Dělení a klasifikace
zobrazení
Matematická kartografie
Osnova
1. Základní transformace mezi referenčními plochami a
rovinnými souřadnicovými systémy
2. Základní vlastnosti jednoduchých zobrazení
3. Základní vlastnosti nepravých zobrazení
4. Základní vlastnosti obecných zobrazení
5. Klasifikace zobrazení podle zkreslení
2
Projekce a zobrazení
• „projekce“ není „projection“
• projekce = geometrická cesta - funguje jako projektor
• musím znát vzdálenost, ohnisko, vlastnosti zobrazovací plochy
3
• zobrazení = matematická cesta
• máme prostor φ, λ a druhý prostor x, y (nebo ρ, ε)
• zkoumáme, jaké je matematické pravidlo pro převod z prostoru do
prostoru
• je to jednodušší než projekce
• mohu si nastavit předběžné podmínky
• projekce se někdy zahrnují pod jednoduchá zobrazení
Základní transformace mezi referenčními plochami a
rovinnými souřadnicovými systémy
• výchozí referenční plocha:
zpravidla elipsoid
• cíl: pravoúhlé souřadnice v
rovině
• zobrazení – definice
matematickou cestou nebo
geometrickou cestou
(projekce)
4
Je možnost rovnou převést zem. šířku a délku na X a Y. Např. UTM.
Je možnost složitější cesty přes kouli a kartografické souřadnice.
Např. Křovák.
Jaké souřadnice ve schématu chybí?
Izometrické. Kde by se ve schématu měly objevit q a Q?
• Podle:
– tvar zobrazovacích rovnic
– vlastnosti zkreslení obrazu
– poloha konstrukční osy
– podle plochy rozvinutelné do roviny
– tvar zeměpisné sítě v rovině
– počet na sebe navazujících částí, na které je
povrch zobrazován (např. polykónická)
– apod.
5
Klasifikace zobrazení
Základní vlastnosti jednoduchých zobrazení
• geometrická představa promítání referenční plochy na plochy
rozvinutelné do roviny
• plocha rozvinutelná do roviny:
– plášť válce - válcová (cylindrical)
– plášť kužele - kuželová (conic)
– rovina sama - azimutální (planar, azimuthal)
• konstrukční osa zobrazovací plochy (válec, kužel – osa, rovina –
normála v tečném bodě) a její poloha vůči referenční ploše:
– pólová poloha (normální, polar)
– příčná poloha (rovníkové, transverzální, transversal)
– obecná poloha (šikmé, oblique)
6
Děláme si geometickou představu, ale ta může být matoucí.
Ve skutečnosti to může být kuželové zobrazení jen čistě teoreticky.
• Všechna jednoduchá zobrazení – úhel mezi
rovnoběžkou a poledníkem je vždy 90°.
• Obrazy poledníků a rovnoběžek tvoří vzájemně
ortogonální soustavu rovnoběžných přímek, ve kterých
leží směry hlavních paprsků zkreslení.
• Platí to pro zeměpisnou síť (pólová poloha) nebo
kartografické poledníky a rovnoběžky (příčná či obecná
poloha).
• Poledníky se zobrazují jako svazek přímek nebo osnova
rovnoběžných přímek.
• Rovnoběžky se zobrazují jako soustava soustředných
kružnic nebo osnova rovnoběžných přímek.
7
Základní vlastnosti jednoduchých zobrazení
Základní vlastnosti jednoduchých zobrazení
Jednoduchá válcová zobrazení
8
)(
)(


fy
fx


Základní vlastnosti jednoduchých zobrazení
Jednoduchá kuželová zobrazení
9
)(
)(


f
f


)(
)(
Vf
Uf




X
V
Xv P´
Y
XP
YP
0
 
Základní vlastnosti jednoduchých zobrazení
Jednoduchá azimutální zobrazení
10
0
X
P´
Y
Yp
Xp

)(
)(


f
f


)(
)(
Vf
Uf




Základní vlastnosti nepravých zobrazení
• nepravá zobrazení (pseudozobrazení – "pseudo" projections)
• jedna zobrazovací rovnice – funkce obou souřadnic na referenční ploše
• poledníky a rovnoběžky nejsou vzájemně ortogonální
• základní referenční plocha – zpravidla referenční koule
• převážně pro mapy malých měřítek
• zpravidla pouze pólová poloha
11
),(
)(
VUfy
Ufx


),(
)(
VUf
Uf




• základní zobrazovací rovnice:
• nepravá válcová (pseudoválcová) zobrazení
• nepravá kuželové, resp. azimutální
(pseudokónická, resp. pseudoazimutální)
zobrazení
Jak budou vypadat rovnoběžky a poledníky?
Základní vlastnosti nepravých zobrazení
12
Mercator-Sansonovo
Bonneovo
Aitovovo
Základní vlastnosti obecných zobrazení
• obě zobrazovací rovnice jsou
funkcí obou souřadnic na
referenční ploše
• zpravidla v pólové poloze
• některé konformní, většina z nich
je vyrovnávací – zkreslují vše
• tvary zobrazovacích rovnic:
– referenční elipsoid
– referenční koule
13
),(
),(


fy
fx


),(
),(
VUfy
VUfx


),(
),(


f
f


),(
),(
VUf
VUf




referenční elipsoid:
referenční koule:
V praxi se používají pouze některá – vhodná pro definování
zobrazení v referenčních souřadnicových systémech.
Základní vlastnosti obecných zobrazení
14
Peirceovo zobrazení
Guyouovo zobrazení (Guyou
projection)
Augustovo zobrazení
Pozor na pojmy
15
• Pozor na záměnu:
zobrazení v obecné poloze x obecné zobrazení.
• Pozor na názvy zobrazení:
• někdy se píše „Albers projection“,
• někdy „equal-area conic projection“.
Klasifikace zobrazení podle zkreslení
• rovinný obraz referenční plochy je vždy zkreslen
• obecně jsou deformovány jak vzájemné polohy bodů, tak
tvary (křivosti) čar
• zkreslení (distortion) roste se zvětšujícím se rozsahem
území, pokud je zobrazováno do roviny jako celek
• při odvozování jednotlivých zobrazení se uvažují
požadavky na průběh a celkový charakter zkreslení
rovinného obrazu
16
• zobrazení potom mohou být koncipována jako:
– ekvidistantní (stejnodélná, equidistant)
– ekvivalentní (stejnoplochá, equivalent)
– konformní (stejnoúhlá, conformal)
– kompenzační (vyrovnávací)