) = \- O-nn O-nn a nn Iterační formule bude mít tvar x{k+i) = Tjx^ + D-'B, k = 0,1,2, 0 «12 «l,n-l «1« «11 «11 «11 0 . «2,n-l 0-T.n «22 «22 «22 0 (3.17) Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 266 Tato úprava se nazývá Jacobiova1 iterační metoda. Iterační matice 7} má na hlavní diagonále nuly. Zřejmě / -tá složka má tvar i-l .7=1 aii j=i+\ aii aii n a, i — 1,2,...,«. (3.18) Rozepsaná soustava po úpravě na tvar vhodný k iterování je potom x x ik+\) 1 (k+1) qi2 (k) «n 2 «21 Y(fc) «22 1 ai,n-i y.(k) an Xn-\ «2,w-l r(k) a22 n-\ au «2w x(k) + «22 11 «22 ' «11 b2 r(*+D an\ AÁk) an2 v(^) «nn x an,n—\ ann n~l + ^iz str. 177. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 267 Konvergence Jacobiovy metody Podle věty 3.22 platí následující tvrzení. Věta 3.24 Jacobiova metoda (3.17) konverguje pro libovolnou počáteční aproximaci k řešení soustavy Ax = B právě tehdy, když p(Tj) — p(D~l(L + U)) < 1. Určení spektrálního poloměru iterační matice je však obtížné. Ve speciálních případech existuje jednodušší postačující podmínka konvergence (viz [8, str. 213], [22, str. 140] nebo [52, str. 625]). Věta 3.25 Nechť je splněna některá z následujících podmínek: 1) Matice A je ryze řádkově diagonálně dominantní. 2) Matice A je ryze sloupcově diagonálně dominantní. Pak Jacobiova metoda (3.17) konverguje pro libovolnou počáteční aproximaci k řešení soustavy Ax — B. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 268 3.2.2 Gaussova-Seidelova metoda U Jacobiovy metody je zřejmé, že pokud známe všechny složky k-té iterace x ^k\ můžeme počítat složky následující iterace x^k+l^ v libovolném pořadí, nemusí to být nejprve x[k+1\ pak x^+l^ atd. Pokud má počítač více procesorů, lze toho případně využít k paralelním výpočtům jednotlivých složek, každá se počítá na jiném procesoru, čímž se výpočet může významně urychlit. Na druhé straně, počítáme-li složky iterace x^k+l^ postupně v pořadí x[k+1\ pak x^+l^ atd., je přirozeným nápadem využít při výpočtu jednotlivých složek ty složky (k + l)-ní iterace, které jsou již spočtené. Očekáváme totiž, že dávají přesnější aproximaci než tytéž složky k-té iterace. Tedy při výpočtu x^+l^ použijeme ve vzorci (3.18) . (k+1) , , (k) v. s v+ (k+1) v.. (k+1) (k+1) , , (k) aproximaci x\ místo x\ , pri výpočtu x^ použijeme x\ a x2 místo x\ (k) a x atd. Obsah Jdi na stranu \4 ►I Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 269 V maticovém zápisu vypadá uvedený postup takto: Ax (D-L- U)x (D - L)x x — x — kde Ux + B, (D-L)-lUx + (D-L)'1 B TGSx + (D-L)-lB, TGS = (D-L)-lU Všimněte si, že matice D — L je regulární, protože je dolní trojúhelníková a na diagonále má nenulové prvky, tudíž její inverzní matice existuje a je rovněž dolní trojúhelníková. Iterační formule bude mít tvar x{k+i) = t x(k) + (£> _ l)~lB, k = 0,1,2, (3.19) Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 270 Tato úprava se nazývá Gaussova1-Seidelova2 iterační metoda. K iterování však používáme tvar xik+\) = D-iLx(k+i) + D-iUx(k) + d~1B, k = 0,1,2,... (3.20) Zřejmě / -tá složka má tvar i-l x(k+\) _ _ ^ _ ^ ^Hx(k) + .7=1 a" y=,-+i a" a" / = 1,2,...,«. (3.21) Tato podobaje názornější a je z ní lépe vidět, že odpovídá předchozímu slovnímu popisu. Rozepsaná soustava po úpravě na tvar vhodný k iterování je potom Xk+i) _ x i _ a+2 (k) «11 2 (k+\) _fl2I„(*+l) Jv o — 1 z ^22 1 r(*+D Ak+\) an2(k+l) a nn a\,n-a\\ 1 rW a\n a\\ r(k) + bi «n ' «2,n-«22 i r(*) a-7.n «22 Y(k) + b2 «22 ' &n,n— O-nn i Ak+\) An-l + Q-nn !Viz str. 207. 2F lei (1821-1896) (čti zajdi) — německý astronom a matematik. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 271 Konvergence Gaussovy-Seidelovy metody Podle věty 3.22 platí následující tvrzení. Věta 3.26 Gaussova-Seidelova metoda (3.19) konverguje pro libovolnou počáteční aproximaci k řešení soustavy Ax — B, právě když p(TGS) = p((D — L)~1U) < 1. Jak jsme již konstatovali, určení spektrálního poloměru iterační matice je obtížné. I pro tuto metodu ve speciálních případech existují jednodušší postačující podmínky konvergence. Věta 3.27 Nechť je splněna některá z následujících podmínek: 1) Matice A je ryze řádkově diagonálně dominantní (viz [8, str. 213], [22, str. 142] nebo [52, str. 628]). 2) Matice A je ryze sloupcově diagonálně dominantní (viz [8, str. 213] nebo[ 14, str. 351 ]). 3) Matice A je symetrická pozitivně definitní (viz [8, str. 211], [14, str. 427] nebo [52, str. 631]). Pak Gaussova-Seidelova metoda (3.19) konverguje pro libovolnou počáteční aproximaci k řešení soustavy Ax — B. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 272 Srovnání Jacobiovy a Gaussovy-Seidelovy metody Množiny soustav Ax — B, pro něž konverguje Jacobiova resp. Gaussova-Seidelova metoda, jsou nesrovnatelné. Existují soustavy, pro něž Jacobiova metoda konverguje a Gaussova-Seidelova metoda nekonverguje, a rovněž soustavy, pro něž Gaussova-Seidelova metoda konverguje a Jacobiova metoda nekonverguje. Rovněž nemusí být pravda, že pokud obě tyto metody konvergují, je Gaussova-Seidelova metoda rychlejší, tj. že platí p(TGS) < p(Tj) < 1 (menší spektrální poloměr znamená rychlejší konvergenci). Nicméně je řada důležitých a často se vyskytujících případů, kdy tomu tak je. Například platí, že pokud má matice A kladné diagonální prvky a nekladné mimodiagonální prvky a Jacobiova metoda konverguje, konverguje i Gaussova-Seidelova metoda a 0 < p(TGS) < < p(Tj) < 1 nebo p(TGS) = p(7}) = 0 (viz [52, str. 629], [55, str. 76]). Z vět 3.25 a 3.27 víme, že pokud je matice soustavy A ryze řádkově nebo sloupcově diagonálně dominantní, konverguje Jacobiova i Gaussova-Seidelova metoda. Ukazuje se, že tento požadavek lze oslabit, stačí když v definici 3.2 budou nerovnosti splněny jako neostré s výjimkou aspoň jedné, která bude ostrá. Jde tedy o jakousi neryzí verzi diagonální dominantnosti. Matice soustavy však musí mít navíc jistou speciální vlastnost. Připomeňme, že permutační matice je matice, která vznikne z jednotkové matice E přeházením některých řádků. Násobíme-li Obsah Jdi na stranu Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 273 nějakou matici zleva (zprava) permutační maticí, vymění se v této matici odpovídajícím způsobem její řádky (sloupce). Definice 3.28 Řekneme, že čtvercová matice A e Wín je ireducibilní, jestliže neexistuje permutační matice P taková, že platí PlAP = An A O Ä 12 22 kde A n je matice velikosti p x p a ^22 je matice velikosti q x q, přičemž p + q = n, p ^ 1, q ^ 1. Jinými slovy, nesmí být možné vytvořit z matice A přeházením některých řádků a týchž sloupců matici, která má v levém dolním rohu blok nul o velikosti q x p, kde p + q = n. Podrobněji viz např. [18, str. 71], kde je popsáno, jak lze tuto vlastnost ověřit. Obsah Jdi na stranu H < ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 274 Věta 3.29 Uvazujme soustavu Ax = B. Nechť matice A je ireducibilní a platí n a li ^E .7 = 1 j H a ij přičemž aspoň pro jeden index Íq platí dokonce n a > .7 = 1 a loj Pak Jacobiova metoda (3.17) konverguje pro libovolnou počáteční aproximaci k řešení soustavy Ax = B. Předchozí tvrzení platí i pro sloupcové diagonální dominování a rovněž pro Gaussovu-Seide-lovu metodu. Viz [8, str. 213], [52, str. 626 a 628] a [55, str. 79]. Soustavy splňující předpoklady předchozí věty se často vyskytují v souvislosti s numerickým řešením parciálních diferenciálních rovnic. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 275 3.2.3 Relaxační metody, metoda SOR Relaxační metody jsou založeny na myšlence vyjít z některé iterační metody a upravit iterační matici tak, aby nová metoda konvergovala rychleji (nebo vůbec konvergovala, pokud výchozí metoda nekonverguje). Princip si vysvětlíme na Gaussově-Seidelově metodě, což je nej častější případ, lze ho však použít i pro Jacobiovu metodu (viz [13, str. 34]). Postup relaxace lze popsat takto: (k+\) (k+l) , x2 atd. 1) Složky (k + l)-ní iterace počítáme postupně, tj. x\ 2) Při výpočtu složky x\k+l^ nejprve předpovíme její hodnotu základní metodou, čímž získáme jistou hodnotu xjk+1\ 3) Složku x\k+l^ vypočteme z hodnot x\k+l^ a jako jejich vážený průměr. Tedy x «^=cox^ + (l-co)x (k) i = l,2,...,n. Číslo co se nazývá relaxačníparametr. Je-li co < 1, mluvíme o dolní relaxaci, je-li co > 1, mluvíme o horní relaxaci. Pro co — 1 dostaneme základní metodu. Dolní relaxace se často používá pro zajištění konvergence nekonvergentních metod, horní relaxace pak pro Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 276 zrychlení konvergence. Relaxace Gaussovy-Seidelovy metody se nazývá metoda SOR (Successive Overrelaxation). Navrhli ji téměř současně v roce 1950 1 a Stanley Phillips Frankel. Viz [64]. V případě relaxace Gaussovy-Seidelovy metody, tj. metody SOR, dostaneme podle vzorce (3.21), že i-l n X x .7 = 1 a j ii - E j=i + l a j ii a i = 1,2, ii Na pravé straně předchozího výrazu vystupují hodnoty x} jsou již známé. Tedy (k+i) , protože pro j < i Xj — COXj + (i — COjXj — i-l — -E aij (k + 1) n X .7 = 1 a j ii - E ^!lx(k) + ^_ j=i + \ a j ii V .7 = 1 a a a n + (1 -co)xjk) = 11 ij_(k+\) (k) . . J 1 - E ^Ílx(k) + £j_ 11 j=i + l a j ii a (3.22) ii Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 277 Odvodíme rovněž maticový zápis. Ze vztahu (3.20) po vynásobení maticí D dostaneme pro předpovězenou hodnotu Dx{k+l) = Lx{k+l) + Ux(k) + B, k = 0,1,2,... Tedy Dx ik+\) _ takže (D-coL)x(k+1) o)Dx{k+l) + (\-o))Dx{k) = = co(Lx(k+1) + Ux{k) + B) + (l- co)Dx{k) = = q)Lx{k+l) + [(1 - (ú)D + coU]x(k) + ú)B9 = [(1 - ú))D + coU]x(k) + ú)B9 = (Z> — o;L)_1[(l — o;)D + coU]x^ + o;(D — coL)~lB = 7^jcw +íw(D -coL)-lB kde 7^ = (D — o;L)_1[(l — co)D + (3.23) Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 278 Matice D — co L je dolní trojúhelníková a má na diagonále nenulové prvky a\\, ...,ann, takže je regulární, a tudíž existuje její inverze. Zajímá nás, pro která co je metoda SOR daná vztahem (3.23) konvergentní a kdy bude tato konvergence nejrychlejší, tj. kdy bude spektrální poloměr iterační matice 7^ nejmenší. Ukazuje se však, že má smysl uvažovat pouze některé hodnoty co. Platí totiž následující tvrzení (viz [52, str. 631]). Věta 3.30 (Kahan) Pro libovolnou matici A platí p(7^) ^ \co — 1 Podle věty 3.22 víme, že metoda SOR bude konvergovat, právě když p(T^) < 1. Tudíž aby metoda SOR mohla konvergovat, musí platit \co — 1| < 1, tj. G (0,2). Tato podmínka je pouze nutná (pokud není splněna, metoda SOR nekonverguje), nemusí však zaručovat konvergenci. Jak ukazuje následující tvrzení, je však postačující v případě pozitivně definitních matic (viz [8, str. 211], [52, str. 631] nebo [55, str. 83]). Věta 3.31 (C :i, Reich) Je-li A symetrická pozitivně definitní matice, platí p(7^) < 1 pro libovolné co G (0, 2), tj. metoda SOR konverguje. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 279 Určit v obecném případě, pro které co G (0, 2) je metoda SOR konvergentní, není jednoduché a ještě obtížnější je určit, pro které co je p(T^) nejmenší, tj. konvergence je nej-rychlejší. Pro některé speciální typy matic jsou hodnoty známé, viz např. [52, str. 633] a [55, str. 111]. Existují postupy, jak relaxační parametr co průběžně měnit, zmenšovat p(7^) a tím urychlovat konvergenci. Poznámka 3.32 Uvedené iterační metody jsou tzv. klasické. Dnes jsou známé jiné, účinnější metody. Jejich výklad však přesahuje možnosti tohoto úvodního textu. Patří k nim metody založené na minimalizaci kvadratického funkcionálu, např. metoda největšího spádu, viz [22, str. 114]. Významnejšou metody založené na Krylovových1 prostorech. K nim patří metoda sdružených gradientů, kterou lze použít pro symetrické pozitivně definitní matice, pro libovolné matice pak metoda bikonjugováných gradientů, metoda GMRES (generalized minimum residual method), metoda QMR (quasi-minimal residual method) a další. Viz např. [52, str. 657]. Jde vlastně o přímé metody (v přesné aritmetice), ale v důsledku zaokrouhlovacích chyb dochází ke vzniku nekonečné posloupnosti aproxi- 1 Alt ov (1863-1945) — ruský lodní inženýr a matematik. Zabýval se aplikovanou matematikou. Obsah Jdi na stranu \4 ►I Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 280 mací. Výpočet musíme ukončit pomocí vhodné zastavovací podmínky. Tyto metody se používají zejména na rozsáhlé systémy s řídkými maticemi. Pojmy k zapamatování — soustava lineárních rovnic — existence a jednoznačnost řešení — přímé metody — iterační metody — Gaussova eliminační metoda, přímý a zpětný chod — částečný a úplný výběr hlavních prvků v GEM — výpočtová náročnost GEM — řádkově a sloupcově diagonálně dominantní matice — symetrické pozitivně definitní matice — metoda LU rozkladu, částečný výběr hlavních prvků Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 281 Choleského metoda numericky stabilní algoritmy podmíněnost soustav lineárních rovnic tvar systému lineárních rovnic vhodný k iterování podmínky konvergence iteračních metod zastavovací podmínky Jacobiova metoda Gaussova-Seidelova metoda relaxační metody, metoda SOR Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 282 Kontrolní otázky 1. Kdy má čtvercová soustava rovnic Ax = B právě jedno řešení? 2. Uveďte ekvivalentní podmínky, které zaručují, že matice A je regulární. 3. Co lze říci o matici A, víte-li, že k ní existuje matice inverzní A~x ? 4. Kolik řešení má systém Ax = B v případě, že matice A je regulární? 5. Které úpravy patří mezi elementární řádkové úpravy matic? 6. Proč je výhodné upravit soustavu Ax = B na soustavu s ní ekvivalentní Cx = D, kde C je horní trojúhelníková matice? 7. Jaké je základní dělení numerických metod pro řešení soustav lineárních rovnic? 8. Které metody pro řešení soustav lineárních rovnic řadíme mezi přímé metody? 9. Kdy se zpravidla pro řešení soustav používají přímé metody? 10. Která metoda je základem většiny přímých metod pro řešení soustav lineárních rovnic? 11. Jaké části má Gaussova eliminační metoda? 12. Popište detailně přímý chod Gaussovy eliminační metody. 13. Které prvky označujeme jako hlavní prvky neboli pivoty? Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 283 14. Jaká je výpočtová náročnost jednotlivých částí Gaussovy eliminační metody? 15. Kdy lze řešit soustavu Ax = B pomocí algoritmu GEM bez výběru hlavních prvků? 16. Co se stane, jestliže při řešení soustavy Ax = B pomocí algoritmu GEM bez výběru hlavních prvků bude některý z prvků = 0, kde k = 1,... ,n — 1? 17. Kdy se používá algoritmus GEM s částečným výběrem hlavních prvků? 18. Jak funguje algoritmus GEM s částečným výběrem hlavních prvků? 19. Co je to permutační matice? K čemu slouží? 20. Kdy se používá algoritmus GEM s úplným výběrem hlavních prvků? 21. Jak funguje algoritmus GEM s úplným výběrem hlavních prvků? 22. Co je to LU rozklad regulární matice? 23. Je-li A regulární matice, existuje vždy její LU rozklad? 24. Uveďte podmínky, za kterých existuje LU rozklad regulární matice A. 25. Vysvětlete, jak najdeme LU rozklad dané matice. 26. Popište kroky metody LU rozkladu pro řešení soustav lineárních rovnic. 27. Kdy je výhodnější použít pro řešení soustav lineárních rovnic metodu LU rozkladu místo Gaussovy eliminační metody? Obsah Jdi na stranu Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 284 28. Kdy se používá LU rozklad s částečným výběrem hlavních prvků? 29. Popište nalezení LU rozkladu s částečným výběrem hlavních prvků. 30. Kdy lze systém rovnic Ax = B řešit Choleského metodou? 31. Jak vypadá Choleského rozklad matice AI 32. Jaký je princip řešení systému rovnic Choleského metodou? 33. Je Choleského rozklad speciálním případem LU rozkladu matice AI 34. Dostaneme při použití přímých metod vždy přesný výsledek? Zdůvodněte odpověď. 35. Které matice nazýváme ryze řádkově (sloupcově) diagonálně dominantní? 36. Může být ryze řádkově (sloupcově) diagonálně dominantní matice singulární? 37. Které matice nazýváme symetrické? 38. Kdy se symetrická matice nazývá pozitivně definitní? 39. K čemu slouží Sylvestrovo kritérium? 40. Které matice se označují jako řídké? 41. Které matice se označují jako pásové? 42. Co rozumíme numerickou stabilitou algoritmu pro řešení soustav lineárních rovnic? Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 285 43. Co je to reziduum? 44. Které přímé metody pro numerické řešení soustav lineárních rovnic jsou numericky stabilní? 45. Které přímé metody pro numerické řešení soustav lineárních rovnic jsou numericky nestabilní? 46. Jaký vliv má číslo podmíněnosti matice soustavy na přesnost řešení? 47. Dostaneme numericky stabilním algoritmem vždy dobrou aproximaci přesného řešení? 48. Co je to dobře podmíněná soustava lineárních rovnic? 49. Kdy se zpravidla používají při řešení lineárních soustav rovnic iterační metody? 50. Které metody pro řešení soustav lineárních rovnic řadíme mezi iterační metody? 51. Jak postupujeme, když hledáme řešení soustavy pomocí iteračních metod? 52. Jak vypadá základní formule pro iterační metody řešení soustav lineárních rovnic? 53. Co je potřeba ověřit před použitím iteračních metod pro řešení soustav lineárních rovnic? 54. Co je nutnou a postačující podmínkou konvergence iteračních metod pro řešení soustav lineárních rovnic? 55. Co je postačující podmínkou konvergence iteračních metod pro řešení soustav lineárních rovnic Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 286 56. S čím souvisí rychlost konvergence iteračních metod? Kdy je konvergence iteračních metod rychlejší? 57. Uveďte zastavující podmínky, které se používají pro ukončení iteračních metod pro řešení soustav lineárních rovnic. 58. Popište Jacobiovu metodu. 59. Uveďte postačující podmínky konvergence Jacobiovy metody. 60. Popište Gaussovu-Seidelovu metodu. 61. Uveďte postačující podmínky konvergence Gaussovy-Seidelovy metody. 62. Jaký je vztah mezi konvergencí Jacobiovy a Gaussovy-Seidelovy metody? 63. Vysvětlete princip relaxačních metod. 64. Co je to metoda SOR? 65. Pro jaké hodnoty relaxačního parametru může metoda SOR konvergovat? 66. Uveďte postačující podmínku konvergence metody SOR. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 287 Testy ke kapitole 3 Vyberte správnou odpověď (právě jedna je správná). Za chybnou odpověď se neodečítají body. Test lze kdykoli tlačítky na konci ukončit a nechat si vypsat správné odpovědi. Testi 1. (lb.) Je-li matice A regulární, pak \A\ = 0. \A\ = 1. A = A \A\rO. 2. (lb.) Numerická metoda řešení soustavy Ax = B, která vede po konečném počtu kroků k přesnému řešení (předpokládáme, že nedochází k zaokrouhlování), se nazývá přímá metoda. iterační metoda. Newtonova metoda. metoda postupných aproximací. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 288 3. (lb.) Jsou-li všechny horní rohové hlavní minory čtvercové matice A v soustavě Ax — B nenulové, pak soustavu nelze řešit GEM bez výběru hlavních prvků. lze soustavu řešit GEM bez výběru hlavních prvků. algoritmus GEM bez výběru hlavních prvků zhavaruje. je potřeba použít GEM s částečným nebo úplným výběrem hlavních prvků. 4. (lb.) Porovnejte výpočetní náročnost přímého a zpětného chodu u GEM. Oba jsou zhruba stejně náročné. Obecně je nelze srovnat. Přímý chod je náročnější. Zpětný chod je náročnější. 5. (lb.) Jestliže je absolutní hodnota libovolného diagonálního prvku větší než součet absolutních hodnot zbývajících prvků v temže řádku, pak se čtvercová matice nazývá ryze řádkově diagonálně dominantní. ryze sloupcově diagonálně dominantní, pozitivně definitní. symetrická. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 289 6. (lb.) Řešíme-li numericky soustavu lineárních rovnic, která má jedno řešení, pak počet rovnic musí být stejný jako počet neznámých. Navíc mohou být některé rovnice lineárně závislé. počet lineárně nezávislých rovnic musí být menší než počet neznámých. je-li počet rovnic větší, než je počet neznámých, lze vynechat libovolné rovnice tak, aby zbylý počet rovnic odpovídal počtu neznámých. počet rovnic může být větší jak počet neznámých. Je-li větší, jsou rovnice lineárně závislé, takže lze některé vynechat a zbylé rovnice budou lineárně nezávislé a bude jich tolik, co neznámých. 7. (lb.) Vyberte, co platí pro symetrické matice. |4|=0 AT = A. A-1 — A. Všechny jejich diagonální prvky jsou nenulové. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 290 8. (lb.) Existuje nějaký vztah mezi GEM bez výběru hlavního prvku a metodou LU rozkladu? Ne. Obě metody sice patří mezi přímé metody, ale nic dalšího je nespojuje. Ne. Metodu LU rozkladu používáme pro soustavy s malým počtem rovnic, zatímco GEM se používá pro soustavy s velkým počtem rovnic. Ano. Pokud neexistuje LU rozklad matice soustavy, tak zhavaruje GEM bez výběru hlavního prvku. Ano. Pokud lze soustavu vyřešit metodou LU rozkladu, pak ji nelze vyřešit GEM. 9. (lb.) Kdy dáváme přednost iteračním metodám před přímými metodami? V případech, kdy není matice soustavy symetrická. V případech, kdy řešíme soustavy s velkým počtem rovnic, jejichž matice soustavy jsou řídké. V případech, kdy neočekáváme přesný výsledek, ale stačí nám jen přibližný odhad. V případech, kdy soustavy nejsou příliš rozsáhlé (obsahují jen několik stovek rovnic). Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 291 10. (lb.) Na čem jsou založeny relaxační metody? Hodnotu xjk+1\ tj. / -tou složku (k + l)-ní iterace, počítáme jako vážený průměr hodnot Xj® a x\k~1^. Hodnotu Xjk+1\ tj. / -tou složku (k + l)-ní iterace, počítáme jako vážený průměr hodnot x\k^ a xjk+1\ Při výpočtu / -té složky (k + l)-ní iterace nejprve základní metodou předpovíme hodnotu x\k+l^ a z ní a hodnoty x\k~1^ určíme x\k+l^ jako jejich vážený průměr. Při výpočtu / -té složky (k + l)-ní iterace nejprve základní metodou předpovíme hodnotu x\k+l^ a z ní a hodnoty x\k^ určíme x\k+l^ jako jejich vážený průměr. Správně zodpovězené otázky: Získané body: Procento úspěšnosti: Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 292 Test 2 1. (lb.) Je-li matice A regulární, pak je její determinant nulový. je její hodnost h(^4) < n, kde n je počet řádků matice A. k ní existuje inverzní matice A 1. k ní existuje transponovaná matice, přičemž platí AT = A. 2. (lb.) Co je výsledkem přímého chodu GEM? Převod systému A x = B na. ekvivalentní systém C x = D, kde C je dolní trojúhelníková matice, která má na diagonále jedničky. Převod systému Ax = B na ekvivalentní systém C x = D, kde C je horní trojúhelníková matice. Rozklad matice A systému Ax = B na dolní a horní trojúhelníkovou matici. Posloupnost vektorů x^°\ x^\ x^2\ ..., která konverguje k přesnému řešení. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 293 3. (lb.) Soustava je pomocí GEM upravena na trojúhelníkový tvar X\ -\- 2x2 — x3 — 19, X2 3x3 —— 5, 2x3 = 2. Jejím řešením je xT = (3,8,1). xT = (16,2,1), *T = (4,8,1). xT = (21,2,1), 4. (lb.) Je-li čtvercová matice A soustavy Ax = B ryze řádkově nebo sloupcově diagonálně dominantní, pak lze tuto soustavu řešit GEM bez výběru hlavních prvků. Ano. Ne. 5. (lb.) Která z následujících přímých metod není numericky stabilní? Metoda PLU rozkladu. Choleského metoda. GEM bez výběru hlavních prvků. GEM s částečným nebo úplným výběrem hlavních prvků. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 294 6. (lb.) Vyberte pravdivé tvrzení. Choleského metoda patří mezi přímé metody řešení soustav lineárních rovnic. Jde o speciální případ GEM. patří mezi iterační metody řešení soustav lineárních rovnic. Jde o speciální případ relaxační metody. patří mezi přímé metody řešení soustav lineárních rovnic. Jde o speciální případ metody LU rozkladu. patří mezi přímé metody řešení soustav lineárních rovnic. Metodu používáme v případě, že matice soustavy má všechny prvky kladné. 7. (lb.) Vyberte postup při řešení soustav lineárních rovnic tvaru Ax — B iteračními metodami. Soustavu přepíšeme na tvar vhodný k iteraci, zvolíme počáteční aproximaci řešení x ^ a po určitém počtu kroků ukončíme postup a poslední aproximaci prohlásíme za přibližné řešení. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 295 Soustavu přepíšeme na tvar vhodný k iteraci, zvolíme počáteční aproximaci x^°\ ověříme podmínku konvergence posloupnosti {x ^ } k přesnému řešení, po určitém počtu kroků (na základě nějaké zastavovací podmínky) ukončíme postup a poslední aproximaci prohlásíme za přibližné řešení. Určíme spektrální poloměr matice soustavy, abychom věděli, zda bude iterační proces konvergovat, stanovíme počáteční aproximaci řešení x^°\ zkonstruujeme konvergentní posloupnost {x^}, po určitém počtu kroků (na základě nějaké zastavovací podmínky) ukončíme postup a poslední aproximaci prohlásíme za přibližné řešení. 8. (lb.) Vyberte nutnou a postačující podmínku, aby posloupnost aproximací x^k+l^ — — Tx^ + C, kde k = 0,1,..., konvergovala pro libovolnou počáteční aproxi-(o) maci x p(T) = 0. p(T) < 1. p{T) = 1. PÍT) ^ £, kde s < 0,5 je kladné číslo. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 296 9. (lb.) Metoda SOR vznikne relaxací Choleského metody. Jacobiovy metody. Gaussovy-Seidelovy metody. Gaus sovy eliminační metody. 10. (lb.) Která z následujících vlastností nezaručuje při řešení soustavy Ax — B Jacobi-ovou metodou konvergenci? A je ryze řádkově diagonálně A je ryze sloupcově diagonálně dominantní. dominantní. A je symetrická pozitivně definitní. Správně zodpovězené otázky: Získané body: Procento úspěšnosti: Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 297 Test 3 1. (lb.) Je-li A G Mw, kde n > 1, regulární matice, pak má soustava Ax — B nekonečně mnoho řešení. právě jedno řešení. dvě řešení, z nichž jedno je triviální. n řešení, kde n je počet neznámých. 2. (lb.) Je-li soustava C x — D ekvivalentní s výchozí soustavou Ax — B, pak to znamená, že obě soustavy mají stejná řešení. platí A = C a B = D. 3. (lb.) Je-li soustava pomocí GEM upravena na tvar X\ — 3x2 + 4x3 — 5, 6x2 — x3 = 1, 12x3 = 24, Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 298 pak postup, kterým nalezneme její řešení, se nazývá metoda LU rozkladu. vyjádření neznámé ze vzorce. zpětný chod. přímý chod. 4. (lb.) Vyberte postup řešení soustavy Ax — B metodou LU rozkladu. ->x = L~XU~XB. ■> Ux = L~XB x = L~XBU~X. -» Ly — B -> Ux — y. -> č/x = B -> Lx = j. 5. (lb.) Nechť reziduum r — B — Ax při řešení soustavy = 5 je malé. Kdy je malá relativní chyba řešení ||ájc||/||jc||? Vždycky. Když k (A) ^ 100. Ax = B - > LU x = B Ax = B - > LU x = 5 Ax = B - > LU x = 5 Ax = B - > LU x = 5 Když PII ^ 1 Když je matice A dobře podmíněná. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 299 6. (lb.) Vyberte, co platí pro přímé metody numerického řešení soustavy Ax = B. Zkonstruujeme posloupnost vektorů x^°\ x^\ ..., která konverguje k přesnému řešení. Po konečném počtu kroků, když je splněna vhodná zastavovací podmínka, získáme přesné řešení. Po konečném počtu kroků dostaneme řešení. Protože se nevyhneme zaokrouhlování, získané řešení bude jen přibližné. Přímé metody používáme v případech, kdy máme velmi velký počet neznámých (řádově tisíce), protože jejich výpočtová náročnost je malá (rychleji konvergují k přesnému řešení). Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 300 7. (lb.) Na jakém principu jsou založeny iterační metody řešení soustavy Ax — Bl Výchozí soustavu Ax — B převedeme pomocí řádkových elementárních úprav na ekvivalentní soustavu C x — D. Výchozí soustavu Ax — B převedeme na ekvivalentní soustavu LU x — B, kde A — LU je LU rozklad natice A. Výchozí soustavu Ax — B přepíšeme na soustavu x — T x + C, která je ekvivalentní s původní soustavou a umožňuje iterování. 8. (lb.) Kdy dáváme přednost při řešení soustav lineárních rovnic metodě LU rozkladu před GEM? Když máme řešit více soustav Ax — B s různými pravými stranami B, ale stejnou maticí A. Když máme řešit více soustav Ax — B se stejnými maticemi B, ale různými maticemi A. V případě, že si nejsme jisti, že GEM nezhavaruje. Metodě L U rozkladu nedáváme před GEM přednost nikdy. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení systémů lineárních rovnic 301 9. (lb.) Algoritmus pro řešení soustavy Ax — B se nazývá numericky stabilní, když jím získané řešení x se málo liší od přesného řešení x. jím získané řešení x vyhovuje soustavě Ax — B, kde matice A se málo liší od matice A a sloupec B se málo liší od sloupce B. při přesném počítání (bez zaokrouhlování) jím získané řešení x se málo liší od přesného řešení x. po konečném počtu kroků dává přesné řešení. 10. (lb.) Která z následujících vlastností nezaručuje při řešení soustavy Ax — B Gausso-vou-Seidelovou metodou konvergenci? A je ryze řádkově diagonálně A je ryze sloupcově diagonálně dominantní. dominantní. A má nenulové diagonální prvky. A je symetrická pozitivně definitní. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž 303 Kapitola 4 Interpolace a aproximace funkcí Cíle Po prostudování této kapitoly budete schopni vysvětlit: • co rozumíme aproximací funkce a jaké typy aproximací používáme, • co je to interpolační polynom a jaké metody jeho nalezení známe, • co je to Hermitův interpolační polynom, • co rozumíme kubickými splajny, jaké jsou jejich druhy a jaké mají přednosti, • kdy používáme metodu nejmenších čtverců a jaká je její podstata, • jak postupujeme při vyrovnání polynomy metodou nejmenších čtverců. Obsah Jdi na stranu \< ►I Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 304 Někdy je třeba „složitou" funkci f(x) nahradit „jednodušší" funkcí (p(x), která je funkci /(x) „blízká" a která se snadno matematicky zpracovává nebo modeluje na počítači. Typická je situace, kdy nemáme k dispozici vzorec funkce f(x), ale pouze funkční hodnoty v nějaké konečné množině bodů. Předpokládáme, že funkci f(x) známe vn + 1 tzv. tabulkových (uzlových) bodech Xq, ..., xn nějakého intervalu (a,b). Body nemusí být v tabulce seřazeny podle velikosti, ale musí být navzájem různé. Budeme používat označení / (xj) = y i nebo / (xj) = f i. Tedy Xf Xq X\ ... Xn — l xn yo y\ ... yn-i yn Velmi často hledáme aproximující funkci (p(x) jako lineární kombinaci několika jednoduchých základních funkcí (jt/ l)x). Označení. Pro uzavřený interval, jehož konci jsou nejmenší a největší z čísel Xo,..., xn, použijeme označení Int(xo,, ..., tj. Int(xq,..., Xyi) — (min(xo,..., Xyi), max(xo,..., x^)). Obdobně pro otevřený interval použijeme označení Int(xo,..., xn). Funkci (p(x) používáme k řešení řady důležitých úloh, mezi něž patří např. 1. interpolace — tj. výpočet hodnot /(x) v neuzlových bodech v intervalu Int(xo,..., 2. extrapolace — tj. výpočet hodnot /(x) mimo interval Int(xo,..., xn), b 3. výpočet hodnot derivace fř(x), určitého integrálu f /(x)dxapod. a Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 306 Budeme chtít, aby funkce (p (x) splňovala určité požadavky, a bude nás zajímat, zda taková funkce (p(x) = Co(po(x) + • • • + cm(pm(x) existuje a je jediná. V dalším textu budeme studovat dva základní typy aproximace: 1. Interpolační aproximace: Budeme hledat takovou funkci (p(x) , pro kterou platí (p (x i) = yt, i =0,1, n Je tedy podstatné, aby graf interpolační funkce (p (x) procházel body o souřadnicích [x j:, y j], i = 0,..., n. Tento požadavek je přirozený, pokud se domníváme, že hodnoty y i jsou přesné. Omezíme se přitom na případ polynomů, kde výsledky jsou jednodušší. Složitější otázkou trigonometrických polynomů se zabývat nebudeme (tato problematika úzce souvisí s diskrétní Fourierovou transformací, viz např. [52, str. 59]). 2. Aproximace metodou nejmenších čtverců: Budeme hledat takovou funkci (p(x), pro kterou platí „ -0 = yt. Našli jsme tedy polynom s požadovanými vlastnostmi. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 311 2. Jednoznačnost. Nechť také pro polynom K(x), st K ^ n, platí K(xj) — y i, i — — 0,..., n. Pak M(x) — K(x) — L(x) je polynom stupně nanejvýš n neboje nulový a M(xí) — K(xí) — L(xí) — yt — yt — 0, pro / = 0,..., n. Tedy M(x) má n + 1 kořenů, což znamená, že nutně M(x) je nulový (nenulový polynom nemůže mít více kořenů, než je jeho stupeň), tj. K(x) = L(x). □ Poznámka 4.2 1. Pokud budou mít body [xo, y o],..., [xn, yn] speciální polohu (např. budou ležet na přímce), může být stupeň L(x) podstatně menší než n. Ale obecně je třeba polynom stupně n (tj. počet uzlových bodů snížený o jedničku). 2. Jestliže v předchozí větě připustíme i polynomy stupně většího než n, bude existovat nekonečně mnoho polynomů, které procházejí danými body [xo, y o]»• • •»[xn» yn] • (Stačí přidat další body — jeden nebo více — s libovolnými souřadnicemi tak, aby aspoň jeden ležel mimo graf L(x). Podle věty 4.1 bude existovat polynom, jehož graf prochází touto rozšířenou množinou bodů. Avšak jeho stupeň bude určitě vyšší než n.) Obsah Jdi na stranu \< ►I Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 312 Příklad 4.3 Najděte Lagrangeův interpolační polynom pro data z následující tabulky. -i 0 i 3 i i -i 2 Řešení Podle postupu z věty 4.1 postupně dostaneme: L0(x) = LiO) = L2(x) = 0-0)0- l)(x-3) _l.(_2).(-4) o + l)(x - l)(x - 3) 1 • (-1) • (-3) o + l)(x -0)(x - 3) 2-1-(-2) o + l)(x -0)(x - 1) 4-3-2 = — -x(x — 1)0 — 3), = ^(x + l)(x-l)(x-3), = — -O + l)x(x — 3), = —o + 1)^0 — i)» L30) = L(x) = 1 • LqO) + 1 • LiO) - 1 • L2(x) + 2 • L30) = 24 Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 313 = — -x (x — 1) (x — 3) + + ^(x + l)(x - l)(x -3) + + ^(x + l)x(x -3) + + y^(x + l)x(x - 1) = _ 13 3 2 37 — a" a" x I 1. 24 24 Graf Lagrangeova polynomu je znázorněn na obr. 4.2. A Obr. 4.2: L (x) = ±§x3 - x2 - §|x + 1 Jak již bylo řečeno, interpolační polynom má mnoho důležitých aplikací, např. je základem pro odvození vzorců pro numerické derivování a integrování a řešení diferenciálních rovnic, jak uvidíme v následujících kapitolách. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 314 Na závěr si všimneme, jak dobrou aproximací je interpolační polynom. Kvalita aproximace je obecně lepší uprostřed intervalů a horší u okrajů. Záleží na volbě uzlů, zejména v případě ekvidistantních uzlů je chyba u okrajů velká. Rozhodně je obvykle zcela nevhodný na extrapolaci. Pro chybu aproximace lze dokázat následující vztah (např. [3, str. 37], [22, str. 167], [43, str. 63] nebo [52, str. 49]). Věta 4.4 Nechť funkce f(x) má derivaci řádu n-\-\na intervalu (a,b) a L (x) je Lagran-geův interpolační polynom zkonstruovaný v bodech Xo,..., xn £ {a, b). Označme f(x) = L(x) + R(x). Pak pro libovolné x £ (a, b) lze chybu R(x) vyjádřit ve tvaru R(x) — (x — Xq)(x — Xi) ■ ■ ■ (x — xn) (n + 1)! ' kde £ G Int(xo,..., xn, x) je vhodné číslo. Je-li tento interval nedegenerovaný, je £ jeho vnitřní bod (k degeneraci intervalu dojde pro n — 0 a x — x q, pak £ = Xq). Na velikost chyby má mimo jiného velký vliv polynom (x—Xq) • • • (x—xn). Ukážeme, že při větším počtu uzlů mohou být chyby na okrajích intervalu skutečně veliké. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H 4* Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 315 Příklad 4.5 Je dána funkce /(x) = 1 x2 + 1 . Najděte a znázorněte Lagrangeův interpo- lační polynom, který prochází body [xj , /(x*)], kde Xj = —5, —4, ...,4,5. Řešení Polynom L(x) má procházet jedenácti body danými tabulkou Xf -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 i 26 1 17 i 10 i 5 1 2 1 1 2 i 5 i 10 i 17 i 26 Jeho stupeň tedy bude nejvýše deset. Podle věty 4.1 je L(x) = yoLo(x) H-----hjio^io Po úpravě vyjde 1 149 9 2181 L(x) = 1 - ttt* + x4- 83 , 7 x6 + x8- X 10 221 11050 3 400 5 525 44 200 Z obrázku 4.3 je vidět, že na okrajích intervalu (—5,5) je aproximace funkce f(x) interpolačním polynomem L(x) velmi špatná, polynom zde osciluje. Pro rostoucí počet uzlů u této funkce chyba interpolace neomezeně roste (tzv. Rungeho jev). Podrobněji např. [ 2, str. 38], důkaz, který je netriviální, viz [27, str. 275] nebo [(: ]. A Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 317 4.1.2 Newtonův tvar interpolačního polynomu Algoritmus pro výpočet Lagrangeova interpolačního polynomu má jednu nevýhodu. Roz-hodneme-li se dodatečně přidat jeden uzlový bod, musíme všechny výpočty provést znovu. Existují postupy založené na tzv. iterované interpolaci, kdy se uzly postupně přidávají, které tento problém odstraňují. Nej známější jsou Nevillův1 algoritmus aAitkenův2 algoritmus (např. [22, str. 181] nebo [52, str. 40]). Nicméně tyto metody jsou vhodné pro výpočet hodnoty interpolačního polynomu v jednom konkrétním bodě, pro nalezení obecného vzorce se příliš nehodí. Proto si v tomto oddíle popíšeme jiný způsob nalezení interpolačního polynomu. Předpokládejme opět, že je dáno n + 1 uzlových bodů Xq, X\,..., xn a hodnoty funkce / (x) v těchto bodech f(xt) = y i, i = 0,..., n. Interpolační polynom N(x) budeme hledat ve tvaru n(x) = Uq + a\ (x — xo) + ^2(x — Xo)(x — X\) +----h + an(x - x0)(x — xi)"'(x — xn-i). (4.4) ^ric '. i (1889-1961) (čti nevil) — anglický matematik. 2 Alexai i Aitken (1895-1967) (čti eitken) — novozélandský matematik. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H 4* * Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 318 Dosazením se snadno ověří, že takové konstanty a\ existují a jsou určeny jednoznačně. Stačí postupně dosazovat hodnoty Xq, ..., xn: N(x0) = y0 N(xx) = yx N(x2) = y2 y\ - vo #o — Jo* a0 + ai(xi — x0) = Vi ci\ = x\ — Xq a0 + a\(x2 - xq) + a2(x2 - x0)(x2 - x\) = J2 a2 = y2-yi X2—X\ y\-yo Xi-XQ atd. •^2 -^0 Polynom N(x) se nazývá Newtonův1 interpolační polynom. Z jednoznačnosti interpo-lačního polynomu (věta 4.1) plyne, že nutně L(x) = N(x), kde L(x) je Lagrangeův interpolační polynom pro daná data. Tedy je to jen jiný zápis Lagrangeova interpolačního polynomu! Správnější je tedy mluvit o Lagrangeově nebo Newtonově tvaru interpolačního polynomu. !I i (1643-1727) (čti njútn) — anglický matematik, fyzik, mechanik a astronom. Položil základy diferenciálního a integrálního počtu, který potřeboval pro vybudování klasické mechaniky. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 319 Ukážeme si, jak lze koeficienty ak Newtonova polynomu snadno nalézt. K tomu zavedeme tzv. poměrné diference. Poměrné diference Poměrné diference jsou jakousi náhradou derivací pro funkce, které jsou definované pouze na diskrétní množině bodů Xq ,..., xn. Připomeňme, že tyto body nemusí být uspořádané podle velikosti, ale musí být navzájem různé. Poměrné diference k-tého řádu, kde k — 0,1,..., n, definujeme rekurentně takto: Nultý řád: f[xi] = f (x*), / = 0,..., n. -p» ✓ v, j r r 1 f iXÍ +1 ] _ f iXÍ ] • r\ První rad: / [x^x^+ij = -, i = 0. k-týrád: f[xi,Xi+i,...,Xi+k] = i + k < n. .., n — 1 xi + \ xi f[xi+i, • • •, xi+k\ — f[x l > xi+k-\] xi+k xi Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 320 Poměrné diference / [xj , Xj+1,..., Xj +k\ je možné vyjádřit pomocí hodnot yt, yt+1 až yi+k- Indukcí lze ukázat (viz např. [3, str. 38]), že f \pCi •> + \ •>••••> %i +k\ — yt+j j =0 n (xi+j ~ xi+r) r=0 = E .7=0 yt+j (xi + j ~ xi) " ' (xi + j — xi + j-\)(xi + j — xi + j + \) " ' (xi + j — xi+k) Z tohoto vztahu vyplývá, že poměrné diference jsou symetrické vzhledem ke svým argumentům, tedy hodnoty f\x\, + i,..., Xi+k] nezávisí na pořadí uzlů, v nichž se počítají. Lze dokázat, že pro koeficienty polynomu N(x) platí ak — f[xo,..., Xk], kde k = = 0,..., n (viz [3, str. 39], [52, str. 44]). Tedy Newtonův interpolační polynom má tvar N(x) = f[x0] + f[x0,xi](x - x0) + f[xo,xi,x2](x - x0)(x - Xi) + H-----h f[x0, • • •,xn](x -x0)'"(x- xn-i). (4.5) Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 321 Výpočet poměrných diferencí je vhodné zorganizovat do následující tabulky (červeně vyznačené poměrné diference budeme potřebovat do Newtonova interpolačního polynomu): Xj f[*i] f [xi — 1, Xi ] f \Xi —ji -|- i, . . . , X\ ] f \X\ —ji , . . . , Xi ] 0 1 Xq X\ flxo] \ f[x0,xi] \ \ n - 1 n Xft — l x n f[xn-i] f[xn-2,Xn-i] \ f[Xn] f[Xn—l>Xn] f[xo, • • • , Xn—i] f [x i, . . . , Xn ] \ f \x§,..., xn ] Tab. 4.1: Výpočet poměrných diferencí Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 322 Příklad 4.6 Jsou dány uzly Xq = — \,X\ = 0, x2 = 1, x3 = 3 a funkční hodnoty / (*o) — 1» f(x\) = l, f (x2) = —l, f (x 3) = 2. Najděte pro ně Newtonův interpolační polynom. Řešení. Potřebujeme vypočítat poměrné diference. Výpočet uspořádáme do tabulky: i X i y i = fto) = f[xi] ./" [-^z — 11 X{ ] 2> —1 ■> xi] ./* [-^z —31 Xi —2, Xf — i, Xi ] 0 -1 f[xo\ = 1 1 0 f[xi] = 1 /[x0,xi] = - o-(-i) - u 2 1 f[x2] = -1 f[xi,x2] = 1-0 ^ f[x0,xi,x2] = -2-0 , - l-(-l) - 1 3 3 /[*3] = 2 /[x2,x3] = _ 2-(-l) _ 3 — 3-1 — 2 f[xi,x2,x3] = 7 — 3-0 — 6 f[x0,xi,x2,x3] = _ _ 13 3-(-l) 24 Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 323 Podle vzorce (4.5) tedy platí N(x) = f[x0] + f[x0,xi](x - x0) + f[xo,xi,x2](x - x0)(x - X\) + + f[XQ,X\,X2,X$](x - x0)(x —x\)(x -x2) = = 1 + 0 • (x + 1) - 1 • (x + l)x + || (x + \)x(x - 1) = = 1 - (x + l)x + II (x + l)x(x - 1) = = 1 + (jc + l)(o + x(-l + II (x - 1))). Zápis s postupným vytknutím je stručnější a efektivnější při dosazování za konkrétní x (dosazuje se zprava a zevnitř, jde vlastně o obdobu Hornerova schématu). Protože data ze zadání tohoto příkladu jsou stejná jako v příkladu 4.3, musí jít díky jednoznačnosti interpolačního polynomu o tentýž polynom, rozdíl je jen v zápisu. Zejména graf na obr. 4.2 je současně i grafem vypočteného Newtonova polynomu N(x). A U Newtonova interpolačního polynomu je jednoduché přidat další uzel. Protože uzly nemusí být uspořádané podle velikosti, stačí přidat do tabulky dolů jeden řádek s novým uzlem, připsat doprava jeden sloupec a dopočítat chybějící poměrné diference. Obdobně můžeme snadno přidat další uzly. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H 4* Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 324 4.1.3 Newtonův interpolační polynom — případ ekvidistantních uzlů Všimneme si, jak se Newtonův tvar interpolačního polynomu zjednoduší, když budou uzly ekvidistantní a uspořádané podle velikosti. Budeme tedy předpokládat, že X\ — Xq + h, %2 — %o + 2A,..., xn — Xo + n h, kde h > 0 je konstantní krok. Aby se zápis co nejvíce zjednodušil, je účelné zavést obdobu poměrných diferencí pro ekvidistantní uzly. Jedná se opět o jakousi diskrétní obdobu derivací. Definice jsou zase rekurentní. 1) Diference vpřed neboli dopředně diference: — yi,i =0,..nultá diference vpřed, = A1 = yi+i — yt, i — 0,..., n — 1,... první diference vpřed, = A(Aji) = A(j/í+i - yt) = (yi+2 yi+x) (yi+\ - yt) = — yi+2 — 2yt+i + yt, / = 0,..., n — 2,... druhá diference vpřed atd. Obecně definujeme k-tou diferenci vpřed neboli diferenci vpřed k-tého řádu vztahem AKyi = A(Ak~1yi) = ŕŕ~vyi+\ - AK~Lyt, i=0,...,n-k. k-i k-i Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 325 Indukcí lze ukázat, že platí vzorec k .7=0 = yt+k k\yi+k-\ + y2 \yi+k-2----(-1)*;ví, kde (m) — , t pro m, n G Zt,m ^ n, je kombinační číslo. Klademe 0! = 1. 2) Diference vzad neboli zpětné diference'. V°'yi = y i, i = 0,..., n,... nultá diference vzad, V y i —^lyi — y i — yi-i, i = 1,..., n,... první diference vzad, V2)>i = V(Vji) = V(j,- - jz-i) = (j,- - - (yi-i - yi-2) = = y * — 2^-1 + yi-2, i =2,...,«,... druhá diference vzad atd. Obecně definujeme fc-r6>w diferenci vzad neboli diferenci vzad k-tého řádu vztahem k-i 'k-i n Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 326 Indukcí lze ukázat, že platí vzorec 7=0 Vy/ y i-j = yi j bi-i + 12 )jí-2 — (-i) ^/-Jt- Z předchozího vzorce a obdobného vzorce pro diference vpřed je vidět, že Vfcyr = Akyi-k resp. A^f = Vkyi+k. (4.6) Výpočet diferencí vpřed a vzad je výhodné zapsat do následujících tabulek. Obsah Jdi na stranu \< A ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 327 i Xi Ayt 0 Xo yo -> Ay0 -> Aw"Vo - > Any0 1 X\ yi -> Ayi -> An~1yl / n - 1 Xji — 1 yn-i - n Xn yn Tab. 4.2: Výpočet diferencí vpřed a vzad Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H - i yi Vyt vn~lyi 0 yo \ 1 X\ n - 1 Xji — 1 \ \ \ -> Vw-Vn-1 \ 72 Xn yn -> Vyn * Vnyn Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 328 Vzhledem ke vztahům (4.6) obsahují obě tabulky tytéž hodnoty a jsou tedy rovnocenné. Zejména na vedlejší diagonále první tabulky najdeme hodnoty yn, Vyn, V2yn, ...,Vnyn a na hlavní diagonále druhé tabulky najdeme hodnoty yo, A jo, A2jo> • • •» ^nyo- Nyní se vrátíme k Newtonovu polynomu. Budeme uvažovat dva případy — uzly seřazené vzestupně a sestupně. Nejprve najdeme vztah mezi poměrnými a dopřednými a zpětnými diferencemi. Platí f(*i+1) - f(*i) yi+1 - yi A j7* f [x i, Xi—i ] — Xi +1 Xf f(Xi-l) - f(Xi) h yi-i - yt Xi—i Xi h Z těchto vztahů se indukcí dokáže, že obecně platí Akyi h ' -Vyj -h f [Xi, Xi +1, . . . , Xi -\-k\ — k\hk f [Xi, Xi — i, . . . , X^—^] — h v kyi k\hk (4.7) Abychom zjednodušili označení, zavedeme si ještě tzv. zobecněný binomický koefici- ent. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 329 Pro t G M a j G N definujeme J J J í pro j = 0 klademe [ I = 1 Pro t G N, 0 ^ j ^ je tato definice ve shodě s obyčejným binomickým koeficientem. (I) Uzly seřadíme vzestupně, tj. Xo < X\ < • • • < xn. Zavedeme substituci x — XQ-\-th. Odtud dostaneme Xo + th — (xq + ih) t = X — Xq X Xj — t — i, i — 0. h h h Po dosazení do (4.5) s využitím předchozích vztahů po úpravě vyjde N+(t) = N(x) = n (4.8) Ay0 A2y0 A"y0 1! 2! n Polynom N + (t) se nazývá Newtonův interpolační polynom vpřed. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 330 (II) Uzly seřadíme sestupně, tj. xn > xn-\ > • • • > Xq. Zavedeme substituci x — xn + + s h. Odtud dostaneme % xn x xn—i xn ~\~ sfo (xn ih) , , S = -;- , -;- = -;- = S + l, / = 0.....11. h h h Po dosazení do (4.5), kde zaměníme Xo, X\,..., xn za xn, xn-\,..., Xo, s využitím předchozích vztahů po úpravě vyjde N~(s) = N(x) = = J/i + —— s H--^— S(S + 1) + 1! —s 2! v* v* í (4.9) 1) = —s —s + (-!)"( )V>„ = .7=0 V 7 7 Polynom TV (5) se nazývá Newtonův interpolační polynom vzad. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 331 Často se setkáváme se situací, kdy máme rozsáhlou tabulku s hodnotami [xj , y i ] odpovídajícími neznámé funkci / a potřebujeme určit hodnotu funkce / v bodě x, který není uzlový a leží mezi Xo &xn. Pak můžeme nahradit funkci / interpolačním polynomem L a položit /(x) & L (x). Jak již víme, použijeme-li na konstrukci interpolačního polynomu příliš mnoho uzlových bodů, dostaneme obecně špatnou aproximaci. Proto vybereme jen několik uzlových bodů, které jsou blízko čísla x, a ty použijeme ke konstrukci interpolačního polynomu. Jsou-li uzly ekvidistantní, lze s výhodou použít Newtonův interpolační polynom vpřed nebo vzad. Ty jsou zvlášť vhodné, jestliže číslo x leží na začátku nebo konci tabulky. Pokud se totiž rozhodneme zvýšit počet použitých uzlů, snadno je přidáme. Tyto polynomy jsou vhodné pro nalezení jedné konkrétní funkční hodnoty, nehodí se příliš pro nalezení obecného vzorce interpolačního polynomu. Obsah Jdi na stranu \4 ►I Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 332 Příklad 4.7 V následující tabulce jsou dány hodnoty neznámé funkce /: Xf 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 yi 0,96 0,94 0,90 0,79 0,59 0,27 -0,17 -0,64 -0,96 -0,92 -0,40 Pomocí vhodného interpolačního polynomu určete přibližně /(0,3) a f(l ,7). Řešení Zvolíme např. interpolační polynomy třetího stupně a vybereme čtyři uzlové body ze začátku resp. z konce tabulky. Protože uzly jsou ekvidistantní s krokem h = 0,2, můžeme použít Newtonův interpolační polynom vpřed resp. vzad. Nejprve vypočítáme potřebné diference vpřed resp. vzad. Výpočty uspořádáme do tabulek. Tabulka diferencí vpřed pro první čtyři uzly je: / Xf Aj,- A2yt A3yt 0 0 0,96 -0,02 -0,02 -0,05 1 0,2 0,94 -0,04 -0,07 2 0,4 0,90 -0,11 3 0,6 0,79 Obsah Jdi na stranu \4 ►I Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 333 Odpovídající Newtonův interpolační polynom vpřed je: Aj/o. , A2j/0 t(t - 1) + A3j0 t(t - -2) = 1! 2! v 3! = 0,96 - 0,02r - 0,01ř(ř - 1) - (0,05/6)ř(ř - - 2) Pro t = _ x—_ 0,3—0 _ h 0,2 = 1,5 vyjde N+(l,5) = 0,925 625, tedy /(0,3) ^ 0,925 625. Tabulka diferencí vzad pro poslední čtyři uzly (přeznačené na x o až x 3) je: / Xf Vy/ V2Jí V3Jí 0 1,4 -0,64 1 1,6 -0,96 -0,32 2 1,8 -0,92 0,04 0,36 3 2 -0,40 0,52 0,48 0,12 Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 334 Odpovídající Newtonův interpolační polynom vzad je: Vy3 V2y3 V3y3 N~(s) = y3 + -^s + —^s(s + 1) + -^s(s + l)(s + 2) = -0,40 + 0,52s + 0,24^0 + 1) + 0,02^0 + l)(s + 2). Pro s — _ x—X3 _ 1,7—2 _ h 0,2 -0,992 500. = -1,5 vyjde AT(-1,5) = -0,992 500, tedy platí /(1,7) Hodnoty v zadme tabulce jsou hodnoty funkce g(x) = cos(x2 + 0,3) zaokrouhlené na dvě desetinná místa. Přesné hodnoty jsou tudíž pro porovnání g(0,3) = 0,924 909 a g(l ,7) = —0,998 829 (zaokrouhleno na šest platných cifer). A Poznámka 4.8 Různými způsoby uspořádání uzlů lze získat další interpolační polynomy. Mezi ně patří např. Gaussovy interpolační vzorce, interpolační vzorec Stirlingův1, Besselův2, Everettův3 1 James Stirling (1692-1770) — skotský matematik. 2f (1784-1846) — německý matematik a fyzik. 3Joseph t (1831-1904) — anglický fyzik. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 335 a SterTensenův1 — viz [3, 4, 29, 43, 51]. Některé jsou vhodné pro nalezení hodnoty v bodě, který leží uprostřed tabulky známých hodnot s ekvidistantními uzly, protože umožňují snadno přidávat další uzlové body z obou stran. Je však třeba připomenout, že vzhledem k jednoznačnosti interpolačního polynomu (věta 4.1) jde (při stejné množině uzlových bodů a hodnot v nich) jen o různé zápisy téhož polynomu. 4.1.4 Hermituv interpolační polynom Lagrangeův interpolační polynom nabývá v daných uzlových bodech Xo, X\, ..., xn předepsané hodnoty. Obecněji lze hledat polynom, který má v uzlových bodech předepsané i hodnoty některých derivací. Nechť m0, m \.....mn jsou daná přirozená čísla a pro každé m i jsou předepsána reálná čísla y^\ j = 0,..., ml— 1, / = 0,..., n. Hledejme polynom Pk(x) co nejnižšího stupně k takový, že pro něj platí P^J\xt) = y^J\2 i = 0,... j = = 0,..., m i — 1 (symbol P^ značí y-tou derivaci; přitom klademe PJf^ = P^). 1 J( sen (1873-1961) — dánský matematik a statistik. U horní index (j ) značí j -tou derivaci, ne však u y Y}, kde slouží pouze k odlišení různých čísel Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 336 Pro hledaný polynom je tedy předepsáno m — m0 + rn\ + • • • + mn podmínek pro funkční hodnoty a hodnoty derivací v uzlových bodech (v i-tém uzluje předepsáno m i podmínek pro funkční hodnotu, hodnotu první derivace atd. až hodnotu derivace řádu nti — l). Protože polynomy stupně nejvýše m — l mají m koeficientů, což se shoduje s počtem uvedených podmínek, lze očekávat, že pro nejnižší stupeň k hledaného polynomu by mohlo platit k = m — 1. Tak tomu skutečně je. Následující věta obsahuje tvrzení o existenci a jednoznačnosti tohoto polynomu. Věta 4.9 NechťXq, X\, xn, kde n £ N, jsou navzájem různá reálná čísla. Nechť /77q, ni\, mn jsou přirozená čísla. Označme m — m o + m \ + • • • + mn. Dále nechť je dáno m reálných čísel y^\ i = 0,..., n, j — 0,..., m\ — 1. Pak mezi všemi polynomy stupne nejvýše m — 1 existuje práve jeden polynom P(x), pro nějž platí p(J'\xi) — y^\ i = 0,..., n, j = 0,..., mt — 1. Důkaz. Označme hledaný polynom P (x) = co + c\ x H-----h c^xk, kde k = m — l. Dosadíme-li do něj uzlový bod Xj, má platit cq + c\X\ + • • • + c^xj? = y^°\ což je lineární rovnice pro neznámé koeficienty Co, c i,..., c^. Derivace polynomu jsou opět polynomy, takže obdobně za každou předepsanou hodnotu derivace v některém uzlovém bodě dostaneme lineární rovnici pro neznámé koeficienty. Obsah Jdi na stranu Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 337 Protože počet neznámých koeficientů i počet předepsaných podmínek je roven číslu m, dostaneme čtvercovou soustavu lineárních rovnic. Označme její matici soustavy A, sloupec pravých stran B a sloupec neznámých c. Zřejmě složky sloupce B jsou předepsané funkční hodnoty a hodnoty derivací y^\ Soustavu pak můžeme stručně zapsat v maticovém tvaru Ac — B. Ukážeme, že matice A je regulární. To je rovnocenné tomu, že homogenní čtvercová soustava Ac = O, kde O je nulový sloupec, má jediné řešení. Připomeňme poznatek z algebry, že číslo a (reálné nebo komplexní) je aspoň r-násobným kořenem polynomu Q(x) právě tehdy, když platí Q (a) = Qr{ot) = ••• = Q^r~^ = 0. (Je-li , je a právě r-násobný kořen.) Volba B = O odpovídá tomu, že všechny předepsané funkční hodnoty i hodnoty derivací jsou nulové. Tudíž všechny uzlové body Xi jsou kořeny, jejichž násobnosti jsou alespoň mi. Celkový počet kořenů včetně násobností je proto aspoň mq + • • • + mn = m. Homogenní soustava Ac = O má vždy triviální řešení c o = • • • = c k = 0, které odpovídá nulovému polynomu. Připusťme, že existuje i nějaké netriviální řešení. To by znamenalo, že existuje nenulový polynom stupně nejvýše m — 1, který má aspoň m kořenů, což je spor. Protože je matice A regulární, má soustava Ac = B pro libovolný sloupec pravých stran B, tj. pro libovolné předepsané funkční hodnoty a hodnoty derivací y^ právě jedno řešení, což jsme měli dokázat. □ Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 338 Polynom z předchozí věty se nazývá Hermitův1 interpolační polynom. V případě m o = • • • = m n = 1 přejde v Lagrangeův interpolační polynom, je tedy jeho zobecněním. Podobně jako Lagrangeův polynom může mít ve speciálním případě menší stupeň než je n, i Hermitův polynom může mít menší stupeň než je m — 1 (srovnejte poznámku 4.2). Nalezení Hermitova interpolačnflio polynomu Popíšeme tři způsoby nalezení Hermitova interpolačního polynomu. • Metoda neurčitých koeficientů — půjde o přímé použití postupu z důkazu věty 4.9. • Obdoba vzorce (4.3) pro Lagrangeův interpolační polynom — polynomy Li(x) nahradíme jejich zobecněními (viz např. [4,1. díl, str. 164] nebo [52, str. 52]). Kromě tohoto rekurentního vzorce existuje i uzavřený vzorec — viz věta 4.13. • Obdoba vzorce (4.5) pro Newtonův interpolační polynom — poměrné diference nahradíme jejich zobecněními (viz např. [52, str. 56]). !( i (1822-1901) (čti ermit) — významný francouzský matematik. Zabýval se matema- tickou analýzou, algebrou a teorií čísel. Obsah Jdi na stranu \< ►I Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 339 Metoda neurčitých koeficientů Při označení z věty 4.9 a jejího důkazu dostaneme pro koeficienty hledaného Hermitova polynomu P (x) = Cq + C\X + • • • + cm-\Xm~l soustavu m lineárních rovnic o m neznámých Co, ..., cm-i, která má jediné řešení. Jednotlivé rovnice dostaneme, když do očekávaného vzorce pro P (x) resp. jeho derivace dosadíme uzlové body a předepsané funkční hodnoty resp. hodnoty derivací. Postup si ukážeme na jednoduchém příkladu. Příklad 4.10 Najděte Hermitův interpolační polynom P (x), pro nějž platí P(—l) = 2, P(1) = 0, P'(l) = -1 a P(2) = 1. Řešení Při označení z věty 4.9 máme n = 2, x o = —l,X\ = l a x2 = 2. Protože v prvním a posledním uzlu jsou předepsané jen funkční hodnoty, kdežto v prostředím je předepsaná funkční hodnota a hodnota první derivace, je = 1, m\ = 2 a m2 = 1. DáleJf = 2,Jío)=0,Jí1) = -laJf = 1. Jelikož jsou předepsány čtyři podmínky (m = /77 0 + m \ + m2 — 4), má hledaný polynom nejvýše stupeň m — 1 = 3. Tedy P(x) = Co + C\X + C2X + C3X . Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 340 Dále platí Pr(x) — C\ + 2c2x + 3c3.r Dosazením za uzlové body obdržíme z předepsaných podmínek následující soustavu lineárních rovnic: co — ci + c2 — c3 — 2, c0 + ci + c2 + c3 = 0, ci + 2c2 + 3c3 = —1, c0 + 2c\ + 4c2 + 8c3 = 1. Soustavu vyřešíme Gaussovou eliminační metodou. Přímý chod je: ■1 1 1 1 1 2 2 4 -1 1 3 8 1 1 -1 2 2 0 2 -2 1 2 3 -1 3 3 9 -1 -2 (2) - (1) -1/ (4)-(l) Obsah Jdi na stranu \4 ►I Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 341 1 -1 1 -1 2\ 0 1 2 3 1 0 2 0 2 "2 0 3 3 9 "1/ 1 -1 1 -1 2 0 1 2 3 -1 0 0 1 1 0 0 0 3 0 2 (4) + 3(3) Zpětným chodem dostaneme: Cq — C\ -\- C2 — c3 — 2, Ci + 2c2 + 3c3 = —1. c2 + c3 = 0. 3c3= 2. odkud c3 - f, _ _ 2 ^2 — — C3 — —3 , ci = -1 - 2c2 - 3c3 = -f, c0 = 2 + ci - c2 + c3 = f. Hledaný Hermitův interpolační polynom je tedy 5 5 2 ^ ^3 w 3 3 3 3 Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 342 Jeho graf je znázorněn na obr. 4.4. Je vidět, že prochází třemi body [—1, 2], [1,0] a [2,1]. Navíc tečna t k tomuto grafu v bodě [1,0] má směrnici rovnu číslu — 1, protože platí rovnost P'(O) = —1. Její rovnice je tudíž y — 0 = = — 1 (x — 1), tj. y — —x + 1. A Obr. 4.4: P (x) = |x3-|x2-fx + f Poznámka 4.11 Metodu neurčitých koeficientů je pochopitelně možné použít i v případě, kdy m o = • • • = mn = 1, tedy když jsou v uzlových bodech předepsány pouze funkční hodnoty. Polynom stupně nejvýše n — 1, který takto najdeme, je jen jiným zápisem Lagrangeova resp. Newtonova interpolačního polynomu, jak plyne z jednoznačnosti dokázané ve větě 4.1. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 343 Konstrukce Lagrangeova typu Připomeňme si označení. Je dáno n +1 po dvou různých uzlových bodů Xo, ..., xn (nemusí být uspořádané podle velikosti) a stejný počet přirozených čísel m o, ...,mn. Dále je dáno m = m q + • • • + mn čísel označených symboly y^J\ i = 0,..., n, j = 0,..., mi — 1. Tedy pro každý uzel X\ je předepsáno právě m\ čísel. Úkolem je najít polynom P(x) stupně nejvýše m — 1 (takový polynom má nejvýše m nenulových koeficientů), pro nějž v každém uzlovém bodu x i platí P^\xt) = y^\ j = 0,..., m i — 1. Tudíž v každém uzlovém bodu x i je předepsáno m i podmínek — funkční hodnota a hodnoty derivací až do řádu m i — 1. Podle věty 4.9 vždy existuje právě jeden takový polynom. Konkrétní volbou čísel y\^ nyní vytvoříme speciální systém polynomů. Předpokládejme v dalším, že uzly Xo,..., xn a počty podmínek m o, ...,mn jsou pevně zadané. Pro libovolnou pevně vybranou dvojici indexů / a j, 0 ^ / =n,0 ^ j ^ m i — 1, zvolíme y\^ — 1 a pro všechny ostatní dvojice indexů ra^,0 | r ^n,0 ^ s ^ mr — 1, zvolíme y^ — 0. Pak existuje jediný polynom Lw(x) stupně nejvýše m — 1 takový, že L\f(xr) = 1 když / = r a j = .v, 0 v ostatních případech. 0^/^/7,0^ j ^ mL - 1 (4.10) Obsah Jdi na stranu \4 ►I Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 344 Předchozí postup provedeme pro každou dvojici indexů / a j , 0 ^ / = n,0 ^ j ^ ^ m\ — \. Obdržíme tak systém m polynomů L\j (x) stupňů nejvýše m — l, které jsou plně charakterizované vztahem (4.10). Mají tedy právě jednu předepsanou funkční hodnotu resp. hodnotu derivace rovnou jedné a všechny ostatní nulové. Nazývají se zobecněné Lagrangeovy polynomy. S využitím vztahu (4.10) se nyní snadno ověří, že hledaný Hermitův polynom P(x) se dá vyjádřit vzorcem n mi — l Pí^^y^íx). (4.11) i=0 ./=0 Předchozí vzorec je zobecněním vztahu (4.3). Pro m o = ••• — mn — 1 totiž bude ke každému uzlu Xj přiřazen jediný polynom Ljo(x). Ze (4.10) je jasné, že je to právě Lagrangeův polynom L i (x) z důkazu věty 4.1. V dalším se budeme věnovat konstrukci zobecněných Lagrangeových polynomů. Uvidíme, že je to podstatně pracnější než v případě Lagrangeových polynomů Lj (x) použitých k určení Lagrangeova interpolačního polynomu ve vzorci (4.3). Vyjdeme z m-tice speciálních polynomů U j (x), 0 ^ / = n A) ^ j ^ ml — 1, daných Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 345 vztahy (x xi) ^ "i r í x Xfc h (x) = p. n k=0 k^i X i X fa (4.12) Pomoci Leibnizova vzorce pro vyšší derivace součinu dvou funkcí (viz např. [16, str. 112]) lze ověřit, že platí: ■v is) ~- 1. = o. 0^/^/7,0^ .v < j ^ m, - 1, 0 £ / £ w, 0 £ y £ mi - 1, 0 £ r £ w, r ^ /, 0 £ j £ mr - 1 Bohužel obecně není pravda, že 1^\xí) — 0 pro 0 ^ / = n,0 ^ j < s ^ mi — 1, takže neplatí (4.10) a nelze položit Líy(x) = Uj(x). Nicméně je pomocí polynomů /íy(x) možné rekurentně zkonstruovat zobecněné Lagrangeovy polynomy Líy(x). Začneme „od konce" a splnění zmíněných neplatných podmínek dosáhneme odečtením vhodných násobků již hotových polynomů. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 346 Položíme tedy: Li mi— 1 0*0 — h,m j■— 1 0*0' í — O, . . . , 72 a dále pak pro j = m, — 2, m, — 3.....O položíme m, —1 (4.13) (4.14) Protože polynomy Lí?m._i (x) mají stupeň m — 1, musí mít všechny polynomy Lí?y- (x), y < nti — l, stupeň nejvýše m — 1. S využitím vlastností polynomů h,j (x) lze nyní ověřit, že polynomy Lí?y- (x) splňují (4.10). Našli jsme tedy skutečně jednoznačně určenou soustavu zobecněných Lagrangeových polynomů. Příklad 4.12 Najděte Hermitův interpolační polynom v Lagrangeově tvaru P(x), pro nějž platí P(-l) = 1, P'(-l) = -1, P(0) = -2, P(2) = 3 a P\2) = 1. Řešení Jsou dány tři uzlové body Xo = — 1, Xi = 0ax2 = 2.V prvním jsou předepsány dvě podmínky (funkční hodnota a hodnota první derivace), v druhém jedna podmínka Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 347 (funkční hodnota) a ve třetím dvě podmínky (funkční hodnota a hodnota první derivace). Při označení ze vzorce (4.11) platí y^ — l,y^ = — 1, y[°^ = —2,y^ = lay^ = 1 a m q = 2, m i = 1 a m2 — 2. Dále musíme najít pětici zobecněných Lagrangeových polynomů L0,0, Lo,i> Li,o, ^2,0 a L2,i- Nejprve sestavíme pětici pomocných polynomů podle vztahu (4.12): 'o,oW = lo,i(x) — h,o(x) = (x - x0)° Ô! x-0 -1-0 (x - Xq)1 Í! x - (-1) 1 (x — X\)° Ô! X X \ Xq — X\ X — 2 -1-2 X X \ Xq — X\ x -0 -1-0 X — Xo X\ — Xq m 1 m? X X2 •^0 ~ x2 = -^x(x -2)2, m 1 X X2 m? X0 - x — 2 -1-2 ra0 x2 2 1 = -- (x + l)x(x - 2)2, X x2 Xi — x2 Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 348 O-(-l)J \0-2) 4V J ' (x x í X Xq ^\ (x X\ ^ O! x-(-l) Xi Xq X 2 — x\ h,\(x) = 2-(-l) (x — X2) ^ í x — Xq ^ ^ x-0\ 1 / x7 - = — (x + \)2x 2-0 18v ^ 1! X2 -^o X 2 — x\ m 1 X — 2 í X — (—1) n~V2-(-l) - = — (a - 2)(x + l)2x 2-0 18v yv ^ Dále je ze vzorce (4.14) vidět, že budeme potřebovat hodnoty Iq0(xo) a /^ofe) Připravíme si derivace a dosadíme uzly: ^oO) = -[} (x ~ 2f -\x^x ~ 2) l2,o(x) = \ (x + l)x + ^ (* + l)2 ^o(-1) = "3' 7 '2,0(2) — ^ • Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 349 Nyní již můžeme pomocí vzorců (4.13) a (4.14) určit zobecněné Lagrangeovy polynomy: 1 2 Lq,\(x) = l0,i(x) = -g(x + l)x(x - 2) , Lo,o(x) = l0,o(x) - ľ0 0(-l)L0A(x) = —X-x(x -2)2 - ^ (x + l)x(x-2)2 L\9o(x) = h,0(x) = ^(x + l)2(x - 2)2, L2,i(x) = h,i(x) = (x - 2)(x + l)2x, 1 7 Ĺ2,o(x) = l2,o(x) - V2 0(2)L2,i(x) = — (x + l)2x - T7^7 (x - 2){x + l)2x, 18 108 Podle vzorce (4.11) je hledaný Hermitův polynom P(x) = y^L0fi(x) + y^L0tl(x) + y[0)Llfi(x) + jf L2fi(x) + jfi2,i(x) = = ~ 2)2 - ^ (x + l)x{x - 2f\ - (x + l)x(x - 2)A - Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 350 -2[l(x + l)2(x-2)2)+3 1 7 (x + l)2x -18 v } 108 (x - 2)(x + \)2x ) + + 1 18 (x - 2)(x + \)2x ) = - 77 4 23 3 x H--x3 + 108 18 97 2 62 x x 2. 36 27 Jeho graf je znázorněn na obr. 4.5. Je vidět, že prochází třemi body [—1, 1], [0, —2] a [2, 3]. Navíc tečna t\ k tomuto grafu v bodě [—1,1] má směrnici rovnu číslu —1, protože platí rovnost P'{—\) — —1, tudíž její rovnice je y — \ — — —l(x + 1), tj. y = —x, a podobně tečna ti v bodě [2, 3] má směrnici rovnu číslu 1, protože platí rovnost Pf(2) — 1» tudíž její rovnice je v — 3 = \{x — 2), tj. y — x + 1. Každopádně je zřejmé, že nalezení Hermitova polynomu pomocí zobecněných Lagrangeových polynomů je velmi pracné, zejména když by byly 4 5. — —ZLX^ _^ ^-x3 + předepsané i hodnoty vyšších derivací. A 108 18 -f 36x 2Jx z Obsah Jdi na stranu \4 ►I Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 351 Vzorce (4.14) pro polynomy Lí?7(x) jsou rekurentní. Lze však nalézt i uzavřené vzorce a pomocí nich přepsat vzorec (4.11) pro Hermitův interpolační polynom P(x). Věta 4.13 Za předpokladů věty 4.9 platí: Li,f(x) = f \ \ n L 1=0 ' \ W (x - Xk)mk (x Xj") i n (4.15) k=0 JC —JC 7 J k=0 k^i n i=0 m, — 1 y' {x-Xi)J\ J n n (x - xky* k=0 k^i (x Xj) i i n ]~[ (x - xk) m k k=0 k^i (4.16) Pro mo = - " = mn — 1 přejde vzorec (4.15) ve vzorec (4.2) a vzorec (4.16) ve vzorec (4.3). Pro n = 0 přejde vzorec (4.16) ve vzorec (4.20), tj. Taylorův polynom. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 352 Důkaz. Pro / = 0,1, ..., n označme n a Si(x) = k=0 "~/t ~~ -^í')"7 7=0 _ QÁX) (4.17) Funkci Si (x) vyjádříme pomocí Taylorova vzorce řádu m\ — 1 se středem x\. Vyjde m~X S{í)(x } £=0 Předchozí rovnost vynásobíme Qi(x) a upravíme. Protože Qí(xj) ^ 0, vyjde mi~l .,0") 171 i~x c(^)/v \ .7=0 7 " 1=0 (x - Xi)1 Qi(x) =: Hi(x) Předchozí vztah představuje rovnost dvou polynomů, tedy výraz O ((x —x\ )mi) je polynom mající nejméně nti-násobný kořen Xf. Z levé strany proto plyne, že H^J\xt) = Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 353 pro j — 0, ..., ml— 1. Z pravé strany pak s využitím Leibnizova vzorce pro derivaci součinu plyne, že H^\xk) — 0 pro j = 0,..., m k — 1, k = 0,..., n, k ^ /. Zřejmě st Hi(x) ^ m — 1, kde m = m0 + • • • + mn. Po dosazení definic S i (x) a Q i (x) do Hi (x) vyjde m, — 1 '"í-1 v(y) .v (*) €=0 E .7=0 7 f (x x^) £=0 k^i I X —X j n \\(x-xk)mK (4.18) k=0 k^i Sečtením H0 (x) H-----\-Hn (x) dostaneme polynom //(x) stupně nejvýše m — 1, který nabývá v uzlových bodech předepsané funkční hodnoty a hodnoty derivací. Vzhledem k jednoznačnosti Hermitova interpolačního polynomu (věta 4.9) musí být H (x) = P (x), což dokazuje vztah (4.16). Dále stačí zvolit pro pevné j, 0 ^ j ^ ml — 1, že — 1, a pro 0 = A = m, — 1, k ^ j', že = 0 . Potom H i (x) = L t / (x), čímž je dokázán vztah (4.15) □ Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 354 Příklad 4.14 Pomocí vzorce (4.16) najděte Hermitův interpolační polynom P(x) pro zadání z příkladu 4.12. Řešení Podmínky jsou předepsány ve třech uzlech x o = —l,x\ = 0ai2 = 2. Podle vzorců (4.17) tedy sestavíme funkce So(x), S\ (x) a S2(x). Protože v prvním a posledním uzlu jsou předepsány funkční hodnoty a hodnoty prvních derivací a v prostředním uzlu je předepsána pouze funkční hodnota, musíme podle vzorce (4.16) nalézt So(xo), Sq(xo), ,(o) (D Si(x1)9S2(x2) aS'2(x2). Jelikožy^0) = = -l,y[0) = -2,y%" = 3zy2J = 1. postupně dostaneme: S0(x) = Si(x) = S2(x) = 1 - (x + 1) x(x — 2)2 -2 (x - 2)2 ' -2) 2 ' (x + l)2(x 3 + (x - 2) _ (x + l)2x x(x + 1) 1 S fa) = (x - 2)3 ' S'(x) = -2x-l x2(x + l)2 Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 356 Konstrukce Newtonova typu Budeme předpokládat, že uzlové body jsou seřazené podle velikosti, tedy že Xo < X\ < • • • < Xn-\ < xn. Nyní vytvoříme novou posloupnost, v níž každý uzel Xj zopakujeme tolikrát, kolik je pro něj předepsáno podmínek y^J\ Tento počet jsme označili m\. Vznikne tak posloupnost x0 = • • • = x0 < x i = • • • = a i < • • • < xn — • • • = x m o-krát m i -krát vr m n-krát n Nyní označíme členy této posloupnosti, jejíž délka je m, symboly to, t\,... tk, kde k = m — 1. Tyto body nazveme virtuální uzly. Tedy t o — x o ^ t\ S. ... S tk — xn. Zobecněné poměrné diference r-tého řádu, kde r — 0,1,..., k, definujeme rekurentně takto: Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 357 Zobecněná poměrná diference nultého řádu: fVA = yl°\ kde h = *i> J = 0, • • •, k. Tedy zobecněná poměrná diference nultého řádu ve virtuálním uzlu t j je rovna předepsané funkční hodnotě v tom uzlu x i, pro nějž platí t j = x i. Zobecněná poměrná diference r-tého řádu, kde r ^ 1: Rozlišíme dva případy. Je-li t j < tj+r, pak / ... ,ř/+rJ =---;-, j +r Sk, tj+r t j Je-li ti — ti+r — Xi, pak y (r) f[tj,tj+l,...,tj+r] = -t-,j+rSk. V prvním případě je tedy zobecněná poměrná diference r-tého řádu definována pomocí zobecněných poměrných diferencí (r — l)-ního řádu, tj. obdobně jako obyčejná poměrná Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 358 diference. V druhém případě, kdy t j = tj+\ = ••• = tj+r, je zobecněná poměrná diference r-tého řádu rovna předepsané hodnotě r-té derivace v tom uzlu X\, pro nějž platí t j = tj+i = —' = tj+r — xi, dělené číslem r\. Lze dokázat (viz [52, str. 56]), že Hermitův interpolační polynom je dán vzorcem P(x) = f [t0] + f [t09 h](x - t0) + f [t09 tut2](x - t0)(x - h) + + • • • + f [to, tu...,tk](x- t0)(x -h)---(x- tk-i). (4.19) Jde o obdobu (zobecnění) Newtonova interpolačního polynomu (4.5). Výpočet zobecněných poměrných diferencí zorganizujeme obdobně jako výpočet obyčejných poměrných diferencí v tabulce 4.1, jen místo s obyčejnými uzly pracujeme s virtuálními uzly. Použití si ukážeme v následujícím příkladu. Příklad 4.15 Najděte Hermitův interpolační polynom v Newtonově tvaru P(x), pro nějž platí P(-l) = 3, P'(-l) = -2, P"(-l) = 4, P(0) = 2, P(2) = 42 a P\2) = 172. Řešení S použitím předchozího označení dostaneme tři uzly Xo = — 1, X\ = 0, x2 = 2. Pro ně jsou postupně předepsány tři, jedna a dvě podmínky, takže m o = 3, m\ = 1, Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 359 rri2 — 2 a m — 6. Hledaný polynom bude mít proto stupeň nejvýše 5. Dále je y^ — 3, yW = -2, y™ = 4, y[0) = 2, y^0) = 42 a y^l) = 172. Konečně šestice virtuálních uzlů řo,..., ts je to — t\ — Í2 — Xq — —1, t% = X\ =0, ^4 — ^5 — X2 — 2. Nyní vypočteme zobecněné diference nultého až pátého řádu. Nultý řád: f [to] f[h] f[h] (o) f U = ffo] = y o = 2, = = 42. (0) = 3, První řád: f[to,h] = f[h,ti] = yj? 1! -2 = -2, Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 361 Tretí rad: f[to> t\,h, h\ — f[t\,h, h, U] — f [h, h, U, ts\ — — f [to, h,h] 1-2 h -to ~ O-(-l) f[t2, Í3, t4\ ~ f[tl,Í2,h] 7-1 U -h ~ 2-(-l) f [Í3, Í4, ts] — f[t2, h, t4i 76-7 ts-t2 2-(-l) = -1 = 2, = 23. Čtvrtý řád: /•r, , , , , i _ fihJiJsJd-/[toJutiJs] _ 2-(-l) _ / |/o> *i> *2> *3> hJ — - —--;—- — t ^2» ŕ3, ŕ4, £5] — Pátý řád: í4-í0 2-(-l) /[^2» ^3» ^4» ^5] — ^2» ^3» ^4] 23 — 2 2-(-l) = 7. /|/o> ^1» *2, *3, U, 15] — f[t\,t2,t?>,tA,t5\ — f[tQ,h,ťl,h, 14] h — to 7-1 2-(-l) = 2, Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 362 Výpočty je možné přehledně uspořádat do tabulky obdobně jako v příkladu 4.6 (bez podrobného označení zobecněných diferencí, tabulka by byla příliš široká). f[ti] fln-iJi] f[U-2, U-\,ti\ f \h—?>■>••• ■> ti] f [ti—4, . . . , ti] f[ti—5i---i ti] 0 -1 -1 1! = -2 -1 1! = -2 (2) 2! = 2 0 2-3 o-(-D = -1 -l-(-2) o-(-D = 1 1-2 o-(-D = -1 42 42-2 2-0 = 20 20-(-l) 2-(-l) = 7 7-1 2-(-l) = 2 2-(-D 2-(-l) = 1 42 341} _ 1! = 172 172-20 2-0 = 76 76-7 2-(-l) = 23 23-2 2-(-l) = 7 7-1 2-(-l) = 2 Podle vzorce (4.19) dostaneme, že P(x) = f [t0] + f [t09 h](x - t0) + f [t09 h,t2](x - t0)(x - h) + + f[toihJ2ih](x ~ to)(x - h)(x - t2) + Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 363 + f[to,hJ2,t3,t4](x ~ to)(x - h)(x - t2)(x - t3) + + f[tQj\J2J3JAJ5\(x-tQ)(x-ti)(x-t2)(x-t3)(x-tA) = = 3 - 2(jc + 1) + 2(x + l)2 - (x + l)3 + (x + l)3x + + 2(x + l)3x(x -2) = = 3 + (x + 1)^-2 + (x + 1)^2 + (x + 1)(-1 + x(l + 2(x - 2)) Zápis s postupným vytknutím je stručnější a efektivnější při dosazování za konkrétní x, srv. příklad 4.6 (dosazuje se zprava a zevnitř, jde vlastně o obdobu Hornerova schématu). Graf P(x) je znázorněn na obr. 4.6. Je vidět, že prochází třemi body [—1,3], [0, 2] a [2,42]. Navíc tečna ŕi k tomuto grafu v bodě [—1,3] má směrnici rovnu číslu —2, protože platí rovnost P'(—l) = —2, tudíž její rovnice je y — 3 = — 2(x + 1), tj. y = —2x + 1, a podobně tečna t2 v bodě [2,42] má směrnici rovnu číslu 172, protože platí rovnost P' (2) = 172, tudíž její rovnice je y— 42 = \12(x — 2), tj. y — \12x—302. Vlastnost, že P"{— 1) = 4, na grafu bezprostředně vidět není. Objeví se však v Taylorově mnohočlenu T2 funkce P(x) řádu dva se středem v bodě — 1. Je T2(x, — 1) = P(— 1) + + P'(-l)(x + 1) + ^P"(-1)(jc + l)2 = 3 - 2(x + 1) + 2(x + l)2. Á Obsah Jdi na stranu \4 ►I Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 365 Na závěr uvedeme vzorec pro chybu při náhradě dostatečně hladké funkce Hermitovým polynomem. Platí následující zobecnění věty 4.4, viz [52, str. 57]. Věta 4.16 Nechť uzlové body x\, i — 0,1,..., n, kde n £ N, leží v intervalu (a,b), přičemž Xo < x\ < ••• < xn. Nechťm$, m \, mn jsou přirozená čísla. Označme m — m o + • • • + mn jejich součet. Předpokládejme, že funkce f(x) má na intervalu (a,b) derivaci řádu m. Nechť P(x) je Hermitův interpolační polynom určený podmínkami P^j\xí) = f^J\xi), i = 0,1,..., n, j = 0,1,..., Mi — 1. Označme f(x) = P(x) + R(x). Pak pro libovolné x G (a, b) lze chybu R(x) vyjádřit ve tvaru R(X) = (X - X0)m°(x - Xi)mi ...{x-Xn) f(m)& m n ml kde £ G Int(xo,..., xn, x) je vhodné číslo. Je-li tento interval nedegenerovaný, je £ jeho vnitřní bod (k degeneraci intervalu dojde pro n — 0 a x — Xq, pak £ = Xq). Další informace je možné najít např. v [4, 22, 43, 52]. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► ►I Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 366 Poznámka 4.17 V definici Hermitova polynomu se nevylučuje, že je zadán jen jeden uzel Xq a v něm jsou předepsány funkční hodnota a hodnoty derivací až do řádu m — 1. V tomto případě přejde Hermitův polynom v Taylorův1 polynom známý ze základního kurzu diferenciálního počtu funkcí jedné proměnné (viz např. [33, str. 296]), který má při našem označení tvar (1) (2) (m-1) (0) , (x_Xo) + Z^(x_Xo)2 + ... + ^P_^(x_;Cor-i Jo + 1! 2! (m-1)! (4.20) 4.2 Interpolace splajny Jak jsme viděli v předchozím oddíle, nevýhodou interpolačního polynomu je, že graf může v koncových bodech intervalu značně oscilovat. Tato situace obvykle nastane, pokud je počet uzlových bodů velký, takže interpolační polynom je vysokého stupně. Proto se budeme zabývat funkcemi, které mají daleko lepší aproximační vlastnosti. Tyto funkce *I * (1685-1731) (čti tejlor) — anglický matematik. Zabýval se analýzou, mechanikou a balistikou. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 367 budou po částech tvořeny polynomy nižšího stupně, které na sebe ve společných bodech budou hladce navazovat. Takovéto funkce se nazývají splajny1 a mají řadu významných aplikací. Nejčastěji se používají polynomy třetího stupně, které vedou na tzv. kubické splajny. Definice 4.18 Nechť a — Xo < X\ < • • • < xn — b je dělení intervalu (a,b). Nechť m a v jsou nezáporná celá čísla taková, žeO^v^m + 1. Řekneme, že funkce S(x) je splajnem stupně m s defektem v pro dané dělení intervalu (a, b), jestliže platí: 1) Na každém z intervalů {x\, / = 0,..., n — 1, splývá funkce S(x) s nějakým polynomem stupně nejvýše m. 2) Funkce S(x) má na intervalu {a, b) spojité derivace až do řádu m — v. Přitom je-li m = y, tj. m — v = 0, požaduje se pouze spojitost funkce S(x), a je-li m + 1 = v, tj. m — v = — 1, požaduje se, aby funkce S(x) byla po částech spojitá (nespojitost se může vyskytnout pouze v bodech x\, xn-\, musejí v nich však existovat jednostranné limity). 1 Splíne je tenký úzký pružný pásek ze dřeva, gumy nebo kovu, který se v minulosti používal na kreslení velkých grafů (např. při konstrukci lodí). Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 368 Lze ukázat, že množina splajnů stupně m s defektem v tvoří při pevně zvoleném dělení intervalu (a, b) vektorový prostor, jehož dimenze je m + 1 + v {n — 1), viz [59, str. 17]. Kubický interpolační splajn Nechť a = Xq < x\ < ••• < xn = b jsou zadané uzly a předpokládejme, že ve všech uzlech známe funkční hodnoty y i = f(xt),i = 0,..., n, funkce f(x), kterou chceme na intervalu {a,b) nahradit splajnem. Budeme hledat splajn S(x) stupně tři s defektem jedna, pro nějž platí S(xj) = y i, i = 0,..., n. Takový splajn se nazývá kubický interpolační splajn. Hledaný splajn S(x) je funkce, která je na každém intervalu {xí-i,Xí)9 kde / = = 1,..., n, polynomem (nejvýše) třetího stupně, přičemž požadujeme, aby funkce S(x), Sř(x) a S"(x) byly na intervalu {a,b) spojité. Jednotlivé části tedy musíme napojit dostatečně hladce. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 369 Splajn S (x) bude mít následující vzorec: S(x) = i r a\x + b\x + C\x + d\ — S\(x) a2x3 + b2x2 + c2x + d2 = S2(x) pro x G (xo, Xi), pro x G (xi, X2), 3 2 ^dnx -\- bnx -\- cnx -\- dn — ^S^(x) pro x G {xn-\,xn). Požadujeme, aby funkce S (x) měla následující vlastnosti: 1) S(xo) = y o, S(xi) = ji,S (x n) = y n (interpolační aproximace). 2) Funkce S (x), Sř(x) a S" (x) jsou spojité na intervalu {a, b). 3) Na každém intervalu (xo, Xi), (xi, x2), ..., {xn-\, xn) je S (x) rovna polynomu nejvýše třetího stupně. Splajn S(x) je určen 72-ticí nejvýše kubických polynomů S\ (x), ^(x),..., Sn(x). Každý z nich má čtyři koeficienty. Je tedy třeba určit 4n neznámých koeficientů a 1, b\,C\, d\ až an, bn, cn, dn. K jejich nalezení dostaneme z vlastností splajnu následující rovnice (viz obr. 4.7): Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 370 a) Si(xi-i) = yi-i, Si(xj) = y i, i = 1,... ,n (předepsané hodnoty v uzlových bodech; tím je zajištěna i spojitost S (x)), tj. 2n rovnic. b) S-(xj) = S-+1(xí), i = 1,..., n — 1 (spojitost první derivace Sŕ(x))9 tj. n — 1 rovnic. c) S-'(xí) = S"+1(xí), i = 1,..., n — 1 (spojitost druhé derivace S"(x)), tj. n — 1 rovnic. • •v • « • « • m • •v > v. j > y i \ >yt+i i >yn-2 j >yn-i \ ; 5i(x) ; H-—-h S^C*) : 1---h -\ Si (x) i <---h Si + i(x) : 1---\ J-i- 5„_i(x) ; ^---i- Sn(x) : 1---r }yn X0 Xi X2 • • • Xj — i X/ Xj-\-i . . . Xfi—2 Xji — i Obr. 4.7: Kubický interpolační splajn x Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 371 Snadno se zváží, že všechny tyto rovnice jsou lineární. Dohromady tudíž máme systém 4/2—2 lineárních rovnic o 4/2 neznámých. Lze dokázat, že tento systém je vždy řešitelný a rovnice jsou lineárně nezávislé, tj. hodnost matice soustavy je 4/2 —2 (viz poznámka 4.19). Systém má proto nekonečně mnoho řešení a počet parametrů, na nichž řešení závisí, je roven počtu neznámých zmenšenému o hodnost matice soustavy, tj. číslu 4/2 — (4/2 — 2) — 2. Aby bylo řešení jednoznačně určené, je tudíž třeba dodat další dvě nezávislé podmínky (tak, aby systém zůstal řešitelný). Nej významnější volby (říká se jim okrajové podmínky) jsou: 1) Sřř(xo) — 0, Sřř(xn) — 0— tzv. přirozený kubický splajn, 2) Sř(xo) — fř(xo), Sř(xn) — fř(xn) —tzv. úplný kubický splajn (použijeme, pokud známe hodnoty f nebo aspoň jejich odhady v krajních bodech), 3) S"(x0) = f"(x0), S"(xn) = f"(xn) (použijeme, pokud známe hodnoty f" nebo aspoň jejich odhady v krajních bodech), 4) Sf(xo) = Sf(xn), S"(xo) = S"(xn)—tzv. periodický kubický splajn s periodou %n — xo (použijeme pro periodické funkce, musí platit y o = yn)- 5) Existují Sŕŕŕ(xi) a S"'(xn-\) — tzv. not a knot splajn. V tomto případě budou mít Obsah Jdi na stranu \< ►I Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 372 polynomy S\ (x) a S2(x) tentýž vzorec a podobně budou mít tentýž vzorec polynomy Sn-i(x) a Sn(x). Anglický název vyjadřuje skutečnost, že v bodech X\ a xn-\ tedy vlastně nejsou uzly. K nalezení kubického splajnu S(x) libovolného typuje třeba sestavit a řešit soustavu lineárních rovnic pro koeficienty jednotlivých kubických polynomů Si (x), / = 1, ..., n. Každá rovnice této soustavy obsahuje maximálně šest neznámých. Poznámka 4.19 Hledání splajnů pomocí výše zmíněné soustavy lineárních rovnic je zdlouhavé a existují daleko efektivnější postupy, jak je najít. Zmíníme se o dvou metodách, které se používají a zároveň slouží jako důkazy existence a jednoznačnosti kubických interpolačních splajnů, které splňují některou z výše uvedených dvojic okrajových podmínek. 1. První metoda je založena na tzv. kubických Hermitových splajnech. Jsou to splajny stupně tři s defektem dva. Mají tedy spojitou první derivaci. Dostanou se tak, že se kromě předepsaných podmínek S(xf) = y i, i = 0,..., n, předepíší i hodnoty prvních derivací S'(x{) = m/, / = 0,..., n. Podle věty 4.9 je na každém intervalu (xf-i, x\), / = 1,..., n, jednoznačně určen polynom Sf(x) nejvýše třetího stupně takový, že Sí(xí-\) = yi-i, Sí(xí) = yt, Sfj(xi-i) = Mi-\ a S'Axí) = mi. Tyto polynomy dávají hledaný Hermitův splajn, jenž je Obsah Jdi na stranu \< Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 373 uvedenými podmínkami jednoznačně určen. Z konstrukce je zřejmé, že bude mít spojitou první derivaci. Hodnoty prvních derivací mi v uzlových bodech však nejsou známé. Považujeme je tedy za volné parametry, které zvolíme tak, aby Hermitův splajn měl i spojitou druhou derivaci. Po přidání kterékoli z výše uvedených dvojic okrajových podmínek dostaneme pro neznámé mi, / = 0,..., n, soustavu lineárních rovnic, jejíž matice soustavy je ryze řádkově diagonálně dominantní, takže soustava má jediné řešení (věta 3.3). Matice soustavy je třídiagonální (kromě případu periodických okrajových podmínek, kdy je navíc poslední prvek prvního řádku a první prvek posledního řádku nenulový). Pro takové soustavy existují velmi účinné modifikace GEM. Podrobněji viz [59, str. 96], pro úplné a not a knot splajny i [13, str. 49]. 2. Druhá metoda vychází z toho, že druhá derivace kubického splajnu je po částech lineární spojitá funkce, která je plně určena hodnotami v uzlových bodech (grafem je lomená čára, jejíž vzorec je snadné napsat). Kromě předepsaných podmínek S(xf) = yt,i = 0,se tedy předepíší i hodnoty druhých derivací S "(xí) = Mi, i = 0,... ,n. Čísla M j se nazývají momenty splajnu. Dvojí postupnou integrací na každém intervalu (xf-i, Xf), kde / = 1,a dosazením uvedených podmínek se najdou jednoznačně určené nejvýše kubické polynomy Sf (x) takové, že Sí(xí-i) = yi-\, Sí(xí) = y\, S"{xí-\) = Af,-_i a S"{x{) = M\. Funkce sestavená z těchto polynomů však nemusí mít v uzlových bodech první derivaci, protože nemusí platit Obsah Jdi na stranu Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 374 S[(xí) = S'í + 1(xí), i = 1,1. Hodnoty druhých derivací M j v uzlových bodech však nejsou známé. Považujeme je tedy za volné parametry, které zvolíme tak, aby funkce sestavená z polynomů Sf (x) měla spojitou první derivaci (automaticky pak má i spojitou druhou derivaci). Po přidání kterékoli z výše uvedených dvojic okrajových podmínek dostaneme pro neznámé Mi, i = 0,..., n, soustavu lineárních rovnic, jejíž matice soustavy je ryze řádkově diagonálně dominantní, takže soustava má jediné řešení (věta 3.3). Matice soustavy má zcela analogické vlastnosti jako u první metody, založené na Hermitových splajnech. Podrobněji viz [59, str. 99], pro přirozené splajny a splajny splňující třetí typ okrajových podmínek i [41, str. 129] nebo [42, str. 45] a pro přirozené, úplné a periodické splajny [52, str. 101]. V následujících příkladech byl k nalezení koeficientů splajnu použit program počítačové algebry Maple. Obsah Jdi na stranu \< ►I Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 375 Příklad 4.20 Nahraďte funkci /(x) = cos x na intervalu (0; 3,2) přirozeným interpo-lačním splajnem. Uzlové body volte Xo = 0, X\ — 0,8, x2 — 1,5, X3 = 2,6 a X4 = 3,2. Řešení. Protože uzlových boduje pět, bude interval (0; 3,2) rozdělen na čtyři podintervaly, takže musíme určit koeficienty čtyř polynomů S\(x), S2(x), ^(x) a S^x) stupně nejvýše tři. To vede na soustavu 14 rovnic o 16 neznámých. Protože splajn má být přirozený, přibudou ještě dvě podmínky S[ř(xo) = 0 a S'l(X4) = 0. Tím bude řešení určeno jednoznačně. Pomocí programu Maple obdržíme pro S(x) následující vzorec (koeficienty byly zaokrouhleny na čtyři platná desetinná místa): 1,0000 - 0,2433x - 0,2122x3 = Si(x) pro x ^ 0,8, 0,7732 + 0,6072x - 1,063i*2 + 0,2307x3 = S2(x) pro 0,8 ^ x ^ 1,5, 0,9701 + 0,2134x - 0,8006x2 + 0,1724x3 = S3(x) pro 1,5 ^ x ^ 2,6, 9,3136 - 9,4137x + 2,9021x2 - 0,3023x3 = S4(x) pro 2,6 ^ x. S(x) = < Na obr. 4.8 je zobrazena funkce f(x) a splajn S(x). Je vidět, že jejich grafy téměř splývají. Na obr. 4.9 je zobrazena funkce /(x) a kubické polynomy S\ (x), ^(x), ^(x) a S 4 (x), z nichž je splajn S(x) „slepen". Je zřejmé, že polynom Si (x) je dobrou náhradou funkce /(x) pouze na intervalu (x;_i, Xj), / = 1,2, 3,4. A Obsah Jdi na stranu \4 ►I Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 376 x y = f (x) v y = s (x) Obr. 4.8: Nahrazení funkce /(x) = cos x přirozeným kubickým splajnem grafy f(x) a S (x) Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 377 y = S2(x) y = S3(x) y = S4(x) Obr. 4.9: Nahrazení funkce f(x) = cos x přirozeným kubickým splajnem grafy f(x), Si(x), S2(x), S3(x) a S4(x) Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 378 Příklad 4.21 Hodnoty neznámé funkce ve čtyřech uzlových bodech jsou dány tabulkou -2 0 1 13/4 1 3 2 1 Najděte periodický kubický splajn pro tato data a znázorněte do jednoho obrázku jeho graf a grafy jeho prvních tří derivací. Řešení Protože uzlové body jsou čtyři, bude interval (—2,13/4) rozdělen na tři podinter-valy, takže musíme určit koeficienty tří polynomů S\ (x), S2(x) a ^(x) stupně nejvýše tři. To vede na soustavu 10 rovnic o 12 neznámých. Protože splajn má být periodický, přibudou ještě dvě podmínky S[(xo) = S^x^) a Sř^(xo) = S$ (X3). Tím bude řešení určeno jednoznačně. Pomocí programu Maple obdržíme pro S(x) následující vzorec (koeficienty jsou racionální čísla a jsou přesné): S(x) = < 3-3- 63 x 63 X 92 V 27 7 ^ 126 ^ — ^1 0*0 7 X2 -|- X^ — S2(x) 16 x3 = S3(x) 10 ľ _ i ľ2 i 7 63 A ^ 189 pro x ^ 0, pro 0 = a = 1 pro 1 ^ x. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 379 Graf S (x) je tvořen třemi oblouky kubických křivek. Pro první derivaci vyjde: v 13 63 18 7 x — 43 42 x2 = S[ (x) pro x < o, 13 63 18 7 X + 31 21 x2 = Sfr) pro 0 < x ^ 1, 10 7 8 63 X + 16 63 x2 = S!>(x) pro 1 < X. Protože derivací kubického polynomu je kvadratický polynom, je graf Sř(x) tvořen třemi oblouky parabol. Pro druhou derivaci vyjde: S"(x) = < v 18 _ 43 7 21 A 18 i 62 1 21 X _8__i 32. 63 ^ 63 A s;'(x) pro x ^ 0, pro 0 = v = 1, pro 1 ^ x. Protože derivací kvadratického polynomu je lineární polynom, je graf S"(x) lomená čára tvořená třemi úsečkami. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 380 Pro třetí derivaci vyjde: 43 21 = S["(x) S"'(x) ={% = S'i'{x) S'{'(x) 62 21 32 V 63 pro x < 0, pro 0 < x < 1, pro 1 < x. Třetí derivace neexistuje v uzlových X\ = 0ai2 = 1. Protože derivací lineárního polynomu je konstanta, je graf Sm(x) tvořen třemi na sebe nenavazujícími vodorovnými úsečkami (v bodech 0 a 1 má třetí derivace nespojitost prvního druhu). Grafy splajnu S(x) a jeho prvních tří derivací jsou znázorněny na obr. 4.10. A Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 381 y /T / 2 ^>S"{x) i ^^—^y:s\x) / \S (x) —i-\-\ -/i- -7^-Í-> .0 i X ■18/7 Obr. 4.10: Grafy splajnu S(x) a jeho derivací Sr(x), S" (x) a Srrr(x) Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 382 Příklad 4.22 Nahraďte funkci f(x) = 1 na intervalu (—5, 5) přirozeným in- 1 +x2 terpolačním splajnem. Uzlové body volte Xi — —5, —4, ...,4,5. Porovnejte výsledek s Lagrangeovým interpolačním polynomem z příkladu 4.5. Řešení. Protože uzlových bodů je jedenáct, bude interval (—5,5) rozdělen na deset po-dintervalů, takže musíme určit koeficienty desíti polynomů S\(x), S2(x), ..., S\o(x) stupně nejvýše tři. To vede na soustavu 38 rovnic o 40 neznámých. Protože splajn má být přirozený, přibudou ještě dvě podmínky S[ř(—5) = 0 a S[ř0(5) = 0. Tím bude řešení určeno jednoznačně. Pomocí programu Maple obdržíme pro S(x) následující vzorec (koeficienty jsou racionální čísla a jsou přesné): Obsah Jdi na stranu \4 ►I Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 383 í S(x) = < 1 441 3 077 30 029 40 001 147 688 200 005 308612 200 005 1 - + 44 532 + ■ + + 200 005 6 684 15385 1299 3 077 325 821 200 005 X + X + 6561 160 004 X 15033 ^2 X 160 004 X + 71 889 ^2 X X + 800 020 554 661 + + + 2 187 800 020 5717 800 020 5 353 800 020 X X x 800 020 X + 17 163 160 004 X 1 - 748623 2 _ 800 020 X 748 623 X2 + 800 020 308 612 325 821 200 005 147 688 200 005 30 029 40 001 1 441 200 005 1299 3 077 6 684 348613 3 800 020 X 348613 3 800 020 554 661 800 020 X + x — 17 163 160 004 X 15385 44 532 1^3 077 200 005 X + X + x + 71 889 ^2 800 020 5 353 800 020 X 15033 ^2 160 004 6561 160 004 5717 3 x — 800 020 2 187 800 020 X pro x S —4, pro — 4 S x S —3, pro — 3 S x S —2, pro — 2^x^—1, pro — 1 S x S 0, pro 0 = a = 1 pro 1 = a = 2, pro 2 S x S 3, pro 3 S x S 4, pro 4 S x. Grafy funkce /(x) a splajnu S (x) jsou znázorněny na obr. 4.11. Na uvažovaném intervalu téměř splývají. To je zásadní rozdíl oproti Lagrangeovu interpolačnímu polynomu (viz obr. 4.3), který je mnohem horší náhradou (v okolí krajních bodů zcela nepoužitelnou). Důvodem je příliš velký počet uzlových bodů, což v případě splajnu nevadí. A Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H 4* Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 384 y /o,5- \ 1 Y ~ i + x2 x -r i-1-1-1- -5 -4 -3 -2 -1 -1-1-1-1 T- 0 1 2 3 4 5 -->■ y J0,5- \ y = s (x) ^^^^^^^^^^^^^^^^ i i i i --1-1-1-1- -5 -4 -3 -2 -1 —i—i—i—i—t— -0 1 2 3 4 5 -^- Obr. 4.11: Nahrazení funkce /(x) = 1+^2 přirozeným kubickým splajnem Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 385 Kubické splajny jsou velmi dobrou aproximací. Jejich předností je, že se málo vlní a dávají křivky, které danými body procházejí hladce. Jejich první a druhé derivace jsou rovněž dobrou aproximací prvních a druhých derivací funkcí, které jsou dostatečně hladké (viz poznámka 4.24). Splajny mají rozsáhlé použití v numerice, počítačové grafice, zpracování signálů, statistice a dalších oblastech. Poznámka 4.23 Přirozené splajny mají jistou důležitou extremální vlastnost. Uvažujme systém dvojic [xf, y i], i = 0,..., n, kde a = xo < • • • < xn = b je dělení intervalu (a,b). Mezi všemi funkcemi f(x), které mají spojitou druhou derivaci na (a,b) (obecněji stačí, aby f'(x) byla absolutně spojitá a f"(x) byla lebesgueovsky integrovatelná s kvadrátem) a splňují interpolační podmínky f{xi) = y i, i = 0,..., n, nabývá integrál f£ \fřř(x)\2 áx nejmenší hodnoty pro přirozený kubický splajn. Protože druhá derivace f"(x) souvisí s křivostí grafu funkce f(x), je v jistém smyslu přirozený kubický splajn mezi funkcemi splňujícími interpolační podmínky ta funkce, která má „nejméně zakřivený graf". Podobně úplný resp. periodický kubický splajn minimalizuje zmíněný integrál mezi těmi výše popsanými funkcemi, které navíc splňují příslušné okrajové podmínky, tj. f (a) = yř0 a f'(b) = yfn, kde yf0 a y'n jsou daná čísla, resp. f (a) = f (b) a f "(a) = f "(b), přičemž yo = yn. Viz [52, str. 100] nebo [59, str. 147]. Obsah Jdi na stranu \4 ►I Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 386 Poznámka 4.24 Předpokládejme, že funkce f (x) je definovaná na intervalu (a, b) a a = xo < < - < xn = b je dělení tohoto intervalu, které označíme A. Označme Sa(x) kubický splajn určený hodnotami [x i, f (x i)], i = 0,..., n (a nějakými okrajovými podmínkami). Položme si otázku, co se stane, když budeme počet uzlových bodů zvětšovat. Na rozdíl od aproximace Lagrangeovým interpolačním polynomem, kdy kvalita aproximace mimo uzlové body se obecně výrazně zhoršuje, se ukazuje, že kubické interpolační splajny budou za velmi obecných předpokladů o funkci f (x) a dělení A na celém intervalu (a, b) čím dál lepší náhradou. Pro dané dělení A zavedeme následující označení: h (A) = min {xt — Xi-\} (délka l 1 ^ • • • 5 nejkratšího podintervalu), h (A) = max {xt — Xf-i} (délka nejdelšího podintervalu). Číslo l 1 ^ • • • 5 \\A\\ = h (A) rovněž nazýváme norma dělení A. Pro poměr P (A) = h (A) / h(A) platí P (A) ^ 1, přičemž P (A) = 1 právě tehdy, když je dělení ekvidistantní. Tedy P (A) charakterizuje, jak moc se dělení A liší od ekvidistantního dělení. Uvažujme nekonečnou posloupnost dělení {An}, n = 1,2,... intervalu (a, b) a odpovídající posloupnost kubických interpolačních splajnů {S^n (x)}, n = 1,2,... Řekneme, že posloupnost {Sah (x)} konverguje stejnoměrně na intervalu (a, b) k funkci f (x), jestliže k libovolnému číslu s > 0 existuje index n o takový, že pro n ^ hq platí \f(x) — S^n(x)\ < s pro libovolné x G (a, b). Tedy grafy splajnů S^n (x) s dostatečně velkým indexem n leží v pásu o šířce 2s Obsah Jdi na stranu Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 387 kolem grafu funkce f (x), přičemž číslo s můžeme volit velmi malé. V dalším výkladu budeme potřebovat úplné splajny pro funkce, které nemusí mít derivaci. Proto příslušné okrajové podmínky nahradíme diferencemi. Je-li A: a = Xo < - < xn = b, budeme místo podmínek S'A(a) = fř(xo) a SřA(b) = f'(xn) uvažovat podmínky S'A(a) = /Oi) - /(*o) x\ -x0 S'A(b) = f(xn) ~ /(*/!-!) (4.21) Předpokládejme nyní, že dělení An budou čím dál jemnější, tj. že bude platit \An\ —► 0 pro n -> oo. Z netriviálních nerovností, které lze dokázat pro velikost rozdílu | f(x) — S^n (x) \ v závislosti na druhu kubického splajnu a způsobu dělení intervalu (a,b), vyplývají následující výsledky: (1) Nechť funkce f(x) jespojitána. (a, b), S^n (x) jsou buď úplné kubické splajny splňující (4.21), nebo periodické kubické splajny a existuje konstanta K taková, že /3(An) < K,n = 1,2,... Pak posloupnost {S^n (x)} konverguje stejnoměrně na intervalu (a,b)k funkci f(x). Viz [59, str. 102]. (2) Nechť funkce f(x) má spojitou derivaci na (a,b) (stačí, aby f(x) byla absolutně spojitá a f'(x) podstatně ohraničená) a S^n (x) jsou buď úplné kubické splajny splňující (4.21), nebo periodické kubické splajny. Obsah Jdi na stranu \4 Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 388 Pak posloupnost {S^n (x)} konverguje stejnoměrně na intervalu (a, b) k funkci f(x). Viz [59, str. 104]. (3) Nechť funkce f(x) má spojitou čtvrtou derivaci na(a,b) a S^n (x) jsou úplné kubické splajny. Pak posloupnosti {S^n (x)}, {SřA (x)} a {S'^ (x)} konvergují stejnoměrně na intervalu (a,b) po řadě k funkcím /(x), ff(x) a f"(x). Existuje-li navíc konstanta K taková, že /3(An) < K,n = 1,2,..., pak rovněž posloupnost {^An konverguje stejnoměrně na intervalu (a,b) k funkci f'"(x). Viz [52, str. 109]. Předchozí výsledky ukazují, že (úplné resp. periodické) kubické interpolační splajny jsou velmi dobrými aproximacemi. Navíc v případě dostatečně hladkých funkcí dobře aproximují i první a druhé derivace a pokud se použitá dělení příliš neliší od ekvidistantních, i třetí derivace. V knize [59] lze nalézt řadu dalších nerovností, které ukazují, že i další typy kubických splajnů mají dobré aproximační vlastnosti. Obsah Jdi na stranu \< ►I Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 389 4.3 Aproximace metodou nejmenších čtverců Předpokládáme, že známe funkci / (x) vn + 1 tabulkových bodech, ale data y i & f (x*), / = 0,..., n, jsou zatížena chybami. Chceme najít aproximaci, která zachová podstatné vlastnosti funkce a odstraní „šumy". V tomto případě použijeme metodu nejmenších čtverců. 4.3.1 Obecný případ Hledáme aproximaci funkce f(x) ve tvaru lineární kombinace i(*„)). (\\. Vlastně jde o to, aby lineární kombinace Cotyo + • • • + Cm(pm co nejlépe aproximovala v eukleidovské metrice vektor /. Z věty 1.26 a vztahu (1.12) plyne, že y musí být pravoúhlý průmět vektoru / na podprostor U generovaný vektory <^o> • • •» ty m — viz obr. 4.13, kde U — [<^o> • • •» tym]-Tedy / = C0tyo H-----\~ CmCPm + OJ, (4.23) kde oj G [<^o> • • • itym]1' — U1- (U1- značí ortogonální doplněk podprostoru U). Rovnici (4.23) postupně skalárně násobíme vektory ..., qjm. Připomeňme, že standardní skalární součin vektorů u, v £ W*+1 značíme symbolem (u, v). S využitím vlastností Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 393 U _L ■ n + l m 00 ^^^^ /v ' f --—->■ u Obr. 4.13: Průmět vektoru / na podprostor U = \(fo,..., qjm\ Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 394 skalárního součinu dostaneme: Co(?0,?o) H-----1" ^(?0,?m) = (?0, /), (4.24) Q)(?m,?o) H-----h Cm(? ) = (?m,jQ protože (<^-, &>) = 0 pro / = 0,..., m. Vzniklá soustava lineárních rovnic (4.24) se nazývá normální soustava rovnic. Matice soustavy (je symetrická) je Gramová matice vektorů <^o> • • •»?'m a značí se G(<^o> • • •».... • • •» ty m jsou lineárně nezávislé. Vektor yj však musí vyjít vždy stejný, protože pravoúhlý průmět vektoru / je určen jednoznačně. Je-li řešení víc (pak je jich nutně nekonečně mnoho), znamená to, že vektory <^o> • • •» ty m tvoří sice systém generátorů podprostoru U, ale ne bázi, protože jsou lineárně závislé. Tedy každý vektor v U jde vyjádřit jako jejich lineární kombinace, ovšem nekonečně mnoha způsoby. Poznámka 4.25 Označme A matici velikosti (n + 1) x (m + 1), jejíž sloupce jsou tvořeny vektory q)o,tyi, • • •» ty m, a B sloupcovou matici délky n + 1, jejíž prvky jsou jo. Ji až yn. Z toho, jak je definované násobení dvou matic, je zřejmé, že normální soustavu rovnic (4.24) lze elegantně zapsat ve tvaru ^4T^4 C — ATB, kde C značí sloupec neznámých Co, C\,..., cm. Je-li matice soustavy ^4T^4 = G(cpo, • • •» tym) regulární, existuje k ní inverzní matice a řešení normální soustavy rovnic lze zapsat ve tvaru C — (ATA)~1ATB. Jak bylo řečeno v úvodu oddílu, cílem je odstranit z hodnot yt „šumy". K tomu použijeme nalezenou funkci (p(x). Předpokládáme, že f(x) & ty(x) a „opravíme" hodnoty y i, o nichž se domníváme, že jsou zatížené chybami, na hodnoty ty(xt). Říkáme, že jsme provedli vyrovnání metodou nejmensích čtverců. Veličina ||&>|| = \\f — cp Obsah Jdi na stranu \4 ►I Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 396 (norma odchylky vektoru / od nejlepší aproximace z podprostoru U) charakterizuje velikost opravy. Se vzrůstajícím počtem m funkcí cpi (x) použitých na aproximaci bude || o; || klesat, ale na druhé straně budou méně potlačeny chyby a hodnoty budou méně vyhlazeny. Nalezení vhodných funkcí cpi (x) a správného kompromisu mezi rozsahem n + l vyrovnávaných dat a číslem m je klíčové pro dosažení požadovaného cíle. V případě polynomů je doporučený postup popsán v oddílu 4.3.3. 4.3.2 Vyrovnání polynomy Nejčastějším případem je, že funkce (p(x) je polynom, tj. o> ?o) + c2(?2,?o) Co(?0,?l) + ^l(?l»?l) + C2(?2,?l) Q)(?0,?2) + Cl(?l^?2) + C2(?2,?2) (?o,/> /v /v (?2,/y Vypočteme potřebné skalární součiny: (?0, /) (?!,/) (?2, /) (?o,?o) (?0,?l) (?0,?2) (?l.?l) ((1,1,1,1), (3,-1,2,1)) = 5, ((-2,-1,0,2), (3,-1,2,1)) = -3, ((4,1,0,4), (3,-1,2,1)) = 15, (0,1,1,1), (1,1,1,1)) = 4, ((1,1,1,1), (-2,-1,0,2)) = -1, ((1,1,1,1), (4,1,0,4)) = 9, ((-2,-1,0,2), (-2,-1,0,2)) = 9, Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 401 (?i,?2) = ((-2,-1,0, 2), (4,1,0, 4)) = -1, (?2,?2) = ((4,1,0,4), (4, 1,0,4)) = 33. Po dosazení získáme soustavu rovnic 4c0 - Ci + 9c2 = 5, -c0 + 9ci - c2 = -3, 9c0 — ci + 33c2 = 15. Řešení najdeme Gaussovou eliminační metodou. Nejprve upravíme rozšířenou matici soustavy na schodovitý tvar: 4 -1 9 5\ -1 9 -1 -3 9 -1 33 15/ -1 9 -1 -3> 0 35 5 -7 0 80 24 -12; "3\ (2) 5 (1) 15/ -1 9 -1 -3 0 35 5 -7 0 20 6 -3 -3/ (3): 4 Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 402 Nyní zpětným dosazením vypočteme koeficienty Cq, c i , c2 22c? = 7 7 35ci + 5 — = 22 = -7 c2 = -c0+ 9 -27 TTÔ 7 22 7 22 27 110 ' co = — 26 55 Aproximační polynom druhého stupně je tvaru / 26 27 7 2 (Z)(x) =---x H--x . ^v } 55 110 22 Jeho grafem je parabola. Výsledek je zobrazen na obr. 4.14. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 404 Provedeme vyrovnání dat, tj. nahradíme hodnoty y i funkčními hodnotami (p(xt), Dostaneme: -2 -1 0 2 123/55 51/55 26/55 69/55 Odchylka je dána vektorem co — f — y.V našem případě dostaneme 3 co i=0 392 ^5~ co = 14 55 = 2,67. Z její velikosti a zejména z obr. 4.14 je vidět, že náhrada kvadratickým polynomem není pro daná data vhodná a že by bylo lepší použít polynom vyššího stupně (pak bychom však už dostali interpolační polynom) nebo jiný typ funkce. A Poznámka 4.27 Je známo, že pro o » • • •» ty m používá báze tvořená diskrétními ortogonálními polynomy, viz např. [29, str. 41], [43, str. 266] nebo [52, str. 235], které umožňují vyhnout se problémům se špatnou podmíněností. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 405 Poznámka 4.28 Metoda nejmenších čtverců je dobře zdůvodněna i z pohledu statistiky. Ukazuje se, že pokud jsou chyby hodnot y i nezávislé náhodné veličiny mající normální rozdělení s nulovou střední hodnotou a stejnou směrodatnou odchylkou g > 0, jsou koeficienty získané metodou nejmenších čtverců maximálně věrohodnými odhady a jsou to nejlepší nestranné lineární odhady. Podrobněji viz [1, str. 188] nebo [38, str. 149]. 4.3.3 Určení stupně aproximačního polynomu Předpokládejme, že chceme vyrovnat metodou nejmenších čtverců data, o nichž se domníváme, že odpovídají přesné funkci /(x), která je polynomem (nebo ji lze z hlediska praxe za polynom považovat). Pak je rozumné za aproximující funkci použít opět polynom. Důležitou otázkou ovšem je, jaký zvolit stupeň tohoto polynomu. Z předchozího výkladu vyplývá, že když zvolíme stupeň příliš malý, nebudou zachovány podstatné vlastnosti funkce /(x). Zvolíme-li naopak stupeň příliš vysoký, zachovají se i chyby vzniklé např. měřením, místo aby se data vyhladila a tyto nežádoucí „šumy" se odstranily. Problematikou určení správného stupně k se zabývá část statistiky nazývaná regresní analýza. Označme Ýk(x) — Co + C\x + C2X2 + • • • + c^xk polynom stupně nejvýše k, Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 406 k — 0,1,2, ...,n, získaný metodou nejmenších čtverců z daných dat. Předpokládejme, že odchylky (chyby) hodnot y i od přesných hodnot f(xt),i = 0, ..., n, jsou nekorelované a mají všechny normální rozdělení s nulovou střední hodnotou /z a neznámou směrodatnou odchylkou a > 0. Určení správného k je založeno na tzv. reziduálním rozptylu s% definovaném vztahem 1 n Sk = n — k ^—' i=0 (Jmenovatel zlomku před sumou je roven rozdílu počtu uzlových bodů a počtu koeficientů polynomu ýk(x), tj. n + 1 — (k + 1) —n—k.) Předpokládejme, že správný stupeň je ko. Lze ukázat, že pro k < ko je Es% > o2, kdežto pro k ^ k q je Es% — o2 (E značí střední hodnotu). Jde tedy o to určit, kdy se hodnoty přestávají v podstatě měnit. V minulosti se doporučovalo zvolit tu hodnotu k, počínaje kterou přestává reziduálni rozptyl významně klesat, viz [42, str. 67] nebo [43, str. 265]. Taková formulace je však dost vágní. Později se zjistilo, že místo s% je třeba vzít jiný výraz, založený sice na reziduálním rozptylu, který však ve správném k nabývá s velkou pravděpodobností minima. Používají Obsah Jdi na stranu \4 ►I Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 407 se následující kritéria, viz [1, str. 197], kde lze najít podrobnější výklad: Ak=sl\\ + k + 1 WTiJ' Air i 2 , 2(fc + O AICk =\nsk+ n , 2 [ (k + 1) ln(n + 1) —lnsk-\--—-, n + 1 2 2(fc + l)clnln(w + l) "ß* +-- (Geweke a Meese, Anděl a kol.) (Akaikeovo informační kritérium) (Schwarz, Rissanen) (Hannan a Quinn) Pro konstantu c v kritériu H Q k musí platit c > 1. Někdy se volí i nepřípustná hodnota c = 1, obvykle se ale používá c = 2 nebo c = 3. V praxi postupujeme tak, že stanovíme číslo K < n, o němž jsme z nějakých důvodů (teoretické zdůvodnění, technická omezení apod.) přesvědčení, že ko = K, kde ko je správný stupeň polynomu f(x). Pak pro některé z výše uvedených kritérií určíme jeho hodnoty pro k = 0,..., K a najdeme, pro které k nabývá nejmenší hodnotu. Toto k pak považujeme za správný stupeň. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 408 Předchozí postup znamená řešit opakovaně normální soustavu rovnic pro určení koeficientů aproximačního polynomu, což může být numericky problematické vzhledem ke špatné podmíněnosti této soustavy pro velká k. Proto je k tomuto účelu vhodné použít diskrétní ortogonální polynomy, viz poznámka 4.27. Příklad 4.29 Při měření funkčních hodnot polynomu zatíženém chybami byly získány následující hodnoty: -3,8 -3,3 -2,8 -2,3 -1,8 -1,3 -0,8 -0,3 y\ 445,9 234,9 115,7 44,5 0,4982 -6,848 -6,183 -3,919 Xi 0,2 0,7 1,2 1,7 2,2 2,7 3,2 3,7 y\ -2,067 -1,03 2,235 6,97 25,36 64,97 143,4 278,5 Odhadněte správný stupeň polynomu, je-li známo, že nemůže být větší než 8. Řešení. Použijeme předchozí označení. Máme šestnáct měření, tedy n — 15. Maximální přípustný stupeň polynomu je K — 8. Vypočítáme reziduálni rozptyly s%, k = 0, ..., 8. Dále určíme hodnoty všech čtyř výše uvedených kritérií. Výpočty byly provedeny na počítači a výsledky zaokrouhlené na tři cifry jsou uvedeny v následující tabulce. V kritériu H Q k bylo použito c — 2. Obsah Jdi na stranu \< ►I Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 409 k s2 Ak AICk SRk HQk 0 17 300 26000 9,88 9,93 10,0 1 17 600 35200 10,0 10,1 10,3 2 2320 5 800 8,12 8,27 8,52 3 2020 6050 8,11 8,30 8,63 4 8,42 29,5 2,76 3,00 3,41 5 9,08 36,3 2,96 3,25 3,74 6 8,73 39,3 3,04 3,38 3,95 7 9,28 46,4 3,23 3,62 4,27 8 7,64 42,0 3,16 3,59 4,33 Z tabulky je vidět, že všechna čtyři kritéria shodně určila, že správny stupeň polynomu je čtyři (pro k = 4 dosahují všechna kritéria minima). Také reziduálni rozptyl s% přestává počínaje touto hodnotou významně klesat. Pro získání dat ze zadání příkladu byl použit polynom f(x) = 2,13a; 4 - 1,57a:3 - 4,2x2 + 6,lx - 2,4, Obsah Jdi na stranu \4 ►I Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 410 do něhož byly dosazeny hodnoty x — — 3,8;— 3,3;...;3,7. K nim pak byly přičteny náhodně vygenerované chyby s normálním rozdělením o střední hodnotě ji — 0 a směrodatné odchylce a — 3. Dostali jsme tedy skutečně správnou hodnotu stupně polynomu, přestože směrodatná odchylka chyby je poměrně velká. A Pojmy k zapamatování — aproximace funkcí — interpolační aproximace — interpolační polynom — Lagrangeův a Newtonův tvar interpolačního polynomu — poměrné diference — Newtonův interpolační polynom vpřed a vzad — diference vpřed a vzad — Hermitův interpolační polynom Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 411 splajn kubické interpolační splajny přirozený, úplný, periodický a not a knot splajn aproximace metodou nej menších čtverců pravoúhlý průmět vektoru na podprostor vyrovnání polynomy reziduálni součet Kontrolní otázky 1. Vysvětlete pojem aproximace funkce. V jakém tvaru aproximující funkci obvykle hledáme? 2. K čemu aproximující funkce používáme? 3. Chceme aproximovat funkci, která je dána tabulkou. Mohou se v této tabulce vyskytnout např. body [x,-,3], [x,-,2]? 4. Vysvětlete, kdy použijeme k aproximaci interpolační aproximující funkci a kdy aproximaci metodou nejmenších čtverců. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 412 5. Vysvětlete, co je interpolační polynom. Zformulujte tvrzení o jeho existenci a jednoznačnosti. 6. Jsou zadány hodnoty funkce v n + 1 různých uzlových bodech. Kolik různých polynomů stupně nejvýše n lze těmito body proložit? Jaká je odpověď, může-li mít polynom libovolný stupeň? 7. Jsou zadány hodnoty funkce v n + 1 různých uzlových bodech. Polynom nejvýše kolikátého stupně lze proložit těmito body? 8. Jaké jsou nevýhody aproximace funkcí polynomy? 9. Jak musely být rozloženy body, jestliže víte, že interpolační polynom má stupeň nula? 10. Existuje pro libovolnou čtveřici bodů [xf, y i], kde / = 1, 2, 3, 4 a uzlové body Xi jsou vzájemně různé, interpolační polynom třetího stupně? 11. Uveďte vzorec Lagrangeova interpolačního polynomu pro n + 1 uzlových bodů. 12. Jaké vlastnosti mají speciální polynomy Li (x), které se vyskytují v Lagrangeově polynomu? 13. Uveďte vzorec Newtonova interpolačního polynomu pro n + 1 uzlových bodů. Jak lze určit koeficienty v tomto polynomu? 14. Napište rekurentní vztah pro výpočet poměrných diferencí f[xf, + i, *i+2» **'+3] třetího řádu. Jak vypadá vzorec pro obecný n-tý řád? 15. Uveďte, kdy je vhodnější náhradou funkce Lagrangeův polynom a kdy Newtonův polynom. Obsah Jdi na stranu \4 Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 413 16. Jaký je rozdíl mezi Lagrangeovým a Newtonovým interpolačním polynomem pro tutéž množinu bodů? 17. Napište, jak vypadá obecný tvar interpolačního polynomu nejvýše třetího stupně v Lagrangeově a Newtonově tvaru. 18. Kdy lze místo obecného Newtonova polynomu použít Newtonův polynom vpřed resp. vzad? 19. Kdy se především používají Newtonovy polynomy vpřed resp. vzad? 20. Co jsou to diference vpřed a vzad? 21. Napište vzorce pro Newtonův interpolační polynom vpřed a vzad. 22. Co je to Hermitův interpolační polynom? 23. Jaké známe metody nalezení Hermitova interpolačního polynomu? 24. Co jsou to zobecněné Lagrangeovy polynomy? 25. Uveďte vzorec Lagrangeova typu pro Hermitův interpolační polynom. 26. Co jsou to zobecněné poměrné diference? 27. Uveďte vzorec Newtonova typu pro Hermitův interpolační polynom. 28. Co jsou to splajny stupně n s defektem y? Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 414 29. Rozhodněte, zdaje funkce S(x) kubický splajn s defektem jedna s uzlovými body —2, —1 al. , , í-4x3 - 24x2 - \2x - 4 pro x S -1, S(x) = l \2x* — 6x + 6x + 2 jinak. 30. Rozhodněte, zdaje funkce S(x) kubický splajn s defektem jedna s uzlovými body 0, 1/2 a 1. Í4x3 -9x + 12 pro x S 1/2, (-4x3 + 16x2 - 15x + 12 jinak. 31. Co je to kubický interpolační splajn? 32. Je kubický interpolační splajn určen interpolačními podmínkami jednoznačně? 33. Jaké okrajové podmínky se používají na jednoznačné určení kubického interpolačního splajnu? 34. Na jakou úlohu vede problém nalezení kubického interpolačního splajnu? 35. Uveďte příklady kubických splajnu (podle okrajových podmínek). 36. Jaké výhody má aproximace funkce kubickým splajnem oproti interpolačnímu polynomu? 37. Uveďte princip metody nejmenších čtverců. 38. Kdy je vhodné použít metodu nejmenších čtverců? Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 415 39. Co je cílem aproximace metodou nejmenších čtverců? 40. Jak je definovaná chyba, které se dopouštíme při náhradě funkce metodou nejmenších čtverců? 41. Vysvětlete geometrický význam metody nejmenších čtverců. 42. Napište, v jakém tvaru hledáme aproximující funkci u metody nejmenších čtverců. 43. Jaké typy funkcí lze použít u metody nejmenších čtverců? 44. Na jakou úlohu se převede problém nalezení koeficientů v aproximaci metodou nejmenších čtverců? 45. Co je to u metody nejmenších čtverců normální soustava rovnic? 46. Platí, že čím vyššího stupně bude polynom při aproximaci funkce metodou nejmenších čtverců, tím menší chyby se dopustíme? Zdůvodněte svou odpověď. 47. Co dostaneme, když vyrovnáme metodou nejmenších čtverců data obsahující n + 1 bodů polynomem stupně nejvýše nl 48. Co je grafem aproximující funkce, provádíme-li aproximaci polynomem stupně nula , jedna, dva nebo tři? 49. Provádíme vyrovnání hodnot neznámé funkce polynomem metodou nejmenších čtverců. Jak postupujeme při určení vhodného stupně aproximujícího polynomu, víme-li, že neznámá funkce byla rovněž polynomem? Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 416 Cvičení 1. Najděte Lagrangeův interpolační polynom pro data z následující tabulky: a) c) e) g) i) k) -i 0 1 2 2 -3 1 -2 -3 -1 0 2 yi -1 -2 1 3 b) Xi -1/2 0 1/2 1 2 yi 2 -3 -2 4 3 d) Xi i 2 3 4 5 yi 5 3 2 3 2 -i 1 2 3 f) Xi -1/4 0 1/2 3/4 -12 -2 -9 -8 yi -1 -2 -1 1 -7 -5 -3 -1 h) Xi 10 11 12 13 yi -2 -3 0 1 yi -12 -7 -9 -8 Xi -1/5 0 2/5 1 j) Xi -5 -4 -2 0 1 yi -1 1 -2 -4 yi 2 0 2 4 -2 Xi -2 -1 1 4 D Xi -1 0 1 2 3 yi -53 -12 -2 13 yi 5 3 2 3 2 Obsah Jdi na stranu Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 417 m) o) q) s) 2. Najděte Newtonův interpolační polynom pro data z následující tabulky: b) a) c) e) 0 1/2 1 3/2 y\ i 2 -1 2 Xi -3 -1 0 2 y\ -2 1 2 3 Xi -3 -2 0 2 y\ -3 -1 3 -1 d) f> Xi -2 -1 0 1 2 n) Xi -2 -1 0 1 2 y\ 4 3 2 4 3 y\ 2 -3 1 2 3 Xi 3 4 5 6 P) Xi -3/2 -1 -1/2 0 1 y\ -1 -2 1 3 y\ -1 4 3 -3 -2 Xi -6 -4 -2 1 r) Xi -1 0 1/2 2 3 y\ 1 -2 -7 -6 y\ 2 3 4 -1 -2 Xi 1 2 3 4 5 t) Xi -1/4 0 1/4 1/2 3/4 y\ -1 4 3 -3 -2 y\ -1 -2 -3/2 0 1/2 Xi -2 -1 0 1 y\ 1 2 -1 2 Xi -2 -1 0 1 y\ -27 -15/2 -2 -9/2 Xi -3 -2 -1 1 y\ 45 19 7 1 Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 418 g) i) k) m) o) q) s) -i 0 1 2 h) Xi -i -5 -3 -1 1 y\ i 3 -1 -5 y\ i -2 0 -5 3 Xi -2 -1 0 2 j) Xi -2 -1 0 1 2 y\ 1 3 4 -2 y\ -29 0 3 -2 -21 Xi -7 -6 -4 -3 D Xi -1 0 1 2 3 y\ 1 2 0 -2 y\ -1 1 -1 -2 0 Xi 0 1 2 3 4 n) Xi -3 -1 1 2 3 y\ -1 2 3 -2 -1 y\ 1 2 -1 -2 0 Xi -4 -3 -1 1 2 P) Xi -2 0 1 2 3 y\ -1 -2 0 2 3 y\ -3 -2 0 2 4 Xi -4 -3 -1 1 r) Xi 4 3 1 0 5 y\ -1 2 4 -2 y\ -1 -2 1 2 2 Xi -1 0 1 2 3 t) Xi -1/2 0 1/2 1 3/2 y\ -1 -2 0 2 3 y\ -1 -2 0 2 3 Obsah Jdi na stranu Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 419 3. Najděte Newtonův interpolační polynom vpřed a vzad pro data z následující tabulky: a) c) e) i 2 3 4 b) Xi -20 -15 -10 y\ 2,96 1,94 0,79 -0,27 y\ 78,2 93,4 61,3 Xi -2,2 -1,4 -0,6 0,2 d) Xi -8 -1 6 y\ -11,2 -28,7 -32,9 -26,4 y\ 2,19 -5,27 3,64 Xi -3 0 3 6 9 f) Xi -5,2 -1,5 2,2 5,9 y\ 2,1 5,4 7,9 6,2 5,3 y\ 1,3 2,7 3,4 5,1 4. V následující tabulce jsou dány hodnoty funkce /. Pomocí Newtonova polynomu vpřed 3. řádu určete přibližně /(—1,9). Pomocí polynomu vzad 2. řádu určete /(—0,1). Xi -2,2 -2,0 -1,8 -1,6 -1,4 -1,2 y\ -0,86 -0,95 -0,47 0,18 0,70 0,96 Xi -1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 y\ 0,99 0,86 0,69 0,53 0,43 0,38 Obsah Jdi na stranu Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 420 5. V následující tabulce j sou dány hodnoty funkce /. Pomocí Newtonova polynomu vpřed 3. řádu určete přibližně /(—3,7). Pomocí polynomu vzad 2. řádu určete/(—2,5). -4,0 -3,8 -3,6 -3,4 -3,2 -3,0 -2,8 -2,6 -2,4 -2,2 yi -0,64 -0,76 0,71 -0,57 -0,94 0,02 0,93 0,77 -0,12 -0,86 V následující tabulce jsou dány hodnoty funkce /. Pomocí Newtonova polynomu vpřed 3. řádu určete přibližně /(0,5). Pomocí polynomu vzad 3. řádu určete f(2,2). Xi 0,0 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 yi -1,20 -0,94 -0,42 0,10 0,55 0,94 Xi 1,8 2,1 2,4 2,7 3,2 yi 1,26 1,55 1,80 2,03 2,23 7. V následující tabulce jsou dány hodnoty funkce /. Pomocí Newtonova polynomu vpřed 4. řádu určete přibližně /(—1,7). Pomocí polynomu vzad 2. řádu určete /(0,3). Xi -2,0 -1,8 -1,6 -1,4 -1,2 -1,0 -0,8 yi -0,33 -0,35 -0,37 -0,40 -0,42 -0,44 -0,46 Xi -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 yi -0,46 -0,43 -0,3 0,00 0,59 1,33 1,76 Obsah Jdi na stranu Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 421 8. V následující tabulce jsou dány hodnoty funkce /. Pomocí Newtonova polynomu vpřed 4. řádu určete přibližně /(—2,6). Pomocí polynomu vzad 2. řádu určete /(—0,1). -3,0 -2,7 -2,4 -2,1 -1,8 -1,5 -1,2 -0,9 -0,6 -0,3 0,0 y\ -0,71 -0,66 -0,61 -0,53 -0,44 -0,31 -0,14 0,08 0,37 0,67 0,88 9. V následující tabulce jsou dány hodnoty funkce /. Pomocí Newtonova polynomu vpřed 2. řádu určete přibližně /(—2,7). Pomocí polynomu vzad 4. řádu určete /(—1,3). x\ -2,8 -2,6 -2,4 -2,2 -2,0 -1,8 y\ 5,56 1,91 -2,80 -4,40 -2,75 0,01 Xi -1,6 -1,4 -1,2 -1,0 -0,8 y\ 2,02 2,68 2,34 1,57 0,82 10. V následující tabulce jsou dány hodnoty funkce /. Pomocí Newtonova polynomu vpřed 4. řádu určete přibližně /(—1,35). Pomocí polynomu vzad 4. řádu určete /(—0,45). Xi -1,5 -1,4 -1,3 -1,2 -1,1 -1,0 y\ 0,93 1,14 1,29 1,39 1,44 1,45 Xi -0,9 -0,8 -0,7 -0,6 -0,5 -0,4 y\ 1,44 1,40 1,34 1,28 1,21 1,14 Obsah Jdi na stranu Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 422 11. V následující tabulce j sou dány hodnoty funkce /. Pomocí Newtonova polynomu vpřed 4. řádu určete přibližně /(—0,85). Pomocí polynomu vzad 3. řádu určete /(0,05). Xi -1,0 -0,9 -0,8 -0,7 -0,6 -0,5 yi -0,60 -0,36 -0,16 0,01 0,16 0,27 Xi -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0,0 0,1 yi 0,36 0,43 0,47 0,49 0,50 0,49 12. V následující tabulce jsou dány hodnoty funkce /. Pomocí Newtonova polynomu vpřed 3. řádu určete přibližně /(—4,3). Pomocí polynomu vzad 2. řádu určete /(—1,2). Xi -5,0 -4,6 -4,2 -3,8 -3,4 -3,0 yi 0,55 -0,21 -0,89 -1,39 -1,63 -1,59 Xi -2,6 -2,2 -1,8 -1,4 -1,0 -0,6 yi -1,31 -0,84 -0,30 0,21 0,59 0,79 Obsah Jdi na stranu Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 423 13. V následující tabulce j sou dány hodnoty funkce /. Pomocí Newtonova polynomu vpřed 3. řádu určete přibližně /(—2,6). Pomocí polynomu vzad 4. řádu určete /(—0,6). -3,0 -2,75 -2,5 -2,25 -2,0 -1,75 -1,5 yi -2,85 -2,54 -1,96 -1,26 -0,63 -0,18 0,04 Xi -1,25 -1,0 -0,75 -0,5 -0,25 0,0 yi 0,04 -0,08 -0,21 -0,26 -0,19 0,00 14. Metodou neurčitých koeficientů najděte Hermitův interpolační polynom P splňující následující podmínky: a) P{-\) = h P(l) = 0, P'(l) = 2, P(3) = -1, b) P(-2) = 0, P\-2) = 1, P(-l) = 2, P(0) = -2, P(l) = 0, P'(l) = -1, c) P(-l) = 2, P'(-\) = -1, P(\) = -3, ľ'(Y) = 0, d) P(0) = 1, P'(0) = 1, P"(0) = 1, P(l) = -1, P(2) = 2, e) P(0) = 1, P'(0) = -1, P(l) = 0, P'(l) = 1, P"(X) = 2, f) P(Q) = 3, P'(0) = 2, P"(0) = 1, P(l) = -2, P'(l) = 0, P"(X) = 3. Obsah Jdi na stranu Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 424 15. Pomocí zobecněných Lagrangeových polynomů (vypište je) najděte Hermitův interpolační polynom P splňující následující podmínky: a) P(0) = 2, P'(0) = -1, P(l) = 3, P'(l) = -2, b) P(-l) = 1, P(l) = 2, />'(1) = -2, c) P(0) = -1, P'(0) = 1, P"(0) = 2, P{2) = -3, d) P(-l) = 2, P(0) = 3, P'(0) = -1, P(l) = -3, e) P(-l) = 2, P'(-l) = 1, P(l) = -2, P'(l) = 2, f) ľ(-\) = 4, = -2, = -4, P(0) = 2, /J/(0) = 3. Řešte všechna zadání rovněž pomocí vzorce (4.16). 16. Najděte Newtonův tvar Hermitova interpolačního polynomu P splňujícího následující podmínky: a) P(-2) = -3, P\-2) = 1, P(l) = 18, P{2) = 97, b) P(-l) = -2, P'(-l) = 3, P(0) = -3, /"(O) = -4, P(3) = 426, c) P(0) = 2, /"(O) = -3, /"'(O) = 8, P(l) = 1, P(2) = -28, P'{2) = -63, d) P(-3) = 2, P(-l) = -2, P'(-l) = -4, P(2) = 112, P'{2) = 197, e) P(0) = 4, />(1) = 6, /"(l) = 3, />"(1) = 0, P{2) = 4, f) P(l) = 3, P'(l) = 2, /"'(l) = 2, P'"(X) = -6, P(2) = 6, P'(2) = 7. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H * Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 426 18. Data z tabulky aproximujte polynomem 2. stupně metodou nejmenších ětverců. Vypoětěte eukleidovskou normu vektoru odchylek (odmocninu ze souětu kvadrátů odchylek). a) c) e) g) i) -2 -1 0 2 -1 -2 -1 7 Xi -2 -1 0 1 2 yi -7 -2 1 2 1 Xi -2 -1 0 2 yi -7 -2 1 1 Xi -2 -1 0 2 yi -9 -4 -1 -1 Xi -2 -1 0 2 yi 1 0 1 9 b) d) h) j) Xi -2 -1 0 1 2 yi -7 0 3 2 -3 -3 -2 -1 0 2 y* 13 5 -1 -5 -7 f) -2 -1 0 1 3 y* 5 1 -1 -1 5 Xi -i 0 2 3 4 5 yi 3/2 -1 -3 -5/2 -1 3/2 -1 0 2 3 4 5 y* 4 2 1 2 4 7 Obsah Jdi na stranu Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 427 Řešení 1. a) c) e) g) i) k) m) o) q) s) 2. a) b) c) _ 8 3 i 9 2 i 13 o 2 lir3_J_r2|46r_|i 30 10 X Ť 15X Ť X' .3 o ^2 2x3 -8x2 + 3x + 1, _ir3_lir2_27r_ 9 8 8 A 8 A 8 250 v3 625 v2 , 35 8 "v 8 y3 _ 625 y2 i 35 v i i 18 18 ' 2x3 -8x2 + 3x + 1, _3 4 1 y3 i 15 y2 i 3 v i p g a 4 8 T 4 "T" -§x3 + 12x2-^x + 76, J_ r3 i 23 r2 i 17 r _ 42 60 A ^ 20 A ^ 15 A 5 ii r4 - H r3 -U 24 12 A ~r 289 r2 _ 85 _ 9 24 b) d) f) h) j) D n) P) r) t) l+jc(2+(jc-i)(-8 + f (jc-1))), 1 + (x + 2)(l + (x + l)(-2 + f x)), -2+ (* + 3)(§-£(* + !)), _ 16 r4 i 28 Y3 i 64 y2 _ 67 r _ o 5 x -h 15a -h 5 x l5x J, __L y4 i 9 y3 187 y2 | 35 Y | o 24 i 4A 24 ~~r 4 A ~r ^ 8x2 — 2x — 2, 5 v3 117 v2 , 4091 3 X 2 X^ + x - 2647, -A y4 31 y3 26 y2 107 y ■ a 45 X 45 X 9 X 45 A Ť ^' __5_ r4 i lr3 i ]7r2_25r i o 24 A ~rioA ~Toäa n A t j, 12 24 12 16 y4 i 164 v3 i 4 v2 5 1 Ť 15 5 r4 _ 3 r3 _ 17 Y2 i H r i i g a ^a gA -r^A~ri, y3 i 4 2 209 o A "I- ^ A j ^ A j, 26 r4 - M r3 _ 34 r2 + I4 r + ^ 45 x 45 x 45 x "T 5 x -f J, -16x4 + f x3 + 13x2 -\x-2. Obsah Jdi na stranu Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 428 d) e) f) g) h) i) j) k) D m) -27 + (x + 2)(f + (x + l)(-7 + x)), -3 + (* + 3)(2-±(* + 2)*), 45 + (x + 3)(-26 + (x + 2)(7 - (x + 1))), 1 + (x + 1)(2 + jc(-3 + (x-1))), 1 + (x + 7)ŕ-§ + (x + 5)(| + (x + 3)(-i + 1 + (jc + 2)(2+(* + 1)(-I -29 + (x + 2)^29 + (x + 1)(-13 + x(3 - (x - 1)) 1 + (x + 7)(l + (x + 6)(-| + £(x + 4))), -1 + (x + 1)^2 + x(-2 + (x- 1)(| - l(x - 2)))\ -1 + jcí 3 + (x - 1)(-1 + (x - 2)(-| + §(jc - 3)) + D) Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 430 b) c) d) e) f) JV+(ŕ) = 78,2 + ±f£í - Í2j3ŕ(ŕ _ i), ř = í±2», N~(s) = 61,3 - - ^s{s + 1), s = i±!£ N+(ť) = -11,2 - + i§j2ř(ř - 1) - %f ř(ř - l)(f - 2), f = í±|2, iV_(s) = -26,4 + í + Ws(s + 1) - + l)(s + 2), í = x-0,2 0,8 N+(t) = N-(s) = N+(t) = + %t(t N-(s) = + ^s(s N+(t) = 2,19- + -l%Př(ř - 1), í = £±2, 3,64 + + + 1), S = i=i, 2,1 + Mř _ _ i) _ lAt{t _ _ 2) + -l)(ř-2)(f-3), t = í±5, 5,3 - + + 1) + |f s (s + l)(s + 2) + + + 2) (í + 3),s = í=2 1,3 + Mí - Mř(f _ i) + L7_f (f _ i)(f _ 2), f = í±5£ iV_(s) = 5,1 + + ^í(í + 1) + ^í(s + 1)(í + 2), s = Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 431 4. /(-1,9) = -0,756, /(-0,1) = 0,399. 5. /(-3,7) = 0,902, /(-2,5) = 0,306. 6. f (0,5) = -0,605, /(2,2) = 1,63. 7. /(-1,7) = -0,359, f (0,3) = 0,999. 8. f (-2,6) = -0,645, /(-0,1) = 0,820. 9. f (-2,7) = 3,87, /(-1,3) = 2,62. 10. /(—1,35) = 1,22, /(-0,45) = 1,17. 11. /(-0,85) = -0,256, /(0,05) = 0,498. 12. /(-4,3) = -0,733, /(-1,2) = 0,423. 13. f (-2,6) = -2,21, f (-0,6) = -0,253. 14. a) -f x3 + f x2 + b) c) x3 + ±x2-|x-§, d) e) -3x4 + 8x3 -5x2 -x + 1, f) _ v-5 8 4 i 5 3 i 17 2 5 p A- 3 —3 — 3 3 25 v4 53 v3 i 1 v2 i v i i g a q a ~r~ ry a n- a ~r~ a , 8 -35x5 + ^-x4 - 62x3 + \x2 + 2x + 3. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 432 15. a) L0,i(x) = x {x - l)2, L0)0(i) = (x - l)2 + 2L0,i(x), Li,i(x) = (x - l)x2, Li?oO) = x2 -2Lu(x), P (x) = -5x3 + lx2 -x + 2, b) Lo^o (*) = i (x - l)2, Li,i (x) = \ (x - l)(x + 1), Li,0(x) = i (jc + i) - i Lu(x). P (x) = -f x2 + \x + ^, c) Lo,2(x) =-|x2(x-2), L0,i(x) = -|x(x -2) + L0,2(x), Ĺo,o(x) = -\(x-2) + jL0,i(x) + OL0,2(», ^i,oW = |*3, ^(x) = -x3 + x2 + x - 1, d) Lo,oO) = ~\x2{x - 1), Li,i(x) = -x(x + l)(x - 1), ^i,oW = -(* + l)(x- 1) +OLu(x), L2,oW = 5 (x + l)x2, p (x) = -§x3 -\x2 -x + 3, e) L0,i(x) = ±(x + l)(x - l)2, L0,oW = | (x - l)2 + L0,i(x), Li,iW = í (* - + l)2^ ^i,o W = + l)2 -Lu(x), ^(x) = |x3 + ix2-^x-i, f) £o,2(*) = + l)2*2, ^o,i(x) = (x + l)x2 + 4L0,2(x), ^o,oW = x2 + 2L0,i(x) -2L0,2(x), (x) = x(x + l)3, Li?0(x) = (x + l)3 - 3Lu(x), P (x) = 3x4 + llx3 + 13x2 + 3x + 2. Obsah Jdi na stranu Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 433 16. a) b) d) e) 17. a) f) 18. a) e) i) P (x P (x c) P (x P (x P (x f) P (x -3 + (x + 2)(l + (x + 2)(2 + 4(x - 1))), -2 + (x + 1)(3 + (x + l)(-4 + x(l + 3x))), 2 + x|-3 + x^4 + x(-2 + (x - l)(-3 + (x - 2))))j. 2 + (x + 3)f-2 + (x + 1)(-1 + (x + 1)(3 + 2(x -2)))\ 4 + x^2 + (x - l)(l + (x - 1)(-1 - 2(x - 1)))Y 3 +(x-1)^2 +(x-1)^1 + (x-l)(-l + (jc-1)(1 + 2(x-2)) 2 ~~h i 11 - 2r b) 5 5-' x2 + 2x — 1, -x2 + 2x + 1, x2 + 2x + 1, 10 + 10X' C) 56 10X' ^ 53 5X' 1 -|- yqX, ^) 5 To**'' ^ ^ j) 4 2 7 b) -2x2 + x + 3, c) -x2 + 2x + l, d) f) x2-x-l, g) -X2 + 2X_1? h) j) ^x2 - \x + 2. 10x. x 3x 5, 2 x 2x 1, Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 434 Testy ke kapitole 4 Vyberte správnou odpověď (právě jedna je správná). Za chybnou odpověď se neodečítají body. Test lze kdykoli tlačítky na konci ukončit a nechat si vypsat správné odpovědi. Testi 1. (lb.) Jsou dány hodnoty funkce f(x) v tabulkových bodech X\, i = 0,... ,n. Funkci /(x) chceme aproximovat funkcí (p(x). Co musí splňovat tabulkové body Xj ? Některé body mohou být stejné, ale musí v nich být různé funkční hodnoty. Body musí být navzájem různé, tj. Xj ^ x j pro / ^ j, / , j = 0 n Body musí být v tabulce seřazeny vzestupně nebo sestupně. Body Xi mohou být libovolné, ale musí být splněno /(xj) ^ /(xj) pro všechna i J = 0,/ ^ j. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 435 2. (lb.) Když pomocí aproximující funkce (p(x) určené hodnotami v uzlových bodech Xo, X\, ..., xn vypočteme funkční hodnotu v bodě x, který leží mimo interval Int(xo, xn), pak jsme provedli iteraci. regresi. extrapolaci. interpolaci. 3. (lb.) V případě, že nějakou funkci zadanou v n + 1 různých tabulkových bodech aproximujeme interpolačním polynomem P(x), pak jeho stupeň je roven n + 1. je roven n. je nejvýše n. je nejméně n. 4. (lb.) Jsou dány dva různé tabulkové body, ve kterých je předepsaná stejná funkční hodnota. Pak grafem příslušného Lagrangeova interpolačního polynomu je parabola. je přímka rovnoběžná s osou x. je přímka se směrnicí různou od nuly. je přímka rovnoběžná s osou y. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Interpolace a aproximace funkcí 436 5. (lb.) Co je výhodou aproximace kubickými interpolačními splajny? Standardní postupy pro jejich nalezení nevyžadují, aby uzlové body byly uspořádány vzestupně. Jsou určeny nejednoznačne, takže volbou okrajových podmínek si je můžeme vhodně modelovat podle našich potřeb. Jedná se o polynomy nejnižšího stupně, kterými lze aproximovat poměrně přesně neznámé funkce. Málo se vlní a jejich grafy jsou křivky, které danými body procházejí hladce. 6. (lb.) Jsou dána data [xt:, y i], i = 0, 1,, ..., n. Při aproximaci metodou nejmenších čtverců hledáme takovou funkci (p(x), pro kterou platí 0, pak \fa(f(x)~ SÍX)) &x\ = fa \ f(x)~ SÍX)\dx = fa 8 ^x ~ Je-li tedy e malé, je rozdíl mezi integrály f% f (x) áx a f% g(x) áx rovněž malý. Obsah Jdi na stranu \4 ►i Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 462 V případě derivace je však situace podstatně odlišná. Platí-li na intervalu {a, b) pro diferencovatelné funkce f (x) a g (x), že \f(x) — g(x)\ < s, kde s > 0, pak i když je s malé, může být rozdíl mezi derivacemi značně veliký. To není překvapivé, když si uvědomíme, že derivace fix) je rovna směrnici ke grafu funkce / (x) v bodě [x, / (x)] a podobně pro funkci g(x). Z blízkosti hodnot /(x) a g(x) rozhodně neplyne, že tečny k jejich grafům v bodech [x, /(x)] a [x, g(x)] mají přibližně stejný směr. Např. pro funkce fix) = c, c G M (konstantní funkce) a g(x) = c + s sin a x, s > 0, a > 0 platí \fix) — g(x)| = s\ sinax\ ^ s. Pro jejich derivace však platí \fix) — g\x)\ — |0 — s a cosax| = \sa cos a x \ ^ sa, přičemž poslední nerovnost přejde v rovnost, pokud je ax rovno celočíselnému násobku jt. Proto i když je s malé, pro velké číslo a bude absolutní hodnota rozdílu derivací v některých bodech veliká. Hodnoty funkce g(x) se totiž od konstanty c liší jen málo (nejvýše o ±e), ale pro velké a velmi rychle oscilují (harmonická funkce s sin a x má velkou frekvenci). Tudíž derivace g\x) — sa cosax se od derivace fix) — 0 v některých bodech podstatně liší (až o ±ea). V animaci na obr. 5.1 je zvoleno c = l, s = 0,1 se mění od 1 do 30 s krokem 1. Pro a —>► oo roste maximum sa absolutní hodnoty rozdílu mezi hodnotami derivací do nekonečna. Obsah Jdi na stranu \4 ►i Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 464 U integrálů těchto funkcí je výsledek zcela jiný. Na libovolném intervalu {p, q) platí: fq fq s I (f(x) ~ SÍX)) dx = — s I sinax áx = — [cos ax]p = J v J v Cl s(cosaq — cos ap) a Tedy j f(x)áx— I g(x)áx J D J D s(cosaq — cos ap) a < 2s a 0 pro a —>► oo. Tudíž s rostoucím a je naopak absolutní hodnota rozdílu mezi hodnotami integrálů čím dál menší a blíží se k nule pro a —>► oo. Větší část této kapitoly je věnována numerické integraci, numerickou derivací se budeme zabývat pouze v posledních dvou oddílech. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 465 5.1 Princip numerické integrace Je-li / (x) funkce riemannovsky integrovatelná na intervalu {a, b) a F (x) je primitivní funkce k f (x), tj. Fr(x) — f {x), platí dobře známá Newtonova-Leibnizova formule (viz [24, str. 100] nebo [25, str. 117]) Ja f(x)áx = F(b)-F(a). Její použití však nemusí být vždy dobře možné. Důvody jsou zejména následující: (1) Primitivní funkce F(x) neleží ve třídě elementárních funkcí (nebo nějakých jiných vyšších transcendentních funkcí, u kterých umíme určit jejich funkční hodnoty), takže neumíme najít její vzorec, který by umožňoval vypočítat funkční hodnoty v bodech a a b. (2) Primitivní funkci F(x) sice umíme najít, ale výpočet je velmi složitý. (3) Funkce /(x) není zadaná vzorcem, známe pouze tabulku funkčních hodnot na konečné množině bodů (např. jsou to výsledky nějakého měření nebo algoritmu). Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 466 Jak již bylo řečeno v úvodu kapitoly, je-li / (x) & g (x) na (a, b), platí j f (x) áx f a SÍX) Myšlenka přibližného výpočtu určitého integrálu je tedy zřejmá. Funkci / (x) nahradíme na intervalu {a, b) nepříliš lišící se funkcí g (x), kterou umíme integrovat, a integrál této náhražky prohlásíme za přibližnou hodnotu hledaného integrálu. Samozřejmě nás bude zajímat chyba, které se dopouštíme. Náhradní funkcí může být např. interpolační polynom zadaný funkčními hodnotami funkce /(x) ve vhodně zvolených bodech. Takový postup je použitelný i v případě, kdy nemáme analytické vyjádření funkce f(x) a máme k dispozici jen konečnou tabulku jejích hodnot. Obsah Jdi na stranu \4 ►i Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 467 5.2 Kvadraturní formule Jedna z možných definic Riemannova1 integrálu je založena na jistém typu limity integrálních součtů. Připomeňme jejich definici. Zvolíme dělení a — x o < X\ < ••• < xn-\ < xn — b základního intervalu a v každém podintervalu zvolíme reprezentant & G {xí-\,Xí). Integrální součet pak definujeme vztahem f(Šl)(Xi - X0) + /(£2)(*2 - Xi) H-----h f(í;n)(Xn ~ Xn-i). Jde vlastně o součet funkčních hodnot v nějakých bodech, které jsou násobené jistými čísly (v tomto případě délkami podintervalu). Při zvětšování počtu podintervalu a neomezeném zkracování jejich délek se bude integrální součet neomezeně přibližovat k hodnotě integrálu f (x) áx. !( i (1826-1866) (čti ríman) — vynikající německý matematik. Zabýval se teorií funkcí, geometrií, matematickou a teoretickou fyzikou a diferenciálními rovnicemi. Je považován za jednoho z největších matematiků všech dob. Jeho tzv. Riemannova hypotéza o rozložení nulových bodů ^-funkce (čti dzéta-funkce) je dodnes nevyřešena a patři k nejslavnějším matematickým problémům. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 468 Pokusíme se najít přibližnou hodnotu integrálu /(/)= Í f(x)dx J a v podobném tvaru. Zvolíme n + 1 bodů X\, a _ Xo < X\ < • • • < xn-\ < xn _ b, kde n _■ 0. Koncové body a a b mezi nimi mohou být ale nemusí. Dále zvolíme čísla A i, / = 0,1,,..., n. Výraz Q(f) = A0f(x0) + Aif(xi) + ••• + Anf{xn) (5.1) nazýváme kvadraturní formule. Body Xi, i = 0, 1,, ..., n, nazýváme uzly a čísla Ai, i = 0, 1,, ..., n, nazýváme koeficienty kvadraturní formule (5.1). Obecně bude platit pouze /(/) ^ Q(f)- Označme jejich rozdíl R(f), tedy Hf) = Q(f) + R(n (5.2) Hodnota R(f) představuje chybu kvadraturníformule. Počet uzlů n nebude v praxi příliš velký. Otázkou pak je, jak při daném n zvolit uzly a koeficienty, aby chyba R(f) byla co nej menší. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 469 Kvalitu kvadraturní formule můžeme rovněž posuzovat podle toho, zdaje přesná pro nějaké jednoduché funkce. Jako testovací funkce zvolíme mocniny xk, k = 0,1,2,... Jejich grafy jsou postupně přímka rovnoběžná s osou x, přímka, parabola, atd. Definice 5.1 Řekneme, že kvadraturní formule n Q(f) = ^2Aif(Xi) i=0 má stupeň přesnosti N, jestliže platí R(l) = R(x) = ... = R(xN) = 0, R(xiy + Í) ŕ 0. Kvadraturní formule (5.1) je zřejmě lineární: jsou-li /(x) a g(x) funkce a a, /3 konstanty, platí Q (af + P g) = otQ(f) + /3Q (g). Protože integrál je rovněž lineární (integrál ze součtu je součet integrálů a multiplikativní konstantu můžeme vytknout), kvadraturní formule mající stupeň přesnosti N je zcela přesná (při počítání bez zaokrouhlování) pro libovolný polynom stupně nejvýše N. Pro polynomy stupně N + l však už .iV+l Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 470 presná nem. Následující věta dává částečně odpověď na otázku, jak velký stupeň přesnosti lze dosáhnout při daném počtu uzlů. Věta 5.2 Kvadraturní formule používající n + 1 bodů múze mít stupeň přesnosti nejvýše 2n + 1. Důkaz. Připusťme, že kvadraturní formule (5.1) má stupeň přesnosti 2n + 2. Označme co(x) = (x — Xo)2 • • • (x — xn)2. Pak co(x) je polynom stupně 2n + 2, takže by mělo pro chybu kvadraturní formule platit R(co) = 0. Přitom co(xí) = 0, / = 0,..., n, takže Q (co) = 0. Tudíž 0 = R (co) — I (co) — Q (co) — I co(x) dx, J a což je spor, protože funkce co(x) je na intervalu {a, b) kladná s výjimkou n + \ uzlových bodů, takže nemůže mít nulový integrál. □ Otázkou je, zda kvadraturní formule užívající n + 1 uzlů může mít stupeň přesnosti 2/2 + 1. Později uvidíme, že to možné je. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 471 Podívejme se nyní, co bude platit pro kvadraturní formuli, kterou získáme integrací interpolačního polynomu. O funkci /(x) předpokládáme, že je dostatečně hladká (má derivace aspoň do řádu n + 1). Věta 5.3 Kvadraturní formule získaná integrací interpolačního polynomu L(x) určeného body [xí , f(xi)\ i — 0, 1,..., n, má stupeň přesnosti nejméně n. Důkaz. Uvažujme Lagrangeův interpolační polynom ve tvaru (4.3) n L{x) = ^2f(xi)Li(x). i=0 Označme co(x) = (x — Xo) • •• (x — xn). Podle věty 4.4platí f{n+1)d) f(x) = L(x) + co(x) Integrací předchozího vztahu dostaneme >b n rb (n + l)l kde ^ = Š(x) í f(x)áx = Yjf{xi) í Li(x)áx + —^—í ft)(x)/(B+1)(£)dx. Ja fr' Ja (n + 1)! Ja Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 472 Označme Í a Aj = I Lj(x)dx, i = 0, Pak kde /(/) = 6(/) + Ä(/), n Q(f) = ^lAif(xi) a i=0 i r (n + 1)! Ja co(x)f{n+l\š) dx Protože (n + l)-ní derivace polynomu stupně nejvýše n je identicky rovna nule, je pro /(x) = xk, k = 0,1, ...,n, integrand ve vzorci pro chybu R(f) roven nule pro libovolné x G (a,b), takže platí R(l) = R(x) = ••• = R(xn) = 0, tudíž stupeň přesnosti kvadraturní formule Q (f) je nejméně n. □ Snadno se ověří, že koeficienty A\ v kvadraturní formuli (5.1), která má stupeň přesnosti aspoň n, jsou určeny jednoznačně. Dosadíme-li totiž do vztahu (5.2) za /(x) postupně mocniny xk,k — 0,1, ...,n, obdržíme pro tyto koeficienty čtvercovou soustavu Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 473 lineárních rovnic A0 + Ai +•••+ An = f* dx, x0A0 + XiAi H-----h xnAn = f* xdx, x%A0 + x\Ax H-----h x%An = f* xn dx (5.3) Determinant matice soustavy je Vandermondův determinant (viz odstavec 4.3.2), který je, vzhledem k tomu, že uzly jsou vzájemně různé, nenulový. Soustava má tudíž právě jedno řešení. Vzhledem k větě 5.3 je proto vidět, že koeficienty kvadraturní formule užívající n + 1 uzlů, která má stupeň přesnosti aspoň n, lze získat integrací speciálních Lagrangeových interpolačních polynomů Li (x). Bude A( = f% Li (x) dx, i = 0,..., n. Zároveň tím získáváme jakési vyjádření pro chybu kvadraturní formule. Dosadíme-li do vztahu (5.2) za /(x) mocniny xk,k > n, nemusí být chyba R(xk) nulová, takže rovnice obdobné těm v soustavě (5.3) nemusí platit. Později uvidíme, že vhodnou volbou uzlů však lze dosáhnout, že budou platit i pro k = n + l,...,2n + l (vyšší mocniny podle věty 5.2 nemá smysl uvažovat). Viz oddíl 5.4. Obsah Jdi na stranu \4 ►i Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 474 Poznámka 5.4 a) Snadno lze ukázat, že když jsou uzly kvadraturní formule (5.1) získané integrací interpolačního polynomu rozloženy souměrně vzhledem ke středu intervalu (a, b), tj. bodu q~Y~, jsou koeficienty odpovídající souměrným uzlům stejné, tedy Aj — An-i, / = 0,1, ..., n (viz [3, str. 97]). Takové formule nazveme symetrické. b) Symetrické kvadraturní formule z bodu a), které používají lichý počet uzlů n + 1 (tedy n je sudé a střed g-^- je jedním z uzlů), mají stupeň přesnosti aspoň n + 1, tudíž o jedničku víc než zaručuje v obecném případě věta 5.3 (viz [3, str. 98], [22, str. 230]). V následujících oddílech se budeme zabývat nalezením konkrétních kvadraturních formulí. Všimneme si dvou typů: a) Vyjdeme z ekvidistantního dělení intervalu {a,b) na n podintervalů. Uzly tedy budou dány. b) Uzly a koeficienty zvolíme tak, aby při daném počtu uzlů byl dosažen maximální možný stupeň přesnosti. Poznámka 5.5 Někdy se studuje výpočet obecnějších typů integrálů tvaru f£ w(x) f(x) dx, kde w (x) > 0 je tzv. váhová funkce. To je vhodné, pokud je třeba určit hodnoty více integrálů, jejichž Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 475 integrandy mají společnou část w(x) a mění se jen f(x). Kvadraturní formule (5.1) se nemění, váhová funkce se „zahrne" do koeficientů. Rovněž se uvažují případy nevlastních integrálů prvního druhu, kdy a = —co nebo b = oo, nebo druhého druhu, kdy integrand w (x) f(x) je neohraničená funkce. Viz např. [22, 52]. My se omezíme jen na vlastní integrály a případ w(x) = 1. 5.3 Newtonovy-Cotesovy kvadraturní formule Interval (a, b) rozdělíme na n podintervalů stejné délky h > 0. Tedy h — Položíme Xo — a,X\ — Xo + h, X2 = X\ + 2/z, ..., xn — Xo + n h = b. Dále pro stručnost označíme y i — f (xj), i = 0,1,..., n. Rozlišíme dva případy: 1) Krajní body Xo = a a xn — b zahrneme mezi uzly. Počet uzlů tedy bude n + 1. Výsledné formule se nazývají uzavřené. 2) Krajní body Xq = a a xn — b nezahrneme mezi uzly. Počet uzlů tedy bude n — 1. Výsledné formule se nazývají otevřené. Kvadraturní formule získáme integrací interpolačního polynomu určeného hodno- Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 476 tami funkce f (x) ve zvolených uzlových bodech. Nazývají se Newtonovy1 -Cotesovy1 kvadraturní formule. 5.3.1 Uzavřené Newtonovy-Cotesovy kvadraturní formule Za uzly zvolíme n + 1 bodů Xq < X\ < - — < xn, n ^ 1. Podle (4.3) má Lagrangeův interpolační polynom tvar n L(x) = y0L0(x) H-----\-ynLn(x), kde L,-(x) = ]~[ -—— , / = 0, ., n Xj x i .7=0 j H Integrací na intervalu {a,b) dostaneme (viz důkaz věty 5.3) nb n rb / f(x)dx = j2yt u{x)áx + R{f)^Y,A^ + R^ Ja i=0 J a i=0 xViz str.318 2E tes (1682-1716) (čti kouts) — anglický astronom a matematik. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 477 kde ŕ Ai — I Li(x)áx, i = O,1,...,n. Ja Nyní zavedeme novou proměnnou t vztahem x = a + t h. Po dosazení do L\ (x) vyjde n Li(x) = W^ = \\í—L = 4. Grafický význam vzorců je znázorněn na obr. 5.2 a 5.3. Pro n = 1 jde o náhradu přímkou. Nabývá-li funkce /(x) pouze kladné hodnoty, udává tato kvadraturní formule obsah lichoběžníku. Odtud pochází její název lichoběžníkové pravidlo. U Simpsonova pravidla jde o náhradu parabolou, u zbývajících dvou, Simpsonova 3/8 pravidla resp. Boolova pravidla, pak jde o náhradu polynomem stupně tři resp. čtyři. Obsah Jdi na stranu \< ►i Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 482 y = /(*) y = L(x) a = xo x\ — b a) Lichoběžníkové pravidlo y = /(*) a = xo x\ X2 = b b) Simpsonovo pravidlo Obr. 5.2: Newtonovy-Cotesovy uzavřené formule — část 1 Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 483 y = /(*) a = xo x\ X2 x 3 = b a) Simpsonovo 3/8 pravidlo d — Xo X\ X2 X3 b) Boolovo pravidlo x 4 = b Obr. 5.3: Newtonovy-Cotesovy uzavřené formule — část 2 Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 484 5.3.2 Otevřené Newtonovy-Cotesovy kvadraturní formule Budeme postupovat obdobně jako u uzavřených Newtonových-Cotesových formulí. Za uzly zvolíme n — 1 bodů X\ < x2 < • • • < xn-i, n ^ 2. Podle (4.3) má Lagrangeův interpolační polynom tvar L(x) = y\Li(x) H-----h yn-\Ln-i(x), kde n-l u (x)=n X X J .7 = 1 j H X j X : i — 1,...,n — 1, (pro n = 2 je L\(x) — 1). Integrací na intervalu {a, b) dostaneme (viz důkaz věty 5.3) f f(X)dx = J^yt ľLi(X)dx + R(f) = J2Aiyi + R(f) Ja i = l Ja j = l Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 485 kde ŕ Ai — j Li(x)áx, i = 1,2,...,n — 1. Ja Nyní zavedeme novou proměnnou t vztahem x = a + t h. Po dosazení do L; (x) vyjde n-l Xj Xy Z J n-l t-j .7 = 1 .7 = 1 7 Odtud po substituci dostaneme 4,- = / L/(x) dx = x = a + th dx = hdt a ^> 0, b ^ n = h ľ Jo Ýi(t)dt. (5.10) Z předchozího vztahu je vidět, že koeficienty ^ nezávisí na funkci f (x) ani na mezích a a ô. Navíc, vzhledem k tomu, že Ýi (0 Jsou polynomy s racionálními koeficienty a meze posledního integrálu jsou celočíselné, jsou A\ racionální čísla. Dále podle poznámky 5.4 a) platí A\ — An-i ,i = 1,2,..., n — 1. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 486 Nyní si všimneme chyby kvadraturních formulí. V důkazu věty 5.3 jsme dostali (zaměníme /2 + lza/2 — la označíme co(x) = (x — X\) - -(x — xn-\)), že *(/) = (n-\)\Ja co(x)f(n-l)^) áx Platí i (5.5) (p = n — 1 pro n — 1 sudé, p — n pro n — 1 liché; /i — 1 je počet uzlů). Nyní uvedeme Newtonovy-Cotesovy otevřené formule pro n — 2, 3,4, 5. O funkci /(x) předpokládáme, že je dostatečně hladká (má spojité derivace dostatečně vysokého řádu). Nejprve určíme pomocí vztahu (5.10) koeficienty A(. Využijeme přitom symetrie. Označme a\ — A\l h. Postupně dostaneme: n = 2 d\ — í Ýi(t) = í lát = 2, Jo Jo ŕ , x ŕ t-2 3 n = 3 oi\ — 0Í2 — j Ýiif) = / —— dŕ = - , J o J o ~ 1 2 Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 487 n — 4 a\ — a3 — j ýi(t) = Jo í a2 = / Ý 2 (t) = í ŕ (t -1 4(f_2)(f-3) (-1) • (-2) 8 dŕ = -3 4 "4 (ř - l)(í - 3) dí = — , 3 n — 5 a\ — «4 — I Ýi(t) — 0i2 = Oi3 = / Ý2Í0 = í ľ (t-i J o 1- 5(f_2)(f-3)(ŕ-4) (-1) • (-2) • (-3) (í-l)(/-3)(/-4) (-1) • (-2) dt ,1/ = 55 24 5 24 Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 488 Nyní uvedeme příslušné kvadraturní formule. Odvození vzorců pro chyby lze nalézt např. v [22, 52]. Platí A\ — a\h, kde b — a — nh.Po drobných úpravách vyjde (ve všech vzorcích platí a < £ < b, počet uzluje n — 1): I(f) = (b-a)yi + ±h3f"(Š), (obdélníkové pravidlo, n — 2) (otevřené lichoběžníkové pravidlo, n — 3) /(/) = b-^(2yi -y2 + 2y3) + ±f h5f^(l), (Milnovo1 pravidlo, n — A) b-a{nyx + y2 + j3 + iij4) + í£/*5/(4)00. /(/) = 24 (« = 5) (5.11) (5.12) (5.13) (5.14) Vzorce pro chyby v předchozích čtyřech kvadraturních formulích obsahují hodnotu derivace funkce /(x) řádu n — 1 resp. n v neznámém bodě £. Je-li /(x) polynomem ^ ne (1890-1971) (čti miln) — americký matematik. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 489 stupně nejvýše n —2 resp. n — 1, je (n — l)-ní resp. n-tá derivace funkce /(x) identicky nulová, na hodnotě £ nezáleží a chyba je rovna nule. Je-li tudíž počet uzlů n — 1 sudé číslo (vzorce (5.12) a (5.14)), je stupeň přesnosti roven n — 2, zatímco když je počet uzlů n — 1 liché číslo (vzorce (5.11) a (5.13)), je stupeň přesnosti roven n — 1. To je opět ve shodě s větou 5.3 a poznámkou 5.4 b). Stejné vlastnosti, pokud jde o stupeň přesnosti, mají otevřené Newtonovy-Cotesovy formule i pro n > 5. Grafický význam vzorců je znázorněn na obr. 5.4 a 5.5. Pro n = 2 jde o náhradu přímkou rovnoběžnou s osou x. Nabývá-li funkce /(x) pouze kladné hodnoty, udává tato kvadraturní formule obsah obdélníku. Odtud pochází její název obdélníkové pravidlo. Pro n — 3 jde o náhradu přímkou. Pokud nabývá Lagrangeův polynom L(x), kterým nahrazujeme funkci /(x), pouze kladné hodnoty, udává tato kvadraturní formule obsah lichoběžníku. Odtud pochází její název otevřené lichoběžníkové pravidlo. U Milnova pravidla jde o náhradu parabolou, u posledního pravidla, které nemá speciální název, pak jde o náhradu polynomem stupně tři. Obsah Jdi na stranu \< ►i Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 490 y = /(*) a = xo x\ X2 = b a) Obdélníkové pravidlo y = L(x) a = xo x\ X2 x 3 = b b) Otevřené lichoběžníkové pravidlo Obr. 5.4: Newtonovy-Cotesovy otevřené formule — část 1 Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 492 Nezaměňujte otevřené lichoběžníkové pravidlo (5.11) s lichoběžníkovým pravidlem (5.6). Porovnejte rozdíl na obrázcích 5.2 a) a 5.4 b). Rovněž h má ve vzorcích (5.6) a (5.12) jiný význam. V prvním je h — b — a, ve druhém pak h — (b — a)/3. Podobné rozdíly jsou mezi Simpsonovým pravidlem (5.7) a Milnovým pravidlem (5.13), u kterých je funkce f(x) nahrazována parabolou. V předchozím výkladu jsme uvedli, že pro lichý počet n + 1 použitých uzlů je stupeň přesnosti Newtonovy-Cotesovy formule roven n + 1, tj. o jedničku víc, než bychom očekávali. Vysvětlíme si tuto skutečnost na Simpsonově pravidle (5.7). Funkce /(x) na obr. 5.6 představuje obecný kubický polynom. Ten nahradíme interpolačním polynomem L(x), který nabývá v bodech Xo, X\ a x2 stejné hodnoty jako /(x). Přitom L(x) je kvadratický, takže jeho grafem je parabola, která rozhodně nesplývá s grafem /(x). Protože stupeň přesnosti Simpsonova pravidla je tři, je chyba nulová a platí y = L(x) x0 y = m Obr. 5.6 x2 Obsah Jdi na stranu \< ►i Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 493 ŕX2 Jx0 [f(x)-L(x)]dx = 0. Odtud dostaneme po rozdělení intervalu (xo, X2) na (xo, X\) a {x\, X2) a jednoduché úpravě, že / [f (x) - L (x)] dx = [L (x) - f (x)] dx. J X\ J Xo To znamená, že plochy mezi grafy funkcí /(x) a L(x) na intervalech {xo, X\) a (x\, X2) jsou stejné. Tato skutečnost je příčinou zvýšené přesnosti. Rozhodně není správná představa, kterou studenti někdy mají, že grafy /(x) a L(x), tedy parabola a kubická křivka, na (xq, x2) splývají. Obdobně je tomu i u jiných Newtonových-Cotesových formulí využívajících lichý počet uzlů. Rozmyslete si, jak vypadá analogie obr. 5.6 pro obdélníkové pravidlo. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 494 5.3.3 Složené Newtonovy-Cotesovy kvadraturní formule Uvažujme kvadraturní formule, které jsou získané integrací interpolačního polynomu. Předpokládejme, že interval (a, b) je dlouhý. Zvolíme-li malý počet uzlů, interpolační polynom pravděpodobně nebude dobře aproximovat integrand /(x) a chyba může být velká. Zvolíme-li velký počet uzlů, může interpolační polynom mezi uzly oscilovat (srovnejte příklad 4.5), rovněž nebude dobře aproximovat /(x) a chyba bude opět velká. Proto obvykle postupujeme v podobných případech jinak. Výchozí interval {a, b) rozdělíme na menší podintervaly a na každém z nich použijeme základní kvadraturní formuli s nepříliš velkým počtem uzlových bodů. Výsledky sečteme. Protože podintervaly jsou krátké, dá se očekávat, že chyby na každém z nich nebudou velké a rovněž celková chyba, která je jejich součtem, nebude příliš velká. My se omezíme na případ, kdy podintervaly budou stejně dlouhé. Na každém z nich použijeme analogickou základní Newtonovu-Cotesovu kvadraturní formuli a dostaneme tak odpovídající složenou kvadraturní formuli. Obsah Jdi na stranu \4 ►i Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 495 Poznámka 5.6 Někdy funkce /(x) na částech intervalu {a, b) výrazně osciluje a na jiných se téměř nemění. Pak je vhodné volit v místech rychlých změn kratší podintervaly a v místech, kde je integrand téměř konstantní, delší intervaly. Na těchto úvahách jsou založeny tzv. adaptivní kvadraturníformule. Podrobněji viz např. [22, str. 264]. K vytvoření složené formule lze v podstatě použít libovolnou základní formuli. Obvykle se však pro tento účel nevolí formule používající velký počet uzlů. Rovněž otevřené Newtonovy-Cotesovy formule nejsou příliš vhodné, protože nepoužívají krajní body intervalu, což je nevýhodné, když chceme např. kvůli zpřesnění výsledku zdvojnásobit počet základních intervalů. Uvedeme tři nejčastější složené vzorce, které vycházejí z obdélníkového, lichoběžníkového nebo Simpsonova pravidla. O funkci /(x) budeme předpokládat, že je na intervalu {a, b) dostatečně hladká. Tento předpoklad je nutný k odvození tvaru zbytku. Obsah Jdi na stranu \4 ►i Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 496 Složené obdélníkové pravidlo Protože obdélníkové pravidlo (5.11) dělí základní interval na dvě části, rozdělíme celý interval {a,b) na sudý počet 2m dílků, kde m ^ 1. Označíme h = (b — a)/2m a Xi — a + ih, i — 0,2m. Nyní na každém intervalu {x2i,Xii+i), i = 0 až m — 1, použijeme obdélníkové pravidlo. Dostaneme: f(x) áx = 2hy2i+i + \ h3/"^), x2i < < x2i+2, i = 0.....m - 1 Sečtením obdržíme složené obdélníkové pravidlo /(/) = 2A0>i + y3 + • • • + y2m-i) + (5.15) O zbytku lze snadno ukázat (viz [13, str. 70]), že ho lze vyjádřit ve tvaru R(f) = b — a (5.16) Pravidlo je pro 2m = 6 znázorněno na obr. 5.7. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 498 Složené lichoběžníkové pravidlo Interval (a, b) rozdělíme na m dílků, kde m ^ 1. Označíme h — {b — a)/m a Xj = a + + i h, i =(),..., m. Nyní na každém intervalu {x i, + i), / =(),..., m — 1, použijeme lichoběžníkové pravidlo (5.6). Dostaneme: rxi+i J J f(x)áx = \ {yi +Ji+i)-^7"fe)) Xi < kde s > 0 je předem dané malé číslo. Odhad bude obvykle pesimistický a číslo m zbytečně velké. Je to důsledek toho, že při odhadu velikosti derivace v neznámém čísle £ jsme počítali s nejhorší (největší) možnou hodnotou. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 503 5.4 Gaussovy kvadraturní formule Vrátíme se k obecné kvadraturní formuli Q(f) = A0f(x0) + + ••• + Anf(xn) (5.21) pro výpočet integrálu f f (x) áx. V oddílu 5.3.1, věnovaném uzavřeným Newtonovým--Cotesovým formulím, jsme viděli, že když zvolíme ekvidistantní uzly x t a koeficienty A[ najdeme integrací interpolačního polynomu určeného body \x\, /(xj)], dostaneme kvadraturní formule, jejichž stupeň přesnosti je n pro lichá n a n + 1 pro sudá n. Otázkou je, zdaje možné vybrat uzly a koeficienty nějak jinak, aby stupeň přesnosti byl vyšší. Podle věty 5.2 víme, že to nemůže být více než 2/2 + 1. Není však jasné, zda lze této hodnoty dosáhnout. Kvadraturní formule dosahující tento maximální stupeň přesnosti se nazývají Gaussovy. Obsah Jdi na stranu \4 ►i Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 504 Požadavek, aby formule (5.21) byla přesná pro polynomy xk stupně k — 0, ..., 2n +1 tj. aby chyba R(xk) = 0, vede na soustavu 2/2 + 2 rovnic tvaru A0 + x0A0 + x%A0 + An x\A\ H-----Y xnAn x\Ax -\-----h x%An b — a, \{b2-a2), f (63-«3), X 2n + \ a , „2n + \ a , , „2n + \ a _ 1 (U2n+2 n2n+2\ 0 a0 + Xx a\ -\-----hX„ Aw — 2^+2 ^ — ^ J což je nelineární soustava o 2n + 2 neznámých Xo,..., xn a ^4o> • • •»^4«- Pravé strany jsou hodnoty integrálů xk dx,k = 0,..., 2n + 1. Počet rovnic a neznámých je sice stejný, ale není jasné, zda soustava má vůbec nějaká řešení, ani jak by se našla. Navíc by musely uzly Xi ležet v intervalu {a, b) a musely by být různé. Budeme proto postupovat jinak. Řešení uvedeného problému podstatně souvisí s teorií ortogonálních polynomů. Protože tento aparát nemáme k dispozici, uvedeme stručný přehled nezbytných pojmů a vlastností. Nejprve však zvážíme, že se stačí omezit na integrály na intervalu (—1,1). Případ Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 505 obecných mezí a a b se totiž převede na tento případ lineární substitucí: / Ja f (x) áx — b—a x — a + dx = ^ á t a ^> —L b ^> 1 (t + 1) ¥ f fV a + ^(t + l)]dŕ. Legendrovy polynomy Polynomy definované vztahy Pq (x) = 1 a 1 ď1 Pn(x) =--(x2-l)n, V 7 2^! dx*V 7 w = 1,2, (5.22) se nazývají Legendrovy1 polynomy. Jak uvidíme dále, je možné je definovat i jinými způsoby. 1 Ad e (1752-1833) (čti ležandr) — francouzský matematik. Zabýval se teorií čísel a eliptickými funkcemi. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 506 Ze vzorce (5.22) snadno najdeme prvních šest Legendrových polynomů: Po(x) = 1, P\(x) — X, P2(^) — I x2 — \ P?>(?t) — ^X 2"^' P a (x) — ~g~ x x H- "g , p / v\ _ 63 5 35 r3 i 15 * 5 / — 8 a * 8 ' (5.23) Legendrovy polynomy mají následující vlastnosti (viz např. [22, str. 218], [52, str. 172]) nebo [53]. 1) Stupeň Pn(x) je n. Koeficient u nej vyšší mocniny je 2^i)2 • 2) Platí rekurentní vzorec 2/2 + 1 /2 ^/i+i W = —-~rxPn(x)--—Pn-xix), J^L 1 ^ ^ • • • /2 + 1 n + í kde Po(^) — 1> P\(x) — x. Tento vztah se často používá jako definice Legendrových polynomů. 3) Z předchozího vztahuje snadno vidět, že pro sudé n obsahuje Pn (x) jen sudé mocniny x a pro liché n jen liché mocniny x. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 507 4) Pn (x) vyhovuje homogenní lineární diferenciální rovnici druhého řádu (1 - x2)y" - 2xy' + n(n + l)y = 0. 5) Všechny kořeny Pn(x) jsou reálné a jednoduché a leží v otevřeném intervalu (—1,1). Jsou souměrné vzhledem k počátku a pro liché n je prostřední kořen nula. 6) Jsou-li Xq < X\ < • • • < xn-\ kořeny Pn(x) a Xo < X\ < • • • < xn-\ < xn kořeny Pn+i(x),n ^ 1, platí Xo < Xo < X\ < X\ < • • • < xn-\ < xn-\ < xn. Tedy kořeny Pn(x) a Pn+\(x) se pravidelně střídají. 7) Pro m n platí / Pm(x)Pn(x)dx = 0. Říkáme, že Legendrovy polynomy tvoří ortogonální systém. 8) Platí P„(x) áx — 1 2 2 A 2n + 1 Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 508 9) Je-li Qn(x),n =0,1,2, a pro m j^z n platí , posloupnost polynomů taková, že stupeň Qn(x) je n Qm(x)Qn(x)áx = 0, splývají tyto polynomy až na konstantní násobky s Legendrovými polynomy. Existují tedy nenulové konstanty an takové, že Pn (x) = an Qn (x). Vynásobíme-li tedy Qn (x) vhodnými konstantami tak, aby koeficienty u nejvyšších mocnin byly 2i^j2 » bude platit Pn(x) — Q n (x). Tuto vlastnost lze tudíž rovněž použít jako definici Legendrových polynomů. Nyní již můžeme dát odpověď na otázku, jak zvolit uzly a koeficienty kvadraturní formule (5.21), aby stupeň přesnosti byl nejvyšší možný (viz [22, str. 231]). Věta 5.7 Nechť kvadraturní formule (5.21) pro výpočet integrálu J^_x f(x) dx má stupeň přesnosti alespoň n. Pak tato formule má stupeň přesnosti 2/2 + 1 právě tehdy, když její uzly jsou kořeny Legendrova polynomu Pn+i(x). Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 509 Je tedy jasné, že za uzly hledané kvadraturní formule s maximálním možným stupněm přesnosti je třeba zvolit kořeny polynomu Pn+\(x). Jak víme, tento polynom má n + 1 různých reálných kořenů, které leží v intervalu (—1, 1). Zbývá ještě určit koeficienty A\. Podle věty 5.3 kvadraturní formule, kterou dostaneme integrací interpolačního polynomu, má stupeň aspoň n. Podle věty 5.7 pak bude formule s takto získanými koeficienty mít maximální možný stupeň přesnosti 2n + 1. Ze vztahu (5.3) pak navíc plyne, že koeficienty A\ jsou určeny jednoznačně. Formule pro výpočet integrálu f\x f (x) dx, které mají maximální možný stupeň přesnosti, se nazývají Gaussovy-Legendrovy kvadraturní formule. Obsah Jdi na stranu \< ►i Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 510 Všimneme si praktického nalezení uzlů, koeficientů a chyb Gaussových-Legendrových kvadraturních formulí. • Kořeny Legendrových polynomů Pn (x) pro n ^ 5 lze snadno najít, výpočet vede na kvadratickou rovnici. Pro větší n je nutné užít numerické metody. Označme Xo < X\ < ••• < xn kořeny polynomu Pn+\(x), n ^ 0. • Koeficienty A\ lze získat integrací Lagrangeova polynomu. Existují však lepší možnosti. Platí (viz [22, str. 235] a [43, str. 118 a 172]), že Ai = 2(1 -xf) i =0,1, (71 + l)2[Pn(XiW ' Pro chybu lze odvodit následující vyjádření (viz [22, str. 236]) 22n+3[(n + l)!]4 n (5.24) R(f) = f (2n+2) (£), kde£e(-l,l). (5.25) (2/2 + 3)[(2/2+2)!]2 Poznámka 5.8 Ze vzorce (5.24) je vidět, že koeficienty Aj jsou kladné. To je důležité, protože tato vlastnost zaručuje, že výpočet integrálu pomocí takové kvadraturní formule je dobře podmíněná úloha (viz str. 550 nebo [13, str. 76]). Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 511 Určíme kořeny a koeficienty Gaussových-Legendrových formulí pro n — 0, ..., 4. K tomu je třeba určit kořeny polynomů P\ (x), ..., Ps(x) uvedených v (5.23). Dále pak pomocí vzorce (5.24) vypočítáme koeficienty A\. Dostaneme: n = 0 n = 1 n — 2 n — 3 x0 X\ A0 X\ A, x3 X2 A0 Ax = 0, = 2, = -jc0 = \ VŠ = 0,577 350, = 0, x2 = -jc0 = i VlŠ = 0,774597, _ 8 A — A — 5 — 9 > ^0 — A2 — 9 > = -x0 = ± ^525 + 70^30 ' 0,861 136, = Jš ^525-70730 = 0,339981, —Xi 43 = I - JL V3Ô = 0,347 855 ^2 = ± + 3^730 = 0,652145. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 512 n = 4 x2 = O, x4 = -x0 = ^ ^245 + lWŤÔ = 0,906 180, x3 = —a i = ^ ^245- 14VŤÔ = 0,538 469, ^2 = Íl' ^ = ^ = ^- ^^70 = 0,236 927, ^!=^3 = ii + 9ÍV7Ô = 0,478 629. Nakonec napíšeme Gaussovy-Legendrovy kvadraturní formule pro n = 0,1, 2 včetně chyby, kterou určíme ze vztahu (5.25). Ve všech vzorcích je — 1 < £ < 1. /(/) = 2/(0) +1/m /(/) = /H^) + /(5^) + T5š/(4)(^ /(/) = f/H^15) + §/(°) + 1/ (5^15) + TŠ75ô/(6)© (5.26) (5.27) (5.28) Obdobně by bylo možné zapsat tyto formule pro vyšší n. Geometrický význam Gaussových-Legendrových formulí pro n = 0,..., 4 je znázorněn na obr. 5.10, 5.11a 5.12. Z obrázku 5.10 a) i ze vzorce (5.26) je zřejmé, že pro n = 0 jde vlastně o obdélníkové pravidlo, srovnejte s obr. 5.4 a) a vzorcem (5.11). Obsah Jdi na stranu \4 ►i Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 513 y = f M y = l (x) y b) n = 1 Obr. 5.10: Gaussovy-Legendrovy kvadraturní formule — část 1 Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 516 Poznámka 5.9 V poznámce 5.5 jsme se zmínili o výpočtu integrálů typu f w (x) f (x) dx s váhou w(x). I pro tyto integrály je možné hledat Gaussovy formule, tj. kvadraturní formule s maximálním možným stupněm přesnosti. Obdobný je i výsledek, za uzly je nutné volit kořeny jistých speciálních polynomů. Zejména se užívají tyto případy: - Gaussovy-Čebyševovy1 formule, Gaussovy-Laguerrovy2 formule, w(x) = 1 / V 1 — x2, a = — 1, b = 1 w(x) — q~x, a — 0, b — oo -w(x) — e_x , a — —oo, b = oo — Gaussovy-Hermitovy3 formule Podrobněji viz např. [22, str. 231] nebo [52, str. 171]. 1 Pafnutij Lvovič Cebyšev (1821-1894) — významný ruský matematik. Zabýval se analýzou, teorií čísel a pravděpodobností. 2Ed e (1834-1886) (čti lager) — francouzský matematik. Zabýval se geometrií a komplexní analýzou. 3Viz str. 338. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 517 5.5 Rombergova kvadratura Metoda, kterou popíšeme, vychází se složeného lichoběžníkového pravidla (5.17). Protože budeme pracovat s různým počtem dílků, označíme Qh(f) = | Oo + 2yi H-----h 2ym-1 + ym), kde h — (b — á)/m. Lze dokázat (viz [52, str. 160], důkaz je poměrně obtížný), že pro funkci /(x), která má spojité derivace na intervalu {a,b) až do řádu 2k + 2,k ^ 1, je možné kvadraturní formuli Qh(f) vyjádřit ve tvaru Qh(f) = co + cxhz + • • • + ckh2k + otk+l(h)h ,2k+2 (5.29) kde co,..., Cfc jsou konstanty (závisející na a, b a /(x)). Přitom co = / f(x)dx = /(/). J a Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 518 Funkce cik+i (h) (závisející na a, b a /(x)) je ohraničená konstantou M^+i, tudíž platí |ořjt+i(A)| = Mk+i, přičemž tato konstanta je univerzální pro libovolné A, nezávisí tedy na počtu dílků m. Vztah (5.29) se nazývá asymptotickým rozvojem formule Qh(f) v proměnné h. Jsou známy explicitní vzorce pro C\, ..., c k a cik+\ (h). Jsou však dost komplikované, a protože je nebudeme potřebovat, nebudeme je uvádět. Označme Pk(y) = c0 + cxy H-----h ckyk. Pak Pk(y) je polynom stupně nejvýše k a platí i\(0) — Co — f% f (x) áx. Pokusíme se přibližně najít hodnotu i\(0). Pro malá h je chybový člen a,k+\{h)h2k+2 v (5.29) malý, takže platí přibližný vztah Qh(f) « Pk(h2). Nyní zvolíme posloupnost kroků ho = b — aji \ = (b — a)/2,..., hk — (b — a)/2k. Tedy následující krok má ve srovnání s předchozím poloviční délku. Vypočítáme složené lichoběžníkové pravidlo pro tyto hodnoty. Dostaneme: QhÁf) « (A?), / =0,...,£. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 519 Předpokládejme, že sestrojíme interpolační polynom určený dvojicemi [y i, P (y i)], kde y i — h2. Jeho tvar podle (4.3) bude L(x) = P(y0)L0(x) + P(y1)L1(x) + ••• + P(yk)Lk(x), kde L j (x) jsou speciální interpolační polynomy. Protože stupeň L (x) je nejvýše k, plyne z jednoznačnosti interpolačního polynomu (věta 4.1), že Pk(x) = L (x), tj. Pk(x) = P(y0)L0(x) + P(y1)L1(x) + ••• + P(yk)Lk(x). Po dosazení y i — h2 pro x — 0 dostaneme Pk(0) = P(h20)L0(0) + P{h\)Lm + ■■■ + P(h2k)Lk(0). Přesné hodnoty P (h2) však neznáme. Nahradíme je tudíž přibližnými hodnotami Qjli (f). Pro výpočet čísla Pk (0) tak máme přibližný vzorec ^(0) * e*o(/)L0(0) + Qhl(f)Li(P) + ■■■+ Qhk(f)Lk(0). Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 520 Označíme-li d\ = Ll (0), i = 0,..., k, dostáváme pro výpočet hledaného integrálu formuli / Ja f(x)áx « doQho(f) + dxQhl(f) + ••• + dkQhk(f) (5.30) který se nazývá Rombergova1 kvadraturníformule. Abychom formuli mohli použít, měli bychom najít interpolační polynom (Lagrangeo-vým nebo Newtonovým algoritmem) a dosadit do něj nulu. To je však zbytečně pracné. Vzhledem k tomu, že potřebujeme najít funkční hodnotu v jediném bodě, je vhodnější použít Nevillův algoritmus pro iterovanou interpolaci (viz str. 317). Protože ten jsme ne-probírali, popíšeme nyní, jak na něm založený výpočet v případě Rombergovy kvadratury probíhá. Označíme Ti o = Qht(f),i = 0,..., Tedy Tx o je přibližná hodnota hledaného integrálu získaná složeným lichoběžníkovým pravidlem, kde základní interval (a,b) jsme rozdělili na 2l dílků. (Písmeno T se používá, protože lichoběžník je anglicky trapezium.) !A i (1909-2003) — německý matematik. Zabýval se numerickou matematikou. Vzorec navrhl v roce 1955. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 521 Dále vypočítáme následující čísla: VTij^-Ti-tj-t Tij = \i - i i — j — 1 Pak platí, že Tkk = d0Qho(f) + d1Qhl(f) + --- + dkQhk (f) tedy ľ Ja f(x)dx « Tkk. Hodnoty obvykle zapisujeme do trojúhelníkového schématu 7io Tu • 731 • T32 ^33 • • Tfeo • • • • • • Tk2 Tk3 ,1 (5.31) Obsah Jdi na stranu \4 4 ► ► Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 522 Nejprve vypočítáme složeným lichoběžníkovým pravidlem hodnoty v levém sloupci. Zbytek tabulky pak vyplňujeme po řádcích užitím vzorce (5.31). Následující schéma ukazuje, které dvě hodnoty se používají při výpočtu T\j. Ti-i,j-Ti,j-i \ Ti Nevillův algoritmus umožňuje snadno přidat další hodnotu, Stačí vypočítat složeným lichoběžníkovým pravidlem číslo Tk+1,0 a pomocí vzorce (5.31) dopočítat další řádek. Jako zastavovací kritérium lze použít například podmínku \Tkk — Tk-\,k-\ I < £ nebo \Tkk — Tk,k-\I < kde s > 0 je předepsaná tolerance. Rombergova formule se používá, vyžadujeme-li vysokou přesnost. Je však třeba mít na paměti, že je založena na vzorci (5.29), jehož předpokladem je dostatečná hladkost funkce /(x). Není tedy vhodná pro funkce, které tento předpoklad nesplňují. V takovém případě nepřináší žádné zlepšení oproti složené lichoběžníkové metodě. Rombergova metoda patří mezi tzv. extrapolační metody. Pomocí interpolačního Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 523 polynomu, který je určen hodnotami v kladných uzlových bodech hk (£) dxJ l (n + 1)! _ J (n+ 1 + 7)! kde ľ]j G Int(xo,..., xn, x) jsou čísla závisející na x. Je-li tento interval nedegenero-vaný, je ľ] j jeho vnitřní bod (k degeneraci intervalu dojde pro n — O a x — x q, pak ľ] j = x0). Důkaz tvrzení je technicky poměrně náročný, viz [3, str. 46 a 89], [43, str. 100], pro k = 1 také [22, str. 206]. S pomocí předchozího výsledku nyní můžeme spočítat derivace chyby R (x). Výsledky vypíšeme pro první a druhou derivaci podrobně. Z (5.32) dostaneme: R (x) = co (x) —----h co(x) (n + 1)! (n + 2)! (5.34) R (x) = co (x) —-——h 2o) (x) —-——h co(x) —;———— , (5.35) (n + 1)! (n + 2)! (« + 3)! Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 530 kde £o,£i,*7o,*7i,*72 G Int(x0,..., xn, x). S použitím Leibnizova vzorce pro derivaci součinu (viz např. [16, str. 112]) obecně dostaneme pro j = l,...,h xe/: R(»(x) = É({)^)Wi-T^/í,+%) = i=0 j (n + 1 + /)! -E J í ^ (j -/)!(/,+ 1 + /)! a;o-o(x)/(,+i+o(??.)i (5.36) kde ľ]o, y]j € Int(xo,...,xw,x). Pro x ^ Int(xo,..., xn), tj. v případě extrapolace, lze předchozí výsledek zjednodušit (x může být některým z krajních bodů tohoto intervalu). Lze dokázat následující větu. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 531 Věta 5.13 Má-li funkce f (x) má na intervalu J obsahujícím všechny uzlové body X\, i — O, n, derivaci řádu n + 1, pak pro x £ Int(xo,..., xn) a j — 1, ..., n + 1 platí Ru\x) = 1 (n+ 1)1 co(j\x) fKn+í)(r]), ľ] e lnt(xo,...,xn,x), (5.37) přičemž pro j < n + 1 je ľ] je vnitřní bod, zatímco pro j = n + 1 je ľ] = x. Návod k důkazu viz [43, str. 165]. Vzorec (5.37) říká, že pro x Int(xo,..., xn) lze za daných předpokladů ve vzorci (5.36) uvažovat jen první člen. Číslo r)q z prvního vzorce je obecně jiné než číslo r\ ve druhém vzorci. Předchozí věta je zejména užitečná v případě, když x je některý z krajních bodů intervalu Int(xo,..., xn). V dalším se budeme věnovat vzorcům pro nalezení přibližných hodnot první a druhé derivace. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 532 Z (5.33), (5.34) a (5.35) dostaneme, že / (x) = L (x) + co (x) ——;—^—h co(x) (n + 1)! (n + 2) (5.38) f "(x) = L" (x) + ^ „, , ŕn+i\no) j_ 0 . fin+2\m) ^ . , 2/<-+3)(^2) + CO (X) —-—--h 2CO (X) —-——h co(x) (n+ 1)1 (n+ 2)1 (n+ 3)1 (5.39) Předchozí vzorce pro numerickou derivaci se nejčastěji používají pro nalezení hodnot první popř. druhé derivace v uzlových bodech X\, i = 0, 1, ..., n. Zřejmě platí, že co(xj) = 0. Určíme, kolik je coř(xt). Použijeme tzv. logaritmické derivování. Platí: co(x) ■ In co(x) ■ Q)'(x) co(x) co'(x) — co(x) (x — Xo)(x — X\) • •• (x — xn), ln(x — Xo) + ln(x — X\) + ••• + ln(x — xn), 1 1 1 + + ... + X Xq X X j 1 1 -+ — X X n + ••• + 1 X x n X Xq X X\ Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H n n k=0 ./=0 ♦ Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 533 V předchozím odvození je třeba, aby x > maxjxo, ..., xn}, snadno se však ověří, že výsledek platí pro všechna x, jde totiž o rovnost dvou polynomů. Pro X — Xj z předcházející rovnosti vyjde (v součinu se vynechá činitel (x — Xi)): (ú'(Xi) = (Xi -X0)'" (Xi - Xí-i)(Xí - Xi + i) • • • fa - xn) = n ,n .7=0 Vzorec (5.38) se zjednoduší na tvar f\xi) = L\xí) + JI (xí - xj) •--— , i .7=0 j H (n+ 1)1 = 0, n, (5.40) (5.41) kde £ G Int(xo,..., xn). Dále určíme, kolik je o)"(xí). Vzorec pro a)'(x) má tvar součtu součinů. Na každý z těchto součinů majících vždy n činitelů použijeme opět logaritmické derivování. Po Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 534 úpravách, jejichž detaily vynecháme, vyjde (v součinech vynecháme vždy dva činitele): Pro X — X/ dostaneme: n n q)"(x) — 2 Y\ (x ~ xj) k,1=0 .7=0 k £1 £ Int(xo,..., xn), i = O,..., n. Nyní odvodíme nejčastěji používané vzorce. Budeme předpokládat, že uzly jsou ekvidistantní s krokem h > 0, tedy x j = Xo + hi,i =0,l,...,w.V tomto případě bude výhodné použít místo Lagrangeova interpolačního polynomu L (x) Newtonův interpolační polynom vpřed N+(t) (jedná se o tentýž polynom, liší se jen zápisem). V dalším označíme pro stručnost f\ — f (xj). Podle (4.8) je N+(t) = fo + ŕ'Wo + UV/o + •••+('. |A"/o. (5.44) kde t = x~^° a (£) je zobecněný binomický koeficient. Pro uzlové body přitom platí Xj—Xj = h(i — j = 0,1,..., n. Ze vzorců (5.40) a (5.42) po úpravách pro o)'(xí) di(jL>rr{xi),i — 0,1, ..., n, dostaneme vyjádření q)'(xí) = (-ly-Hl (n-i)\hn9 co"{xí) = K-iy-U! (n - i)\hn~l {T - - J2 -) V = l 1 .7 = 1 1 ' (5.45) (5.46) Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 536 S využitím vzorce pro derivaci složené funkce dále dostaneme (vnitřní složka je t — (x — xq)/h): /.x d ,x d , , x dŕ ld ,x Ľ (x) = —N+(t) = -N+(t)— = T-N+(t) át áx n át áx d2 (5.47) L" (x) = ^N+(t) = f dx 1 d d , _ 1 d2 , _ át N+(t) = T-=N+(t) 1 & N+(t). h áx át háť áx h2át2 (5.48) ák 1 ák L(k)(x)=«N+{t)= a „ + áxk hkátk N+(ty (5.49) Nyní ze vzorců (5.41), (5.45) a (5.47) pro první derivaci v uzlovém bodě Xj vyjde, že 1 d /'(*.■) = j;-N+(i) + (-iy-Ul(n-i)lh (n + l)l 9 (5.50) kde £ G Int(xo,..., xn), i = 0,..., n. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 537 Obdobně ze vzorců (5.43), (5.45), (5.46) a (5.48) pro druhou derivaci v uzlovém bodě Xi vyjde, že 1 & N + (i)+2(-\)n-li\(n-i)\h n fin+2\^) h2áť + + 2(-l)»-íi! (ti - i)\hn~l (E - - E -) (n+2)1 (n+ 1)1 9 (5.51) kde £o> £i £ Int(xo,..., xn), i = 0,..., n. Z předchozího vzorce je vidět, že když bude počet uzlů n + l liché číslo a x\ bude prostřední uzel, bude koeficient u — ^ takže chyba bude řádu 0(hn), nikoli pouze 0(hn~l). (n+1)I nulový, S připravenými vzorci snadno odvodíme nejběžnější vzorce pro první a druhou derivaci využívající dva nebo tři po sobě jdoucí uzlové body. Odvození provedeme pro uzly x0, X\ resp. xo, X\, x2. Vzorce pro libovolnou po sobě jdoucí dvojici nebo trojici, které se z nich snadno přepíší, uvedeme nakonec v souhrnné tabulce. V dalším budeme předpokládat, že funkce /(x) má derivace potřebného řádu, viz věta 5.12. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 538 Vzorce pro numerickou derivaci používající dva uzly Pro n = 1 je podle vzorce (5.44) a tudíž N+(t) = /o + A/oř, tedy -N+(t) = A/„ = / - /„, át A^+(o) = ^+(i) = /1-/0. át át Ze vzorce (5.50) pro / = 0 vyjde /'(*o) = Ufi~ /o) + • 0! • 1! • h ^p-h 2! a pro / = 1 vyjde f'(x1) = l(fi- /o) + (-1)° • 1! • 0! • h ^ A_Jo _ h_ AlTL + h2f"^ Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 539 Vzorce pro numerickou derivaci používající tři uzly Pro n — 2 je podle vzorce (5.44) N + {t) = f0 + A fot + - A Vo (tz - t), 1 tedy ^-N+(t) = Af0+1- A2f0 (2í - 1) = /, - f0 + I (f2 - 2/, + /0)(2ŕ - 1) át 2 2 N+(t) = A2f0 = + f0, át2 a tudíž d ^(o) = "3/o + 4/1 ~ /2 dŕ d N+ = /,-4/1+3/2 dŕ iV+(l) = ——— , Ar+ d2 d2 át Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 540 Ze vzorce (5.50) pro / = 0 vyjde f'(xo) = -3/o + 4/j - h 2h -3/o + 4/j ~ h , h2 + (-1)2-0!-2!-/í2 ^—— pro z = 1 vyjde f'ixi) = 2h 21, -t/*' a pro / = 2 vyjde f>(X2) = /o-4/i + 3/2 + (_1)0.2!. 0!. h2 r® 2h 6 _ /o - 4/t + 3/2 /z2 ~ 2Ä +Ty (?)- Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 541 Konečně ze vzorce (5.51) pro / = 0 vyjde /"(*o) = pro / = 2 vyjde /2 - 2/i +/o 2 2 h2 ' 24 + 2(-l)2 • 0! • 2! • h ■ (0 - 1 - i) 7 ^ = z 6 /2"2^1 + /o + T/(4)(^-*/W(go)' + /"(*2) = /2 ~ 2/! + /o A2 + 2(-l)°-2!-0!-A /(4)(£i) 24 /'"(fo) + + 2(-l)°-2!-0!-A-(l +±-0) f2~2fhl + fo + h^ŕH^) + hr^) Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 542 a pro / = 1 vyjde h - 2/i + fo h2 + 2(—l)1 - 1! - 1! - A: /w(gi) 24 + + 2(—l)1 - 1! - 1! - Ä - (1 — 1) f2 ~ 2/i + f p h2 (4) -h2--12 7 Výsledek v uzlu X\ je ve shodě s komentářem za (5.51) (použili jsme tři uzly, což je lichý počet, a počítali druhou derivaci v prostředním z nich). Všimněte si, že u dvoubodových formulí je chyba řádu O (h), kdežto u tříbodových je řádu 0(h2) s výjimkou vzorců pro fřř(xo) a f "(x?), kde je také jen 0(h). Tyto vzorce by bylo možné odvodit rovněž pomocí Taylorova vzorce, viz oddíl 7.2.3. Na závěr uvedeme přehled všech osmi odvozených vzorců pro libovolné dvojice resp. trojice po sobě jdoucích uzlů. Indexaci zvolíme podle uzlu, v němž počítáme derivaci. O funkci /(x) se předpokládá, že má derivace potřebného řádu. Ve vzorcích pro druhou derivaci využívajících tři uzly můžeme podle věty 5.13 vynechat u derivací v krajních uzlech ve výrazu pro chybu člen s A2. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 543 /'(**) = f'(Xi) = f'(Xi) = f'(Xi) = f'(Xi) = f"(Xi) = /"(Xi) = /"(Xi) = fi+l~fi-\/"(^), Šf€(x,-,x,+1), fi~^~l +\f"(š), ^(Xi-UXi), ~3fl + " fi+1 + y /"(*). I é (*„x;+2), A2 — hf'"(jz), Še(xÍ9Xi+2). -Ä2--12 ^ ^' ^ (*í-i>*í+i)> /, - 2fi-x + /,-2 A2 (5.52) (5.53) (5.54) (5.55) (5.56) (5.57) (5.58) (5.59) Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 544 5.7 Podmíněnost numerické derivace a integrace V oddílu 1.1 jsme se zabývali otázkou chyb v numerické matematice. Ty pochází mimo jiné z následujících tří zdrojů: 1. chyby numerického modelu, vzniklé obvykle diskretizací, 2. zaokrouhlovací chyby při výpočtu vstupních hodnot, 3. zaokrouhlovací chyby při aritmetických operacích. Při numerickém výpočtu určitého integrálu nás především zajímaly chyby matematického modelu vzniklé diskretizací. Nepřesnosti funkčních hodnot nehrály takovou roli, protože jejich malé změny nemají významný vliv na hodnotu integrálu, jak jsme vysvětlili na začátku této kapitoly. Při numerickém výpočtu derivací je však situace podstatně odlišná, zaokrouhlovací chyby mají podstatný vliv na celkovou chybu výpočtu. Všimneme si podrobněji této problematiky. Pro jednoduchost zanedbáme zaokrouhlovací chyby při aritmetických operacích. Budeme opět předpokládat, že uzly Xo, X\, ..., xn jsou ekvidistantní s krokem h > 0 a označíme co(x) = (x — Xq) • • • (x — xn). Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 545 Při numerickém derivování nahrazujeme funkci /(x) interpolačním polynomem L (x) s chybou R(x), přičemž podle věty 4.4 pro dostatečně hladkou funkci /(x) platí f(x) = L(x) + R(x), kde R(x) = co(x) (n + 1)! a £ G Int(xo,..., xn, x) je vhodné číslo. Polynom L(x) pak derivujeme. Výraz R(x) představuje chybu numerického modelu při aproximaci funkce f(x) pomocí L(x). Samotné funkční hodnoty f i figurují v L(x), viz (4.3). Vyjádříme-li polynomy Lj (x) jako polynomy v proměnné t = nezávisí jejich hodnoty na délce kroku h (srovnejte s (5.44)). Omezíme-li se na interpolaci, tj. x G {xo,xn)9 zajímají nás hodnoty těchto polynomů pro t G (0, n). Není těžké přesvědčit se (např. pomocí vhodného programu CAS), že pro ne příliš velká n, což pro praktické použití stačí, nejsou hodnoty na tomto intervalu příliš velké. Proto při interpolaci funkčních hodnot f(x) pomocí interpolačního polynomu L(x) se malé chyby v f i na celkové chybě nepodílí zásadně a rozhodující vliv má chyba R(x). To už není pravda, když rovnost /(x) = L(x) + R(x) derivujeme. Ze vztahu (5.49) plyne, že k-tá derivace polynomu L(x) je rovna k-té derivaci Newtonova interpolač- Obsah Jdi na stranu \4 ►i Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 546 ního polynomu vpřed N+(t) (což je jen jinak zapsaný Lagrangeův polynom) násobené zlomkem 1/ hk. O derivacích polynomu N+(t) platí totéž, co bylo řečeno v předchozím odstavci — figurují v ní hodnoty f i, které jsou násobené nějakými polynomy proměnné t, jejichž hodnoty nejsou na intervalu (0, n) příliš velké. Malé chyby v hodnotách f i by tedy nevadily. Ale vseje násobené faktorem 1/ hk. Výsledek tudíž závisí na délce kroku h a pro malý krok se nepřesnosti ve funkčních hodnotách mohou zásadním způsobem zvětšit. Naproti tomu chyba numerického modelu R^k\x) se obecně zmenšuje s klesající délkou kroku h. Pro k = 1 a k = 2 je to vidět ze vzorců (5.34) a (5.35), ale platí to i pro vyšší derivace. Celková chyba se tudíž skládá ze dvou částí — chyby numerického modelu, která je přímo úměrná nějaké mocnině délky kroku A, a chyby ve vstupních hodnotách, která je nepřímo úměrná nějaké mocnině h. Jejich chování je zcela protichůdné. Zatímco první část celkové chyby se zmenšujícím se h klesá, druhá neomezeně roste a naopak, první se zvětšujícím se h roste a druhá klesá. To je příčinou toho, že numerický výpočet derivací je špatně podmíněná úloha. Podrobnější rozbor celé problematiky lze nalézt například v [3, str. 92] nebo [43, str. 102]. Obsah Jdi na stranu \4 ►i Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 547 Podíváme se podrobněji na nejjednodušší vzorec (5.52). Předpokládejme, že místo hodnot f i a fi+\ použijeme hodnoty ft = ft + s\ a fi+\ = fi+\ + s2, kde | ^ s, £2] = přičemž s > 0 je malé číslo charakterizující nepřesnost vstupních hodnot funkce f(x). Za přibližnou hodnotu derivace fř(xt) tedy prohlásíme číslo Ji _ fi + l — fi _ fi + l + g2 — fi — £l _ fi + l — fi _|_ £2 — £l h h h h Určíme rozdíl mezi hodnoíami f! a /'(x;). Podle (5.52) je kde£ G (xÍ9Xi+i). (5.60) Protože obecně £2 — £1 7^ 0, je pro malé h část chyby způsobená nepřesností vstupních hodnot velká, bude velká i relativní chyba a jde o špatně podmíněnou úlohu. Odhadneme velikost celkové chyby. Předpokládejme, že |/"0*0| | Mna intervalu {xj , Xi+1). Dostaneme \f!-f'{xi)\s £2 — £\ h + í|/"(f)lš| + ^=:í« Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 548 Vyšetříme průběh funkce g(h) pro h > 0. Vypočteme její derivaci a určíme stacionární body. Je 2č M m = -jr2 + T = o hopt — 2 M Jelikož g"(h) — As/ h3 > 0, je funkce konvexní, má v hopt globální minimum a klesá pro 0 < h ^ a roste pro h ^ Aopt. Hodnota globálního minima je g(A0pt) — VsM. Označme ještě g\(h) — 2s/hag2(h) — M h/2. Pak g (h) — g\(h) + g2(h), přičemž první sčítanec je klesající funkce a druhý je rostoucí funkce. Grafy všech tří funkcí jsou znázorněny na obr. 5.14. Existuje tudíž jakási optimální délka kroku Aopt. Volíme-li krok kratší, rychle narůstá část chyby způsobená nepřesností vstupních hodnot, volíme-li krok delší, narůstá chyba numerického modelu. Na základě podrobnějšího rozboru lze tvrdit, že mají-li hodnoty f i a fi+i určitý počet platných cifer, pak při volbě optimálního kroku je počet platných cifer aproximace f/ přibližně poloviční, dochází tedy k podstatné ztrátě přesnosti (viz [13, str. 64]). Přitom lepší výsledek (jinou volbou délky kroku h) nemůžeme dosáhnout. Obdobná situace je i u jiných vzorců. Proto platí, že numerická derivace je špatně podmíněnou úlohou. Obsah Jdi na stranu \< ►i Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 550 Podstatně jiná je situace v případě numerické integrace pomocí kvadraturní formule tvaru (5.1). Ukážeme, že zaokrouhlovací chyby při výpočtu vstupních hodnot nemají zásadní vliv, pokud jsou všechny koeficienty A\ kladné. Opět pro jednoduchost nebudeme uvažovat zaokrouhlovací chyby při aritmetických operacích. U jakékoliv prakticky použitelné kvadraturní formule očekáváme, že je přesná pro konstantní funkce. Volbou /(x) = l, x £ {a,b), dostaneme ze vztahu (5.2), že ŕ A0 + Ai H-----\-An = / áx — b — a. J a Předpokládejme nyní, že místo přesných hodnot f = f(xt) použijeme hodnoty f i — ji + st, i = 0,1,..., n, přičemž \st \ ^ s, kde s > 0 je malé číslo charakterizující nepřesnost vstupních hodnot funkce /(x). Za přibližnou hodnotu integrálu tedy prohlásíme číslo Q(f) = Aofl + Aj2 + ••• + Anfn = = A0f0 + Aifi + ••• + Anfn + ^0^0 + AiSi + ••• + AnSn = = Q(f) + ^o^o + Aiei + • • • + Anen. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 551 Odhadneme rozdíl mezi hodnotami Q(f) a Q (f). Vyjde IÔ(/)-Ô(/)l = lAoeo + A^t+.-. + Anenl í ^ \A0\\s0\ + Milkil +----h \An\\sn\ ^ ^(A0 + Ai-\-----h i4w)e = e(b - a). Využili jsme přitom předpokladu, že koeficienty A\ jsou kladné. Předchozí odhad nezávisí ani na počtu uzlových bodů, ani na délce kroků. Pro malé s je tudíž vliv nepřesností vstupních hodnot nepodstatný, rozhodující podíl na celkové chybě má chyba numerického modelu. To je ve shodě s tím, co jsme o výpočtu určitého integrálu zmínili na začátku této kapitoly. Předchozí zdůvodnění ukazuje, proč je pro dobrou podmíněnost numerické integrace důležité, aby koeficienty kvadraturní formule byly kladné. Tento požadavek splňují např. Gaussovy-Legendrovy formule, viz vzorec (5.24). Jiná je situace u Newtonových-Cote-sových formulí. Lze ukázat, že pro uzavřené formule jsou všechny koeficienty kladné pouze pro n = 1,2,..., 7 a n = 9, viz [43, str. 179]. Je to další důvod, proč není vhodné používat tyto formule pro vysoká n. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 552 Pojmy k zapamatování — kvadraturní formule — chyba kvadraturní formule — stupeň přesnosti kvadraturní formule — uzavřené Newtonovy-Cotesovy kvadraturní formule — lichoběžníkové, Simpsonovo, Simpsonovo 3/8 a Boolovo pravidlo — otevřené Newtonovy-Cotesovy kvadraturní formule — obdélníkové, otevřené lichoběžníkové a Milnovo pravidlo — složené Newtonovy-Cotesovy kvadraturní formule — Gaussovy kvadraturní formule — Legendrovy polynomy — Gaussovy-Legendrovy kvadraturní formule — Rombergova kvadratura — numerická derivace — vliv zaokrouhlovacích chyb na numerickou derivaci a integraci Obsah Jdi na stranu H < ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 553 Kontrolní otázky 1. Proč je nutné (resp. vhodné) v některých případech použití numerické integrace? 2. Jaký je princip numerického integrování? 3. Napište obecný tvar kvadraturního formule. 4. Jak je definován stupeň přesnosti kvadraturní formule? 5. Jaký maximálni stupeň přesnosti může mít kvadraturní formule používající n + 1 uzlů? 6. Napište, jakým typem funkce nahrazujeme integrand při použití uzavřených Newtonových--Cotesových formulí pro n = 1,2. 7. Napište, jakým typem funkce nahrazujeme integrand při použití otevřených Newtonových--Cotesových formulí pro n = 2,3,4. 8. V čem spočívá rozdíl při použití uzavřených a otevřených Newtonových-Cotesových formulí? 9. Pro jaký počet uzlů n se nejčastěji používají Newtonovy-Cotesovy formule? 10. Proč se nepoužívají Newtonovy-Cotesovy formule pro velká nl 11. Popište, případně načrtněte princip lichoběžníkového pravidla. 12. Popište, případně načrtněte princip Simpsonova pravidla. 13. Pro polynomy jakého stupně je přesné lichoběžníkové pravidlo? Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 554 14. Pro polynomy jakého stupně je přesné Simpsonovo pravidlo? 15. Proč používáme při integraci častěji složené kvadraturní formule, a ne základní kvadraturní formule? 16. Vysvětlete princip složených kvadraturních formulí. 17. Načrtněte princip složeného Simpsonova pravidla. 18. Jak musíme volit uzly kvadraturní formule, abychom dosáhli maximálního možného stupně přesnosti? 19. Co jsou to Gaussovy-Legendrovy kvadraturní formule? 20. Jak najdeme koeficienty Gaussových-Legendrových kvadraturních formulí? 21. Jaký je rozdíl mezi Newtonovými-Cotesovými a Gaussovými kvadraturními formulemi? 22. Jakou výhodu má použití Gaussových kvadraturních formulí oproti Newtonovým-Cotesovým formulím? 23. Na jakém principu je založena Rombergova metoda? 24. Která z probíraných metod pro numerickou integraci nepožaduje použití ekvidistantních uzlů? 25. Na jakém principu je založené numerické derivování? 26. Jak lze vyjádřit chybu modelu při numerickém derivování? 27. Vysvětlete, proč je numerická derivace špatně podmíněná úloha. Jak je tomu u integrace? Obsah Jdi na stranu \< ►i Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 555 Testy ke kapitole 5 Vyberte správnou odpověď (právě jedna je správná). Za chybnou odpověď se neodečítají body. Test lze kdykoli tlačítky na konci ukončit a nechat si vypsat správné odpovědi. Testi 1. (lb.) Obecná kvadraturní formule se čtyřmi ekvidistantními uzly využívající oba krajní body integračního oboru, která aproximuje integrál j f (x) dx, má tvar Q(f) = f (-2) + /(-l) + /(O) + /(l). Q(f) = A0f(-2) + Aif{-\) + A2f(0) + A3f(l). Q(f) = Aof(0) + A,f(\) + A2f(2) + A3f(3). Q(f) = A0(f-2) + A^f-i) + A2(f0) + Asif,). Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 556 n 2. (lb.) Kvadraturní formule Q(f) = A\ f (x\) má stupeň přesnosti N, jestliže i=0 R(\) = ... = R(XN) = 0 a R(xN+1) ^ 0, kde R(f) je vzorec pro chybu kvadraturní formule. R(\) = ... = R(xN~1) = 0 a R(xiy) ^ 0, kde R(f) je vzorec pro chybu kvadraturní formule. .N* používá N + l uzlových bodů. má N koeficientů A\,i — 0,..., N — 1 3. (lb.) Mezi otevřené Newtonovy-Cotesovy kvadraturní formule nepatří obdélníkové pravidlo, otevřené lichoběžníkové pravidlo, Simpsonovo pravidlo, Milnovo pravidlo. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 557 4. (lb.) Uzavřená Newtonova-Cotesova kvadraturní formule řádu n — 3 používající co nej menší počet uzlů má 4 uzlové body a nahrazuje funkci /(x) polynomem 3. stupně, 3 uzlové body a nahrazuje funkci /(x) parabolou, 2 uzlové body a nahrazuje funkci /(x) parabolou, 2 uzlové body a nahrazuje funkci /(x) přímkou. 5. (lb.) V případě, že zvolíme pevně uzly X\,i — 0,..., n, nějaké kvadraturní formule, která má stupeň přesnosti alespoň n, pak koeficienty A\ jsou určeny jednoznačně, nezávisí na nahrazované funkci /(x). koeficienty závisí na nahrazované funkci /(x). koeficienty A\ volíme tak, aby jejich součet byl roven jedné, koeficienty volíme tak, aby A\ — An-\, i — 0,..., n. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 558 6. (lb.) Je možné pomocí obdélníkového pravidla nahradit polynom 1. stupně tak, aby byla chyba nulová? Ano, ale jen když je grafem polynomu vodorovná přímka. Ne. Polynom 1. stupně má za graf přímku, která obecně nemůže splývat s grafem konstantní funkce, kterou danou funkci nahrazujeme při použití obdélníkového pravidla. Ano. Pro lichý počet n + 1 uzlových bodů souměrných kolem středu integračního intervalu je stupeň přesnosti alespoň n + 1. Ne. Stupeň přesnosti je vždy o jedničku menší než počet použitých uzlových bodů. 7. (lb.) Které kvadraturní formule dosahují při daném počtu uzlových bodů maximálního stupně přesnosti? Uzavřené Newtonovy-Cotesovy Rombergovy formule, formule. Otevřené Newtonovy-Cotesovy Gaussovy-Legendrovy formule, formule. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 559 8. (lb.) Při konstrukci složených kvadraturních formulí obvykle nepoužíváme Gaussovy formule, protože je obtížné odhadnou velikost jejich chyby. takto vytvořené metody nejsou numericky stabilní. nepoužívají ekvidistantní uzly, což je nevýhodné, když chceme např. zdvojnásobit počet intervalů. mají nízký stupeň přesnosti. 9. (lb.) Kvadraturní formule získaná integrací interpolačního polynomu a používající lichý počet n + l uzlových bodů, které jsou rozloženy souměrně kolem středu intervalu {a,b), má stupeň přesnosti alespoň n + l. alespoň n + 2. alespoň 2/2 + 1. alespoň 2n + 2. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 560 10. (lb.) O kořenech Legendrových polynomů platí: Všechny jsou reálné, jednoduché, jsou symetrické vzhledem k počátku a alespoň dva leží vně otevřeného intervalu (—1,1). Všechny jsou reálné, jednoduché, jsou symetrické vzhledem k počátku a leží v otevřeném intervalu (—1,1). Aspoň jeden je komplexní s nenulovou imaginární částí a všechny leží uvnitř jednotkového kruhu se středem v počátku. Všechny jsou reálné, jsou symetrické vzhledem k počátku a počet vícenásobných kořenuje lichý. 11. (lb.) Na čem je založeno numerické derivování funkce /(x)? Na náhradě funkce /(x) kubickým splajnem. Na náhradě funkce /(x) polynomem získaným metodou nejmenších čtverců. Na náhradě funkce /(x) interpolačním polynomem. Na sestavení vhodné diferenciální rovnice pro funkci /(x). Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 561 12. (lb.) Numerická derivace je obecně špatně podmíněná úloha. obecně velmi dobře podmíněná úloha. je dobře podmíněná úloha, když počítáme první derivaci. 13. (lb.) Která vlastnost zaručuje, že je kvadraturní formule Q(f) = Aof (xo) + • • • + + Anf(xn) dobře podmíněná? Všechny koeficienty A i jsou Všechny koeficienty A i jsou menší než celočíselné. jedna. Všechny koeficienty A\ jsou stejné. Všechny koeficienty A\ jsou kladné. Správně zodpovězené otázky: Získané body: Procento úspěšnosti: Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 562 Test 2 1 4 1 1. (lb.) Simpsonova kvadraturní formule Q (f) = — f (—1) + -/(0) + -/(1), kterou aproximujeme integrál j (x4 — 3x + 2)dx, má stupeň přesnosti roven 4, 3, 2, 1. 2. (lb.) Proč používáme složené kvadraturní formule? Abychom zmenšili velikost chyby, které se při náhradě funkce f(x) dopouštíme. Abychom zvýšili stupeň přesnosti kvadraturní formule. Abychom mohli integrovat i funkce, které nejsou na intervalu {a, b) spojité. Abychom při náhradě funkce /(x) mohli použít polynomy vyšších stupňů. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 563 3. (lb.) Newtonovy-Cotesovy kvadraturní formule, které zahrnují mezi uzly i krajní body intervalu (a, b), tj. Xq — a a xn — b, se nazývají otevřené. úplné. uzavřené. periodické. 4. (lb.) V případě, že jsme použili lichoběžníkové pravidlo, pak jsme funkci /(x) na intervalu {a, b) nahradili přímkou rovnoběžnou s osou x, jsme interval {a, b) rozdělili na dva podintervaly a na každém jsme funkci /(x) nahradili přímkou, přičemž tyto přímky nesplývají. jsme funkci /(x) na intervalu {a, b) nahradili přímkou, 5. (lb.) Vyberte nepravdivou odpověď: Mezi kvadraturní formule, jejichž koeficienty Aj získáme integrací interpolačního polynomu, který je určen body [xí , /(xj)], i = = 0,..., n, patří Newtonovy-Cotesovy kvadraturní Gaussovy kvadraturní formule, formule, Lagrangeovy kvadraturní formule. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 564 6. (lb.) Je možné pomoci Simpsonova pravidla nahradit polynom 3. stupně tak, aby byla chyba nulová? Ano, ale jen když je grafem polynomu parabola. Ne. Polynom 3. stupně má za graf kubickou křivku, která obecně nemůže splývat s grafem kvadratické funkce, tj. parabolou, kterou danou funkci nahrazujeme při použití Simpsonova pravidla. Ne. Stupeň přesnosti je vždy o jedničku menší než počet použitých uzlových bodů. Ano. Pro lichý počet n + 1 uzlových bodů souměrných kolem středu integračního intervalu je stupeň přesnosti alespoň n + 1. 7. (lb.) Rombergova kvadratura je založena na asymptotickém vzorci pro složené otevřené lichoběžníkové pravidlo, asymptotickém vzorci pro složené lichoběžníkové pravidlo, asymptotickém vzorci pro složené obdélníkové pravidlo, asymptotickém vzorci pro složené Simpsonovo pravidla. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 565 8. (lb.) Při konstrukci složených kvadraturních formulí obvykle nepoužíváme otevřené Newtonovy-Cotesovy formule, protože mají nízký stupeň přesnosti. je obtížné odhadnou velikost jejich chyby. takto vytvořené metody nejsou numericky stabilní. nepoužívají krajní body intervalu, což je nevýhodné když chceme např. zdvojnásobit počet intervalů. 9. (lb.) Kvadraturní formule používající n + l uzlových bodů, může mít stupeň přesnosti nejvýše n — 1. nejvýše 2/2 — 1. nejvýše 2n. nejvýše 2n + 1. nejvýše n. nejvýše n + l. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 566 10. (lb.) Má-li kvadraturní formule používající n + 1 uzlů stupeň přesnosti aspoň n, musí se uzly shodovat s kořeny některého Legendrova polynomu. nejsou její koeficienty určeny jednoznačně. lze její koeficienty získat integrací speciálních Lagrangeových polynomů Li (x) určených uzly formule. musí se jednat o některou Newtonovu-Cotesovu kvadraturní formuli. 11. (lb.) Proč je numerická derivace špatně podmíněná úloha? Protože s rostoucí délkou kroku h roste chyba numerického modelu. Protože s klesající délkou kroku h roste chyba numerického modelu. Protože s klesající délkou kroku h klesá chyba způsobená nepřesnostmi vstupních hodnot. Protože s klesající délkou kroku h roste chyba způsobená nepřesnostmi vstupních hodnot. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerická derivace a integrace 567 12. (lb.) Nechť funkce f (x) a g (x) mají na intervalu {a, b) spojitou první derivaci. Vyberte pravdivé tvrzení. nb nb Jestliže se málo liší jejich určité integrály / / (x) áx a / g (x) áx, liší se málo Ja Ja i jejich derivace. Jestliže se /(x) a g (x) málo liší, mohou se jejich derivace lišit hodně. ŕ Jestliže se /(x) a g(x) málo liší, mohou se jejich určité integrály / /(x) áx J a ŕ a / g(x) áx lišit hodně. J a Jestliže se /(x) a g(x) málo liší, liší se málo i jejich derivace. Správně zodpovězené otázky: Získané body: Procento úspěšnosti: Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž 568 Kapitola 6 Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic Cíle Po prostudování této kapitoly budete schopni vysvětlit: • co je to obyčejná diferenciální rovnice (ODR) prvního řádu v implicitním resp. explicitním tvaru a co je její řešení, • jak vypadá Cauchyova počáteční úloha pro ODR prvního řádu, • proč je nutné hledat řešení počáteční úlohy numericky a jaký je princip numerického řešení, Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 569 jaký je rozdíl mezi jednokrokovými a vícekrokovými metodami, jaký je obecný tvar jednokrokové explicitní a implicitní metody, co je to lokální a globální chyba, řád, konvergence a A-stabilita jednokrokové metody, co jsou to metody Rungeho-Kutty a jaký je jejich princip, jaký je obecný tvar lineární vícekrokové explicitní a implicitní metody, co je to lokální a globální chyba, řád, konvergence a A-stabilita lineární vícekrokové metody, co jsou Adamsovy-Bashforthovy a Adamsovy-Moultonovy metody a metody zpětného derivování a jaký je princip jejich odvození, co jsou metody prediktor-korektor, čemu se říká tuhé problémy a na co je nutné dbát při jejich řešení, jak se výsledky pro jednu ODR prvního řádu přenesou na soustavy ODR prvního řádu, jak přepíšeme jednu ODR vyššího řádu na soustavu ODR prvního řádu. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 570 Jde o jednu z nej důležitějších úloh numerické matematiky, protože diferenciální rovnice patří k nej významnějším matematickým modelům reálných problémů. Přitom pouze malá část obyčejných diferenciálních rovnic má řešení, které lze vyjádřit v uzavřeném tvaru, tj. pomocí elementárních funkcí. 6.1 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu 6.1.1 Základní vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic 1. řádu Připomeneme si základní poznatky z tzv. kvalitativní teorie obyčejných diferenciálních rovnic. Podrobněji viz [34]. • Rovnice F(x, y, y') — 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu v implicitním tvaru s neznámou funkcí y(x) nezávisle proměnné x. Příkladem takové rovnice je ln(x2 - yyf + y2) - (j/)3 + x sin(xyj/) - y/y - yr = 0. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 571 Pro vyšetřování rovnic je důležitý případ, kdy se dá osamostatnit první derivace y\ tj. rovnice má tvar y' = f(*,y). (6.1) O takové rovnici říkáme, že je v explicitním tvaru. O funkci f(x,y) předpokládáme, že je definována na nějaké otevřené množině D C R2. Příklady takových rovnic jsou i 2,2 i y y = x + y , v = - x y' = y2- yr — sinxy, yr — x2 — y2 apod. Řešením]^ funkce y (x) definovaná na intervalu I, která splňuje rovnici (6.1). Musí tedy platit, že [x, y (x)] G D pro x G I (jinými slovy, graf funkce y (x) leží v množině D — viz obr. 6.1 a)) a y'(x) = f (x, y (x)) pro každé x G I. V každém bodě [x, y (x)] grafu řešení tedy platí, že tečna ke grafu v tomto bodě má směrnici rovnou číslu / (x, y (x)). Protože funkci f (x, y) známe, můžeme sestrojit (teoreticky) v každém bodě [x, y] vázaný vektor, jehož směrnice je f (x, y). Graf řešení se musí v každém bodě, kterým prochází, dotýkat tohoto vektoru. Tyto vektory tvoří směrové pole diferenciální rovnice. Na obr. 6.2, 6.3 a 6.4 jsou znázorněna směrová pole Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 572 a) Řešení diferenciální rovnice b) Cauchyova počáteční úloha Obr. 6.1 a několik řešení šesti diferenciálních rovnic. Všimněte si, že u rovnic na obr. 6.3 a) až 6.4 b) není množina D rovna celé rovině M2 (určete definiční obory pravých stran těchto rovnic). Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 573 ^//// a) y' = x2 + y2 b) y' = sin(xy) Obr. 6.2: Směrová pole a řešení diferenciálních rovnic — část 1 Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 574 a)/ = 2e-*-(l + l/*)3> b) y' = l/(x + 2y) Obr. 6.3: Směrová pole a řešení diferenciálních rovnic — část 2 Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 575 a ) y' = V9-X2-v2 b) y' = v/y-x2/2 + 3 Obr. 6.4: Směrová pole a řešení diferenciálních rovnic — část 3 Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 576 Rovnice y' — f (x, y) má obvykle nekonečně mnoho řešení. Hledáme tedy řešení, které splňuje nějakou dodatečnou podmínku. Tato podmínka by měla jednoznačně určit jediné řešení. My budeme hledat řešení, jehož graf prochází zadaným bodem [xo, y o] - Chceme tedy, aby platila tzv. počáteční podmínka y(xo) = y o — viz obr. 6.1 b). Úloha, kterou budeme řešit, má tudíž tvar y'(x) = yo- (6.2) Říká se jí obvykle Cauchyova počáteční úloha. Připomeňme si, jaké vlastnosti funkce f(x,y) zaručují, že Cauchyova počáteční úloha (6.2) má řešení a že toto řešení je jediné. 1) Z teorie obyčejných diferenciálních rovnic je známo, že spojitost funkce f(x,y) zaručuje existenci řešení počáteční úlohy. Toto řešení ale nemusí být jediné. Pak říkáme, že v bodě [xo, y o] je porušena jednoznačnost. Protože všechna řešení počáteční úlohy (6.2) musí mít v bodě [xq, y o] Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic Sil společnou tečnu t, musí dojít k jakémusi „rozvětvení" — viz obr. 6.5. Numerické hledání řešení je pak velmi problematické. Obr. 6.5: Porušení jednoznačnosti v bodě [xq, y o] Např. počáteční úloha y' — 2 ^/\y~\, y (0) = 0, má spojitou pravou stranu f(x,y) = = 2^/\y~\ v množině D = M2. Uvedená úloha má ale nekonečně mnoho řešení. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 578 Jedním je nulová funkce y(x) = 0, dalšími řešeními jsou funkce y c = (x c) , X c, 0. x < c, kde c G Mj" je libovolné číslo. Řešení jsou znázorněna na obr. 6.6. Že jde opravdu o řešení, se snadno ověří dosazením do rovnice. 2) Standardní vlastností, která zaručuje, že počáteční úloha (6.2) má jediné řešení, je Lipschitzova podmínka (existuje konstanta L > 0 taková, že je v množině D splněna nerovnost \f(x, y\) — f(x, y2)\ = L\y\ — y2\; stačí, aby tato vlastnost platila lokálně). K platnosti této podmínky stačí, aby v okolí bodu [xo, y o] byla spojitá parciální derivace j^f(x,y). Tuto podmínku rovnice, se kterými se v aplikacích setkáváme, většinou splňují. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 580 6.1.2 Numerické řešení diferenciálních rovnic 1. řádu Budeme hledat řešení y (x) rovnice y' — f {x, y) splňující počáteční podmínku y (xo) = = y o na intervalu {a,b), kde a — Xq — viz obr. 6.7 a). Jde tedy o řešení počáteční úlohy (6.2) vpravo od bodu Xq. (Podobně bychom mohli hledat řešení vlevo od tohoto bodu.) Zajímá nás hodnota y(b). Musíme mít ovšem zaručeno, že řešení na intervalu {a, b) opravdu existuje! Příklad 6.1 Najděte řešení počáteční úlohy y' — y2, y (2) = 1. Řešení. Jde o obyčejnou diferenciální rovnici se separovanými proměnnými. Zřejmě platí f(x,y) = y2, |£ = 2y. Za množinu D lze volit celou rovinu M2. Protože funkce / i její parciální derivace jsou na D spojité, prochází každým bodem roviny právě jedno řešení. Rovnice má zřejmě řešení y = 0. Pro y ^ 0 separací a integrací vyjde: áy_ = 2 áx áy 1 y = X + c — áx i --= X + C, C G M, y Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 581 Z počáteční podmínky y (2) = 1 dostaneme: 1 = — 1 2 + c c = -3 y (x) = - x — 3 Řešení (větev rovnoosé hyperboly) je znázorněno na obr. 6.7 b). Jeho maximálním definičním oborem je interval (—oo, 3). Tedy nelze hledat řešení např. na intervalu (2; 4)! A V podobných případech počítačový program občas najde nějaké „řešení", ale pochopitelně se jedná o nesmysl. Je na uživateli, aby takovou věc odhalil, výstupu z počítače nelze slepě věřit. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 583 Princip numerického řešení Zvolme body a — x o < x\ < ••• < xn — b. Numerickým řešením počáteční úlohy (6.2) rozumíme nalezení přibližných hodnot y(xt), které označíme y i. Body x i nazýváme uzlové body nebo uzly. Zdůrazněme, že obecně platí pouze y(xt) & y i. Jde tudíž o nalezení tabulky hodnot Xf x0 X\ ... Xn yo yi ... yn Výsledek je znázorněn na obr. 6.8. Označme Xj — Xj-\ = hj,i — 1,..., n. Čísla h i nazýváme kroky. Obecně nemusí být stejné. Pokud jsou stejné, nazývá se dělení ekvidistantní a platí h i — h — . Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 584 Obr. 6.8: Princip numerického řešení počáteční úlohy y' = f(x,y), y(xo) = y o y(x) je přesné řešení, jehož analytický vzorec obecně neznáme. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 585 Poznámka 6.2 i) Pochopitelně bychom nejraději měli analytický vzorec řešení. Řešení ale ve většině případů nelze popsat elementárními funkcemi. Proto se musíme uskrovnit. Místo vzorce dostaneme numerickým řešením hodnoty řešení y (x) pouze na konečné množině uzlových bodů a k tomu ještě jen přibližně. Nic lepšího ale najít neumíme. ii) I když nás v některých případech zajímá pouze hodnota y(b), musíme najít hodnoty i v ostatních uzlových bodech. Najít přímo y(b) neumíme. Naopak lze čekat, že čím více uzlových bodů zvolíme mezi a a b a čím menší budou kroky, tím lepší přibližnou hodnotu pro y(b) dostaneme. O tom budeme mluvit v dalším textu. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 586 Klasifikace metod Metody dělíme na jednokrokové a vícekrokové. Připomeňme, že hodnota y(xo) je známá a je rovna číslu yo', to říká počáteční podmínka y(xo) = Jo- Jednokrokové metody Hodnota yt+\ se počítá z jediné hodnoty y i, i středně předcházejícímu uzlovému bodu. Tedy • ze známé hodnoty y o počítáme ji, • z yi pak počítáme y2, • z y2 pak počítáme y 3 atd. = 0,..., n — 1, která odpovídá bezpro- Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 587 Vícekrokové metody K výpočtu hodnoty yi+\,i — 0,..., n — 1, se používá více hodnot, které odpovídají předcházejícím uzlovým bodům. Obecná k-kroková metoda, kde k G N, k ^ 2, počítá yt+\ z k hodnot y i, ,..., j^-fc+i, / = k — 1,..., n — 1, odpovídajících předcházejícím k uzlovým bodům. Např. pro k — 3, tj. tříkrokovou metodou, • ze tří hodnot y o, y\ a y2 počítáme y$, • ze tří hodnot y\, y2 a y3 počítáme y4, • ze tří hodnot y2, y3 a y4 počítáme y5 atd. Tedy obecně yt+\ počítáme ze tří hodnot y i-2, yi-i a y i, i — 2,..., n — 1. Zadání počáteční úlohy však obsahuje jen hodnotu jo- Abychom mohli odstartovat některou /^-krokovou hodnotu, kde k ^ 2, musíme nějak určit hodnoty y\, y2,..., Jjt-i • K tomu se použije nějaká jednokroková metoda. Tyto hodnoty musíme určit co nejpřesněji! „Pokazíme-liu numerické řešení hned na začátku, je zbytečné potom nasazovat nějakou sofistikovanou vícekrokovou metodu a počítat další hodnoty z výchozích špatných hodnot. Konkrétními vzorci pro jednokrokové i vícekrokové metody se budeme zabývat v dalších odstavcích. Obsah Jdi na stranu \4 ►i Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 588 6.1.3 Jednokrokové metody Připomeňme, že řešíme počáteční úlohu y' — f(x,y), y(xo) = y o, na intervalu {a,b). Přitom a — Xq < X\ < ••• < xn-\ < xn — b, h\ — X\ — X\-\, kde / = 1,...,n, jsou kroky a y i jsou přibližné hodnoty řešení y(x) v uzlových bodech x i, tj. y i & y(xt), i = 1,..., n. Metody rozdělíme na dva typy: explicitní a implicitní. Obecná explicitní jednokroková metoda se zapisuje ve tvaru yi+\ = yi + hi+i oo bude platit h -> 0. Chtěli bychom, aby se přitom globální chyby e* zmenšovaly. Zajímá nás proto veličina max{|ei e„|} = max{|j/(xi) - yt\,..., \y(xn) - yn\}. Řekneme, že metoda je konvergentní, jestliže pro všechny počáteční úlohy s dostatečně hladkou pravou stranou f(x,y) platí lim max{|j/(xi) - yx\,..., \y(xn) - yn\) = 0. Lze dokázat následující výsledek (viz [52, str. 478]): Je-li jednokroková metoda řádu alespoň jedna, pak je konvergentní. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 601 Stabilita metody Myšlenka, na níž je založen pojem, který si níže zavedeme, je velmi prostá. Budeme uvažovat jednoduchou testovací diferenciální rovnici s počáteční podmínkou / = Ay, y(0) = 1, (6.7) kde A je reálný nebo komplexní parametr, Re A < 0. Snadno najdeme její explicitní řešení y (x) = eXx. V případě, že A = a+/3i, dostaneme s použitím Eulerova vztahu, že y (x) = = qxx — qax cos j5x-\-ieax sin /3x, odkud |y(x)\ = yje2ax cos2 fix + e2ax sin2 fix — — qax (symbol i značí komplexní jednotku). Protože je Re A — a < 0, platí lim y(x) = 0. Od dobré numerické metody je přirozené očekávat, že při konstantním kroku h > 0 bude dávat řešení mající touž vlastnost, tedy yi -> 0 pro Xi — ih -> oo. (6.8) Označme Q množinu všech komplexních čísel z tvaru z = A/z, kde pro dvojici A, h dává daná numerická metoda pro testovací úlohu (6.7) řešení mající vlastnost (6.8). Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 602 (Jelikož předpokládáme, že Re A < 0 a h > 0, zajímají nás zejména čísla z — A/z, která leží vlevo od imaginární osy.) Množina Í2 se nazývá oblast absolutní stability uvažované numerické metody. Průnik množiny Í2 se zápornou částí reálné osy se nazývá interval absolutní stability. Numerická metoda se nazývá A-stabilní, jestliže Q obsahuje celou zápornou komplexní polorovinu C_ = {Rez < 0}. Velikost oblasti absolutní stability dává omezení na délku kroku h, který může být použit při splnění vlastnosti (6.8). Čím menší tato množina je, tím musí být při daném A krok h kratší. Nejlépe to demonstruje následující příklad. Příklad 6.4 Určete oblast a interval absolutní stability explicitní a implicitní Eulerovy metody. Řešení. Explicitní Eulerova metoda: Ze vzorce (6.4) dostáváme pro počáteční úlohu (6.7) yt+i = yt + hXyt = yi(l + A/z), y0 = 1, Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 603 takže Vi = 1 + Xh, y2 = (l + Mi)2,..., yt = (1 + Xh)\ Aby yt -> 0 pro / -> oo, musí platit |1 + Xh\ < 1, tj. |1 + z\ < 1, kde z = Xh. Oblast absolutní stability Í2 je tedy otevřený jednotkový kruh se středem v bodě [—1, 0] a interval absolutní stability je (—2,0). Tato metoda tudíž není A-stabilní (viz obr. 6.12 a)). Implicitní Eulerova metoda: Ze vzorce (6.6) dostáváme pro počáteční úlohu (6.7) yt+i = y i + hXyi+i, y0 = 1 yt+i = yi i -Xh 9 takže 1 1 1 Vi = y 2 = yi = l-Xh1 (l-Xh)2""7 Jl (l-AA)1 Abyj; -^-Oproz -> oo, musí platit 1/| 1 —Xh | < l,tj. |1— z\ > 1, kde z = Xh. Oblast absolutní stability Í2 je proto vnějšek otevřeného jednotkového kruhu se středem v bodě [1,0] a obsahuje zřejmě celou zápornou komplexní polorovinu C_. Interval absolutní stability je (—oo, 0). Tato metoda je tudíž A-stabilní (viz obr. 6.12 b)). Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 605 Zvolme např. A = —50. Řešení y (x) = e-50* počáteční úlohy (6.7) se s rostoucím x velice rychle zmenšuje a brzy je téměř nulové. Abychom pomocí explicitní Eulerovy metody dostali hodnoty y i, pro něž y i -> 0 pro / -> oo, musíme krok h volit tak, aby číslo — 50/z leželo v intervalu (—2,0), tj. h < 0,04. Tedy přes skutečnost, že přesné řešení je téměř nulové, musíme krok volit velice malý. Oproti tomu u implicitní Eulerovy metody lze krok h volit zcela libovolně. A Situace popsaná v předchozím příkladu je typická nejen pro zmíněné Eulerovy metody. Implicitní jednokrokové metody mají obecně daleko větší oblast absolutní stability, takže je možné volit mnohem delší kroky. Tím se snižuje počet aritmetických operací potřebných k nalezení hodnoty yn & y(b). Přestože je nutné v každém kroku implicitní metody řešit obecně nelineární rovnici, je jejich použití mnohdy daleko účinnější. Doposud jsme předpokládali, že počítáme bez zaokrouhlovacích chyb, a věnovali jsme se jen chybám metod. V praxi však k zaokrouhlování dochází. Obecně při zmenšování kroku h se zmenšuje globální chyba metody, ale zvětšuje se zaokrouhlovací chyba (což je pochopitelné, protože se provádí více aritmetických výpočtů). Celková chyba je pak jejich součtem. Je proto potřeba najít vhodný kompromis, aby některá z chyb výrazně nepřevládla a neznehodnotila zásadně výsledek. Obsah Jdi na stranu \4 ►i Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 606 6.1.5 Metody Rungeho-Kutty Důležitou skupinu jednokrokových metod navrhli Runge1 a Kutta2. Při výpočtu hodnoty yt+\ se vypočítají hodnoty směrového pole, tj. funkce f(x,y),v několika vhodně zvolených pomocných bodech, které jsou rozmístěny kolem bodu [xj , j^]. Počet pomocných bodů udává tzv. stupeň dané metody. Tyto hodnoty se pak zprůměrují (udělá se jejich vážený průměr) a výsledek se použije jako směrnice X Obr. 6.13: Princip metod Rungeho-Kutty s = 9 (devítistupňová metoda) A f = [Xj,Yj],i = 1..., 9 (pomocné body) ľ = ľi /(^i» J^i) H-----1- Y9Í(X9, Y9) (směrnice přímky p) Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 609 Abychom dostali konkrétní metodu, je třeba vhodně určit koeficienty ar, f5rt a yt, r,t — 1, ..., s. Snahou je dosáhnout toho, aby metoda měla co nej vyšší řád. Postup je založen na Taylorově rozvoji lokální diskretizační chyby. Odvození je technicky velice komplikované (viz např. [7, str. 150], [9, str. 17], [23], [37, str. 165] nebo [43, str. 219]). Obdržíme soustavu rovnic pro neznámé koeficienty. Ty nejsou určeny jednoznačně, zůstanou volné parametry, které se volí tak, aby metoda měla další dobré vlastnosti (stabilita, vyladění chyby apod.). V praxi se používají metody pro stupeň s roven dva až třináct. Koeficienty se zapisují do tzv. Butcherovy1 tabulky: Pu P12 ■ • • Pu a2 P21 P22 ■ Pis as Psi Psi ■ •• Pss Yi Y2 ■ ■ ■ Y s 1 J( r (1933) (čti bučr) — novozélandský matematik, zabývá se numerickým řešením obyčejných diferenciálních rovnic. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 610 Obecně platí, že y \ + y 2 H-----h ys = 1 • Čísla y t mohou být nulová i záporná. Navíc pro všechny prakticky používané metody platí Oír = Pri H-----h P /* — 1 ^ • • • ^ S i (6.10) V dalším budeme předpokládat, že je tato vlastnost splněna. Metoda je explicitní, pokud má matice (Prt) nenulové prvky pouze pod hlavní diagonálou. Hodnoty k\,..., ks se postupně snadno vypočítají. S ohledem na zmíněný předpoklad totiž platí: ai=0 + 0 + — + 0 + 0 = 0, Oŕ2 = j821+0 + -»+0 + 0 = j821, 0Í3 = Psi + P32 + • • • + 0 + 0 = /33i + /332, s. Pokud jde o konvergenci a její rychlost, lze dokázat, že metoda Rungeho-Kutty řádu p má pro diferenciální rovnici s dostatečně hladkou pravou stranou f(x,y) globální diskre-tizační chybu e* = y (xi) — yt — 0(hp), viz [9, str. 20] nebo [57, str. 41]. Dále si všimneme stability těchto metod. Použij eme-li takovou metodu na testovací úlohu (6.7), vyjde nám, že ví+i = R(z)yt, tj. y i — [R{z)]\ i — 1,2,..., kde z — Xh. Funkce R(z) se nazývá funkce stability dané metody. Pro oblast absolutní stability tudíž dostaneme, že Q — {z G C : |/?(z)| < 1}. U explicitních s-stupňových metod je R(z) polynomem stupně s, takže tyto metody nikdy nemohou být A-stabilní. U implicitních s-stupňových metod je R(z) racionální funkce, jejíž čitatel a jmenovatel jsou polynomy stupně nejvýše s, viz [7, str. 230]. V příkladu 6.4 jsme určili, že u explicitní Eulerovy metody je R(z) = 1 + z a u implicitní Eulerovy metody je R(z) = . Obsah Jdi na stranu \4 ►i Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 613 U některých typů rovnic ani A-stabilní metody nedávají dobré výsledky. Proto se zavádí ještě silnější pojem stability. Metoda typu Rungeho-Kutty se nazývá L-stabilní, jestliže je A-stabilní a navíc platí, že |/? (z) | —0 pro Rez -> — oo. Tedy např. Eulerova implicitní metoda je L-stabilní. Viz [57, str. 116]. Existuje celá řada metod typu Rungeho-Kutty. Zmíníme pouze několik klasických příkladů explicitních metod. Uvedeme vždy vzorce a odpovídající Butcherovu tabulku. Doplňme, že jediná jednostupňová explicitní metoda je Eulerova metoda (6.4). 1) První modifikace Eulerovy metody (Collatz1 1960): yi+l = yt + hk2, i = 0,1, ki = f(xi,yi), k2 = f(xt +h/2,yt +hki/2). Je to dvoustupňová metoda druhého řádu. Princip vyčíslení viz obr. 6.14 a) (význam bodů A, B a C je podobný jako na obr. 6.15). Funkce

n& intervalu {a,b),a = Xo. Pro lepší přehlednost označíme f(xi,yt) = f\. Budeme předpokládat, že je použit konstantní krok h > 0. Omezíme se jen na tzv. lineární vícekrokové metody (stručně LVM; název lineární je použit proto, protože vzorce těchto metod budou na symbolech y j a f j záviset lineárně). Obecná lineární k-kroková metoda, kde k g N, má tvar k k J2^yi+i-j =hJ2bjfi+i- .7=0 .7=0 J > (6.11) tj. po rozepsání sum aoyt+i + a\yi + a2yi-\ H-----h akyi+\-k = = h(b0fi+i + bifi + b2fi-i H-----h bkfi+i-k), kde aj, b j jsou vhodné konstanty. Předpokládáme, že a o ^ 0 a + b% > 0. Tedy bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že metoda je normalizovaná, tj. ao = 1 Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 624 (původní rovnici vydělíme a o), a osamostatníme yt+\. Dostaneme: k k yi+i = ~^2ajyi+i-j +h^lbjfi+\-j = (6-12) .7 = 1 .7=0 = -axyi -a2yi-\-----akyi+\-k + + h(b0fi+i + bifi H-----h bkfi+i-k). Jak již bylo dříve zmíněno, aby se mohla taková metoda (pro k > 1) použít, je třeba k zadané hodnotě y o nějak učit (vhodnou j ednokrokovou metodou) co nejpřesněji startovací hodnoty yu y2,...,yk-\- Pokud je bo = 0, vyskytuje se yt+\ jen na levé straně (6.11) a lze ho osamostatnit, viz (6.12). Takové LVM se nazývají explicitní. Je-li však bo ^ 0, dostáváme pro yt+\ obecně nelineární rovnici tvaru kde yi+l = A + hb0f(xi+i,yi+i). A = -axyi - a2yi-x-----akyi+\-k + h(bxfi H-----h bkfi+\-k) Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 625 která se musí řešit numericky. Takové ĽVM se nazývají implicitní. Jejich předností je, že mají lepší vlastnosti; viz následující oddíl. K nej známějším LVM patří Adamsovy metody a metody zpětného derivování. Než si však všimneme konkrétních vzorců, podíváme se na vlastnosti, které by dobré numerické metody tohoto typu měly mít. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 626 6.1.7 Vlastnosti vícekrokových metod Zavedeme obdobné pojmy jako v oddílu 6.1.4 pro jednokrokové metody, abychom mohli popsat vlastnosti dobrých LVM. Lokálni a globální chyba metody, řad metody Do levé a pravé strany vzorce (6.11) dosadíme hodnoty přesného řešení (tzv. lokalizační předpoklad). Výsledky budou obecně různé. Jejich rozdíl k k Ite,- = ^ajy(xi+1-j) - h^bj f (xi+1-j, y(xi+1-j)) .7=0 .7=0 nazveme lokální diskretizační chyba metody. Na rozdíl od jednokrokových metod nebudeme zavádět pojem (skutečné) lokální chyby, protože nemá praktický význam. Řekneme, že daná metoda je řádu p, p G N, jestliže p je nej větší číslo, pro nějž platí ltei = 0(hp+l). Rozdíl &i — y(xi) — y i nazveme globální diskretizační chyba metody po / krocích. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 627 Při popisu vlastností ĽVM hrají důležitou roli dva polynomy, jejichž koeficienty jsou obsaženy v (6.11): p(X) = a0Xk + a\Xk~l H-----h ak-\X + ak, a(A) = b0Xk + biXk~l + • • • + bk-XX + bk. Nazývají se první a druhý charakteristický polynom. Metoda se nazývá konzistentní, jestliže je řádu alespoň jedna. Lze dokázat následující tvrzení: ĽVM je konzistentní právě tehdy, když p(l) = 0 a pr{\) — cr(l) (viz [9, str. 37], [19, str. 370], [52, str. 510] nebo [57, str. 67]). Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 628 D-stabilita a konvergence metody Při zavádění následujícího pojmu opět vyjdeme z vhodné testovací úlohy podobně jako při definici A-stability, tentokrát dokonce ještě jednodušší. Půjde o počáteční úlohu / = 0, y(0) = 0 pro* e (0,1). Přesným řešením je pochopitelně funkce y(x) = 0. Ze vztahu (6.11) dostaneme rekurentní formuli 0o)>í+i + a\yi + a2yi-\ H-----V akyi+l-k = 0. (6.13) Rozdělíme-li interval (0,1) ekvidistantně na n dílků, tj. h — l/n, a zvolíme-li y\ — = y2 = • • • = yk-x = 0, vyjde postupně j/£ = j^+i = • • • = yn = 0. Nás však bude zajímat co se stane, když hodnoty y\, y2,..., yk-i budou mírně porušené (obecnejšou určovány nějakou vhodnou jednokrokovou metodou a nejsou tudíž přesné). Je přirozené požadovat, aby hodnota yn aproximující přesnou hodnotu y(l) = 0 byla s rostoucím n malá, pokud je počítaná z výchozích hodnot y\, y2,..., yk-\, které se jen málo liší od nuly. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 629 Rovnice (6.13) se nazývá lineární diferenční rovnice s konstantními koeficienty. Teorie těchto rovnic je velmi podobná teorii lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty, viz např. [52, str. 501] nebo [68, str. 20]. Ukazuje se, že výše zmíněný požadavek platí právě tehdy, když kořeny prvního charakteristického polynomu leží v komplexní rovině v jednotkovém kruhu se středem v počátku, přičemž ty, které jsou na hranici, jsou jednoduché. Z tohoto důvodu se zavádí následující definice. Definice 6.5 LVM se nazývá D-stabilní neboli stabilní ve smyslu Dahlquista1, jestliže pro všechny kořeny £ prvního charakteristického polynomu p (A) platí |£| ^ 1, přičemž pokud je |£| = 1, je tento kořen jednoduchý. 1 ( t (1925 -2005) (čti dalkvist) — švédský matematik, patřil k průkopníkům zkoumání problematiky stability numerického řešení diferenciálních rovnic. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 630 Je známo, že pro řád p D-stabilních k-krokových metod platí: Pák p^k + l pák + 2 pro explicitní metody, pro implicitní metody a k liché, pro implicitní metody a k sudé (tzv. první Dahlquistova bariéra). Viz [19, str. 384], [57, str. 90]. Definice konvergence ĽVM je obdobná jako definice jednokrokových metod na str. 600. Lineární k-kroková metoda se nazývá konvergentní, jestliže pro všechny počáteční úlohy s dostatečně hladkou pravou stranou f(x,y) platí lim maxUyOi) - yt , \y(xn) ~ yn\) = 0, h = (b - a)/n přičemž tato vlastnost má platit, pokud počáteční hodnoty y\, y2,..., yk-i (které nemusí být přesné), z nichž se počítají další hodnoty y^, ..., yn, se s rostoucím n přibližují k přesným hodnotám y(x\), y(x2), • • •, y(xk-\). Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 631 Zatímco jednokrokové metody řádu aspoň jedna byly vždy konvergentní, u vícekroko-vých metod je situace složitější. Lze dokázat následující výsledek (viz např. [52, str. 506], [57, str. 65,72] nebo [68, str. 31]): LVM je konvergentní právě tehdy, když je konzistentní a D-stabilní. O rychlosti konvergence lze dokázat následující výsledek (viz např. [52, str. 508] nebo [57, str. 75]): Je-li konvergentní LVM řádu p ^ 1, jsou-li počáteční hodnoty y\, y 2,..., yk-i zadány s chybou 0(hp) a pravá strana f(x, y) diferenciální rovnice má spojité derivace až do řádu p, platí pro globální diskretizační chybu fy = y(xf) — y i — 0(hp). A-stabilita Vrátíme se opět k testovací úloze (6.7). Po dosazení do (6.11) dostaneme 0o)>í+i + cL\yi H-----h akyi+\-k = h(b0Xyi+i + bxXyi H-----h bkXyi+1-k), odkud po úpravě vyjde (a0 - hXb0)yi+i + {ax hXbx)yi H-----h (ak - hXbk)yi+1-k = 0. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 632 Polynom 7r(/x,z) = —zbj)jik 7 = p(/x) — z(j(/X) .7=0 proměnné /z, kde z = A/z, nazýváme polynom stability LVM. Koeficienty tohoto polynomu tedy závisí na komplexním parametru z. Připomeňme, že p(/x) a fi\ Axi+i» Tí+i]- Dostaneme implicitní /-krokové metody, kde / = max(l, k — 1), které se nazývají Adamsovy-Moul-tonovy1 metody. Značí se AMk. Uvedeme jejich vzorce pro k = 1,2,3,4,5 (první dvě metody jsou obě jednokrokové): yi+\ — y i + hfi+i, (vlastně Eulerova implicitní metoda) yi+l = yt + %(fi+i + fi) (známá jako lichoběžníkové pravidlo) yi+l = yt + ±(5fi+1 + Sfi - fi-x), yi+i = yt + &(9fi+1 + 19y; - 5/^ + y;_2), yi+l = yi + ^(251/-+1 + 646^ - 264/^ + 106/;_2 - 19/;_3) 24 h Pro řád /? platí p = k, ty kromě první metody je o jedničku větší než počet kroků /. Metody ABk i AMk jsou D-stabilní a konzistentní, tedy konvergentní. Pouze metody AM1 a AM2 jsou A-stabilní. Pro dané k je velikost oblasti absolutní stability metody AMk značně větší než u metody ABk. S rostoucím k se oblasti absolutní stability zmenšují. *í (1872-1952) — americký astronom, zabýval se aplikacemi matematiky v astro- nomu. Obsah Jdi na stranu \4 ►I Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 636 Metody prediktor-korektor Tyto metody používají dvojici lineárních vícekrokových metod. Jednu explicitní Adam-sovu-Bashforthovu metodu (prediktor) a jednu implicitní Adamsovu-Moultonovu metodu (korektor). Prediktorem (explicitní metodou) se předpoví první přiblížení y^ hodnoty y*-+i, korektorem (implicitní metodou) se iterováním vylepší, tj. získá se yj+l9 y\2+i atd. Většinou se provádí jen jedna iterace. Iterování se provádí tak, že se předpově-zená hodnota dosadí do pravé strany korektoru (implicitní metoda) a výsledek, tj. levá strana je novou hodnotou pro yt+\. Podrobnějším rozborem lokální diskretizační chyby lze zjistit, že je-li řád prediktoru q a řád korektoru p, pak řád této dvojice je min(/?, q + 1), viz [9, str. 49]. Proto se nejčastěji volí q — p nebo q + 1 = p. Y obou případech je totiž řád dvojice p, tj. stejný jako řád korektoru. Oblast absolutní stability metody prediktor-korektor je větší než oblast absolutní stability prediktoru ale menší než oblast absolutní stability korektoru, ke které se přibližuje s rostoucím počtem iterací. Obecně oblasti absolutní stability dvojic ABk-AMk nejsou příliš velké a s rostoucím řádem k se zmenšují. V dalším označíme — f(xi+\, J7^). V praxi se často používají následující dvojice: Obsah Jdi na stranu \< ►i Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 637 1. Dvoukroková metoda: Prediktor: y?^ = yt + \(hfi - ft-x) Korektor: yjr++1} = yt + \ (f{%\ + ft), r = 0,1,2,... (Adamsova-Bashforthova metoda AB2 řádu dva) (Adamsova-Moultonova metoda AM2 řádu dva) 2. Čtyřkroková metoda: Prediktor: Korektor: yt+i = yi + h&fi - 59^-i + 37^-2 - 9/í-3)> (Adamsova-Bashforthova metoda AB4 řádu čtyři) yj^ = yi + TA9fi+\ +1*/; - 5fi-i + fa), r — 0,1,2,... (Adamsova-Moultonova metoda AM4 řádu čtyři) Metody prediktor-korektor se v současnosti obvykle nepoužívají s konstantním krokem a pevným řádem, ale délka kroku a případná změna řádu se řídí na základě odhadu velikosti Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 638 lokální chyby. Rovněž Adamsovy-Bashforthovy a Adamsovy-Moultonovy metody se používají s proměnným krokem. Metody zpětného derivování Základní myšlenkou odvození těchto metod je, že se v rovnici = f(*i+uy(xi+i)) nahradí derivace y'(xi+\) derivací interpolačního polynomu Pk(x) stupně nejvýše k, kde k ^ 1, který je určen body [xt+1 -k, y i+1 -k], • • •, [*i ,yt], [xt+1,yi+1\. Dostaneme implicitní k-krokové metody, které se nazývají metody zpětného derivování. Značí se BDFfc (podle anglického backward differentiation formula). Uvedeme si jejich vzorce pro k = 1,2,3,4,5,6. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 639 ji+i — y i + hfi+i, (vlastně Eulerova implicitní metoda) yi+i = ~ yi-i + 2hfi+1), yt+i = TT(18j,- - 9ji_i + 2yt-2 + 6hfi+i), yt+i = ^(48j,- - 36ji_i + 16ji_2 - 3ji_3 + I2hfi+i), yi+l = y^(300jí - 300ji_! + 200ji_2 - 75j;_3 + 12ji_4 + 60hfi+1), ji+1 = ^(360ji - 450ji_! + 400ji_2 - 225ji_3 + + 72jI-_4-10jI-_5 + 60Ay;+i). Řád p je stejný jako počet kroků k, tj. p = k. Metody BDFfc jsou D-stabilní pouze pro k ^ 6, tedy pro k ^ 7 jsou nepoužitelné. Jsou konzistentní, a tedy pro k ^ 6 rovněž konvergentní. Metody BDF1 a BDF2 jsou A-stabilní. Pro 3 ^ k ^ 6 sice A-stabilní nejsou, ale oblast absolutní stability je neohraničená a interval absolutní stability je (—oo, 0). Jsou sice méně přesné než AMk metody, ale díky velkým oblastem absolutní stability jsou vhodné pro řešení tzv. tuhých problémů (viz oddíl 6.1.9). Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 640 6.1.9 Tuhé problémy U některých diferenciálních rovnic se vyskytuje jev, kterému se říká tuhost (anglicky stiffness). Takové rovnice se nazývají tuhé rovnice neboli stiff rovnice nebo také rovnice se silným tlumením. Tento jev značně komplikuje jejich numerické řešení. Pojem tuhost nemá žádnou jednoduchou a přímočarou rigorózní matematickou definici, dá se popsat mnohými různými způsoby. Typickým rysem je chování tuhých problémů, jestliže je řešíme pomocí explicitních metod Rungeho-Kutty nebo Adamsových-Bashforthových metod s pevným krokem. Dostáváme řešení, která často oscilují a obvykle neomezeně narůstají. Abychom obdrželi pomocí těchto metod přijatelná řešení, je nutné volit extrémně malý krok, což významně prodlužuje dobu řešení. Toto zvláštní chování je na první pohled nevysvětlitelné. Přitom je lze demonstrovat na velice jednoduchých rovnicích, které je možné snadno explicitně vyřešit (viz příklad 6.4). Je možné uvést i formálnější popis tuhosti (např. u soustav lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty souvislost s vlastními čísly), těmito otázkami se ale nebudeme zabývat. Viz např. [9, str. 56], [11, str. 26], [52, str. 525] a další. Často má stiff rovnice jedno „význačné pomalu se měnící" řešení, k němuž se ostatní Obsah Jdi na stranu \< ►i Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 641 řešení velmi rychle přibližují pro x -> +00. Příkladem je počáteční úloha y' = -100j + 100, y(0) = y0. Rovnici snadno vyřešíme separací proměnných: áy áx áy = -100(3; " 1) = -lOOdv, \n\y - 1| = -ÍOOx + lnc, -100x v - 1 = c e y (x) = 1 + (y0 - l)e -100x Konstantu c jsme určili z počáteční podmínky y(0) = y o = 1 + c. Z výsledku je vidět, že rovnice má konstantní řešení y (x) = 1 pro y o = 1. Ostatní řešení (pro jo 7^ 1) jsou exponenciály, které se ke konstantnímu řešení rychle přibližují, protože lim (1 + (jo - l)e-100x) = 1. Je třeba uvědomit si, že funkce q~100x s rostoucím x velmi prudce klesá k nule. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 642 Příklad 6.6 Najděte vzorce pro numerické řešení počáteční úlohy y' — — 100y + 100, y(0) = jo- Použijte Eulerovu explicitní a implicitní metodu. Zjistěte, jak se tato řešení chovají v závislosti na kroku h. Řešení Řešení budeme hledat na intervalu (0, +oo). Pro f(x,y) = — lOOj + 100 Eulerovou explicitní metodou postupně dostaneme užitím vzorce (6.4): yi = y0 + a(-100^0 + 100) = y0 - 1 + 1 - 100/Kj/o - 1) = = (;yo-l)(l-100A) + l, yi = yi + h(-l00yi + 100) = (yx - 1)(1 - 100A) + 1 = = (y0 - 1)(1 - 100/0(1 - 100A) + 1 = (y0 - 1)(1 - 100/z)2 + 1, yn = yn-x + a(-100^_i + 100) = (yn-X - 1)(1 - 100A) + 1 = = (y0 - 1)(1 - I00h)n~\l - 100A) + l = (y0- 1)(1 - 100A)n + 1. Výraz (1 — I00h)n představuje člen geometrické posloupnosti s kvocientem q = 1 — 100/z. Pro a > 0,02 je q < — 1 a posloupnost {g^} osciluje pro n —>► -\-oo (posloupnost členů se Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 643 sudým indexem konverguje k +00, zatímco posloupnost členů s lichým indexem konverguje k — 00). Tedy lim yn neexistuje (posloupnost členů se sudým indexem konverguje k +00, zatímco posloupnost členů s lichým indexem konverguje k — 00 nebo naopak v závislosti na znaménku y o — 1). Pro A < 0,02 bude -1 < q < 1, takže lim (1 - 100A)71 = 0 a lim yn = 1. Správný výsledek, tj. takový, že lim yn — 1, tudíž dostaneme jen pro dostatečně malý krok A, jinak je numerické řešení zcela chybné. Eulerovou implicitní metodou užitím vzorce (6.6) dostaneme pro y\: y i(l + 100A) yi = 1 + y0 + A(-100y! + 100) 1 + lOOA + yo-l, y o -1 1 + 100A Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 644 Obdobně se odvodí, že y 2 = 1 + yi -i 1 + 100A = 1 + 1 yo -1 1 + 100A 1 + 100A = 1 + yo -1 (i + 100A)2 , . yn-i - i , . V n — 1 H--- = 1 + y 1 + 100A yo -1 1 (1 + lOO/z)*-1 1 + 100/z = 1 + yo -1 (i + íoo/o* Výraz 1/(1 + I00h)n představuje člen geometrické posloupnosti s kvocientem q = = 1/(1 + 100A). Pro každé A > 0 je 0 < 9 < 1, tedy lim qn = 0 a lim yn = 1. Tentokrát tudíž správný výsledek dostaneme pro libovolný krok h. A Poznatek z předchozího příkladu platí obecně. Některé metody dávají pro tuhé problémy dobrý výsledek jen při velmi malém kroku A, což je z hlediska objemu výpočtů neúnosné. Říká se jim netuhé metody nebo non-stiff metody. Je pro ně typické, že mají malou oblast absolutní stability. Tuhé rovnice se vyskytují v chemii, kde popisují průběh chemických reakcí, v elektronice, kde např. tzv. van der Polova rovnice (viz příklad 6.8) popisuje kmity oscilátoru, v kinematice a mnoha dalších důležitých aplikacích. Pro jejich numerické řešení byly Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 645 vyvinuty speciální metody, umožňující prodloužit krok, kterým se říká tuhé metody nebo stiff metody. Ty naopak nejsou vhodné pro řešení problémů, které nejsou tuhé. Tuhé metody jsou implicitní. Je důležité, aby měly neohraničenou oblast absolutní stability, což umožňuje zvětšit krok. Všechny jednokrokové metody, které jsme uvedli, jsou až na Eulerovu implicitní metodu a AM2 metodu netuhé. Mezi tuhé metody patří semiimplicitní nebo implicitní metody typu Rungeho-Kutty. Z uvedených vícekrokových metod jsou tuhé metody zpětného diferencování. V programu Maple lze najít řadu účinných tuhých metod, např. Rosenbrockovu (jisté zobecnění metod typu Rungeho-Kutty, viz [7, str. 120], [78]) nebo skupinu metod lsode (Livermore Stiff ODE solver; založeno na kombinaci AM a BDF metod, viz [73]). Problematika numerického řešení obyčejných diferenciálních rovnic prodělala v posledních čtyřiceti letech bouřlivý rozvoj, který byl především způsoben nástupem počítačů a jejich neustále se zvyšujícími schopnostmi. Bylo možné využívat čím dál složitější metody vyžadující velký objem výpočtů. To vyvolalo zpětně tlak na hlubší zkoumání teoretických vlastností nových metod. Nové poznatky pak umožnily dokonalejší implementaci těchto metod. Vzhledem k významu řešení diferenciálních rovnic tento vývoj rozhodně není ukončen. Obsah Jdi na stranu \< ►i Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 646 6.2 Systémy obyčejných diferenciálních rovnic Doposud jsme se zabývali numerickým řešením jedné diferenciální rovnice prvního řádu. Mnoho matematických modeluje ale tvořeno soustavou více diferenciálních rovnic. Nechť «gN. Systém n diferenciálních rovnic prvního řádu pro neznámé funkce y\ (x), y2{x) až yn(x) s počátečními podmínkami yi(x0) = ji,0, J^Oo) = j2,o až yn(x0) = yn,o, kde xq, yi9o, y2,o až yn,o Jsou daná čísla, lze formálně zapsat takto: y[ = f\(x,yi,...,yn), y2 = f2(x,yu...,yn), yi(xo) = y'i,o, j2(^o) = J2,0, (6.14) y'n = fn(x,yi,...,yn). yn(Xo) — yn,q- yn) popisují pravé strany diferenciál- Přitom funkce f\ (x, y\,..., yn) až fn (x, y\,.. nich rovnic. Předchozí zápis je komplikovaný. Proto systém zapíšeme pomocí tzv. vektorového Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 647 neboli maticového zápisu. Označíme: y(x) = Ji O) J2O) Jn(x) Definujme ještě f(x,y) = ' f\(x,yx,...,ynj f2(x,yu...,yn) fn(x,yu...,yn) y\x) = yi(xj yi(x) y[(x)\ y'iix) Jo = Kyn (x) I \y'n (x) f Cauchyovu počáteční úlohu pro systém (6.14) lze pak stručně zapsat takto: ý(x) = f(x,y) y(x0) = Jo- (6.15) Použití vektorového zápisu si ukážeme na příkladu. Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 648 Příklad 6.7 Napište ve vektorovém zápisu soustavu tří diferenciálních rovnic y[ = -lOji + 10j2, yf2 = -J1J3 + 28j/i - y2, yř3 = y\y2 §j>3 s počátečními podmínkami j!(0) = -8, y2(0) = 8, j3(0) = 27. Řešení Protože n = 3, označíme: -10yx + 10j/2 J1J2- lj>3 Pak platí jí 34 i = -10?! +10j2 •J1J3 + 28ji - j2 ľlj2 8 ľ3 Otean Jc//' na stranu N ^ ► ►! Ce/a' obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 649 čili stručně /(*) = f(*>y)> = Jo- Tento systém se nazývá Lorenzáv1. Vyskytuje se v teoretické meteorologii. Explicitně ho řešit nelze a při numerickém řešení je třeba postupovat opatrně. Řešení lze znázornit jako prostorovou křivku o parametrických rovnicích y = y (x) (souřadnicové osy jsou označené y\, y 2 a y 3,). Přestože je tento systém poměrně jednoduchý, chování jeho řešení je velmi složité, tzv. chaotické, jedno z řešení, tzv. podivný atraktor, má fraktální strukturu, viz animace na obr. 6.16 (křivka mění barvu, aby bylo lépe vidět, jak komplikovaný je její průběh). Podobné vlastnosti mají diferenciální rovnice popisující např. dynamické systémy, které jsou modely zemské atmosféry. Proto je předpovídání počasí tak obtížná záležitost a dlouhodobější předpovědi jsou často velmi nespolehlivé. A 11 nz (1917-2008) — americký matematik a meteorolog, jeden z průkopníků teorie chaosu. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 651 O vlastnostech řešení systémů diferenciálních rovnic lze dokázat obdobné výsledky jako o jedné diferenciální rovnici. Rovněž numerické metody a pojmy s nimi související se téměř beze zbytku přenášejí na systémy. Všechny vzorce z předchozích kapitol pro jednokrokové i vícekrokové metody zůstávají v platnosti, pokud použijeme vektorový zápis. Označme i — 0,1,..., m yn,i) Pak např. explicitní Eulerova metoda má tvar yi+i = yt +hf(xi9yi), i = 0,1,...,m - 1. Složky vektorů y i dávají pro každou neznámou y\(x) až yn(x) hodnoty v uzlových bodech Xq, X\ ..., xm. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 652 6.3 Diferenciální rovnice vyšších řádů Kromě diferenciálních rovnic prvního řádu jsou v aplikacích velmi důležité i diferenciální rovnice vyšších řádů. Ukážeme si, jak lze jednu takovou rovnici vyššího řádu přepsat na soustavu více rovnic prvního řádu. Podobně lze postupovat i u systémů diferenciálních rovnic vyšších řádů, pokud jsou v explicitním tvaru (rovnice jsou vyřešené vzhledem k nej vyšší derivaci). Nechť n G N. Cauchyova počáteční úloha pro diferenciální rovnici /2-tého řádu s neznámou y (x) má obecný tvar yM = f(x,y,y',...,y Oje reálný parametr. Řešení Označíme Vi = v< yi = y Pak platí y[ = J2, yi,o = 1, yf2 = "Ji + M* - J?)^2, J2,0 = o. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 655 Označme J2 -y\ + Mi - >>i))>2 Jo = Pak platí y\\- A. -yi + /x(l - yf)y2 >i (0) y i(0) yi,o 72,0. čili stručně y'(x) = f(x,y), y(0) = y0- A Tato rovnice se nazývá van der Polova1. V dynamice tato rovnice popisuje nekonzervativní oscilátor s nelineárním tlumením. Má použití v elektrotechnice a biologii. Při jejím studiu došlo k jednomu z prvních případů zaznamenání deterministického chaosu. Řešení na některých částech intervalu rychle oscilují, takže pro numerické výpočty jsou vhodné stiff metody. ^al 1 (1889-1959) — holandský fyzik a elektroinženýr, pracoval pro Philips. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 656 Obr. 6.17: Řešení van der Polovy rovnice Na obr. 6.17 je znázorněno numericky získané řešení uvedeného počátečního problému pro /x = 1,5. Van der Polova rovnice je tzv. autonomní, což znamená, že v rovnici se explicitně nevyskytuje nezávisle proměnná x. Řešení takových rovnic se obvykle znázorňují ve fázové rovině, jejíž souřadnicové osy jsou y\ a y2, tedy vlastně y a y'. Řešení jsou znázorněna jako trajektorie, což jsou křivky s parametrickými rovnicemi [ji (0» y2(0] neboli [y(t), y'(t)]. Uzavřeným trajektoriím odpovídají periodická řešení. Lze dokázat, že van der Polova rovnice má jedinou uzavřenou trajektorii a všechny ostatní trajektorie se na ni s rostoucím x zvenku nebo zevnitř navíjejí. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 657 Animace na obr. 6.18 s částmi sedmi trajektorií znázorňuje toto chování. Je vidět, jak body trajektorií probíhají některé úseky velmi rychle a jiné zase pomalu a rychle se přibližují k uzavřené trajektorii. Počátek [0, 0] je jednobodová trajektorie odpovídající řešení y\ (x) = 0, J^OO = 0. Protože tuto rovnice nelze explicitně řešit, byly obrázek i animace získány numericky pro /z = 1,5. Složité chování Lorenzova podivného atraktoru i řešení van der Polovy rovnice ukazují, jak účinnejšou soudobé numerické metody pro řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Obsah Jdi na stranu \4 ►i Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 658 Obr. 6.18: Trajektorie van der Polovy rovnice Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 659 Příklad 6.9 Přepište na systém ve vektorovém zápisu diferenciální rovnici třetího řádu y'" = xy + {y')2 - yy", y(l) = 2, y'(í) = -1, y"(\) = 0. Řešení. Označíme Pak platí yi = y, yi = /, j3 = j" yf2 y* y 2, y 3, = *ji + y2 - jij3 yi,o = 2, j2,o = -1, J3,0 = 0. Označme y(x) = f(x,y) = J2 xyi + jf - J1J3 Jo = Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 660 Pak platí čili stručně J2 xyi + yl -y\y* /(*) = f(x,y), >i(0)\ y 2(0) J3(0) y(P) = jo V této kapitole jsme se zabývali numerickým řešením Cauchyovy počáteční úlohy, kdy z nekonečně mnoha řešení dané diferenciální rovnice nebo systému se vybere jedno řešení pomocí počátečních podmínek. V praxi se ale setkáváme i s jinými typy podmínek, které určují jediné řešení. Z nich nej důležitější jsou okrajové podmínky. Pro numerické řešení těchto tzv. okrajových úloh existují speciální metody, např. metoda střelby, diferenční metoda, metoda konečných objemů a metoda konečných prvků. Viz např. [9, 1, 52, 57]. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 661 Pojmy k zapamatování — obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu v implicitním a explicitním tvaru — řešení diferenciální rovnice — počáteční podmínka, Cauchyova počáteční úloha — existence a jednoznačnost řešení počáteční úlohy — princip numerického řešení počáteční úlohy — jednokrokové a vícekrokové metody — tvar obecné explicitní jednokrokové metody — tvar obecné implicitní jednokrokové metody — explicitní a implicitní Eulerova metoda — lokální diskretizační, lokální a globální chyba a řád jednokrokové metody — konvergence jednokrokové metody — stabilita jednokrokové metody, oblast a interval absolutní stability — metody Rungeho-Kutty a jejich princip, stupeň a řád, Butcherova tabulka Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 662 tvar obecné lineární vícekrokové metody explicitní a implicitní vícekrokové metody první a druhý charakteristický polynom vícekrokové metody lokální diskretizační a globální chyba a řád vícekrokové metody konzistentnost, D-stabilita a konvergence vícekrokových metod stabilita vícekrokové metody, oblast a interval absolutní stability Adamsovy-Bashforthovy a Adamsovy-Moultonovy metody a jejich princip metody prediktor-korektor a jejich princip metody zpětného derivování a jejich princip tuhé (stiff) problémy systémy obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu, Cauchyova počáteční úloha metody numerického řešení systémů diferenciálních rovnic obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů, Cauchyova počáteční úloha přepis diferenciální rovnice vyššího řádu na systém prvního řádu Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 663 Kontrolní otázky 1. Vysvětlete pojmy a ilustrujte je na příkladech: ODR 1. řádu v implicitním tvaru, v explicitním tvaru, řešení ODR 1. řádu, směrové pole ODR. 2. Vysvětlete pojem Cauchyova počáteční úloha a uveďte podmínky, za kterých má tato úloha jediné řešení. 3. Co rozumíme numerickým řešením počáteční úlohy? 4. Vysvětlete princip jednokrokových a vícekrokových metod. 5. Jaké problémy mohou nastat při použití vícekrokové metody? 6. Napište vzorce pro implicitní a explicitní Eulerovu metodu a aplikujte je na konkrétním příkladu. 7. Napište vzorec obecné explicitní a implicitní j ednokrokové metody. 8. Vysvětlete rozdíl v použití explicitních a implicitních jednokrokových metod. 9. Vysvětlete pojmy lokální diskretizační chyba, lokální chyba a globální chyba jednokrokové metody. 10. Co je to řád metody, jak souvisí s lokální diskretizační chybou jednokrokové metody? Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 664 11. Co znamená, že jednokroková metoda je konvergentní? Co musí být splněno, aby metoda byla konvergentní? 12. Vysvětlete, co je oblast a interval absolutní stability jednokroková metody. Co znamená, že taková metoda je A-stabilní? 13. Na jakém principu jsou založeny metody Rungeho-Kutty? 14. Vysvětlete postup při použití explicitní metody Rungeho-Kutty 3. řádu. 15. Co je to stupeň a řád metody Rungeho-Kutty? Jaký je mezi nimi vztah (u explicitních metod)? 16. Napište tvar obecné lineární k-krokové metody. Vysvětlete, kdy půjde o předpis pro explicitní a kdy pro implicitní metodu. 17. Vysvětlete pojmy lokální diskretizační chyba, globální chyba a řád vícekrokové metody. 18. Co znamená, že vícekroková metoda je konvergentní? Co musí být splněno, aby metoda byla konvergentní? 19. Co je oblast absolutní stability lineární vícekrokové metody? Co znamená, že taková metoda je A-stabilní? 20. Uveďte příklady nej významnějších lineárních vícekrokových metod. 21. Na jakém principu jsou založeny metody prediktor-korektor? Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 665 22. Co jsou to tuhé neboli stiff problémy? 23. Zapište, jak vypadá obecný systém n diferenciálních rovnic prvního řádu s počátečními podmínkami, a popište, jak se numericky řeší. 24. Uveďte postup při numerickém řešení diferenciální rovnice vyššího řádu. 25. Jaký je rozdíl mezi numerickým řešením jedné diferenciální rovnice 1. řádu a soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu? Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 666 Testy ke kapitole 6 Vyberte správnou odpověď (právě jedna je správná). Za chybnou odpověď se neodečítají body. Test lze kdykoli tlačítky na konci ukončit a nechat si vypsat správné odpovědi. Testi 1. (lb.) Která z následujících diferenciálních rovnic 1. řáduje v explicitním tvaru? ln(x2 - xy + yf) = /. y' = xy - cos(xj/). y = j/Vl -x2 xy ' - y = ^Jx2 -xy'. 2. (lb.) Platí obecně, že čím menší budou kroky hi, tím přesnější bude numerické řešení diferenciální rovnice? Ne. Ano. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 667 3. (lb.) Vyberte definiční obor pravé strany diferenciální rovnice y' — -y/4x — 5y D(f) = \[x,y]eR2:x^-\. D(f) = \[x,y]eR2:x = -\. D(f) = \[x,y]eR2:yí-x\. D(f) = \[x,y]eR2: y <-x 4. (lb.) Vyberte vzorec explicitní Eulerovy metody s proměnným krokem h\ pro počáteční úlohu y' — x — y2, y(x0) = jo- yi+l = yt + hi+x(xi+x - y2+1). yi+l = yt + hi+1(xi - yf). yi+\ = yi +hi(xi - yf) yi+1 = yf +hi(xi+l - yf+1), 5. (lb.) Chyba, která vzniká kumulací skutečných chyb z jednotlivých kroků výpočtu, se nazývá globální chyba. lokální chyba. lokální diskretizační chyba. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 668 6. (lb.) Metody Rungeho-Kutty patří do skupiny jednokrokových metod. vícekrokových metod. 7. (lb.) Vyberte předpis pro obecnou implicitní lineární k-krokovou metodu s konstantním krokem. yi+i = y i + hi+10(xi,yi,hi+1,yi+1', f). yt+i = yt + hi+i 8. (lb.) Lineární vícekroková metoda se nazývá konzistentní, jestliže je konvergentní. je implicitní. je explicitní. je řádu alespoň jedna. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 669 9. (lb.) Mezi vícekrokové metody patří metody prediktor-korektor. Na jakém principu jsou založeny? Na integraci rovnice y'(x) — f(x, y(x)) s počáteční podmínkou y(xo) = y o na intervalu {xj, Xi+\) a následné náhradě integrandu /(x, y(x)) vhodným interpo-lačním polynomem. Tyto metody používají dvojici lineárních vícekrokových metod. Jednou metodou se předpoví hodnota yt+\ a druhou metodou se získaná hodnota vylepší. V rovnici y'(xi+\) — f (xí+\, y(xi+\)) se nahradí derivace y'(xi+1) derivací interpolačního polynomu stupně nejvýše k, určeného vhodnými body. 10. (lb.) Co platí o systémech obyčejných diferenciálních rovnic? Pro systémy diferenciálních rovnic neexistuje obdoba vícekrokových numerických metod. Pro systémy diferenciálních rovnic lze odvodit obdobné numerické metody jako pro jednu diferenciální rovnici. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 670 Vícekrokové numerické metody musí používat aspoň tolik kroků, kolik je počet rovnic v systému. Systémy diferenciálních rovnic nelze řešit jednokrokovými metodami. Ľ Správně zodpovězené otázky: Získané body: Procento úspěšnosti: Obsah Jdi na stranu N < ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 671 Test 2 1. (lb.) Vyberte, kterou z uvedených počátečních podmínek žádné řešení diferenciální rovnice y' — Jy2--nesplňuje. x y{\) = 3. y(2) = 1 y (3) = 1 y(l) = 2. 2. (lb.) Vyberte vzorec implicitní Eulerovy metody s proměnným krokem h i pro počá-teční úlohu y — 2x + x — y, y(x0) = yo- yt+i = yi + hi+x(2xf + - y{). yt+i = yi + hi(2xf+1 + Xi+i - yi+i). yi+l = yt + hi+1(2xf + x% - yi+\). yt+i = yi + hi+i(2xf+l + Xi+i - yt+i). Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 672 3. (lb.) Numerická metoda pro řešení obyčejných diferenciálních rovnic, která k výpočtu hodnoty yt+\ používá hodnoty y i a yi-i, se nazývá tříkroková metoda. explicitní metoda, dvoukroková metoda. jednokroková metoda. 4. (lb.) Co je nevýhodou jednokrokových implicitních metod pro řešení obyčejných diferenciálních rovnic? Jsou méně přesné než explicitní metody. Navíc je potřeba delší čas na jejich řešení, protože neznámá hodnota yt+\ se vyskytuje ve vzorcích těchto metod na obou stranách rovnice. Zpravidla konvergují k přesnému řešení pomaleji než explicitní metody. Velikost chyby, které se dopustíme, je o řád větší, než když použijeme explicitní metodu. Neznámá hodnota yt+\ se vyskytuje ve vzorcích těchto metod na obou stranách rovnice. Po dosazení za y i tak obdržíme obecně nelineární rovnici, která se zpravidla musí řešit numericky. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 673 5. (lb.) Souvisí spolu řád metody p a lokální diskretizační chyba metody? Ano. Čím menší je řád p metody, tím menší je lokální diskretizační chyba. Ano. Je-li metoda řádu jedna, pak je lokální diskretizační chyba nejmenší. Ano. Uvažujeme-li metodu s ekvidistantní délkou kroku h, pak platí, že čím je metoda vyššího řádu p, tím menší je lokální diskretizační chyba. Ne. Jde o nezávislé pojmy. 6. (lb.) Co je typické pro diferenciální rovnice, které se označují jako tuhé neboli stiff? Na jejich numerické řešení je třeba použít tzv. tuhé neboli stiff metody. Nelze je numericky řešit. Jejich numerické řešení je bezproblémové, lze použít v podstatě libovolnou metodu. Na jejich numerické řešení je třeba použít explicitní metody s malou oblastí absolutní stability. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 674 7. (lb.) Obecný tvar s-stupňové metody Rungeho-Kutty, kde s eN,^ 1, s konstantním krokem h má tvar yi+i = yt + h(y\k\ + y2k2 H-----h ysks), i = 0,... ,n - 1. Co víme o koeficientech y\,..., ys ? Platí yi + y2 H-----h X? = 1, kde yr 0 pro r = 1,..., s. Platí yi + 72 H-----1-^ = 1, kde yr ^ 0 pro r = 1,..., s. Platí yi + y2 H-----h = 1. Platí y\-y2.....ys = 1. O koeficientech neplatí nic, mohou to být libovolná kladná nebo záporná čísla. 8. (lb.) Co znamená symbol f\ ve vzorcích lineárních vícekrokových metod? f i = f(xi,yi). fi = f(xi,y(xi)). fi = f(xi-uyi-i). fi = f(xi+i,yi+i). Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 675 9. (lb.) Co platí o numerickém řešení počáteční úlohy pro diferenciální rovnice vyšších řádů? Pro numerické řešení počáteční úlohy pro diferenciální rovnice vyšších řádů je nutné použít zcela speciální metody. Numerické metody pro řešení počátečních úloh pro diferenciální rovnice vyšších řádů neexistují, protože jde o velmi špatně podmíněné úlohy. Diferenciální rovnice vyšších řádů je možné přepsat na systém diferenciálních rovnic prvního řádu a použít numerické metody pro řešení takových systémů. Počáteční úlohy pro diferenciální rovnice vyšších řádů lze numericky řešit pouze vícekrokovými metodami, přičemž počet kroků musí odpovídat řádu těchto rovnic. 10. (lb.) Lineární vícekroková metoda je konvergentní, právě když je explicitní a implicitní. právě když je konzistentní a D-stabilní. jestliže je D-stabilní a explicitní. jestliže je konzistentní a implicitní. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 677 Test 3 1. (lb.) Rozhodněte, zda některé řešení diferenciální rovnice y' — y tg x — počáteční podmínku y(0) = 0. cos x splňuje Ano. Funkce f(x,y) = ytgx + cos x je v bodě [0,0] definovaná a spojitá. Ne. Po dosazení počáteční podmínky dostaneme rovnici y' — 1, což není diferenciální rovnice. Ne, protože cos 0 = 1, a ne nula. 2. (lb.) Vyberte předpis explicitní Eulerovy metody s konstantním krokem h pro řešení diferenciální rovnice y' — f(x,y). yi+l = yt + hf(xi+uyi+1). yi+l = yt + hf(xf, yf). yt+i = yo + hf(xi,yi). yi+i = yt + hf(xi,yi). Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic 678 3. (lb.) Rozhodněte, zdaje tvrzení pravdivé. Globální chyba metody je rovna součtu lokálních chyb. Ano. Ne. 4. (lb.) Vyberte předpis pro obecnou implicitní j ednokrokovou metodu s proměnným krokem. yi+\ = yi-i +hi+i 0 a na ose y zvolíme ekvidistantní dělení s body y o,..., ym s krokem h2 > 0. Je tedy x\ — Xq + h\, x2 — x\ + h\,..., xn — xn-\ + h\ a obdobně y\ — y o + h2, y 2 — yi + h2, ..., ym — ym-i + h2. Viz obr. 7.1. Uzly tudíž budou mít souřadnice [xí, Hodnoty řešení u(x, y) v uzlech označíme Ujj, tj. Uij — u{xi ,yj). V šabloně budeme pro názornost označovat uzel [xj , j7] dvojicí i, j. Naším cílem bude sestavit soustavu lineárních algebraických rovnic s neznámými Vjj, jejichž hodnoty budou aproximovat hodnoty u^, tj. přesné hodnoty řešení v uzlových bodech. Tuto soustavu budeme nazývat síťové rovnice. Při jejich vytváření budeme postupovat následujícím způsobem: 1) Zvolíme vhodnou skupinu několika blízkých bodů, která se nazývá šablona. Podoba šablony je specifická pro jednotlivé typy rovnic. Konkrétní příklady uvidíme dále. Šablona má obvykle jakýsi „ústřední" uzel, který udává její polohu. Obsah Jdi na stranu \4 ►i Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 694 2) Parciální diferenciální rovnici na šabloně diskretizujeme. K tomu se používají různé postupy. V našem případě půjde vesměs o Taylorův vzorec vhodného řádu. Tak získáme vztah mezi hodnotami U\j v uzlech šablony, který bude obsahovat neznámé veličiny odpovídající zbytkům z Taylorova vzorce. Tyto veličiny budou pro dostatečně jemnou síť malé. Jejich zanedbáním dostaneme přibližný lineární vztah mezi hodnotami u t j. V něm symbol přibližné rovnosti & nahradíme symbolem rovnosti =, hodnoty U\j nahradíme neznámými vij a obdržíme tzv. diferenční schéma neboli sítovou rovnici. Půjde tedy o náhradu derivací diferencemi. 3) Šablonu posunujeme po síti, umísťujeme ji do jednotlivých uzlů a pomocí diferenčního schématu vytváříme síťové rovnice. Přitom mohou nastat dva případy: — Šablona je umístěna tak, že všechny její uzly jsou vnitřní. Pak dostaneme bez potíží vztah mezi neznámými . — Šablona je umístěna tak, že alespoň jeden její bod je bodem síťové hranice. Pak je nutné vhodným způsobem přenést okrajové a počáteční podmínky. Pokud je uzel přímo na geometrické hranici 3Í2 a je zde předepsána funkční hodnota, je hodnota Vjj odpovídající tomuto uzlu známá. Pokud není uzel přímo na geometrické hranici 3Í2 neboje zde předepsána hodnota derivace řešení, je nutné použít nějakou aproximaci. Konkrétní postupy si ukážeme dále u jednotlivých typů rovnic. Obsah Jdi na stranu \4 ►i Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 695 7.2.2 Korektnost, stabilita, aproximace a konvergence Aby hodnoty Vjj dávaly v uzlových bodech dobrou aproximaci přesných hodnot řešení U\j, musí mít diferenční schéma vhodné vlastnosti. Těch si nyní všimneme. Protože jde o poměrně složitou problematiku, upustíme od přesných definic, náš výklad bude neformální a jeho cílem bude dát čtenáři představu, o jaké požadavky jde. Označíme h — (h i, A2) a ||A|| — *Jh\ + h\ (eukleidovská norma). Tedy ||/i|| je velikost úhlopříčky jednoho dílku uvažované obdélníkové sítě. Jak již bylo řečeno, pro určení neznámých dostaneme systém lineárních rovnic. Označme Ah matici soustavy a Bh sloupec pravých stran tohoto systému. Dále nechť Vh je sloupec neznámých i?^-; neznámejšou seřazené nějakým pevně zvoleným vhodným způsobem, např. (viz obr. 7.1) podle uzlových bodů nejprve zleva doprava první řádek zdola, pak zleva doprava druhý řádek zdola atd., tj. pořadí bude Vqq, ..., vno, v01,..., vni, ..., i>om, • • • ,vnm. Systém síťových rovnic potom můžeme zapsat pomocí součinu matic ve tvaru A h Vh = B^. Index h naznačuje, že systém závisí na volbách kroků sítě. Jak uvidíme později na konkrétních příkladech, (čtvercová) matice Ah je určena koeficienty rovnice (7.1), zatímco (sloupcová) matice Bh je určena pravou stranou této rovnice a počátečními a okrajovými podmínkami. Obsah Jdi na stranu \< ►i Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 696 Nechť ||. || značí nějakou vektorovou normu na W, kde s značí počet řádků sloupce B h • Na množině matic M5 použijeme normu ||. || s ní souhlasnou. 1) V oddílu 1.4 jsme definovali korektní úlohu. Tento požadavek je zvlášť významný u parciálních diferenciálních rovnic. Je proto přirozené požadovat, aby obdobnou vlastnost měly lineární algebraické rovnice, které vzniknou jejich diskretizací. Řekneme, že diferenční schéma A h Vh — B h je korektní, jestliže pro dostatečně malé ||/i || má pro libovolnou pravou stranu B h jediné řešení a je stabilní. Přitom stabilitou rozumíme spojitou závislost řešení Vh na pravé straně Bh stejnoměrně vzhledem k h. Vysvětlíme tyto pojmy podrobněji. Z lineární algebry víme, že soustava lineárních rovnic Ah Vh = B h může mít teoreticky jediné řešení, nekonečně mnoho řešení nebo nemá žádné řešení. Z požadavku jednoznačnosti pro libovolnou pravou stranu B h vyplývá, že matice soustavy Ah musí být čtvercová s nenulovým determinantem. To znamená, že je regulární, a existuje tudíž inverzní matice A^1. Řešení Vh je tudíž dáno vzorcem Vh = A^1 Bh, takže platí || Vh || ^ || A^1 || • \\Bh ||. Požadavek stability pak značí, že existuje konstanta M > 0 (nezávislá na \\h ||) taková, že 1| = M pro libovolné dostatečně malé \\h\\. Platí tedy, že || Vh \\ ^ M • || B h \\. Tato vlastnost Obsah Jdi na stranu \4 ►I Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 697 obecně závisí na volbě normy vřa jí indukované maticové normy. Může se stát, že pro některou normu je splněna a pro jinou ne. 2) Označme U h sloupec obsahující přesné hodnoty U\j a položme Wh — Vh — U h - Sloupec Wh vyjadřuje chybu aproximace přesného řešení v uzlových bodech pomocí řešení diferenčního schématu Ah V h — Bh- Dosazením do tohoto schématu dostaneme pro chybu vztah Ah Wh = Bh - Ah Uh. Řekneme, že diferenční schéma Ah Vh = B h aproximuje úlohu (7.1), jestliže platí \\Bh - AhUh\\ -> Opro PII -> 0. Řekneme, že diferenční schéma Ah Vh — B h aproximuje úlohu (7.1) s řádem k,k > 0, jestliže \\Bh-AhUh\\ = 0(P||*). 3) Diferenční schéma A h Vh = B h se nazývá konvergentní, jestliže pro něj platí vztah IIVh - Uh\\ ^ Opro PII 0. Říkáme, že diferenční schéma Ah Vh — B h konverguje s řádem k, k > 0, jestliže \\Vh-Uh\\ = 0{\\h\\k). Konvergence diferenčního schématu je důležitá, protože zajišťuje, že při dostatečně jemné síti jsou hodnoty dobrými aproximacemi přesného řešení U[j v uzlových bodech. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 698 Čím je řád konvergence vyšší, tím je přesnost lepší. Proto je důležitý následující výsledek (přesná formulace a důkaz viz např. [47, str. 96] nebo [57, str. 289]): Schéma, které je stabilní a aproximuje úlohu (7.1), je konvergentní. Přitom je-li aproximace řádu k, je i konvergence řádu k. 7.2.3 Náhrada derivací diferencemi V rovnicích, které budeme dále vyšetřovat, bude třeba na šabloně nahradit první a druhé nesmíšené parciální derivace řešení. Připravíme si potřebné vzorce. Připomeňme, že pro funkci /(x), která má v bodě x /2-tou derivaci, n g N, platí Taylorův vzorec f(x + h) = f(x) + f'(x)h + l-f"ix)h2 + ■■■ + -J{n\x)h" + Rnix + h), 2! n\ kde h je v absolutní hodnotě malé ěíslo a Rn (x + h) je tzv. zbytek. Je-li derivace řádu n + 1 spojitá v okolí bodu x, lze zbytek vyjádřit v Lagrangeově tvaru Rn(x + h) = in + 1)! f(n+l)(x + 9h)hn+\ 0<#<1. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 699 Z tohoto vyjádření je vidět, že platí Rn(x + h) — 0(hn+l). Pro n — 1 má vzorec podobu f(x + h) = f(x) + f\x)h + 0(h2), takže po osamostatnění f'(x) vyjde fix + h)- f (x) r (x) =JK ^ }h Jy) + oih). Pro n — 3 použijeme vzorec dvakrát: pro x + h a x — h: f (x + h) = f (x) + f'(x)h + ±f"(x)h2 + ^f"'(x)h3 + 0(h4), f (x -h) = f {x) - f'{x)h + ^f"(x)h2 - ^f"'(x)h3 + 0(h4). Po sečtení a osamostatnění f "(x) dostaneme x f(x + h)-2f{x) + f(x-h) 2 f (x) =-t-2--h O (h ). (7.2) (7.3) Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 700 Pro náhrady budeme používat tudíž vzorce /'oo /"oo oj o^ f(x + h) - f(x) h f (x + h)- 2 f (x) + f (x - h) h2 (7.4) přičemž v prvním případě je chyba řádu O (h) a ve druhém řádu O (h2). Všimněte si, že čitatele lze vyjádřit pomocí diferencí vpřed: f(x + h) — f (x) = = A f (x), f (x + h) — 2 f (x) + f (x — h) = A2 f (x — h). Jde tedy opravdu o náhradu derivací diferencemi. Kdybychom ponechali zbytky v Lagrangeově tvaru, mohli bychom nalézt přesné výrazy pro chyby, které by se shodovaly s (5.52) a (5.58). Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 701 7.3 Dirichletova úloha pro Poissonovu rovnici Uvažujme rovnici s okrajovou podmínkou uxx + uyy = f(x, y), (x, y) e Q u(x, y) = 0,/í2>0a použijeme následující šablonu: i J + 1 q fi- hi i - l,j h2 6 i, j - 1 i + h j Odvodíme nyní náhradu Poissonovy rovnice na této šabloně. Označíme fy = f (x f, y j ) Druhé derivace v Laplaceově operátoru Au = uxx + uyy ve vnitřních uzlech sítě nahradíme pomocí vzorce (7.3). Vyjde: --h 0(hx) H---2--h 0(h2) = fy. Zanedbáním členů 0(h\) a dostaneme pro přibližné hodnoty řešení Vjj síťovou Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 703 rovnici neboli diferenční schéma Vi-ij ~ 2víj + Vi+ij Vij-x-lVjj +vUj+i _ ~r , o — Ji j • V případě čtvercové sítě, tj. h\ — h2 — h, bude tato rovnice ještě jednodušší: Vj-lJ + Vj + l,j + VjJ-l + VjJ + 1 - 4Vjj _ r Pomocí vzorce (7.7) můžeme sestavit rovnici pro y každý uzel i, j, pro nějž všechny body šablony leží uvnitř množiny Q nebo přesně na hranici dQ (v bodě, který je přesně na hranici, je hodnota u(x, y) známá, je daná funkcí (p(x, v), protože musí být splněna okrajová podmínka (7.6)). Pokud ale některý bod šablony padne mimo množinu Í2, musíme příslušnou rovnici sestavit jinak. Situaci ilustruje obr. 7.2, kde Í2 je kruh — přesně na hraniční ~q kružnici jsou pouze čtyři body označené kroužkem. (7.7) (7.8) X Obr. 7.2: Dirichletova úloha na kruhu Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H 4* Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 704 Přenos okrajových podmínek Je-li uzel velmi blízko hranice, je (jako hrubou náhradu) možné vzít za hodnotu v tomto uzlu hodnotu funkce (p(x, y) v nejbližším hraničním bodě. Jinou možností je provést lineární interpolaci nebo extrapolaci pomocí hodnot v blízkých bodech. Ukážeme, jak je možné postupovat (viz např. [57, str. 258]). Použijeme označení z obr. 7.3. Dva body označíme indexy 0 a 1 a třetí písmenem A. Jejich souřadnice nechť jsou po řadě [xo, jo]> [*i> Ji] a ixa, J7^]- Vzdálenost bodu A a bodu s indexem Oje 8. Konečně označíme u(xa, y a) — u a, u(x\, y i) = u\ a u(xo, y o) — y o) — 0 hodnoty v uzlových bodech konvergují k hodnotě přesného řešení a chyba je 0(\\h ||2). Obsah Jdi na stranu \4 ►i Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 708 Ukázka 7.1 Uvažujme Poissonovu rovnici uXx + uyy = 30x2 - y2, s Dirichletovými okrajovými podmínkami O^x^l, O^j/^1 u(x, 0) u(x, 1) u(0,y) u(l,y) — x, 0,5x(x - 1) + 1, 0,8y(y - 1) + 1, 0 ^ x ^ 1, 0 S x S 1, Oáj á 1, 0á J á 1. Množina Q je uzavřený čtverec (0,1) x (0,1), jehož hranice h(Q) je tvořena čtyřmi úsečkami. Okrajové podmínky jsou zadané tak, že funkce cp(x, y) je na této hranici spojitá. Při řešení byla použita čtvercová síť s krokem h = 1/20. Počet bodů sítě tedy je 212 = 441. Odečteme-li body na hranici, v nichž známe přesné hodnoty řešení, dostaneme čtvercovou soustavu lineárních rovnic o 192 = 361 neznámých. Vnitřním uzlům odpovídají rovnice o pěti neznámých, hraničním uzlům (tj. takovým, kdy některý bod šablony bude ležet na geometrické hranici obdélníka) rovnice o třech nebo čtyřech Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 709 neznámých. Řešením této soustavy dostaneme přibližné hodnoty Vjj v uzlových bodech. Na obr. 7.4 a) jsou zobrazeny okrajové podmínky a na obr. 7.4 b) jsou zobrazené přibližné hodnoty řešení u (x, y) této úlohy v uzlových bodech. Na obr. 7.5 je těmito body proložena plocha dávající představu o řešení na celém čtverci. Obsah Jdi na stranu \4 ►i Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 710 a) Okrajové podmínky b) Hodnoty řešení v uzlových bodech Obr. 7.4: Řešení Poissonovy rovnice Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 712 7.4 Smíšená úloha pro rovnici vedení tepla Uvažujme rovnici difuzního typu ut = a2uxx + f(x,t), kde m = !i(i,/),0|i-^/,í |0,l > 0, a > 0, s počáteční podmínkou u(x,0) — Ý(x)> 0 = a = /, (7.9) (7.10) a okrajovými podmínkami w(0,r) = a ^2(0 Jsou spojité funkce takové, že ^(0) — ^i(0) a Ýď) — ^2(0). Tato rovnice může popisovat např. vedení tepla v tyči délky /. Funkce u(x, t) udává teplotu tyče v bodě x v čase t. Funkce ý (x) popisuje rozložení teploty na počátku, tj. v čase t = 0, a funkce cp\ (t) a (p2(t) popisují teploty na koncích tyče. Funkce f(x,t) popisuje rozložení (hustotu) tepelných zdrojů. Jiný jev, který tato rovnice může popisovat, je difúze Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 713 v tenké trubici. Pak u(x, t) udává koncentraci difundující látky v bodě x v čase t, funkce (p(x) popisuje její počáteční koncentraci, funkce cp\ (t) a tpiif) popisují koncentrace na koncích trubice a funkce f(x,t) představuje zdroje. Řešení nemůžeme hledat na nekonečném časovém intervalu, proto se omezíme na interval t G (0, T), kde T > 0. Volíme obdélníkovou síť s kroky h > 0, r > 0, kde h — l/n, x — T Im, m, n G N. Tedy interval (0,/) rozdělíme na n stejných dílků a interval (0, T) na m stejných dílků — viz obr. 7.6. Označíme u (xi ,tj) = U\j, i — 0,..., n, j = 0.....in. Hodnoty v hraničních uzlech známe: u to = ý(xi),i = 0,..., n, a uqj — (pi(tj), = (piifj), j — 0,..., m. Na obr. 7.6 jsou tyto uzly vyznačeny plnými kroužky. Ve u nj zbývajících uzlech (jsou vyznačeny prázdnými kroužky) musíme hodnoty řešení určit. Obsah Jdi na stranu \< ►i Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 715 Pro sestavení síťových rovnic použijeme následující dvouvrstvou šestibodovou šablonu: i- 1,7+1 ř,y + l / +lj + l o- h -c p- r h -o o- h -< i- h -1» i - 1>7 i + 1,7 V rovnici (7.9) nahradíme pomocí vztahů (7.2) a (7.3) derivace. Nahrazení ut bude přímočaré: Ut(xi,tj)=UÍJ + í~UÍJ +0(T). X V případě uxx budeme postupovat trochu složitěji. Platí U xx {x i, t j) — ui-i,j — 2Uij + Mi+i, J h' + 0(h2) UXx(Xi> tj + \) — Wi-i,7+i — 2uíj+\ + Uí+\j+\ ~h2 + O (h2). Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 716 Nyní zvolíme reálné číslo a a z posledních dvou vztahů vytvoříme vážený průměr s vahami a a 1 — <7, kterým aproximujeme druhou derivaci uxx. Konečně označíme fij — f (xj, t j + 0,5r) (bod [xj , t j + 0,5r] leží uprostřed mezi body [xj , fy] a [xj , fy+i]). Po zanedbání zbytků dostaneme pro přibližné hodnoty řešení Vjj vztah ViJ + l ~ vij = 2 cr-~--h K- + (l-a) h- ] + fu> z něhož po úpravě obdržíme tzv. diferenční schéma s vahou 2 a x 2 ar = % + (1 - ^-f^ivi-U ~ 2vij + + r/;7. (7.12) Tato lineární síťová rovnice váže přibližné hodnoty řešení v šesti bodech výše uvedené šablony. Všimneme si tří speciálních případů. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 717 Explicitní schéma (a = 0) Diferenční schéma bude mít následující podobu: 2 ar Vij+i = vij + — (ví-u - 2vij + Vi+u) + xfij. (7.13) Levá strana obsahuje hodnotu pouze v jednom bodě (j + l)-ní vrstvy, takže šablona se zjednoduší: i J + 1 o h h i - l,y h J i + 1,7 Protože známe hodnoty řešení Vjj v nulté vrstvě, tj. pro j = 0, a na levé a pravé straně obdélníku (0, /) x (0, T) — na obr. 7.6 jsou tyto uzly vyznačeny plnými kroužky, umožňuje nám vzorec (7.13) počítat řešení po vrstvách. Stačí umístit základnu šablony na nultou vrstvu, tj. ve vzorci (7.13) zvolit j = 0, a např. odleva doprava postupně určit hodnoty neznámých V\\, ..., vn-\^\. Pak šablonu zvedneme o jednu vrstvu, tj. zvolíme j — 1, Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 718 a obdobně určíme hodnoty neznámých v 12, ..., vn-\^2. A tak dál. Nevzniká tedy rozsáhlá soustava lineárních rovnic, kterou je nutné řešit jako celek. Proto se toto schéma nazývá explicitní. Je-li a ^ 0, nazývá se schéma implicitní a situace je jiná. Levá strana vzorce (7.12) obsahuje s nenulovými koeficienty přibližné hodnoty řešení ve třech sousedních bodech (7 + l)-ní vrstvy. Pro 7=0 můžeme dosadit do pravé strany známé hodnoty v nulté vrstvě. Posouváme-li šablonu postupně zleva doprava, tj. volíme-li / = 1,..., n — 1, dostaneme soustavu n — 1 lineárních rovnic pro neznámé vn, ..., 1^-1,1 v první vrstvě. Přitom první rovnice obsahuje pouze neznámé V\\ a v2\ (hodnotu Vq\ známe přesně), druhá rovnice obsahuje neznámé i>n, v2\ a 1*31 atd. Předposlední rovnice obsahuje neznámé ^-3,i> ^n-2,\ a a poslední pouze neznámé a vn-i9\ (hodnotu vn\ opět známe přesně). Matice soustavy je tudíž třídiagonální a na řešení takových soustav existují velmi účinné metody. Podobně postupujeme dále. Ve vzorci (7.12) zvolíme 7 = 1 a sestavíme stejným způsobem soustavu lineárních rovnic pro neznámé V\2, ..., 1^-1,2- A tak dál. Na rozdíl od eliptického případu (Laplaceova a Poissonova rovnice) nemusíme řešit jednu obrovskou soustavu pro všechny neznámé Vjj jako celek, dojde k rozpadnutí na samostatné soustavy Obsah Jdi na stranu \4 ►i Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 719 pro každou vrstvu zvlášť. V praxi se používají zejména následující dva případy implicitních schémat. Ryze implicitní schéma (a = 1) Diferenční schéma bude mít následující podobu: 2 ar h< (Vi-ij+i ~ 2víj+1 + Vj+ij+i) = Vij + xfi (7.14) Pravá strana obsahuje hodnotu pouze v jednom bodě j -té vrstvy, takže šablona se zjednoduší: i- 1,7+1 ř,y+l / + 1,7+1 h h Jedná se o implicitní schéma, jehož použití bylo popsáno výše. Postupujeme odspodu a pro každou vrstvu musíme řešit soustavu lineárních rovnic s třídiagonální maticí. Pro- Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 720 tože z předchozí vrstvy se používá vždy jen jedna hodnota, nazývá se toto schéma ryze implicitní. Crankovo-Nicolsonové schéma (a = 1/2) Diferenční schéma bude mít následující podobu: 2 ar 2h 2(Ui-l,y + l -2víj + i + vi + lJ + l) — = VU + 2 a x (Vi-u - 2víj + ^+1,/) + r/u. (7.15) Používá se tedy obecná dvouvrstvá šestibodová šablona. Jedná se o implicitní schéma, jehož použití bylo popsáno výše. Postupujeme odspodu a pro každou vrstvu musíme řešit soustavu lineárních rovnic s třídiagonální maticí. Toto schéma se nazývá Crankovo1--Nicolsonové1. Níže uvidíme, proč je právě volba a — 1/2 zajímavá. 1 Ji ik (1916-2006) (čti krenk) — anglický numerický matematik. 2F lis Nicolsonová (1917-1968) (čti nikolsnová) — anglická fyzička. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 721 Lze dokázat (viz [46, str. 238] nebo [47, str. 262]), že pro dostatečně hladké funkce f(x, t), ý(x), (p\(t) a (p2(t) diferenční schéma (7.12) aproximuje úlohu (7.9)-(7.11) s přesností O(h2 + r) pro a ^ 1/2 a s přesností O(h2 + r2) pro a — 1/2 (Crankovo--Nicolsonové schéma). Dále lze ukázat (viz [46, str. 240] nebo [47, str. 268]), že pokud je a ^ 0 a je splněna podmínka 1 h2 a= (7'16) 2 4a2r je schéma (7.12) stabilní (v jisté normě). Tedy v případě explicitního schématu (7.13) je stabilita zajištěna podmínkou a2r 1 _ < _ h 2 — (7.17) (říkáme, že toto schéma je neabsolutně stabilní). Schéma je konvergentní s řádem jedna (chyba je 0(r + h2)). Podmínka (7.17) je podstatná. Pokud není splněna, vychází zcela nesmyslné výsledky. Podmínka vynucuje, že krok r musí být vzhledem k h poměrně velmi malý, protože musí platit r ^ h2/(2a2). Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 722 Ryze implicitní schéma (7.14) je stabilní pro libovolné kroky (říkáme, že je absolutně stabilní). Schéma je konvergentní s řádem jedna (chyba je 0{x + h2)). Obecně implicitní schéma je pro a ^ 1/2 rovněž absolutně stabilní a řád konvergence je aspoň jedna (chyba je 0(r + h2)). Schéma Crankovo-Nicolsonové (7.15) je tudíž absolutně stabilní. Schéma je konvergentní s řádem dvě (chyba je 0(r2 + h2)). Ukázka 7.2 Uvažujme rovnici vedení tepla u t — u XX > 0 ^ x ^ 4, 0 ^ ŕ < oo, s počáteční podmínkou u(x, 0) = x(4 — x) 0 ^ x ^ 4, a okrajovými podmínkami u(0,t) = 4re ř, w(4,0 = 4re l\ 0 £ ř < oo Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 723 Při označení z (7.9) platí, že a — 1 a / = 4. Dále je ý(x) = x(4 — x), (f\(t) = 4te ř, ^2(0 — 4te~t a f(x,t) = 0. Rovnice může popisovat např. vedení tepla v tyči. Použijeme Crankovo-Nicolsonové implicitní schéma (7.15). Zvolili jsme T = 6, řešení tedy bylo nalezeno na obdélníku (0,4) x (0, 6). Dále jsme vybrali n = 15, m = 50, takže A = 4/15 = 0,27 a r = 6/50 = 0,12. Použité schéma je vždy konvergentní. Počet bodů sítě je 16-51 = 816. Odečteme-li hraniční body, v nichž známe přesné hodnoty řešení, zůstane 700 neznámých. Vzniklou soustavu síťových rovnic nemusíme řešit jako celek, rozpadne se na 50 menších soustav odpovídajících neznámým v jednotlivých vrstvách, které mají po 14 neznámých. Neznámé udávají přibližné hodnoty řešení v uzlových bodech. Na obr. 7.7 jsou zobrazeny okrajové podmínky a počáteční podmínka a na obr. 7.8 jsou zobrazené přibližné hodnoty řešení u(x, t) této úlohy v uzlových bodech. Na obr. 7.9 je těmito body proložena plocha dávající představu o řešení na celém obdélníku. Na obr. 7.10 je animace znázorňující vyrovnávání teploty tyče v časovém intervalu (0, 6). Na obr. 7.11 je zobrazen graf řešení, které bylo získáno na téže síti pomocí schématu (7.12) pro o — 0,31. Pro tuto hodnotu není splněna podmínka stability (7.16) — vyjde 1/2 — h2/(4a2r) = 0,352 > a. Z obrázku je patrné, že výsledek je zcela nesmyslný. Stabilita schématu je tudíž podstatná vlastnost pro jeho konvergenci. Obsah Jdi na stranu \4 ►i Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 724 Obr. 7.7: Řešení rovnice vedení tepla — okrajové a počáteční podmínky Obsah Jdi na stranu \< ►i Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 725 --+..+.„.....+"',,.H..... +.-■■■■' ..;......+.....+.................*- .....t t m h Obr. 7.8: Řešení rovnice vedení tepla — hodnoty řešení v uzlových bodech Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 727 čas = 0.000000 u (x, ŕ) 2 Obr. 7.10: Animace řešení rovnice vedení tepla (vyrovnávání teploty tyče) Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 728 Obsah Jdi na stranu \4 A ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 729 7.5 Smíšená úloha pro vlnovou rovnici Uvažujme vlnovou rovnici utt = a2uxx + f(x,t). kde u = u(x,t), 0 ^ x ^ /, ŕ ^ 0, / > 0, a > 0, s počátečními podmínkami u(x,0) — Ýi(x)> ut(x,0) — Ý2(x), 0 á x = U (7.18) (7.19) a okrajovými podmínkami w(0,r) = Ý2(x), 0. Volíme obdélníkovou síť s kroky h > 0, r > 0, kde h — l/n, x — T Im, m, n G N. Tedy interval (0,/) rozdělíme na n stejných dílků a interval (0, T) na m stejných dílků — viz obr. 7.12. Označíme u(xi ,tj) — Uij, i — 0,..., n, j = 0.....in. Hodnoty v hraničních uzlech známe: u to = ý\(xi),i — 0,..., n, a Uqj — (p\(tj), unj — Protože hodnoty Voo, • • •, Vno nulté vrstvy přesně známe (musí být splněna první počáteční podmínka), můžeme pomocí vztahu (7.23) resp. (7.24) snadno určit hodnoty v první vrstvě. Po úpravě dostaneme .2 (7.25) 2 2 x a vn = vío + rÝi(xi) + -y- Ýi + y fio resp. vn = vi0 + TÝ2(Xi) + 2 2 TA 2^2 (ui-i,o - 2vi0 + u,-+i,0) + y fio (7.26) Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 737 Postupně volíme / = 1, ..., n — 1. Protože všechny hodnoty na pravých stranách obou předchozích rovností jsou známé, získáme hodnoty i>n, ..., vn-i9\ (hodnoty Voi a vn\ jsou přesně dány okrajovými podmínkami). Následující obrázek znázorňuje, které hodnoty nulté vrstvy (jsou označeny plnými kroužky) jsou použity pro určení v n pomocí vzorce (7.25) (levé schéma, jedna hodnota) resp. (7.26) (pravé schéma, obecně tři hodnoty). U o h i,0 i - 1,0 U o i,0 h i + 1,0 Dále rozlišíme dva případy. Explicitní schéma (a = 0) Diferenční schéma (7.21) bude mít následující podobu: Vij+i = 2víj - vu-i + 2 2 ar ,j (Vi-ij - 2vij + Vi+u) + r2ft (7.27) Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 738 Levá strana obsahuje hodnotu pouze v jednom bodě (j + l)-ní vrstvy, takže šablona se zjednoduší: i J + 1 o h i - l,y h i J ~ 1 i + h j Protože známe hodnoty řešení Vjj v nulté a první vrstvě, tj. pro j = 0 a j = 1, a na levé a pravé straně obdélníku (0, /) x (0, T) — na obr. 7.12 jsou tyto uzly vyznačeny plnými kroužky a trojúhelníčky, umožňuje nám vzorec (7.27) počítat řešení po vrstvách. Stačí umístit základnu šablony na nultou vrstvu, tj. ve vzorci (7.27) zvolit j = 1, a např. odleva doprava postupně určit hodnoty neznámých v 12, ..., ^-1,2- Pak šablonu zvedneme o jednu vrstvu, tj. zvolíme j = 2, a obdobně určíme hodnoty neznámých 1*13, ..., 1^-1,3. A tak dál. Nevzniká tedy rozsáhlá soustava lineárních rovnic, kterou je nutné řešit jako celek. Proto se toto schéma nazývá explicitní. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 739 Implicitní schéma (a ^ 0) Je-li a ^ 0, nazývá se schéma (7.21) implicitní a situace je jiná. Levá strana vzorce (7.21) obsahuje s nenulovými koeficienty přibližné hodnoty řešení ve třech sousedních bodech (j + 1)-první vrstvy. Pro j = l můžeme dosadit do pravé strany známé hodnoty v nulté a první vrstvě. Posouváme-li šablonu postupně zleva doprava, tj. volíme-li / = 1 až n — 1, dostaneme soustavu n — 1 lineárních rovnic pro neznámé v 12, ..., ^-1,2 v druhé vrstvě. Přitom první rovnice obsahuje pouze neznámé ľ 12 a V22 (hodnotu V02 známe přesně), druhá rovnice obsahuje neznámé V\2, v22 a ^32 atd. Předposlední rovnice obsahuje neznámé vn-3j2, Vn-2,2 a ^-1,2 a poslední pouze neznámé vn-2,2 a ^-1,2 (hodnotu vn2 opět známe přesně). Matice soustavy je tudíž třídiagonální a na řešení takových soustav existují velmi účinné metody. Podobně postupujeme dále. Ve vzorci (7.21) zvolíme j = 2 a sestavíme stejným způsobem soustavu lineárních rovnic pro neznámé ľ 13, ..., ľft-1,3. A tak dál. Na rozdíl od eliptického případu (Laplaceova a Poissonova rovnice) nemusíme podobně jako v parabolickém případu (rovnice vedení tepla) řešit jednu obrovskou soustavu pro všechny neznámé Vjj jako celek, dojde k rozpadnutí na samostatné soustavy pro každou vrstvu zvlášť. Obsah Jdi na stranu \4 ►i Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 740 Lze dokázat (viz [47, str. 260 a 315]), že pro dostatečně hladké funkce f(x,t),Ýi (x)> Ý2(x)> 0 je nějaké číslo, je schéma (7.21) a (7.23) stabilní (v jisté normě). Tedy v případě explicitního schématu (7.27) a (7.23) je stabilita zajištěna podmínkou 2 2 a x < 1 *2 = 1 , (7'29) /z2 1 + e (říkáme, že toto schéma je neabsolutně stabilní). Tedy tato podmínka požaduje, aby podíl ax/ h byl menší než nějaké kladné číslo, které je menší nezjedná. Schéma je pak konvergentní s řádem dvě (chyba je 0(x2 + h2)). Pro o > 1/4 je podmínka (7.28) splněna pro libovolné kroky A a r (schéma je absolutně stabilní), takže takové implicitní schéma (7.21) a (7.23) je konvergentní s řádem dvě (chyba je 0(x2 + h2)). Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 741 Rovněž je možné ukázat (viz [47, str. 317]), že pokud je splněna podmínka 1 h2 4 4a2r2 ' a > - - (7.30) je schéma (7.21) a (7.24) stabilní (v jisté tzv. polonormě). Tedy v případě explicitního schématu (7.27) a (7.24) je stabilita zajištěna podmínkou ar h < 1 (7.31) (říkáme, že toto schéma je neabsolutně stabilní). Schéma je pak konvergentní s řádem dvě (chyba je 0(r2 + h2)). Podmínka (7.31) je známa jako Courantova . Pro g ^ 1/4 je podmínka (7.30) splněna pro libovolné kroky A a r (schéma je absolutně stabilní), takže takové implicitní schéma (7.21) a (7.24) je konvergentní s řádem dvě (chyba je 0(x2 + h2)). ll (1888-1972) (čti kurant) — významný německý matematik. V r. 1922 založil na univerzitě v Gottingenu Matematický institut. Roku 1933 byl vyhnán pro neárijský původ a odešel do USA. Na newyorkské univerzitě vytvořil výzkumné centrum pro aplikovanou matematiku. Byl spoluzakladatelem a prvním ředitelem Institutu matematických věd, který se stal jedním z nejprestižnějších světových matematických pracovišť; od r. 1964 nese jeho jméno (Courai hematical Sciences). Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 742 Explicitní schéma (a = 0) se speciální volbou kroků Podmínka (7.31) připouští volbu kroků A a r takovou, že r = h/a. Podíváme se, jak se příslušné vzorce zjednoduší. Protože délka T časového intervalu obecně nebude při takové volbě délky kroku r jejím celočíselným násobkem, zvolíme tedy počet dílků m na časové ose tak, aby tm — mx ^ T, tj. abychom se dostali za čas T — viz obr. 7.13. Dosadíme-li do vztahu (7.27) rovnost ax = h, dostaneme po úpravě, že Vi,j + 1 = Vi-l,j ~ Vi,j-1 + Vi + u + X2fij (7.32) Šablona se tedy zjednoduší, sítová rovnice neobsahuje neznámou Vjj i - l,y h i J + 1 r = h/a h i, j / + r = h/a i J ~ 1 Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 744 Podobně po dosazení do (7.26) vyjde po úpravě Vii =----V rÝ2(xi) + y fio (7.33) Tento vztah použijeme k určení hodnot i>n, ..., vn-\fi ze známých hodnot ľoo, • • •, Vno nulté vrstvy. Všimněte si, že vztah rovněž neobsahuje hodnotu Víq. Následující obrázek znázorňuje, které dvě hodnoty nulté vrstvy jsou použity pro určení Vn pomocí vzorce (7.33) (jsou označeny plnými kroužky). U o h h i - 1,0 i,0 i + 1,0 Explicitní schéma (7.32) a (7.33) je (podmíněně) stabilní, a tudíž konvergentní s řádem dvě (chyba je 0(r2 + h2) = 0(h2/a2 + h2) = 0(h2)). Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 745 Ukázka 7.3 Uvažujme vlnovou rovnici utt — 3uxx, 0 ^ x ^ 3, 0 ^ ŕ < oč. s počátečními podmínkami u(x, 0) = ^ (6x — x2 — 8)2(x — l)x, ut{x, 0) = 0, 0 < x < 3. a okrajovými podmínkami w(0,ř) = sinř + e — 1, w(3,ŕ) = l, 0 £ ŕ < oo. Při označení z (7.18) platí, že a = V3a/ = 3.Dáleje^i(x) = | (6x—x2—8)2(x—l)x, Ýiix) — 0, (ŕ) = sin t + e_ř — 1, (p2{t) — la f(x,t) = 0. Rovnice může popisovat např. kmitání struny. Použijeme implicitní schéma (7.21) pro a — 1 a (7.26). Zvolili jsme 71 = 6, tedy řešení bylo nalezeno na obdélníku (0, 3) x (0, 6). Dále jsme vybrali n — 30, m — 104 takže /z = 3/30 = 0,lar = 6/104 = 0,058. Použité schéma je vždy konvergentní. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 746 Počet bodů sítě je 31 • 105 = 3 255. Odečteme-li hraniční body, v nichž známe přesné hodnoty řešení, zůstane 3 016 neznámých. Nejprve pomocí vztahu (7.26) vypočítáme 29 neznámých v\9i, ..., i>29,i v první vrstvě. Pak pomocí vztahu (7.21) vypočítáme zbývající neznámé. Vzniklou soustavu síťových rovnic nemusíme řešit jako celek, rozpadne se na 103 menších soustav odpovídajících neznámým v jednotlivých vrstvách, které mají po 29 neznámých. Neznámé udávají přibližné hodnoty Vjj řešení v uzlových bodech. Na obr. 7.14 jsou zobrazeny okrajové a počáteční podmínky a na obr. 7.15 jsou zobrazené přibližné hodnoty řešení u(x, t) této úlohy v uzlových bodech. Na obr. 7.16 je těmito body proložena plocha dávající představu o řešení na celém obdélníku. Na obr. 7.17 je animace znázorňující kmitání struny v časovém intervalu (0, 6). Obsah Jdi na stranu \< ►i Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 750 čas = 0.000000 u(x, t) Obr. 7.17: Animace řešení vlnové rovnice (kmity struny) Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 751 Pojmy k zapamatování — lineární parciální diferenciální rovnice druhého řádu — princip metody sítí — síť, hraniční a vnitřní body sítě — šablona, diferenční schéma, síťové rovnice — korektnost a stabilita diferenčního schématu — diferenční schéma aproximující úlohu — konvergentní diferenční schéma — náhrada derivací diferencemi — Dirichletova úloha pro Poissonovu rovnici — šablona pro Poissonovu rovnici — přenos okrajových podmínek — konvergence diferenčního schématu pro Poissonovu rovnici — smíšená úloha pro rovnici vedení tepla Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 752 šablona pro rovnici vedení tepla, explicitní a implicitní schémata stabilita a konvergence schémat pro rovnici vedení tepla smíšená úloha pro vlnovou rovnici šablona pro vlnovou rovnici, explicitní a implicitní schémata stabilita a konvergence schémat pro vlnovou rovnici Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 753 Kontrolní otázky 1. Co rozumíme sítí a s jakými typy sítí se můžeme setkat? 2. Co je výsledkem řešení parciálních diferenciálních rovnic metodou sítí? 3. Které uzly se nazývají hraniční a které vnitřní? 4. Co je to šablona? 5. Popište postup řešení PDR metodou sítí. 6. Co jsou to síťové rovnice? 7. Co je to diferenční schéma? 8. Kdy je diferenční schéma korektní? 9. Co znamená, že diferenční schéma aproximuje nějakou parciální diferenciální rovnici s okrajovými a počátečními podmínkami? 10. Co znamená, že diferenční schéma je konvergentní? Uveďte postačující podmínku konvergence diferenčního schématu. 11. Čím nahrazujeme první a druhé parciální derivace při řešení parciálních diferenciálních rovnic metodou sítí? 12. Napište, jak vypadá Poissonova rovnice. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 754 13. Napište, jak vypadá Laplaceova rovnice. 14. Jakou úlohu označujeme Dirichletova? 15. Jak vypadá šablona pro řešení Poissonovy rovnice metodou sítí? 16. Které podmínky označujeme jako počáteční a které jako okrajové? 17. Napište, jak vypadá rovnice smíšené úlohy pro vedení tepla. 18. Jak vypadá síť pro rovnici vedení tepla? 19. Nakreslete, jak vypadá šablona pro řešení smíšené úlohy pro vedení tepla metodou sítí v případě implicitního, explicitního a ryze implicitního schématu. 20. Co je Crankovo-Nicolsonové schéma a čím se odlišuje od ostatních schémat? 21. Napište podmínku pro stabilitu řešení úlohy pro vedení tepla v případě implicitního schématu. 22. Napište podmínku pro stabilitu řešení úlohy pro vedení tepla v případě explicitního schématu. 23. Jak vypadá postup řešení smíšené úlohy pro vedení tepla metodou sítí? Čím se liší použití explicitního a implicitního schématu? 24. Napište, jak vypadá rovnice smíšené úlohy pro vlnovou rovnici. 25. Jak vypadá síť pro řešení vlnové rovnice? Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 755 26. Nakreslete, jak vypadá šablona pro řešení smíšené úlohy pro vlnovou rovnici metodou sítí v případě implicitního a explicitního schématu. 27. Co je explicitní schéma pro vlnovou rovnici se speciální volbou kroků? 28. Jak vypadá postup řešení smíšené úlohy pro vlnovou rovnici metodou sítí? Čím se liší použití explicitního a implicitního schématu? 29. Napište podmínku pro stabilitu řešení vlnové rovnice v případě implicitního schématu. 30. Napište podmínku pro stabilitu řešení vlnové rovnice v případě explicitního schématu. 31. Jaký je rozdíl při použití explicitních a implicitních diferenčních schémat pro rovnici vedení tepla resp. vlnovou rovnici? Srovnejte situaci s řešením Poissonovy rovnice. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 756 Testy ke kapitole 7 Vyberte správnou odpověď (právě jedna je správná). Za chybnou odpověď se neodečítají body. Test lze kdykoli tlačítky na konci ukončit a nechat si vypsat správné odpovědi. Testi 1. (lb.) Vyberte, která odpověď nejlépe charakterizuje, co je síť. Je to množina křivek, které spojují uzlové body; dva uzly mohou být spojeny nejvýše jednou takovou křivkou. Je to konečná množina bodů, která pokrývá definiční obor uvažované parciální diferenciální rovnice. Je to konečná množina trojúhelníků, jejichž sjednocení pokrývá definiční obor uvažované parciální diferenciální rovnice. Je to konečná množina obdélníků, jejichž sjednocení pokrývá definiční obor uvažované parciální diferenciální rovnice. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H 4* Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 757 2. (lb.) Jaký je princip numerického řešení metodou sítí? Najdeme přesné hodnoty řešení uvažované parciální diferenciální rovnice v uzlech sítě. Najdeme analytické řešení uvažované parciální diferenciální rovnice. Najdeme přibližné analytické řešení uvažované parciální diferenciální rovnice platné v celém definičním oboru. Jeho přesnost je však uspokojující pouze v uzlových bodech. Najdeme přibližné hodnoty řešení uvažované parciální diferenciální rovnice v uzlech sítě. 3. (lb.) Parciální diferenciální rovnice uxx + uyy vlnová rovnice. Miillerova. 0 se nazývá Mählerova. Moellerova. Fourierova. Poissonova. Dirichletova. Laplaceova. rovnice vedení tepla. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 758 4. (lb.) Co to znamená, že diferenční schéma Ah V h — B h je korektní? Pro libovolné malé || A || je dobře podmíněné. Je podmíněně konvergentní. Pro dostatečně malé || má pro libovolnou pravou stranu B h jediné řešení a je stabilní. Pro dostatečně malé || je matice A h regulární. 5. (lb.) Co to znamená, že diferenční schéma Ah V h — B h je konvergentní? Musí platit, že || Vh — U h II 0 pro II h || -> 0, kde U h je sloupec přesných hodnot řešení v bodech sítě. Musí platit, že \Bh — A^Uh \\ ^0 pro \\h\\ —>► 0, kde U h je sloupec přesných hodnot řešení v bodech sítě. Musí existovat kladná konstanta M taková, že \A~^ || ^ M pro libovolné dostatečně malé ||/i ||. Sloupec hodnot Vh v bodech sítě konverguje k hodnotám přibližného řešení. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 759 6. (lb.) Která šablona odpovídá obecnému diferenčnímu schématu pro smíšenou úlohu pro rovnici vedení tepla? hi i J + 1 o ti- hi i - l,y h2 i, j - 1 i, j / + i J + 1 o h h i - l,y *>7 i + 1,7 i ~ 1,7 *>7 i + 1,7 i-1,7+1 /,7+l /+ 1,7+1 T i - 1,7 r 9-c /z /z í i í ?-9 h T h í í í h <>-< t \ r Z h 1-o r í + 1,7 r / — 1,7 — 1 z, 7 - 1 / + 1, 7 - 1 Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 760 7. (lb.) Která šablona odpovídá obecnému diferenčnímu schématu pro smíšenou úlohu pro vlnovou rovnici? i J + 1 o h h i - l,y *>7 i + 1,7 i, j + 1 o ti- hi i - l,y h2 i, j - 1 i J ř + 1,7 i- 1,7+1 ř,7+l / +1,7+1 r i - 1,7 z 9-s /z /z é k á ?-9 /z r /z k á k h O-1 p l p r /z i-o r í + 1,7 r / — 1, 7 — 1 z, 7—1 z + 1, 7 - 1 i - 1,7 *>7 i + 1,7 Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 761 8. (lb.) Které tvrzení o soustavě síťových rovnic získané při řešení smíšené úlohy pro rovnici vedení tepla pomocí Crankova-Nicolsonové schématu je správné? Soustavu není možné řešit přímými metodami. Soustavu se rozpadne na menší soustavy pro jednotlivé vrstvy. Soustavu je nutné řešit jako celek, je ireducibilní. Řešení soustavy v podstatě odpadne, hodnoty jednotlivých neznámých počítáme postupně po vrstvách. 9. (lb.) Které tvrzení o soustavě síťových rovnic získané při řešení smíšené úlohy pro vlnovou rovnici pomocí explicitního schématu je správné? Soustavu se rozpadne na menší soustavy pro jednotlivé vrstvy. Soustavu není možné řešit iteračními metodami. Řešení soustavy v podstatě odpadne, hodnoty jednotlivých neznámých počítáme postupně po vrstvách. Soustavu je nutné řešit jako celek, je ireducibilní. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 763 Test 2 1. (lb.) Uzly sítě dělíme na externí a interní, hraniční a vnitřní. otevřené a uzavřené. uzly se sudou a lichou násobností. 2. (lb.) Co jsou to síťové rovnice? Jsou to lineární algebraické rovnice vzniklé diskretizací uvažované parciální diferenciální rovnice v uzlech sítě. Jsou to nelineární algebraické rovnice vzniklé diskretizací uvažované parciální diferenciální rovnice v uzlech sítě. Jsou to obyčejné lineární diferenciální rovnice získané zafixováním jedné nezávisle proměnné. Jsou to obyčejné nelineární diferenciální rovnice získané zafixováním jedné nezávisle proměnné. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 764 3. (lb.) Co to znamená, že diferenční schéma Ah V h — B h je stabilní? Pro dostatečně malé || A || je matice A h regulární. Pro libovolné malé ||A || je dobře podmíněné. Musí existovat kladná konstanta M taková, že 11| = M pro libovolné dostatečně malé ||A ||. Je podmíněně konvergentní. 4. (lb.) Jaké podmínky zaručují, že diferenční schéma Ah V h — B h je konvergentní? Když je diferenční schéma korektní a konzistentní. Když je diferenční schéma stabilní a aproximuje uvažovanou parciální diferenciální rovnici. Když je diferenční schéma korektní a stabilní. Když je diferenční schéma dobře podmíněné. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 765 5. (lb.) Parciální diferenciální rovnice ut — a2uxx + f(x,t) se nazývá Dirichletova. Poissonova. vlnová rovnice. Miillerova. Mählerova. rovnice vedení tepla. Moellerova. Fourierova. Laplaceova. 6. (lb.) Které tvrzení o soustavě síťových rovnic získané při řešení Dirichletovy úlohy pro Poissonovu rovnici na obdélníku je správné? Soustavu je nutné řešit jako celek, je ireducibilní. Soustavu je možné řešit po vrstvách. Soustavu je možné řešit po sloupcích. Soustavu není možné řešit iteračními metodami. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 766 7. (lb.) Která šablona odpovídá explicitnímu diferenčnímu schématu pro smíšenou úlohu pro rovnici vedení tepla? i - 1,7 *>7 i + 1,7 i J + 1 o h h i - l,y *>7 i + 1,7 o- i ~ 1>7 hi i J + 1 o ti- h2 i, j - 1 i, j / + 1,7 i-1,7+1 ř,7+l ř +1,7+1 i ~ 1,7 9-c h h í í í ?-9 h t h í í í i J h <>-< t \ r Z h 1-o r í + 1,7 r / — 1,7 — 1 /, 7 — 1 z + 1, 7 - 1 Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 767 8. (lb.) Které tvrzení o soustavě síťových rovnic získané při řešení smíšené úlohy pro vlnovou rovnici pomocí diferenčního schématu s nenulovou vahou je správné? Řešení soustavy v podstatě odpadne, hodnoty jednotlivých neznámých počítáme postupně po vrstvách. Soustavu není možné řešit přímými metodami. Soustavu se rozpadne na menší soustavy pro jednotlivé vrstvy. Soustavu je nutné řešit jako celek, je ireducibilní. 9. (lb.) Co znamená, že diferenční schéma je absolutně stabilní? Schéma je stabilní, i když okrajové podmínky uvažované úlohy nahradíme jejich absolutními hodnotami. Když aproximuje uvažovanou úlohu aspoň s řádem dvě. Když podmínky zajišťující stabilitu automaticky zajišťují i aproximaci uvažované úlohy. Když je stabilní při libovolné délce kroků. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 769 Test 3 1. (lb.) Vyberte, která odpověď nejlépe charakterizuje, co je šablona. Je to postup, který se používá k řešení uvažované parciální diferenciální rovnice. Je to obdélníkové schéma, které se používá k zadání počátečních a okrajových podmínek uvažované parciální diferenciální rovnice. Je to skupina blízkých bodů sítě, na niž se provádí diskretizace uvažované parciální diferenciální rovnice. Je to nepravidelné schéma, které se používá k přenosu počátečních nebo okrajových podmínek uvažované parciální diferenciální rovnice. 2. (lb.) Parciální diferenciální rovnice uxx -r uyy Mählerova. Moellerova. Fourierova. Dirichletova. vlnová rovnice. Můllerova. /(x, j/), /(x, y) # 0, se nazývá Poissonova. rovnice vedení tepla. Laplaceova. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 770 3. (lb.) Jaký je rozdíl mezi pojmy diferenční schéma a síťová rovnice? Síťové rovnice jsou speciálním případem diferenčních schémat. Diferenční schémata jsou speciálním případem síťových rovnic. Je to totéž. Tyto dva pojmy spolu nijak nesouvisí. 4. (lb.) Co to znamená, že diferenční schéma Ah V h — B h aproximuje nějakou parciální diferenciální rovnici 2. řádu? Musí platit, že || Vh — U h II 0 pro II h || -> 0, kde U h je sloupec přesných hodnot řešení v bodech sítě. Musí existovat kladná konstanta M taková, že \A~^ || ^ M pro libovolné dostatečně malé ||/i ||. Musí být korektní a stabilní. Musí platit, že \Bh — A^Uh \\ ^0 pro \\h\\ —>► 0, kde U h je sloupec přesných hodnot řešení v bodech sítě. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 771 5. (lb.) Která šablona se používá pro diskretizací Dirichletovy úlohy pro Poissonovu rovnici? hi i J + 1 o ti- hi i - l,y h2 i, j - 1 i, j / + 1,7 i ~ 1,7 z,7 i + 1,7 i J + 1 o •- i - 1,7 h h i + 1,7 i-1,7+1 /,7+l / +1,7+1 t i ~ 1,7 z o- -c h p— r /z —o h /z r n- h -1 i— h -o r í + 1,7 r / — 1,7 — 1 z, 7 - 1 z + 1, 7 - 1 Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 772 6. (lb.) Která šablona odpovídá explicitnímu diferenčnímu schématu pro smíšenou úlohu pro vlnovou rovnici? i-1,7+1 /,7 + l / +1,7+1 t i ~ 1,7 x 9-s h h í í i ?-9 h Z h í í í i J h O-1 Z h i-o r i + 1,7 r i - 1, 7 - 1 i, 7—1 i + 1, 7 - 1 í,7 + 1 o h i - l,y h i, j / + 1,7 /,7 - 1 í, 7 + 1 o h h i - 1,7 i J ř + 1,7 /-1,7+1 /,7+l / +1,7+1 o-o-o h h Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 773 7. (lb.) Které tvrzení o soustavě síťových rovnic získané při řešení smíšené úlohy pro rovnici vedení tepla pomocí ryze implicitního schématu je správné? Řešení soustavy v podstatě odpadne, hodnoty jednotlivých neznámých počítáme postupně po vrstvách. Soustavu se rozpadne na menší soustavy pro jednotlivé vrstvy. Soustavu je nutné řešit jako celek, je ireducibilní. Soustavu není možné řešit přímými metodami. 8. (lb.) Které tvrzení o soustavě síťových rovnic získané při řešení smíšené úlohy pro rovnici vedení tepla pomocí explicitního schématu je správné? Řešení soustavy v podstatě odpadne, hodnoty jednotlivých neznámých počítáme postupně po vrstvách. Soustavu je nutné řešit jako celek, je ireducibilní. Soustavu se rozpadne na menší soustavy pro jednotlivé vrstvy. Soustavu není možné řešit přímými metodami. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 774 9. (lb.) Je explicitní diferenční schéma pro smíšenou úlohu pro vlnovou rovnici absolutně stabilní? Ano. Ano, ale jen v případě homogenní rovnice. Ne. Bez znalosti délky kroků to nelze říci. Správně zodpovězené otázky: Získané body: Procento úspěšnosti: Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž 115 Souhrnné testy Vyberte správné odpovědi (může být více správných odpovědí). Za chybný výběr se strhává bod. Test lze kdykoli tlačítky na konci ukončit a nechat si vypsat správné odpovědi. Testi 1 4 1 1. (3b.) Kvadraturní formule Q(f) = —f (—1) + g /(O) + (1)» nahrazující integrál /(x) dx, má stupeň přesnosti N = 3. Vyberte polynom, jehož integrál lze touto formulí určit s nulovou chybou. Žádný takový polynom /(x) = 1 — x3 + 3x. f (x) = x1 — 3x + 2. neexistuje. /(x) = x3 + 9x - 4. /(x) = x4 - 3x + 2. f(x) = x5 + x3-l. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 776 2. (2b.) Máme nalézt kořeny rovnice x sin x + 2x — x +4 = 0. Vyberte takové funkce fi (x) a f2{x), aby x-ové souřadnice průsečíků jejich grafů odpovídaly kořenům dané rovnice. fi(x) = x sinx a /2(x) = —x3 + 2x + 4. fi(x) = x sinx + 2x a /2(x) = —x + 4. /i(x) = x sinx a /2(x) = x3 — 2x — 4. fi(x) = -x a/2(x) = x sinx — x3 + 4 3. (lb.) Je Crankovo-Nicolsonové diferenční schéma pro smíšenou úlohu pro rovnici vedení tepla absolutně stabilní? Ano. Ne. Bez znalosti délky kroků to nelze říci. Záleží to na okrajových podmínkách. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 111 4. (lb.) Nechť se soustava Ax — B dá řešit metodou LU rozkladu a nechť platí A — LU. Vyberte správné tvrzení. Matice L je dolní trojúhelníková matice a U je horní trojúhelníková matice. Matice získáme z matice A diagonálním řezem, přičemž matice L má na diagonále samé jedničky. Matice L je dolní trojúhelníková matice a U je horní trojúhelníková matice. Matice získáme z matice A rozdělením podle diagonály, přičemž prvky na diagonále přidáme do matice U. Matice L je sestavena pomocí multiplikátorů při použití algoritmu GEM a U je výsledná horní trojúhelníková matice získaná příslušnými řádkovými úpravami. 5. (lb.) Definice oblasti absolutní stability numerické metody pro řešení ODR je založena na chování numerického řešení počáteční úlohy pro testovací rovnici y' = -,y(0) = í. y'= Xy,y(0) = l. y y' = Xy2, y(0) = 1. y' = X + y, y(0) = 1. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 778 6. (2b.) Pro speciální Lagrangeovy polynomy U (x) = (X-Xp)---(X- Xj-i)(x - Xj + i) •••(x-xn) (Xi -^o) " " " (Xi Xi — \)(Xi Xi-\-\) (Xi Xft) platí: stLi (x) = n a Li(xj) = 0 pro i ^ j, kde i, j = 1,..., n. stLi(x) = n a Lí(xí) = 0, Lí(xj) = 1 pro i ^ j. stLi(x) = n a Lí(xí) = l,i = 1,..., n. stLi(x) = n — 1 a Lí(xí) = 1, Lí(xj) = 0 pro i ^ j. 7. (lb.) Maticová norma indukovaná nějakými vektorovými normami se nazývá operátorová norma. součtová norma. podmíněná norma. Frobeniova norma. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 779 8. (lb.) V každém z n uzlových boduje předepsána funkční hodnota a hodnoty derivací až do řádu nejvýše m, m G N. Doplňte správné tvrzení: Pak Hermitův interpolační polynom je těmito podmínkami jednoznačně určen. není těmito podmínkami jednoznačně určen, je nutné přidat dvě okrajové podmínky. není těmito podmínkami jednoznačně určen, je nutné přidat dvě okrajové podmínky a jeden uzel. pro některé podmínky nemusí existovat. 9. (lb.) Vyberte předpis pro obecnou explicitní lineární k-krokovou metodu s konstantním krokem. yi+i = -aiyt-----akyi+1-k + h(b0fi+1 H-----h bkfi+1-k)9 b0 ^ 0. yt+i = yt + hi+i yt+i = yt + hi+i i. používáme u Jacobiovy metody j Při určování i-té složky (k + l)-ní iterace x\k+l^ používáme u Jacobiovy metody hodnoty Xjk\ j ^ /, kdežto u Gaussovy-Seidelovy metody hodnoty Xjk+1^ pro j < i a Xjk^ pro j > i Při určování / -té složky (k + l)-ní iterace x\k+l^ používáme u Gaussovy-Seidelovy metody hodnoty x^k\ j ^ i, kdežto u Jacobiovy metody hodnoty x)K^~LJ pro (k+i) Ák) j j j < i a Xj pro j > i (k+l) Při určování / -té složky (k + l)-ní iterace x metody hodnoty Xjk\ j ^ i, kdežto u Jacobiovy metody hodnoty x^ pro j < i (k+i) • ^ • a Xj pro j > i. používáme u Gaussovy-Seidelovy j Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 784 4. (lb.) Číslo podmíněnosti matice A určíme ze vztahu k (A) = \\A\\ • \\AT\\. k (A) = \A\ • \A~l k (A) = \A\ • \AT\. k (A) = \\A\\ • ||^4—1 5. (lb.) V případě, že funkci /(x) nahradíme interpolačním polynomem P(x) sestrojeným z jejích hodnot v uzlových bodech x i, i = 0,... n, potom platí: Funkce /(x) a polynom P(x) mají v uzlových bodech x\,i — 0,... n, stejné funkční hodnoty. Funkce /(x) a polynom P(x) mají v uzlových bodech X\, i — 0,. funkční hodnoty a stejné hodnoty prvních n derivací. Funkce /(x) a polynom P(x) nemusí mít v uzlových bodech X\, i stejné funkční hodnoty. Funkce f(x) a polynom P(x) nemají v uzlových bodech x i, i =0, funkční hodnoty. n, stejné = 0,... n, n, stejné Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 785 6. (3b.) Vyberte podmínky, které jsou ekvivalentní s tvrzením, že matice A G Win je regulární. K matici A existuje matice inverzní A A — A A — E, kde E je A ~1. j ednotková matice. \A\ ŕ 0. h(A) = n. 7. (lb.) Funkci /(x) máme aproximovat kvadratickým polynomem ve smyslu metody nejmenších čtverců. Vyberte správný předpis aproximující funkce (p(x). (p(x) = a + bx . (p(x) = ax + bx . (p(x) = a + bx + cx . (p(x) = a + bx. 8. (lb.) Pomocí Eulerovy explicitní metody nalezněte přibližnou hodnotu y\ přesné , 2y + x hodnoty y (1,1) pro počáteční úlohu y —--—, y(l) = 2, s krokem h = 0,1. 1 Vl = Vl = 3xj vi = 13 13 "3 "4 Úlohu nelze vyřešit, neznáme interval, na kterém řešení hledáme Vi = Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 786 9. (3b.) Vyberte metody, která patří mezi lineární vícekrokové metody. Adamsovy metody. Metody Rungeho-Kutty. Metody prediktor-korektor. Metody zpětného derivování. 10. (lb.) Parciální diferenciální rovnice utt — a2uxx + f(x, t) se nazývá Fourierova. Dirichletova. Poissonova. rovnice vedení tepla, vlnová rovnice. Miillerova. Moellerova. Mählerova. Laplaceova. 11. (2b.) Vyberte pravdivé tvrzení o úloze numerické integrace. Chyba způsobená nepřesnostmi ve vstupních hodnotách je nepodstatná. Je to obecně dobře podmíněná úloha. Je to obecně špatně podmíněná úloha. Rozhodující podíl na celkové chybě má chyba způsobená nepřesnostmi ve vstupních hodnotách. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 787 12. (3b.) Vyberte pravdivé tvrzení o úloze numerické derivace. Chyba způsobená nepřesnostmi ve vstupních hodnotách je nepřímo úměrná mocnině délky kroku. Je to obecně dobře podmíněná úloha. Je to špatně podmíněná úloha, jen když počítáme první derivace. Je to obecně špatně podmíněná úloha. Chyba numerického modeluje přímo úměrná mocnině délky kroku. Je to dobře podmíněná úloha, když počítáme derivace sudého řádu. Správně zodpovězené otázky: Získané body: Procento úspěšnosti: Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 788 Test 3 1. (2b.) Vypočtěte Frobeniovu maticovou normu matice A = 3 10 -4 -5 a/22. VÍ5Ô. 10. -4. 2. (2b.) Hledáme-li kořeny rovnice /(x) — 0, pak hledáme x-ové souřadnice průsečíků grafu funkce y — f (x) s osou x, průsečíky funkce y — f (x) s osou y. nenulová čísla a taková, že f (a) =0. reálná nebo komplexní čísla a, pro něž platí, že f (a) = 0. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 789 3. (lb.) Proč se v některých případech používá algoritmus GEM s částečným nebo úplným výběrem hlavních prvků? Protože jsou tyto algoritmy méně náročné na dobu výpočtu než GEM bez výběru hlavního prvku. Protože tyto algoritmy jsou obecně sofistikovanější než GEM bez výběru hlavního prvku a jsou výrazně rychlejší. Protože při použití GEM bez výběru hlavního prvku není tento algoritmus obecně numericky stabilní. Protože pro soustavy s velkým počtem rovnic jsou tyto algoritmy vhodnější. 4. (lb.) Vyberte nepravdivou odpověď: Kvadraturní formule, jejichž koeficienty A\ lze získat integrací interpolačního polynomu, který je určen body \%i, f(xj)], i = = 0,..., n, se nazývají Gaussovy kvadraturní formule. Lagrangeovy kvadraturní formule. Newtonovy-Cotesovy kvadraturní formule. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 790 5. (lb.) Pomocí Lagrangeova interpolačního polynomu L(x) =-f(x0) +-/Oi) Xq — X\ X\ — Xq vypočtěte hodnotu L(2), jsou-li příslušné údaje dány následující tabulkou: Xf 1,8 2,3 f(Xi) 2 3 0. 2. 12 13 5 5 6. (lb.) Definice D-stability lineární vícekrokové metody je založena na chování numerického řešení počáteční úlohy pro testovací rovnici / = 0, y(0) =0,x G (0,1). y' = Aj/, y(0) = l,xe (0,1). y' = 1, J/(0) =0,1 G (0,00). yr = A, j/(0) = 1, X G (0, oo). Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Ce/á obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 791 7. (2b.) Hermitův interpolační polynom má čtyři uzly. Počet podmínek v nich zadaných je postupně 2, 4, 4 a 1. Vyberte správné tvrzení: Hodnoty první derivace jsou předepsány ve čtyřech uzlech. Hodnoty druhé derivace jsou předepsány ve dvou uzlech. Hodnota třetí derivace je předepsána v jednom uzlu. Funkční hodnoty jsou předepsány ve čtyřech uzlech. 8. (lb.) Počítáme-li integrál na intervalu {a,b) různém od (—1,1), pak použití některé Gaussovy kvadraturní formule není vhodné, protože se dopouštíme velkých chyb. není možné. vyžaduje nejprve provedení lineární substituce, která interval {a, b) převede na interval (—1,1). vyžaduje rozdělení intervalu {a, b) na vhodné podintervaly. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 792 9. (lb.) Která šablona odpovídá ryze implicitnímu diferenčnímu schématu pro smíšenou úlohu pro rovnici vedení tepla? i - 1,7 *>7 i + 1,7 i J + 1 o h h i - l,y *>7 i + 1,7 i-1,7+1 /,7+l / +1,7+1 o-o-o h h hi i J + 1 o ti- i - l,y h2 i, j - 1 i, j / + 1,7 Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic 793 10. (lb.) Vyberte tvrzení, které platí o explicitní Eulerově metodě. Tato metoda dává poměrně dobré výsledky. Tato metoda patří mezi vícekrokové metody. Tato metoda je ideální pro nalezení hodnot y\, y 2,..., yk-i do k-krokových metod. Tato metoda je velmi jednoduchá, ale nepřesná. 11. (2b.) Vyberte nepravdivé tvrzení o úloze numerické derivace: Je to dobře podmíněná úloha. Je to špatně podmíněná úloha. Používáme při ní náhradu Derivaci numericky počítat nelze, interpolačním polynomem. Správně zodpovězené otázky: Získané body: Procento úspěšnosti: Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž 794 Literatura [1] Anděl, J. Statistické metody. 4. vydání. Praha: MATFYZPRESS, 2007. 300 s. ISBN 80-7378-003-8. [2] Babuška, I., Práger, M., Vitásek, E. Numerické řešení diferenciálních rovnic. 1. vydání. Praha: SNTL, 1964. 240 s. [3] Bachvalov, N. S. Cislennyje metody. 2. vydání. Moskva: Nauka, 1975. 632 s. [4] Berezin, I. S., Zidkov, N. P. Metody vyčísleni] I, II. 2. vydání. Moskva: Gosudarstven-noje izdateTstvo fiziko-matematičeskoj literatury, 1962. 464+640 s. [5] Blaheta, R. Matematické modelování a metoda konečných prvků [online]. Skriptum. 1. vydání. Ostrava: VŠB, 2012, vi+123 s. Dostupné z http://mi21.vsb.cz/modul/matematické-modelováni-metoda-konecnych-prvku-numerické-metody-2 [cit. 2019-06-06]. Obsah Jdi na stranu \4 ►i Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Literatura 795 [6] Brandner, M., Egermaier, J., Kopincová, H. Numerické metody pro řešení evolučních parciálních diferenciálních rovnic [online]. Skriptum. 1. vydání. Ostrava: VŠB, 2012. vi+125 s. Dostupné z cz/modul/numerické-metody-pro-reseni-evolucnich- - rovni c [cit. 2019-06-06]. [7] Butcher, J. C. Numerical Methods for Ordinary Differential Equations. 2nd edition. Chichester: John Wiley & Sons Ltd, 2008. xx+463 pp. ISBN 978-0-470-72335-7. [8] Collatz, L. Funkcionální analýza a numerická matematika. 1. vydání. Praha: SNTL, 1970. 420 s. [9] Čermák, L. Numerické metody II. Diferenciální rovnice. Skriptum. 2. upravené vydání. Brno: Vysoké učení technické v Brně, FSI, 2010. 136 s. ISBN 978-80-214-4110-1. [10] Čermák, L. Vybrané statě z numerických metod [online]. Skriptum. Brno: Vysoké učení technické v Brně, FSI, 2013. 97 s. Dostupné z http://mathoníine.fme.vutbr.cz/Numericke-metody-I/sc-1150-sr-l-a-141/def ault. aspx [cit. 2019-06-06]. Obsah Jdi na stranu \< ►i Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Literatura 796 [11] Čermák, L. Numerické metody pro řešení diferenciálních rovnic [online]. Skriptum. Brno: Vysoké učení technické v Brně, FSI, 2015. 81 s. Dostupné z http://mathonline.fme.vutbr.cz/Numericke-metody-II/sc-1246-sr-l-a-263/def ault. aspx [cit. 2019-06-06]. [12] Čermák, L. Algoritmy metody konečných prvků [online]. Skriptum. Brno: Vysoké učení technické v Brně, FSI, 2005. 107 s. Dostupné z http://mathoníine.fme.vutbr.cz/Numericke-metody-III/sc-1151-sr-l-a-142/default .aspx [cit. 2019-06-06]. [13] Čermák, L., Hlavička, R. Numerické metody. Skriptum. 2. vydání. Brno: Vysoké učení technické v Brně, FSI, 2008. 110 s. ISBN 978-80-214-3752-4. [14] Děmidovič, B.P., Maron, LA. Základy numerické matematiky. 1. vydání. Praha: SNTL, 1966. 724 s. [15] Došlá, Z., Došlý, O. Skriptum. Metrické prostory. 4. vydání. Brno: Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity, 2016. viii+91 s. ISBN 978-80-210-8357-8. [16] Došlá, Z., Kuběn, J. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. Skriptum. 2. vydání. Brno: Masarykova univerzita v Brně, 2012. vi+209 s. ISBN 978-80-210-5814-9. Obsah Jdi na stranu \< ►i Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Literatura 797 [17] Faddějev, D. K., Faddějevová, V. N. Numerické metody lineární algebry. 2. vydání (1. české). Praha: SNTL, 1964. 684 s. [18] Fiedler, M. Speciální matice a jejich použití v numerické matematice. 1. vydání. Praha: SNTL, 1981. 272 s. [19] Hairer, E., N0rsett, S. P., Wanner, G. Solving Ordinary Differential Equations I. Nonstiff Problems. 2nd edition, corrected 3rd printing 2008. Berlin: Springer-Verlag, 1993. xvi+528 pp. ISBN 978-3-540-56670-0. [20] Hairer, E., Wanner, G. Solving Ordinary Differential Equations II. Stiff and Differential-Algebraic Problems. 2nd edition, corrected printing 2002. Berlin: Springer-Verlag, 1996. xvi+614 pp. ISBN 978-3-540-60452-5. [21] Hairer, E., Lubich, Ch., Wanner, G. Geometric Numerical Integration. Structure--Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations. 2nd edition. Berlin: Springer-Verlag, 2006. xviii+644 pp. ISBN 978-3-540-30663-4. [22] Horová, I., Zelinka, J. Numerické metody. Skriptum. 2. rozšířené vydání. Brno: Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity, 2008. vi+293 s. ISBN 978-80-210-3317-7. Dostupné z [cit. 2019-06-06]. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H 4* Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Literatura 798 [23] Hosea M. E. A new recurrence for computing Runge-Kutta truncation error coefficients. SI AM J. Numer. Anal, Vol. 32, No 6 (1995), pp. 1989-2001. [24] Hoškova, Š., Kuben, J. Integrální počet funkcí jedné proměnné. Skriptum. 1. vydání. Brno: Vojenská akademie v Brně, 2004. vi+197 s. ISBN 80-85960-75-3. [25] Hoškova, Š., Kuben, J., Rackova, R Integrální počet funkcí jedné proměnné [online]. Skriptum. 1. vydání. Ostrava: VŠB-TU, 2006. vi+220 s. ISBN 80-248-1191-X. Obrazovková verze 361 s. ISBN 978-80-248-1305-9. Dostupné z 1 [cit. 2019-06-06]. [26] Householder, A. S. The Theory of Matrices in Numerical Analysis. 1st edition. New York: Blaisdell Publishing Company, 1964. xiv+257 pp. [27] Isaacson, E., Keller, H. B. Analysis of Numerical Methods. Dover edition. New York: Dover Publications, Inc., 1994. xvi+541 pp. ISBN 0-486-68029-0. [28] Jevický, J., Kovařík, P. Numerické metody algebry. Skriptum. 1. vydání. Brno: VAAZ, 1986. 124 s. Dostupné v knihovně UO pod číslem S 2396. [29] Jevický, J., Kovařík, P. Numerické metody analýzy. Skriptum. 1. vydání. Brno: VAAZ, 1987. 170 s. Dostupné v knihovně UO pod číslem S 2397. Obsah Jdi na stranu \< ►i Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Literatura 799 [30] Kantorovič, L.V., Akilov, G. R Funkcionaľnyj analiz. 3. vydání. Moskva: Nauka, 1984. 703 s. [31] Kornejčuk, N. P. Splajny v teorii prohlíženi];a. 1. vydání. Moskva: Nauka, 1984. 352 s. [32] Kosmák, L., Potůček, R. Metrické prostory. 1. vydání. Praha: Academia, 2004. 98 s. ISBN 80-200-1202-8. [33] Kuben, J. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. Skriptum. 1. vydání. Brno: Univerzita obrany, 2015. viii+333 s. ISBN 978-80-7231-991-6. Dostupné v knihovně UO pod číslem S 3854. [34] Kuben, J. Obyčejné diferenciální rovnice. Skriptum. 4. vydání. Brno: VA, 2000. vi+124 s. Dostupné v knihovně UO pod číslem S 18C. [35] Kuben, J., Račková, P. Numerické metody. Skriptum. 1. vydání. Brno: Univerzita obrany, 2016. viii+245 s. ISBN 978-80-7231-373-0. Dostupné v knihovně UO pod číslem S 3876. [36] Kufner, A. Geometrie Hubertova prostoru. Praha: SNTL, 1973. 248 s. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Literatura 800 [37] Lambert J. D. Numerical Methods for Ordinary Differential Systems: the Initial Value Problem. Chichester: John Wiley & Sons Ltd, 1993. x+294 pp. ISBN 978-0-471-92990-1. [38] Likeš, J., Machek, J. Matematická statistika. 1. vydání. Praha: SNTL, 1983. 180 s. Dostupné v knihovně UO pod číslem S 2670/11. [39] Marčuk, G. I. Metody numerické matematiky. 1. vydání. Praha: Academia, 1987. 528 s. [40] Mika, S. Numerické metody algebry. 1. vydání. Praha: SNTL, 1982. 176 s. Dostupné v knihovně UO pod číslem S 2670/4. [41] Pospíšil, L., Vondrák, V. Numerické metody I [online]. Skriptum. 1. vydání. Ost-rava: VSB, 2011. vii+184 s. Dostupné z '. 1 [cit. 2019-06-06]. [42] Přikryl, P. Numerické metody analýzy. 1. vydání. Praha: SNTL, 1985. 192 s. Dostupné v knihovně UO pod číslem S 2670/24. [43] Ralston, A. Základy numerické matematiky. 1. vydání. Praha: Academia, 1973. 636 s. Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Literatura 801 [44] Rektorys, K. Metoda časové diskretizace a parciální diferenciální rovnice. 1. vydání. Praha: SNTL, 1985. 364 s. [45] Rektorys, K. Variační metody v inženýrských problémech a v problémech matematické fyziky. 6. vydání (2. české opravené). Praha: Academia, 1999. 604 s. ISBN 80-200-0714-8. [46] Samarskij, A. A. Vvedenije v čislennyje metody. 1. vydání. Moskva: Nauka, 1982. 272 s. [47] Samarskij, A. A. Teorija raznostnych schem. 2. vydání, upravené. Moskva: Nauka, 1983.616 s. [48] Samarskij, A. A., Gulin, A. V. U stoj čivo sť raznostnych schem. 1. vydání. Moskva: Nauka, 1973. 416 s. [49] Samarskij, A. A., Nikolajev, J. S. Numerické řešení velkých řídkých soustav. 1. vydání. Praha: Academia, 1984. 600 s. [50] Shampine, L. F. Numerical solution of ordinary differential equations. New York: Chapman & Hall, 1994. x+484 pp. ISBN 978-0-412-05151-7. Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Literatura 802 [51] Steffensen, J. F. Interpolation. Baltimore: The Williams & Wilkins Company, 1927. x+248 pp. [52] Stoer, J., Bulirsch, R. Introduction to Numerical Analysis. 3rd edition. New York: Springer, 2010. xvi+752 pp. ISBN 978-1-4419-3006-4. [53] Szegô, G. Orthogonal polynomials. 4rd edition. New York: AMS, 2003. 432 pp. ISBN 978-0-8218-1023-5. Překlad 2. vydání do ruštiny Moskva: Gosudarstvennoje izdatel'stvo fiziko-matematičeskoj literatury, 1962. 500 s. [54] Taylor, A. E. Úvod do funkcionální analýzy. 1. vydání. Praha: Academia 1973. 412 s. [55] Varga, R. S. Matrix Iterative Analysis. 2nd revised and expanded edition. Berlin: Springer 2000. x+358 pp. ISBN 3-540-66321-5. [56] Vitásek, E. Numerické metody. 1. vydání. Praha: SNTL, 1987. 561 s. [57] Vitásek, E. Základy teorie numerických metod pro řešení diferenciálních rovnic. 1. vydání. Praha: Academia, 1994. 412 s. ISBN 80-200-0281-2. [58] Volkov, Je. A. Cislennyje metody. 1. vydání. Moskva: Nauka, 1982. 256 s. [59] Zavjalov, Ju. S., Kvasov, B. L, Mirošničenko, V. L. Metody splajn-funkcij. 1. vydání. Moskva: Nauka, 1980. 352 s. Obsah Jdi na stranu \4 ►i Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Literatura 803 Další zdroje dostupné z Internetu [60] Arbitrary-precision arithmetic [online]. Dostupné z http://en.wikipedia.org/wiki/Arbitrary-precision_ arithmetic [cit. 2019-06-06]. [61] Landauovy symboly [online]. Dostupné z wiki/Big_0_notation [cit. 2019-06-06]. [62] Čermák, L., Hlavička, R. Numerické metody [online]. Obrazovková verze kapitoly 1 z [13], 2006. Dostupné z ] UploadedFiles/231 .pdf [cit. 2019-06-06]. [63] Čermák, L., Hlavička, R. Numerické metody [online]. Obrazovková verze kapitoly 2 z [13], 2006. Dostupné z ] UploadedFiles/233 .pdf [cit. 2019-06-06]. [64] Hadjidimos, A. Successive overrelaxation (SOR) and related methods. Journal of Computational and Applied Mathematics 123 (2000), str. 177-199. Dostupné z pii/S0377042700004039 [cit. 2019-06-06]. Obsah Jdi na stranu \4 ►i Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Literatura 804 [65] Differential Equations [online]. Dostupné z com/diffeq/ [cit. 2019-06-06]. [66] Epperson, J. F. On the Runge Example [online]. Dostupné z http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_ library/22/Ford/Epperson329-341 .pdf [cit. 2019-06-06]. [67] EmbeddedRunge-Kutta Methods [online]. Dostupné z http://www.mymathlib.com/dif feq/embedded_runge_ kutta/ [cit. 2019-06-06]. [68] Feistauer, M. Základy numerické matematiky [online]. Skriptum. Praha, MFF UK. 56 s. Dostupné z 1 scripta.pdf [cit. 2019-06-06]. [69] Felcman, J. Numerická matematika [online]. Skriptum. Praha, MFF UK, KNM Press, 2017. 52 s. Dostupné z -f elcman/nm. pdf [cit. 2019-06-06]. [70] Churchova-Turingova teze [online]. Dostupné z lesis [cit. 2019-06-06]. Obsah Jdi na stranu \4 ►i Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Literatura 805 [71] IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic (IEEE 754) [online]. Dostupné z http: //en.wikipedia.org/wiki/IEEE_754 [cit. 2019-06-06]. [72] List of Runge-Kutta methods [online]. Dostupné z ] -Kutta_methods [cit. 2019-06-06]. [73] LSodar [online]. Dostupné z l/en_US/LSodar . html [cit. 2019-06-06]. [74] Maple worksheets on the derivation of order 8 Runge-Kutta schemes [online]. Dostupné z 1 html [cit. 2019-06-06]. [75] Not a number [online]. Dostupné z ] NaN [cit. 2019-06-06]. [76] Verner, J. A Retrospective Survey on Deriving Explicit Runge-Kutta Pairs [online]. Dostupné z scientific/11-12/SciCADE2 011/presentations/Verner. pdf [cit. 2019-06-06]. Obsah Jdi na stranu \4 ►i Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Literatura 806 [77] Domovská stránka Jima Vernera [online]. ca/~jverner/ [cit. 2019-06-06]. [78] Yu, Y. RosenbrockMethods [online]. Dostupné z 1 edu/people/j ansh/page5/pagel0/page4 0/assets/Yu_ Talk .pdf [cit. 2019-06-06]. Obsah Jdi na stranu \4 ►i Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Rejstřík 807 algoritmus, 34 numerický, 19, 35 numericky stabilní, 35, 250 aproximace čísla, 20 interpolační, 306 kořenu, 116 metodou nejmenších čtverců, 306 b bariéra Dahlquistova druhá, 632 první, 630 cifra platná, 22 C čárka pohyblivá hardwarová, 28 softwarová, 28 Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Rejstřík 808 číslo matice vlastní, 60 podmíněnosti matice, 64, 253 úlohy, 30 strojové, 27 D diference dopředná, 324 poměrná, 319 zobecněná, 356 vpřed, 324 vzad, 325 zpětná, 325 doplněk ortogonální, 76 E exponent, 27 extrapolace, 305 F formule Gaussovy-Legendrovy, 509 kvadraturní, 468 Gaussovy, 503 složené, 494 symetrická, 474 Newtonovy-Cotesovy, 476 otevřené, 484 složené, 494 uzavřené, 476 Rombergova, 520 Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Rejstřík 809 H hodnota absolutní, 39 Ch chod GEM přímý, 209 zpětný, 214 chyba aproximace absolutní, 20 relativní, 21 kvadraturní formule, 468 matematického modelu, 20 metody pro řešení ODR globální diskretizační, 597, 626 lokální, 597 lokální diskretizační, 596, 626 numerické úlohy, 20 ve vstupních datech, 20 zaokrouhlovací, 20 interpolace, 305 iterovaná, 317 interval absolutní stability, 602 K konvergence kvadratická, 122 lineární, 122 metody pro řešení ODR, 600, 630 superlineární, 122 v normě, 47, 52 korektor, 636 Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Rejstřík 810 kořen rovnice, 114 soustavy rovnic, 170 kritérium Sylvestrovo, 226 M mantisa normalizovaná, 27 matice dobře podmíněná, 65 Gramová, 83, 394 hermitovská, 63 chybová, 250 ireducibilní, 273 iterační, 259 konjugovaná, 63 pásová, 228 ryze diagonálně dominantní řádkově, 223 sloupcově, 223 řídká, 227 symetrická, 60, 225 indefinitní, 227 negativně definitní, 227 negativně semidefinitní, 227 pozitivně definitní, 60, 225 pozitivně semidefinitní, 60, 226 špatně podmíněná, 65 metoda A-stabilní, 602, 632 bisekce, 125 D-stabilní, 629 Eulerova explicitní, 590 implicitní, 593 Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Rejstřík 811 Gaussova eliminační, 207 s částečným výběrem hlavních prvků, 215 s úplným výběrem hlavních prvků, 218 Gaussova-Seidelova, 270 Gillova, 620 Hermova, 615 Choleského, 246 Jacobiova, 266 konzistentní, 627 Kuttova, 616 L-stabilní, 613 LU rozkladu, 233 s částečným výběrem hlavních prvků, 240 nejmenších čtverců, 390 Newtonova, 154, 175 prosté iterace, 143, 173 půlení intervalu, 125 regula falši, 131 relaxační, 275 Rungeho-Kutty klasická, 619 sečen, 161 sítí, 691 SOR, 276 stabilní ve smyslu Dahlquista, 629 startovací, 123 tečen, 154 tětiv, 131 zpřesňující, 123 metody Adamsovy-Bashforthovy, 634 Adamsovy-Moultonovy, 635 Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Rejstřík 812 prediktor-korektor, 636 pro řešení ODR jednokrokové, 586 explicitní, 588 implicitní, 592 pro řešení ODR vícekrokové, 586 pro řešení ODR vícekrokové lineárni, 623 explicitní, 624 implicitní, 625 pro řešení systémů lineárních rovnic finitní, 206 iterační, 206, 257 přímé, 206, 207 Rungeho-Kutty, 606 vnořené, 621 zpětného derivování, 638 místo desetinné platné, 22 model matematický, 18 N norma maticová, 50 Frobeniova, 51 Hilbertova-Schmidtova, 52 indukovaná vektorovými normami, 56 maximální, 51 operátorová, 56 přidružená k vektorovým normám, 56 Schurova, 52 součtová, 51 souhlasná s vektorovou normou, 54 Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Rejstřík 813 submultiplikativní, 54 vektorová, 41 eukleidovská, 42 indukovaná skalárním součinem, 70 maximální, 42 součtová, 42 normy ekvivalentní, 47, 52 O oblast absolutní stability, 602, 632 P pivot, 209 podmínka okrajová, 701,712, 729 počáteční, 712, 729 zastavovací, 119, 171, 261 podmínky Fourierovy, 139, 157 poloměr matice spektrální, 67, 260 polynom interpolační, 307 Hermitův, 338 Lagrangeův, 309 Newtonův, 318 Newtonův vpřed, 329 Newtonův vzad, 330 Lagrangeův, 309 zobecněný, 344 Legendrův, 505 pravidla zaokrouhlovací, 24 pravidlo Boolovo, 480 Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Rejstřík 814 lichoběžníkové, 480 složené, 498 Milnovo, 488 obdélníkové, 488 složené, 496 otevřené lichoběžníkové, 488 Simpsonovo, 480 složené, 500 Simpsonovo 3/8, 480 prediktor, 636 problém reálný, 18 průmět pravoúhlý na podprostor, 77 prvek hlavní, 209 R reziduum, 251 rovnice diferenciální obyčejná, 570 parciální, 690 tuhá (stiff), 640 difuzní, 712 Laplaceova, 701 Poissonova, 701 síťová, 692, 694 vedení tepla, 712 vlnová, 729 rozklad matice Choleského, 244 LU, 229 s částečným výběrem hlavních prvků, 237 Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Rejstřík 815 R řád aproximace diferenčního schématu, 697 iterační metody, 122 konvergence diferenčního schématu, 697 konvergence posloupnosti, 122 metody pro řešení ODR, 599, 626 S separace kořenu, 116 schéma diferenční, 694 aproximující PDR, 697 Crankovo-Nicolsonové, 720 konvergentní, 697 korektní, 696 pro Poissonovu rovnici, 703 pro rovnici vedení tepla, 716 pro vlnovou rovnici, 734 stabilní, 696 síť, 691 součin skalární, 69 standardní, 72 soustava rovnic normální, 82, 394 splajn, 367 kubický interpolační, 368 not a knot, 371 periodický, 371 přirozený, 371 úplný, 371 stupeň metody Rungeho-Kutty, 606 přesnosti kvadraturní formule, 469 symbol O, 36 Obsah Jdi na stranu \4 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Rejstřík 816 systém čísel s pohyblivou řádovou čárkou, 26 šablona, 692 pro Poissonovu rovnici, 702 pro rovnici vedení tepla, 715 pro vlnovou rovnici, 732 T tabulka Butcherova, 609 teze Churchova-Turingova, 34 U úloha Dirichletova, 701 dobře podmíněná, 30 korektní, 29 numerická, 18 špatně podmíněná, 30 uzel, 583, 691 hraniční, 691 vnitřní, 691 V vektory kolmé, 74 ortogonální, 74 vzorec interpolační Besselův, 334 Everettův, 334 Gaussův, 334 Steffensenův, 335 Stirlingův, 334 Z zápis semilogaritmický, 26 Obsah Jdi na stranu \< 4 ► H Celá obrazovka/Okno Zavřít Titulní strana Copyright Předmluva Obsah Kap1 Kap2 Kap3 Kap4 Kap5 Kap6 Kap7 Testy Literatura Rejstřík Tiráž Název: Autoři: Vydavatel: Tisk: Počet stran: Rok vydání: Vydání: Numerické metody doc. RNDr. Jaromír Kuběn, CSc. PhDr. Pavlína Račková, Ph.D. Univerzita obrany v Brně Univerzita obrany v Brně 817 2019 první ISBN 978-80-7582-092-1 Publikace neprošla jazykovou úpravou. Obsah Jdi na stranu \< A + Celá obrazovka/Okno Zavřít