logo-IBA logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
ČASOVÉ ŘADY
Mgr. et Mgr. Jiří Kalina, PhD.
prof. Ing. Jiří Holčík, CSc.
UKB, pavilon D29 (Recetox), kancelář 123
kalina@mail.muni.cz

logo-IBA logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
III.  ČASOVÉ ŘADY
PŘÍKLAD TAK TROCHU NA VYSVĚTLENOU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
ZADÁNÍ
þ10 12 8 6 5 11 14 9 10 13 7 6 10 14 9 8 12 9 6 9

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þprůměrná hodnota:
þ
þ
þ
þ
ZADÁNÍ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þprůměrná hodnota:
þ
þ
þklouzavý průměr:
þ pro m liché
þ
þ
þ
þ pro m sudé třeba
þ
þ
ZADÁNÍ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
KLOUZAVÝ PRŮMĚR
þm = 3
10
12
8
6
5
11
14
9
10
13
7
6
10
14
9
8
12
9
6
9
10,0
8,7
6,3
7,3
10,0
11,3
11,0
10,7
10,0
8,7
7,7
10,0
11,0
10,3
9,7
9,7
9,0
8,0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
KLOUZAVÝ PRŮMĚR
þm = 3
10
12
8
6
5
11
14
9
10
13
7
6
10
14
9
8
12
9
6
9
?
10,0
8,7
6,3
7,3
10,0
11,3
11,0
10,7
10,0
8,7
7,7
10,0
11,0
10,3
9,7
9,7
9,0
8,0
?
?
?
10,0
8,7
6,3
7,3
10,0
11,3
11,0
10,7
10,0
8,7
7,7
10,0
11,0
10,3
9,7
9,7
9,0
8,0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
KAUZALITA ≡
≡ PŘÍČINNOST
přechodný děj = reakce na počáteční podmínky

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
KLOUZAVÝ PRŮMĚR
þm = 3
10
12
8
6
5
11
14
9
10
13
7
6
10
14
9
8
12
9
6
9
?
10,0
8,7
6,3
7,3
10,0
11,3
11,0
10,7
10,0
8,7
7,7
10,0
11,0
10,3
9,7
9,7
9,0
8,0
?
?
?
10,0
8,7
6,3
7,3
10,0
11,3
11,0
10,7
10,0
8,7
7,7
10,0
11,0
10,3
9,7
9,7
9,0
8,0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
nulové počáteční podmínky

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
KLOUZAVÝ PRŮMĚR
þm = 3
10
12
8
6
5
11
14
9
10
13
7
6
10
14
9
8
12
9
6
9
7,3
10,0
8,7
6,3
7,3
10,0
11,3
11,0
10,7
10,0
8,7
7,7
10,0
11,0
10,3
9,7
9,7
9,0
8,0
?
3,3
7,3
10,0
8,7
6,3
7,3
10,0
11,3
11,0
10,7
10,0
8,7
7,7
10,0
11,0
10,3
9,7
9,7
9,0
8,0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
nulové počáteční podmínky x(0)=0, x(-1)=0

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
KLOUZAVÝ PRŮMĚR
þm = 3
10
12
8
6
5
11
14
9
10
13
7
6
10
14
9
8
12
9
6
9
10,7
10,0
8,7
6,3
7,3
10,0
11,3
11,0
10,7
10,0
8,7
7,7
10,0
11,0
10,3
9,7
9,7
9,0
8,0
?
10,0
10,7
10,0
8,7
6,3
7,3
10,0
11,3
11,0
10,7
10,0
8,7
7,7
10,0
11,0
10,3
9,7
9,7
9,0
8,0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
počáteční podmínky rovné první hodnotě
x(0) = 10, x(-1)=10

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
KLOUZAVÝ PRŮMĚR
þm = 3
10
12
8
6
5
11
14
9
10
13
7
6
10
14
9
8
12
9
6
9
10,0
8,7
6,3
7,3
10,0
11,3
11,0
10,7
10,0
8,7
7,7
10,0
11,0
10,3
9,7
9,7
9,0
8,0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
8,2 8,4 8,8 9,0 9,8 11,4 10,6 9,0 9,2 10,0 9,2 9,4 10,6 10,4 8,8 8,8
m = 5
a = (1/5, 1/5, 1/5, 1/5, 1/5)

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
KLOUZAVÝ PRŮMĚR
þm = 3
10
12
8
6
5
11
14
9
10
13
7
6
10
14
9
8
12
9
6
9
10,0
8,7
6,3
7,3
10,0
11,3
11,0
10,7
10,0
8,7
7,7
10,0
11,0
10,3
9,7
9,7
9,0
8,0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
8,2 8,4 8,8 9,0 9,8 11,4 10,6 9,0 9,2 10,0 9,2 9,4 10,6 10,4 8,8 8,8
m = 5
9,4
9,3
9,0
9,7
9,9
10,0
9,9
9,9
9,9
9,6
9,4
9,7
9,7
9,6
m = 7
a = (1/7, 1/7, 1/7, 1/7, 1/7, 1/7, 1/7)

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
KLOUZAVÝ PRŮMĚR
þm = 3
10
12
8
6
5
11
14
9
10
13
7
6
10
14
9
8
12
9
6
9
10,0
8,7
6,3
7,3
10,0
11,3
11,0
10,7
10,0
8,7
7,7
10,0
11,0
10,3
9,7
9,7
9,0
8,0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
9,4
9,3
9,0
9,7
9,9
10,0
9,9
9,9
9,9
9,6
9,4
9,7
9,7
9,6
m = 7
a = (1/7, -1/7, -1/7, 1/7, -1/7, -1/7, 1/7)
-0,9
-1,9
-0,7
-0,3
-3,9
-2,3
0,7
-1,3
-2,7
-0,7
0,0
-2,9
-2,9
0,4

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
ZPŮSOB VÝPOČTU
þuvažujme třeba kauzální výpočet (tj. pouze ze zpožděných známých hodnot):
þ1.
þ
þ
þ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
ZPŮSOB VÝPOČTU
þuvažujme třeba kauzální výpočet (tj. pouze ze zpožděných známých hodnot):
þ1.
þ
þ
þ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
ZPŮSOB VÝPOČTU
þuvažujme třeba kauzální výpočet (tj. pouze ze zpožděných známých hodnot):
þ1.
þ
þ
þ2.
þ
þrekurze – používá staré hodnoty výstupních vzorků

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
NOVÉ POJMY
þkoeficienty odpovídající žádanému průběhu časové řady (model); þpřechodný děj (odezva na počáteční
podmínky);
þkauzalita;
þrekurze.

logo-IBA logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
IV.  ANALÝZA ČASOVÝCH ŘAD
ZÁKLADNÍ POJMY

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þabychom mohli úspěšně řešit praktické problémy (analýza, syntéza), potřebujeme reálné veličiny
vyjádřit matematicky jejich (abstraktními) modely;
þmodel veličiny by měl splňovat dva základní požadavky:
èvýstižnost, přesnost;
èjednoduchost, snadná manipulace;
VELIČINYR MATEMATICKÉ MODELY

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
KLASIFIKACE VELIČIN
(A JEJICH MATEMATICKÝCH MODELŮ)
A)spojité a diskrétní
B)reálné a komplexní
C)deterministické a nedeterministické (náhodné?)
D)periodické a neperiodické
E)sudé a liché

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
A) SPOJITÉ A DISKRÉTNÍ VELIČINY
þSpojitá veličina(přesněji veličina se spojitým časem) je taková veličina x(t), kde čas t je
spojitá proměnná.
þDiskrétní veličina (přesněji veličina s diskrétním časem) je taková veličina x(t), kde čas t je
definován v diskrétních časových okamžicích. Diskrétní veličinu proto často zapisujeme jako
posloupnost {xn}, kde n je celé číslo, resp. x(nT).

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
A) SPOJITÉ A DISKRÉTNÍ VELIČINY
þ
1-1b 1-1a

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þPozn. Spojitá vs. nespojitá funkce. Zde se myslí ve smyslu hodnot funkce nikoliv času. V tomto
smyslu reálná nespojitá veličina (signál) v praxi neexistuje (vždy konečná délka přechodu).
Příklad: obdélníkový signál
þ
þ
þTypy dat (Biostatistika, str.12):
þkvalitativní:
ènominální – kategorie nelze seřadit;
èordinální – kategorie je možné seřadit;
èbinární
þkvantitativní:
èspojitá;
èdiskrétní;
A) SPOJITÉ A DISKRÉTNÍ VELIČINY

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þPozn. Spojitá vs. nespojitá funkce. Zde se myslí ve smyslu hodnot funkce nikoliv času. V tomto
smyslu reálná nespojitá veličina (signál) v praxi neexistuje (vždy konečná délka přechodu).
Příklad: obdélníkový signál
þ
þTypy dat (Biostatistika, str.12):
þkvalitativní:
ènominální – kategorie nelze seřadit;
èordinální – kategorie je možné seřadit;
èbinární
þkvantitativní:
èspojitá
èdiskrétní
þ
A) SPOJITÉ A DISKRÉTNÍ VELIČINY

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þPozn. Spojitá vs. nespojitá funkce. Zde se myslí ve smyslu hodnot funkce nikoliv času. V tomto
smyslu reálná nespojitá veličina (signál) v praxi neexistuje (vždy konečná délka přechodu).
Příklad: obdélníkový signál
þ
þTypy dat (Biostatistika, str.12):
þkvalitativní:
ènominální – kategorie nelze seřadit;
èordinální – kategorie je možné seřadit;
èbinární
þkvantitativní:
èspojitá
èdiskrétní
þ                 Délka dat
þbudeme se zabývat posloupnostmi od desítek vzorků
è
þ
A) SPOJITÉ A DISKRÉTNÍ VELIČINY

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
A) SPOJITÉ A DISKRÉTNÍ VELIČINY
þU diskrétní veličiny není její hodnota mezi jednotlivými diskrétními časovými okamžiky definována.
þDiskrétní veličinu lze také získat vzorkováním spojité veličiny: x(t0), x(t1), x(t2), ..., x(tn),
... (též značení x0, x1, x2, ..., xn, ...). Hodnoty xi = xi(t) se nazývají vzorky.

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
A) SPOJITÉ A DISKRÉTNÍ VELIČINY
èfunkčním předpisem (modelem), např.
è
(zde se implicitně předpokládá, že pořadí prvků je číslováno od nuly a pro záporné indexy n jsou
hodnoty nulové)
diskrétní veličinu můžeme zapsat
èexplicitně seznamem hodnot, např.
è
è
è
è
è
þ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
B) REÁLNÉ A KOMPLEXNÍ VELIČINY
þReálná veličina (model) je taková, která nabývá reálných hodnot. (V praxi skutečně měřitelný.)
þKomplexní veličina (model) je taková, která nabývá komplexních hodnot. (Hypotetická, v praxi
neměřitelná.)
þx(t) = x1(t)+ix2(t), resp. x(t) = x1(t)+jx2(t)
Čas t je spojitý nebo diskrétní.

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
C) DETERMINISTICKÉ A NEDETERMINISTICKÉ (NÁHODNÉ ) VELIČINY
þDeterministická veličina je taková, jejíž hodnoty jsou v daném čase jednoznačně určeny. Taková
veličina může být popsán analytickou funkcí času t.
þNedeterministická (náhodná, stochastická) veličina je taková, jejíž hodnoty jsou náhodné (?!) (tj.
tak deterministicky složité, že jim nerozumíme). Takové veličiny popisujeme statistickými
prostředky. Např. bílý/barevný šum, definované rozložení, momenty.

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
C) DETERMINISTICKÉ A NÁHODNÉ VELIČINY
þNáhodná (stochastická) veličina je taková, jejíž hodnoty jsou náhodné (?!) (tj. tak
deterministicky složité, že jim nerozumíme). Takové veličiny popisujeme statistickými prostředky.
Např. bílý/barevný šum.
!!! POZOR POZOR !!!
Náhodnost není generickou vlastností dané veličiny, tuto vlastnost jí přisuzuje předpokládaný
matematický nástroj.
! POHOV !

>

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
C) DETERMINISTICKÉ A NÁHODNÉ VELIČINY
Náhodná (stochastická) veličina je taková, jejíž hodnoty jsou náhodné (?!) (tj. tak deterministicky
složité, že jim nerozumíme). Takové veličiny popisujeme statistickými prostředky. Např.
bílý/barevný šum.
Náhodný proces
Systém {xi} náhodných veličin xi, definovaných pro všechna tÎR se nazývá náhodný proces (random
process) a označuje se x(t). Nezávislá veličina t je zpravidla čas.
vstacionarita;
vergodicita

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
STACIONARITA NÁHODNÉHO PROCESU
þzhruba:
þstacionární náhodný proces (stationary random process) je proces se stálým chováním
001.jpg

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þpřesněji:
þstacionární náhodný proces je takový proces, jehož libovolné statistické charakteristiky nejsou
závislé na poloze počátku časové osy (nezávisí na absolutních hodnotách času, jen na délkách
časových intervalů mezi okamžiky t1 a t2)
þ
þ
STACIONARITA NÁHODNÉHO PROCESU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þpřesněji:
þstacionární náhodný proces je takový proces, jehož libovolné statistické charakteristiky nejsou
závislé na poloze počátku časové osy (nezávisí na absolutních hodnotách času, jen na délkách
časových intervalů mezi okamžiky t1 a t2)
þ
þZ praktického hlediska často vnímáme pojem stacionarity v tzv. širším slova smyslu, kdy stačí, aby
se s nezávisle proměnnou neměnily pouze statistické momenty 1. a 2. řádu, střední hodnota, rozptyl
a autokorelační, resp. autokovarianční funkce.
þ
STACIONARITA NÁHODNÉHO PROCESU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þErgodický náhodný proces (ergodic random process) se vyznačuje tím, že všechny jeho realizace mají
stejné statistické vlastnosti (stejné chování) – to umožňuje odhadovat parametry náhodného procesu
z jediné libovolné realizace.
þ
þZpravidla požadujeme (je to z hlediska analýzy pohodlnější), aby byl analyzovaný proces jak
stacionární, tak i ergodický, ale obecně ergodický proces nemusí být nezbytně i stacionární a
samozřejmě i naopak (záleží na definici a přístupu).
þ
ERGODICITA NÁHODNÉHO PROCESU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
D) PERIODICKÉ A NEPERIODICKÉ VELIČINY
þSpojitá veličina x(t) je periodická s periodou T, jestliže existuje hodnota T taková, že pro
všechna t platí
nNejmenší kladná hodnota T, pro kterou platí uvedený vztah se nazývá základní perioda.
nObecně lze psát
kde k je celé číslo.

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þPozor!
þPro konstantní veličinu není definována základní perioda. Konstantní veličina je periodická pro
každou hodnotu T.
þSpojitá veličina, který není periodická se nazývá neperiodická nebo aperiodická.
þReálné veličiny, např. biosignály nejsou zcela periodické – hovoříme o repetičních veličinách.
þ
þPohov!
řečový signál – samohláska „e“
D) PERIODICKÉ A NEPERIODICKÉ VELIČINY

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
D) PERIODICKÉ A NEPERIODICKÉ VELIČINY
þPozor!
þDiskrétní veličina (časová řada) získaná rovnoměrným vzorkováním  periodické spojité veličiny
nemusí být periodická.
þSoučet dvou spojitých periodických veličin nemusí být periodická veličina.
þSoučet dvou diskrétních periodických veličin s tímtéž vzorkováním je vždy periodická veličina.
èPohov!
nPro diskrétní veličinu (časovou řadu) definujeme periodicitu s periodou N obdobně
a

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
D) PERIODICKÉ A NEPERIODICKÉ VELIČINY
1-3

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
E) SUDÉ A LICHÉ VELIČINY
þSudá veličina je taková, pro níž platí
nLichá veličina je taková, pro níž platí
nSoučin sudé a liché veličiny je lichá veličina.
nSoučin dvou sudých nebo dvou lichých veličin je sudá veličina.

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
E) SUDÉ A LICHÉ VELIČINY
1-2

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
JEŠTĚ DVA DŮLEŽITÉ POJMY
ENERGIE &VÝKON VELIČINY
þjsou odvozeny z primární představy signálu, reprezentovaného elektrickými veličinami, elektrickým
napětím, příp. proudem. Na základě fyzikálních zákonitostí platí, že výkon p(t) v čase t na reálném
odporu R je roven součinu okamžitého napětí na odporu a proudu, jím protékajícím, tedy
þp(t) = u(t).i(t)
þPodle Ohmova zákona je
þu(t) = R.i(t)
þa po dosazení můžeme psát, že
þp(t) = R.i(t).i(t) = R.i2(t) = u(t).u(t)/R = u2(t)/R.
þKdyž je R = 1 Ω, se vztah zjednoduší na
þpR=1(t) = i2(t) = u2(t)

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
JEŠTĚ DVA DŮLEŽITÉ POJMY
ENERGIE &VÝKON VELIČINY
þcelková práce (energie) vykonaná (spotřebovaná) za čas T na jednotkovém odporu je
þ
þ
þNa základě této rozvahy definujeme obecně energii spojité funkce x(t) vztahem
þ
þa pro diskrétní posloupnost x(nTvz)
þ
þ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
JEŠTĚ DVA DŮLEŽITÉ POJMY
ENERGIE &VÝKON SIGNÁLU
þVýkon je práce (energie) vykonaná (spotřebovaná) za časovou jednotku, tj.
þ
þa z toho                      a
þ
þNebo v normalizovaném diskrétním tvaru
þ
þ
þPokud se energie kumuluje v nekonečně dlouhém časovém intervalu, pak se vztahy  modifikují do
tvaru
þ                                                                               a
þpříp.
þ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
SHRNUTÍ
þjaké typy veličin známe (dle vlastností)?
þstacionarita, ergodicita;
þenergie, výkon
þ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þZA TÝDEN NASHLEDANOU

logo-IBA logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
V. MATEMATICKÉ MODELY ČASOVÝCH ŘAD

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
PERIODICKÉ POSLOUPNOSTI

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
PERIODICKÉ POSLOUPNOSTI
x(nTvz) = {…,0,0,1,1,1,0,0,1,1,1,0,0,1,1,…}

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
HARMONICKÁ POSLOUPNOST

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
HARMONICKÁ POSLOUPNOST
File:Circle cos sin.gif
https://en.wikipedia.org/wiki/File:Circle_cos_sin.gif
Θ = f(t)  Þ cos(t), sin(t) Þ cos(nTvz), sin(nTvz)

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þharmonická posloupnost je dána vztahem
þx(nTvz) = A.cos(ΩnTvz + φ0),
þkde
þ A>0 je amplituda harmonické posloupnosti;
þ Ω >0 je úhlový kmitočet h.p., úhlová rychlost;
þ φ0 je počáteční fáze, tj. fáze (počáteční úhel, posun) v čase nTvz =0 ;
þ (ΩnTvz + φ0) je fáze harmonické posloupnosti;
þperioda harmonické posloupnosti je dána vztahem
þT = 2p/Ω
þkmitočet harmonické posloupnosti je definován
þ f = 1/T = Ω/2p
HARMONICKÁ POSLOUPNOST

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
AMPLITUDA
þAmplituda (též výkmit či rozkmit) je maximální hodnota periodicky měnící se veličiny. Spolu s
frekvencí/úhlovou frekvencí, počáteční fází a u vln též vlnovou délkou/vlnovým vektorem je
amplituda jedním ze základních parametrů periodických dějů.
þ
þ
þEtymologie:
þz latiny „amplitudo“ – rozsáhlost, rozpětí, velikost; znamenitost; důstojnost
http://danq.nantoka.info/zangletritecky/uploads/pl-wikipedie640.png

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þharmonická posloupnost je dána vztahem
þx(nTvz) = A.cos(ΩnTvz + φ0),
þkde
þ A>0 je amplituda harmonické posloupnosti;
þ Ω >0 je úhlový kmitočet h.p., úhlová rychlost;
þ φ0 je počáteční fáze, tj. fáze (počáteční úhel, posun) v čase nTvz =0 ;
þ (ΩnTvz + φ0) je fáze harmonické posloupnosti;
þperioda harmonické posloupnosti je dána vztahem
þT = 2p/Ω
þkmitočet harmonické posloupnosti je definován
þ f = 1/T = Ω/2p
HARMONICKÁ POSLOUPNOST

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þharmonická posloupnost je dána vztahem
þx(nTvz) = A.cos(ΩnTvz + φ0),
þkde
þ A>0 je amplituda harmonické posloupnosti;
þ Ω >0 je úhlový kmitočet h.p., úhlová rychlost;
þ φ0 je počáteční fáze, tj. fáze (počáteční úhel, posun) v čase nTvz =0 ;
þ (ΩnTvz + φ0) je fáze harmonické posloupnosti;
þperioda harmonické posloupnosti je dána vztahem
þT = 2p/Ω Þ Ω = 2p/T Þ Ω.Tvz = ΩN = 2p.Tvz/T
þkmitočet harmonické posloupnosti je definován
þf = 1/T = Ω/2p Þ fN = Tvz/T = ΩN/2p = f/fvz
HARMONICKÁ POSLOUPNOST

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þx(nTvz) = A.cos(ΩnTvz + φ0)
þpro A=1, φ0=0 a Ω pro T=8Tvz
HARMONICKÁ POSLOUPNOST
Ts ≡ Tvz
vz … vzorkování
s   … sampling
x(nTvz) = A.cos(ΩnTvz + φ0)
pro A=1, φ0=0 a ΩN = 2p.Tvz/T = p/4

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þx(nTvz) = A.cos(ΩnTvz + φ0)
þpro A=1, φ0=0 a Ω pro T=4T’vz
HARMONICKÁ POSLOUPNOST

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þZměna periodicity veličiny po vzorkování se vzorkovací periodou, která neodpovídá bezezbytkovému
celočíselnému podílu T/Tvz (desetinná část podílu je rovna 0,5).
HARMONICKÁ POSLOUPNOST

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þx(nTvz) = cos(ΩnTvz+p/4)
þpro A=1, φ0= p/4 a Ω pro T=8Tvz, tj. pro ΩN= p/4
þ
þ
þ
HARMONICKÁ POSLOUPNOST

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þ
þ
þtříparametrickou harmonickou posloupnost lze graficky vyjádřit pomocí dvou bodů v rovinách
þ amplituda x (úhlový) kmitočet      a
þ počáteční fáze x (úhlový) kmitočet:
þA = A(Ω)    a    φ0 = φ0(Ω);
þ
x(nTvz) = cos(ΩnTvz+p/4)
pro A=1, φ0= p/4 a Ω pro T=8Tvz, tj. pro ΩN= p/4

HARMONICKÁ POSLOUPNOST
spektrum amplitud
spektrum počátečních fází

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
!!! FREKVENČNÍ SPEKTRUM !!!
þ Frekvenční spektrum časové řady je vyjádření rozložení amplitud a počátečních fází jednotlivých
harmonických složek, ze kterých se časová řada skládá, v závislosti na frekvenci.
þ
þ     ! ZAPAMATOVAT!   ! NA VĚKY !
C:\Program Files\Microsoft Office\MEDIA\CAGCAT10\j0299125.wmf

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þDALŠÍ DEFINICE
þTRIGONOMETRICKÝ TVAR
þx(nTvz) = A.cos(ΩnTvz+φ0) =
þ= A1.cos(ΩnTvz) + A2.sin(ΩnTvz)
þJak to tak?
þcos(α + β) = cosα.cosβ - sinα.sinβ
þ
þAcos(ΩnTs + φ0) = A.cos(ΩnTs).cosφ0 - A.sin(ΩnTs).sinφ0 =
þ = A.cosφ0.cos(ΩnTs) - A.sinφ0.sin(ΩnTs)
þ
þ A1 A2
HARMONICKÁ POSLOUPNOST

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þDALŠÍ DEFINICE
þTRIGONOMETRICKÝ TVAR
þA1 = A.cosφ0   a   A2 = -A.sinφ0
HARMONICKÁ POSLOUPNOST

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þDALŠÍ DEFINICE
þEXPONENCIÁLNÍ (KOMPLEXNÍ) TVAR
þ
þ
þ
þ
þ
þcosa(n) + i.sina(n) = eia(n)
þ cosa(n) -  i.sina(n) = e-ia(n)
þ
HARMONICKÁ POSLOUPNOST

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
HARMONICKÁ POSLOUPNOST
þkdyž T = NTvz a tedy f = 1/NTvz nebo
þ
þ
þ
þ
þKomplexní exponenciála samozřejmě rovněž reprezentuje periodickou veličinu, protože platí
þ
þ
þkdyž exp(i2p) = cos(2p) + i.sin(2p) = 1 + i0 = 1

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þDALŠÍ DEFINICE
þEXPONENCIÁLNÍ (KOMPLEXNÍ) TVAR
þ
þ
þ
þ
þEulerovy vztahy
þ
þx(n) = A.cos(a(n)) = Re{A.eia(n)}
þ
þ
þ
þ
cosa(n) + i.sina(n) = eia(n)
 cosa(n) -  i.sina(n) = e-ia(n)
HARMONICKÁ POSLOUPNOST

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þDALŠÍ DEFINICE
þEXPONENCIÁLNÍ (KOMPLEXNÍ) TVAR
þ
þx(n) = Re{  (n)} = Re{A.exp[i(ΩnTvz+φ0)]}
þ
þ(vyplývá z Eulerových vztahů)
HARMONICKÁ POSLOUPNOST

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þkupodivu lze použít i vztah
þ
þx(n) = Re{A.exp[i(-ΩnTvz-φ0)]} = Re{  *(n)}
þ
þpozor !!! pozor
þ- záporný kmitočet - ale funguje to
HARMONICKÁ POSLOUPNOST

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þProtože platí
þx(n) = Re{  (n)} = Re{  *(n)} a Im{  (n)} = -Im{  *(n)}
þje i
þx(n) = ½.{  (n) +   *(n)}
þx(t) = ½.{A.exp(iφ0).exp(iΩnTvz)} +
þ+ ½.{Aexp(-iφ0).exp(-iΩnTvz)}
þ
þOznačíme-li
þĊ0 = ½.A.exp(iφ0)   a   Ċ-0 = ½.Aexp(-iφ0)
þje
þx(n) = Ċ0.exp(iΩnTvz) + Ċ-0.exp[i(-Ω)nTvz]
HARMONICKÁ POSLOUPNOST

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
HARMONICKÁ POSLOUPNOST

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þ
þ
þtříparametrickou harmonickou posloupnost lze graficky vyjádřit pomocí dvou bodů v rovinách
þ amplituda x (úhlový) kmitočet      a
þ počáteční fáze x (úhlový) kmitočet:
þA = A(ω)    a    φ0 = φ0(ω);
þ
x(nTvz) = cos(ΩnTvz+p/4)
pro A=1, φ0= p/4 a Ω pro T=8Tvz, tj. pro ΩN= p/4

spektrum amplitud
spektrum počátečních fází
HARMONICKÁ POSLOUPNOST

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þ
è
è
è
è
è
þ
þ
þ     spektrum amplitud   spektrum počátečních fází
x(nTvz) = cos(ΩnTvz+p/4)
pro A=1, φ0= p/4 a Ω pro T=8Tvz, tj. pro ΩN= p/4
HARMONICKÁ POSLOUPNOST

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þ
è
è
è
è
è
þ
þ
þ     spektrum amplitud   spektrum počátečních fází
HARMONICKÁ POSLOUPNOST
x(nTvz) = 1 + cos(ΩnTvz+p/4)
pro A=1, φ0= p/4 a Ω pro T=8Tvz, tj. pro ΩN= p/4