Lineární algebra
Řešení cvičení
Petr Liška
Masarykova univerzita
8.4.–9.4.2020
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 8.4.–9.4.2020 1 / 12
4.4.B1a)
Určete hodnost matice
A =




0 4 10 1
4 8 18 7
10 18 40 17
1 7 17 3




Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 8.4.–9.4.2020 2 / 12
4.4.B1a)
Určete hodnost matice
A =




0 4 10 1
4 8 18 7
10 18 40 17
1 7 17 3




Řešení:




1 7 17 3
0 4 10 1
4 8 18 7
10 18 40 17




Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 8.4.–9.4.2020 2 / 12
4.4.B1a)
Určete hodnost matice
A =




0 4 10 1
4 8 18 7
10 18 40 17
1 7 17 3




Řešení:




1 7 17 3
0 4 10 1
4 8 18 7
10 18 40 17



 ∼




1 7 17 3
0 4 10 1
0 −20 −50 −5
0 −52 −130 −13




h(A) = 2
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 8.4.–9.4.2020 2 / 12
4.4.B4a)
Určete hodnost dané matice v závislosti na parametrech a, b ∈ R
A =


2 −1 a b
1 a −1 1
1 10 −6 1


Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 8.4.–9.4.2020 3 / 12
4.4.B4a)
Určete hodnost dané matice v závislosti na parametrech a, b ∈ R
A =


2 −1 a b
1 a −1 1
1 10 −6 1


Řešení:


1 10 −6 1
1 a −1 1
2 −1 a b

 ∼


1 10 −6 1
0 a − 10 5 0
0 −21 12 + a b − 2

 ∼
∼


1 10 −6 1
0 a − 10 5 0
0 0 (a + 5)(a − 3) (b − 2)(a − 10)


Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 8.4.–9.4.2020 3 / 12


1 10 −6 1
0 a − 10 5 0
0 0 (a + 5)(a − 3) (b − 2)(a − 10)


Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 8.4.–9.4.2020 4 / 12


1 10 −6 1
0 a − 10 5 0
0 0 (a + 5)(a − 3) (b − 2)(a − 10)


1. a = 3 a b = 2 nebo a = −5 a b = 2
h(A) = 2
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 8.4.–9.4.2020 4 / 12


1 10 −6 1
0 a − 10 5 0
0 0 (a + 5)(a − 3) (b − 2)(a − 10)


1. a = 3 a b = 2 nebo a = −5 a b = 2
h(A) = 2
2. jinak
h(A) = 3
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 8.4.–9.4.2020 4 / 12


1 10 −6 1
0 a − 10 5 0
0 0 (a + 5)(a − 3) (b − 2)(a − 10)


1. a = 3 a b = 2 nebo a = −5 a b = 2
h(A) = 2
2. jinak
h(A) = 3
a = 10 

1 10 −6 1
0 −21 22 0
0 0 5 0


Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 8.4.–9.4.2020 4 / 12
4.4.A2
Nechť v matici A ∈ Mat69(Q) existuje nenulový minor řádu 4. Uveďte,
co všechno lze říci o hodnosti matice A.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 8.4.–9.4.2020 5 / 12
4.4.A2
Nechť v matici A ∈ Mat69(Q) existuje nenulový minor řádu 4. Uveďte,
co všechno lze říci o hodnosti matice A.
Řešení: 4 ≤ h(A) ≤ 6
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 8.4.–9.4.2020 5 / 12
4.4.A2
Nechť v matici A ∈ Mat69(Q) existuje nenulový minor řádu 4. Uveďte,
co všechno lze říci o hodnosti matice A.
Řešení: 4 ≤ h(A) ≤ 6
4.4.A4
Nechť v matici A ∈ Mat88(Q) existují nenulový minor řádu 3 a 5 a
existuje nulový minor řádu 2, 4 a 6. Uveďte, co všechno lze říci o hodnosti
matice A.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 8.4.–9.4.2020 5 / 12
4.4.A2
Nechť v matici A ∈ Mat69(Q) existuje nenulový minor řádu 4. Uveďte,
co všechno lze říci o hodnosti matice A.
Řešení: 4 ≤ h(A) ≤ 6
4.4.A4
Nechť v matici A ∈ Mat88(Q) existují nenulový minor řádu 3 a 5 a
existuje nulový minor řádu 2, 4 a 6. Uveďte, co všechno lze říci o hodnosti
matice A.
Řešení: 5 ≤ h(A) ≤ 8
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 8.4.–9.4.2020 5 / 12
4.4.A2
Nechť v matici A ∈ Mat69(Q) existuje nenulový minor řádu 4. Uveďte,
co všechno lze říci o hodnosti matice A.
Řešení: 4 ≤ h(A) ≤ 6
4.4.A4
Nechť v matici A ∈ Mat88(Q) existují nenulový minor řádu 3 a 5 a
existuje nulový minor řádu 2, 4 a 6. Uveďte, co všechno lze říci o hodnosti
matice A.
Řešení: 5 ≤ h(A) ≤ 8











1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 1











Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 8.4.–9.4.2020 5 / 12
4.4.B11 b)
K dané matici A nalezněte inverzní matici
A =


3 2 0
5 4 1
1 2 5


Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 8.4.–9.4.2020 6 / 12
4.4.B11 b)
K dané matici A nalezněte inverzní matici
A =


3 2 0
5 4 1
1 2 5


Řešení:
A−1
=
1
|A|



A11 A21 A31
A12 A22 A32
A13 A23 A33


 =



3 −5
3
1
3
−4 5
2 −1
2
1 −2
3
1
3



A−1
=
1
6









(−1)1+1 4 1
2 5
(−1)2+1 2 0
2 5
(−1)3+1 2 0
4 1
(−1)1+2 5 1
1 5
(−1)2+2 3 0
1 5
(−1)3+2 3 0
5 1
(−1)1+3 5 4
1 2
(−1)2+3 3 2
1 2
(−1)3+3 3 2
5 4









Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 8.4.–9.4.2020 6 / 12



3 2 0 1 0 0
5 4 1 0 1 0
1 2 5 0 0 1


 ∼



1 2 5 0 0 1
3 2 0 1 0 0
5 4 1 0 1 0


 ∼
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 8.4.–9.4.2020 7 / 12



3 2 0 1 0 0
5 4 1 0 1 0
1 2 5 0 0 1


 ∼



1 2 5 0 0 1
3 2 0 1 0 0
5 4 1 0 1 0


 ∼
∼



1 2 5 0 0 1
0 −4 −15 1 0 −3
0 −6 −24 0 1 −5


 ∼



1 2 5 0 0 1
0 −4 −15 1 0 −3
0 0 −6 −6 4 −2


 ∼
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 8.4.–9.4.2020 7 / 12



3 2 0 1 0 0
5 4 1 0 1 0
1 2 5 0 0 1


 ∼



1 2 5 0 0 1
3 2 0 1 0 0
5 4 1 0 1 0


 ∼
∼



1 2 5 0 0 1
0 −4 −15 1 0 −3
0 −6 −24 0 1 −5


 ∼



1 2 5 0 0 1
0 −4 −15 1 0 −3
0 0 −6 −6 4 −2


 ∼
∼



1 2 5 0 0 1
0 −4 −15 1 0 −3
0 0 3 3 −2 1


 ∼



3 6 0 −15 10 −2
0 −4 0 16 −10 2
0 0 3 3 −2 1


 ∼
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 8.4.–9.4.2020 7 / 12



3 2 0 1 0 0
5 4 1 0 1 0
1 2 5 0 0 1


 ∼



1 2 5 0 0 1
3 2 0 1 0 0
5 4 1 0 1 0


 ∼
∼



1 2 5 0 0 1
0 −4 −15 1 0 −3
0 −6 −24 0 1 −5


 ∼



1 2 5 0 0 1
0 −4 −15 1 0 −3
0 0 −6 −6 4 −2


 ∼
∼



1 2 5 0 0 1
0 −4 −15 1 0 −3
0 0 3 3 −2 1


 ∼



3 6 0 −15 10 −2
0 −4 0 16 −10 2
0 0 3 3 −2 1


 ∼
∼



12 0 0 36 −20 4
0 −4 0 16 −10 2
0 0 3 3 −2 1


 ∼



1 0 0 3 −5
3
1
3
0 1 0 −4 5
2
−1
2
0 0 1 1 −2
3
1
3



Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 8.4.–9.4.2020 7 / 12
Proč, k čemu, jak?
A · X = B
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 8.4.–9.4.2020 8 / 12
Proč, k čemu, jak?
A · X = B =⇒ A−1
· A · X = A−1
· B
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 8.4.–9.4.2020 8 / 12
Proč, k čemu, jak?
A · X = B =⇒ A−1
· A · X = A−1
· B =⇒ X = A−1
· B
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 8.4.–9.4.2020 8 / 12
Proč, k čemu, jak?
A · X = B =⇒ A−1
· A · X = A−1
· B =⇒ X = A−1
· B


3 0 0
0 6 0
0 0 9

 ·


1 0 0
0 4 0
0 0 7

 =
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 8.4.–9.4.2020 8 / 12
Proč, k čemu, jak?
A · X = B =⇒ A−1
· A · X = A−1
· B =⇒ X = A−1
· B


3 0 0
0 6 0
0 0 9

 ·


1 0 0
0 4 0
0 0 7

 =


3 0 0
0 24 0
0 0 63




3 0 0
0 6 0
0 0 9

 ·
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 8.4.–9.4.2020 8 / 12
Proč, k čemu, jak?
A · X = B =⇒ A−1
· A · X = A−1
· B =⇒ X = A−1
· B


3 0 0
0 6 0
0 0 9

 ·


1 0 0
0 4 0
0 0 7

 =


3 0 0
0 24 0
0 0 63




3 0 0
0 6 0
0 0 9

 ·


1
3 0 0
0 1
6 0
0 0 1
9

 =


1 0 0
0 1 0
0 0 1


Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 8.4.–9.4.2020 8 / 12
Vedení tepla
20 ◦
C 20 ◦
C
10 ◦
C
10 ◦
C
30 ◦
C 30 ◦
C
40 ◦
C
40 ◦
C
x1 x2
x3x4
x1 =
1
4
(30 + x2 + x4)
x2 =
1
4
(60 + x1 + x3)
x3 =
1
4
(70 + x2 + x4)
x4 =
1
4
(40 + x1 + x3)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 8.4.–9.4.2020 9 / 12
Jacobiho metoda




4 −1 0 −1
−1 4 −1 0
0 −1 4 −1
−1 0 −1 4



 ·




x1
x2
x3
x4



 =




30
60
70
30




Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 8.4.–9.4.2020 10 / 12
Jacobiho metoda




4 −1 0 −1
−1 4 −1 0
0 −1 4 −1
−1 0 −1 4



 ·




x1
x2
x3
x4



 =




30
60
70
30




A =




4 −1 0 −1
−1 4 −1 0
0 −1 4 −1
−1 0 −1 4



 =




4 0 0 0
0 4 0 0
0 0 4 0
0 0 0 4



 +




0 −1 0 −1
−1 0 −1 0
0 −1 0 −1
−1 0 −1 0



 = D + T
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 8.4.–9.4.2020 10 / 12
Jacobiho metoda




4 −1 0 −1
−1 4 −1 0
0 −1 4 −1
−1 0 −1 4



 ·




x1
x2
x3
x4



 =




30
60
70
30




A =




4 −1 0 −1
−1 4 −1 0
0 −1 4 −1
−1 0 −1 4



 =




4 0 0 0
0 4 0 0
0 0 4 0
0 0 0 4



 +




0 −1 0 −1
−1 0 −1 0
0 −1 0 −1
−1 0 −1 0



 = D + T
A · X = B
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 8.4.–9.4.2020 10 / 12
Jacobiho metoda




4 −1 0 −1
−1 4 −1 0
0 −1 4 −1
−1 0 −1 4



 ·




x1
x2
x3
x4



 =




30
60
70
30




A =




4 −1 0 −1
−1 4 −1 0
0 −1 4 −1
−1 0 −1 4



 =




4 0 0 0
0 4 0 0
0 0 4 0
0 0 0 4



 +




0 −1 0 −1
−1 0 −1 0
0 −1 0 −1
−1 0 −1 0



 = D + T
A · X = B
(D + T) · X = B
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 8.4.–9.4.2020 10 / 12
Jacobiho metoda




4 −1 0 −1
−1 4 −1 0
0 −1 4 −1
−1 0 −1 4



 ·




x1
x2
x3
x4



 =




30
60
70
30




A =




4 −1 0 −1
−1 4 −1 0
0 −1 4 −1
−1 0 −1 4



 =




4 0 0 0
0 4 0 0
0 0 4 0
0 0 0 4



 +




0 −1 0 −1
−1 0 −1 0
0 −1 0 −1
−1 0 −1 0



 = D + T
A · X = B
(D + T) · X = B
D · X = B − T · X
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 8.4.–9.4.2020 10 / 12
Jacobiho metoda




4 −1 0 −1
−1 4 −1 0
0 −1 4 −1
−1 0 −1 4



 ·




x1
x2
x3
x4



 =




30
60
70
30




A =




4 −1 0 −1
−1 4 −1 0
0 −1 4 −1
−1 0 −1 4



 =




4 0 0 0
0 4 0 0
0 0 4 0
0 0 0 4



 +




0 −1 0 −1
−1 0 −1 0
0 −1 0 −1
−1 0 −1 0



 = D + T
A · X = B
(D + T) · X = B
D · X = B − T · X
X = D−1
· (B − T · X)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 8.4.–9.4.2020 10 / 12
Jacobiho metoda




4 −1 0 −1
−1 4 −1 0
0 −1 4 −1
−1 0 −1 4



 ·




x1
x2
x3
x4



 =




30
60
70
30




A =




4 −1 0 −1
−1 4 −1 0
0 −1 4 −1
−1 0 −1 4



 =




4 0 0 0
0 4 0 0
0 0 4 0
0 0 0 4



 +




0 −1 0 −1
−1 0 −1 0
0 −1 0 −1
−1 0 −1 0



 = D + T
A · X = B
(D + T) · X = B
D · X = B − T · X
X = D−1
· (B − T · X)
Xk+1 = D−1
· (B − T · Xk)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 8.4.–9.4.2020 10 / 12
4.4.A7
U.p. nenulové matice A ∈ Mat33(R), kterou nelze konečným počtem
elementárních řádkových úprav převést na jednotkovou matici.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 8.4.–9.4.2020 11 / 12
4.4.A7
U.p. nenulové matice A ∈ Mat33(R), kterou nelze konečným počtem
elementárních řádkových úprav převést na jednotkovou matici.
Řešení: 

1 0 0
0 0 0
0 0 0


Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 8.4.–9.4.2020 11 / 12
4.4.A7
U.p. nenulové matice A ∈ Mat33(R), kterou nelze konečným počtem
elementárních řádkových úprav převést na jednotkovou matici.
Řešení: 

1 0 0
0 0 0
0 0 0


4.4.A10 a), b)
U. p. podmínky, která je nutná, ale není dostatečná (je dostatečná, ale
není nutná) pro to, aby k matici A ∈ Matnn(R) existovala matice in-
verzní.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 8.4.–9.4.2020 11 / 12
4.4.A7
U.p. nenulové matice A ∈ Mat33(R), kterou nelze konečným počtem
elementárních řádkových úprav převést na jednotkovou matici.
Řešení: 

1 0 0
0 0 0
0 0 0


4.4.A10 a), b)
U. p. podmínky, která je nutná, ale není dostatečná (je dostatečná, ale
není nutná) pro to, aby k matici A ∈ Matnn(R) existovala matice in-
verzní.
Řešení: N, ale ne D: všechny řádky jsou nenulové
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 8.4.–9.4.2020 11 / 12
4.4.A7
U.p. nenulové matice A ∈ Mat33(R), kterou nelze konečným počtem
elementárních řádkových úprav převést na jednotkovou matici.
Řešení: 

1 0 0
0 0 0
0 0 0


4.4.A10 a), b)
U. p. podmínky, která je nutná, ale není dostatečná (je dostatečná, ale
není nutná) pro to, aby k matici A ∈ Matnn(R) existovala matice in-
verzní.
Řešení: N, ale ne D: všechny řádky jsou nenulové
D, ale ne N: A je jednotková matice řádu n
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 8.4.–9.4.2020 11 / 12
4.4.B14
Nechť A ∈ Matnn(R) je regulární matice, jejíž prvky jsou celá čísla.
Dokažte, že potom inverzní matice A−1 má pouze celočíselné prvky
⇐⇒ |A| = ±1.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 8.4.–9.4.2020 12 / 12
4.4.B14
Nechť A ∈ Matnn(R) je regulární matice, jejíž prvky jsou celá čísla.
Dokažte, že potom inverzní matice A−1 má pouze celočíselné prvky
⇐⇒ |A| = ±1.
Řešení: „⇐=“
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 8.4.–9.4.2020 12 / 12
4.4.B14
Nechť A ∈ Matnn(R) je regulární matice, jejíž prvky jsou celá čísla.
Dokažte, že potom inverzní matice A−1 má pouze celočíselné prvky
⇐⇒ |A| = ±1.
Řešení: „⇐=“ Plyne ze vztahu
A−1
=
1
|A|
A ,
jelikož Aij ∈ Z.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 8.4.–9.4.2020 12 / 12
4.4.B14
Nechť A ∈ Matnn(R) je regulární matice, jejíž prvky jsou celá čísla.
Dokažte, že potom inverzní matice A−1 má pouze celočíselné prvky
⇐⇒ |A| = ±1.
Řešení: „⇐=“ Plyne ze vztahu
A−1
=
1
|A|
A ,
jelikož Aij ∈ Z.
„=⇒“ Plyne z Cauchyovy věty
1 = |En| = |A · A−1
| = |A| · |A−1
|,
jelikož |A|, |A−1| ∈ Z.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 8.4.–9.4.2020 12 / 12
Domácí úkol
Příklad 1
Určete hodnost matice




1 2 1 −2 3
2 1 4 1 −2
1 1 2 1 3
3 2 6 2 1




Příklad 2
K dané matici nalezněte inverzní matici (libovolnou metodou)


3 −2 1
2 0 −1
1 −3 3


Termín odevzdání 17.4.2020
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 8.4.–9.4.2020 13 / 12