80 II. Cvičení - Kap. 2: Základní algebraické struktury [2.4.B4]. Rozhodněte, zda (T,+, •) je číselné těleso, jestliže + , resp. značí obyčejné sčítaní, resp. násobení čísel a je-li: a) T = {a + by/7 \ a, b G Q} b) T = {a + by/l | a, 6 € Z} c) T= j^- | a G Z , * > 0 celej d) T - {a + by/2 + cy/Ž \ a,b,c£ Q} e) T = {a + bVÄ | a, b G Q} f) T = {a + b-fä \a,b£Q] g) T = {a + by/2 + cv/3 + dy/6 \a,b,c,d€ Q} h) T = {a + 6^2 + cy/Ä \ a,b,c G Q}. [2.4.B5]. Rozhodněte, zda (T, +, •) je číselné těleso, jestliže + , resp. značí obyčejné sčítání, resp. násobení čísel a je-li: &)T={a + bi\a,beZ} b) T = {a + bi \a,be Q} c) T = {a + 6i | a G R, b G Q} d) T = {b • t | b G Q} e)T={:6K| \z\ = 1} f) T = {a + bx/Ei | a, 6 G Q}. [2.4.B6]. Nechť (T, +, -)je číselné těleso; nechť z G K je libovolné pevné komplexní číslo. Symbolem T(z) označme množinu (aA°tľt"""tľ2ľ lVm,nGN;a,,fcJGTA60 + --- + 6nz"^o} L fco + MH-----h6„z" J Dokážte, že pak: a) (T(z), +, •) je číselné těleso b) T C T{z) A z G T(z) c) (T(z), +, •) je nejmenším číselným tělesem obsahujícím množinu T a dané číslo z (tzn. je-li (5,+,-) nějaké číselné těleso s vlastnostmi: T C S A z G 5, pak je T(z) C 5 ). [2.4.B7]. Při použití označení z předchozího cvičení dokážte, že: a)R(v/3) = R b)Q(v/3) = {a-rí>V3|a,6GQ} c) Q(^) = Q(^) d) Q(^) = Q(i^S) = Q(^) e) Q(^) = {a + byY2 + cyY4\a,b,ceQ} f) Q(iy/E) ={a + by/bi | a, 6 G Q}. 81 KAPITOLA 3: VEKTOROVÉ PROSTORY §1: VEKTOROVÝ PROSTOR NAD ČÍSELNÝM TĚLESEM [3.1.A1]. U.p. vektorového prostoru nad číselným tělesem, který obsahuje konečně mnoho vektorů. [3.1.A2]. U.p. vektorového prostoru nad číselným tělesem, který obsahuje právě 8 vektorů. [3.1.A3]. Popište vektorový prostor Q(y/2)7. [3.1.A4]. Popište vektorový prostor Q(t)3. [3.1.A5]. Popište vektorový prostor R-Jz]. [3.1.A6]. Popište vektorový prostor K5. [3.1.A7]. Nechť (T, +, •) je libovolné číselné těleso. Popište, jak lze T chápat jako vektorový prostor nad T. [3.1.A8]. U.p. vektorového prostoru V nad T a dvou různých vektorů u, v G V takových, že 3 • u = 3 • v. [3.1.A9]. U.p. dostatečné, ale nikoliv nutné podmínky pro to, aby součin čísla t s vektorem u byl nulový vektor. [3.1.A10]. U.p. nutné a dostatečné podmínky pro to, aby součin čísla t s vektorem u byl nenulový vektor. [3.1.B1]. Je dáno číselné těleso T a množina čísel V. Sčítání vektorů definujeme jako obyčejné sčítání čísel a násobení čísla s vektorem definujeme jako obyčejné násobení čísel. Rozhodněte, zda V je pak vektorový prostor nad T, je-li: a) T = K ; V = K b) T = R ; V = K c) T = R; V = {a + by/2\a,b€Q} d) T = Q ; V = {a + by/2\a,b€Q}. 82 II. Cvičení"- Kap. 3: Vektorové prostory §1: Vektorový prostor nad číselným tělesem 83 [3.1.B2]. Uvažme množinu R^0,1^ (t.zn. množinu všech zobrazení {0,1) -. R). Pro f,g £ Rt0'1) a pro r £ R definujeme / + g £ R'0'1', resp. r ■ / £ Rl0-1) takto: {f + g){x) = f(x) + g(x) ,resp. (r • /)(*) = r ■ (/(*)) , pro Vx £ (0,1). Dokážte, že pak Rl0'1' je vektorový prostor nad R. [3.1.B3]. Uvažme množinu RR (tj. množinu všech zobrazení R —+ R). Pro /,S £ RR a pro r £ R definujeme / + g £ RR, resp. r ■ / £ RR takto: (/ + ?)W = /W + 9(r) , resp. (r • /)(x) = r • (/(x)) , pro Vx £ R. Dokažte, že pak RR je vektorový prostor nad R. [3.1.B4]. Nechť S(ít) značí množinu všech spojitých reálných funkci (tj. spojitých zobrazení R —► R). Pro f, g £ S(R) a pro r £ R definujeme / + g, resp. r • / takto: (f + g)(x) = f(x) + g(x) , resp. (r ■/)(*) = r ■ (/(x)) , pro Vx £ R. Potom: a) zdůvodněte, že / + g £ S(R) , r • / £ 5(R) b) dokazte, že *S(R) je vektorový prostor nad R. [3.1.B5]. Nechť Vn(Q, 1) značí množinu všech reálných funkcí definovaných na uzavřeném intervalu (0,1) a majících na tomto intervalu spojité derivace až do řádu n včetně (kde n je pevné přirozené číslo). Pro /, S € ľ" (0,1) a pro r £ R definujeme f + g, resp. r • / takto: (f + 9)(x) = f(x) + g{x) ,resp. (r •/)(*) = r • (/(*)) , pro Vx £ (0,1). Potom: a) zdůvodněte, že /+ ff £ ľ"(0,1} , r •/€!>"(0,1) b) dokážte, že I>"(0,1) je vektorový prostor nad R. [3.1.B6J. Uvažme množinu TA (tj. množinu všech zobrazení A —> T), kde A je libovolná neprázdná množina a T je libovolné číselné těleso. Pro /, 9 € TA a pro ť £ T definujeme / + g £ TA, resp. t-f£TA takto: (/+ í)W =/(a) + , resp. (r •/)(a) = r • (/(o)) , pro Va £ ,4 . Dokazte, že pak T"4 je vektorový prostor nad T. [3.1.B7]. Nechť V(H) značí množinu všech posloupností reálných čísel. Pro (xi, x2,...), (j/i, t/2,...) £ V{R) a pro r £ R definujeme: (XUZ2,...)+ (j/1,1/2,...) = (Xj +»1 , *2+ »>•••) r ■ (xi,x2,...) = (r ■ xj , r ■ x2, ...). Dokažte, že pak V(R) je vektorový prostor nad R. [3.1.BS]. Nechť Vi, V2 jsou vektorové prostory nad číselným tělesem T. Pro libovolné (ui, u2), (vt, v2) £ Vi x V2 a ť £ T definujeme: (ui,u2) + (v!,v2) = (ui+vi , u2+v2) , resp. ť-(ui,u2) = (ť-ui , ť-u2). Dokažte, že pak Vi x V2 je vektorový prostor nad T. [3.1.B9]. Je dáno číselné těleso T a množina V s operací ©. Dále je dán součin o čísla z T s prvkem z V. Rozhodněte, zda V je vektorový prostor nad tělesem T, jestliže: a) T = Q, V = R pro u, t> £ R je: u ® v = u + v, pro ť£Q,u£Rje: '< o v = u b) T = R, V = R+ (tj. množina všech kladných reálných čísel) pro u, u £ R+ je: «©» = «•», pro í £ R, u £ R+ je: í o u = tí' c) T = R, V = R+ (tj. množina všech kladných reálných čísel) pro u, ľ £ R+ je: u © v - u + v, pro ť £ R, ti £ R+ je: ť o u = ti1 d) T = R, V = Z prou,u£Zje: u ffi ti = u + v pro ť £ R, u £ Z je: iou = [£-u] kde [i-ti] značí celou část z reálného čísla in, tj. největší celé číslo, nepřevyšující číslo ť-u e) T = R, V = RxR pro (xi,x2),(yi,jr2) £ R x R je: (xi,x2) © {yi,m) = (xi+J/i , x^j^) pro t £ R, (x1,x2) £ R x R je: ť o (xux2) = (ť-xi, 0) f) T = R, V = RxR pro (x1,x2),(yi,s/2) £ R x R je: (xi,x2) © (yu j/2) = (xryi , x2-j/2) pro ť £ R, (xi,x2) £ R x Rje: t o (xi,x2) = (i-xi, i-x2). [3.1.B10]. Nechť V je vektorový prostor nad T; nechť u, v £ V, resp. r, s £ T1. Dokážte, že platí: a)(-l)-u=-u b) (-r)-(-u) = r n c) r • u = s • u <=> r = s V u = o d) r ■ u = r ■ v r = 0 V u = v. [3.1.Bil]. Nechť V je vektorový prostor nad T. Dokážte, že pro libovolný nenulový vektor u € V a pro libovolná dvě různá čísla ŕ, s £ T jsou vektory i-u a «u také různé. [3.1.B12]. Dokažte, že v definici vektorového prostoru lze axiom (iv) (tj. axiom : 1 ■ u = u pro Vu £ V) nahradit axiomem (*) < • u = o => i = 0 V u = o . (Návod: při důkazu "(*) (iv)" nejprve užitím axiomů (i),(ii),(iii) vektorového prostoru ukažte, že pro t / 0 je í ■ (1-u — u) = o .) 84 II. Cvičeni — Kap. 3: Vektorové prostory §2: PODPROSTORY VEKTOROVÉHO PROSTORU [3.2.A1]. U.p. podmnožiny M vektorového prostoru Q4, která a) je nekonečná a není podprostorem v Q4 b) je konečná a je podprostorem v Q4. [3.2.A2J. U.p. netriviálního podprostoru ve vektorovém prostoru R[z]. [3.2.A3]. U.p. podprostoru W ve vektorovém prostoru Q3 tak, že a) (1,4,2) G W A (1,1,1) g W b) W obsahuje právě 3 vektory. [3.2.A4], U.p. dvou různých podprostoru Wj, W2 ve vektorovém prostoru R3 tak, že: a) Wi, W2 jsou disjunktní b) Wi n W2 C {(1,4,2)} c) w1nw2 = {(1,4,2)} d) W1nW2D{(l,A!2)}. [3.2.A5]. U.p. podmnožiny M ve vektorovém prostoru R4 tak, aby platilo: &)MC[M] b)Ař = [AÍ] c)MD\M] d) [M) = {(0,0,0,0), (1,1,1,1),(-1,-1,-1,-1)}. [3.2.A6]. U.p. nekonečné množiny M C Q2 tak, že [M] = Q2. [3.2.A7]. U.p. dvou podmnožin M, L ve vektorovém prostoru R3 takových, že AÍ^L,ale [M] = [L]. [3.2.A8]. U.p. dvou různých podprostoru Wi,W2 v R2 tak, že jejich součet Wi + W2 není přímým součtem. [3.2.A9]. U.p. dvou různých podprostoru W\, W2 v R4 tak, že: a) Wi U W2 CW\ + W2 b) Wi U W2 D Wi + W2 c) Wi U W2 = Wx + W2 d) WlUW2 = Wx+W2. [3.2.A10], U.p. podmínky, která a) je nutná, ale není dostatečná b) je dostatečná, ale není nutná c) je nutná a dostatečná d) není nutná ani dostatečná pro to, aby součet dvou podprostoru Wx, W2 ve vektorovém prostoru V byl přímým součtem. * * * [3.2.B1]. Rozhodněte, zda podmnožina W C R3 je podprostorem vektorového prostoru R3, je-li: a) W = {{x,y.z) I x = V2y+VŠz) b) W = {(0,sinx,cosx) j x G R} c) W = {(x, y, z) j z = 0 V y = Q V 2 = 0} d) W = {(r, -2r, V2r) | r € R libovolné}. §2: Podprostory vektorového prostoru 85 [3.2.B2]. Rozhodněte, zda podmnožina W C K3 je podprostorem vektorového prostoru K3, je-li: a) W = {(0, (1 + i) • r, 0) I pro Vr € R} b) W = {(z, i-z, (2-i)-z) |-proVz€K} c) W = {(zuz2,z3) j jzi| = \z3\ = \z3\) d) W = {{zuz2,.z3) I (l + í)21 + (2-t>2 - 323 = 0}. [3.2.B3]. Rozhodněte, zda podmnožina W C Q4 je podprostorem vektorového prostoru Q4, je-li: *)W = {(0,0,0,0), (1,1,1,1), (-1, -1,-1,-1)} b) W = {{xi,X2,X2,Xi) I xx -+ x2 + x3 + xA > 0} c) W = {(x1,x2,x3,x4) I x2 = x3 = xA] d) W = {(2s + t, s - t, t, s) I ť, s G Q libovolné}. [3.2.B4]. Rozhodněte, zda podmnožina W C R" je podprostorem vektorového prostoru R", je-li a) W= {(*!,...,xn) \xi + ••■ + !„ =0} b) W = {(x1,...,xn)\x1 + --- + xn = l} c) W={(xí,...,xn)\xi,...,xn G Z} d) W = {(r, 2 • r, ... , n • r) | pro V r G R}. [3.2.B5]. Rozhodněte, zda podmnožina W C Rl0'1) je podprostorem vektorového prostoru R*0,1' (viz cvičení [3.1.B2]), je-li: R|/(1) = 0} R|/(0)/(i) = o} R í fix) ^ 1 Pro konečné mnoho x G (0,1)} [3.2.B6], Rozhodněte, zda podmnožina W C RR je podprostorem vektorového prostoru RR (viz cvičení [3.1.B3]), je-li: a)W = {f (0,1) b)W = {f < c) W = U- (0,1) d) W = if (0,1) a) W = {f R —* R 1 A31) 7^ 0 pouze pro konečně mnoho i € R} b)W = U R — R 1 /(í?) = 0 pouze pro konečně mnoho 1 G R} c)W = {f R — R 1 / je nespojitá funkce} d) W = if R j / je shora ohraničená funkce}. 86 II. Cvičeni - Kap. 3: Vektorové prostory [3.2.B7]. Rozhodněte, zda podmnožina W C R[x] je podprostorem vektorového prostoru R[x], je-li: a) W = {ax2 +bx + c\ a,b,c£R A a ^ 0} b) W = {ax5 + bx2 + cx | a, fc, c G R} c) W = {/ € R[x] | 3j € R[x] tak, že / = (x2 + 1) • ff } d) W = {/ G R[x] | /(-x) = -/(x) , pro Vi £ R}. [3.2.B8]. Nechť Wi,W2, W3 jsou podprostory ve vektorovém prostoru V. Rozhodněte, zda následující množiny jsou také podprostory ve V : a) (Wi + W2) n W3 b) {Wi + W2) - W3 c) (Wi - W2) n W3 d) Wi x W2 x W3. [3.2.B9]. Dokažte, že vektorový prostor R[x] nemůže být generován konečně mnoha vektory (tj. polynomy). (Návod: důkaz veďte sporem, s využitím vlastností stupně polynomu.) [3.2.B10]. Nechť Wa, kde a € / ^ 0, jsou podprostory ve vektorovém prostoru V (nad T). Označme : H = f\Wa {a El). Dokažte, že pak H je největší (vzhledem k C) podprostor ve V, který je obsažen v každém podprostoru Wa. [3.2.B11]. Nechť M,L jsou podmnožiny ve vektorovém prostoru V. Dokažte, že platí: »)[»] = M b)[[M]] = [M] c) M C L =t> [M] C [L] d) M CLC[M] {M] = [L}. [3.2.B12]. Nechť Wlt W2 jsou podprostory ve vektorovém prostoru V. Dokažte, že pak platí: a) Wi U W2 = Wi + W2 WiCW2 nebo W2 C Wx b) Wx U W2 = V Wx = V nebo W2 = V. [3.2.B13]. Nechť Wx,W2)W3 jsou podprostory vektorového prostoru V. Dokážte, že pak platí: Wx n (w2 + [Wi n w3)) = (Wx n w2) + (Wi n w3). [3.2.B14]. Nechť Wi,W2,W3 jsou podprostory vektorového prostoru V. Pak dokážte, že: a) W3 + (w2 n w3) C (Wj + w2) n (Wj + w3) b) v inkluzi a) obecne neplatí rovnost c) jsou-li Wi, W2 v inkluzi, pak v a) platí rovnost d) jestliže v a) platí rovnost, pak Wx, W2 nemusí být v inkluzi. §2: Podprostory vektorového prostom 87 [3.2.B15]. Nechť Wi, W2, W3 jsou podprostory vektorového prostoru l^. Pak dokažte, že a) Wx n {W2 + Wa) D (Wj n W2) + (Wj n W3) b) v inkluzi a) obecně neplatí rovnost c) jsou-li Wi, W2 v inkluzi, pak v a) platí rovnost d) jestliže v a) platí rovnost, pak Wi, W2 nemusí být v inkluzi. [3.2.B16]. Ve vektorovém prostoru V jsou dány podprostory Wx, W2. Rozhodněte, zda součet Wi + W2 je přímým součtem, je-li: a) V=R3 Wi = {(x, y,z) I x = 2y + 3z} , W2 = {(r, -2r, -3r) | pro Vr G R} b) V = R3 Wi = {(x,y,z) I x - 2y-3z = 0} , W2 = {(x,y,r) | x = z] c) V = R" (n > 2) Wi = {(ii,...,i„) I *! + ■••+*» = 0}, W2 - {(xx,.. .,*„) j zí = za = ■ ■ • = xn) d) V = R" (n > 2) Wi = {(xx,...,x„) j n = 2xn} , W2 = {(x1,...,xn)\ 3xi-6x2-0} e) V = R*0-1' (viz cvičení [3.1.B2]) Wi = {f: (0,1) - R I /(l) = 0} , W2 = {f: (0,1) - R I /(x) = f(l - x) pro Vx € (0,1)} f) V = R*0'1* (viz cvičení [3.1.B2]) Wi = {f G R'0'1* I /(l) = 0} , W2 = {/ € R<0,1) I / je konstantní funkce} . [3.2.B17]. Ve vektorovém prostoru R[x] jsou dány podprostory: Wi = {(* - 1) • g(x) [ pro V g(x) € R[x]} W2 - {(x - 2) ■ h(x) I pro V h(x) E R[x]} . Dokažte, že pak R[x] = Wx + W2) přičemž součet není přímým součtem. (Návod: ukažte nejprve, že 1 € Wx + W2, resp. x* € Wx + W2 pro každé přirozené číslo k.) [3.2.B18J. Ve vektorovém prostoru R[x] jsou dány podprostory: Wx = {/(x) G R[x] I /(x) = /(-x) pro Vx € R} W2 = {/(x) € R[x] j f (z) = -/(-x) pro Vx G R } . Dokažte, že prostor R[x] je přímým součtem podprostoru Wx, W2. t 88 II. Cvičeni - Kap. 3: Vektorové prostory ■ [3.2.B19]. Nechť W, W\, W2 jsou podprostory vektorového prostoru V a dále nechť V = Wi+W2. Potom: a) jestliže (W D Wi V W D W2), pak W = (W n Wi)+(W n Wä) b) ukažte na příkladu, že predpoklad (WDW\ V WD W2) nelze v a) vypustit. (Návod: príklad pro b) hledejte napr. v prostoru V = R2 .) [3.2.B20]. Nechť Wi,...,Wk (k > 2) jsou podprostory vektorového prostoru V. Potom dokážte, že: a) součet Wi H-----H Wt je přímý => Wi n Wj = {0} pro V i ^ j b) je-li k = 2, pak platí i opačná implikace c) je-li ír > 3, pak opačná implikace někdy platí a někdy neplatí. (Návod: část c) ukažte na příkladech, napr. v prostoru V = R3 .) [3.2.B21]. Nechť Wi, W2, W3 jsou podprostory nenulového vektorového prostoru V. Rozhodněte, zda následující výrok je či není nutnou podmínkou, resp. zda je či není dostatečnou podmínkou pro to, aby součet Wi -+- W2 + Ws by! přímým součtem: a) Wi + w2 + w3 - {0} b) w1nw2nw3 = {o}. c) Wi + W2 = Wi + w3 = w2 + w3 = v d) Wi n (w2 + w3) = w2n {wx + w3) = w3n (Wi + w2) = {o} [3.2.B22]. Nechť Wi,...,Wk (k > 2) jsou podprostory vektorového prostoru V. Dokažte, že následující výroky jsou ekvivalentní: (i) součet podprostorů W\ H-----h Wk je přímým součtem (ii) Ui H-----h Ui = o , kde u; € Wi =^ ui = • • • = u* = o (iii) existuje vektor u € W\ +----V Wh, který lze vyjádřit jediným způsobem ve tvaru u = ui +----(- u* , kde u; € Wi. [3.2.B23]. Nechť Wi,...,Wk (k > 2) jsou podprostory vektorového prostoru V. Dokažte, že jestliže součet podprostorů W\ H-----l-Wt není přímým součtem, pak žádný vektor u € W\-\-----\-Wk nelze jednoznačně vyjádřit ve tvaru u = Ui H-----V u* , kde u, € Wi. §3: LINEÁRNÍ ZÁVISLOST A NEZÁVISLOST VEKTORŮ [3.3.AI]. U.p. tří různých vektorů u,v,w € R2, které a) generují prostor R2 b) negenerují prostor R2. [3.3.A2]. U.p. různých vektorů (tj. polynomů) fi,f2,f3,fa £ R2M: které a) generují prostor Ra[z] b) negenerují prostor R2[i]. §3: Lineární závislost a nezávislost vektorů 89 [3.3.A3]. U.p. různých vektorů u,v,w G R4 tak, že vektor u generuje tentýž podprostor v R4,jako vektory v, w. [3.3.A4]. U.p. vektoru u € R3 tak, aby vektor u generoval j iný podprostor v R3, než vektor \/2 ■ u. [3.3.A5]. U.p. nenulových vektorů u,v G Q3 tak, aby a) £(u,v) = Z.(u + v) b) L(u,v) ^ L(u + v,u- v). [3.3.A6). U.p. vektorů 111,112,113 € R4, které jsou lineárně závislé a přitom vektor u x nelze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů 112,113. [3.3.A7]. U.p. tří vektorů u,v, w £ Q4 takových, že a) u, v jsou lineárně závislé a u, v, w jsou lineárně nezávislé b) u, v jsou lineárně nezávislé a u,v,w jsou lineárně závislé. [3.3.A8]. U.p. nekonečně mnoha vektorů Ui, u2,... ,u„,... z vektorového prostoru R3 tak, aby každé dva z nich byly lineárně nezávislé. [3.3.A9]. U.p. vektorů z R3, které a) jsou lineárně nezávislé a negenerují prostor R3 b) jsou lineárně nezávislé a generují prostor R3 c) jsou lineárně závislé a negenerují prostor R3 d) jsou lineárně závislé a generují prostor R3. [3.3.A10]. U.p. podmínky, která a) je nutná, ale není dostatečná b) je dostatečná, ale není nutná c) je nutná a dostatečná d) není nutná ani dostatečná pro to, aby dva vektory u,v z vektorového prostoru V byly lineárně nezávislé. * * * [3.3.B1]. Rozhodněte, zda vektory ui,U2 a vektory V!,V2 generují tentýž podprostor ve vektorovém prostoru R4, je-li: a) ui = (1,1,0,0), u2 = (1,0,1,1), V! = (2,-1,3,3), v2 = (0,1,-1,-1) b) ux = (1,-1,2,-3), u2 = (1,1,2,0), Ví = (1,0,1,0), v2 = (0,2,0,3). [3.3.B2]. Rozhodněte, zda dané vektory uj.,... ,115 generují vektorový prostor Q4 , je-li: a) u, = (1,2,1,2) , u2 = (2,1,2,1) , u3 = (1,1,1,1) , U4 = (-2,0,-1, -3) , us = (-1,1,0, -2) b) ul = (-1,1,0,-1) , u2 = (2,0,1,3) , u3 = (1,2,3,4) , u< = (2,3,4,6) , u5 = (1,-3,5,-7). 90 II. Cvičení - Kap. 3: Vektorové prostory [3.3.B3]. Rozhodněte, zda dané vektory (polynomy) f i, fb, f3 generují vektorový prostor R2M, je-li: a) fi = x + 1 , f2 = x2 + 2x + 3 , f3 = x2 - 2x - 3 b) fj = x2 + 1x + 3 , f2 = x2 - 2x - 3 , f3 = 2x + 3. [3.3.D4]. Necht ui,u2,U3,U4 jsou vektory z vektorového prostoru V (nad T) takové, že platí: 2ui + 3u2 + 4u3 = 0 A 5u2 + 6u3 + 7ti4 = o Dokážte, že pak vektory 111,112 generují tentýž podprostor ve V, jako vektory 113, u4. [3.3.B5]. Nalezněte všechna r G R, pro která vektor w = (r, 1,2) leží v podprostoru W = [111,112,113] vektorového prostoru R3, je-li: a) m = (1,2, -1) , u2 = (1,1,0), u3 = (2, -1,3) b) U! = (1,2,-1), u2 = (2,-1,1) ,u3 = (-1,1,2) c) u, = (1,2, -2) , u2 = (1,1, -1) , u3 ~ (-2, -1,1) d) U! = (1,1,-4) , u2 = (0, l,r) , U3 = (-r, -4, r2). [3.3.B6], Ve vektorovém prostoru RR (viz cvičení [3.1.B3J) jsou dány vektory (tj. zobrazení R —* R) : /i(x) = 1, /2(x) = cosi, pi(x) = sin2|, g2(x) = cos2 § . Potom: a) popište množinu [ /1, /2 ] b) dokážte, že [ fi, f2 ] = [ 9i, 92 ] ■ [3.3.B7]. Nechť V je vektorový prostor (nad T), necht u,v,iv G V. Dokažte, že platí : a) [u,u-v,w] = [u,v,w-u] b) [u,v,w] = [u + v,u-v,v-w]. [3.3.B8]. Nechť K je vektorový prostor (nad T); nechťui,U2,v,w G V jsou vektory splňující : w G" [uj,u2] A w G [ui,u2,v]. Dokazte, že pak je v£[ui,u2,w]. [3.3.B9]. Nechť V je vektorový prostor (nad T); nechť u, v, w G V jsou vektory splňující: ťiu + í2v + *3W = 0 > přičemž ťi ■ ť3 ^ 0. Potom: a) dokážte, že [u,v] = [v,w] b) ukažte, že bez předpokladu ii • ť3 ^ 0 předchozí rovnost neplatí. [3.3.BIO]. Nechť Wi,Wi jsou podprostory vektorového prostoru V (nad T) takové, že W\ je generován vektory Ui,...,ufí resp. je generován vektory vi,...,v,. Dokážte, že pak součet podprostoru W\ + W2 je generován vektory Ui,..., ur, Vi,..., v,. §3: Lineární závislost a nezávislost vektoru 91 [3.3.Bil]. Rozhodněte, zda dané vektory z vektorového prostoru V jsou lineárne závislé, či lineárne nezávislé, je-li: a) 1/ = Q3; U! = (1,2,-2) , u2 = (-2,-3,1) ,u3 = (-1,2,2) b) V = Q3 ; U! = (1,3,-2) ,u2 = (1,1,2) ,u3 = (-1,2,-8) c) V = R4 ; U! = (0, -1,2,3) , u2 = (2,1,-1, -2) , u3 = (1,0,1,1) d) V = R4;Ul = (1,1, -1,2) , u2 = (-4,1,1,-3) , u3 = (2, -3,1, -1), «4 = (1,1, 1,1) e) V = K3 ; ui = (10, 8 - 14i, 2 + 4i) , u2 = (2 + i, 3 - 2i, i) f) V = K3 ; ui = (2,2 + 2i, 2i) , u2 = (1 - i, 1 + 3i, -1 + í) , u3 = (1+ i, 1 - i, 1 + i) g) V = R3[x] ; fx = 2x2 4- x - 4 , f2 = x2 - 3 , f3 = (x + l)2 h) V = R3[x] ; fi = x2 + x + 1 , h = x • (x2 + x + 1) , f3 = (x + l)2. [3.3.B12]. Uvažme množinu komplexních čísel K jako vektorový prostor nad tělesem R (viz cvičení [3 J.Bl] b)). Dokážte, že v tomto vektorovém prostoru jsou každá tři komplexní čísla lineárne závislá. [3.3.B13]. Ve vektorovém prostoru R'0'1* (víz cvičení [3.1.B2]) uvažme dva různé vektory (tj. zobrazení (0,1) —» R) / ^ g. Potom: a) dokažte, že když existuje Xo G (0,1) tak, že /(*o) = g(*o) #0 . potom jsou /, g lineárne nezávislé b) ukažte na příkladech, že když neexistuje žádné xo G (0,1) takové, že f(xo) = g(xo) ^ 0, pak f,g mohou být jak lineárně závislé, tak i lineárně nezávislé. [3.3.B14]. Ve vektorovém prostoru RR (viz cvičení [3.1.B3]) jsou dány vektory (tj. zobrazení R —* R) /, g, h . Dokažte, že f, g, h jsou lineárne závislé. Přitom: a) / = 1 , g — cos x , h = cos2 | b) / = \/2 , g — sin2 x , h — cos2 x c) / = sin x , g = cos x , ' h = cos(x + |) d) / = e' , g = sin x + cos x , h — cos(x — *•). (Návod: přímou úpravou, užitím známých vztahů pro goniometrické funkce, sestavujte rovnici t\-f + t?-g + ť3-/t = 0.) 92 II. Cvičení - Kap.3: Vektorové prostory [3.3.B15]. Dokažte, že dané vektory ui,U2,u3 G R3 jsou lineárně závislé a nalezněte mezi nimi všechny vektory, které nelze vyjádřit jako lineární kombinaci zbývajících. Přitom: a) u: = (1, y/2, -y/2) , u2 = (1, y/Ž, -2) , u3 = (-VŽ, -2,2) b) Ul = (1,1,-1) , u2 = (1,3,1) , u3 = (1,0,-2) c) Ul = (l,V2,-y/2) , u2 = (0,0,0) , u3 = (2, y/2,1). [3.3.B16]. Ve vektorovém prostoru R3 jsou dány vektory u,v,w. Určete všechny hodnoty parametru a € R, pro které jsou tyto vektory lineárně závislé, resp. lineárně nezávislé. Přitom: a) u=(l,l,l), v = (l,a,l) ,w = (2,2,a) b) u = (0,2,fl),v = (-1,3,2), w = (2,-4,o) c) u = (a,4,ll),v = (l,2,3),w = (3,l,4). [3.3.B17]. Rozhodněte, pro které hodnoty parametru jsou zadané vektory z Q4 lineárně závislé: a) Ul = (1,2+0,4,6) ,u2 = (1,2,3-6,3) , u3 = (2,4,6-6,7) , U4 = (1,2-0,2-6,1) b) ui = (a, 6, c, ď) , u2 = (6, -a, d, -c) , u3 = (c, -d, -a, 6) , U4 = (d, c,-fc,-a) c) Ui = (1,1, a, 1) , u2 = (1,6,1,1) , u3 = (c, 1,1,1) d) Ui = (1,1, a + 1, a4 + 3a2) , u2 = (1, a + 1,1, a3 + 3a2) , u3 = (a+l,l,l,a2 + 3a). [3.3.B18]. Nechť u, v, w jsou lineárně nezávislé vektory ve vektorovém prostoru V (nad T). Rozhodněte, zda následující vektory z V jsou lineárně závislé, či lineárně nezávislé: a) (u + v) , (u + w) , (v + w) b) (2u + 3v + 3w) , (u + 4v - w) , (3u + 5v + 4w) c) (3u + 4v + 5w) , (4u + 3v + 5w) , (5u + 4v + 3w) d) (u - 2v + w) , (3u + v - 2w) , (7u + 14v - 13w). [3.3.B19]. Nechť ui.Us,... ,ujt jsou lineárně nezávislé vektory ve vektorovém prostoru V (nad T). Rozhodněte, zda vektory: uj , (ui + 2u2) , (ui + 2u2 + 3u3) ,..., (ui + 2u2 +----h k ■ uk) jsou lineárně závislé, či lineárně nezávislé. [3.3.B20], Nechť V je vektorový prostor (nad T) a nechť u G V. Dokažte, že platí : vektor u je lineárně závislý <=> u = o. §4: Báze a dimenze vektorového prostoru 93 [3.3.B21]. Nechť V je vektorový prostor (nad T); nechť a, b, c,d G V. Dokažte, že potom platí: a) vektory a,b,c jsou lineárně nezávislé A vektory a, b,c,d jsou lineárně závislé =► d G [a, b, c]. b) vektory a, b, c jsou lineárne závislé A c £ [a, b] => a = o nebo 3 t G T : b = t a. [3.3.B22]. Nechť Ui.....u* (k > 2) je konečná posloupnost vektoru z vektorového prostoru V (nad T) taková, že ui ^ o. Dokážte, že pak: vektory ui,. ..,Ut jsou lineárně závislé existuje vektor u,- (2 < i < k), který je lineární kombinací předcházejících vektoru (tj. vektoru ux,... ,ut_i). [3.3.B 23]. Nechť Ui, ... , u* (k > 2) je konečná posloupnost vektoru z vektorového prostoru V (nad T) taková, že u* ^ o. Dokažte, že pak: vektory m,...,u* jsou lineárne závislé <=ť existuje vektor u,-(1 < i < k — 1), který je lineární kombinací následujících vektoru (tj. vektoru uI+1,...,ut). [3.3.B24]. Nechť ve vektorovém prostoru V (nad T) jsou dány lineárně nezávislé vektory ui,..., u* a vektor w ^ o. Dokažte, že potom nejvýše jeden vektor z posloupnosti vektorů w,ui,. ..,Ut je lineární kombinací předchozích vektorů. (Návod: důkaz veďte sporem .) [3.3.B25]. Nechť H^i,V72 jsou podprostory ve vektorovém prostoru V (nad T) takové, že jejich součet je přímým součtem. Nechť dále uj,...,ur G W^i jsou lineárně nezávislé vektory av],...,v, G jsou lineárně nezávislé vektory. Dokažte, že pak vektory uj,..,, ur, vj,..., v, jsou lineárně nezávislé. §4: BÁZE A DIMENZE VEKTOROVÉHO PROSTORU [3.4.A1]. U.p. vektorů z vektorového prostoru R2[x], které a) jsou generátory, ale nejsou bází vektorového prostoru R2[x] b) jsou lineárně nezávislé, ale nejsou bází vektorového prostoru R2[a;]. [3.4.A2]. U.p. vektorů u, v, w G Q2, které a) jsou lineárně nezávislé b) negenerují vektorový prostor Q2. [3.4.A3]. Uveďte, co všechno můžete říci o čísle n, víte-li, že vektory Ul,U2,U3,U4 a) generují vektorový prostor Q" b) jsou lineárně nezávislé vektory ve vektorovém prostoru Rn[x]. 94 II. Cvičen/ - Kap. 3: Vektorové prostory [3.4.A4]. Uveďte, co všechno můžete říci o čísle s, víte-li, že vektory ua,.. , u, a) generují vektorový prostor Rs[x] b) jsou lineárně nezávislé vektory ve vektorovém prostoru K5. [3.4.A5]. U.p. dvou různých podprostorů W\, W2 vektorového prostoru R3 takových, že průnik Wx n W2 a) nemá bázi b) má bázi u = (1,1,1), v = (3,2,1). [3.4.A6]. U.p. jednodimenzionálního podprostorů W ve vektorovém prostoru R^x]. [3.4.A7]. U.p. dvoudimenzionálního podprostorů W ve vektorovém prostoru R4 tak, že: a) W obsahuje vektor (>/2,3, 7) b) W obsahuje vektory (1,1,1,1) , (0,1,0,0), (0,0,1,0). [3.4.A8]. U.p. podprostorů W\,W2 ve vektorovém prostoru Q3 takových, že a) dim Wi = dim W2 A WX±W2 b) dim Wl = dim W2 A W\ C W2. [3.4.A9]. U.p. dvou třídimenzionálních podprostorů W\,W2 ve vektorovém prostoru R5 takových, že jejich součet je přímým součtem. [3.4.A10]. U.p. podmínky, která a) je nutná, ale není dostatečná b) je dostatečná, ale není nutná c) je nutná i dostatečná d) není nutná ani dostatečná pro to, aby dva vektory u, v byly bází vektorového prostoru R2. * * * [3.4.B1]. Rozhodněte, zda zadané vektory tvoří bázi vektorového prostoru V, je-li a) V = R3 , Ul = (2,1,2) , u2 = (-3,0,1) , u3 = (5,4,3) b) V = R4; ui = (1,5,5,-4) , u2 = (1,2,3,-1), u3 = (1,-1,1,2) , U4= (1,8,7,-7) c) V = R2[x] ; fj = 2x2 + 3x - 5 , f2 = x7 - x + 1 , f3 = 3x2 + 2x - 1 d) K = R3[ar] ; t1 = xi + x, f2 = x3 + 2x2 , f3 = x3 + x2 - x - 1 , f4 = a;3-l. §4: Báze a dimenze vektorového prostoru 95 [3.4.B2]. Nechť vektory u, v, w tvoří bázi vektorového prostoru V (nad T). Rozhodněte, zda následující vektory také tvoří bázi tohoto vektorového prostoru V: a) (u + v) , (v - w) , (u + w) b) (u + v) , (v + w) , (u + w) c) (2u + v + 3w) , (v + 2w) , (u - v + 7w) d) (u + v + 2w) , (3u + 2v + w) , (3u + v - 4w). [3.4.B3]. Určete všechny hodnoty parametrů, pro něž zadané vektory tvoří bázi vektorového prostoru V, je-li: a) V = R3; ui = (2,3,a), u2= (3,4,2a), u3 = (5,8,1 + 2a) b) ľ = R3 ; u1 = (l,a,6) , u2=(0,l,c) , u3 = (0,l,l) c) V= R2[x] ; fi = ai2 - 4i - 1 , f2 = 4r2 - 6x - 3 , f3 = z2 + x - a ď) V - R3[x] ; f3 = 3x3 - 2ax2 + 1 , f2 = x3 - 1 , f3 = x2 + x + 1. [3.4.B4]. Ve vektorovém prostoru R4 a) nalezněte bázi, která obsahuje vektor uj = (1,2,3,4) b) nalezněte dvě báze, které mají společné právě vektorv m = (i,i,o,o), u2 = (0,0,1,1). [3.4.B5]. Ve vektorovém prostoru R4 nechť je zadán podprostor W = L(ui,u2,u3) a vektor v € W. Nalezněte bázi podprostorů W, která obsahuje vektor v, je-li: a) Ul = (1,0,-2,-1) , u2 = (1,2,1,1) , ua = (2,-1,-2,0) ; v = (2,1,1,2) b) Ul =(1,1,4,3) , u2 = (-1,4,6,5) , u3 = (-2,3,2,2) ; v = (3,-2,2,1). [3.4.B6]. Nalezněte bázi a dimenzi vektorového prostoru V", je-li a) V = K, nad tělesem K (viz cvičení [3.1.Bl]a) ) b) V = K, nad tělesem R (viz cvičení [3.1.B1] b) ) c) V = {a + bVŽ | a,b £ Q} nad tělesem Q (viz cvičení [3.1.Bl]d) ) d) V — KA, kde A = {ai,..,o«} (viz cvičení [3.1.B6]) e) V = K x K, nad tělesem R, přičemž sčítání vektorů a násobení reálného čísla s vektorem je definováno "po složkách". [3.4.B7]. Dokažte, že vektorový prostor V nemá bázi. Přitom : a) V = R[x] b) V = R'0'1* (viz cvičení [3.1.B2]) c) V = 5(R) (viz cvičení [3.1.B4]) d) V - V(K) (viz cvičení [3.1.B7]). (Návod: ukažte, že pro každé přirozené n lze ve V vždy sestrojit n lineárně nezávislých vektorů.) 96 II. Cvičeni' - Kap. 3: Vektorové prostory [3.4.B8]. Nechť Ui,...,u„ (n > 2) je báze vektorového prostoru V (nad T). Dokažte, že potom: a) vektory Uj , ui+u2 , ... , Ui+u2 + -• -fun jsou bází prostoru V b) vektory U! , u2 , u„_j , u„ + ílUi + • • ■ + ín-iu„_i jsou pro libovolná tíf. ..,í„_i € T také bází prostoru V. Definice. Řekneme, že konečná posloupnost vektorů ui,... ,u„ 6 V je minimální systém generátorů prostoru V, jestliže : (i) [u1,...,un] = V (ii) [uj, ...,u,-_i,ui+1,...,u„] C V pro každé i = 1,.. tzn. jinými slovy řečeno: vektory u:,...,un generují prostor V, ale vynecháme-li libovolný z nich, pak zbývající vektory již prostor V negenerují. [3.4.B9]. Dokažte, že konečná posloupnost vektorů ui, ...,u„ je bází vektorového prostoru V právě když je minimálním systémem generátorů prostoru V. [3.4.B10]. Ve vektorovém prostoru F je dán podprostor W. Nalezněte bázi a dimenzi tohoto podprostorů W, je-li: a) V = R5 , W = {(xj,x2,x3,x4,z5) | xj + x2 = 0 A x4 + x5 = 0} b) V = R» (n>2) ; W = {(x1:..., xn) \ Xl = xn} c) V = R» (n>2) ; W = {(xi,..., x„) | ar, = x2 = ■ ■ - = xn) d) V=R" (n>2) ; ÍTs {(«!»...,*») !«!+«»+... + •„ = 0) e) V" = R" (n > 2) ; W = {(xlf..., x„) | x,- = 0 pro sudé i) f) V = R5[x] , W = {/(x) | /(*) = /(-x) pro Vx € R}. [3.4.B11]. Ve vektorovém prostoru R4 je dán podprostor W ~ {(xi,x2, x3, x4) | xi + 2x2 = x3 + 2x4} . Pak: a) ukažte, že vektory uj = (1,0,1,0), u2 = (0,1,0,1) jsou lineárně nezávislé a leží ve W b) určete dimenzi podprostorů W c) doplňte vektory u,, u2 na bázi podprostorů W. [3.4.B12]. Ve vektorovém prostoru Q4 nechť je zadán podprostor W = [ui,u2,u3,u4]. Z generátorů ui,u2,u3,u4 podprostorů W vyberte všechny možné báze W. Přitom: a) ui =(1,2,0,0),u2 = (0,0,0,0) , u3 = (1,2,3,4) , m = (3,6,0,0) b) Ul =(1,2,3,4) , u2 = (2,3,4,5), u3 = (3,4,5,6) , u4 = (4,5,6,7) c) ui = (2,1, -3,1), u2 = (4,2, -6,2),u3 = (6,3, -9,3),m = (1,1,1,1) d) ux = (1,1,1,1),U2 = (1,-1,1,l),u3 = (l, 1,-1,1),u4 = (1,1,1,-1) §4: Báze a dimenze vektorového prostoru 97 [3.4.B13]. Ve vektorovém prostoru R4 nechť je zadán podprostor W = [ui,u2,u3,U4,u5]. Z generátorů Ui,u2,u3,u4,u5 podprostorů W vyberte nějakou bázi W a potom každý z vektorů ui, u2, u3, u4, us vyjádřete pomocí této báze. Přitom: a) Ul = (2, -1,3,5) , u2 = (4, -3,1,3) , u3 = (3, -2,3,4) , u4 = (4, -1,15,17) , u5 = (7, -6, -7,0) b) Ul = (1,2,3,-4) , u2 = (2,3,-4,1) , u3 = (2,-5,8,-3) , U4 = (5,26,-9,-12) , u5 = (3,-4,1,2). [3.4.B14]. V závislosti na parametrech určete dimenzi podprostorů W ve vektorovém prostoru V, je-li: a) V = R3 ; W = L(uu u2, u3), kde Ul =(1,1,1) , u2 = (l,a,l) , u3 = (2,2,o) b) V = R3 ; W = L(uj, u2), kde uj = (5,7,-1) , u2 - (2a, 1, -2) c) V = R4 ; W = L(ui,U2,U3), kde uj =(l,l,a,l) , u2 = (1,6,1,1), u3 = (c, 1,1,1). [3.4.B15]. Nechť V je vektorový prostor nad T takový, že dim V = n. Dokažte, že pro každé k = 0,1,..., n existuje ve V podprostor, jehož dimenze je rovna k. [3.4.B16]. Nechť Wi,W2 jsou podprostory vektorového prostoru V (nad T). Dokažte, že platí: dim (Wi + W2) = dim (W1 ľ\W2) + l => W\ C W2 nebo W2 C Wi. (Návod: důkaz veďte sporem.) [3.4.B17]. Určete bázi a dimenzi průniku podprostorů Wi n W2 ve vektorovém prostoru V, je-li: a) V = R3 ; Wi =[ui,u2] , W2 = [v!,v2,v3] , kde Ui = (1,1,-3) , u2 = (1,2,2), V! = (1,1,-1), v2 = (1,2,1), v3 = (1,3,3) b) V = R4 ; Wi = [ui,uj,u3] , W = [vi,v2,v3j , kde m = (1,2,0,2), u2 = (1,2,1,2), u3 = (3,1,3,1), vj = (1,1,1,1) , v2 = (1,-1,1,-1), v3 = (1,3,1,3) c) V = R4 ; Wi = [ui,u2] , W2 = [v:,v2] , kde Uj =(1,1,1,1), u2 = (1,0,1,0) , vj = (1,1,1,0) , v2 = (1,2,0,1) d) V = R5 ; Wi = [ui,u2,u3] , W2 = [vi,v2,v3] , kde u: =(1,2,-1,3,1) , u2 = (1,0,2,-1,3) , u3 = (1,4,-4,7,-1) , v, = (0,2,-3,4,-2) , v2 = (2,2,1,2,4) , v3 = (2,6,-5,12,3). 98 II. Cvičeni - Kap. 3: Vektorové prostory [3.4.B18]. Nechť W\,W% jsou podprostory vektorového prostoru V, přičemž : dim V = 2 , dim W\ — dim W2 = l- Dokažte, že pak je buď W\ = W2 nebo V = VTi-í-l^ • [3.4.B19]. Nechť PVitW2 jsou podprostory vektorového prostoru V takového, že dim V = 3 . Dokažte, že pak platí: a) dim Wi = dim W2 = 2 => => Wi = W2 nebo (W1 + W2 = V A dim {Wt n W2) = 1 ) b) dim Wi = \ , dim W2 = 2 =► Wi C W2 nebo V = Wí+W3 c) dim Wi = dim W2 = 1 => => l^j = W2 nebo (Wx d W2■= {0} a dim {Wl + W2) = 2 ). [3.4.B20]. Nechť Wi, W2 jsou podprostory ve vektorovém prostoru V takové, že prostor V je jejich přímým součtem (tj. V ~ W\+W2). Nechť ui,...,ur je báze W\ , resp. Vi,..., v, je báze W2. Dokažte, že pak uj,... ,ur, Vj,..., v, je báze prostoru V. [3.4.B21]. Nechť V je n-dimenzionální vektorový prostor (n > 1) a nechť Wi je libovolný podprostor ve V. Dokažte, že ve vektorovém prostoru V existuje podprostor W2 takový, že platí: V = Wx + W2. [3.4.B22]. Nechť V je n-dimenzionální vektorový prostor (n > 1) a nechť U, W\, W2 jsou podprostory ve V takové, že platí: Wí c w2 a ur\wx = uc\W2 a u + wx = u + w2. Dokažte, že potom je W\ = W2. (Návod: stačí dokázat (proč?), že dim W\ — dim W2.) [3.4.B23]. Ve vektorovém prostoru R4 jsou dány lineárně nezávislé vektory Ui = (1,1,1,1), u2 = (0,1,1,1), u3 = (0,0,l,l), u4 = (0,0,0,1). Vyjádřete pak souřadnice vektoru w = (2,1,1,4) a) v bázi Ui , ti2 , U3 , U4 b) v bázi u3 , u2 , 114 , uj.. §4: Baze a dimenze vektorového prostoru 99 [3.4.B24]. Ve vektorovém prostoru Rs[z] nalezněte souřadnice vektoru (tj. polynomu) / = 2x5 - x3 - 5x2 + 4 v bázi : a) x5+x4, x4+2x3, 2x3+3x2, 3x2+4z, 4x+5, x+1 b) x5+2x2, x4+4, x3+x, 3x5+x, x4+3x2, x2+l c) 1, (x-1), (x-1)2, (x-1)3, (z-1)4, (x-l)s. (Návod: při c) využijte Taylorovu větu, kterou znáte z analýzy.) [3.4.B25], Nalezněte bázi ei,e2,e3 vektorového prostoru R3, v níž vektor u = (1,0,0) má souřadnice (1,1,1) a vektor v = (1,1,1) má souřadnice (1,0,0). Uveďte, kolik takových bází existuje. 100 §1: Poradí a permutace 101 KAPITOLA 4: MATICE A DETERMINANTY SI: POŘADÍ A PERMUTACE [4.1.Bi). Určete počet inverzí v daném pořadí z 9-ti prvků: a) (2,1,7,9,8,6,5,3,4) b) (9,8,7,6,5,4,3,2,1). [4.1.B2]. Určete počet inverzí v daném pořadí z 2n prvků: a) (l,3,...,2n-l,2,4,...,2n) b) (2,4,..., 2n, 1,3,..., 2n-l) c) (2*1,271-1,20-2,...,2,1) d) (2n-l,2n,...,3,4,1,2). [4.1.B3]. Určete počet inverzí v daném pořadí z 3n prvků: a) (3 , 6 ,..., 3n , 1, 4 ,..., 3tj-2 ,2,5,..., 3n-l) b) (1,4,..., 3n-2 ,2,5,..., 3n-l, 3 , 6,..., 3n) c) (2,5.....3n-l, 3 , 6 ,..., 3n , 1, 4,..., 3n-2). [4.1.B4]. Nechť v pořadí (rj , r2 , ... , r„) je celkem I inverzí. Určete počet inverzí v pořadí (r„ , rn_! , ... , r2, ri) . [4.1.B5]. Prvky 1,2,...,n rozdělme na dvě části takto: rj < • ■ ■ < ri , resp. «!<•••< , kde 1 < k < n — 1. Určete počet inverzí v poradí (rirjj, S\ , ... , sn-t) ■ [4.1.B6]. Nechť (ri, r2,..., r„) je pořadí z n prvků, v němž je / inverzí. Utvoříme-li z prvků ri,r2,...,rn pořadí (1, 2, ... , n) , pak indexy těchto prvků utvoří jisté pořadí, v němž je rovněž / inverzí. Dokažte. [4.1.B7]. Určete x,y tak, aby pořadí a) (1,2,7,4,x,5,6,^,9) bylo sudé b) (5,1,»,8,9,4,1,6,3) bylo liché. [4.1.B8]. Rozhodněte, kdy daná dvě pořadí z n prvků (n > 3) : (rj , r2 , ... , r„_! , r„) a (r2, r3 , ... , r„ , ri) mají stejnou paritu, resp. různou paritu . [4.1.B9]. Seřaďte všechna pořadí ze 4 prvků tak, že každé pořadí obdržíte z předcházejícího pořadí provedením jedné transpozice. Přitom: a) pořadí (4,2,1,3) bude napsáno jako první b) pořadí (1,3,4,2) bude napsáno jako poslední c) pořadí (4,2,1,3) bude napsáno jako první a pořadí (1,3,4,2) bude napsáno jako poslední. [4.1.BIO]. Vypište všechny formálně různé zápisy dané permutace: 2 3\ u A 2 3 41 2 bH2 4 3 a) (1 2 1 [4.1.Bil]. Zjistěte paritu permutace P, je-li: a) P b) P c) P d) P 1 2 n n—l {2 1 n—1 n 2 1 . 2n-l 2n 2n 2n-l 3 6 1 4 1 2 3 6 3n 1 4 3n-2 2 5 3n-2 2 5 3n-l 3 6 3n-l 3n n 3n n+1 n+2 2 5 2n 2n+l 2n-f2 3n-l 1 4 [4.1.B12]. Nalezněte permutace RoP a PoR 2 3 4 5\ /l 2345 3 4 1 5 2) 1 1 5 3 3n ^| ... 3n-2J je-li dáno : b) P = 4 2 1 3 5 6 7 1 7 2 5 4 6 3 R ■C! ■G 2 4 1 2 2 4 [4.1.B13]. Nechť jsou dány permutace _ (1 2 3 4 5 6 7\ "^5 314627/ Pak nalezněte permutaci : a) Po Ji2 \>)PoRoP~l [4.1.B14]. Nechť jsou dány permutace : 2 3 4 5\ /l 2 3 4 5 5 3 4 2 I/' I 3 5 2 Pak nalezněte všechny permutace J^, splňující vztah: a) RoXoS= T b)SoXoR = T 3 4 5 6 3 4 c) P~2oR. (1 2 3 4 5^ (1 2 3 4 5^ A 2 3 4 5\ V53421^'.~V4 1352y' J~V1 3 2 5 4/ 102 II. Cvičení - Kap. 4: Matice a determinanty 2 3 2 3 r = 1 2 3 1 3 2 1 2 3 2 1 3 [4.1.B15]. Pro zadanou permutaci P nalezněte všechny permutace X takové, že platí: P o X = X o P . Pritom: ■»'.-(ÍŠíí) ^.-(iíJí) [4.1.B16]. Nechť S3 = {e, r, s, ť,«, v} značí množinu všech permutací 3-prvkové množiny, přičemž Hl <-an). «=a-)- *-(».)■ Potom: a) napište tabulku operace grupy (53, o) b) nalezněte všechny podgrupy v grupe (S3, o) c) značí-li p množinu všech podgrup grupy (S3lo), pak nakreslete hasseovský diagram uspořádané množiny (T, C). (Návod: při b) využijte faktu, že v (S3,o) neexistuje žádná 4-prvková, ani 5-prvková podgrupa.) [4.1.B17]. Nechť 5, resp. T značí množinu všech sudých, resp. všech lichých permutací 3-prvkové množiny; nechť o značí skládání permutací. Rozhodněte, zda (5, o), resp. (T, o) jsou grupy. [4.1.B18], Nechť G je množina všech sudých permutací na 4-prvkové množině, přičemž prvky množiny G označíme takto: e - í1 2 3 4\ m _ ř"1 2 3 4\ fl 2 3 4\ ~ [l 2 3 A) ' m - [l 3 4 2) > n = [i 4 2 3J ■ o _ fl 2 3 4\ _ /i 2 3 4\ A 2 3 4\ " V2 1 4 sj ' p " \2 3 1 4 J ' 9 » (,2 4 3 l) ' r = 2 3 4N J/l 2 3 4\ A 2 3 4\ U 1 2 4; > ~ 1^3 2 4 l) ' * ~ {3 4 1 2) > /l 2 3 4^ /i 2 3 4\ /1 2 3 4\ - U 1 3 2j ' V ~ {4 2 1 3J • W = (4 3 2 1) ■ Nechť o značí skládání permutací. Poí.om: a) napište tabulku operace o a dokažte, že (G, o) je nekomutativní grupa §2: Determinanty 103 b) víte-li, že v (G, o) kromě triviálních podgrup existují ještě právě 3 dvouprvkové, 4 tříprvkové a jedna Čtyřprvková podgrupa, pak nalezněte všechny tyto podgrupy c) nechť V značí množinu všech podgrup grupy (G, o). Nakreslete hasseovský diagram uspořádané množiny (V, C). §2: DETERMINANTY [4.2.AI]. U.p. čtvercové matice A (nad R) takové, že detj4 má právě 16 členů. [4.2.A2]. U.p. čtvercové matice A řádu 5 (nad Q), jejíž všechny prvky jsou nenulové, ale det A — 0 . [4.2.A3]. U.p. matice A řádu n (nad K) tak, aby det A — c , kde c je libovolné, pevné komplexní číslo. [4.2.A4]. U.p. matice A řádu 3 (nad R) tak, aby | A' j - -| A |. [4.2.A5]. Nechť A je matice řádu 5 (nad R) taková, že \A\ = V2. Nechť matice B vznikne z matice A tak, že každý její prvek vynásobíme číslem —JŽ. Uveďte, čemu se rovná \B\. [4.2. A6]. Nechť A je matice řádu 6 (nad R) a nechť jsou pevně zvoleny 3 její sloupce. Uveďte, kolik submatic řádu 3 lze ze zvolených sloupců vybrat. [4.2.A7], Nechť A je matice řádu n (nad T) a nechť 0 < Jb < n je celé číslo. Uveďte, kolik submatic řádu k lze v matici A sestrojit. [4.2.A8]. U.p. matice A řádu 3 (nad R) takové, že | A | ^ 0 a všechny minory řádu 2 v matici A jsou nulové. [4.2.A9]. U.p. matice A řádu 3 (nad R) takové, že | A | = 0 a všechny minory řádu 2 v matici A jsou nenulové. [4.2.A10]. U.p. podmínky, která a) je nutná, ale není dostatečná b) je dostatečná, ale není nutná pro to, aby determinant čtvercové matice A byl nenulový. [4.2.Bl]. Rozhodněte, zda se daný součin vyskytuje v determinantu matice A = (a;j) řádu n , resp. s jakým znaménkem : a) n = 6 ; a3i ■ a43 • ai4 ■ a5j • aee • 035 b) n = 6 ; aj3 • 024 • a^i • 055 • aes • 0.22 c) n = 8 ; «72- an ■ 043 ■ a2i ■ as4 ' ^35 ■ ase d) n = 8 ; 072 ■ 06i ■ "58 ■ 047 • aS4 • ^16 • 035 • <*23 • 104 II. Cvičení - Kap. A: Matice a determinanty §2: Determinanty 105 [4.2.B2]. Určete (v závislosti ná i, j, resp. k) znaménko daného členu determinantu matice A — (a,-j) řádu n je-li : a) n = 5 ; a3i ■ au ■ oB4 • a43 ■ a2j b) n = 5 ; au ■ aj5 ■ a2i ■ ■ a5k c) n = 6 ; 2 + C2 a2 í>2 C2 [4.2.B7]. Spočtěte determinant 3 -2 -4 -2 1 -3 a) 1 3 2 b) 3 2 -1 -2 -4 6 -4 3 -1 4 -3 5 3 -1 4 c) -3 2 -8 d) -1 3 -2 1 -7 -5 2 4 1 [4.2.B8]. Spočtěte (nad tělesem komplexních čísel) determinant: b) 1 -i 1+i a) -i 10 1-i 0 i 2+i 1+i l+2t 1-i 3-2i 1-i 2-3i 1+i l+2i c) 1 1 z 1 1 r2 r2 2 1 kde z - cos^f + isin ^ d) 1 1 1 z 1 r2 kde z = cos ^ + isin ^ [4.2.B9]. Nechť je dána matice A - ■ 1 -3 -2 7" 4 -1 5 0 -7 1 2 4 . 1 0 -8 2. Pak spočtěte minor j B |, resp. doplněk minoru | B |, resp. algebraický doplněk minoru \ B\, jestliže submatice B je vytvořena a) 1. a 3. řádkem a 2. a 3. sloupcem matice A b) 2., 3., 4. řádkem a 1., 2., 4. sloupcem matice A . [4.2.B10]. Nechť je dána matice A = (a<;) z předchozího cvičení. Spočtěte algebraický doplněk A23 , resp. A33 , resp. A41 [4.2.Bil]. Spočtěte determinant a) c) [4.2.B12]. Pouze užitím Laplaceovy věty a definice determinantu spočtěte: 5 6 3 -2 1 -2 -3 9 3 6 -3 -5 2 0 -5 8 2 7 2 1 -2 -4 v) 4 -5 -3 -2 -1 0 3 1 7 -8 -4 -5 2 1 -1 2 -1 2 1 0 2 1 -4 3 2 -1 1 1 0 2 1 2 3 5 -2 1 -2 d) 1 2 1 0 2 2 2 -1 3 -1 0 2 2 1 1 -1 2 3 1 3 2 1 1 2 0 a) 3 4 3 2 10 0 0 0 0 0 4 3 4 2 1 0 0 1 0 0 0 0 b) 1 o 5 1 1 0 8 1 9 1 1 0 3 7 9 7 3 9 106 II. Cvičení - Kap. A: Matice a determinanty §2: Determinanty 107 [4.2.B13]. Užitím Laplaceovy věty spočtěte determinant «n-l «1 «0 -1 X 0 0 o -1 o o o o o o O x o o o o -1 x (Návod: nejprve proveďte rozvoj podle 1. sloupce.) [4.2.B14). Nechť A = (a,j) je matice rádu n > 3 (nad T) taková, že au ^ 0. Dokažte, že pak platí : \A\ = „n-2 *11 «11 «12 «21 «22 On Oi2 «31 «32 «11 ai3 021 «23 On ai3 «31 «33 «11 «ln a2i a2n «11 «ln «31 03n au «12 «11 «13 «11 ain «nl «n2 Oni «n3 Oni «nn (Návod: determinant |j4| upravujte tak, aby pod prvkem «n vznikly samé nuly a potom použijte Laplaceovu větu .) [4.2.B15]. Opakovaným užitím výsledku předchozího cvičení a úpravou (vytknutím z jednoho řádku, resp. sloupce) vypočtěte determinanty ze cvičení [4.2.B11]. [4.2.B16]. Nechť A = (a,,) je matice řádu n (nad T) a nechť p G T je pevný prvek. Utvořme matici B tak, že ke každému prvku matice A přičteme číslo p , tzn. B = (a,j + p) . Dokažte, že pak : 1*1 = Ml + P-ŽÍ>; kde Aíj značí algebraický doplněk prvku v matici A. [4.2.B17J. Nechť n > 2; užitím Cauchyovy věty vypočtěte determinant: zi-yi zi - i/2 • • - *1 - y„ 12-1/1 x2-y2 ... x2-yn a) xn - yi xn~ i/2 xn - y„ b) sin(ii-f-yi) sin(z! + j/2) ••• sin(xi+yn) sin(a2 + yi) sm(z2 + y2) ■■■ sin(x2 + yn) sin(x„ + yi) sin(z„ + y2) ■■■ s\n(xn + yn) (Návod: danou matici vyjádřete nejprve jako součin dvou vhodných matic.) [4.2.B18]. Užitím úprav, které nemění hodnotu determinantu, spočtěte determinant dané matice řádu n > 2: 0 1 1 . . 1 1 1 - 2 3.. . n- 1 n 1 0 . . 0 0 -1 0 3.. . n-1 n a) 03 0 1 . . 0 0 b) -1 -2 0.. . n - 1 n an 0 0 . . 0 1 -1 -2 -3.. 0 2 2 ... 2 2 3 1 - n 1 1 1 2 2 ... .2 3 2 1 1 - n 1 1 c) 2 3 ... 2 2 2 1 1 ... 1-n 1 3 2 ... 2 2 2 1 1 1 1-n [4.2.B19]. Spočtěte determinant dané matice řádu n > 2: 0! 1 2.. . n — 2 n-1 -ai ai 0 ... 0 0 Cli 02 1 . . . n - 3 n-2 0 -a2 a2... 0 0 a) b) «1 «2 «3 • - an. -i 1 0 0 0 ...-a„_i «n-l a\ a2 03.. «n- -i «n 1 1 1 ... 1 1 0 11... 1 1 x «1 «2 ... an_2 «n— 1 1 0 x ... x z ai x a2 ... «„_2 an-i c) 1x0... x x d) «1 «2 Z ■ -■ an-2 «n-l 1 x x ... x 0 ai 02 «3 ... an_i x x + ai a2 on 1 2 3 ... n-1 n oi x + a2 an 2 3 4 n 1 e) \ f) ai a2 • a„ n — 1 n 1 ... n — 3 n -2 «1 02 x + an n 1 2 ... n — 2 n - 1 108 II. Cvičení - Kap.4: Matice a determinanty [4.2.B20]. Nechť An značí matici řádu n. Dokažte, že pro každé přirozené n platí: a) = 2"+1-l , kde An = b) \An\= i(5"+1 - 2"+1) , kde A„ c) \An\ = x-y An = x + y x-y 0 1 x + y x-y 0 1 x + y 0 0 0 d)\An\ =i" + i"-' + - + x+1 , kde An = x + 1 x 0 1 x +1 x 0 1 x + 1 L 0 0 0 ... o o ... o o ... o o ... 1 1 + 1 [4.2.B21]. Nechť At značí matici řádu Jfc; dokažte, že a) pro každé n > 2 a x £ y platí: 0 x x y 0 x y y 0 y y y "3 2 0 .. . 0 0" 1 3 2 .. . 0 0 = 0 1 3 .. . 0 0 .0 0 0 .. . 1 3. "7 5 0 .. . 0 0" 2 7 5 .. . 0 0 = 0 2 7 .. . 0 0 .0 0 0 .. . 2 7. kde 0 0 - 0 0 0 0 1 x + y. = (-i)n-1-*-y(*n-1-y"-1) x-y §2: Determinanty 109 b) pro každé n > 1 platí: \Áan\ - c) pro každé n > 1 platí: \Än\ = 110 0 1110 0 111 x 0 0 x 0 y y o .00 .00 .00 0 y y o x "0 0 x 2\n = (*' -ŕ) 1 pro n = 0,1 (mod 6) 0 pro n = 2,5 (mod 6) -!■ pro n = 3,4 (mod 6) 0 0 0 0 ... 1 1 [4.2.B22]. Dokážte, že pro každé přirozené n platí: an -1 0 0 ... 0 0 a„_i x -1 0 ... 0 0 ai 0 0 0 ... x -1 a0 0 0 0 ... 0 z = anxn + an_ij:"_1 H-----f- c^z + a0 tzn. každý polynom stupně n > 1 se uvedeným způsobem dá vyjádřit ve tvaru determinantu matice řádu n + 1. [4.2.B23]. Nechť A„ značí matici řádu n . Dokážte, že pro každé n € N platí: a) je-li x ž k- (k E Z), pak "2cosx 1 0 ... 0 sin(n + l)z . , . | An | =-;-— , kde Ar sin z 1 2 cos z 1 0 1 2cosz 0 C) 0 b) | A„ | = costix , kde An = cos z 1 0 1 2 cos z 1 0 1 2 cos z 0 0 1 2 cos z (Návod: při výpočtu b) rozvíjejte determinant podle posledního řádku .) 110 II. Cvičení - Kap. 4: Matice a determinanty [4.2.B24]. Dokažte, že pro každé přirozené n piati: \An\ = \Bn\, kde bi 0 . . o - "ai Mi 0 . . 0 - Cl a2 h ■ . 0 1 a2 b2c2 . . 0 An = 0 a3 ■ . 0 0 1 . 0 . 0 Ö 0 . • an_ . 0 0" 0 . ■ an. (Návod: stačí ukázat, že posloupnosti {|-í4„|} a { \Bn\} mají stejný rekurentní vzorec a stejné první dva členy.) [4.2.B25], Nechť A je daná matice řádu n. Napíšeme-li řádky matice A v opačném pořadí, dostaneme matici B. Vyjádřete determinant | B | pomoci determinantu | A j. [4.2.B26]. Nechť A = (oy) je matice řádu n nad K a nechť B = (ôij), tj. prvky matice B jsou čísla komplexně sdružená k odpovídajícím prvkům matice A. Dokážte, že pak platí: | B \ — | A | , tj. determinant matice B je číslo komplexne sdružené k determinantu matice A . [4.2.B27]. Nechť A = (o,-/) je matice řádu n nad K. Pak: a) dokážte, že je-li a,j = 5J7 pro V i, j , potom \A\ je reálné číslo b) ukažte, že předchozí implikaci nelze obrátit. [4.2.B28]. Nechť A = (aťj-) je matice lichého řádu 2*+l nad R taková, že platí: a,j + a,-, = 0 pro každé ,«, j. Dokažte, že pak je | A | = 0. [4.2.B29]. Nechť A je matice řádu n (nad T); nechť 1 < Jb < n - 1. Dokažte, že platí: jsou-li všechny minory řádu ib v matici A nulové, pak jsou všechny minory všech řádů větších než ib též nulové. [4.2.B30]. Dokažte, že pro každé přirozené číslo n > 2 platí: .n-1 ,n-l = {*2 ~ Xl)(x3 - X2)(X3 - Xi) ■ . . . ■ (xn - Jt„_l) ■ . . . ■ (Xn - Xi) . Uvedený determinant se nazývá Vandermondův determinant a označuje se V(xi,...,x„). Můžeme tedy dokazovanou rovnost stručně psát ve tvaru: n*i.....*»)= n -*»)• l<« 2 je: |A„| = 1 xi x\ 1 x2 x\ 1 xn xl .n-2 n-2 n x2 x2 = (X1 + --+X„)- JJ (Xj-X.) !<' 2. §3: Algebra matíc 115 [4.3.B9]. K zadané matici A nalezněte inverzní matici A 1 (pomocí adjungované matice). Přitom : 1 2 3" &)A = c) A = 2\/2 -6\/2i l + i V2-y/2i 0 r2 1 4 31 4 2 3 1 13 2 4 3 4 12 b) yí = d) i4 = 3 -1 2 -1 0 I ri + c 1 1 l + a L 1 1 .. li .. 1 ..l + a kde matice A v příkladu d) je řádu n > 2 . [4.3.B10]. Dokažte, že a) pro A, B e Matmn(T) platí : {A + B)' = A' + B' b) pro ^4 € Matmn(T), ť € T platí : {t ■ A)' = t ■ (A') c) pro A € Matmn(T), £ G Mat„p(r), ť G T platí : (t • A) ■ B ~ A ■ (t ■ B) — i ■ (A ■ B) á) pro A G Matnn(T) regulární a0/ť£T platí: (t • ^)_1 = \ ■ (A'1). [4.3.Bil]. Dokažte, že pro čtvercové matice A, B řádu n platí: a) A- B — En B • A = En b) .4 • A' = En <=> A'-A = En . [4.3.B12]. Nechť t > 2 je celé číslo a nechť Ai,A2,...,Ak jsou regulární matice řádu n . Dokažte, že pak platí : (Návod : důkaz veďte matematickou indukcí vzhledem ke k .) [4.3.B13]. Nechť A G Matnn(r). Dokažte, že platí: A ■ X = X ■ A pro V X G Mat„„(T) <=>• 3 ť G T tak, že A ~ t ■ E„ . (Návod: při důkazu " ==í- " zkoumejte rovnosti A ■ Urs = Ur» • A , kde Urt je matice mající na r, s-tém místě jedničku a jinde samé nuly.) [4.3.B14]. Součet prvků v hlavní diagonále čtvercové matice A' se nazývá stopa matice X a označuje symbolem tr (A') (zkratka z anglického "trace" — stopa). Nechť A = (a,j) je matice typu m/n (nad T), resp. B — (bij) je matice typu n/m (nad T). Dokažte, že pak platí: tr (AB) = tr (B-A) = ,tr (A' ■ B') - tr (B' • A') . 116 II. Cvičení - Kap. 4: Matice a determinanty Definice. Čtvercová matice A = (ay) se nazývá - symetrická , jestliže A' = A (tj. je-li ay = a,-,- pro V i, j ) - kososymeirická , jestliže A' — —A (tj. je-li ay = — a,-, pro V í, j ). [4.3.B15]. Nechť A je libovolná matice typu m/n (nad T). Dokažte, že pak matice A' • A je symetrická a matice A ■ A' je také symetrická. [4.3.B16], Nechť j4 , B jsou symetrické matice. Dokažte, že pak platí: a) A je regulární matice => A~1 je symetrická matice b) A B je symetrická matice <=*■ .4 • B = B ■ A . [4.3.B17]. Nechť A, B jsou kososymetrické matice. Dokažte, že pak platí: a) A je regulární matice => A-1 je kososymetrická matice b) A - B je kososymetrická matice -<=s> ^4 • 5 = —5 • A . [4.3.B18]. Nechť A G Matmn(R) (tzn. A je reálná matice). Pak: a) dokažte, že platí: A ■ A' = Omm <=> ^ = 0mn b) ukažte, že za předpokladu A G Matmn(K) (tzn. je-li A komplexní matice) předchozí tvrzení neplatí. [4.3.B19], Nechť je dána množina matic M I x, y G K libovolné , (kde z, resp. y značí číslo komplexně sdružené k číslu i, resp. y) a nechť +, resp. ■ značí sčítání, resp. násobení matic. Dokažte, že pak : a) (M, +, •) je netriviální okruh s jedničkou, který nemá dělitele nuly b) (M, +,•) není obor integrity. [4.3.B20]. Dokažte, že daná množina matic M, s operacemi sčítání matic a násobení matic, je tělesem. Přitom: a,6€Q .)!#={[_; |0€Q} i] [4.3.B21]. Nechť a, b jsou pevná reálná čísla. Nechť a +, resp. • značí sčítání matic, resp. násobení matic. Pak: a) dokažte, že (M,+, •) je komutativní okruh s jedničkou b) ukažte, že existují a, 6 G R tak, že (M, +, •) není obor integrity c) dokažte, že (Ar, +, ■) je těleso 6< §3: Algebra matic [4.3.B22J. Nechť a, 6 jsou pevná reálná čísla. Nechť 117 M = x y ay x+by x, y G R a +, resp. ■ značí sčítání matic, resp. násobení matic. Pak: a) dokažte, že (M, +, •) je komutativní okruh s jedničkou b) ukažte, že existují a, b G R tak, že (M, +, •) není obor integrity c) dokažte, že (M, +, •) je těleso <=> 4a + ó2 < 0 . [4.3.B23]. Na množině Matn„(T) definujeme relaci g takto: AgB <=> 3 regulární matice X G Matnn^) tak, že B = A" • A ■ X . Dokažte, že g je relací ekvivalence na množině Matnn(T). [4.3.B24]. Rozhodněte, zda dané matice A , B , C, D tvoří bázi vektorového prostoru Mat22(R): b) A = 1 0 1 1 1 7 - B = 0 1 2 3 C = 1 2 3 0 D = 1 1 0 2 1 -1" "1 5' , D = ' 1 2' , B = 1 , c - -1 2 5 -4 3 [4.3.B25}. Rozhodněte, zda W je podprostorem vektorového prostoru Mat„n(R) a pokud je, pak určete jeho dimenzi. Přitom: a) W = {A = (o,j) G Mat„„(R) | ay = 0 pro i ± j) b) W = {A = (oíj) G Mat„„(R) | an = 0 pro Ví) c) W = {A = (ay) G Mat„„(R) | ay G Q} d) W = {A = (ay) G Mat„„(R) |flU +a2?.+ ■• • • + ann = 0} . [4.3.B26]. Nechť W(S), resp. W(A') značí množinu všech symetrických matic, resp. všech kososymetrických matic řádu n > 2 (nad T). Pak: a) dokažte, že 1^(5) a W(K) jsou podprostory vektorového prostoru Mat„„(T) b) určete dim W(S) a dim W(K) c) dokažte, že Mat„„(T) = W{S)+W(K) d) dokážte, že každou čtvercovou matici lze napsat jako součet symetrické matice a kososymetrické matice, přičemž toto vyjádření je jednoznačné. 118 II. Cvičení - Kap. 4: Matice a determinanty [4.3.B27]. Jsou dány tyto podmnožiny množiny Mat„„(R) (tj. množiny všech regulárních matic řádu n nad R) : Hy = {A = (ay) I aij £ Q} , H2 = {A = (oíj) | ay £ Q A \A\ = 1} #3 = {,4 = (ay) ] aťi G Z} , #4 = {A = (aij) | ay € Z A |A| = 1} ff5 = {X = (a;,) IMI = 1} , #6 = M = (ařy) | a„ > 0 pro V í, j}. Potom: a) rozhodněte, zda (pro i = 1,2,3,...,6) je podgrupou grupy regulárních matic (Mat„„(R), •) b) sestrojte hasseovský diagram uspořádané množiny ({H\,...,C) Definice. Reálná čtvercová matice A se nazývá ortogonální maiice, jestliže je regulární a platí: A~l = A'. [4.3.B28]. Nechť A G Mat„„(R). Dokažte, že následující výroky jsou ekvivalentní: (i) A je ortogonální matice (ii) A-A' = En (iii) A' ■ A = E„ . [4.3.B29]. Nechť A G Matnn(R). Potom: a) dokažte, že platí: A je ortogonální matice => | A | = ±1 b) ukažte, že opačná implikace obecně neplatí. [4.3.B30]. Nechť fí značí množinu všech ortogonálních matic řádu n > 2. Pak: a) dokažte, že (H, -) je grupa (přičemž ■ značí násobení matic) b) rozhodněte, zda grupa (H, •) je komutativní. §4: HODNOST MATICE A DALŠÍ VLASTNOSTI MATIC [4.4.A1]. U.p. matice A (nad R) takové, že řádky matice A jsou lineárně nezávislé a sloupce matice A jsou lineárně závislé. [4.4.A2]. Nechť v matici A G Mat69(Q) existuje nenulový minor řádu 4. Uveďte, co všechno lze říci o hodnosti matice A. [4.4.A3]. Nechť v matici A G Mat7$(R) jsou všechny minory řádu 4 nulové. Uveďte, co všechno lze říci o hodnosti matice A. [4.4.A4]. Nechť v matici A G Matgg(Q) existuje nenulový minor řádu 3 a 5 a existuje nulový minor řádu 2,4 a 6. Uveďte, co všechno lze pak říci o hodnosti matice A. [4.4.A5]. U.p. matic A,B £ Mat33(R) takových, že h(A-B) ■£ h(B-A). §4: Hodnost matice a další vlastnosti matic 119 [4.4.A6]. U.p. regulárních matic A, B £ Mat33(R) tak, že h(A • B) = 2 . [4.4.A7]. U.p. nenulové matice A £ Mat33(R), kterou nelze konečným počtem elementárních řádkových úprav převést na jednotkovou matici. [4.4.A8]. U.p. matice H tak, aby HA byla matice, která vznikne ze zadané matice A £ Mat33(R) přičtením dvojnásobku 3.řádku k 1.řádku. [4.4.A9]. U.p. bází (1) a (2) vektorového prostoru R2 tak, že maticí přechodu od báze (1) k bázi (2) je matice 1 2 2 4 [4.4.A10]. U.p. podmínky, která a) je nutná, ale není dostatečná b) je dostatečná, ale není nutná pro to, aby h(A ■ B) ^ h(A) , kde A, B £ Mat33(R) . * * A [4.4.Bl]. Určete hodnost matice A (nad R), je-li: i)A = ■ 0 4 10 1 " ■ 2 „4 8 0 4" 4 8 18 7 b) A = 3 -6 1 4 -3 10 18 40 17 -4 2 5 -1 7 . 1 7 17 3 . . 5 -4 - 12 5 -14. - 3 -1 2" ■ 2 1 3 4 6" 4 1 1 3 -2 1 -3 -2 1 2 -1 d)A- 7 0 7 5 10 -2 3 -3 -4 5 1 10 10 5 3 0 5 -1 4 1 4 . 1 -5 4. . 8 -3 5 -2 2. c) A [4.4.B2]. Určete hodnost matice A (nad K), je-li: a) A c) A = 1+i 1+i 1-i 1-i -1+i l+3i 1 i 1+i l+2i 1-i 2+3i 2 3+i ~2i 5+i 2-2i 5i 3-i l+8i 4+2i b) A = d)A = l—i i 1 0 i 2-i -1 2i 1+i 1+i l-5i 1-i 2+4Í 2-i l+2i — 7—4i 4—7i —1—2* 2-i 7—i l+7i 120 II. Cvičení - Kap. 4: Matice a determinanty §4: Hodnost matice a další vlastnosti matic 121 [4.4.B3]. Je dána matice A (nad R) tvaru A = 13 1 2 3 12.2 02 2 5 4-17 Určete h(A), resp. h(B), resp. h(A ■ B), je-li : a) £ = "-8 8 o- --1 -9 -1- 1 -3 -2 -1 0 1 3 -2 1 b) B = 2 5 1 1 0 1 2 3 1 . 0 1 1. . 0 0 -1. - 7 1 3" ■ 1 1 ľ -4 1 1 1 -1 2 0 1 1 d) B = 1 1 3 2 -1 -3 1 1 -1 . 1 -1 -1. .-1 1 2. c) B = [4.4.B4]. Určete hodnost dané matice A (v závislosti na parametrech a, 6 GR), je-li: a) A~ c) A = 2-1 ab 1 a -1 1 1 10 -6 1 3 114 0 4 10 1 1 7 17 3 L2 2 4 6 b) A = d)A = 1 a 2 26 1 7 -1 1 1 2a -2 6 2 36 3 0 la 1 2 3-6 3 1 2+a 4 6 2 4 6-6 7 1 2-a 2-6 1 [4.4.B5]. Určete hodnost dané matice A (v závislosti na parametrech i*, v G K), je-li: a) A = t u 1 2i -»' 2 4+2« 1-i v b)A = 1 2+i i u -i 1-2/ i 2-ť -1 l+2i 1 v [4.4.B6]. Nechť A G Matmn(T) . Dokažte, že platí: a) všechny minory řádu ib (kde it < min (m, n)) v matici A jsou nulové =>• každý minor řádu r > k v matici A je nulový b) v matici A existuje nenulový minor řádu ib > 1 => pro každé přirozené s < k existuje v matici A nenulový minor řádu s. [4.4.B7]. Nechť A G Matm„(T) je matice taková, že h(Ä) = r > 2. Dále, nechť M je čtvercová submatice v A, která je vybrána z r lineárně nezávislých řádků matice A . Pak: a) ukažte, že může být | M | =0 b) dokažte, že je-li navíc matice M vybrána z r lineárně nezávislých sloupců, pak musí být | M | ^0. [4.4.B8]. Nechť A, B, X G Mat„„(r) jsou matice takové, že A, B jsou regulární. Dokažte, že potom: a)h{A-X-B) = h{X) b) h{A-X -A-l) = h{X) . [4.4.B9]. Nechť A, B G Matmn(T). Dokažte, že platí : h {A + B) < h(A) + h (B) . [4.4.BIO). Nechť A G Matmn(T') je matice mající hodnost r a nechť M je její submatice typu s/n (tzn. A a M mají stejný počet sloupců). Pak: a) dokažte, že h(M) > r+s — m b) ukažte, že předchozí nerovnost neplatí v případě, když submatice M má méně než n sloupců. [4.4.B11]. K dané matici A nalezněte inverzní matici A'1, a to jednak pomocí adjungované matice a jednak pomocí elementárních řádkových úprav: a) A = c) A +»" +2i l-2i 1-i ■1 1 1 r 1 1 -1 í 1 -1 1 -i .1 -1 -1 i. b) A = d) A = 3 5 1 3 -5 1 2 4 2 -2 6 2 [4.4.B12]. K dané matici A nalezněte inverzní matici A l, je-li: 3 -4l -2 5 0 -6 0 14. a) A- 1 2-3 21 -2 -3 5 -1 -1 0 2-4 -2 -1 4 -2 b) A = ( 3 13 10 z) A = 11-10 2 -2-1 4-1-3 1 2 2 0 3 12 2 12 1 3 4 0 4 d) A = 2 1 0-1-1 0 1 1 0-1-1 1 1 1-1-1 0 1 -1 0 0 0 1 0 -2-2 1 2 1-1 L 0 0 0 1 0 -1 122 II. Cvičení - Kap. 4: Matice a determinanty [4.4.B13]. Nalezněte inverzní matici k matici A, řádu n > 2, je-li: a) A = 1 1 1 O 1 1 0 0 0 Lo o o i i i i i i o 1, b) A = 1 a a7. 0 1a. 0 0 0. 0 0 0. a"-2 a""1 a"-3 a""2 c) A = (a,j), kde d)A = {aij). kde «0" = { J pro i = j pro i^j pro i = j A jinak 2 < i < n [4.4.B14]. Necht A € Mat„„(R) je regulárni matice, jejíž prvky jsou celá čísla. Dokážte, že potom: inverzní matice A~l má pouze celočíselné prvky •*=*■ \A \ = ±1. [4.4.B15]. Nalezněte ty hodnoty parametru a € R, pro které má podprostor W vektorového prostoru R4 nejmenší dimenzi a určete tuto dimenzi, je-li: a) W = [ui,u2,u3, u4] , kde ua = (0,4,10,1) , u2 = (1,-1,-3,3) , ua-(-1,5,13,2)., u4 = (2,2,4,1) b) W = [ui,u2)u3] , kde uj =(2,7,a,2), u3 = (1,3,-4,1), u3 = (1,a,-14,1). [4.4.B16]. Zobrazení / : K —► Mat22(R) je definováno takto : b' f(a + bi) = a -b a pro V a + b i € K . Potom rozhodněte: a) zda / je injektivní, resp. surjektivní zobrazení b) zda pro V u, r € K platí: f (u + v) = f (u) + f (v) , resp. f(u-v) = f(u)f(v). [4.4.B17]. Ve vektorovém prostoru K jsou zadány podprostory Wi, W2. Nalezněte dimenzi a bázi podprostorů W\ , W2 , Wi + W2 , W\ n Wi , je-li: a) V = R3 ; Wi = [ui,u2,u3] , W2 = [vi,v2,v3] , kde ui = (1,2,2), u2 = (2,3,-1), ua = (1,1,-3) V! = (0,1,2) , v2 = (1,1,-1) , v3 = (1,3,3) §4: Hodnost matice a další vlastnosti matic 123 b) V = K3 ; W: = [ua,u2] , W2 = [vlfv2] , kde ui = (-2+i , -i , 1-2Í) , u2 = (1-í , i , -1) vj = (-1+í , 3+í , 2i) , v2 = (i , 2-i , 1+i) c) V = R4 ; Wi = [u1(u2,U3] , W2 = [Vl,v2] , kde Ui = (1,-1,2,1) , u2 = (2,2,3,3) , u3 = (0,4,-l,l) Vi = (1,3,1,2), v2 = (3,1,5,4) d) V = R4 ; Wi = [u!,u2,u3,u4] , W2 = [v:,v2,v3] , kde Ul = (1,1,0,2) , u2 = (1,2,1,-2) , u3 = (1,2,2,-3) , u4 = (2,3,1,0) V! = (1,3,0,-4), v2 = (1,1,1,1) , v3 = (1,0,1,-1) e) V = R5 ; Wi = [ui,u2,u3] , W2 = [vi,v2,v3] , kde U! = (2,2,1,2,4) , u2 = (2,4, -2,8,5) , u3 = (0,2,-3,4, -2) V! = (1,0,2,-1,3) , v2 = (1,2,-1,3,1) , v3 = (1,4,-4,7,-1) f) V = R5 ; Wi = [u!,u2,u3,u4] , W2 = [v1,v2,v3,v4] , kde Ul = (1,-2,0,3,5) , u2 = (-1,3,2,-5,-9) , u3 = (2,-3,-2,0,3) , u4 = (-1,1,2,3,2) v, = (1,1,1,1,1), v2 = (-2,2,0,2,1), v3 = (0,4,2,4,3) , v4 = (-1,7,3,7,5) g) V = R6 ; Wi = [ui,u2,u3,u4,u5] , W2 = [v!,v2,v3, v4] , kde ui =(2,1,1,2,1,1) , u2 = (4,4,5,3,4,5) , u3 = (2,3,4,1,3,4) , u4 = (4,0,-1,5,0,-1) , u5 = (4,-2,-4,6,-2,-4) Vl = (1,1,1,0,1,1), v2 = (-2,1,2,-3,1,2), v3 = (0,2,3,-1,2,3), v4 = (-1,2,3,-3,2,3) h) V = R6 ; Wi = [ui,u2,u3,u4] , W2 = [vi,v2,v3,v4] , kde m = (1,1,0,-1,0,-1), u2 = (-1,1,-1,0,1,0), u3 = (1,1,0,0,-1,0) , u4 = (1,-1,1,2,1,-2) V! = (1,0,1,-1,0,1) , v2 = (2,1,1,-2,0,0) v3 = (3,0,2,-1,0,-1) , v4 = (4,1,3,-4,0,2). [4.4.B18]. Nechť A — (a,-j) je matice přechodu od báze Ui,...,u„ k bázi vi,.. .,v„ vektorového prostoru V (nad T). Dokážte, že A je regulárni matice. [4.4.B19]. Nechť (1), (2), (3) jsou tři báze vektorového prostoru V nad T. Nechť A je matice přechodu od báze (1) k bázi (2), resp. B je matice přechodu od báze (2) k bázi (3). Dokazte, že pak A • B je maticí přechodu od báze (1) k bázi (3). 124 II. Cvičení - Kap. 4: Matice a determinanty [4.4.B20]. Nalezněte matici přechodu od báze (1) k bázi (2) vektorového prostoru V, je-li: a) V = R2 , (1) : uj = (2,-3) , «2 = (-1,1) (2) : vx = (1,0), v2 = (0,-2) b) V = R3 , (1) : U! = (1,2,1) ,u2 = (2, -1,3) , u3 = (-2,3,2) (2) : V! = (-5,9,2) , v2 = (6,-10,5) , v3 = (-1,2,9) c) V = R" , (1) : u, =(1,2,0,0), u2 = (0,1,1,0), u3 = (1,0,0,-1), U4 = (1,1,-1,1) (2) : n = (2,2,0,0), v2 = (3,3,-1,0), v3 = (2,4,0,1) , v4 = (2,3,1,-1). [4.4.B21]. Je dána báze (1) vektorového prostoru V a matice A. Nalezněte bázi (2) prostoru V takovou, aby A byla maticí prechodu od báze (1) k bázi (2). Pritom: a) V = K (nad R) (viz cvičení [3.1.Bl]b)) ; (1) : U! = 1 + 2Í, U2 = 2 - 3i A = -1 3 1 2 b) V = R2[x] , (1) : ui = x2 + 3a; -f .2 , u2 = 2a:2 + x + 1 , u3 = 2x + 3 A = -1 1 -2 0 1 1 1 -1 1 c) V= Mat22(R) (1) : Ut = A = ľl 01 U2 = 'o ť .1 lj' 2 3 - 1 0 1 o- 0 2 -1 1 -1 0 1 - -1 . 1 0 0 1. u3 = 1 2 3 0 , t/4 = 1 1 0 2 §4: Hodnost matice a další vlastnosti matic 125 [4.4.B22]. Je dána báze (2) vektorového prostoru V a matice A. Nalezněte bázi (1) prostoru V takovou, aby A byla maticí prechodu od báze (1) k bázi (2). Přitom: a) V = K (nad R) (viz cvičení [3.1.Bl]b)) ; (2) : V! = 3 - 2i , v2 = 1 + í , resp. A - 1 1 3 5 b) V — K3, (2) : vi = (1, 2-i, 0) , v2 = (1+i,0,1), v3 = (0,2i, 2+i) A = -1+i 1—2 i -2-i 4+3i -8-3i -3+9i -2+i 3—3 i —3—3£ [4.4.B23]. Nalezněte rovnice pro transformaci souřadnic vektoru při přechodu od báze (1) k bázi (2) vektorového prostoru V (tzn. vyjádřete souřadnice vektoru v bázi (1) pomocí souřadnic téhož vektoru v bázi (2) ). Přitom: a) V — K2 (1) : Ul = (1+i, 2-i) , u2 = (1-i, 1+2») (2) : v, = (7+i, -3+4Í) , v2 = (2, -1+3Í) b) V = K3[x], (1) : ui = x2 + 2z + 1 , u2 = 2x2 - x + 3 , u3 = -2x2 + 3x + 2 (2) : vj = -5x2 + 9x + 2 , v2 = 6x2 - lOx + 5 , v3 = -x2 + 2a; + 9 c) V = K3 (1) : m = (1,1,1) , u2 = (0,1,1) , u3= (0,0,1) (2) : v, = (1+Í, 1+i, 1+i) , v2 = (2+i, 3+2i, 3+2Í) , v3 = (3+i, 5+2i, 6+3») d) V= Mat22(R) (1) : I/j = (2) : \\ = 1 2 0 0 1 3 -1 0 , v2 = 0 1 1 o 0 -1 1 -1 , 1/3 = , V3 = 1 o 0 -1 0 2 2 1 V A = y4 = i i -i -i o o -2 0 126 KAPITOLA 5: SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC §1: GAUSSOVA METODA REŠENl SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC [5.1.B1]. Gaussovou metodou řešte soustavu lineárních rovnic (nad R): a) 3xi +2x2 + x3 = 5 b) 36xi - 23x2 + 29x3 - 43ar4 = 3 2X1 + 3X2 +£3=1 45xx - 28x2 + 34x3 - 52x4 : 9 2x: + x2 + 3x3 = 11 35xj - 21x2 + 28x3 - 45x4 : 16 5xi-r-5x2 + 2x3 = 6 46xí - 32x2 + 36x3 - 48x4 = -18 c)3xi— x2— x3 — 2x4 _ - -4 d) x3 + 2x4 + 3x5 2 2xi+ 3x2 + 5x3 +2x4 = - -3 —x2 — 2x3 — 3X4 2 2x1 + 3x2- x3— x4 ..... - -6 X2+ X3 + X4 + X5 = 0 x\+ ar2 + 2x3 + 3x4 — 1 Xl + x2+ x3+ x4 — 0 xi + 2x3 + 3x3- x4 = - ■4 xi + 2x2 + 3x3 0 e) x2 + x3 — f) 2xi + X2 — 4x3 + 6x4 — 4xs — -4 0 5xi + 5x2 + 8x4 — x5 -7 2xi+ X2-X3 - 1 2xx— x2 + 3x3 — 4x4 + 2x5 = 8 X\ + X2 - X3 + X4 = 2 Xi + 2X2-3X3 + 4x4 - X5 = -1 xi+2x2 -1 Xi— x2 — x3 + 2x4 —3x5 — -3 3xi + x2 — x3 + 2i4— X5 — 3 [5.1.B2]. Gaussovou metodou řešte soustavu lineárních rovnic (nad R): a) 5xi -9x2 + 5x3 — 1 2xi + 3x2 + 3x3 = 2 xi + 8x2 = 1 xi -2x2+ x3 = 0 c) 2xi + 9x2 + 8x3 + 3x4 = 7 2xi + 6x2 + 8x3 + 3x4 = 3 xi + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 2 3xi + 7x2 + 7x3 + 2x4 = 12 5xi +7x2 + 9x3 + 2x4 = 20 b) 3xi - 5x2 + 2x3 + 4x4 = 2 5xi + 7x2 — 4x3 — 6x4 = 3 7xi - 4x2 + x3 + 3x4 = 5 d) lOxi + 23x2 + 17x3 + 44x4 = 25 15xi + 35x2 + 26x3 + 69x4 = 40 25xi + 57x2 + 42x3 + 108x4 = 65 30xi + 69x2 + 51x3 + 133x4 = 95 §1: Gaussova metoda řešení soustav lineárních rovnic 12" e) X2 + 4x3 + 3x4 = 0 x2 + 3x3 + 5x4 + 3x5 = 0 x2+ x3+ x4 =0 x2 + x3+ x4 + x5 = 0 x2 + 2x3 + 3x4 = 1 f) 2xi + 2x2 + 8x3 - 3x4 + 9x5 = 2 2xL + 2x2 + 4x3 - x4 + 3x5 = 2 x\ + x2 + 3x3-2x4 + 3x5 = 1 3xi + 3x2 + 5x3 - 2x4 + 3x5 = 1 [5.1.B3]. Gaussovou metodou řešte soustavu lineárních rovnic (nad R): a) 2x! - 3x2 + 2x3 = 1 b) 6xa - 9x2 + 7x3 + 10x4 = 3 xi-2x2+ X3 = 0 2xi-3x2- 3x3- 4x4 = 1 óx! - 9x2 + 5x3 = 1 2xi - 3x2 + 13x3 + 18x4 = 1 c) x2 + x4 = 1 3xi - 2x2 - 3x3 + 4x4 - -2 x] + x2 - x3 + x4 = 2 xi - x3 =1 d) 4xi + 5x2 - 5x3 - 5x4 + 7xs = 3 3xj + 3x2 - 3x3 - 3x4 + 4x5 = 2 2xí + x2 - x3- x4+ x5 = 1 xi - x2+ x3+ x4-2x5 = 0 e) 6x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 5 0 2x2 + 2x3 + 2x4 - 4x5 = 5 4xi + 2x2+ x3 + 2x4 + 3x5 = 4 xx + x2+ x3+ x4-2x5 = 3 4xi+ 2x2+ 3x3 + 2x4+ x5 = 0 -xi - x2- x3+ x4 + 2x5 = 0 2xj+ x2 + ~x3 + 3x4 + 2x5 = 1 -2xi+3x2 + 3x3 -6x5 = 2 [5.1.B4]. Nalezněte všechna řešení soustavy lineárních rovnic, zadané rozšířenou maticí soustavy (nad R): a) c) e) f) 3 3 2 1 4 2 3 1 3 5 11 7 4 5 2 101 8 15 18 J r3 0 0 0 2 1 1 0 0 0 1 2 7 0 0 0 4 3 L5 0 0 0 3 4 f0 V2 VŠ \/6 0 2 2 v/3 -2 -Vo 0 2 V5 2\/3 -VŽ L3 3 VŠ -3 0 v/3 -VE 3 v/2 -2 %/6 0 -v/6 2v/3 -3v/2 1 -v/2 VŠ b) d) ■0 2 3 1 0 0- 3 4 5 5 6 9 1 5 4 3 2 3 .2 1 2 3 4 6. "3 0 0 0 2 1" 1 0 0 0 1 1 7 0 0 0 4 1 .5 0 0 0 3 1. 2 0 v/2 0 3 v/3 0 v/3 v/2 -v/6 1 128 II. Cvičeni - Kap. 5: Soustavy lineárních rovnic [5.1.B5]. Gaussovou metodou řešte zadanou soustavu lineárních rovnic (nad K): a) (1 - 2i) xi + (2 + 3t) x2 = 8 + 5i (1 - Ai) xj + (1 + 2í) x2 = 5 - 2i b) (3 - i) X! + (-5 + i) x2 - 1 + j (1 - 2i) xi + (-2 + 3i) x2 = 1 (5 - 5i) xx + (-9 + 7») x2 = 3 + í c) 2 xj + (2 + 2») x2 + 2i x3 = 1 (1 - i) X! + (1 +3i) x2 + (-1 +i) x3 = 0 (1 + i) xi + (1 - i) x2 + (1 + i) x3 = 1 d) (1 + i) xx + (1 - i) x2 + (1 + i) x3 = 1 X! + (1 + i) X2 + t X3 = 1 (1 - i) xi + (1 + 3ř) x2 + (-1 + i) x3 = 0 (2 + i) xi + (-1 - i) x2 + x3 = 1 - i [5.1.B6]. Řešte soustavu lineárních rovnic (nad R), v závislosti na parametru a € R: a) 4xi-2x2 + 3x3+ 7x4 5xi —3x2 + 3x3+ 4x4 8xi —6x2— x3— 5x4 7xi-3x2 + 7x3 + 17x4 c) axi + x2 + x3 = 1 xj + ax2+ x3 = a x\ + x2 + ax3 = a2 e) (l + a)xi+ x2 + xi + (1 + a)x2 + 1 b) axj-4x2 + 9x3+10x4 = 11 3 2xi - x2 + 3x3+ 4x4 = 5 9 4xi -2x2 + 5x3+ 6x4 = 7 a 6xi-3x2 + 7x3+ 8x4= 9 d) a xi + x2 + x3 = 1 Xi+ax2-f x3 = 1 xi+ x2 + ax3 = 1 x3= 1 x3 = a - „2 «2 + (1 + a) *3 = a f) (a + l)xi+ x2+ x3 = a2 + 3a X!+(a+l)x2+ x3 = a3 + 3a2 xi + x2 + (a + 1) x3 = aA + 3a3 §2: Základní vlastnost) soustav lineárních rovnic 129 §2: ZÁKLADNI VLASTNOSTI SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC [5.2.A1]. U.p. dvou ekvivalentních soustav lineárních rovnic (nad Q) , které sestávají z různého počtu rovnic. [5.2.A2]. U.p. soustavy 3 lineárních rovnic o 4 neznámých (nad R), která má právě jedno řešení. [5.2.A3]. U.p. soustavy 4 lineárních rovnic o 3 neznámých (nad R), která má právě jedno řešení. [5.2.A4]. U.p. soustavy 2 lineárních rovnic o 2 neznámých (nad R), která má právě 2 řešení. [5.2.A5]. U.p. řešitelné soustavy 3 lineárních rovnic o 4 neznámých zii x2, ^3, ^4 (nad Q) tak, že neznámé ii,x2,x3 musí být voleny za volné neznámé. [5.2.A6]. U.p. řešitelné soustavy 3 lineárních rovnic o 4 neznámých zi,x2,x3,x4 (nad Q) tak, že neznámé x2,x4 nelze volit za volné neznámé. [5.2.A7]. Je dána soustava 3 lineárních rovnic o 3 neznámých (nad R), jejíž matice soustavy je singulární. Uveďte, co všechno lze říci o počtu řešení této soustavy. [5.2.A8). Je dána soustava 4 lineárních rovnic o 3 neznámých (nad R), jejíž rozšířená matice soustavy je regulární. Uveďte, co všechno lze říci o počtu řešení této soustavy. [5.2.A9]. U.p. nehomogenní soustavy lineárních rovnic o 4 neznámých (nad R) tak, že množina všech řešení této soustavy je podprostorem ve vektorovém prostoru R4. [5.2.A10]. U.p. podmínky, která a) je nutná, ale není dostatečná b) je dostatečná, ale není nutná c) je nutná a dostatečná d) není nutná ani dostatečná pro to, aby soustava k lineárních rovnic o n neznámých (nad T) byla neřešitelná. 130 II. Cvičení - Kap.5: Soustavy lineárních rovnic [5.2.B1]. Rozhodněte, zda daná soustava lineárních rovnic je řešitelná, či nikoliv. U řešitelné soustavy udejte, kolik má řešení (bez hledání těchto řešení): a) 3xi + 10a;2 + 2x3 - x4 = -2 2ii + 5x2 + X3 + x4 = 1 2xt + 3x2 + x3 + 2x4 = 4 4ix + 3x2 + x3+ x4= 5 5xi-(-llx2 + 3x3-r-2x4 = 2 c) 2xj+ 2x2 + 3x3 + 4x4 = 5 2x! + 3x2 + 2x3 + 5x4 = 3 3xi + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2 7xj + x2 + 6x3 - x4 = 7 9a?i + x2 + 4x3 - 5x4 = 1 e) (1 + i) X! + (2 - i) *2 b) 3xj + 3x2 + 2x3 + x4 = 10 3xi + 5x2 + x3 + x4 = 15 4X! + 2X2 + 3x3 + x4 = 8 4X! + 4X2 + 2x3 + x4 - 13 4xi+ x2 + 3x3 + x4 = 8 d) 2x! + 3x2 + 2x3 = 10 2Xi + 5x2+4X3+ x4 = 11 2x!+ 9x2+8x3 +3x4 = 7 3x! + 7x2 + 7x3 + 2x4 = 12 5x! + 7x2 + 9x3 + 2x4 = 20 = 3 + 5i (3 + Ai) xx + x2 + (2 - 5:') r3 = 7 - 2i (2 + i) x: + (1 - i) x2 + (3 - 4i) x3 = 1 + 6ť f) (2 + 3i) xj + (1 - i) x2 + 2 x3 = 1 + » (l + 2i) xi + 1% x3 = 3 + ť (-1 + i) xj + (1 + t) x2 + (2 + 2i) x3 = -2i [5.2.B2]. V závislosti na parametrech rozhodněte o řešitelnosti, resp. o počtu řešeni (bez hledání těchto řešení) soustavy lineárních rovnic, která je zadaná rozšířenou maticí soustavy (nad R): 0 c) e) 1 a 1 1 1 1 0 0 n 1 1 ij a b c d b) d) r4 2 3 6 d 1 1 1 3 2 -1 1 : d : 1 < a 8 4 -8 2 5 3 -3j "1 a 1 3" "1 1 0 0" b 1 1 2c 0 a b c 1 1 1 1 1 a2 t2 c2 0 kde a, 6 > 0. [5.2.B3]. Určete všechny hodnoty parametru a € R, pro které je daná soustava lineárních rovnic (nad R) řešitelná : a) x! - x2 + 2x3 - z4 - 1 b) xi - x2 + 2x3 - x4 = 1 -Xi — 3x2 - 5x3 + 10x4 — a —zx — 3x2 — 5x3 + 10x4 = a 3xí-7x2 + 3x3+ 6x4 = 7 -2x!+2x2-4x3+ 2x4 = 7 §2: Základní vlastnosti soustav lineárních rovnic d) 131 c) Xi — X2 + 2X3— x4 = 1 -xi - 3x2 - 5x3 + 10x4 — o -xi — 7x2 + 3x3 + 6x4 = 7 xi+ x2 + (l+a)x3 = a2 xj + (l+a)x2+ x3 = a (l+a)xi+ x2+ x3=l [5.2.B4]. Nechť a,b,c,d jsou reálná čísla, z nichž alespoň jedno je nenulové. Dokažte, že pak následující soustava lineárních rovnic (nad R) má jediné řešení: axi + 6x2 + cx3 + dx4 = 1 bx\ — 0x2 + dx3 — cx4 = 9 cx\ — dx2 — ax3 + 6x4 = 8 dx\ + cx2 - 6x3 - ax4 — 9 (Návod: počítejte determinant matice soustavy a užijte Cramerovo pravidlo.) [5.2.B5]. Nechť 0 ^ t € T a nechť jsou dány soustavy lineárních rovnic: flnii + ... + aXnxn = 61 anxi + ... + alnx„ = i ■ bx (1) I : (2) : i ajtixi + ... + ajt„xn = bk OíiXj + ... + aknxn - t-bk Pak: a) dokažte, že soustava (1) je řešitelná <=> soustava (2) je řešitelná b) ukažte, že předchozí tvrzení neplatí, vynecháme-li předpoklad i ^ 0. [5.2.B6]. Dokažte, že soustava lineárních rovnic (zapsaná maticově) A ■ X = B je řešitelná sloupcový vektor B je lineární kombinací sloupců matice A. [5.2.B7J. Nechť A je matice typu k/n nad T. Dokažte, že množina všech vektorů u € Tk, pro které je soustava lineárních rovnic A • X = u' řešitelná, tvoří podprostor v Tk, jehož dimenze je rovna h(A). (Návod: při důkazu využijte předchozí cvičení.) [5.2.B8]. Je dána soustava lineárních rovnic A • X = B, kde A = 2 3 1 1 2 0 1 1 1 X = Xl x2 X3 B = Dokažte, že existuje nekonečně mnoho sloupcových vektorů B takových, že a) soustava A ■ X = B je řešitelná b) soustava A ■ X = B není řešitelná 132 II. Cvičení - Kap.5: Soustavy lineárních rovnic [5.2.B9]. Nechť U],..., u„ je báze vektorového prostoru V nad T. Uvažme vektory: oiu:-fu2 , a2U2 + u3 , ... , a„_iu„_i+u„ , a„u„ kde a, g T. Nalezněte všechny hodnoty a\,...,an, pro které jsou uvedené vektory lineárně nezávislé. (Návod: použijte úvah o řešitelnosti a počtu řešení soustavy lineárních rovnic.) [5.2.BIO]. Danou soustavu lineárních rovnic řešte pomocí Cramerova pravidla (pokud je to možné): a) 3xi-x2 + *3 = !0 5*1 + 12+2x3 = 29 -4xi + x2 + 2x3 = 2 c) 13xi + 2x2- 6x3 = 8 -5xi + x2— 3x3 = 7 7xi —6x2 + 18x3 = 5 b) xi - ť*2 + (l+«) x3 = 2+» i xi - x2 =0 (l-t)xi + i x3 = l+3r d) 2xt-2x2+ x3+ x4 = 6 2xi+3x2+ X3+ x4 = 0 5xi + 6x2+3x3 + 2x4 = 3 7xi + 9x2 + 4x3 + 2x4 = 3 e) xi- x2 + 2x3 - 6x4 =-8 f) 2x,+ x2 + 4x3 + 8x4 =-1 xi - 2x2 - 4x3 + 9z4 = 5 Xi + 3x2 - 6x3 + 2x4 = 3 4xi- x2 - 4x3 + 3x4 =-8 3xi - 2x2 + 2x3 - 2x4 = 8 2xi- x2-6x3 + 3x4 =-1 2xi- x2 + 2x3 = 4 [5.2.B11]. Pomocí Cramerova pravidla řešte soustavu n lineárních rovnic o n neznámých (nad T): bxi + ax2+ .. . + ax„_i + axn = 2 axi + 6x2 + ... + ax„-i + ax„ = 2 kde b ^ a A 6^(1 — n) a. axi + ox2 +... + ax„_i + fcx„ = 2 [5.2.B12], Je dána soustava lineárních rovnic o 3 neznámých (nad R): ax\ + 6x2 = c cxi + 6x3 = a CX2 + o. x3 = 6 přičemž platí, že tato soustava má jediné řešení. Potom : a) dokažte, že a ^ 0, b ^ 0, c ^ 0 b) pomocí Cramerova pravidla najděte toto řešení. §3: Homogenní soustavy lineárních rovnic 133 [5.2.B13]. Je dána řešitelná soustava lineárních rovnic (nad R). Pomocí obecného Cramerova pravidla nalezněte všechna její řešení: b) Xi + x2+ x3+ x4+ x5 = 7 3xi+2x2+ x3+ x4 — 3x5 = -2 x2 +2x3+ 2z4 + 6x5= 23 5xi+4x2 + 3x3 + 3x4- x5= 12 a) xi -2x2 + x3+ x4 = 1 xi-2x2+x3- x4 =-1 xi — 2x2 + x3 + 5x4 = 5 §3:HOMOGENNÍ SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC [5.3.AI]. U.p. homogenní soustavy 3 lineárních rovnic o 4 neznámých a;iiX2,x3,X4 (nad R) tak, že za volné neznámé je nutno volit právě neznámé Xi,i3. [5.3.A2]. U.p. podprostoru W v R5, který není množinou řešení žádné homogenní soustavy lineárních rovnic o 5 neznámých nad R. [5.3.A3]. U.p. homogenní soustavy 3 lineárních rovnic o 5 neznámých (nad Q) tak, že její podprostor řešení má dimenzi 4. [5.3.A4]. U.p. homogenní soustavy 2 lineárních rovnic o 5 neznámých (nad Q) tak, že její podprostor řešení má dimenzi 2. [5.3.A5]. Nechť W je podprostor řešení homogenní soustavy 4 lineárních rovnic o 6 neznámých (nad R). Udejte, jakých všech hodnot může nabývat dim W. [5.3.A6]. U.p. homogenní soustavy lineárních rovnic nad R tak, aby bází jejího podprostoru řešení byly vektory (1,1,0,0,0) a (0,0,0,0,1). [5.3.A7]. U.p. homogenní soustavy lineárních rovnic nad R tak, aby bází jejího podprostoru řešení byl vektor (1,1,1,1). [5.3.A8]. U.p. homogenní soustavy 3 lineárních rovnic o 4 neznámých (nad Q) tak, aby její podprostor řešení neměl bázi. [5.3.A9]. U.p. homogenní soustavy 4 lineárních rovnic o 3 neznámých (nad Q ) tak, aby její podprostor řešení neměl bázi. [5.3.A10]. U.p. podmínky, která a) je nutná, ale není dostatečná b) je dostatečná, ale není nutná c) je nutná a dostatečná d) není nutná ani dostatečná pro to, aby homogenní soustava k lineárních rovnic o n neznámých (nad R) měla nekonečně mnoho řešení. 134 II. Cvičení - Kap. 5: Soustavy lineárních rovnic §3: Homogenní soustavy lineárních rovnic 135 [5.3.Bij. Řešte zadanou homogenní soustavu lineárních rovnic (nad R, resp. nad K): a) 3*i + 2x2 + 5*3 = 0 b) 2xi- *2 + 3*3 = 0 3*i — 5x2 + 4*3 = 0 3*1 + 16*2 + 7*3 = 0 c) 2*i+3*2- *3 + 5*4 = 0 d) 3*1— *2 +2*3 —7*4 = 0 4*1+ *2- 3*3 + 6*4 = 0 5*1 — *2 + *3 - *4 = 0 6xi+ x2-2x3+ 3*4 = 0 2*i + 5x2 - 4*3 - 4*4 + 4x5 = 0 2*1+ x2 - x3- X4+ *5 = 0 3*1 + 8*2 — 6*3 — 6x4 + 6*5 = 0 3*1- *2 —2*3+ *4- *5 = 0 3*1 — *2 + *4 — 2x5 — 0 2*1+ *2- *3 + 2*4-3x5 = 0 3*1 — 2*2 — *3 + *4 - 2*5 = 0 2*1 - 4x2 + 2x3 - 2x4 + 2x5 = 0 2x!-5x2+ *3-2*4 + 2z5 = 0 e) (1 + i) xi + (3 - *) *2 + (1 + 2i) x3 = 0 (2 + 3i) *! + (2 + i) *2 + (1 - i) x3 = 0 (1 + 2í) *i + (-1 + 2t) *2 + (1 - 3£) *3 = 0 f) (1 - t) *i + (1 + i) *2 + (1 + i) *3 = 0 (1 + 3») *i + (1 - i) *2 + (-1 + i) x3 = 0 (1 +»')*!+ *2 + I *3 = 0 [5.3.B2]. V závislosti na parametrech řešte homogenní soustavu lineárních rovnic nad R: a) a *i +4x2 + 2x3 = 0 2*i + 3*2- *3 = 0 c) a*i+ 6*2 + c*3 + d*4 = 0 6*i — a*2 + d*3 — c*4 = 0 c *i — d *2 — a *3 + 614 = 0 (ÍX1 + CX2 — 6x3 — a*4 = 0 d) a*i — 2x2 + 3*i-2x2- *3 = 0 *3 = 0 i2*i+ *2 + (a-l)*3 = 0 0*1 — 4*2 — *3 — 0 4 *i — 6x2 — 3*3 = 0 *i + *2-a*3 = 0 (Návod: při řešení c) spočtěte nejprve determinant matice soustavy.) [5.3.B3j. Určete všechny hodnoty parametru o € R, pro které má daná homogenní soustava lineárních rovnic (nad R) nenulové řešení: a) xi + *2 - x3 + x4 = 0 2*i+*2- *3 + 2x4 = 0 *2 + X3 + 4*4 = 0 Xi + *4 = 0 *i — x2 - 3 x3 + a x4 = 0 b) a*i — *2 + *4 = 0 *i+ x2 + 3*3 + 2x4 = 0 2*i+ *2 + 3x3 + 2*4 = 0 (a+l)*i +4x3 + 3*4 = 0 (a+2)*i +3*3 + 3*4 = 0 c) a xi + 3 x2 + a x3 = 0 (a - 1) xi + 3 x2 + 2 a *3 = 0 (2a + 1) *i + 6 x2 + a *3 = 0 - *i + *2 +(a + 2) x3 = 0 d) 3*i+ 5 *2 - (a + 2) *3 + (2a - 2) *4 = 2 *! + 3 *2 - (a + 1) *3 + (a - 1) *4 = 3 *i + 4 x2 - (2a + 1) x3 + (a - 1) *4 = (a +1) *i + a *2 + 2 x3 + X4 = (a + 1) *i + (o + 1) *2 + (a + 1) *3 + a x4 = [5.3.B4]. Je dána homogenní soustava lineárních rovnic o n neznámých taková, že matice soustavy má hodnost (n — 1). Dokažte, že potom pro libovolná dvě nenulová řešení (ri,...,rn) , (*!,..., sn) této soustavy existuje t £ T tak, že: r; = t ■ sí pro každé i = 1, [5.3.B5], Nechť AX = B a C X = D jsou dvě ekvivalentní řešitelné soustavy lineárních rovnic o n neznámých (nad T). Pak: a) dokažte, že zhomogenizované soustavy k těmto soustavám jsou také ekvivalentní b) ukažte, že bez předpokladu řešitelnosti soustav A-X = B a CX = D předchozí tvrzení obecně neplatí. [5.3.B6]. Nalezněte bázi a dimenzi podprostoru řešení W zadané homogenní soustavy lineárních rovnic (nad R): a) 3*i + x2 + X3 + 4*4 = 0 2xi + 3*2 ■!- 5*3 + 6x4 = 0 3*i + 4x2 + 6*3 + 7*4 = 0 c) 2*1 + 5*2 + 5x3 + *4 = 0 2*1 + *2 + 5*3 + *4 = 0 3*1+2*2+ *3 + *4 = 0 4*1 + 3*2 + 2*3 + *4 = 0 e) 2x! + 3*2— *3 + 2*4 = 0 4*i + 7*2 + *3 =0 5*i + 7*2 — 4*3 + 7*4 = 0 3*1 + 4*2 — 3*3 + 5*4 = 0 b) 3*i+ *2-2*3+ 6*4 = 0 5*i+ 6*2 — 3*3 + 9*4 = 0 3*1 + 14*2- *3 + 3*4 = 0 d) 5*1 + 3*2 + 9*3 + 5*4 + 2*5 = 0 4*1 + 4*2 + 8:63 + 5*4 + 4*5 = 0 2*1 + 7*2 + 4*3 + 5*4 + 8*5 = 0 3*i + 5*2 + 7*3 + 5*4 + 6x5 = 0 3*1-2*2+ *3 -6*5 = 0 f) 3*1 + 3*2 - *3 + 14*4 = 0 2*1 + 3*2- *3+ 6*4+ 3*5 = 0 3*1 + 6*2-2*3+ 4*4+ 9*5 = 0 5*i + 6x2 — 2*3 + 20*4 + 3*5 = 0 4*i + 9*2-3x3+ 2*4 + 15x5 = 0 136 II. Cvičeni - Kap.5: Soustavy lineárních rovnic [5.3.B7]. Je dána homogenní soustava lineárních rovnic o 3 neznámých, nad K. Nalezněte bázi a dimenzi jejího podprostoru řešení W (ve vektorovém prostoru K3): a) (1 + i) xi + (1 - i) x2 + (2 - i) í3 = 0 (2 + i) xa + (3 + 2i) x2 + (1 - í) x3 = 0 b) (2 + 3t) «fi+(l + 2») ř2 4 (I - ») «3 = 0 (1 - 8f) X! + 5» x2 + (3 - :') x3 = 0 c) (1 + 2í) xi + (-2 + 3ť) x2 + 3i x3 = 0 (2 + i) xi + (1 + i) x2 + (1 + 2i) x3 = 0 (2 - 3«) xx + (1 + í) x2 + (1 + 2f) x3 = 0 x2 + (1 + 5ť) x3 = 0 *2 4 (1 - i) x3 = 0 *2 + (3 + t) x3 = 0 (3 + 3i) X! + (-1 + 4Í d) (1 - i) X! + (-1+ i) xa + (2 + (1 - ») *i + (1 + 2i) x2 + (3 - i) x3 = 0 (-2 + 2t) X! + (3 + «) x2 + (4 + 2i) x3 = 0 [5.3.B8]. Nalezněte homogenní soustavu lineárních rovnic, jejíž množina řešení je rovna podprostoru W vektorového prostoru V, je-li: a) V = R3; W = [(1,2,-1), (2,1,1)] b) V = R" ; W = [(íl-l, 1,0), (1,1,0,1), (2,0,1,1)] c) V = R5 ; W = [(1,1,5,5,2), (2,2,0,0,-1), (1,1,-1,-1,-1), (1,1,1,1,0)] d) V = R5 ; W=[(Z, 2,5,2,7), (6,4,7,4,5), (3,2, -1,2,-11), (6,4,1,4,13)] e) V = R5 ; W = [(2,1,1,2,1), (3,1,2,3,1), (4, -1,5,7,3), (5, -2,5,6,0)] f) V = R4 ; W = { (2a-6-c, 3a-&+2c, fl-26+3c, c) | a, b, c G R} g) V = R5 ; W = { (i, 2í, 0, —ť, 4ť) j ť G R} h) V = R5 ; W = {(5a-2fe+3c, 6o-46+4c, a-|-36-3c, 2a+fc+2c, 3a+6+c) | a,b,c G R}. [5.3.B9]. Rozhodněte, zda existuje homogenní soustava lineárních rovnic, jejíž množinou řešení je zadaná množina vektorů z vektorového prostoru V, je-li: a) V = R\ M = {(0,0,0), (1,1,1), (-1,-1,-1)} b) V = R3, M = {(x,0,x) |xGR} c) V = R4 , M = { (a + b + 1, a + b, 0, 0) | a, b G R} d) K = R4 , M = R4 — { (1,1,1,1), (—1, —1, —1, —1) ) . §3: Homogenní soustavy lineárních rovnic 137 [5.3.BIO]. Nalezněte homogenní soustavu 2 lineárně nezávislých lineárních rovnic (nad R) takovou, že jejími řešeními jsou (kromě jiných) vektory u, v, w G R4 , kde : a) u-(1,-2,-2,2), v = (2,-3,1,0), w = (3,-5,-1,1) b) u = (1,-2,-2,2), v = (2,-3,1,0), w = (3,-5,-1,2) c) u = (1,-2,-2,2), v = (-1,2,2,-2), w = (v/2,-78,-V^,v^) [5.3.Bil]. Rozhodněte, zda vektor u je řešením zadané soustavy lineárních rovnic a-pokud ano, pak pomocí vektoru u vyjádřete všechna řešení x této soustavy: i) u = (1,-1,1,1) ; 3xi + 2x2 + x3 - x4 = 1 2xi + 3x2 + X3 + X4 = i 2xi -1- 2x2 + 2X3 — X4 = 1 3xi + 5x2+4x3 =2 b) u =(-8,3,6,0) ; Xl — 2í2 + 3x3 + 4X4 = 4 x2- x3+ X4 = -3 xi + 3x2 — 3x4 = 1 — 7x2 + 3x3+ x4 = 3 c) u = (-16,23,0,0,0) Xl + X2 + X3 + X4 + X5 = 7 3xi + 2x2+ x3+ x4-3x5 = -2 x2 + 2x3 + 2x4 + 6x5 = 23 5xi+4x2 + 3x3 + 3x4- x5 = 12 Xl — X2 — Xa — X4 — X5 = — 3 2xi+ x2+2x3 + 3x4+4x5 = 10 d) u = (0,2,-2,0,3) ; 2x! + 2x2+ x3 + 2x4 + 3x5= 11 2xi+2x2 + 2x3+ x4 + 2x5= 6 2xi + 2x2 + 2x3 + 2x4 + x5 = 3 138 KAPITOLA 6: EUKLIDOVSKÉ VEKTOROVÉ PROSTORY §1: SKALÁRNÍ SOUČIN, VELIKOST A ODCHYLKA VEKTORŮ Úmluva. Všude v této kapitole, ve všech příkladech o euklidovském prostoru R" se předpokládá (není-li výslovně řečeno jinak), že skalární součin je v prostoru R" definován "obvyklým způsobem", tzn. pro vektory u = (ui,u2,.. .,u„), v = (vi,v2,.. .,vn) je U • V = Ui Vi + U2 V2 H-----r «n t'n ■ [6.1.AI]. Ve vektorovém prostoru K nad R (viz cvičení [3.1.Bl]b)) definujte skalární součin. [6.1.A2]. Ve vektorovém prostoru ~R.3[x\ definujte skalární součin dvěma různými způsoby. [6.1.A3]. U.p. reálného vektorového prostoru, ve kterém nelze definovat skalární součin. [6.1.A4]. U.p. nenulového vektoru u z euklidovského prostoru R4 tak, že uu = 0. [6.1.A5]. U.p. normovaných vektorů u,v z euklidovského prostoru R3 tak, že u • v = \/3- [6.1.A6]. U.p. normovaných, lineárně nezávislých vektorů u,v z euklidovského prostoru R3 tak, že u v = 1. [6.1.A7]. Nechť skalární součin dvou normovaných vektorů v euklidovském prostoru R" je roven —1. Uveďte, co lze říci o lineární závislosti či nezávislosti těchto vektorů. [6.1.A8]. Nechť u, v jsou normované vektory z euklidovského prostoru R4. Uveďte, co všechno lze říci o velikosti vektoru u + v. [6.1.A9]. U.p. vektorů u, v z euklidovského prostoru R2 tak, že od- chylka těchto vektorů je §tt §1: Skalární součin, velikost a odchylka vektorů 139 [6.1.A10]. U.p. podmínky, která a) je nutná, ale není dostatečná b) je dostatečná, ale není nutná pro to, aby pro vektory u, v z euklidovského prostoru R3 platilo: u v > 0. * * * [6.1.B1]. Ve vektorovém prostoru R2 je pro libovolné dva vektory u = («i, u2), v = (t»i, v2) definováno reálné číslo u ■ v. Rozhodněte, zda je takto v R2 definován skalární součin. Přitom: a) u • v = 0 b) u • v = AuiV\ — 2uiu2 — 2u2^i+5u2t'2 c) U • V = UjlI>2 + U2l>i d) U ■ V = UiVj + UiV2 + U2Vi + «2^2 [G.1.B2]. Ve vektorovém prostoru R3 je pro libovolné dva vektory u = (ui,ti2,U3), v = (ťi,v2,t>3) definováno reálné číslo u •v. Rozhodněte, zdaje takto v R3 definován skalární součin. Přitom: a) u ■ v = 3«it)i - uit>2 - u2vi + 2u2v2 + Uit>3 + u3t>i + u3t>3 b) u • v = 2uiVi — uiv2 — u2v\ + U3V3 c) U ■ V = Uit^i + 2liit>2 — U2t>i + U2t>2 + U3V1 + 2u3i>3 d) U-V = «it>i + 2u2V2 + 3U3V3 — tí2ľ3 — "3^2- [6.1.B3]. Ve vektorovém prostoru R2[x] je pro libovolné dva vektory (tj. polynomy) f — 02a:2 + aix + oo , g = b2x2 + bii + 60 definováno reálné číslo f - g. Rozhodněte, zdaje takto v R2[«] definován skalární součin. Přitom: a) f • g = 1 b) f • g = ao 60 + Oi 61 + 02 62 c) *-g = Jf(t)-g(t)dt -1 d) f-g =| a2 ■ b2 I . (tj. matice) A — definováno reálné číslo A • B. [6.1.B4]. Ve vektorovém prostoru Mat22(R) je pro libovolné vektory oi o-i g _ bi 62 03 o4 J' [63 64 Rozhodněte, zdaje takto v Mat22(R) definován skalární součin. Přitom: a) AB = det(>l-B) b) A - B - det (A + B) c) ^4-5 = 0161+0464. d) ^-5 = 0161+0262 + 0363 + 0464 [6.1.B5]. Nechť V je euklidovský vektorový prostor (se skalárním součinem • ). Rozhodněte, zda * je též skalárním součinem ve V, jestliže pro V u, v e V položíme: a) u * v = v • u b), u * v = (u + v) • (u — v) c) u * v = ť • (u • v) , kde t je pevné reálné číslo. 140 II. Cvičení - Kap. 6: Euklidovské vektorové prostory [6.1.B6]. Nechť v reálném vektorovém prostoru V jsou definovány dva skalární součiny o a *. Dokažte, že jestliže pro každý vektor ueľ platí : u o u = u * u , pak jsou oba skalární součiny o a * shodné. (Návod: počítejte (u 4- v) o (u + v) a (u + v) * (u + v).) [6.1.B7], V euklidovském prostoru V spočtěte velikost zadaného vektoru u, je-li: a) V = R5 , u = (V2, V2 + \/3, 7, v^-v^, V5) b) V = R7 , u = (-9, —4,0, VTŠ, 0,7,8) i c) V = R2[x] , se skalárním součinem : f - g — f f (t) ■ g(t) dt , 0 u = 5x2 4- 6x - 3 i d) V = R2[x] , se skalárním součinem : f g = J f {t} ■ g{t) dt , -i u = hx2 + 6x - 3 . [6.1.B8]. Určete všechny hodnoty parametru a € R, pro které je zadaný vektor u z euklidovského prostoru V normovaný. Přitom: a) V = R5;u=(a + l,0,a + 2,0,a + l) b) V = R7 ; u = (a + 1, 1, 0 , a + 2 , 1, 0, 2a - 3) 1 c) V — R2[x] , se skalárním součinem : f -g = f f (t) ■ g(t) dt , o u = Zx7 + a i d) V = R2[x] , se skalárním součinem : f g = J f (i) ■ g(t) dt , -i u = 3x2 + a . [6.1.B9]. Nechť u, v jsou vektory z euklidovského prostoru K. Dokážte, že platí: a) ||u + v|p-ri|u-v|p=2-(||u|p+||v||2) b) ||u + v|[2-[|u- vjp = 4-(u-v) c) jsou-li u, v nenulové vektory a ip je jejich odchylka, pak: í|u-v||2 = ||ut|2+|jv]p-2.||u||.|[v]|.coS^ d) ! Ni-HM < !|u-v||. (Návod: při d) počítejte [|u — v|[2 a použijte Schwarzovu nerovnost.) [6.1.B10]. Nechť V je euklidovský prostor a u,v jsou vektory z V takové, že u ■ v = [|u|j • |jv||. Bez užití Schwarzovy nerovnosti dokažte, že pak vektory u,v jsou lineárně závislé. §1: Skalární součin, velikost a odchylka vektorů 141 [6.1.Bil]. Nechť V je euklidovský prostor, nechť u, v e V. Dokažte, že platí: ||u + v|| = ||u|| + ||v|| 3 r > 0 tak, že u = rv nebo v = r u . [6.1.B12]. Nechť V je euklidovský prostor, nechť x,y,z G V jsou takové vektory, že x,z jsou lineárně závislé. Pak: a) dokažte, že platí: (x • y) ■ z = (y ■ z) ■ x b) ukažte, že předchozí rovnost obecně neplatí, nahradíme-li předpoklad, že vektory x, z jsou lineárně závislé předpokladem, že vektory x,y, z jsou lineárně závislé. [6.1.B13]. V euklidovském prostoru V jsou zadány dvě posloupnosti k vektorů : Ui,..., u* , resp. Vit..., Vj takové, že pro V i, j platí : u(- • v;- = 0 je-li i ^ j A u; - v,- ^ 0 . Dokažte, že potom vektory .,. ,ui jsou lineárně nezávislé a vektory Ví,..., vjt jsou též lineárně nezávislé. [6.1.B14], Nechť V je euklidovský prostor; nechť ui, - ■ •, u* € V , resp. h, • ■ •íti € R, Dokažte, že platí : ťiUi + ť2"2 +----\- ítu* = o •<=> ti (Ui-Ui) + ť2 (Ui-U2) + ...+ ť* (Ui-Ufc) = 0 /1 (u2• Ui) 4- ť2 («2• u2) + - - - + ťi (u2-ut) = 0 U (wjfUi) + ť2 (ufu2) + ... + ijk (ufUi) = 0 (Návod: při důkazu "<=" nejprve pro každé i = 1,...,k v í-té rovnici "vytkněte" vektor u,-, vynásobte číslem í,- a nakonec všechny takto vzniklé rovnice sečtěte .) [6.1.B15]. Nechť V je euklidovský prostor, nechť uj,..., u* je konečná posloupnost vektorů z V. Determinant Ul-Uj UrU2 ... Ui Ujfc U2Ui U2U2 ... U2-U* UfUi Ui-U2 ... UfUi se nazývá Gramův determinant vektorů Ui,...,Ujt a označuje se symbolem G(ui,... ,ui). Dokažte, že platí : vektory Ui,... ,Ui jsou lineárně závislé <=> G(ui,..., u*) = 0, (Návod: použijte definici lineární závislosti a výsledek cvičení [6.1.b14].) 142 II. Cvičení - Kap. 6: Euklidovské vektorové prostory [6.1.B16]. Nechť V je euklidovský prostor, nechť uiu* je konečná posloupnost vektoru z V. Rozhodněte, jak se změní Gramův determinant G(ui.....u*), jestliže v posloupnosti ui,..., ujt a) zaměníme vektory u,- a u, (ť / j) b) vektor u,- vynásobíme číslem í € R c) k vektoru u,- přičteme vektor u,- (i ^ j) d) k vektoru u,- přičteme lineární kombinaci ostatních vektorů . (Návod: při c) počítejte G(ui,... ,u,-+ u;,... ,ut) tak, že nejprve rozepíšete í-tý řádek a po zjednodušení pak totéž provedete pro i-tý sloupec; při d) postupujte obdobným způsobem.) [6.1.B17]. Nechť ui,..., ur jsou lineárně nezávislé vektory a vi,..., v, jsou lineárně nezávislé vektory z euklidovského prostoru V takové, že: u, • Vj = 0 pro každé t = l,...,r, j = l,...,s. Dokažte, že potom vektory Ui,...,ur, Vj,..., v, jsou lineárně nezávislé. (Návod: při důkazu využijte výsledek cvičení [6.1.B15] a Cramerovo pravidlo.) [6.1.B18]. Nechť u%,..., u„ je báze euklidovského prostoru V a nechť ^i, • ■ -, b„ jsou pevně zvolená nenulová reálná čísla. Dokažte, že potom existuje právě jedna báze ei,..., e„ euklidovského prostoru V, splňující podmínky: ľ bj pro j = i . . uj - e, = < pro kazde í, j = 1,..., n. L 0 pro j # i (Návod: žádané vektory hledejte ve tvaru : e,- = Xj \ ui +----Y Xjn un a požadujte splnění podmínek zadání. Použijte Cramerovo pravidlo a výsledek cvičení [6.1.B15].) §2: ORTOGONÁLNOST [6.2.AI]. U.p. báze euklidovského prostoru R4, která je ortogonální a není ortonormální. [6.2.A2], U.p. dvou různých ortonormálních bází euklidovského prostoru R2. [6.2.A3]. U.p. ortogonálních vektorů, které generují euklidovský prostor R3, ale nejsou bází R3. [6.2.A4]. Nechť u\, u2, u3, u4 jsou nenulové ortogonální vektory z euklidovského prostoru R". Uveďte, co všechno lze pak říci o čífele n .; §2: Ortogonálnost 143 [6.2.A5]. Nechť ei,...,e* jsou vektory získané z vektorů Ui,...,ut Gram-Schmidtovým ortogonalizačním procesem. Uveďte, kolik z vektorů ei,..., et je nulových. [6.2.A6]. U.p. ortogonálních množin A, B v euklidovském prostoru R4 tak, že A je konečná množina a B je nekonečná množina. [6.2.A7]. U.p. netriviálního podprostoru W euklidovského prostoru R4 tak, aby platilo, že dim W1- < dim W. [6.2.A8]. U.p. podprostoru W euklidovského prostoru R5 tak, aby platilo, že dim W = dim Wx. [6.2.A9]. U.p. podprostoru W euklidovského prostoru R4 tak, aby ortogonální projekcí vektoru u = (1,2,3,4) do podprostoru W byl nulový vektor. [6.2.A10]. U podmínky, která a) je nutná, ale není dostatečná b) je dostatečná, ale není nutná pro to, aby podmnožiny A, B euklidovského prostoru R3 byly ortogonální. A A * [C.2.B1]. Rozhodněte, zda dané vektory euklidovského prostoru R4 jsou ortogonální, resp. ortonormální: a) (1,-2,2,1) , (1,3,2,1) , (-1,0,1,-1) c) (2,3,-3,-4) , (-1,3,-3,4) , (3,1,3,0) d) (1,3,1,2) , (0,0,0,0) , (1,-3,2,3). [6.2.B2]. Určete parametry a, b £ R tak, aby dané vektory euklidovského prostoru R5 byly ortogonální: a) (1,1,2,0,0) , (l,-l,0,l,a) , (1,6,2,3,-2) b) (2,-l,0,a,6) , (a,6,0,-2,1) , (a,26,5,6,-a) c) (1,-2,0,3,0) , (-1,1,0,0,7) , (1,-2,6,3,0) , (0,6,-1,1,8) d) (1,2,0,2,1) , (0,0,0,0,0) , (-5,2,5,-2,5) , (a,6,0,6,a). [6.2.B3]. V euklidovském prostoru R4 nalezněte všechny normované vektory, které jsou ortogonální k vektorům u, v, w, je-li : u = (l,l,l,l), v = (1,-1,-1,1), w = (2,l,l,3). 144 II. Cvičení - Kap. 6: Euklidovské vektorové prostory [6.2.B4]. Ve vektorovém prostoru R2[x] je skalární součin definován: f-g= J f(t)-g(t)dt . -i Rozhodněte, zda pak zadané vektory (tj. polynomy) fi,f2,f3 tvoří bázi, resp. ortogonální bázi, resp. ortonormální bázi tohoto euklidovského prostoru, je-li: a) fi = 2x , f2 = 3x2 - 1 , f3 = 3 b) f2 = x2 - 2x + 1 , f2 = 5i2 + 2x - 1 , f3 = 2x + 1 f3 = — j/5 (3*2-l) 2 ' ~ y 2 - ' ~" 2-/2x d) fi = 5x2 + 2x - 1 , f2 = x2 - 2x + 1 , f3 = x2 + 4x - 2. [6.2.B5J. Nechť V je euklidovský prostor; nechť u,v 6 V. Dokažte, že pak platí: a) ulv <=* ||u + v||2 = ||u||2+||v||2 b) u±v <=> ||u+v|| = ||u-v|| c) (u + v)X(u-v) ^=> ||u|| = ||v||. [6.2.B6]. Nechť uj,... ,un je ortogonální báze euklidovského prostoru V a nechť ti.....ť„ jsou libovolná nenulová reálná čísla. Dokažte, že pak i, t>2) definujeme u • v = 2uit>i -f 2«it»2 + 2ti2t>i + 3u2d2 b) V = R3 ; pro V u = (ui,tí2,u3) , v = (ui,t>2,t>3) definujeme u • v = tiitii + 2u2u2 + 3u3t>3 — u2v3 — v3i>2 1 c) V = R2[x) , pro V f ,g € K3[x] definujeme f • g = / f (i) - g(t) dt o á) V = Mat22(R) ; pro VA = 01 °2 , B = ^ I*2 definujeme ; [a3 a4J [fc3 64. A ■ B = aifci + a262 + a3bz + a464. [6.2.B9]. V euklidovském prostoru R4 jsou dány vektory ui, u2. Ukažte, že vektory Ui,u2 jsou ortogonální a doplňte je na ortogonální bázi celého prostoru R4 . Přitom : a) Ul =(1,-2,2,1) , u2 = (1,3,2,1) b) uj = (2,3,-3,-4) , u2 = (-1,3,-3,4) c) U! = (1,7,7,1) , u2 = (-1,7,-7,1) d) ui =(1,-3,2,3) , u2= (1,3,1,2) [6.2.BIO}. Sestrojte ortonormální bázi euklidovského prostoru R4, jsou-li dány její vektory: ») ei = (!,-!> M) iv _ (1 i 1 1\ _ (\ 1 1 _5\ °) el — \2 ' 2 ' 2 ' 7.1 ' 2 — \6 ' 6 > 2 ' 6/ <0 e, = (f, I,-!,|) , ea= (j,,-i.0t0) , e3= (^,^.^,0) . 146 II. Cvičení - Kap. 6: Euklidovské vektorové prostory [6.2.B11]. Ve vektorovém prostoru R3 je definován skalární součin takto: pro libovolné vektory u = (uj, u2, u3), v = (t>i, v2, v3) € R3 je: u - v = luiví —uiv2 — u2vi + u2v2 + U3V3 , V tomto euklidovském prostoru pak nalezněte ortogonální bázi podprostoru W = {(*i,*2,*s) i 2xj - 2x2 + x3 = 0}, která a) obsahuje vektor (1,1,0) b) obsahuje nějaký vektor z podprostoru U, kde U je množina všech řešení homogenní soustavy lineárních rovnic : 2xi — 4x2 — x3 = 0 X2 + X3 = 0 [6.2.B12). Nechť ui,...,un je báze euklidovského prostoru V; nechť x,y € V, přičemž: x = xi ui +----h x„ un , . y = yi ui +----h y„ u„ . Dokažte, že pak následující výroky jsou ekvivalentní: (i) x-y = xijř! + x2y2 +----hx„yn pro každé x,y € V (ii) báze ui,...,u„ je ortonormální. [6.2.B13]. Nechť W = [ui,..., ut] je daný podprostor v euklidovském prostoru V. Dokažte, že pak platí: xe^1 xJ-ti! A ... A x±u„. (jinak řečeno: vektor leží v ortogonálním doplňku podprostoru W právě když je ortogonální k libovolným generátorům tohoto podprostoru W .) [6.2.B14]. V euklidovském prostoru R" nechť je dán podprostor W jako množina všech řešení homogenní soustavy lineárních rovnic: anxi + ai2X2 +...+ ainx„ = 0 0*1*1 + a*2*2 4- ■ • • + ainx„ = 0 Dokažte, že potom W1- = [ («m, a12,aln) , ... , (akl, ak2,..., akn) ]. §2: Ortogonálnost 1-47 [6.2.B15]. V euklidovském prostoru R4 je dán podprostor W. Nalezněte bázi ortogonálního doplňku W1, je-li: a.) W= {(2r + ť,-3r + s-ť,4r + 3i,8r + 5ť) | r,s,t € R) b) W - [ui,u2,u3] , kde m = (3,-5,4,1) , u2 = (1,-2,2,-3), u3 = (1,-1,0,7) c) W = í,(u1,u2,u3,u4) , kde Ul =(3,2,1,0) , u2 = (1,1,-2,1) , u3 = (1,1,0,1) , U4 = (2,3,-1,1) d) W je podprostor řešení homogenní soustavy lineárních rovnic: 3xí + 3x2 + 2x3 + 7x4 = 0 3xi - 2x3 - 9x4 = 0 ' x3+ x4 = 0 [6.2.B16]. V euklidovském prostoru R5 je dán podprostor W. Nalezněte ortogonální bázi ortogonálního doplňku WL , je-li: a) W = {(r + s + ť , -r + ť, r + s , -t, s + ť) | r, s, t € R} b) = [ui,u2,u3,U4] , kde Ul = (1,-1,2,1,-3) , u2 = (2,1,-1,-1,2) , u3 = (1,-7,12,7,-19) , u4 = (1,5,-8,-5,13) c) W = L(uj,U2,u3,U4), kde ui = (1,1,-1,-1,0) , u2 = (1,-1,-1,0,-1), u3 = (1,1,0,1,1), u4 = (-1,0,-1,1,1) d) W je podprostor řešení homogenní soustavy lineárních rovnic: xi + x2 + x3 + x4 + x5 = 0 xi +x3 +x5 = 0 x2 + x4 =0 [6.2.B17]. Ve vektorovém prostoru R3 je definován skalární součin takto : pro libovolné vektory u = (tti, "2, «3), v = (»1., t>2l v3) je : UV = 2tíll>l ■+U2V2-i-- UiV2 — U2Vi + UiVz + U3Vi + U2Vz + U3V2. V tomto euklidovském prostoru pak nalezněte ortogonální bázi podprostoru W1-, je-li: a) W = {(ť,2ť,í)lí€R) b) Wslui.ua] , kde ux =(1,0,1) ,u2 = (1,1,2). 148 II. Cvičení - Kap.6: Euklidovské vektorové prostory [6.2.B1S]. V euklidovském prostoru V nalezněte ortogonální projekci vektoru u do podprostoru W, je-li: a) K = R3 ; u = (3,-7,8); W = [Wl,w2] , kde wi = (1,1,-2), w2 = (3,l,-l) b) ^ = R4; u =(-2,2,2,5); W = [wu w2, w3] , kde W! =(1,1,-1,2) , w2 = (3,l,0,l) , w3 = (2,0,l,-l) c) V" = R4 ; u = (2,7,-3,-6) ; W = {(r + s, r + s , -r - 3s, 2r + 3«) [ r, s £ R} d) K = R4; u = (1,2,3,4) ; W — [(0,1,0,1)] e) V = R< ; u = (2,0,1,-4) ; W je podprostor řešení homogenní soustavy lineárních rovnic : 2x1 + 3x2 + 3x3 =0 2xi + x2+ x3 +4x4 = 0 Xl+ X2+ X3+ X4 = 0 Xl + 2x2 + 2x3 - x4 = 0 f) K = R5; u= (1,-4,1,-1,2) ; W = X(w1)w2l w3) , kde wi = (1,-1,0,1,1) , w2 = (3,2,1,0,1) , w3 = (1,1,1,1,-1) [6.2.B19]. V euklidovském prostoru V nalezněte ortogonální projekci vektoru u do podprostoru W, je-li: a) V = R2 [x] , se skalárním součinem definovaným : {■g = ff(i)-g(t)dt, D u = x2-2x-2 , W = [fi,f2] , kde fj = 5x2 + 2x - 1 , f2 = 4x - 1 b) V = R2[x] , se skalárním součinem definovaným: f-g = f f(t)-g(t) dt, -i u = 2x2 + 2x + 5 , W'-=[fi,f2] , kde fi = 3x2 - 1 , f2 = z2 + 2 . [6.2.B20]. V euklidovském prostoru V nechť jsou dány podprostory W1 = [ui,..., ut] , Wi = [vi,...,v,]. Dokažte, že pak platí: Wi J_ W2 uí v j = 0 pro V ť, j. §2: Ortogonálnost 149 [6.2.B21]. Nechť V je euklidovský prostor; nechť Uj,..., ur G V jsou lineárně nezávislé vektory, resp. Vj,..., v, € l7 jsou lineárně nezávislé vektory takové, že platí: ujlvj , pro V Dokažte, že pak: dim[ui.....ur,V!,...,va] = r + s. [6.2.B22]. Nechť ze zadaných vektorů Ui,...,ut (k > 2) dostaneme pomocí Gram-Schmidtova ortogonalizačního procesu postupně vektory ei,...,et. Dokažte, že pak pro 2 < i < k platí: a) ||e;JI < llu.ll b) e,=o -c=> ur € [ui,...,u,-_i] c) e; = u, u,:€ [ui,..., u,-_i ] x d) e* je ortogonální projekcí vektoru u, na podprostor [uj,..., u,_i ] -1 . [6.2.B23]. Nechť ze zadaných vektorů Ui,..., u* (k > 2) dostaneme pomocí Gram-Schmidtova ortogonalizačního procesu postupně vektory ei,...,er. Dokažte, že pak Gramový determinanty vektorů Ui,...,ujt a vektorů ei,..., et (viz cvičení [6.1.B15]) jsou si rovny, tj. G(ui,...,uí) = G(ei,...,ejt). (Návod: využijte toho, že pro í = 2,..., k lze psát (proč?) u,- = e, + in m H-----h U,i-i u;_i . S využitím tohoto faktu počítejte G(ui,...,Ufc) tak, že postupně upravujete řádky (počínaje posledním) a potom analogicky upravujete sloupce.) [6.2.B24]. Nechť V je euklidovský prostor, nechť ui,... ,u* E V . Dokažte, že platí: G(u,,...,Ujt) > 0 tzn. Gramův determinant libovolných vektorů je vždy nezáporné číslo. (Návod: využijte výsledku předchozího cvičení.) 150 §1: Základni vlastnosti lineárního zobrazení 151 KAPITOLA 7: LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ VEKTOROVÝCH PROSTORŮ §1: ZÁKLADNI VLASTNOSTI LINEÁRNÍHO ZOBRAZENÍ [7.1.A1]. U.p. injektivního lineárního zobrazení tp, přičemž a)v?:R2^R3 b)^:R3-»R2. [7.1.A2]. U.p. surjektivního lineárního zobrazení p : R3 - R2 , b) tp : R2 — R3 , c) tp : R3 -h. R , d) tp : K3 -> K3 , e) tp : R2[x] -* R3[x] , f) tp : Mat22(R) — R2 kde tp ((xi, x2, x3)) = (2ii + 3x2 , 4x3 + 5) kde y>((xi,x2)) = (2x1 + x2 , x2 , x2 - xx) kde ^((xi,x2,x3)) = xi + 2x2+3x3 kde tp ((zi, 22, r3)) = (0 , 2zx + Ž23 , z2 + 23 ) kde tp (ax- + 6x + c) = 3ax3 + 26x2 + cx kde tp(A) = (0, det^). [7.1.B3]. Nechť u,u2,u3 je báze vektorového prostom V (nad T). Rozhodněte, zda zobrazení tp : V —* V je lineárním zobrazením, jestliže pro V x G V , x = xiUi + x2u2 + X3U3 je: a) tp (x) = (xi - x2)u2 + x2u3 b) tp (x) = uj + (xi - x2)u2 + xxu3 c) tp(x) - (xi + 2x2 - x3) • (ui + 2u2 - u3) d) tp(x) = |xi|-ui + |x2|-u2 + |x3j-u3 . [7.1.B4]. Pro zadané lineárni zobrazení tp nalezněte jeho jádro Ker tp a obraz Im tp. Přitom: a) tp b) tp c) tp d) tp R3 —► R4 , kde tp((xi,x2,x3)) = (xi+x2, x2+x3, x3+ii , xx) R3 -» R2 , kde ^((xi,x2,x3)) = (xi + x2 , x2 + x3) R4 —»■ R , kde ^((x1,X2,x3,x4)) = xi + x2 + x3 + x4 R4^R3, kde v?((xi,x2,x3lx4)) = (3x!-x2+2x3-X4 , 5x!+2x2+3x3 , 2xi+3x2+x3+x<) e) tp : R3 —+ R4 , kde tp je zadáno určením obrazů báze : ^((1,2,1)) = (-1,1,1,1) , ((0,1,2)) = (1,0,0,1), ^((1,0,-1))= (0,1,1,2) f) tp : R5 —y R3 , kde tp je zadáno určením obrazů báze : ^((1,0,0,0,0)) = (1,2,1) ,

((1,1,1,0,0)) = (1,5,2) , ^((1,1,1,1,0)) = (0,3,1), V>((1,1,1,1,1)) = (2,1,1) g) tp : R2 — R2" , kde tp ((xi, x2)) = ( xi , x2 , Xi , x2 , ... , Xi , x2 ) h) tp : R" - R" , kde v?((xi,x2,...,x„)) = (ii , xx+x2 , ... , xi+x2+ ... +x„ ). 152 II. Cvičení - Kap. 7: Lineární zobrazení [7.1.B5]. Zobrazení p : R„[i] R„.i[i] je definováno takto: pro f = a„xn +----h oii + a0 položíme tp (f) = n a„ í"'1 + (rt-lj o„_: x""2 + • • ■ + 2 a2 x + a, . Potom: a) dokažte, že tp je lineárni zobrazení b) rozhodněte, zda zobrazení

R„+i[x] je definováno takto: pro f = anx" +----ha^x + ao položíme §1: Základní vlastnosti lineárního zobrazení 153 tp(i) = xn+1 + —x" + Oj o n+1 n Potom: a) dokažte, že tp je lineární zobrazení b) rozhodněte, zda zobrazení

dim V = k. [7.1.Bil]. Nechť tp : V —<• V je lineární zobrazení a nechť u'i, ...,un je báze prostoru V. Dokažte, že platí: ip je injektivní zobrazení ip (ui),

(uj),..., ip (m) jsou lineárně nezávislé. [7.1.B13]. Nechť V, V jsou vektorové prostory nad T a dále nechť ip : V —* V je izomorfizmus. Dokažte, že pak : V — V" jsou lineární zobrazení. Dokažte, že platí: a) ip o ip je injektivní zobrazení <í=>- 9? je injektivní zobrazení a Im

^ je surjektivní zobrazení a Im tp + Ker V = V. [7.1.B15]. Nechť V, V jsou dva vektorové prostory nad T takové, že je dim V > dim V. Nechť dále tp : V —► V, ý : V —► V jsou lineární zobrazení. Dokažte, že pak zobrazení ý o tp není injektivní a není surjektivní. [7.1.B16]. Nechť tp : V V je lineární zobrazení a nechť W je pod-prostor ve V. Označme: H={x€V\ = [(1,2,3), (4,5,6)]. [7.2.A3]. U.p. neidentické lineární transformace vektorového prostoru R4 tak, že R4 = Ker

p , přičemž a) V = R4 b) V = R5. [7.2.A5]. U.p. dvou lineárních transformací tp, vektorového prostoru R3 tak, že (x2 + l) = 2x2-|-x-r3; Ul = 2x2 + 2x + 3 , u? = 2x2 + 4x + 5 , u3 = x2 + 3x + 3 . 156 II, Cvičení — Kap. 7: Lineární zobrazení [7.2.B6]. Je dána pevná matice A 6 Mat22(R) tvaru: A = 1 1 1 1 Definujeme dvě zobrazení tp, resp. rp : Mat22(R) —* Mat22(R) takto: {X) = X ■ A , pro V A" e Mat22(R). Potom: a) dokažte, že tp, resp. rp je lineární transformace vektorového prostoru Mat22(R) b) nalezněte matici lineární transformace tp v bázi '1 0" '0 1" 1 l" '0 0' 1 Oj t 0 1 1° °. i _0 1 c) nalezněte matici lineární transformace rp v bázi 'i r -i r '0 1' 'l 0' i i 0 -1 > 1 0 [7.2.B7]. Definujeme zobrazení , resp. rp je lineární transformace vektorového prostoru Rn[x] b) nalezněte matici lineární transformace tp, resp. matici lineární transformace rp v bázi 1, x , x2, ... , x" . [7.2.B8]. Nechť lineární transformace tp vektorového prostoru V má v bázi u1,u2,u3 matici A. Nalezněte matici lineární transformace tp v bázi vi,v2,V3, je-li: a) V = R3 ; uj = (l,l,0) , u2 = (0,1,1) , u3 = (1,1,1); V! = (1,0,1) , v2 = (1,-1,1), v3 = (0,-1,1); 1 1 -1' A - 1 -1 -1 1 §2: Lineární transformace a její matice b) V = R3 ; Ul = (8,-6,7) , u2 = (-16,7,-13) , u3 = (9,-3,7); V! = (1,-2,1) , v2 = (3,-1,2) ,v3 = (2,l,2); 1 -18 15" 157 A = -1 -22 15 1 -25 22 c) V = R2[x] ; ui = 1 , u2 = x , u3 = x2 ; Vi = -x2 + x , v2 = x2 - x + 1 , v3=x-l; 0 1 l A = 1 0 -1 -1 -1 0 [7.2.B9]. Je dána lineární transformace tp vektorového prostoru R3 (určením obrazů pevné báze) a dále je dán vektor u € R3 -Nalezněte všechny vektory x € R3 s vlastností: tp (x) = u , je-li: a) ^((1,1,1)) = (2,2,6) , ^((2,-1,0)) = (1,-3,-1), ^((1,2,3)) = (3,7,13); u= (1,3,5) b) ^((3,-3,2)) = (0,-1,1) , ¥-((2,1,-1)) = (3,0,3), ^((-4,0,3)) = (-4,3,-7) ; u = (l,2,l) c) ^((1,1,1)) = (1,1,0) , ^((1,1,0)) = (1,0,-1), ^((1,0,0)) = (2,3,-1); u = (2,1,1). [7.2.B10]. Nalezněte jádro Ker

A ^((0,0,1)) = (0,0,1) A 9 ((2,3,1)) = (1,0,2). [7.2.B13]. Necht* V7, definovaných pro V i, j = 1,..., n takto : f u, pro k=j 2. Pak: a) dokazte, že je-li alespoň jedna z matic A, B regulární, pak matice A * B a matice B ■ A jsou podobné b) rozhodnete, zda předchozí tvrzení platí i v prípade, že obě matice A, B jsou singulární. [7.2.B24]. Je dána matice A G Mat„n(T). Určete charakteristický polynom matice A a nalezněte jeho kořeny (ležící v T), je-li: a) T = R , A = c) T = R , A - -5 4 2 1 3 b) T = K , A = d) T = R, A = 2 -5 1 4 0 -2 -1 2 0 -3 [7.2.B25]. Nechť A = (a,j) G Mat„„(T) je horní trojúhelníková matice (tzn. platí a,j = 0 pro i > j ) . Dokážte, že pak diagonální prvky matice A jsou kořeny jejího charakteristického polynomu. [7.2.B26]. Nechť je dána matice A € Matnn(r). Dokažte, že matice A a k ní transponovaná matice A' mají stejné charakteristické polynomy. §3: VLASTNÍ VEKTORY A VLASTNÍ HODNOTY LINEÁRNÍ TRANSFORMACE [7.3.AI]. U.p. podprostoru W ve vektorovém prostoru R4 tak, aby W byl invariantním podprostorem vzhledem ke každé lineární transformaci prostoru R4. [7.3.A2]. U.p. lineární transformace

3 t0 6 T :

právě jeden z koeficientů ťi,..., tr je nenulový. [7.3.B12]. Lineární transformace tp vektorového prostoru V nad R nechť je dána maticí A (v bázi ui,u2,U3 prostoru V). Potom nalezněte všechny podprostory ve V, které jsou invariantní vzhledem k transformaci tp, je-li: a) A = 0 2 -2 0 -1 -3 b) A = 4 2 -1 -2 0 1 [7.3.B13]. Nechť lineární transformace tp n-dimenzionálního vektorového prostoru V má vlastní hodnoty Ai,..., A„ (přitom každá vlastní hodnota se počítá tolikrát, kolik je její násobnost). Nechť A = (ay) je matice lineární transformace tp. Dokažte, že potom platí: a) Ai H-----h A„ = 2. Nechť dále Ai je vlastní hodnota lineární transformace tp, resp. A2 je vlastní hodnota lineární transformace V ■ Ukažte, že potom číslo (Ai + A2) nemusí být vlastní hodnotou lineární transformace tp + ip. 164 II. Cvičení - Kap. 7: Lineární zobrazení §4: ORTOGONÁLNÍ ZOBRAZENÍ, ORTOGONÁLNÍ MATICE Úmluva. Všude v této kapitole, ve všech příkladech o euklidovském prostoru R" se předpokládá (není-li výslovně řečeno jinak), že skalární součin je v prostoru R" definován "obvyklým způsobem", tzn. pro vektory u= (tí1,u2,...,u„), v = (vi,v2,...,vn) je U • V = Ui Vi + «2 V2 H-----h Urc V„ . [7.4.A1]. U.p ortogonálního zobrazení ip : R2 —► R3. [7.4.A2]. U.p. ortogonálního zobrazení ip : R3 —* R2. [7.4.A3]. U.p. ortogonální transformace

V je zobrazení s vlastností: u- v = (i-u)-i-^(u))2 = 0 pro libovolné u , v E V a libovolné t E R.) [7.4.B3]. Ukažte, že zobrazení

2) s vlastností: || u || = ||? (u) || proVuGR" nemusí obecne být lineárním zobrazením. [7.4.B4]. Nechť V, V jsou euklidovské prostory, nechť ip : V —* V je zobrazení, splňující podmínky: (i) ||y(u)-*>(v)||=||u-v|| ProVu,v€V (ii) || v (o) || = 0 Dokážte, že potom

v3 = (0, f ) b) U,=(§, 1, u2 = (i,|,f), tt3 = (f,-f,0) Vl=Í72'72'0^ V2 = <~75 • 7š • 7s)1 V3 = Í73* "Tš ' 73^-