logo-IBA logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ČASOVÉ ŘADY Mgr. et Mgr. Jiří Kalina, PhD. prof. Ing. Jiří Holčík, CSc. UKB, pavilon D29 (Recetox), kancelář 123 kalina@mail.muni.cz levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þOPERACE SE DVĚMA POSLOUPNOSTMI (BINÁRNÍ OPERACE) þ þPOKRAČOVÁNÍ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz KORELACE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DEFINICE þKorelace = vzájemný vztah, souvztažnost mezi znaky, veličinami, ději þ ABZ.cz: slovník cizích slov levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DEFINICE þKorelace (z lat.) znamená vzájemný vztah mezi dvěma procesy nebo veličinami. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DEFINICE þKorelace (z lat.) znamená vzájemný vztah mezi dvěma procesy nebo veličinami. þ þlātiō - nesení, poskytování þrelātiō – nesení zpět, odnášení, opakování; zpráva; vztah, poměr þcorrelātiō – vzájemný vztah, souvislost levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DEFINICE þKorelace (z lat.) znamená vzájemný vztah mezi dvěma procesy nebo veličinami. þ Pokud se jedna z nich mění, mění se korelativně i druhá a naopak. þ Pokud se mezi dvěma procesy ukáže korelace, je možné, že na sobě závisejí, nelze z toho však ještě usoudit, že by jeden z nich musel být příčinou a druhý následkem. To samotná korelace nedovoluje rozhodnout. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DEFINICE þKorelace (z lat.) znamená vzájemný vztah mezi dvěma procesy nebo veličinami. þ Pokud se jedna z nich mění, mění se korelativně i druhá a naopak. þKauzalita - příčinná souvislost či závislost. Jeden jev vyvolává druhý, popřípadě se oba vzájemně podporují (synergie) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DEFINICE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DEFINICE funkční závislost a míru této závislosti levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ČASOVĚ NEZÁVISLÁ DATA þKORELAČNÍ KOEFICIENT þnumerická míra určitého typu korelace, tj. statistického vztahu mezi dvěma proměnnými levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þKORELAČNÍ KOEFICIENT þ 1. þ 2. þ 3. þ4. ČASOVĚ NEZÁVISLÁ DATA levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þKORELAČNÍ KOEFICIENT þ 1. þ þ 3. þ PEARSONŮV KORELAČNÍ KOEFICIENT výběrový Pearsonův korelační koeficient obecný vztah ČASOVĚ NEZÁVISLÁ DATA levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þKORELAČNÍ KOEFICIENT þ þ 2. þ þ4. pořadová korelace – míra vztahu mezi pořadím hodnot dvou proměnných SPEARMANŮV POŘADOVÝ KORELAČNÍ KOEFICIENT KENDALLŮV POŘADOVÝ KORELAČNÍ KOEFICIENT ČASOVĚ NEZÁVISLÁ DATA levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz PEARSONŮV KORELAČNÍ KOEFICIENT þnabývá hodnoty v intervalu á-1, 1ñ. þKdyž je roven +1, znamená to zcela pozitivní (přímou) lineární korelaci (y=kx, tj. funkční závis-lost), při nulové hodnotě není mezi proměnnými lineární vztah a hodnota -1 znamená zcela nega-tivní lineární korelaci mezi oběma proměnnými (y=-kx) . https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/34/Correlation_coefficient.png/640px-Correla tion_coefficient.png By Kiatdd - Own work, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=37108966 levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d4/Correlation_examples2.svg/400px-Correlati on_examples2.svg.png PEARSONŮV KORELAČNÍ KOEFICIENT levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz PEARSONŮV KORELAČNÍ KOEFICIENT þnabývá hodnot od –1 do +1, které značí perfektní lineární vztah (záporný nebo kladný) èv případě kladné korelace hodnoty obou proměnných zároveň stoupají; èv případě záporné korelace hodnota jedné proměnné stoupá a druhé klesá; èv případě neexistence lineárního vztahu r = 0; þje nezávislý na jednotkách původních proměnných, je bezrozměrný; þpři změně pořadí proměnných se výše korelačního koeficientu nemění; þkorelační koeficient je platný pouze v rozmezí daném použitými daty; þkorelační koeficient výrazně odlišný od nuly není důkazem funkčního vztahu proměnných, jiného než lineárního; þmalá hodnota korelačního koeficientu není známkou nefunkčního vztahu proměnných. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þSprávná interpretace Pearsonova korelačního koeficientu předpokládá, že obě proměnné jsou náhodné veličiny a mají společné dvourozměrné normální rozdělení. Potom nulový korelační koeficient znamená, že veličiny jsou i statisticky nezávislé. þPokud není splněn předpoklad dvourozměrné normality, z nulové hodnoty korelačního koeficientu nelze usuzovat na nic víc, než že veličiny jsou nekorelované. þ bimodální rozložení odlehlé hodnoty PEARSONŮV KORELAČNÍ KOEFICIENT levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þ þmůže být nadhodnocen: þvlivem třetí skryté proměnné þpřítomností odlehlých hodnot þdata jsou složena z různých podskupin (tříd) þ bimodální rozložení odlehlé hodnoty PEARSONŮV KORELAČNÍ KOEFICIENT levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz SPEARMANŮV KORELAČNÍ KOEFICIENT þHodnotí, jak dobře lze vztah mezi dvěma proměnnými popsat pomocí monotónní funkce. þPokud jsou všechna pořadí určena různými celými čísly od 1 do n, pak jeho hodnotu lze určit pomocí vztahu þ þ þkde di = rg(Xi) – rg(Yi) je rozdíl mezi pořadími každého pozorování levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þUrčeme korelaci mezi IQ sledovaných osob a počtem hodin, které stráví za týden sledováním televize. þ(https://en.wikipedia.org/wiki/Spearman%27s_rank_correlation_coefficient) Xi IQ Yi hours 86 0 112 6 106 7 113 12 110 17 97 20 100 27 99 28 103 29 101 50 Xi IQ Yi hours rank xi rank yi di di2 86 0 1 1 0 0 97 20 2 6 −4 16 99 28 3 8 −5 25 100 27 4 7 −3 9 101 50 5 10 −5 25 103 29 6 9 −3 9 106 7 7 3 4 16 110 17 8 5 3 9 112 6 9 2 7 49 113 12 10 4 6 36 SPEARMANŮV KORELAČNÍ KOEFICIENT levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þ þZÁVĚR þ þNízká hodnota korelačního koeficientu ukazuje, že korelace mezi IQ a hodinami sledování TV je malá a jeho záporná hodnota indikuje, že delší čas před TV je vázán na menší hodnotu IQ. þ þNehodnotíme zde ovšem statistickou signifikanci neboli riziko falešně pozitivního výsledku korelačního testu… SPEARMANŮV KORELAČNÍ KOEFICIENT levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz Xi Yi rank xi rank yi di di2 1 1 1 1 0 0 2 2 2 2 0 0 3 3 3 3 0 0 4 4 4 4 0 0 Xi Yi rank xi rank yi di di2 1 -1 1 4 -3 9 2 -2 2 3 -1 1 3 -3 3 2 1 1 4 -4 4 1 3 9 SPEARMANŮV KORELAČNÍ KOEFICIENT PŘÍKLADY levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/67/Spearman_fig3.svg/300px-Spearman_fig3.svg .png https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/80/Spearman_fig2.svg/300px-Spearman_fig2.svg .png https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4e/Spearman_fig1.svg/360px-Spearman_fig1.svg .png Hodnota Spearmanova korelačního koeficientu je rovna 1 pokud jsou srovnávané veličiny monotónně závislé, i pokud je jejich vzájemný vztah nelineární. By Skbkekas - Own work, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=8778562 By Skbkekas - Own work, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=8778554 Pokud jsou data rozložena přibližně elipticky a nevyskytují se žádné významné odlehlé hodnoty, pak Pearsonův a Spearmanův korelační koeficient nabývají přibližně týchž hodnot. By Skbkekas - Own work, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=8778570 Spearmanův korelační koeficient je méně citlivý vůči významným odlehlým hodnotám. To je způsobeno skutečností, že Spearmanův koeficient redukuje hodnoty odlehlých hodnot na jejich pořadí v posloupnosti. SPEARMANŮV KORELAČNÍ KOEFICIENT Spearmanův koeficient=1 Pearsonův koeficient=0,88 Spearmanův koeficient=0,35 Pearsonův koeficient=0,37 Spearmanův koeficient=0,84 Pearsonův koeficient=0,67 levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/71/Spearman_fig5.svg/360px-Spearman_fig5.svg .png Kladná hodnota Spearmanova korelačního koeficientu odpovídá monotónně rostoucí závislosti mezi náhodnými veličinami X a Y. Záporná hodnota Spearmanova koeficientu odpovídá monotónně klesající závislosti mezi X a Y. By Skbkekas - Own work, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=8779966 By Skbkekas - Own work, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=8779958 SPEARMANŮV KORELAČNÍ KOEFICIENT Spearmanova korelace = 0,92 Spearmanova korelace = -0,91 levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz 1. 2. 3. 4. ČASOVĚ ZÁVISLÁ DATA KŘÍŽOVÁ (VZÁJEMNÁ) KORELAČNÍ POSLOUPNOST levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ? x(n+2) ? KŘÍŽOVÁ KORELAČNÍ POSLOUPNOST levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz x(n+2) x(n-2) ? x(n+2) ? KŘÍŽOVÁ KORELAČNÍ POSLOUPNOST levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz 1. 2. 3. 4. ČASOVĚ ZÁVISLÁ DATA KŘÍŽOVÁ (VZÁJEMNÁ) KORELAČNÍ POSLOUPNOST levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz KŘÍŽOVÁ KORELAČNÍ POSLOUPNOST ? levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ? 1. 2. 4. 3. KŘÍŽOVÁ KORELAČNÍ POSLOUPNOST levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ? 1. 2. 4. 3. KŘÍŽOVÁ KORELAČNÍ POSLOUPNOST levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz KORELAČNÍ POSLOUPNOSTI þKŘÍŽOVÁ (VZÁJEMNÁ) KORELAČNÍ POSLOUPNOST þx1(n) ≠ x2(n) þ þAUTOKORELAČNÍ POSLOUPNOST þx1(n) = x2(n) þ þKŘÍŽOVÁ KOVARIANČNÍ/AUTOKOVARIANČNÍ POSLOUPNOST þx1(n) = x1orig(n) – mx1orig x2(n) = x2orig(n) – mx2orig þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þVLASTNOSTI VZÁJEMNÉ KORELAČNÍ POSLOUPNOSTI þvzájemná korelační posloupnost není komutativní, tj. þRx1x2(n) ≠ Rx2x1(n) þ þVLASTNOSTI AUTOKORELAČNÍ POSLOUPNOSTI þsudá, tj. R(-n) = R(n); þ"tÎZ: R(0) ³ R(n); þR(0) je rovna energii, resp. výkonu posloupnosti x(n); þpokud je posloupnost x(n) periodická, pak je její autokorelač-ní posloupnost rovněž periodická s toutéž periodou. þ þVLASTNOSTI AUTOKOVARIANČNÍ POSLOUPNOSTI þR(0) je rovna disperzi posloupnosti x(n) pokud je určena pomocí vztahu KORELAČNÍ POSLOUPNOSTI levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þENERGIE & VÝKON þ ? KORELAČNÍ POSLOUPNOSTI levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz KORELAČNÍ POSLOUPNOST VS. PERSONŮV KORELAČNÍ KOEFICIENT þVZÁJEMNÁ KORELAČNÍ POSLOUPNOST þ þ þ þ þPEARSONŮV KORELAČNÍ KOEFICIENT þ þ þ þPokud jsou srovnávané posloupnosti x1(n) a x2(n) standardizovány, pak každý vzorek jejich vzájemné korelační posloupnosti je roven odpovídající hodnotě Pearsonova korelačního koeficientu. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þkonvoluce: KORELAČNÍ POSLOUPNOST VS. KONVOLUCE vzájemná korelační posloupnost: Po záměně symbolů Vztahy by byly ekvivalentní, pokud by posloupnost x2 byla invertována v čase, tj. když by platilo x2(n-m). levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz PARCIÁLNÍ KORELACE þ þParciální korelační koeficient je míra vztahu mezi dvěma veličinami, které jsou řízeny jednou nebo více řídicími veličinami. þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þPŘÍKLAD: (https://en.wikipedia.org/wiki/Partial_correlation) þPředpokládejme, že známe hodnoty tří proměnných, X, Y, a Z: þ þ þ þ þ þ þ þ þ þ þ þPokud určíme Pearsonův korelační koeficient mezi posloupnostmi X a Y, je výsledná hodnota 0,836. Určíme-li ale parciální korelaci mezi X a Y pomocí dále uvedeného vztahu, odpovídá její hodnota 0,919 podstatně silnějšímu vzájemnému vztahu. X Y Z 2 1 0 4 2 0 15 3 1 20 4 1 PARCIÁLNÍ KORELACE Pokud Z = 0, jsou hodnoty X rovny přesně dvounásobku Y, a pokud Z = 1, X je přesně rovno pětinásobku Y. Tak v závislosti na Y je přesný vztah mezi X a Y; tato relace ale nemůže být přesná bez reference k hodno-tám Z. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz PARCIÁLNÍ KORELACE JAK JI SPOČÍTAT? Parciální korelace rXY.Z mezi posloupnostmi X a Y za předpokladu, že existují řídicí veličiny Z = {Z1, Z2, …, Zn} je rovna Pearsonově korelaci mezi rezidui ex a ey, která plynou z lineární regrese posloupnosti X a proměnných Z, resp. Y a Z. * pomocí lineární regrese; * pomocí maticové inverze; * pomocí rekurzivního vztahu s jedinou řídicí proměnnou se tento vztah redukuje na tvar * levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz X ΔX Y ΔY 2 -1.0 1 -0.5 4 1.0 2 0.5 15 -2.5 3 -0.5 20 2.5 4 0.5 X Y Z 2 1 0 4 2 0 15 3 1 20 4 1 rΔXΔY = 0,919 JAK JI SPOČÍTAT? PARCIÁLNÍ KORELACE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz PARCIÁLNÍ AUTOKORELAČNÍ POSLOUPNOST þParciální autokorelační posloupnost (PACF) určuje hodnoty parciální korelace mezi hodnotami časové řady a jejími zpožděnými hodnotami, přičemž jako řídící posloupnost je použita posloupnost pro všechna menší zpoždění. þNa rozdíl od obyčejné autokorelační posloupnosti, která již na ničem dalším nezávisí. þJe-li známa časová řada x(n), pak parciální autokorelační posloupnost Rxx(k) pro zpoždění k je určena podle následujících vztahů þ þ þkde jsou hodnoty nejlepší lineární predikce x(n) a x(n+k) z hodnot x(n+1), …, x(n+k-1). levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz 1. 2. 3. ODHAD KORELAČNÍ POSLOUPNOSTI KORELAČNÍ POSLOUPNOST levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz 1. 2. 3. KORELAČNÍ POSLOUPNOST ODHAD KORELAČNÍ POSLOUPNOSTI levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þNyní předpokládejme dvě konečné časové řady (obě o téže délce N vzorků), jejichž vzájemnou korelační posloupnost chceme spočítat. þ þ þ þ ODHAD KORELAČNÍ POSLOUPNOSTI levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þNyní předpokládejme dvě konečné časové řady (obě o týž délce N vzorků), jejichž vzájemnou korelační posloupnost chceme spočítat. þ þ þ ? ODHAD KORELAČNÍ POSLOUPNOSTI levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þNyní předpokládejme dvě konečné časové řady (obě o týž délce N vzorků), jejichž vzájemnou korelační posloupnost chceme spočítat. þ þ þ þ þ þ þ þ þ þ þ þ þ kruhová korelace ODHAD KORELAČNÍ POSLOUPNOSTI levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þNyní předpokládejme dvě konečné časové řady (obě o týž délce N vzorků), jejichž vzájemnou korelační posloupnost chceme spočítat. þ þ þ þ þ þ þ þ þ þ þ þ ODHAD KORELAČNÍ POSLOUPNOSTI levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þNyní předpokládejme dvě konečné časové řady (obě o týž délce N vzorků), jejichž vzájemnou korelační posloupnost chceme spočítat. þ þ þ þ þ þ þ þ þ þ þ þ ODHAD KORELAČNÍ POSLOUPNOSTI levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þNyní předpokládejme dvě konečné časové řady (obě o týž délce N vzorků), jejichž vzájemnou korelační posloupnost chceme spočítat. þ þ þ þ þ þ þ þ þ þ þ þ ODHAD KORELAČNÍ POSLOUPNOSTI levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz KRÁTKÝ ODHADOVÝ EXKURZ þodhad parametru je závislý na volbě úseku analyzované veličiny; þprotože je výběr intervalu náhodný, je i odhad parametru náhodnou veličinou; þzákladní (požadované) vlastnosti odhadů: ènestrannost – záruka, že v průměru se bude odhad pohybovat kolem správné hodnoty parametru èasymptoticky nestranný odhad è èkonzistence – čím delší bude zkoumaný interval, tím více se bude odhad blížit neznámé hodnotě è levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þNyní předpokládejme dvě konečné časové řady (obě o týž délce N vzorků), jejichž vzájemnou korelační posloupnost chceme spočítat. þ þ þ þ þ þ þ þ1) 2) ODHAD KORELAČNÍ POSLOUPNOSTI levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ODHADY AUTOKORELAČNÍ POSLOUPNOSTI þad1) střední hodnota þ þ þ þ þ þ þrozptyl [Jenkins, G.M., Watts,D.G.: Spectral Analysis & Its Application, Holden-Day, 1968] takhle je definovaná AKF stacionárního diskrétního náhodného procesu tzn. je nestranný odhad levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ODHADY AUTOKORELAČNÍ POSLOUPNOSTI þad1) pokračování þ þProtože a þje odhad konzistentní þ þpro velké hodnoty m má odhad velký rozptyl þ þ þ þ þ þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ODHADY AUTOKORELAČNÍ POSLOUPNOSTI þad2) střední hodnota þ þ þ þ þ þ þ je asymptoticky nestranný odhad levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ODHADY AUTOKORELAČNÍ POSLOUPNOSTI þad2) rozptyl þ þ þ je to menší než pro þ þ þ þ a tak je také konzistentní levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ODHADY AUTOKORELAČNÍ POSLOUPNOSTI PŘÍKLAD ZE ŽIVOTA