MUC31 Lineární algebra a geometrie Ukázková písemka
První část
Příklad 1: U.p. dvou různých podprostorů Wi, W2 ve vektorovém prostoru M4 tak, že W\ U W2 = W1+W2.
Příklad 2: U.p. dvou regulárních matic A, B, které jsou děliteli nuly v okruhu Mat33(M, +, •)
Příklad 3: U.p. homogenní soustavy lineárních rovnic nad M tak, aby bází jejího podprostorů řešení byly vektory (1,1, 0, 0, 0) a (0, 0, 0, 0,1).
Příklad 4: U.p. netriviálního podprostorů W euklidovského prostoru M4 (s obvyklým skalárním součinem) tak, aby platilo, že dim JU^ < dim JU .
Příklad 5: U.p. ortogonální transformace p euklidovského prostoru M4 (s obvyklým skalárním součinem), která není surjektivním zobrazením.
Každý příklad je za jeden bod. V případě negativní odpovědi u příkladu „U.p." podejte zdůvodnění!
Druhá část
Příklad 1: Určete všechny hodnoty parametru a, pro které vektory (tzn. polynomy) fi, Í2, í3 tvoří bázi vektorového prostoru M2M j e—1 i:
fi = x2 + x — a,       Í2 = 4x2 — 6x — 3,       f3 = clx2 — 4x — 1.
Příklad 2: Nechť An značí matici řádu n (nad M). Dokažte, že pro každé n G N platí:
I An j = i (5«+1 - 2«+1) .
Přitom
/ 7	5	0 .	. 0	0	0 \
2	7	5 .	. 0	0	0
0	2	7 .	. 0	0	0
0	0	0 .	. 7	5	0
0	0	0 .	. 2	7	5
V 0	0	0 .	. 0	2	7 /
Příklad 3: Řešte soustavu lineárních rovnic nad M v závislosti na parametru a G M (tzn. zjistěte pro která a je soustava řešitelná, resp. neřešitelná a u řešitelné soustavy vždy vypište všechna řešení) :
axi + x2 + x3 = 1 x\ + ax2 + X3 = a xi +  x2 + ax3 = ffl2
Příklad 4: V euklidovském prostoru M4 (s obvyklým skalárním součinem) nalezněte ortogonální projekci vektoru w do podprostorů U = [111,112,113]. Přitom:
w = (-2,2,2,5),       ui = (1,1,-1,2),       u2 = (3,1,0,1),       u3 = (2, 0,1,-1).
Příklad 5: Je dáno lineární zobrazení íp: M4 —> M3 takto:
p((xi,x2,x3,x4)) = (3xi - x2 + 2x3 - x4 , 5xi + 2x2 + 3x3, 2xi + 3x2 + x3 + x4 ). Nalezněte bázi jádra Ker p a bázi obrazu Imp.
Každý příklad je za tři body.