Lineární algebra
Řešení cvičení
Petr Liška
Masarykova univerzita
9.3.–13.3.2020
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 9.3.–13.3.2020 1 / 7
3.3.B18b
Nechť u, v, w jsou LN vektory ve vektorovém prostoru V (nad T).
Rozhodněte zda-li vektory (2u + 3v + 3w), (u + 4v − w), (3u + 5v + 4w)
jsou LN nebo LZ.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 9.3.–13.3.2020 2 / 7
3.3.B18b
Nechť u, v, w jsou LN vektory ve vektorovém prostoru V (nad T).
Rozhodněte zda-li vektory (2u + 3v + 3w), (u + 4v − w), (3u + 5v + 4w)
jsou LN nebo LZ.
Řešení:
t1 · (2u + 3v + 3w) + t2 · (u + 4v − w) + t3 · (3u + 5v + 4w) = o
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 9.3.–13.3.2020 2 / 7
3.3.B18b
Nechť u, v, w jsou LN vektory ve vektorovém prostoru V (nad T).
Rozhodněte zda-li vektory (2u + 3v + 3w), (u + 4v − w), (3u + 5v + 4w)
jsou LN nebo LZ.
Řešení:
t1 · (2u + 3v + 3w) + t2 · (u + 4v − w) + t3 · (3u + 5v + 4w) = o


2 1 3 0
3 4 5 0
3 −1 4 0

 ∼


2 1 3 0
0 5 1 0
0 −5 −1 0


Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 9.3.–13.3.2020 2 / 7
3.3.B18b
Nechť u, v, w jsou LN vektory ve vektorovém prostoru V (nad T).
Rozhodněte zda-li vektory (2u + 3v + 3w), (u + 4v − w), (3u + 5v + 4w)
jsou LN nebo LZ.
Řešení:
t1 · (2u + 3v + 3w) + t2 · (u + 4v − w) + t3 · (3u + 5v + 4w) = o


2 1 3 0
3 4 5 0
3 −1 4 0

 ∼


2 1 3 0
0 5 1 0
0 −5 −1 0


(7, −1, 5) =⇒ u + 4v − w = 7 · (2u + 3v + 3w) − 5 · (3u + 5v + 4w)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 9.3.–13.3.2020 2 / 7
3.3.A3
U.P. různých vektorů u, v, w ∈ R4 tak, že vektor u generuje tentýž
podprostor v R4, jako vektory v, w.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 9.3.–13.3.2020 3 / 7
3.3.A3
U.P. různých vektorů u, v, w ∈ R4 tak, že vektor u generuje tentýž
podprostor v R4, jako vektory v, w.
Řešení: u = (1, 1, 0, 0), v = (2, 2, 0, 0), w = (3, 3, 0, 0)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 9.3.–13.3.2020 3 / 7
3.3.A3
U.P. různých vektorů u, v, w ∈ R4 tak, že vektor u generuje tentýž
podprostor v R4, jako vektory v, w.
Řešení: u = (1, 1, 0, 0), v = (2, 2, 0, 0), w = (3, 3, 0, 0)
3.3.A6
U.P. vektorů u, v, w ∈ R4, které jsou lineárně závislé, a vektor u nelze
vyjádřit jako kombinaci v a w.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 9.3.–13.3.2020 3 / 7
3.3.A3
U.P. různých vektorů u, v, w ∈ R4 tak, že vektor u generuje tentýž
podprostor v R4, jako vektory v, w.
Řešení: u = (1, 1, 0, 0), v = (2, 2, 0, 0), w = (3, 3, 0, 0)
3.3.A6
U.P. vektorů u, v, w ∈ R4, které jsou lineárně závislé, a vektor u nelze
vyjádřit jako kombinaci v a w.
Řešení: u = (1, 0, 0, 0), v = (0, 1, 0, 0), w = (0, 2, 0, 0)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 9.3.–13.3.2020 3 / 7
3.3.A9
U.p. vektorů z R3, které
a) jsou LN a negenerují prostor R3
b) jsou LN a generují prostor R3
c) jsou LZ a negenerují prostor R3
d) jsou LZ a generují prostor R3
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 9.3.–13.3.2020 4 / 7
3.3.A9
U.p. vektorů z R3, které
a) jsou LN a negenerují prostor R3
b) jsou LN a generují prostor R3
c) jsou LZ a negenerují prostor R3
d) jsou LZ a generují prostor R3
Řešení:
a) (1, 0, 0), (0, 1, 0)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 9.3.–13.3.2020 4 / 7
3.3.A9
U.p. vektorů z R3, které
a) jsou LN a negenerují prostor R3
b) jsou LN a generují prostor R3
c) jsou LZ a negenerují prostor R3
d) jsou LZ a generují prostor R3
Řešení:
a) (1, 0, 0), (0, 1, 0)
b) (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 9.3.–13.3.2020 4 / 7
3.3.A9
U.p. vektorů z R3, které
a) jsou LN a negenerují prostor R3
b) jsou LN a generují prostor R3
c) jsou LZ a negenerují prostor R3
d) jsou LZ a generují prostor R3
Řešení:
a) (1, 0, 0), (0, 1, 0)
b) (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)
c) (1, 0, 0), (2, 0, 0)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 9.3.–13.3.2020 4 / 7
3.3.A9
U.p. vektorů z R3, které
a) jsou LN a negenerují prostor R3
b) jsou LN a generují prostor R3
c) jsou LZ a negenerují prostor R3
d) jsou LZ a generují prostor R3
Řešení:
a) (1, 0, 0), (0, 1, 0)
b) (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)
c) (1, 0, 0), (2, 0, 0)
d) (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 1)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 9.3.–13.3.2020 4 / 7
3.4.B3c)
Určete všechny hodnoty parametru a, pro něž vektory f1 = ax2−4x−1,
f2 = 4x2 − 6x − 3, f3 = x2 + x − a tvoří bázi prostoru R2[x].
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 9.3.–13.3.2020 5 / 7
3.4.B3c)
Určete všechny hodnoty parametru a, pro něž vektory f1 = ax2−4x−1,
f2 = 4x2 − 6x − 3, f3 = x2 + x − a tvoří bázi prostoru R2[x].
Řešení: t1 · (ax2 − 4x − 1) + t2 · (4x2 − 6x − 3) + t3 · (x2 + x − a) = 0
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 9.3.–13.3.2020 5 / 7
3.4.B3c)
Určete všechny hodnoty parametru a, pro něž vektory f1 = ax2−4x−1,
f2 = 4x2 − 6x − 3, f3 = x2 + x − a tvoří bázi prostoru R2[x].
Řešení: t1 · (ax2 − 4x − 1) + t2 · (4x2 − 6x − 3) + t3 · (x2 + x − a) = 0


a 4 1 0
−4 −6 1 0
−1 −3 a 0

 ∼


−1 −3 a 0
−4 −6 1 0
a 4 1 0

 ∼


−1 −3 a 0
0 6 1 + 4a 0
0 4 − 3a 1 − a2
0

 ∼
∼


−1 −3 a 0
0 6 1 + 4a 0
0 0 6a2
− 13a + 2 0


Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 9.3.–13.3.2020 5 / 7
3.4.B3c)
Určete všechny hodnoty parametru a, pro něž vektory f1 = ax2−4x−1,
f2 = 4x2 − 6x − 3, f3 = x2 + x − a tvoří bázi prostoru R2[x].
Řešení: t1 · (ax2 − 4x − 1) + t2 · (4x2 − 6x − 3) + t3 · (x2 + x − a) = 0


a 4 1 0
−4 −6 1 0
−1 −3 a 0

 ∼


−1 −3 a 0
−4 −6 1 0
a 4 1 0

 ∼


−1 −3 a 0
0 6 1 + 4a 0
0 4 − 3a 1 − a2
0

 ∼
∼


−1 −3 a 0
0 6 1 + 4a 0
0 0 6a2
− 13a + 2 0


a = 2 ∧ a = 1
6 =⇒ LN =⇒ Báze
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 9.3.–13.3.2020 5 / 7
3.4.A3
Uveďte, co všechno můžete říci o čísle n, víte-li, že vektory
u1, u2, u3, u4
a) generují vektorový prostor Qn
b) jsou LN vektory v Rn[x]
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 9.3.–13.3.2020 6 / 7
3.4.A3
Uveďte, co všechno můžete říci o čísle n, víte-li, že vektory
u1, u2, u3, u4
a) generují vektorový prostor Qn
b) jsou LN vektory v Rn[x]
Řešení:
a) n ≤ 4
b) n ≥ 3
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 9.3.–13.3.2020 6 / 7
3.4.A3
Uveďte, co všechno můžete říci o čísle n, víte-li, že vektory
u1, u2, u3, u4
a) generují vektorový prostor Qn
b) jsou LN vektory v Rn[x]
Řešení:
a) n ≤ 4
b) n ≥ 3
3.4.A8a)
U.p. podprostorů W1, W2 ve vektorovém prostoru Q3 takových, že
dim W1 = dim W2 ∧ W1 = W2.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 9.3.–13.3.2020 6 / 7
3.4.A3
Uveďte, co všechno můžete říci o čísle n, víte-li, že vektory
u1, u2, u3, u4
a) generují vektorový prostor Qn
b) jsou LN vektory v Rn[x]
Řešení:
a) n ≤ 4
b) n ≥ 3
3.4.A8a)
U.p. podprostorů W1, W2 ve vektorovém prostoru Q3 takových, že
dim W1 = dim W2 ∧ W1 = W2.
Řešení: W1 = L((1, 0, 0)), W2 = L((0, 1, 0))
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 9.3.–13.3.2020 6 / 7
3.4.A9
U.p. dvou třídimenzionálních podprostorů W1, W2 ve vektorovém prostoru
R5 takových, že jejich součet je přímý.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 9.3.–13.3.2020 7 / 7
3.4.A9
U.p. dvou třídimenzionálních podprostorů W1, W2 ve vektorovém prostoru
R5 takových, že jejich součet je přímý.
Řešení:
dim W1 + dim W2 − dim W1 ∩ W2 = dim R5
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 9.3.–13.3.2020 7 / 7
3.4.A9
U.p. dvou třídimenzionálních podprostorů W1, W2 ve vektorovém prostoru
R5 takových, že jejich součet je přímý.
Řešení:
dim W1 + dim W2 − dim W1 ∩ W2 = dim R5
=⇒ 3 + 3 − 1 = 5
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 9.3.–13.3.2020 7 / 7
3.4.A9
U.p. dvou třídimenzionálních podprostorů W1, W2 ve vektorovém prostoru
R5 takových, že jejich součet je přímý.
Řešení:
dim W1 + dim W2 − dim W1 ∩ W2 = dim R5
=⇒ 3 + 3 − 1 = 5
3.4.A10a)
U.p. podmínky, která je nutná, ale není dostatečná pro to, aby dva
vektory u, v byly bází vektorového prostoru R2.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 9.3.–13.3.2020 7 / 7
3.4.A9
U.p. dvou třídimenzionálních podprostorů W1, W2 ve vektorovém prostoru
R5 takových, že jejich součet je přímý.
Řešení:
dim W1 + dim W2 − dim W1 ∩ W2 = dim R5
=⇒ 3 + 3 − 1 = 5
3.4.A10a)
U.p. podmínky, která je nutná, ale není dostatečná pro to, aby dva
vektory u, v byly bází vektorového prostoru R2.
Řešení:
u, v = o
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 9.3.–13.3.2020 7 / 7