Lineární algebra
Řešení cvičení
Petr Liška
Masarykova univerzita
22.4.–23.4.2020
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 22.4.–23.4.2020 1 / 8
5.3.B6 e)
Nalezněte bázi a dimenzi podprostoru řešení W soustavy rovnic
2x1 + 3x2 − x3 + 2x4 = 0
4x1 + 7x2 + x3 = 0
5x1 + 7x2 − 4x3 + 7x4 = 0
3x1 + 4x2 − 3x3 + 5x4 = 0
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 22.4.–23.4.2020 2 / 8
5.3.B6 e)
Nalezněte bázi a dimenzi podprostoru řešení W soustavy rovnic
2x1 + 3x2 − x3 + 2x4 = 0
4x1 + 7x2 + x3 = 0
5x1 + 7x2 − 4x3 + 7x4 = 0
3x1 + 4x2 − 3x3 + 5x4 = 0
Řešení:




1 1 −2 3 0
4 7 1 0 0
5 7 −4 7 0
3 4 −3 5 0




Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 22.4.–23.4.2020 2 / 8
5.3.B6 e)
Nalezněte bázi a dimenzi podprostoru řešení W soustavy rovnic
2x1 + 3x2 − x3 + 2x4 = 0
4x1 + 7x2 + x3 = 0
5x1 + 7x2 − 4x3 + 7x4 = 0
3x1 + 4x2 − 3x3 + 5x4 = 0
Řešení:




1 1 −2 3 0
4 7 1 0 0
5 7 −4 7 0
3 4 −3 5 0



 ∼




1 1 −2 3 0
0 3 9 −12 0
0 2 6 −8 0
0 1 3 −4 0




Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 22.4.–23.4.2020 2 / 8
5.3.B6 e)
Nalezněte bázi a dimenzi podprostoru řešení W soustavy rovnic
2x1 + 3x2 − x3 + 2x4 = 0
4x1 + 7x2 + x3 = 0
5x1 + 7x2 − 4x3 + 7x4 = 0
3x1 + 4x2 − 3x3 + 5x4 = 0
Řešení:




1 1 −2 3 0
4 7 1 0 0
5 7 −4 7 0
3 4 −3 5 0



 ∼




1 1 −2 3 0
0 3 9 −12 0
0 2 6 −8 0
0 1 3 −4 0



 ∼




1 1 −2 3 0
0 1 3 −4 0
0 1 3 −4 0
0 1 3 −4 0




Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 22.4.–23.4.2020 2 / 8
5.3.B6 e)
Nalezněte bázi a dimenzi podprostoru řešení W soustavy rovnic
2x1 + 3x2 − x3 + 2x4 = 0
4x1 + 7x2 + x3 = 0
5x1 + 7x2 − 4x3 + 7x4 = 0
3x1 + 4x2 − 3x3 + 5x4 = 0
Řešení:




1 1 −2 3 0
4 7 1 0 0
5 7 −4 7 0
3 4 −3 5 0



 ∼




1 1 −2 3 0
0 3 9 −12 0
0 2 6 −8 0
0 1 3 −4 0



 ∼




1 1 −2 3 0
0 1 3 −4 0
0 1 3 −4 0
0 1 3 −4 0




x4 = s, x3 = t, x2 = −3t + 4s, x1 = 5t − 7s
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 22.4.–23.4.2020 2 / 8
5.3.B6 e)
Nalezněte bázi a dimenzi podprostoru řešení W soustavy rovnic
2x1 + 3x2 − x3 + 2x4 = 0
4x1 + 7x2 + x3 = 0
5x1 + 7x2 − 4x3 + 7x4 = 0
3x1 + 4x2 − 3x3 + 5x4 = 0
Řešení:




1 1 −2 3 0
4 7 1 0 0
5 7 −4 7 0
3 4 −3 5 0



 ∼




1 1 −2 3 0
0 3 9 −12 0
0 2 6 −8 0
0 1 3 −4 0



 ∼




1 1 −2 3 0
0 1 3 −4 0
0 1 3 −4 0
0 1 3 −4 0




x4 = s, x3 = t, x2 = −3t + 4s, x1 = 5t − 7s
dim W = 2, W = L ((5, −3, 1, 0), (−7, 4, 0, 1))
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 22.4.–23.4.2020 2 / 8
5.3.B8 d)
Nalezněte homogenní soustavu lin. rovnic, jejíž množina řešení je rovna
podprostoru W vektorového prostoru R5, je-li:
W = [(3, 2, 5, 2, 7), (6, 4, 7, 4, 5), (3, 2, −1, 2, −11), (6, 4, 1, 4, 13)] .
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 22.4.–23.4.2020 3 / 8
5.3.B8 d)
Nalezněte homogenní soustavu lin. rovnic, jejíž množina řešení je rovna
podprostoru W vektorového prostoru R5, je-li:
W = [(3, 2, 5, 2, 7), (6, 4, 7, 4, 5), (3, 2, −1, 2, −11), (6, 4, 1, 4, 13)] .
Řešení:




3 2 5 2 7 0
6 4 7 4 5 0
3 2 −1 2 −11 0
6 4 1 4 13 0




Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 22.4.–23.4.2020 3 / 8
5.3.B8 d)
Nalezněte homogenní soustavu lin. rovnic, jejíž množina řešení je rovna
podprostoru W vektorového prostoru R5, je-li:
W = [(3, 2, 5, 2, 7), (6, 4, 7, 4, 5), (3, 2, −1, 2, −11), (6, 4, 1, 4, 13)] .
Řešení:




3 2 5 2 7 0
6 4 7 4 5 0
3 2 −1 2 −11 0
6 4 1 4 13 0



 ∼ · · · ∼


3 2 5 2 7 0
0 0 −3 0 −9 0
0 0 0 0 26 0


Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 22.4.–23.4.2020 3 / 8
5.3.B8 d)
Nalezněte homogenní soustavu lin. rovnic, jejíž množina řešení je rovna
podprostoru W vektorového prostoru R5, je-li:
W = [(3, 2, 5, 2, 7), (6, 4, 7, 4, 5), (3, 2, −1, 2, −11), (6, 4, 1, 4, 13)] .
Řešení:




3 2 5 2 7 0
6 4 7 4 5 0
3 2 −1 2 −11 0
6 4 1 4 13 0



 ∼ · · · ∼


3 2 5 2 7 0
0 0 −3 0 −9 0
0 0 0 0 26 0


x5 = 0, x4 = 3t, x3 = 0, x2 = 3s, x1 = −2s − 2t
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 22.4.–23.4.2020 3 / 8
5.3.B8 d)
Nalezněte homogenní soustavu lin. rovnic, jejíž množina řešení je rovna
podprostoru W vektorového prostoru R5, je-li:
W = [(3, 2, 5, 2, 7), (6, 4, 7, 4, 5), (3, 2, −1, 2, −11), (6, 4, 1, 4, 13)] .
Řešení:




3 2 5 2 7 0
6 4 7 4 5 0
3 2 −1 2 −11 0
6 4 1 4 13 0



 ∼ · · · ∼


3 2 5 2 7 0
0 0 −3 0 −9 0
0 0 0 0 26 0


x5 = 0, x4 = 3t, x3 = 0, x2 = 3s, x1 = −2s − 2t
(−2, 3, 0, 0, 0), (−2, 0, 0, 3, 0)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 22.4.–23.4.2020 3 / 8
5.3.B8 d)
Nalezněte homogenní soustavu lin. rovnic, jejíž množina řešení je rovna
podprostoru W vektorového prostoru R5, je-li:
W = [(3, 2, 5, 2, 7), (6, 4, 7, 4, 5), (3, 2, −1, 2, −11), (6, 4, 1, 4, 13)] .
Řešení:




3 2 5 2 7 0
6 4 7 4 5 0
3 2 −1 2 −11 0
6 4 1 4 13 0



 ∼ · · · ∼


3 2 5 2 7 0
0 0 −3 0 −9 0
0 0 0 0 26 0


x5 = 0, x4 = 3t, x3 = 0, x2 = 3s, x1 = −2s − 2t
(−2, 3, 0, 0, 0), (−2, 0, 0, 3, 0)
−2x1 + 3x2 = 0
−2x1 + 3x3 = 0
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 22.4.–23.4.2020 3 / 8
5.3.B8 g)
Nalezněte homogenní soustavu lin. rovnic, jejíž množina řešení je rovna
podprostoru W vektorového prostoru R5, je-li:
W = {(t, 2t, 0, −t, 4t) | t ∈ R} .
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 22.4.–23.4.2020 4 / 8
5.3.B8 g)
Nalezněte homogenní soustavu lin. rovnic, jejíž množina řešení je rovna
podprostoru W vektorového prostoru R5, je-li:
W = {(t, 2t, 0, −t, 4t) | t ∈ R} .
Řešení:
1 2 0 −1 4 0
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 22.4.–23.4.2020 4 / 8
5.3.B8 g)
Nalezněte homogenní soustavu lin. rovnic, jejíž množina řešení je rovna
podprostoru W vektorového prostoru R5, je-li:
W = {(t, 2t, 0, −t, 4t) | t ∈ R} .
Řešení:
1 2 0 −1 4 0
x5 = t4, x4 = t3, x3 = t2, x2 = t1, x1 = −2t1 + t3 − 4t4
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 22.4.–23.4.2020 4 / 8
5.3.B8 g)
Nalezněte homogenní soustavu lin. rovnic, jejíž množina řešení je rovna
podprostoru W vektorového prostoru R5, je-li:
W = {(t, 2t, 0, −t, 4t) | t ∈ R} .
Řešení:
1 2 0 −1 4 0
x5 = t4, x4 = t3, x3 = t2, x2 = t1, x1 = −2t1 + t3 − 4t4
(−2, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 1, 0), (−4, 0, 0, 0, 1)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 22.4.–23.4.2020 4 / 8
5.3.B8 g)
Nalezněte homogenní soustavu lin. rovnic, jejíž množina řešení je rovna
podprostoru W vektorového prostoru R5, je-li:
W = {(t, 2t, 0, −t, 4t) | t ∈ R} .
Řešení:
1 2 0 −1 4 0
x5 = t4, x4 = t3, x3 = t2, x2 = t1, x1 = −2t1 + t3 − 4t4
(−2, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 1, 0), (−4, 0, 0, 0, 1)
−2x1 + x2 = 0
x3 = 0
x1 + x4 = 0
−4x1 + x5 = 0
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 22.4.–23.4.2020 4 / 8
dim U = n − h(A)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 22.4.–23.4.2020 5 / 8
dim U = n − h(A)
5.3.A3
U.p. homogenní soustavy 3 lin. rovnic o 5 neznámých tak, že její podprostor
řešení má dimenzi 4.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 22.4.–23.4.2020 5 / 8
dim U = n − h(A)
5.3.A3
U.p. homogenní soustavy 3 lin. rovnic o 5 neznámých tak, že její podprostor
řešení má dimenzi 4.
Řešení: 

1 1 1 1 1 0
2 2 2 2 2 0
3 3 3 3 3 0


Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 22.4.–23.4.2020 5 / 8
dim U = n − h(A)
5.3.A3
U.p. homogenní soustavy 3 lin. rovnic o 5 neznámých tak, že její podprostor
řešení má dimenzi 4.
Řešení: 

1 1 1 1 1 0
2 2 2 2 2 0
3 3 3 3 3 0


5.3.A4
U.p. homogenní soustavy 2 lin. rovnic o 5 neznámých tak, že její podprostor
řešení má dimenzi 2.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 22.4.–23.4.2020 5 / 8
dim U = n − h(A)
5.3.A3
U.p. homogenní soustavy 3 lin. rovnic o 5 neznámých tak, že její podprostor
řešení má dimenzi 4.
Řešení: 

1 1 1 1 1 0
2 2 2 2 2 0
3 3 3 3 3 0


5.3.A4
U.p. homogenní soustavy 2 lin. rovnic o 5 neznámých tak, že její podprostor
řešení má dimenzi 2.
Řešení: Neexistuje.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 22.4.–23.4.2020 5 / 8
dim U = n − h(A)
5.3.A3
U.p. homogenní soustavy 3 lin. rovnic o 5 neznámých tak, že její podprostor
řešení má dimenzi 4.
Řešení: 

1 1 1 1 1 0
2 2 2 2 2 0
3 3 3 3 3 0


5.3.A4
U.p. homogenní soustavy 2 lin. rovnic o 5 neznámých tak, že její podprostor
řešení má dimenzi 2.
Řešení: Neexistuje. Hodnost totiž musí být tři.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 22.4.–23.4.2020 5 / 8
5.3.A5
Nechť W je podprostor řešení homogenní soustavy 4 lin. rovnic o 6 neznámých. Udejte,
jakých všech hodnot může nabývat dim W.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 22.4.–23.4.2020 6 / 8
5.3.A5
Nechť W je podprostor řešení homogenní soustavy 4 lin. rovnic o 6 neznámých. Udejte,
jakých všech hodnot může nabývat dim W.
Řešení: 2 ≤ dim W ≤ 6
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 22.4.–23.4.2020 6 / 8
5.3.A5
Nechť W je podprostor řešení homogenní soustavy 4 lin. rovnic o 6 neznámých. Udejte,
jakých všech hodnot může nabývat dim W.
Řešení: 2 ≤ dim W ≤ 6
5.3.A6
U.p. homogenní soustavy lin. rovnic tak, aby bází jejího podprostoru řešení byly vektory
(1, 1, 0, 0, 0) a (0, 0, 0, 0, 1).
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 22.4.–23.4.2020 6 / 8
5.3.A5
Nechť W je podprostor řešení homogenní soustavy 4 lin. rovnic o 6 neznámých. Udejte,
jakých všech hodnot může nabývat dim W.
Řešení: 2 ≤ dim W ≤ 6
5.3.A6
U.p. homogenní soustavy lin. rovnic tak, aby bází jejího podprostoru řešení byly vektory
(1, 1, 0, 0, 0) a (0, 0, 0, 0, 1).
Řešení: Víme, že potřebujeme tři nezávislé rovnice.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 22.4.–23.4.2020 6 / 8
5.3.A5
Nechť W je podprostor řešení homogenní soustavy 4 lin. rovnic o 6 neznámých. Udejte,
jakých všech hodnot může nabývat dim W.
Řešení: 2 ≤ dim W ≤ 6
5.3.A6
U.p. homogenní soustavy lin. rovnic tak, aby bází jejího podprostoru řešení byly vektory
(1, 1, 0, 0, 0) a (0, 0, 0, 0, 1).
Řešení: Víme, že potřebujeme tři nezávislé rovnice.
x1 − x2 = 0
x3 = 0
x4 = 0
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 22.4.–23.4.2020 6 / 8
5.3.A5
Nechť W je podprostor řešení homogenní soustavy 4 lin. rovnic o 6 neznámých. Udejte,
jakých všech hodnot může nabývat dim W.
Řešení: 2 ≤ dim W ≤ 6
5.3.A6
U.p. homogenní soustavy lin. rovnic tak, aby bází jejího podprostoru řešení byly vektory
(1, 1, 0, 0, 0) a (0, 0, 0, 0, 1).
Řešení: Víme, že potřebujeme tři nezávislé rovnice.
x1 − x2 = 0
x3 = 0
x4 = 0
5.3.A6
U.p. homogenní soustavy lin. rovnic tak, aby bází jejího podprostoru řešení byly vektor
(1, 1, 1, 1).
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 22.4.–23.4.2020 6 / 8
5.3.A5
Nechť W je podprostor řešení homogenní soustavy 4 lin. rovnic o 6 neznámých. Udejte,
jakých všech hodnot může nabývat dim W.
Řešení: 2 ≤ dim W ≤ 6
5.3.A6
U.p. homogenní soustavy lin. rovnic tak, aby bází jejího podprostoru řešení byly vektory
(1, 1, 0, 0, 0) a (0, 0, 0, 0, 1).
Řešení: Víme, že potřebujeme tři nezávislé rovnice.
x1 − x2 = 0
x3 = 0
x4 = 0
5.3.A6
U.p. homogenní soustavy lin. rovnic tak, aby bází jejího podprostoru řešení byly vektor
(1, 1, 1, 1).
Řešení: Víme, že potřebujeme tři nezávislé rovnice.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 22.4.–23.4.2020 6 / 8
5.3.A5
Nechť W je podprostor řešení homogenní soustavy 4 lin. rovnic o 6 neznámých. Udejte,
jakých všech hodnot může nabývat dim W.
Řešení: 2 ≤ dim W ≤ 6
5.3.A6
U.p. homogenní soustavy lin. rovnic tak, aby bází jejího podprostoru řešení byly vektory
(1, 1, 0, 0, 0) a (0, 0, 0, 0, 1).
Řešení: Víme, že potřebujeme tři nezávislé rovnice.
x1 − x2 = 0
x3 = 0
x4 = 0
5.3.A6
U.p. homogenní soustavy lin. rovnic tak, aby bází jejího podprostoru řešení byly vektor
(1, 1, 1, 1).
Řešení: Víme, že potřebujeme tři nezávislé rovnice.
x1 − x2 = 0
x2 − x3 = 0
x3 − x4 = 0
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 22.4.–23.4.2020 6 / 8
6.1.B8 a)
Určete všechny hodnoty parametru a ∈ R, pro které je vektor (a +
1, 0, a + 2, 0, a + 1) ∈ R5 normovaný.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 22.4.–23.4.2020 7 / 8
6.1.B8 a)
Určete všechny hodnoty parametru a ∈ R, pro které je vektor (a +
1, 0, a + 2, 0, a + 1) ∈ R5 normovaný.
Řešení:
|u| = (a + 1)2 + (a + 2)2 + (a + 1)2 = 1
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 22.4.–23.4.2020 7 / 8
6.1.B8 a)
Určete všechny hodnoty parametru a ∈ R, pro které je vektor (a +
1, 0, a + 2, 0, a + 1) ∈ R5 normovaný.
Řešení:
|u| = (a + 1)2 + (a + 2)2 + (a + 1)2 = 1
3a2
+ 8a + 5 = 0
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 22.4.–23.4.2020 7 / 8
6.1.B8 a)
Určete všechny hodnoty parametru a ∈ R, pro které je vektor (a +
1, 0, a + 2, 0, a + 1) ∈ R5 normovaný.
Řešení:
|u| = (a + 1)2 + (a + 2)2 + (a + 1)2 = 1
3a2
+ 8a + 5 = 0
a1 = −1, a2 = −
5
3
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 22.4.–23.4.2020 7 / 8
6.1.A5
U.p. normovaných vektorů u, v z euklidovského prostoru R3 tak, že
u · v =
√
3.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 22.4.–23.4.2020 8 / 8
6.1.A5
U.p. normovaných vektorů u, v z euklidovského prostoru R3 tak, že
u · v =
√
3.
Řešení: Neexistuje.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 22.4.–23.4.2020 8 / 8
6.1.A5
U.p. normovaných vektorů u, v z euklidovského prostoru R3 tak, že
u · v =
√
3.
Řešení: Neexistuje.
6.1.A6
U.p. normovaných, lineárně nezávislých vektorů u, v z euklidovského
prostoru R3 tak, že u · v = 1.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 22.4.–23.4.2020 8 / 8
6.1.A5
U.p. normovaných vektorů u, v z euklidovského prostoru R3 tak, že
u · v =
√
3.
Řešení: Neexistuje.
6.1.A6
U.p. normovaných, lineárně nezávislých vektorů u, v z euklidovského
prostoru R3 tak, že u · v = 1.
Řešení: Neexistuje.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 22.4.–23.4.2020 8 / 8
Domácí úkol
6.1.B13
Termín odevzdání: 1.5.2020
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 22.4.–23.4.2020 9 / 8