logo-IBA logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ČASOVÉ ŘADY Mgr. et Mgr. Jiří Kalina, PhD. prof. Ing. Jiří Holčík, CSc. UKB, pavilon D29 (Recetox), kancelář 123 kalina@mail.muni.cz logo-IBA logo-MU © Institut biostatistiky a analýz VII. HARMONICKÁ DEKOMPOZICE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ČASOVÁ ŘADA http://www.cssd.cz/image.php?id=16790 þPreference politických stran v ČR v období od 8/2004 do 3/2008 levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz OSCILACE Časový záznam budicího impulzu Amplitudově-frekvenční spektrum budicího impulzu levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þtříparametrickou harmonickou funkci lze graficky vyjádřit pomocí dvou bodů v rovinách þ amplituda x úhlový kmitočet a počáteční fáze x úhlový kmitočet: þC1 = C1(ω) a φ1 = φ1(ω); è è þ þ þspektrum amplitud spektrum počátečních fází HARMONICKÁ FUNKCE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þx(t) = 10.cos(2p.10t + p/2). HARMONICKÁ FUNKCE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þx(t) = 10.cos(2p.10t + p/2) + 5.cos(2p.15t) HARMONICKÁ FUNKCE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz !!! FREKVENČNÍ SPEKTRUM !!! þ Frekvenční spektrum funkce je vyjádření rozložení amplitud a počátečních fází jednotlivých harmonických složek, ze kterých se funkce skládá, v závislosti na frekvenci. þ þ! ZAPAMATOVAT NA VĚKY ! C:\Program Files\Microsoft Office\MEDIA\CAGCAT10\j0299125.wmf levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz Nechť funkce f(x) má v okolí U(x0) bodu x0 derivace až do řádu n+1 včetně Taylorova řada Maclaurinova řada, tj. Taylorova řada pro x0 = 0 TAYLORŮV ROZVOJ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz Image169 Image170 Image168 Image171 Image172 Image167 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCE y = sin(x) PRO x = 0 levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz 11 ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY FOURIEROVY ŘADY þpoznali jsme, že funkci je možné vyjádřit jako mocninou řadu; þjinou možností je vyjádřit funkci jako harmonickou (trigonometrickou) řadu (tj. jako součet harmonických funkcí); þtakto lze vyjádřit obsáhlejší třídu funkcí než mocninnými řadami. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz 12 levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz 13 levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz 14 levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz 15 levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz 16 levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz 17 levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz 18 levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz 19 levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz 20 levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz 21 ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY þFourierova analýza – snaha vyjádřit (rozložit, rozvinout) funkci jako součet jednoduchých funkcí (harmonických funkcí, složek). þpočty těchto harmonických složek, jejich amplitudy, frekvence a fázové posuny jednoznačně charakterizují analyzovanou funkci. þ þFourierova řada þFourierův integrál, Fourierova transformace þ þFourierovy řady mohou být vyjádřeny buď v klasickém, trigonometrickém nebo komplexním tvaru. þ þzpracovávat můžeme spojité i diskrétní veličiny. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þKaždou periodickou funkci x(t+kT) = x(t), která vyhovuje Dirichletovým podmínkám, lze vyjádřit pomocí Fourierovy řady, pro kterou v exponenciálním tvaru je þ þkde jsou komplexní Fourierovy koeficienty definované vztahem þ þa w1 = 2p/T je úhlový kmitočet první základní harmonické složky určený základní periodou T rozkládané funkce x(t). þ þDirichletovy podmínky pro rozklad periodické funkce x(t) do Fourierovy řady jsou: þ1) x(t) je absolutně integrovatelná nad každou periodou; 2) x(t) má nad každou periodou pouze konečný počet maxim a minim; 3) x(t) má nad každou periodou konečný počet nespojitostí. þDirichletovy podmínky jsou postačující, nikoliv nutné. Lze konstatovat, že všechny rozumné, tj. fyzikálně realizovatelné funkce Dirichletovy podmínky splňují. þ FOURIEROVA ŘADA levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þModul komplexního Fourierova koeficientu určuje amplitudu odpovídající harmonické složky, jeho fáze hodnotu počáteční fáze odpovídající harmonické funkce. þ þPro n = 0 je þ þ FOURIEROVA ŘADA levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þModul komplexního Fourierova koeficientu určuje amplitudu odpovídající harmonické složky, jeho fáze hodnotu počáteční fáze odpovídající harmonické funkce. þ þPro n = 0 je þ þ což je střední hodnota (stejnosměrná složka) funkce x(t). þ þPro reálné funkce x(t) je (symbolem * označujeme komplexně sdruženou hodnotu). þ þ þ þ þ þ FOURIEROVA ŘADA levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þUrčeme parametry jednotlivých harmonických složek, z nichž se skládá obdélníkový pulz o základní periodě T, době trvání jednotlivých impulzů ϑ a výšce A. Nechť je první z impulzů umístěn symetricky kolem počátku časové osy. FOURIEROVA ŘADA PŘÍKLAD 1 levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þSpočítejme nejdříve hodnotu pomocného integrálu þ þ þPro n = 0 je þ þ þa pro n ≠ 0 þ þ FOURIEROVA ŘADA PŘÍKLAD 1 - ŘEŠENÍ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þSpočítejme nejdříve hodnotu pomocného integrálu þ þ þPro n = 0 je þ þ þa pro n ≠ 0 þ þ FOURIEROVA ŘADA PŘÍKLAD 1 - ŘEŠENÍ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þNulové hodnoty nabývá funkce Sa(x) pro argumenty rovné celočíselným násobkům p, tj. þ þ þa tedy pro frekvenci þ FOURIEROVA ŘADA PŘÍKLAD 1 - ŘEŠENÍ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þCo se stane, když posuneme obdélníkový pulz z předešlého příkladu tak, aby nástupná hrana obdélníka byla v počátku časové osy? FOURIEROVA ŘADA PŘÍKLAD 2 levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz FOURIEROVA ŘADA PŘÍKLAD 2 - ŘEŠENÍ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz FOURIEROVA ŘADA PŘÍKLAD 2 - VÝSLEDEK levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz FOURIEROVA TRANSFORMACE þPro periodickou funkci je kmitočet základní harmonické složky þw1 = 2p/T. þPro neperiodickou funkci, tj. pro periodickou s T→¥ je þ þ þPro neperiodický signál tedy budou spektrální čáry na sebe spojitě navazovat a definiční sumační vztah pro Fourierovu řadu přechází na vztah integrační, kde koeficienty ċn určíme následovně. þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þVe vztahu þ þje T = 2p/dω a tedy pro limitní rozdíl dvou sousedních frekvencí dω → 0 je T → ¥ a nw1 → ω. Meze integrálu budou pro nekonečně dlouho trvající funkci –¥ a +¥. Pro T →¥ budou rovněž amplitudy spojitého spektra jednorázového impulzu nekonečně malé. Vyjádříme-li výše uvedený vztah pro v limitním tvaru a dostáváme þ FOURIEROVA TRANSFORMACE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þV tom případě se definiční vztah Fourierova rozkladu transformuje do podoby þ þ (*) þ þkde vztah þ þnazýváme Fourierovu transformací a vztah (*) inverzní (zpětnou) Fourierovu transformací. þ þ þ FOURIEROVA TRANSFORMACE připomeňme vztah pro Fourierovu řadu: levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz FOURIEROVA TRANSFORMACE VLASTNOSTI Princip superpozice ( ! podmínka linearity ! ) s1(t) + s2(t) ~ S1(ω) + S2(ω) a.s(t) ~ a.S(ω) Lineární kombinaci funkcí odpovídá lineární kombinace jejich spekter Změna znaménka s(-t) ~ S*(ω) Změna měřítka s(t/a) ~ a.S(aω), kde a > 0 levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz FOURIEROVA TRANSFORMACE VLASTNOSTI levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ! SHRNUTÍ ! þ þ! URČITĚ SI ZAPAMATOVAT ! þ þspojitá periodická funkce má diskrétní frekvenční spektrum – pro rozklad jsme použili Fourierovu řadu; þspojitá jednorázová funkce má spojité frekvenční spektrum– pro rozklad jsme použili Fourierovu transformaci. þ þ! A VĚDĚT PROČ ! C:\Program Files\Microsoft Office\MEDIA\CAGCAT10\j0299125.wmf