Lineární algebra
Řešení cvičení
Petr Liška
Masarykova univerzita
15.4.–16.4.2020
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 15.4.–16.4.2020 1 / 14
4.4.B17a)
Ve vektorovém prostoru R3 jsou zadány podprostory
W1 = L ((1, 2, 2), (2, 3, −1), (1, 1, −3)) ,
W2 = L ((0, 1, 2), (1, 1, −1), (1, 3, 3)) .
Nalezněte bázi a dimenzi podprostorů W1, W2, W1 + W2, W1 ∩ W2.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 15.4.–16.4.2020 2 / 14
4.4.B17a)
Ve vektorovém prostoru R3 jsou zadány podprostory
W1 = L ((1, 2, 2), (2, 3, −1), (1, 1, −3)) ,
W2 = L ((0, 1, 2), (1, 1, −1), (1, 3, 3)) .
Nalezněte bázi a dimenzi podprostorů W1, W2, W1 + W2, W1 ∩ W2.
Řešení:
W1 :
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 15.4.–16.4.2020 2 / 14
4.4.B17a)
Ve vektorovém prostoru R3 jsou zadány podprostory
W1 = L ((1, 2, 2), (2, 3, −1), (1, 1, −3)) ,
W2 = L ((0, 1, 2), (1, 1, −1), (1, 3, 3)) .
Nalezněte bázi a dimenzi podprostorů W1, W2, W1 + W2, W1 ∩ W2.
Řešení:
W1 :


1 2 2
2 3 −1
1 1 −3

 ∼


1 2 2
0 −1 −5
0 −1 −5


Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 15.4.–16.4.2020 2 / 14
4.4.B17a)
Ve vektorovém prostoru R3 jsou zadány podprostory
W1 = L ((1, 2, 2), (2, 3, −1), (1, 1, −3)) ,
W2 = L ((0, 1, 2), (1, 1, −1), (1, 3, 3)) .
Nalezněte bázi a dimenzi podprostorů W1, W2, W1 + W2, W1 ∩ W2.
Řešení:
W1 :


1 2 2
2 3 −1
1 1 −3

 ∼


1 2 2
0 −1 −5
0 −1 −5

 =⇒ dim W1 = 2
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 15.4.–16.4.2020 2 / 14
4.4.B17a)
Ve vektorovém prostoru R3 jsou zadány podprostory
W1 = L ((1, 2, 2), (2, 3, −1), (1, 1, −3)) ,
W2 = L ((0, 1, 2), (1, 1, −1), (1, 3, 3)) .
Nalezněte bázi a dimenzi podprostorů W1, W2, W1 + W2, W1 ∩ W2.
Řešení:
W1 :


1 2 2
2 3 −1
1 1 −3

 ∼


1 2 2
0 −1 −5
0 −1 −5

 =⇒ dim W1 = 2
W2 :
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 15.4.–16.4.2020 2 / 14
4.4.B17a)
Ve vektorovém prostoru R3 jsou zadány podprostory
W1 = L ((1, 2, 2), (2, 3, −1), (1, 1, −3)) ,
W2 = L ((0, 1, 2), (1, 1, −1), (1, 3, 3)) .
Nalezněte bázi a dimenzi podprostorů W1, W2, W1 + W2, W1 ∩ W2.
Řešení:
W1 :


1 2 2
2 3 −1
1 1 −3

 ∼


1 2 2
0 −1 −5
0 −1 −5

 =⇒ dim W1 = 2
W2 :


1 1 −1
1 3 3
0 1 2

 ∼


1 1 −1
0 2 4
0 1 2


Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 15.4.–16.4.2020 2 / 14
4.4.B17a)
Ve vektorovém prostoru R3 jsou zadány podprostory
W1 = L ((1, 2, 2), (2, 3, −1), (1, 1, −3)) ,
W2 = L ((0, 1, 2), (1, 1, −1), (1, 3, 3)) .
Nalezněte bázi a dimenzi podprostorů W1, W2, W1 + W2, W1 ∩ W2.
Řešení:
W1 :


1 2 2
2 3 −1
1 1 −3

 ∼


1 2 2
0 −1 −5
0 −1 −5

 =⇒ dim W1 = 2
W2 :


1 1 −1
1 3 3
0 1 2

 ∼


1 1 −1
0 2 4
0 1 2

 =⇒ dim W2 = 2
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 15.4.–16.4.2020 2 / 14
W1 + W2 :
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 15.4.–16.4.2020 3 / 14
W1 + W2 :




1 2 2
1 1 −1
0 1 2
0 −1 −5



 ∼




1 2 2
0 1 3
0 1 2
0 0 3



 ∼




1 2 2
0 1 3
0 0 1
0 0 3




Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 15.4.–16.4.2020 3 / 14
W1 + W2 :




1 2 2
1 1 −1
0 1 2
0 −1 −5



 ∼




1 2 2
0 1 3
0 1 2
0 0 3



 ∼




1 2 2
0 1 3
0 0 1
0 0 3




=⇒ dim (W1 + W2) = 3
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 15.4.–16.4.2020 3 / 14
W1 + W2 :




1 2 2
1 1 −1
0 1 2
0 −1 −5



 ∼




1 2 2
0 1 3
0 1 2
0 0 3



 ∼




1 2 2
0 1 3
0 0 1
0 0 3




=⇒ dim (W1 + W2) = 3
dim (W1 ∩ W2) = dim W1 + dim W2 − dim (W1 + W2) = 1
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 15.4.–16.4.2020 3 / 14
x ∈ W1∩W2 =⇒ x = t1·(1, 2, 2)+t2·(0, −1, −5) = t3·(1, 1, −1)+t4·(0, 1, 2)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 15.4.–16.4.2020 4 / 14
x ∈ W1∩W2 =⇒ x = t1·(1, 2, 2)+t2·(0, −1, −5) = t3·(1, 1, −1)+t4·(0, 1, 2)
t1 · (1, 2, 2) + t2 · (0, −1, −5) − t3 · (1, 1, −1) − t4 · (0, 1, 2) = o
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 15.4.–16.4.2020 4 / 14
x ∈ W1∩W2 =⇒ x = t1·(1, 2, 2)+t2·(0, −1, −5) = t3·(1, 1, −1)+t4·(0, 1, 2)
t1 · (1, 2, 2) + t2 · (0, −1, −5) − t3 · (1, 1, −1) − t4 · (0, 1, 2) = o


1 0 −1 0 0
2 −1 −1 −1 0
2 −5 1 −2 0

 ∼ · · · ∼


1 0 −1 0 0
0 −1 −1 −1 0
0 0 −2 3 0


Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 15.4.–16.4.2020 4 / 14
x ∈ W1∩W2 =⇒ x = t1·(1, 2, 2)+t2·(0, −1, −5) = t3·(1, 1, −1)+t4·(0, 1, 2)
t1 · (1, 2, 2) + t2 · (0, −1, −5) − t3 · (1, 1, −1) − t4 · (0, 1, 2) = o


1 0 −1 0 0
2 −1 −1 −1 0
2 −5 1 −2 0

 ∼ · · · ∼


1 0 −1 0 0
0 −1 −1 −1 0
0 0 −2 3 0


(3s, s, 3s, 2s), s ∈ R =⇒ např. t1 = 3 a t2 = 1
=⇒ W1 ∩ W2 = L((3, 5, 1))
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 15.4.–16.4.2020 4 / 14
4.4.A9
U.p. bází (1) a (2) vektorového prostoru R2 tak, že maticí přechodu od
báze (1) k bázi (2) je matice
1 2
2 4
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 15.4.–16.4.2020 5 / 14
4.4.A9
U.p. bází (1) a (2) vektorového prostoru R2 tak, že maticí přechodu od
báze (1) k bázi (2) je matice
1 2
2 4
Řešení: Neexistuje (matice přechodu musí být regulární).
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 15.4.–16.4.2020 5 / 14
4.4.B20b)
Nalezněte matici přechodu od báze u1 = (1, 2, 1), u2 = (2, −1, 3),
u3 = (−2, 3, 2) k bázi v1 = (−5, 9, 2), v2 = (6, −10, 5), v3 = (−1, 2, 9)
vektorového prostoru R3.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 15.4.–16.4.2020 6 / 14
4.4.B20b)
Nalezněte matici přechodu od báze u1 = (1, 2, 1), u2 = (2, −1, 3),
u3 = (−2, 3, 2) k bázi v1 = (−5, 9, 2), v2 = (6, −10, 5), v3 = (−1, 2, 9)
vektorového prostoru R3.
Řešení:
v1 = a11u1 + a21u2 + a31u3
v2 = a12u1 + a22u2 + a32u3
v3 = a13u1 + a23u2 + a33u3
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 15.4.–16.4.2020 6 / 14
4.4.B20b)
Nalezněte matici přechodu od báze u1 = (1, 2, 1), u2 = (2, −1, 3),
u3 = (−2, 3, 2) k bázi v1 = (−5, 9, 2), v2 = (6, −10, 5), v3 = (−1, 2, 9)
vektorového prostoru R3.
Řešení:
v1 = a11u1 + a21u2 + a31u3
v2 = a12u1 + a22u2 + a32u3
v3 = a13u1 + a23u2 + a33u3
(−5, 9, 2) = a11(1, 2, 1) + a21(2, −1, 3) + a31(−2, 3, 2)
(6, −10, 5) = a12(1, 2, 1) + a22(2, −1, 3) + a32(−2, 3, 2)
(−1, 2, 9) = a13(1, 2, 1) + a23(2, −1, 3) + a33(−2, 3, 2)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 15.4.–16.4.2020 6 / 14
4.4.B20b)
Nalezněte matici přechodu od báze u1 = (1, 2, 1), u2 = (2, −1, 3),
u3 = (−2, 3, 2) k bázi v1 = (−5, 9, 2), v2 = (6, −10, 5), v3 = (−1, 2, 9)
vektorového prostoru R3.
Řešení:
v1 = a11u1 + a21u2 + a31u3
v2 = a12u1 + a22u2 + a32u3
v3 = a13u1 + a23u2 + a33u3
(−5, 9, 2) = a11(1, 2, 1) + a21(2, −1, 3) + a31(−2, 3, 2)
(6, −10, 5) = a12(1, 2, 1) + a22(2, −1, 3) + a32(−2, 3, 2)
(−1, 2, 9) = a13(1, 2, 1) + a23(2, −1, 3) + a33(−2, 3, 2)
−5 = 1a11 + 2a21 − 2a31
9 = 2a11 − 1a21 + 3a31
2 = 1a11 + 3a21 + 2a31
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 15.4.–16.4.2020 6 / 14


1 2 −2 −5 6 −1
2 −1 3 9 −10 2
1 3 2 2 5 9

 ∼


1 2 −2 −5 6 −1
0 −5 7 19 −22 4
0 1 4 7 −1 10

 ∼


1 2 −2 −5 6 −1
0 −5 7 19 −22 4
0 0 27 54 −27 54


Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 15.4.–16.4.2020 7 / 14


1 2 −2 −5 6 −1
2 −1 3 9 −10 2
1 3 2 2 5 9

 ∼


1 2 −2 −5 6 −1
0 −5 7 19 −22 4
0 1 4 7 −1 10

 ∼


1 2 −2 −5 6 −1
0 −5 7 19 −22 4
0 0 27 54 −27 54

 ∼


1 2 0 −1 4 3
0 −5 0 5 −15 −10
0 0 27 2 −1 2

 ∼


1 0 0 1 −2 −1
0 1 0 −1 3 −10
0 0 1 2 −1 2


Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 15.4.–16.4.2020 7 / 14


1 2 −2 −5 6 −1
2 −1 3 9 −10 2
1 3 2 2 5 9

 ∼


1 2 −2 −5 6 −1
0 −5 7 19 −22 4
0 1 4 7 −1 10

 ∼


1 2 −2 −5 6 −1
0 −5 7 19 −22 4
0 0 27 54 −27 54

 ∼


1 2 0 −1 4 3
0 −5 0 5 −15 −10
0 0 27 2 −1 2

 ∼


1 0 0 1 −2 −1
0 1 0 −1 3 −10
0 0 1 2 −1 2

 =⇒ A =


1 −2 −1
−1 3 2
2 −1 2


Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 15.4.–16.4.2020 7 / 14
5.2.A2
U.p. soustavy 3 lineárních rovnic o 4 neznámých, která má právě jedno
řešení.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 15.4.–16.4.2020 8 / 14
5.2.A2
U.p. soustavy 3 lineárních rovnic o 4 neznámých, která má právě jedno
řešení.
Řešení: Neexistuje
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 15.4.–16.4.2020 8 / 14
5.2.A2
U.p. soustavy 3 lineárních rovnic o 4 neznámých, která má právě jedno
řešení.
Řešení: Neexistuje (hodnost je nejvíce 3, neznáme jsou 4, má-li řešení,
pak nekonečně mnoho).
5.2.A3
U.p. soustavy 4 lineárních rovnic o 3 neznámých, která má právě jedno
řešení.
Řešení:
x1 = 1
x2 = 1
x3 = 1
x1 + x2 +x3 = 3
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 15.4.–16.4.2020 8 / 14
5.2.A5
U.p. řešitelné soustavy 3 lineárních rovnic o 4 neznámých x1, x2, x3, x4
tak, že neznámé x1, x2, x3 musí být voleny jako volné neznámé.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 15.4.–16.4.2020 9 / 14
5.2.A5
U.p. řešitelné soustavy 3 lineárních rovnic o 4 neznámých x1, x2, x3, x4
tak, že neznámé x1, x2, x3 musí být voleny jako volné neznámé.
Řešení:
x4 = 1
2x4 = 2
3x4 = 3
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 15.4.–16.4.2020 9 / 14
5.2.A5
U.p. řešitelné soustavy 3 lineárních rovnic o 4 neznámých x1, x2, x3, x4
tak, že neznámé x1, x2, x3 musí být voleny jako volné neznámé.
Řešení:
x4 = 1
2x4 = 2
3x4 = 3
5.2.A6
U.p. řešitelné soustavy 3 lineárních rovnic o 4 neznámých x1, x2, x3, x4
tak, že neznámé x2, x4 nelze volit za volné neznámé.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 15.4.–16.4.2020 9 / 14
5.2.A5
U.p. řešitelné soustavy 3 lineárních rovnic o 4 neznámých x1, x2, x3, x4
tak, že neznámé x1, x2, x3 musí být voleny jako volné neznámé.
Řešení:
x4 = 1
2x4 = 2
3x4 = 3
5.2.A6
U.p. řešitelné soustavy 3 lineárních rovnic o 4 neznámých x1, x2, x3, x4
tak, že neznámé x2, x4 nelze volit za volné neznámé.
Řešení:
x1 + x3 = 0
x2 = 0
x4 = 0
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 15.4.–16.4.2020 9 / 14
5.2.A8
Je dána soustava 4 lin. rovnic o 3 neznámých, jejíž rozšířená matice
soustavy je regulární. Co všechno můžete říci o počtu řešení?
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 15.4.–16.4.2020 10 / 14
5.2.A8
Je dána soustava 4 lin. rovnic o 3 neznámých, jejíž rozšířená matice
soustavy je regulární. Co všechno můžete říci o počtu řešení?
Řešení: Soustava je neřešitelná.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 15.4.–16.4.2020 10 / 14
5.2.A8
Je dána soustava 4 lin. rovnic o 3 neznámých, jejíž rozšířená matice
soustavy je regulární. Co všechno můžete říci o počtu řešení?
Řešení: Soustava je neřešitelná.
5.2.B2 a)
V závislosti na parametru a rozhodněte o řešitelnosti, resp. počtu řešení
soustavy (nad R), která je zadána rozšířenou maticí soustavy




a 1 1 1 1
1 a 1 1 1
1 1 a 1 1
1 1 1 a 1




Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 15.4.–16.4.2020 10 / 14




1 1 1 a 1
1 1 a 1 1
1 a 1 1 1
a 1 1 1 1



 ∼




1 1 1 a 1
0 0 1 − a a − 1 0
0 1 − a 0 a − 1 0
0 1 − a 1 − a 1 − a2 1 − a



 ∼




1 1 1 a 1
0 1 − a 1 − a 1 − a2 1 − a
0 1 − a 0 a − 1 0
0 0 1 − a a − 1 0



 ∼




1 1 1 a 1
0 1 − a 1 − a 1 − a2 1 − a
0 0 1 − a a − 1 0
0 0 a − 1 a2 + a − 2 0



 ∼




1 1 1 a 1
0 1 − a 1 − a 1 − a2 1 − a
0 0 1 − a a − 1 0
0 0 0 (a + 3)(a − 1) a − 1




Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 15.4.–16.4.2020 11 / 14




1 1 1 a 1
1 1 a 1 1
1 a 1 1 1
a 1 1 1 1



 ∼




1 1 1 a 1
0 0 1 − a a − 1 0
0 1 − a 0 a − 1 0
0 1 − a 1 − a 1 − a2 1 − a



 ∼




1 1 1 a 1
0 1 − a 1 − a 1 − a2 1 − a
0 1 − a 0 a − 1 0
0 0 1 − a a − 1 0



 ∼




1 1 1 a 1
0 1 − a 1 − a 1 − a2 1 − a
0 0 1 − a a − 1 0
0 0 a − 1 a2 + a − 2 0



 ∼




1 1 1 a 1
0 1 − a 1 − a 1 − a2 1 − a
0 0 1 − a a − 1 0
0 0 0 (a + 3)(a − 1) a − 1




a = −3 =⇒ žádné řešení
a = 1 =⇒ nekonečně mnoho řešení, tři parametry
a = −3, 1 =⇒ 1 řešení
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 15.4.–16.4.2020 11 / 14
5.2.B12
Je dána soustava lin. rovnic
ax1 + bx2 = c
cx1 +bx3 = a
cx2 +ax3 = b
přičemž platí, že tato soustava má jediné řešení. Dokažte, že a = 0,
b = 0, c = 0, a pomocí Cramerova pravidla toto řešení najděte.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 15.4.–16.4.2020 12 / 14
5.2.B12
Je dána soustava lin. rovnic
ax1 + bx2 = c
cx1 +bx3 = a
cx2 +ax3 = b
přičemž platí, že tato soustava má jediné řešení. Dokažte, že a = 0,
b = 0, c = 0, a pomocí Cramerova pravidla toto řešení najděte.
Řešení:
a b 0
c 0 b
0 c a
= −2abc
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 15.4.–16.4.2020 12 / 14
5.2.B12
Je dána soustava lin. rovnic
ax1 + bx2 = c
cx1 +bx3 = a
cx2 +ax3 = b
přičemž platí, že tato soustava má jediné řešení. Dokažte, že a = 0,
b = 0, c = 0, a pomocí Cramerova pravidla toto řešení najděte.
Řešení:
a b 0
c 0 b
0 c a
= −2abc = 0 =⇒ a = 0 ∧ b = 0 ∧ c = 0
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 15.4.–16.4.2020 12 / 14
x1 =
c b 0
a 0 b
b c a
−2abc
=
a2 − b2 + c2
2ac
x2 =
a c 0
c a b
0 b a
−2abc
=
−a2 + b2 + c2
2bc
x3 =
a b c
c 0 a
0 c b
−2abc
=
a2 + b2 − c2
2ab
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 15.4.–16.4.2020 13 / 14
Domácí úkol – termín 24.4.2020
První (a jediný) příklad
4.4.B17 f)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 15.4.–16.4.2020 14 / 14