MUC31 Lineární algebra a geometrie
Domácí úkoly
1. úkol
Termín: 29.2.2020
5.1.B6 b)
2. úkol
Termín: 27.3.2020
3.4.B20
3. úkol
Termín: 5.4.2020
Vypočtěte následující determinanty (řádů 3,4 a n)
−3 2 −4
3 −3 2
−2 4 −1
0 −2 1 −2
−3 0 −2 0
2 1 0 −4
−1 0 3 1
1 − n 1 · · · 1 1
1 1 − n · · · 1 1
...
...
...
1 1 · · · 1 − n 1
1 1 · · · 1 1 − n
4. úkol
Termín: 10.4.2020
Příklad 1: U. p. matic A, B, které nejsou čtvercové a přitom existují oba součiny A · B i B · A.
Příklad 2: Spočtěte A · B · C.
A =


1 −1 0
2 1 −3
0 2 1

 B =


2 1 1
3 2 0
1 −1 0

 C =


0 3 1
1 0 −2
2 1 0


Příklad 3: Rozhodněte, zda dané matice tvoří bázi prostoru Matnn(R):
1 8
7 −7
1 −1
1 2
1 5
5 −4
1 2
3 −1
5. úkol
Termín: 17.4.2020
Příklad 1: Určete hodnost matice




1 2 1 −2 3
2 1 4 1 −2
1 1 2 1 3
3 2 6 2 1




Příklad 2: K dané matici nalezněte inverzní matici (libovolnou metodou)


3 −2 1
2 0 −1
1 −3 3


6. úkol
Termín: 24.4.2020
4.4.B17 f)
7. úkol
Termín: 1.5.2020
6.1.B13
8. úkol
Termín: 8.5.2020
Příklad 1: Je dán vektorový prostor R2[x] se skalárním součinem
f · g =
1
−1
f(x) · g(x) dx.
Rozhodněte, zda-li vektory f1 = 2x, f2 = 3x2
− 1, f3 = 3 tvoří bázi, resp. ortogonální bázi, resp.
ortonormální bázi tohoto euklidovského prostoru.
Příklad 2: V euklidovském prostoru R4
jsou dány vektory
u1 = (1, −2, 2, 1) u2 = (1, 3, 2, 1).
Ukažte, že jsou ortogonální a doplňte je na ortogonální bázi celého prostoru R4
.
Příklad 3: V euklidovském prostoru R3
nalezněte ortogonální projekci vektoru u = (3, −7, 8) do
prostoru W = L((1, 1, −2), (3, 1, −1)).
9. úkol
Termín: 15.5.2020
Příklad 1: Rozhodněte, zda ϕ: R2[x] → R3[x], kde
ϕ(ax2
+ bx + c) = 3ax3
+ 2bx2
+ cx
je lineární zobrazení, resp. injektivní LZ, resp. surjektivní LZ.
Příklad 2: Nalezněte jádro a obraz zobrazení ϕ: R3
→ R2
, kde
ϕ((x1, x2, x3)) = (x1 + x2, x2 + x3).
Příklad 3: Rozhodněte, zda prostory V = R3
a V = Q3
jsou izomorfní.