Lineární algebra
Řešení cvičení
Petr Liška
Masarykova univerzita
6.5.–7.5.2020
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 6.5.–7.5.2020 1 / 10
7.1.B2 b)
Rozhodněte, zda ϕ: R2 → R3, kde
ϕ((x1, x2)) = (2x1 + x2, x2, x2 − x1)
je lineární zobrazení, resp. injektivní LZ, resp. surjektivní LZ.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 6.5.–7.5.2020 2 / 10
7.1.B2 b)
Rozhodněte, zda ϕ: R2 → R3, kde
ϕ((x1, x2)) = (2x1 + x2, x2, x2 − x1)
je lineární zobrazení, resp. injektivní LZ, resp. surjektivní LZ.
Řešení: Pro každé u = (x1, x2), v = (y1, y2) ∈ R2 platí
ϕ(u + v) =
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 6.5.–7.5.2020 2 / 10
7.1.B2 b)
Rozhodněte, zda ϕ: R2 → R3, kde
ϕ((x1, x2)) = (2x1 + x2, x2, x2 − x1)
je lineární zobrazení, resp. injektivní LZ, resp. surjektivní LZ.
Řešení: Pro každé u = (x1, x2), v = (y1, y2) ∈ R2 platí
ϕ(u + v) = (2x1 + 2y1 + x2 + y2, x2 + y2, x2 + y2 − x1 − y1)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 6.5.–7.5.2020 2 / 10
7.1.B2 b)
Rozhodněte, zda ϕ: R2 → R3, kde
ϕ((x1, x2)) = (2x1 + x2, x2, x2 − x1)
je lineární zobrazení, resp. injektivní LZ, resp. surjektivní LZ.
Řešení: Pro každé u = (x1, x2), v = (y1, y2) ∈ R2 platí
ϕ(u + v) = (2x1 + 2y1 + x2 + y2, x2 + y2, x2 + y2 − x1 − y1)
ϕ(u) + ϕ(v) = (2x1 + x2, x2, x2 − x1) + (2y1 + y2, y2, y2 − y1) =
= (2x1 + 2y1 + x2 + y2, x2 + y2, x2 + y2 − x1 − y1)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 6.5.–7.5.2020 2 / 10
7.1.B2 b)
Rozhodněte, zda ϕ: R2 → R3, kde
ϕ((x1, x2)) = (2x1 + x2, x2, x2 − x1)
je lineární zobrazení, resp. injektivní LZ, resp. surjektivní LZ.
Řešení: Pro každé u = (x1, x2), v = (y1, y2) ∈ R2 platí
ϕ(u + v) = (2x1 + 2y1 + x2 + y2, x2 + y2, x2 + y2 − x1 − y1)
ϕ(u) + ϕ(v) = (2x1 + x2, x2, x2 − x1) + (2y1 + y2, y2, y2 − y1) =
= (2x1 + 2y1 + x2 + y2, x2 + y2, x2 + y2 − x1 − y1)
ϕ(t · u) = ϕ(tx1, tx2) = (2tx1 + tx2, tx2, tx2 − tx1)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 6.5.–7.5.2020 2 / 10
7.1.B2 b)
Rozhodněte, zda ϕ: R2 → R3, kde
ϕ((x1, x2)) = (2x1 + x2, x2, x2 − x1)
je lineární zobrazení, resp. injektivní LZ, resp. surjektivní LZ.
Řešení: Pro každé u = (x1, x2), v = (y1, y2) ∈ R2 platí
ϕ(u + v) = (2x1 + 2y1 + x2 + y2, x2 + y2, x2 + y2 − x1 − y1)
ϕ(u) + ϕ(v) = (2x1 + x2, x2, x2 − x1) + (2y1 + y2, y2, y2 − y1) =
= (2x1 + 2y1 + x2 + y2, x2 + y2, x2 + y2 − x1 − y1)
ϕ(t · u) = ϕ(tx1, tx2) = (2tx1 + tx2, tx2, tx2 − tx1)
t · ϕ(x1, x2) = (2tx1 + tx2, tx2, tx2 − tx1)
Jelikož ϕ(u + v) = ϕ(u) + ϕ(v) a ϕ(t · u) = t · ϕ(u), je ϕ lineární
zobrazení.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 6.5.–7.5.2020 2 / 10
ϕ((x1, x2)) = (2x1 + x2, x2, x2 − x1) = (0, 0, 0)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 6.5.–7.5.2020 3 / 10
ϕ((x1, x2)) = (2x1 + x2, x2, x2 − x1) = (0, 0, 0)
2x1 + x2 = 0
x2 = 0
x2 − x1 = 0
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 6.5.–7.5.2020 3 / 10
ϕ((x1, x2)) = (2x1 + x2, x2, x2 − x1) = (0, 0, 0)
2x1 + x2 = 0
x2 = 0
x2 − x1 = 0
=⇒ x1 = x2 = 0
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 6.5.–7.5.2020 3 / 10
ϕ((x1, x2)) = (2x1 + x2, x2, x2 − x1) = (0, 0, 0)
2x1 + x2 = 0
x2 = 0
x2 − x1 = 0
=⇒ x1 = x2 = 0
Ker ϕ = {(0, 0)} =⇒ ϕ je injektivní
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 6.5.–7.5.2020 3 / 10
ϕ((x1, x2)) = (2x1 + x2, x2, x2 − x1) = (0, 0, 0)
2x1 + x2 = 0
x2 = 0
x2 − x1 = 0
=⇒ x1 = x2 = 0
Ker ϕ = {(0, 0)} =⇒ ϕ je injektivní
Použijeme větu o dimenzi jádra a obrazu lineárního zobrazení, tj.
dim Ker ϕ + dim Im ϕ = dim V
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 6.5.–7.5.2020 3 / 10
ϕ((x1, x2)) = (2x1 + x2, x2, x2 − x1) = (0, 0, 0)
2x1 + x2 = 0
x2 = 0
x2 − x1 = 0
=⇒ x1 = x2 = 0
Ker ϕ = {(0, 0)} =⇒ ϕ je injektivní
Použijeme větu o dimenzi jádra a obrazu lineárního zobrazení, tj.
dim Ker ϕ + dim Im ϕ = dim V
pak dim Ker ϕ = 0, dim R2 = 2, dim Im ϕ = 2 a zobrazení nemůže být
surjektivní.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 6.5.–7.5.2020 3 / 10
7.1.B4 d)
Nalezněte jádro a obraz zobrazení ϕ: R4 → R3, kde
ϕ((x1, x2, x3, x4)) = (3x1−x2+2x3−x4, 5x1+2x2+3x3, 2x1+3x2+x3+x4)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 6.5.–7.5.2020 4 / 10
7.1.B4 d)
Nalezněte jádro a obraz zobrazení ϕ: R4 → R3, kde
ϕ((x1, x2, x3, x4)) = (3x1−x2+2x3−x4, 5x1+2x2+3x3, 2x1+3x2+x3+x4)
Řešení:
3x1 − x2 + 2x3 − x4 = 0
5x1 + 2x2 + 3x3 = 0
2x1 + 3x2 + x3 + x4 = 0
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 6.5.–7.5.2020 4 / 10
7.1.B4 d)
Nalezněte jádro a obraz zobrazení ϕ: R4 → R3, kde
ϕ((x1, x2, x3, x4)) = (3x1−x2+2x3−x4, 5x1+2x2+3x3, 2x1+3x2+x3+x4)
Řešení:
3x1 − x2 + 2x3 − x4 = 0
5x1 + 2x2 + 3x3 = 0
2x1 + 3x2 + x3 + x4 = 0


1 −4 1 −2 0
3 −1 2 −1 0
5 2 3 0 0

 ∼


1 −4 1 −2 0
0 11 −1 5 0
0 22 −2 10 0


Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 6.5.–7.5.2020 4 / 10
7.1.B4 d)
Nalezněte jádro a obraz zobrazení ϕ: R4 → R3, kde
ϕ((x1, x2, x3, x4)) = (3x1−x2+2x3−x4, 5x1+2x2+3x3, 2x1+3x2+x3+x4)
Řešení:
3x1 − x2 + 2x3 − x4 = 0
5x1 + 2x2 + 3x3 = 0
2x1 + 3x2 + x3 + x4 = 0


1 −4 1 −2 0
3 −1 2 −1 0
5 2 3 0 0

 ∼


1 −4 1 −2 0
0 11 −1 5 0
0 22 −2 10 0


x4 = t, x2 = s, x3 = 11s + 5t, x1 = −3t − 7s
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 6.5.–7.5.2020 4 / 10
7.1.B4 d)
Nalezněte jádro a obraz zobrazení ϕ: R4 → R3, kde
ϕ((x1, x2, x3, x4)) = (3x1−x2+2x3−x4, 5x1+2x2+3x3, 2x1+3x2+x3+x4)
Řešení:
3x1 − x2 + 2x3 − x4 = 0
5x1 + 2x2 + 3x3 = 0
2x1 + 3x2 + x3 + x4 = 0


1 −4 1 −2 0
3 −1 2 −1 0
5 2 3 0 0

 ∼


1 −4 1 −2 0
0 11 −1 5 0
0 22 −2 10 0


x4 = t, x2 = s, x3 = 11s + 5t, x1 = −3t − 7s
Ker ϕ = [(−7, 1, 11, 0), (−3, 0, 5, 1)]
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 6.5.–7.5.2020 4 / 10
7.1.B4 d)
Nalezněte jádro a obraz zobrazení ϕ: R4 → R3, kde
ϕ((x1, x2, x3, x4)) = (3x1−x2+2x3−x4, 5x1+2x2+3x3, 2x1+3x2+x3+x4)
Řešení:
3x1 − x2 + 2x3 − x4 = 0
5x1 + 2x2 + 3x3 = 0
2x1 + 3x2 + x3 + x4 = 0


1 −4 1 −2 0
3 −1 2 −1 0
5 2 3 0 0

 ∼


1 −4 1 −2 0
0 11 −1 5 0
0 22 −2 10 0


x4 = t, x2 = s, x3 = 11s + 5t, x1 = −3t − 7s
Ker ϕ = [(−7, 1, 11, 0), (−3, 0, 5, 1)]
dim R4 = dim Ker ϕ + dim Im ϕ =⇒ dim Im ϕ = 2,
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 6.5.–7.5.2020 4 / 10
7.1.B4 d)
Nalezněte jádro a obraz zobrazení ϕ: R4 → R3, kde
ϕ((x1, x2, x3, x4)) = (3x1−x2+2x3−x4, 5x1+2x2+3x3, 2x1+3x2+x3+x4)
Řešení:
3x1 − x2 + 2x3 − x4 = 0
5x1 + 2x2 + 3x3 = 0
2x1 + 3x2 + x3 + x4 = 0


1 −4 1 −2 0
3 −1 2 −1 0
5 2 3 0 0

 ∼


1 −4 1 −2 0
0 11 −1 5 0
0 22 −2 10 0


x4 = t, x2 = s, x3 = 11s + 5t, x1 = −3t − 7s
Ker ϕ = [(−7, 1, 11, 0), (−3, 0, 5, 1)]
dim R4 = dim Ker ϕ + dim Im ϕ =⇒ dim Im ϕ = 2,
ϕ(1, 0, 0, 0) = (3, 5, 2), ϕ(0, 0, 0, 1) = (−1, 0, 1)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 6.5.–7.5.2020 4 / 10
7.1.B4 e)
Nalezněte jádro a obraz zobrazení ϕ: R3 → R4, kde ϕ((1, 2, 1)) =
(−1, 1, 1, 1), ϕ((0, 1, 2)) = (1, 0, 0, 1), ϕ((1, 0, −1)) = (0, 1, 1, 2).
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 6.5.–7.5.2020 5 / 10
7.1.B4 e)
Nalezněte jádro a obraz zobrazení ϕ: R3 → R4, kde ϕ((1, 2, 1)) =
(−1, 1, 1, 1), ϕ((0, 1, 2)) = (1, 0, 0, 1), ϕ((1, 0, −1)) = (0, 1, 1, 2).
Řešení:
o = ϕ(x) = ϕ(t1 · (1, 2, 1) + t2 · (0, 1, 2) + t3 · (1, 0, −1)) =
= t1 · (−1, 1, 1, 1) + t2 · (1, 0, 0, 1) + t3 · (0, 1, 1, 2)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 6.5.–7.5.2020 5 / 10
7.1.B4 e)
Nalezněte jádro a obraz zobrazení ϕ: R3 → R4, kde ϕ((1, 2, 1)) =
(−1, 1, 1, 1), ϕ((0, 1, 2)) = (1, 0, 0, 1), ϕ((1, 0, −1)) = (0, 1, 1, 2).
Řešení:
o = ϕ(x) = ϕ(t1 · (1, 2, 1) + t2 · (0, 1, 2) + t3 · (1, 0, −1)) =
= t1 · (−1, 1, 1, 1) + t2 · (1, 0, 0, 1) + t3 · (0, 1, 1, 2)




−1 1 0 0
1 0 1 0
1 0 1 0
1 1 2 0



 ∼




−1 1 0 0
0 1 1 0
0 1 1 0
0 2 2 0



 =⇒ (−s, −s, s)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 6.5.–7.5.2020 5 / 10
7.1.B4 e)
Nalezněte jádro a obraz zobrazení ϕ: R3 → R4, kde ϕ((1, 2, 1)) =
(−1, 1, 1, 1), ϕ((0, 1, 2)) = (1, 0, 0, 1), ϕ((1, 0, −1)) = (0, 1, 1, 2).
Řešení:
o = ϕ(x) = ϕ(t1 · (1, 2, 1) + t2 · (0, 1, 2) + t3 · (1, 0, −1)) =
= t1 · (−1, 1, 1, 1) + t2 · (1, 0, 0, 1) + t3 · (0, 1, 1, 2)




−1 1 0 0
1 0 1 0
1 0 1 0
1 1 2 0



 ∼




−1 1 0 0
0 1 1 0
0 1 1 0
0 2 2 0



 =⇒ (−s, −s, s)
−(1, 2, 1) − (0, 1, 2) + (1, 0 − 1) = (0, −3, −4)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 6.5.–7.5.2020 5 / 10
7.1.B4 e)
Nalezněte jádro a obraz zobrazení ϕ: R3 → R4, kde ϕ((1, 2, 1)) =
(−1, 1, 1, 1), ϕ((0, 1, 2)) = (1, 0, 0, 1), ϕ((1, 0, −1)) = (0, 1, 1, 2).
Řešení:
o = ϕ(x) = ϕ(t1 · (1, 2, 1) + t2 · (0, 1, 2) + t3 · (1, 0, −1)) =
= t1 · (−1, 1, 1, 1) + t2 · (1, 0, 0, 1) + t3 · (0, 1, 1, 2)




−1 1 0 0
1 0 1 0
1 0 1 0
1 1 2 0



 ∼




−1 1 0 0
0 1 1 0
0 1 1 0
0 2 2 0



 =⇒ (−s, −s, s)
−(1, 2, 1) − (0, 1, 2) + (1, 0 − 1) = (0, −3, −4)
dim Im ϕ = 2 =⇒ Im ϕ = [(1, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 2)]
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 6.5.–7.5.2020 5 / 10
7.1.B11
Nechť ϕ: V → V je lineární zobrazení a nechť u1, . . . , un je báze prostoru
V . Dokažte, že platí
ϕ je injektivní ⇐⇒ ϕ(u1), . . . , ϕ(un) jsou lineárně nezávislé.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 6.5.–7.5.2020 6 / 10
7.1.B11
Nechť ϕ: V → V je lineární zobrazení a nechť u1, . . . , un je báze prostoru
V . Dokažte, že platí
ϕ je injektivní ⇐⇒ ϕ(u1), . . . , ϕ(un) jsou lineárně nezávislé.
Řešení: „=⇒“ Sporem.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 6.5.–7.5.2020 6 / 10
7.1.B11
Nechť ϕ: V → V je lineární zobrazení a nechť u1, . . . , un je báze prostoru
V . Dokažte, že platí
ϕ je injektivní ⇐⇒ ϕ(u1), . . . , ϕ(un) jsou lineárně nezávislé.
Řešení: „=⇒“ Sporem.
∃ti = 0 : t1ϕ(u1) + · · · + tnϕ(un) = o
ϕ LZ
=⇒ ϕ(t1u1 + · · · + tnun) = o
ϕ inj.
=⇒ t1u1 + · · · + tnun = o =⇒ Spor.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 6.5.–7.5.2020 6 / 10
7.1.B11
Nechť ϕ: V → V je lineární zobrazení a nechť u1, . . . , un je báze prostoru
V . Dokažte, že platí
ϕ je injektivní ⇐⇒ ϕ(u1), . . . , ϕ(un) jsou lineárně nezávislé.
Řešení: „=⇒“ Sporem.
∃ti = 0 : t1ϕ(u1) + · · · + tnϕ(un) = o
ϕ LZ
=⇒ ϕ(t1u1 + · · · + tnun) = o
ϕ inj.
=⇒ t1u1 + · · · + tnun = o =⇒ Spor.
„⇐=“ Díky tomu, že u1, . . . , un je báze máme
ϕ(t1u1 + · · · + tnun) = o
ϕ LZ+LN
=⇒ t1ϕ(u1) + · · · + tnϕ(un) = o ∧ t1 = · · · = tn = 0
=⇒ Ker ϕ = {o} =⇒ ϕ je injektivní
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 6.5.–7.5.2020 6 / 10
7.1.A1
U.p. injektivního lineárního zobrazení ϕ: R2 → R3, resp. ϕ: R3 → R2.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 6.5.–7.5.2020 7 / 10
7.1.A1
U.p. injektivního lineárního zobrazení ϕ: R2 → R3, resp. ϕ: R3 → R2.
Řešení: a) ϕ((x1, x2)) = (x1, x2, 0),
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 6.5.–7.5.2020 7 / 10
7.1.A1
U.p. injektivního lineárního zobrazení ϕ: R2 → R3, resp. ϕ: R3 → R2.
Řešení: a) ϕ((x1, x2)) = (x1, x2, 0),
b) neexistuje.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 6.5.–7.5.2020 7 / 10
7.1.A1
U.p. injektivního lineárního zobrazení ϕ: R2 → R3, resp. ϕ: R3 → R2.
Řešení: a) ϕ((x1, x2)) = (x1, x2, 0),
b) neexistuje.
7.1.A2
U.p. surjektivního lineárního zobrazení ϕ: R2 → R3, resp. ϕ: R3 → R2.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 6.5.–7.5.2020 7 / 10
7.1.A1
U.p. injektivního lineárního zobrazení ϕ: R2 → R3, resp. ϕ: R3 → R2.
Řešení: a) ϕ((x1, x2)) = (x1, x2, 0),
b) neexistuje.
7.1.A2
U.p. surjektivního lineárního zobrazení ϕ: R2 → R3, resp. ϕ: R3 → R2.
Řešení: a) neexistuje,
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 6.5.–7.5.2020 7 / 10
7.1.A1
U.p. injektivního lineárního zobrazení ϕ: R2 → R3, resp. ϕ: R3 → R2.
Řešení: a) ϕ((x1, x2)) = (x1, x2, 0),
b) neexistuje.
7.1.A2
U.p. surjektivního lineárního zobrazení ϕ: R2 → R3, resp. ϕ: R3 → R2.
Řešení: a) neexistuje,
b) ϕ((x1, x2, x3)) = (x1, x2)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 6.5.–7.5.2020 7 / 10
7.1.A1
U.p. injektivního lineárního zobrazení ϕ: R2 → R3, resp. ϕ: R3 → R2.
Řešení: a) ϕ((x1, x2)) = (x1, x2, 0),
b) neexistuje.
7.1.A2
U.p. surjektivního lineárního zobrazení ϕ: R2 → R3, resp. ϕ: R3 → R2.
Řešení: a) neexistuje,
b) ϕ((x1, x2, x3)) = (x1, x2)
7.1.A3
U.p. bijektivního zobrazení ϕ: R3 → R3, které není lineárním zobraze-
ním.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 6.5.–7.5.2020 7 / 10
7.1.A1
U.p. injektivního lineárního zobrazení ϕ: R2 → R3, resp. ϕ: R3 → R2.
Řešení: a) ϕ((x1, x2)) = (x1, x2, 0),
b) neexistuje.
7.1.A2
U.p. surjektivního lineárního zobrazení ϕ: R2 → R3, resp. ϕ: R3 → R2.
Řešení: a) neexistuje,
b) ϕ((x1, x2, x3)) = (x1, x2)
7.1.A3
U.p. bijektivního zobrazení ϕ: R3 → R3, které není lineárním zobraze-
ním.
Řešení: ϕ((x1, x2, x3)) = (x1 + 1, x2 + 1, x3 + 1)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 6.5.–7.5.2020 7 / 10
7.1.A5
U.p. lineárního zobrazení ϕ: R5 → R4 takového, že dim Ker ϕ = 2.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 6.5.–7.5.2020 8 / 10
7.1.A5
U.p. lineárního zobrazení ϕ: R5 → R4 takového, že dim Ker ϕ = 2.
Řešení: ϕ(1, 0, 0, 0, 0) = o, ϕ(0, 1, 0, 0, 0) = o, ϕ(0, 0, 1, 0, 0) = (1, 0, 0, 0),
ϕ(0, 0, 0, 1, 0) = (0, 1, 0, 0), ϕ(0, 0, 0, 0, 1) = (0, 0, 1, 0)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 6.5.–7.5.2020 8 / 10
7.1.A5
U.p. lineárního zobrazení ϕ: R5 → R4 takového, že dim Ker ϕ = 2.
Řešení: ϕ(1, 0, 0, 0, 0) = o, ϕ(0, 1, 0, 0, 0) = o, ϕ(0, 0, 1, 0, 0) = (1, 0, 0, 0),
ϕ(0, 0, 0, 1, 0) = (0, 1, 0, 0), ϕ(0, 0, 0, 0, 1) = (0, 0, 1, 0)
7.1.A6
Uveďte příklad lineárního zobrazení ϕ: R5 → R4 takového, že Im ϕ =
[(1, 2, 3, 4), (4, 3, 2, 1)].
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 6.5.–7.5.2020 8 / 10
7.1.A5
U.p. lineárního zobrazení ϕ: R5 → R4 takového, že dim Ker ϕ = 2.
Řešení: ϕ(1, 0, 0, 0, 0) = o, ϕ(0, 1, 0, 0, 0) = o, ϕ(0, 0, 1, 0, 0) = (1, 0, 0, 0),
ϕ(0, 0, 0, 1, 0) = (0, 1, 0, 0), ϕ(0, 0, 0, 0, 1) = (0, 0, 1, 0)
7.1.A6
Uveďte příklad lineárního zobrazení ϕ: R5 → R4 takového, že Im ϕ =
[(1, 2, 3, 4), (4, 3, 2, 1)].
Řešení: ϕ(1, 0, 0, 0, 0) = (1, 2, 3, 4), ϕ(0, 1, 0, 0, 0) = (4, 3, 2, 1),
ϕ(0, 0, 1, 0, 0) = o, ϕ(0, 0, 0, 1, 0) = o, ϕ(0, 0, 0, 0, 1) = o
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 6.5.–7.5.2020 8 / 10
7.1.A5
U.p. lineárního zobrazení ϕ: R5 → R4 takového, že dim Ker ϕ = 2.
Řešení: ϕ(1, 0, 0, 0, 0) = o, ϕ(0, 1, 0, 0, 0) = o, ϕ(0, 0, 1, 0, 0) = (1, 0, 0, 0),
ϕ(0, 0, 0, 1, 0) = (0, 1, 0, 0), ϕ(0, 0, 0, 0, 1) = (0, 0, 1, 0)
7.1.A6
Uveďte příklad lineárního zobrazení ϕ: R5 → R4 takového, že Im ϕ =
[(1, 2, 3, 4), (4, 3, 2, 1)].
Řešení: ϕ(1, 0, 0, 0, 0) = (1, 2, 3, 4), ϕ(0, 1, 0, 0, 0) = (4, 3, 2, 1),
ϕ(0, 0, 1, 0, 0) = o, ϕ(0, 0, 0, 1, 0) = o, ϕ(0, 0, 0, 0, 1) = o
7.1.A7
Nechť ϕ: Rk → Rn je lineární zobrazení takové, že dim Ker ϕ = 4 a
dim Im ϕ = 5. Uveďte, co všechno pak můžete říct o číslech k a n.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 6.5.–7.5.2020 8 / 10
7.1.A5
U.p. lineárního zobrazení ϕ: R5 → R4 takového, že dim Ker ϕ = 2.
Řešení: ϕ(1, 0, 0, 0, 0) = o, ϕ(0, 1, 0, 0, 0) = o, ϕ(0, 0, 1, 0, 0) = (1, 0, 0, 0),
ϕ(0, 0, 0, 1, 0) = (0, 1, 0, 0), ϕ(0, 0, 0, 0, 1) = (0, 0, 1, 0)
7.1.A6
Uveďte příklad lineárního zobrazení ϕ: R5 → R4 takového, že Im ϕ =
[(1, 2, 3, 4), (4, 3, 2, 1)].
Řešení: ϕ(1, 0, 0, 0, 0) = (1, 2, 3, 4), ϕ(0, 1, 0, 0, 0) = (4, 3, 2, 1),
ϕ(0, 0, 1, 0, 0) = o, ϕ(0, 0, 0, 1, 0) = o, ϕ(0, 0, 0, 0, 1) = o
7.1.A7
Nechť ϕ: Rk → Rn je lineární zobrazení takové, že dim Ker ϕ = 4 a
dim Im ϕ = 5. Uveďte, co všechno pak můžete říct o číslech k a n.
Řešení: k = 9, n ≥ 5
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 6.5.–7.5.2020 8 / 10
7.1.B9 d)
Rozhodněte, zda prostory V = Rn a V = Rn[x] jsou izomorfní.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 6.5.–7.5.2020 9 / 10
7.1.B9 d)
Rozhodněte, zda prostory V = Rn a V = Rn[x] jsou izomorfní.
Řešení: Ne, jelikož
dim Rn
= n = n + 1 = dim Rn[x]
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 6.5.–7.5.2020 9 / 10
7.1.B9 d)
Rozhodněte, zda prostory V = Rn a V = Rn[x] jsou izomorfní.
Řešení: Ne, jelikož
dim Rn
= n = n + 1 = dim Rn[x]
7.1.B9 f)
Rozhodněte, zda prostory V = Mat22(R) a V = {(x1, x2, x3, x4, x5) ∈
R5 | x1 + 2x3 = x4} jsou izomorfní.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 6.5.–7.5.2020 9 / 10
7.1.B9 d)
Rozhodněte, zda prostory V = Rn a V = Rn[x] jsou izomorfní.
Řešení: Ne, jelikož
dim Rn
= n = n + 1 = dim Rn[x]
7.1.B9 f)
Rozhodněte, zda prostory V = Mat22(R) a V = {(x1, x2, x3, x4, x5) ∈
R5 | x1 + 2x3 = x4} jsou izomorfní.
Řešení: Ano, jelikož
dim Mat22(R) = 4 = dim V
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 6.5.–7.5.2020 9 / 10
Domácí úkol
První příklad
Rozhodněte, zda ϕ: R2[x] → R3[x], kde
ϕ(ax2
+ bx + c) = 3ax3
+ 2bx2
+ cx
je lineární zobrazení, resp. injektivní LZ, resp. surjektivní LZ.
Druhý příklad
Nalezněte jádro a obraz zobrazení ϕ: R3 → R2, kde
ϕ((x1, x2, x3)) = (x1 + x2, x2 + x3).
Třetí příklad
Rozhodněte, zda prostory V = R3 a V = Q3 jsou izomorfní.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 6.5.–7.5.2020 10 / 10