Lineární algebra
Řešení cvičení
Petr Liška
Masarykova univerzita
13.5.–14.5.2020
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 13.5.–14.5.2020 1 / 13
K větám 1.13 a 1.14
ϕ: R2 → R3 můžeme zadat různými způsoby:
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 13.5.–14.5.2020 2 / 13
K větám 1.13 a 1.14
ϕ: R2 → R3 můžeme zadat různými způsoby:
ϕ((x1, x2)) = (2x1 + x2, x2, x2 − x1)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 13.5.–14.5.2020 2 / 13
K větám 1.13 a 1.14
ϕ: R2 → R3 můžeme zadat různými způsoby:
ϕ((x1, x2)) = (2x1 + x2, x2, x2 − x1)
ϕ((1, 0)) = (2, 0, −1), ϕ((0, 1)) = (1, 1, 1)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 13.5.–14.5.2020 2 / 13
K větám 1.13 a 1.14
ϕ: R2 → R3 můžeme zadat různými způsoby:
ϕ((x1, x2)) = (2x1 + x2, x2, x2 − x1)
ϕ((1, 0)) = (2, 0, −1), ϕ((0, 1)) = (1, 1, 1)


x1
x2
x3

 =


2 1
0 1
−1 1

 ·
x1
x2
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 13.5.–14.5.2020 2 / 13
K větám 1.13 a 1.14
Mějme kanonickou bázi v R2 a v R3 zvolme bázi (2, 0, −1), (1, 1, 1) a
(0, 1, 0)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 13.5.–14.5.2020 3 / 13
K větám 1.13 a 1.14
Mějme kanonickou bázi v R2 a v R3 zvolme bázi (2, 0, −1), (1, 1, 1) a
(0, 1, 0)
x = x1 · (1, 0) + x2 · (0, 1)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 13.5.–14.5.2020 3 / 13
K větám 1.13 a 1.14
Mějme kanonickou bázi v R2 a v R3 zvolme bázi (2, 0, −1), (1, 1, 1) a
(0, 1, 0)
x = x1 · (1, 0) + x2 · (0, 1) =⇒ ϕ(x) = x1 · (2, 0, −1) + x2 · (1, 1, 1)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 13.5.–14.5.2020 3 / 13
K větám 1.13 a 1.14
Mějme kanonickou bázi v R2 a v R3 zvolme bázi (2, 0, −1), (1, 1, 1) a
(0, 1, 0)
x = x1 · (1, 0) + x2 · (0, 1) =⇒ ϕ(x) = x1 · (2, 0, −1) + x2 · (1, 1, 1)
ϕ(x) = x1 · (2, 0, 1) + x2 · (1, 1, 1) + x3 · (0, 1, 0)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 13.5.–14.5.2020 3 / 13
K větám 1.13 a 1.14
Mějme kanonickou bázi v R2 a v R3 zvolme bázi (2, 0, −1), (1, 1, 1) a
(0, 1, 0)
x = x1 · (1, 0) + x2 · (0, 1) =⇒ ϕ(x) = x1 · (2, 0, −1) + x2 · (1, 1, 1)
ϕ(x) = x1 · (2, 0, 1) + x2 · (1, 1, 1) + x3 · (0, 1, 0)
ϕ(x) = x1 · (1 · (2, 0, 1) + 0 · (1, 1, 1) + 0 · (0, 1, 0)) +
= x2 · (0 · (2, 0, 1) + 1 · (1, 1, 1) + 0 · (0, 1, 0))
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 13.5.–14.5.2020 3 / 13
K větám 1.13 a 1.14
Mějme kanonickou bázi v R2 a v R3 zvolme bázi (2, 0, −1), (1, 1, 1) a
(0, 1, 0)
x = x1 · (1, 0) + x2 · (0, 1) =⇒ ϕ(x) = x1 · (2, 0, −1) + x2 · (1, 1, 1)
ϕ(x) = x1 · (2, 0, 1) + x2 · (1, 1, 1) + x3 · (0, 1, 0)
ϕ(x) = x1 · (1 · (2, 0, 1) + 0 · (1, 1, 1) + 0 · (0, 1, 0)) +
= x2 · (0 · (2, 0, 1) + 1 · (1, 1, 1) + 0 · (0, 1, 0))
x1 = x1, x2 = x2, x3 = 0
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 13.5.–14.5.2020 3 / 13
K větám 1.13 a 1.14
Mějme kanonickou bázi v R2 a v R3 zvolme bázi (2, 0, −1), (1, 1, 1) a
(0, 1, 0)
x = x1 · (1, 0) + x2 · (0, 1) =⇒ ϕ(x) = x1 · (2, 0, −1) + x2 · (1, 1, 1)
ϕ(x) = x1 · (2, 0, 1) + x2 · (1, 1, 1) + x3 · (0, 1, 0)
ϕ(x) = x1 · (1 · (2, 0, 1) + 0 · (1, 1, 1) + 0 · (0, 1, 0)) +
= x2 · (0 · (2, 0, 1) + 1 · (1, 1, 1) + 0 · (0, 1, 0))
x1 = x1, x2 = x2, x3 = 0


x1
x2
x3

 =


1 0
0 1
0 0

 ·
x1
x2
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 13.5.–14.5.2020 3 / 13
7.2.B4 b)
Lineární transformace ϕ: R3 → R3 je dána vztahem
ϕ((x1, x2, x3)) = (x2 + x3, 2x1 + x3, x1 − 3x2 + x3).
Nalezněte matici lineární transformace ϕ v bázi u1 = (1, 1, 1), u2 =
(0, 1, 1), u3 = (0, 0, −1).
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 13.5.–14.5.2020 4 / 13
7.2.B4 b)
Lineární transformace ϕ: R3 → R3 je dána vztahem
ϕ((x1, x2, x3)) = (x2 + x3, 2x1 + x3, x1 − 3x2 + x3).
Nalezněte matici lineární transformace ϕ v bázi u1 = (1, 1, 1), u2 =
(0, 1, 1), u3 = (0, 0, −1).
Řešení:
(2, 3, −1) = ϕ((1, 1, 1)) = a11(1, 1, 1) + a21(0, 1, 1) + a31(0, 0, −1)
(2, 1, −2) = ϕ((0, 1, 1)) = a12(1, 1, 1) + a22(0, 1, 1) + a32(0, 0, −1)
(−1, −1, −1) = ϕ((0, 0, −1)) = a13(1, 1, 1) + a23(0, 1, 1) + a33(0, 0, −1)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 13.5.–14.5.2020 4 / 13
7.2.B4 b)
Lineární transformace ϕ: R3 → R3 je dána vztahem
ϕ((x1, x2, x3)) = (x2 + x3, 2x1 + x3, x1 − 3x2 + x3).
Nalezněte matici lineární transformace ϕ v bázi u1 = (1, 1, 1), u2 =
(0, 1, 1), u3 = (0, 0, −1).
Řešení:
(2, 3, −1) = ϕ((1, 1, 1)) = a11(1, 1, 1) + a21(0, 1, 1) + a31(0, 0, −1)
(2, 1, −2) = ϕ((0, 1, 1)) = a12(1, 1, 1) + a22(0, 1, 1) + a32(0, 0, −1)
(−1, −1, −1) = ϕ((0, 0, −1)) = a13(1, 1, 1) + a23(0, 1, 1) + a33(0, 0, −1)


1 0 0 2 2 −1
1 1 0 3 1 −1
1 1 −1 −1 −2 −1

 ∼
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 13.5.–14.5.2020 4 / 13
7.2.B4 b)
Lineární transformace ϕ: R3 → R3 je dána vztahem
ϕ((x1, x2, x3)) = (x2 + x3, 2x1 + x3, x1 − 3x2 + x3).
Nalezněte matici lineární transformace ϕ v bázi u1 = (1, 1, 1), u2 =
(0, 1, 1), u3 = (0, 0, −1).
Řešení:
(2, 3, −1) = ϕ((1, 1, 1)) = a11(1, 1, 1) + a21(0, 1, 1) + a31(0, 0, −1)
(2, 1, −2) = ϕ((0, 1, 1)) = a12(1, 1, 1) + a22(0, 1, 1) + a32(0, 0, −1)
(−1, −1, −1) = ϕ((0, 0, −1)) = a13(1, 1, 1) + a23(0, 1, 1) + a33(0, 0, −1)


1 0 0 2 2 −1
1 1 0 3 1 −1
1 1 −1 −1 −2 −1

 ∼


1 0 0 2 2 −1
0 1 0 1 −1 0
0 0 1 4 3 0


Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 13.5.–14.5.2020 4 / 13
7.2.B13 b)
Nechť ϕ, ψ jsou transformace vektorového prostoru R2 definované
ϕ((x1, x2)) = (2x1 + x2, x1 − x2), ψ((x1, x2)) = (x1, x1 + 3x2).
Nalezněte matici lineární transformace ψ ◦ ϕ.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 13.5.–14.5.2020 5 / 13
7.2.B13 b)
Nechť ϕ, ψ jsou transformace vektorového prostoru R2 definované
ϕ((x1, x2)) = (2x1 + x2, x1 − x2), ψ((x1, x2)) = (x1, x1 + 3x2).
Nalezněte matici lineární transformace ψ ◦ ϕ.
Řešení:
(4, −1) = ϕ(1, 2) = a11(1, 2) + a21(2, 3)
(7, −1) = ϕ(2, 3) = a12(1, 2) + a22(2, 3)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 13.5.–14.5.2020 5 / 13
7.2.B13 b)
Nechť ϕ, ψ jsou transformace vektorového prostoru R2 definované
ϕ((x1, x2)) = (2x1 + x2, x1 − x2), ψ((x1, x2)) = (x1, x1 + 3x2).
Nalezněte matici lineární transformace ψ ◦ ϕ.
Řešení:
(4, −1) = ϕ(1, 2) = a11(1, 2) + a21(2, 3)
(7, −1) = ϕ(2, 3) = a12(1, 2) + a22(2, 3)
1 2 4 7
2 3 −1 −1
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 13.5.–14.5.2020 5 / 13
7.2.B13 b)
Nechť ϕ, ψ jsou transformace vektorového prostoru R2 definované
ϕ((x1, x2)) = (2x1 + x2, x1 − x2), ψ((x1, x2)) = (x1, x1 + 3x2).
Nalezněte matici lineární transformace ψ ◦ ϕ.
Řešení:
(4, −1) = ϕ(1, 2) = a11(1, 2) + a21(2, 3)
(7, −1) = ϕ(2, 3) = a12(1, 2) + a22(2, 3)
1 2 4 7
2 3 −1 −1
∼
1 2 4 7
0 −1 −9 −15
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 13.5.–14.5.2020 5 / 13
7.2.B13 b)
Nechť ϕ, ψ jsou transformace vektorového prostoru R2 definované
ϕ((x1, x2)) = (2x1 + x2, x1 − x2), ψ((x1, x2)) = (x1, x1 + 3x2).
Nalezněte matici lineární transformace ψ ◦ ϕ.
Řešení:
(4, −1) = ϕ(1, 2) = a11(1, 2) + a21(2, 3)
(7, −1) = ϕ(2, 3) = a12(1, 2) + a22(2, 3)
1 2 4 7
2 3 −1 −1
∼
1 2 4 7
0 −1 −9 −15
∼
1 0 −14 −23
0 1 9 15
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 13.5.–14.5.2020 5 / 13
7.2.B13 b)
Nechť ϕ, ψ jsou transformace vektorového prostoru R2 definované
ϕ((x1, x2)) = (2x1 + x2, x1 − x2), ψ((x1, x2)) = (x1, x1 + 3x2).
Nalezněte matici lineární transformace ψ ◦ ϕ.
Řešení:
(4, −1) = ϕ(1, 2) = a11(1, 2) + a21(2, 3)
(7, −1) = ϕ(2, 3) = a12(1, 2) + a22(2, 3)
1 2 4 7
2 3 −1 −1
∼
1 2 4 7
0 −1 −9 −15
∼
1 0 −14 −23
0 1 9 15
Analogicky:
1 2 1 2
2 3 7 11
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 13.5.–14.5.2020 5 / 13
7.2.B13 b)
Nechť ϕ, ψ jsou transformace vektorového prostoru R2 definované
ϕ((x1, x2)) = (2x1 + x2, x1 − x2), ψ((x1, x2)) = (x1, x1 + 3x2).
Nalezněte matici lineární transformace ψ ◦ ϕ.
Řešení:
(4, −1) = ϕ(1, 2) = a11(1, 2) + a21(2, 3)
(7, −1) = ϕ(2, 3) = a12(1, 2) + a22(2, 3)
1 2 4 7
2 3 −1 −1
∼
1 2 4 7
0 −1 −9 −15
∼
1 0 −14 −23
0 1 9 15
Analogicky:
1 2 1 2
2 3 7 11
∼
1 2 1 2
0 −1 5 7
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 13.5.–14.5.2020 5 / 13
7.2.B13 b)
Nechť ϕ, ψ jsou transformace vektorového prostoru R2 definované
ϕ((x1, x2)) = (2x1 + x2, x1 − x2), ψ((x1, x2)) = (x1, x1 + 3x2).
Nalezněte matici lineární transformace ψ ◦ ϕ.
Řešení:
(4, −1) = ϕ(1, 2) = a11(1, 2) + a21(2, 3)
(7, −1) = ϕ(2, 3) = a12(1, 2) + a22(2, 3)
1 2 4 7
2 3 −1 −1
∼
1 2 4 7
0 −1 −9 −15
∼
1 0 −14 −23
0 1 9 15
Analogicky:
1 2 1 2
2 3 7 11
∼
1 2 1 2
0 −1 5 7
∼
1 0 11 16
0 1 −5 −7
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 13.5.–14.5.2020 5 / 13
ψ ◦ ϕ = ψ(ϕ(x)) = ψ((2x1 + x2, x1 − x2)) = (2x1 + x2, 5x1 − 2x2)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 13.5.–14.5.2020 6 / 13
ψ ◦ ϕ = ψ(ϕ(x)) = ψ((2x1 + x2, x1 − x2)) = (2x1 + x2, 5x1 − 2x2)
11 16
−5 −7
·
−14 −23
9 15
=
−10 −13
7 10
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 13.5.–14.5.2020 6 / 13
7.2. A2
U.p. lineární transformace ϕ vektorového prostoru R3 tak, že Ker, ϕ =
[(1, 2, 3), (4, 5, 6)], resp. Im, ϕ = [(1, 2, 3), (4, 5, 6)].
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 13.5.–14.5.2020 7 / 13
7.2. A2
U.p. lineární transformace ϕ vektorového prostoru R3 tak, že Ker, ϕ =
[(1, 2, 3), (4, 5, 6)], resp. Im, ϕ = [(1, 2, 3), (4, 5, 6)].
Řešení:
ϕ(1, 2, 3) = (0, 0, 0), ϕ(4, 5, 6) = (0, 0, 0),
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 13.5.–14.5.2020 7 / 13
7.2. A2
U.p. lineární transformace ϕ vektorového prostoru R3 tak, že Ker, ϕ =
[(1, 2, 3), (4, 5, 6)], resp. Im, ϕ = [(1, 2, 3), (4, 5, 6)].
Řešení:
ϕ(1, 2, 3) = (0, 0, 0), ϕ(4, 5, 6) = (0, 0, 0), ϕ(1, 0, 0) = (1, 0, 0),
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 13.5.–14.5.2020 7 / 13
7.2. A2
U.p. lineární transformace ϕ vektorového prostoru R3 tak, že Ker, ϕ =
[(1, 2, 3), (4, 5, 6)], resp. Im, ϕ = [(1, 2, 3), (4, 5, 6)].
Řešení:
ϕ(1, 2, 3) = (0, 0, 0), ϕ(4, 5, 6) = (0, 0, 0), ϕ(1, 0, 0) = (1, 0, 0),
resp. ϕ(1, 0, 0) = (1, 2, 3), ϕ(0, 1, 0) = (4, 5, 6),
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 13.5.–14.5.2020 7 / 13
7.2. A2
U.p. lineární transformace ϕ vektorového prostoru R3 tak, že Ker, ϕ =
[(1, 2, 3), (4, 5, 6)], resp. Im, ϕ = [(1, 2, 3), (4, 5, 6)].
Řešení:
ϕ(1, 2, 3) = (0, 0, 0), ϕ(4, 5, 6) = (0, 0, 0), ϕ(1, 0, 0) = (1, 0, 0),
resp. ϕ(1, 0, 0) = (1, 2, 3), ϕ(0, 1, 0) = (4, 5, 6), ϕ(1, 0, 0) = (0, 0, 0)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 13.5.–14.5.2020 7 / 13
7.2. A2
U.p. lineární transformace ϕ vektorového prostoru R3 tak, že Ker, ϕ =
[(1, 2, 3), (4, 5, 6)], resp. Im, ϕ = [(1, 2, 3), (4, 5, 6)].
Řešení:
ϕ(1, 2, 3) = (0, 0, 0), ϕ(4, 5, 6) = (0, 0, 0), ϕ(1, 0, 0) = (1, 0, 0),
resp. ϕ(1, 0, 0) = (1, 2, 3), ϕ(0, 1, 0) = (4, 5, 6), ϕ(1, 0, 0) = (0, 0, 0)
7.2. A3
U.p. neidentické lineární transformace vektorového prostoru R4 tak, že
platí R4 = Ker ϕ ˙+Im ϕ.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 13.5.–14.5.2020 7 / 13
7.2. A2
U.p. lineární transformace ϕ vektorového prostoru R3 tak, že Ker, ϕ =
[(1, 2, 3), (4, 5, 6)], resp. Im, ϕ = [(1, 2, 3), (4, 5, 6)].
Řešení:
ϕ(1, 2, 3) = (0, 0, 0), ϕ(4, 5, 6) = (0, 0, 0), ϕ(1, 0, 0) = (1, 0, 0),
resp. ϕ(1, 0, 0) = (1, 2, 3), ϕ(0, 1, 0) = (4, 5, 6), ϕ(1, 0, 0) = (0, 0, 0)
7.2. A3
U.p. neidentické lineární transformace vektorového prostoru R4 tak, že
platí R4 = Ker ϕ ˙+Im ϕ.
Řešení:
ϕ(1, 0, 0, 0) = o,
ϕ(0, 1, 0, 0) = o,
ϕ(0, 0, 1, 0) = (0, 0, 1, 0),
ϕ(0, 0, 0, 1) = (0, 0, 0, 1)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 13.5.–14.5.2020 7 / 13
7.2. A4
U.p. lineární transformace ϕ vektorového prostoru R4 (resp. R5) tak, že
platí Ker ϕ = Im ϕ.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 13.5.–14.5.2020 8 / 13
7.2. A4
U.p. lineární transformace ϕ vektorového prostoru R4 (resp. R5) tak, že
platí Ker ϕ = Im ϕ.
Řešení:
ϕ(1, 0, 0, 0) = o,
ϕ(0, 1, 0, 0) = o,
ϕ(0, 0, 1, 0) = (1, 0, 0, 0),
ϕ(0, 0, 0, 1) = (0, 1, 0, 0),
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 13.5.–14.5.2020 8 / 13
7.2. A4
U.p. lineární transformace ϕ vektorového prostoru R4 (resp. R5) tak, že
platí Ker ϕ = Im ϕ.
Řešení:
ϕ(1, 0, 0, 0) = o,
ϕ(0, 1, 0, 0) = o,
ϕ(0, 0, 1, 0) = (1, 0, 0, 0),
ϕ(0, 0, 0, 1) = (0, 1, 0, 0),
resp. neexistuje.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 13.5.–14.5.2020 8 / 13
7.2. A4
U.p. lineární transformace ϕ vektorového prostoru R4 (resp. R5) tak, že
platí Ker ϕ = Im ϕ.
Řešení:
ϕ(1, 0, 0, 0) = o,
ϕ(0, 1, 0, 0) = o,
ϕ(0, 0, 1, 0) = (1, 0, 0, 0),
ϕ(0, 0, 0, 1) = (0, 1, 0, 0),
resp. neexistuje.
7.2. A10 a)
U.p. podmínky, která je nutná, ale není dostatečná pro to, aby lineární
transformace ϕ vektorového prostoru V byla bijektivním zobrazením.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 13.5.–14.5.2020 8 / 13
7.2. A4
U.p. lineární transformace ϕ vektorového prostoru R4 (resp. R5) tak, že
platí Ker ϕ = Im ϕ.
Řešení:
ϕ(1, 0, 0, 0) = o,
ϕ(0, 1, 0, 0) = o,
ϕ(0, 0, 1, 0) = (1, 0, 0, 0),
ϕ(0, 0, 0, 1) = (0, 1, 0, 0),
resp. neexistuje.
7.2. A10 a)
U.p. podmínky, která je nutná, ale není dostatečná pro to, aby lineární
transformace ϕ vektorového prostoru V byla bijektivním zobrazením.
Řešení: ϕ(o) = o
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 13.5.–14.5.2020 8 / 13
7.4.B1 a)
Nechť R2 je euklidovský prostor, v němž skalární součin je definován
takto:
u · v = (x1, x2) · (y1, y2) = 2x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2.
Rozhodněte, zda zobrazení f : R2 → R2 je ortogonální zobrazení:
f((x1, x2)) =
x2
√
2
, x1
√
2 .
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 13.5.–14.5.2020 9 / 13
7.4.B1 a)
Nechť R2 je euklidovský prostor, v němž skalární součin je definován
takto:
u · v = (x1, x2) · (y1, y2) = 2x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2.
Rozhodněte, zda zobrazení f : R2 → R2 je ortogonální zobrazení:
f((x1, x2)) =
x2
√
2
, x1
√
2 .
Řešení: Zobrazení je zřejmě lineární.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 13.5.–14.5.2020 9 / 13
7.4.B1 a)
Nechť R2 je euklidovský prostor, v němž skalární součin je definován
takto:
u · v = (x1, x2) · (y1, y2) = 2x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2.
Rozhodněte, zda zobrazení f : R2 → R2 je ortogonální zobrazení:
f((x1, x2)) =
x2
√
2
, x1
√
2 .
Řešení: Zobrazení je zřejmě lineární. Navíc
f(u) · f(v) =
x2
√
2
, x1
√
2 ·
y2
√
2
, y1
√
2 =
= x2y2 + x2y1 + x1y2 + 2x1y1.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 13.5.–14.5.2020 9 / 13
7.4.B1 a)
Nechť R2 je euklidovský prostor, v němž skalární součin je definován
takto:
u · v = (x1, x2) · (y1, y2) = 2x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2.
Rozhodněte, zda zobrazení f : R2 → R2 je ortogonální zobrazení:
f((x1, x2)) =
x2
√
2
, x1
√
2 .
Řešení: Zobrazení je zřejmě lineární. Navíc
f(u) · f(v) =
x2
√
2
, x1
√
2 ·
y2
√
2
, y1
√
2 =
= x2y2 + x2y1 + x1y2 + 2x1y1.
Tedy je ortogonální.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 13.5.–14.5.2020 9 / 13
7.4.B1 e)
Nechť R3 je euklidovský prostor s obvyklým skalárním součinem, resp.
R2 je euklidovský prostor, v němž skalární součin je definován takto:
(x1, x2) · (y1, y2) = 2x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2.
Rozhodněte, zda zobrazení f : R3 → R2 je ortogonální zobrazení:
f((x1, x2, x3)) = (x1 + x2, x3) .
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 13.5.–14.5.2020 10 / 13
7.4.B1 e)
Nechť R3 je euklidovský prostor s obvyklým skalárním součinem, resp.
R2 je euklidovský prostor, v němž skalární součin je definován takto:
(x1, x2) · (y1, y2) = 2x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2.
Rozhodněte, zda zobrazení f : R3 → R2 je ortogonální zobrazení:
f((x1, x2, x3)) = (x1 + x2, x3) .
Řešení: Zobrazení je zřejmě lineární.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 13.5.–14.5.2020 10 / 13
7.4.B1 e)
Nechť R3 je euklidovský prostor s obvyklým skalárním součinem, resp.
R2 je euklidovský prostor, v němž skalární součin je definován takto:
(x1, x2) · (y1, y2) = 2x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2.
Rozhodněte, zda zobrazení f : R3 → R2 je ortogonální zobrazení:
f((x1, x2, x3)) = (x1 + x2, x3) .
Řešení: Zobrazení je zřejmě lineární. Dále
u · v = x1y1 + x2y2 + x3y3,
f(u) · f(v) = (x1 + x2, x3) · (y1 + y2, y3) =
= 2x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2 + x1y3 + x2y3 + x3y1 + x3y2 + x3y3.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 13.5.–14.5.2020 10 / 13
7.4.B1 e)
Nechť R3 je euklidovský prostor s obvyklým skalárním součinem, resp.
R2 je euklidovský prostor, v němž skalární součin je definován takto:
(x1, x2) · (y1, y2) = 2x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2.
Rozhodněte, zda zobrazení f : R3 → R2 je ortogonální zobrazení:
f((x1, x2, x3)) = (x1 + x2, x3) .
Řešení: Zobrazení je zřejmě lineární. Dále
u · v = x1y1 + x2y2 + x3y3,
f(u) · f(v) = (x1 + x2, x3) · (y1 + y2, y3) =
= 2x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2 + x1y3 + x2y3 + x3y1 + x3y2 + x3y3.
Zobrazení není ortogonální.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 13.5.–14.5.2020 10 / 13
7.4.B13 b)
Rozhodněte, zda-li matice
A =
1
3


2 1 2
−1 −2 2
2 −2 −1


je ortogonální.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 13.5.–14.5.2020 11 / 13
7.4.B13 b)
Rozhodněte, zda-li matice
A =
1
3


2 1 2
−1 −2 2
2 −2 −1


je ortogonální.
Řešení:
A · AT
=
1
3


2 1 2
−1 −2 2
2 −2 −1

 ·
1
3


2 −1 2
1 −2 −2
2 2 −1

 =
1
9


9 0 0
0 9 0
0 0 9


Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 13.5.–14.5.2020 11 / 13
7.4.B13 b)
Rozhodněte, zda-li matice
A =
1
3


2 1 2
−1 −2 2
2 −2 −1


je ortogonální.
Řešení:
A · AT
=
1
3


2 1 2
−1 −2 2
2 −2 −1

 ·
1
3


2 −1 2
1 −2 −2
2 2 −1

 =
1
9


9 0 0
0 9 0
0 0 9


Ano, matice A je ortogonální.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 13.5.–14.5.2020 11 / 13
7.4. B14 a)
Určete čísla r, s, t ∈ R tak, aby matice A ∈ Mat33(R) byla ortogonální
a určete det A.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 13.5.–14.5.2020 12 / 13
7.4. B14 a)
Určete čísla r, s, t ∈ R tak, aby matice A ∈ Mat33(R) byla ortogonální
a určete det A.
Řešení:




r 0 2s
− 1√
3
t 1√
6
−r − 1√
2
s



 ·




r − 1√
3
−r
0 t − 1√
2
2s 1√
6
s



 =
=




r2 + 4s2 − r√
3
+ 2s√
6
−r2 + 2s2
− r√
3
+ 2s√
6
t2 + 1
2
r√
3
− t√
2
+ s√
6
−r2 + 2s2 r√
3
− t√
2
+ s√
6
r2 + s2 + 1
2




Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 13.5.–14.5.2020 12 / 13
r2 + 4s2 = 1
t2 = 1
2
r2 + s2 = 1
2
− r√
3
+ 2s√
6
= 0
−r2 + 2s2 = 0
r√
3
+ s√
6
− t√
2
= 0
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 13.5.–14.5.2020 13 / 13
r2 + 4s2 = 1
t2 = 1
2
r2 + s2 = 1
2
− r√
3
+ 2s√
6
= 0
−r2 + 2s2 = 0
r√
3
+ s√
6
− t√
2
= 0
r =
1
√
3
, s =
1
√
6
, t =
1
√
2
nebo
r = −
1
√
3
, s = −
1
√
6
, t = −
1
√
2
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 13.5.–14.5.2020 13 / 13