Lineární algebra Řešení cvičení Petr Liška Masarykova univerzita 9.3.–13.3.2020 Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 9.3.–13.3.2020 1 / 7 3.3.B18b Nechť u, v, w jsou LN vektory ve vektorovém prostoru V (nad T). Rozhodněte zda-li vektory (2u + 3v + 3w), (u + 4v − w), (3u + 5v + 4w) jsou LN nebo LZ. Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 9.3.–13.3.2020 2 / 7 3.3.B18b Nechť u, v, w jsou LN vektory ve vektorovém prostoru V (nad T). Rozhodněte zda-li vektory (2u + 3v + 3w), (u + 4v − w), (3u + 5v + 4w) jsou LN nebo LZ. Řešení: t1 · (2u + 3v + 3w) + t2 · (u + 4v − w) + t3 · (3u + 5v + 4w) = o Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 9.3.–13.3.2020 2 / 7 3.3.B18b Nechť u, v, w jsou LN vektory ve vektorovém prostoru V (nad T). Rozhodněte zda-li vektory (2u + 3v + 3w), (u + 4v − w), (3u + 5v + 4w) jsou LN nebo LZ. Řešení: t1 · (2u + 3v + 3w) + t2 · (u + 4v − w) + t3 · (3u + 5v + 4w) = o 2 1 3 0 3 4 5 0 3 −1 4 0 ∼ 2 1 3 0 0 5 1 0 0 −5 −1 0 Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 9.3.–13.3.2020 2 / 7 3.3.B18b Nechť u, v, w jsou LN vektory ve vektorovém prostoru V (nad T). Rozhodněte zda-li vektory (2u + 3v + 3w), (u + 4v − w), (3u + 5v + 4w) jsou LN nebo LZ. Řešení: t1 · (2u + 3v + 3w) + t2 · (u + 4v − w) + t3 · (3u + 5v + 4w) = o 2 1 3 0 3 4 5 0 3 −1 4 0 ∼ 2 1 3 0 0 5 1 0 0 −5 −1 0 (7, −1, 5) =⇒ u + 4v − w = 7 · (2u + 3v + 3w) − 5 · (3u + 5v + 4w) Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 9.3.–13.3.2020 2 / 7 3.3.A3 U.P. různých vektorů u, v, w ∈ R4 tak, že vektor u generuje tentýž podprostor v R4, jako vektory v, w. Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 9.3.–13.3.2020 3 / 7 3.3.A3 U.P. různých vektorů u, v, w ∈ R4 tak, že vektor u generuje tentýž podprostor v R4, jako vektory v, w. Řešení: u = (1, 1, 0, 0), v = (2, 2, 0, 0), w = (3, 3, 0, 0) Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 9.3.–13.3.2020 3 / 7 3.3.A3 U.P. různých vektorů u, v, w ∈ R4 tak, že vektor u generuje tentýž podprostor v R4, jako vektory v, w. Řešení: u = (1, 1, 0, 0), v = (2, 2, 0, 0), w = (3, 3, 0, 0) 3.3.A6 U.P. vektorů u, v, w ∈ R4, které jsou lineárně závislé, a vektor u nelze vyjádřit jako kombinaci v a w. Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 9.3.–13.3.2020 3 / 7 3.3.A3 U.P. různých vektorů u, v, w ∈ R4 tak, že vektor u generuje tentýž podprostor v R4, jako vektory v, w. Řešení: u = (1, 1, 0, 0), v = (2, 2, 0, 0), w = (3, 3, 0, 0) 3.3.A6 U.P. vektorů u, v, w ∈ R4, které jsou lineárně závislé, a vektor u nelze vyjádřit jako kombinaci v a w. Řešení: u = (1, 0, 0, 0), v = (0, 1, 0, 0), w = (0, 2, 0, 0) Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 9.3.–13.3.2020 3 / 7 3.3.A9 U.p. vektorů z R3, které a) jsou LN a negenerují prostor R3 b) jsou LN a generují prostor R3 c) jsou LZ a negenerují prostor R3 d) jsou LZ a generují prostor R3 Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 9.3.–13.3.2020 4 / 7 3.3.A9 U.p. vektorů z R3, které a) jsou LN a negenerují prostor R3 b) jsou LN a generují prostor R3 c) jsou LZ a negenerují prostor R3 d) jsou LZ a generují prostor R3 Řešení: a) (1, 0, 0), (0, 1, 0) Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 9.3.–13.3.2020 4 / 7 3.3.A9 U.p. vektorů z R3, které a) jsou LN a negenerují prostor R3 b) jsou LN a generují prostor R3 c) jsou LZ a negenerují prostor R3 d) jsou LZ a generují prostor R3 Řešení: a) (1, 0, 0), (0, 1, 0) b) (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 9.3.–13.3.2020 4 / 7 3.3.A9 U.p. vektorů z R3, které a) jsou LN a negenerují prostor R3 b) jsou LN a generují prostor R3 c) jsou LZ a negenerují prostor R3 d) jsou LZ a generují prostor R3 Řešení: a) (1, 0, 0), (0, 1, 0) b) (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) c) (1, 0, 0), (2, 0, 0) Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 9.3.–13.3.2020 4 / 7 3.3.A9 U.p. vektorů z R3, které a) jsou LN a negenerují prostor R3 b) jsou LN a generují prostor R3 c) jsou LZ a negenerují prostor R3 d) jsou LZ a generují prostor R3 Řešení: a) (1, 0, 0), (0, 1, 0) b) (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) c) (1, 0, 0), (2, 0, 0) d) (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 1) Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 9.3.–13.3.2020 4 / 7 3.4.B3c) Určete všechny hodnoty parametru a, pro něž vektory f1 = ax2−4x−1, f2 = 4x2 − 6x − 3, f3 = x2 + x − a tvoří bázi prostoru R2[x]. Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 9.3.–13.3.2020 5 / 7 3.4.B3c) Určete všechny hodnoty parametru a, pro něž vektory f1 = ax2−4x−1, f2 = 4x2 − 6x − 3, f3 = x2 + x − a tvoří bázi prostoru R2[x]. Řešení: t1 · (ax2 − 4x − 1) + t2 · (4x2 − 6x − 3) + t3 · (x2 + x − a) = 0 Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 9.3.–13.3.2020 5 / 7 3.4.B3c) Určete všechny hodnoty parametru a, pro něž vektory f1 = ax2−4x−1, f2 = 4x2 − 6x − 3, f3 = x2 + x − a tvoří bázi prostoru R2[x]. Řešení: t1 · (ax2 − 4x − 1) + t2 · (4x2 − 6x − 3) + t3 · (x2 + x − a) = 0 a 4 1 0 −4 −6 1 0 −1 −3 a 0 ∼ −1 −3 a 0 −4 −6 1 0 a 4 1 0 ∼ −1 −3 a 0 0 6 1 + 4a 0 0 4 − 3a 1 − a2 0 ∼ ∼ −1 −3 a 0 0 6 1 + 4a 0 0 0 6a2 − 13a + 2 0 Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 9.3.–13.3.2020 5 / 7 3.4.B3c) Určete všechny hodnoty parametru a, pro něž vektory f1 = ax2−4x−1, f2 = 4x2 − 6x − 3, f3 = x2 + x − a tvoří bázi prostoru R2[x]. Řešení: t1 · (ax2 − 4x − 1) + t2 · (4x2 − 6x − 3) + t3 · (x2 + x − a) = 0 a 4 1 0 −4 −6 1 0 −1 −3 a 0 ∼ −1 −3 a 0 −4 −6 1 0 a 4 1 0 ∼ −1 −3 a 0 0 6 1 + 4a 0 0 4 − 3a 1 − a2 0 ∼ ∼ −1 −3 a 0 0 6 1 + 4a 0 0 0 6a2 − 13a + 2 0 a = 2 ∧ a = 1 6 =⇒ LN =⇒ Báze Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 9.3.–13.3.2020 5 / 7 3.4.A3 Uveďte, co všechno můžete říci o čísle n, víte-li, že vektory u1, u2, u3, u4 a) generují vektorový prostor Qn b) jsou LN vektory v Rn[x] Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 9.3.–13.3.2020 6 / 7 3.4.A3 Uveďte, co všechno můžete říci o čísle n, víte-li, že vektory u1, u2, u3, u4 a) generují vektorový prostor Qn b) jsou LN vektory v Rn[x] Řešení: a) n ≤ 4 b) n ≥ 3 Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 9.3.–13.3.2020 6 / 7 3.4.A3 Uveďte, co všechno můžete říci o čísle n, víte-li, že vektory u1, u2, u3, u4 a) generují vektorový prostor Qn b) jsou LN vektory v Rn[x] Řešení: a) n ≤ 4 b) n ≥ 3 3.4.A8a) U.p. podprostorů W1, W2 ve vektorovém prostoru Q3 takových, že dim W1 = dim W2 ∧ W1 = W2. Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 9.3.–13.3.2020 6 / 7 3.4.A3 Uveďte, co všechno můžete říci o čísle n, víte-li, že vektory u1, u2, u3, u4 a) generují vektorový prostor Qn b) jsou LN vektory v Rn[x] Řešení: a) n ≤ 4 b) n ≥ 3 3.4.A8a) U.p. podprostorů W1, W2 ve vektorovém prostoru Q3 takových, že dim W1 = dim W2 ∧ W1 = W2. Řešení: W1 = L((1, 0, 0)), W2 = L((0, 1, 0)) Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 9.3.–13.3.2020 6 / 7 3.4.A9 U.p. dvou třídimenzionálních podprostorů W1, W2 ve vektorovém prostoru R5 takových, že jejich součet je přímý. Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 9.3.–13.3.2020 7 / 7 3.4.A9 U.p. dvou třídimenzionálních podprostorů W1, W2 ve vektorovém prostoru R5 takových, že jejich součet je přímý. Řešení: dim W1 + dim W2 − dim W1 ∩ W2 = dim R5 Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 9.3.–13.3.2020 7 / 7 3.4.A9 U.p. dvou třídimenzionálních podprostorů W1, W2 ve vektorovém prostoru R5 takových, že jejich součet je přímý. Řešení: dim W1 + dim W2 − dim W1 ∩ W2 = dim R5 =⇒ 3 + 3 − 1 = 5 Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 9.3.–13.3.2020 7 / 7 3.4.A9 U.p. dvou třídimenzionálních podprostorů W1, W2 ve vektorovém prostoru R5 takových, že jejich součet je přímý. Řešení: dim W1 + dim W2 − dim W1 ∩ W2 = dim R5 =⇒ 3 + 3 − 1 = 5 3.4.A10a) U.p. podmínky, která je nutná, ale není dostatečná pro to, aby dva vektory u, v byly bází vektorového prostoru R2. Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 9.3.–13.3.2020 7 / 7 3.4.A9 U.p. dvou třídimenzionálních podprostorů W1, W2 ve vektorovém prostoru R5 takových, že jejich součet je přímý. Řešení: dim W1 + dim W2 − dim W1 ∩ W2 = dim R5 =⇒ 3 + 3 − 1 = 5 3.4.A10a) U.p. podmínky, která je nutná, ale není dostatečná pro to, aby dva vektory u, v byly bází vektorového prostoru R2. Řešení: u, v = o Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 9.3.–13.3.2020 7 / 7