logo-IBA logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ČASOVÉ ŘADY Mgr. et Mgr. Jiří Kalina, PhD. prof. Ing. Jiří Holčík, CSc. UKB, pavilon D29 (Recetox), kancelář 123 kalina@mail.muni.cz logo-IBA logo-MU © Institut biostatistiky a analýz V. MATEMATICKÉ MODELY ČASOVÝCH ŘAD levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þharmonická posloupnost je dána vztahem þx(nTvz) = A.cos(ΩnTvz + φ0), þkde þ A>0 je amplituda harmonické posloupnosti; þ Ω >0 je úhlový kmitočet h.p., úhlová rychlost; þ φ0 je počáteční fáze, tj. fáze (počáteční úhel, posun) v čase nTvz =0 ; þ (ΩnTvz + φ0) je fáze harmonické posloupnosti; þperioda harmonické posloupnosti je dána vztahem þT = 2p/Ω Þ Ω = 2p/T Þ Ω.Tvz = ΩN = 2p.Tvz/T þkmitočet harmonické posloupnosti je definován þf = 1/T = Ω/2p Þ fN = Tvz/T = ΩN/2p = f/fvz HARMONICKÁ POSLOUPNOST levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þx(nTvz) = A.cos(ΩnTvz + φ0) þpro A=1, φ0=0 a Ω pro T=8Tvz HARMONICKÁ POSLOUPNOST Ts ≡ Tvz vz … vzorkování s … sampling x(nTvz) = A.cos(ΩnTvz + φ0) pro A=1, φ0=0 a ΩN = 2p.Tvz/T = p/4 levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þx(nTvz) = A.cos(ΩnTvz + φ0) þpro A=1, φ0=0 a Ω pro T=4T’vz HARMONICKÁ POSLOUPNOST levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þZměna periodicity veličiny po vzorkování se vzorkovací periodou, která neodpovídá bezezbytkovému celočíselnému podílu T/Tvz (desetinná část podílu je rovna 0,5). HARMONICKÁ POSLOUPNOST levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þZměna periodicity veličiny po vzorkování se vzorkovací periodou, která neodpovídá bezezbytkovému celočíselnému podílu T/Tvz (desetinná část podílu je rovna 0,5). HARMONICKÁ POSLOUPNOST levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þx(nTvz) = cos(ΩnTvz+p/4) þpro A=1, φ0= p/4 a Ω pro T=8Tvz, tj. pro ΩN= p/4 þ þ þ HARMONICKÁ POSLOUPNOST levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þ þ þtříparametrickou harmonickou posloupnost lze graficky vyjádřit pomocí dvou bodů v rovinách þ amplituda x (úhlový) kmitočet a þ počáteční fáze x (úhlový) kmitočet: þA = A(ω) a φ0 = φ0(ω); þ x(nTvz) = cos(ΩnTvz+p/4) pro A=1, φ0= p/4 a Ω pro T=8Tvz, tj. pro ΩN= p/4 HARMONICKÁ POSLOUPNOST spektrum amplitud spektrum počátečních fází levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz !!! FREKVENČNÍ SPEKTRUM !!! þ Frekvenční spektrum signálu je vyjádření rozložení amplitud a počátečních fází jednotlivých harmonických složek, ze kterých se signál skládá, v závislosti na frekvenci. þ þ! ZAPAMATOVAT! ! NA VĚKY ! C:\Program Files\Microsoft Office\MEDIA\CAGCAT10\j0299125.wmf levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þDALŠÍ DEFINICE þTRIGONOMETRICKÝ TVAR þx(nTvz) = A.cos(ΩnTvz+φ0) = þ= A1.cos(ΩnTvz) + A2.sin(ΩnTvz) þJak to tak? þcos(α + β) = cosα.cosβ - sinα.sinβ þ þAcos(ΩnTs + φ0) = A.cos(ΩnTs).cosφ0 - A.sin(ΩnTs).sinφ0 = þ = A.cosφ0.cos(ΩnTs) - A.sinφ0.sin(ΩnTs) þ þ A1 A2 HARMONICKÁ POSLOUPNOST levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þDALŠÍ DEFINICE þTRIGONOMETRICKÝ TVAR þA1 = A.cosφ0 a A2 = -A.sinφ0 HARMONICKÁ POSLOUPNOST levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þDALŠÍ DEFINICE þEXPONENCIÁLNÍ (KOMPLEXNÍ) TVAR þ þ þ þ þ þcosa(n) + i.sina(n) = eia(n) þ cosa(n) - i.sina(n) = e-ia(n) þ HARMONICKÁ POSLOUPNOST levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz HARMONICKÁ POSLOUPNOST þkdyž T = NTvz a tedy f = 1/NTvz nebo þ þ þ þ þKomplexní exponenciála samozřejmě rovněž reprezentuje periodickou veličinu, protože platí þ þ þkdyž exp(i2p) = cos(2p) + i.sin(2p) = 1 + i0 = 1 levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þDALŠÍ DEFINICE þEXPONENCIÁLNÍ (KOMPLEXNÍ) TVAR þ þ þ þ þEulerovy vztahy þ þx(n) = A.cos(a(n)) = Re{A.eia(n)} þ þ þ þ cosa(n) + i.sina(n) = eia(n) cosa(n) - i.sina(n) = e-ia(n) HARMONICKÁ POSLOUPNOST levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þDALŠÍ DEFINICE þEXPONENCIÁLNÍ (KOMPLEXNÍ) TVAR þ þx(n) = Re{ (n)} = Re{A.exp[i(ΩnTvz+φ0)]} þ þ(vyplývá z Eulerových vztahů) HARMONICKÁ POSLOUPNOST levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þkupodivu lze použít i vztah þ þx(n) = Re{A.exp[i(-ΩnTvz-φ0)]} = Re{ *(n)} þ þpozor !!! pozor þ- záporný kmitočet - ale funguje to HARMONICKÁ POSLOUPNOST levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þProtože platí þx(n) = Re{ (n)} = Re{ *(n)} a Im{ (n)} = -Im{ *(n)} þje i þx(n) = ½.{ (n) + *(n)} þx(t) = ½.{A.exp(iφ0).exp(iΩnTvz)} + þ+ ½.{Aexp(-iφ0).exp(-iΩnTvz)} þ þOznačíme-li þĊ0 = ½.A.exp(iφ0) a Ċ-0 = ½.Aexp(-iφ0) þje þx(n) = Ċ0.exp(iΩnTvz) + Ċ-0.exp[i(-Ω)nTvz] HARMONICKÁ POSLOUPNOST levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz HARMONICKÁ POSLOUPNOST levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þ þ þtříparametrickou harmonickou posloupnost lze graficky vyjádřit pomocí dvou bodů v rovinách þ amplituda x (úhlový) kmitočet a þ počáteční fáze x (úhlový) kmitočet: þA = A(ω) a φ0 = φ0(ω); þ x(nTvz) = cos(ΩnTvz+p/4) pro A=1, φ0= p/4 a Ω pro T=8Tvz, tj. pro ΩN= p/4 spektrum amplitud spektrum počátečních fází HARMONICKÁ POSLOUPNOST levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þ è è è è è þ þ þ spektrum amplitud spektrum počátečních fází x(nTvz) = cos(ΩnTvz+p/4) pro A=1, φ0= p/4 a Ω pro T=8Tvz, tj. pro ΩN= p/4 HARMONICKÁ POSLOUPNOST levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þ è è è è è þ þ þ spektrum amplitud spektrum počátečních fází HARMONICKÁ POSLOUPNOST x(nTvz) = 1 + cos(ΩnTvz+p/4) pro A=1, φ0= p/4 a Ω pro T=8Tvz, tj. pro ΩN= p/4 levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þhttp://www.mysearch.org.uk/website1/html/222.Function.html þhttp://www.acs.psu.edu/drussell/Demos/complex/complex.html þhttp://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic þhttp://www.khanacademy.org/science/physics/oscillatory-motion/harmonic-motion/v/introduction-to-ha rmonic-motion þhttp://www.youtube.com/watch?v=eeYRkW8V7Vg levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz NEPERIODICKÉ POSLOUPNOSTI þjednorázová deterministická veličina þ þ þ þ þ þ þ- „začíná a končí“ s(t) = 10.10-6 V pro tÎá-0,5 ms; 0,5 msñ s(t) = 0 V pro tÎ(0,5 ms; ¥ñ s(t) = 0 V pro tÎá-¥; -0,5 ms ) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz JEDNORÁZOVÉ POSLOUPNOSTI þdiskrétní jednotkový impulz; þdiskrétní jednotkový skok; þdiskrétní jednotkový obdélníkový impulz; levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þjednotkový impuls (Diracův impuls) - δ(t) þ splňuje vztah zjednodušeně: jednotkový impuls δ(t) je velice úzký (limitně s nulovou šířkou) a velice vysoký (limitně nekonečně) obdélníkový impulz, jehož výška je rovna převrácené hodnotě šířky Þ mohutnost je jednotková JEDNOTKOVÝ IMPULZ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þjednotkový impuls (Diracův impuls) - δ(t) þ splňuje vztah zjednodušeně: jednotkový impuls δ(t) je velice úzký (limitně s nulovou šířkou) a velice (limitně nekonečně) vysoký obdélníkový impulz, jehož výška je rovna převrácené hodnotě šířky Þ mohutnost je jednotková JEDNOTKOVÝ IMPULZ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þjednotkový impuls (Diracův impuls) - δ(t) þ splňuje vztah JEDNOTKOVÝ IMPULZ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DISKRÉTNÍ JEDNOTKOVÝ IMPULZ þdefinice: þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz JEDNOTKOVÝ SKOK þjednotkový skok (Heavisidova funkce) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DISKRÉTNÍ JEDNOTKOVÝ SKOK þdefinice: þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz VZÁJEMNÉ VZTAHY þpro obě uvedené jednorázové „funkce“ platí: þ þ þ þpro obě uvedené jednorázové posloupnosti platí: þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DISKRÉTNÍ JEDNOTKOVÝ OBDÉLNÍKOVÝ IMPULZ þdefinice: logo-IBA logo-MU © Institut biostatistiky a analýz VI. ZÁKLADNÍ OPERACE S MATEMATICKÝMI MODELY ČASOVÝCH ŘAD levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þOPERACE S JEDNOU POSLOUPNOSTÍ (UNÁRNÍ OPERACE) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þnásobení konstantou þ x(n) ~ A·x(n), þ OPERACE S JEDNOU POSLOUPNOSTÍ (UNÁRNÍ OPERACE) A=2 levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þzměna časového měřítka þx(n) ~ x(m·n), þ kde m je kladné reálné číslo þ m > 1 – časová komprese; þ m < 1 – časová expanze þ m = 1 – nic se neděje OPERACE S JEDNOU POSLOUPNOSTÍ (UNÁRNÍ OPERACE) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þzměna časového měřítka þx(n) ~ x(m·n), þ kde m je kladné reálné číslo þ m > 1 – časová komprese; þ m < 1 – časová expanze þ m = 1 – nic se neděje OPERACE S JEDNOU POSLOUPNOSTÍ (UNÁRNÍ OPERACE) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þposunutí v čase þ þx(t) ~ x(t+t), þ t je reálné, od nuly různé číslo; þ t > 0 – ? OPERACE S JEDNOU FUNKCÍ (UNÁRNÍ OPERACE) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þposunutí v čase þ þx(t) ~ x(t+t), þ t je reálné, od nuly různé číslo; þ t > 0 – zpoždění a) originál x(n); b) funkce x(n-1); c) funkce x(n+1); OPERACE S JEDNOU FUNKCÍ (UNÁRNÍ OPERACE) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þobrácení (inverze) časové osy þ þx(n) ~ x(-n) , a) originál x(n); b) funkce x(-n); c) funkce x(-n+1) OPERACE S JEDNOU FUNKCÍ (UNÁRNÍ OPERACE) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz SHRNUTÍ þdefinice základních modelů veličin (jednotkový skok, impulz, periodická posloupnost); þrůzné formy vyjádření harmonické posloupnosti; þco je frekvenční spektrum? þzákladní unární operace s posloupnostmi. þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þOPERACE SE DVĚMA POSLOUPNOSTMI (BINÁRNÍ OPERACE) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz KONVOLUCE þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DEFINICE þKonvoluce je matematická operace mezi dvěma funkcemi x1(t) a x2(t) téhož argumentu definovaný (v případě spojitých funkcí) integrálem þ þ þ þkde funkce x2(t) se často nazývá konvoluční jádro. þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DEFINICE þKonvoluce je matematická operace mezi dvěma posloupnostmi x1(n) a x2(n) téhož argumentu definovaná součtovým vztahem þ þ þ þ þkde posloupnost x2(n) se často nazývá konvoluční jádro. þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þkomutativní zákon þ þdistributivní zákon þ þasociativní zákon þ KONVOLUČNÍ ZÁKONITOSTI levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz KONVOLUČNÍ ZÁKONITOSTI þzákon o posunu v čase þ Je-li , þ pak þ þ þ a þ þ þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz KONVOLUČNÍ ZÁKONITOSTI KAUZALITA þKauzální je takový systém, jehož výstup v každém časovém okamžiku t0 závisí pouze na průběhu vstupní veličiny x(t) pro t £ t0. Jinými slovy, hodnota výstupu systému v každém okamžiku závisí pouze na vstupu v daném okamžiku a jeho průběhu v minulosti, nikoliv na budoucích hodnotách vstupní veličiny. Systém, který tento požadavek nesplňuje, nazýváme nekauzální, příp. anticipativní. Zprostředkovaně: jako kauzální označujeme takové posloupnosti, pro které platí x(n) = 0 pro n < 0. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz Konvoluce kauzálních funkcí: Pro kauzální funkce platí s(t) = 0 pro t < 0 KONVOLUČNÍ ZÁKONITOSTI KAUZALITA levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz KONVOLUČNÍ ZÁKONITOSTI þpro kauzální posloupnosti, tj. takové pro které platí x(n) = 0 pro n < 0 se konvoluční vztah mění na þ þ þ þV reálných podmínkách při zpracování reálných dat samozřejmě nejsou posloupnosti x1(n) a x2(n) nekonečné, nýbrž mají konečnou délku. Předpokládejme obecně N1 vzorků v případě posloupnosti x1(n) a N2 vzorků v případě posloupnosti x2(n). Dále položme x1(n) = 0 pro n Ï á0, N1-1ñ a analogicky x2(n) = 0 pro n Ï á0, N2-1ñ. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz KONVOLUČNÍ ZÁKONITOSTI þšířková vlastnost konvoluce Pokud jsou doby trvání (šířky, tj. počty vzorků posloupností, jejichž hodnoty jsou různé od nuly) posloupností x1(n) a x2(n) konečné, např. N1 v případě posloupnosti x1(n) a N2 pro x2(n) je počet vzorků výsledné konvoluční posloupnosti obou funkcí rovna N1+N2-1. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz KONVOLUČNÍ ZÁKONITOSTI þkonvoluce posloupnosti s jednotkovým impulzem þVýsledkem konvoluce posloupnosti x(n) s jednotkovým impulzem je posloupnost x(n). þZ definice konvoluce vyplývá, že þ þ þProtože δ(n-m) reprezentuje jednotkový impulz posunutý oproti počátku o n vzorků, je suma ve výše uvedeném vztahu průběžně rovna hodnotě x(n). Proto þ þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DISKRÉTNÍ KONVOLUCE SCHÉMA VÝPOČETNÍHO ALGORITMU levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DISKRÉTNÍ KRUHOVÁ KONVOLUCE SCHÉMA VÝPOČETNÍHO ALGORITMU levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DISKRÉTNÍ KONVOLUCE PŘÍKLAD 1 þVypočtěte konvoluci posloupností x1(n) = {1, 2, -2, -1} a x2(n) = {1, -1, 1} .. þ þŘešení: þ 1 2 -2 -1 1 -1 1 1 2 -2 -1 1 1 -1 1 1 2 -2 -1 1 1 -1 1 1 2 -2 -1 -3 1 -1 1 1 2 -2 -1 3 1 -1 1 1 2 -2 -1 -1 1 -1 1 1 2 -2 -1 -1 1 -1 1 levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DISKRÉTNÍ KONVOLUCE PŘÍKLAD 2 þVypočtěte konvoluci posloupností x1(n) = {1, 2, -2, -1} a x2(n) = {1, -1, 1} .. þ þŘešení: þPro výpočet se také občas uvádí následující výpočetní schéma: þ{x10, x11, … x13} * {x20, x21, x22} = þ= (x10. x20)(x10. x21)(x10. x22) þ (x11. x20)(x11. x21)(x11. x22) þ (x12. x20)(x12. x21)(x12. x22) þ (x13. x20)(x13. x21)(x13. x22) þ þ součet dílčích součinů v jednotlivých sloupcích þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DISKRÉTNÍ KONVOLUCE PŘÍKLAD 2 þVypočtěte konvoluci posloupností x1(n) = {1, 2, -2, -1} a x2(n) = {1, -1, 1} . þ þŘešení: þPro výpočet se také občas uvádí následující výpočetní schéma: þ{1, 2, -2, -1} * {1, -1, 1} = þ= 1 -1 1 þ 2 -2 2 þ -2 2 -2 þ -1 1 -1 þ 1 1 -3 3 -1 -1 þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DISKRÉTNÍ KONVOLUCE PŘÍKLAD 3 þVypočtěte konvoluci posloupností x1 = {1, 2, -2, -1} a x2(n) = {1, -1, 1} þŘešení: þPro výpočet se také občas uvádí i následující maticové schéma: levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DISKRÉTNÍ KONVOLUCE PŘÍKLAD 3 levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þZA TÝDEN NASHLEDANOU