logo-IBA logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
ČASOVÉ ŘADY
Mgr. et Mgr. Jiří Kalina, PhD.
prof. Ing. Jiří Holčík, CSc.
UKB, pavilon D29 (Recetox), kancelář 123
kalina@mail.muni.cz

logo-IBA logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
VIII. VZORKOVÁNÍ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
DEFINICE
þVzorkování je postup výběru jednotlivých pozorování, na jehož základě získáváme informaci o
vlastnostech sledované skutečnosti či jevu. Každé pozorování může obecně zahrnovat více vlastností
(věk, diagnóza onemocnění, velikost napětí, …), které mohou být použity k identifikaci daného jevu
či jeho části. þVzorkováním rozumíme postup výběru určité podmnožiny (vzorku) dané množiny
(veličiny, populace, dat, materiálu) tak, aby vlastnosti vybraného vzorku (dostatečně) přesně
reprezentovaly vlastnosti celé množiny (signálu, populace, dat, materiálu). þVzorkování je postup
selekce jednotlivých pozorování s cílem získat určitou znalost o dané populaci, zejména pro účely
statistické inference.
þ
þ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
PŘÍKLADY
þvolba frekvence a místa odběru pro hodnocení úrovně znečištění vodních toků; þvolba parametrů
digitalizace obrazu pro jeho přenos či archivaci; þvolba tématu a množiny respondentů při průzkumu
veřejného mínění; þvýběr výrobků při výstupní kontrole kvality výroby; þvýběr pacientů pro odhad
vývoje daného onemocnění.

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
DEFINICE
þVzorkováním dané časově proměnné veličiny rozumíme činnost, při které z průběhu určité veličiny,
která je definovaná na spojitém definičním oboru, vybíráme hodnoty pouze v určitých časových
okamžicích.
þ
þHodnoty časových či prostorových souřadnic mohou být rozmístěny v definičním prostoru obecně
nerovnoměrně, z hlediska práce s daty je ale výhodnější, pokud jsou souřadnice vzorků rozmístěny
rovnoměrně (a v tom případě lze i teoreticky dovodit pravidlo pro maximální vzdálenost mezi každými
dvěma vzorky).
þ
þ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
VZORKOVÁNÍ SPOJITÉ VELIČINY
s(nTvz)

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
IDEÁLNÍ VZORKOVÁNÍ
þAby bylo možné zjednodušit analýzu vlivu vzorkování na vlastnosti vzorkované veličiny, je
navzorkovaná verze původní spojité veličiny s(t) vyjadřována ve tvaru s(t).sδ(t), kde sδ(t) je
periodický sled jednotkových impulsů definovaný jako
þ
þ
þZ toho pro navzorkovanou veličinu platí
þ
þ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
VZORKOVACÍ TEORÉM
s(t) → s(T1), s(T2), s(T3), …, s(Tn), …
s(t) → s(Tvz), s(2Tvz), s(3Tvz), …, s(nTvz), …

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
VZORKOVACÍ TEORÉM
Reálné vzorkování
þintuitivní (?) zdůvodnění minimální vzorkovací frekvence
þ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
VZORKOVACÍ TEORÉM
Vzorkovací frekvence:
fvz > 2B = fN,
kde B je maximální kmitočet ve vzorkované veličině
fN –
Nyquistův, (Shannonův, Kotelnikovův) kmitočet
TN = 1/fN = 1/2B
Nyquistův interval (perioda), vzorkovací interval (perioda)

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
VZORKOVACÍ TEORÉM
Reálné vzorkování
fvzr = (4÷5).fN

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
VZORKOVACÍ TEORÉM
Aliasing – překrývání spekter
překrývání spekter - aliasing

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
HARMONICKÁ POSLOUPNOST
þkdyž T = NTvz a tedy f = 1/NTvz nebo
þ
þ
þ
þ
þKomplexní exponenciála samozřejmě rovněž reprezentuje periodickou veličinu, protože platí
þ
þ
þkdy exp(2pi) = cos(2p) + i.sin(2p) = 1 + i.0 = 1

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
harmD2
HARMONICKÁ FUNKCE A VZORKOVÁNÍ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
REKONSTRUKCE SPOJITÉ FUNKCE
Z NAVZORKOVANÉ POSLOUPNOSTI
þPředpokládejme, že původní spojitá funkce xa(t) měla frekvenč-ně omezené spektrum Xa(f), tj. platí
pro ni
þ
þ
þ
þkde je X(f) frekvenční spektrum dané posloupnosti. Protože víme, že spektrum navzorkované
posloupnosti je periodické s periodou danou vzorkovací frekvencí, zajímá nás pouze její jedna
(první) perioda, pro kterou v rozsahu frekvencí |f|£ fvz/2 platí
þ
þ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
REKONSTRUKCE SPOJITÉ FUNKCE
Z NAVZORKOVANÉ POSLOUPNOSTI
þPotom pro původní funkci xa(t) je
þ
þ
þ
þ
þ
þ
þ
þ
þ
þtj. původní funkce je dána nekonečným součtem vzorkovacích funkcí, které procházejí každou
hodnotou xa(t) z nekonečného počtu vzorků navzorkované posloupnosti.
þ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
REKONSTRUKCE SPOJITÉ FUNKCE
Z NAVZORKOVANÉ POSLOUPNOSTI

logo-IBA logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
IX. FREKVENČNÍ TRANSFORMACE
 — ČASOVÉ ŘADY –

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
HARMONICKÁ ANALÝZA DISKRÉTNÍCH POSLOUPNOSTÍ
þ
þdiskrétní Fourierova řada
þFourierova transformace s diskrétním časem - DTFT
þdiskrétní Fourierova transformace - DFT
þrychlá Fourierova transformace - FFT

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
ROZKLAD PERIODICKÉ ČASOVÉ ŘADY
þspojitá veličina – opakování
þ Fourierova řada (v komplexním tvaru)
kde cn jsou komplexní Fourierovy koeficienty
Ω – úhlový kmitočet základní harmonické složky (základní harmonická);
.
.
.

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
FOURIEROVA ŘADA
PRO DISKRÉTNÍ posloupnosti
þnechť x(kTvz) je periodická posloupnost s periodou NTvz; pak x(kTvz) lze rozložit pomocí komplexní
exponenciální Fourierovy řady
þ
þ
þ kde
.
.

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
FOURIEROVA ŘADA
PRO DISKRÉTNÍ posloupnosti
þnechť x(kTvz) je periodická posloupnost s periodou NTvz; pak x(kTvz) lze rozložit pomocí komplexní
exponenciální Fourierovy řady
þ
þ
þ kde
þ
þ
þZÁVĚR
þje-li časová řada periodická, je frekvenční spektrum diskrétní; tj. nezáleží na spojitosti či
diskrétnosti časových dat, důležitá je jejich periodičnost.
þ
.
.

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
FOURIEROVA ŘADA
DŮKAZ
þzměňme index sumace ve vztahu pro výpočet koeficientu cn
.
.
.

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
FOURIEROVA ŘADA
DŮKAZ
(součet N členů geometrické posloupnosti                       )
s_n = a_1 \frac{ 1 - q^n }{ 1 - q }

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þx(kTvz) = A.cos(2pk/N) je periodická posloupnost s periodou N
FOURIEROVA ŘADA
PŘÍKLAD

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
FOURIEROVA ŘADA
PŘÍKLAD

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þnechť x(kTvz) je časově omezená posloupnost s diskrétním časem s x(kTvz)=0 pro všechna celá k>N1 a
k<-N1, kde N1 je celočíselná konstanta
FOURIEROVA TRANSFORMACE S DISKRÉTNÍM ČASEM - DTFT
vz
vz

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þdále, nechť pro kladné sudé celé číslo N>2N1 označíme             periodický signál s periodou NT,
který je x(kTvz) pro k = -N/2, -(N/2)+1, …, -1, 0, 1, …, (N/2)-1.
þz definice           máme
FOURIEROVA TRANSFORMACE S DISKRÉTNÍM ČASEM - DTFT

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þprotože             je periodická posloupnost s periodou NTvz, má Fourierovu řadu
FOURIEROVA TRANSFORMACE S DISKRÉTNÍM ČASEM - DTFT
.
.

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þZ definice              vyplývá, že poslední uvedený vztah lze přepsat do tvaru
þ
þ
þ
þ
þ
þ  kde ω je pro N→¥ spojitá (nediskrétní) veličina.
FOURIEROVA TRANSFORMACE S DISKRÉTNÍM ČASEM - DTFT
.

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þZÁVĚR
þje-li časová řada neperiodická a nekonečná, je frekvenční spektrum spojité; tj. nezáleží na
spojitosti či diskrétnosti časových dat, důležitá je jejich neperiodičnost a nekonečná doba trvání.
FOURIEROVA TRANSFORMACE S DISKRÉTNÍM ČASEM - DTFT
.

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
DISKRÉTNÍ FOURIEROVA TRANSFORMACE - DFT
þaby bylo možné počítat s frekvenčním spektrem na počítači, je třeba spektrální funkci
diskretizovat; þpředpokládejme, že diskrétní veličina x(nTvz)=0 pro n < 0 a n ≥ N-1, pak DFT je
definována vztahem

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
ZPĚTNÁ DISKRÉTNÍ FT – DFT-1

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
INVERZIBILITA DFT

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
DFT
ω1 = 2Ω
= 4p/NTVZ
DFTr.bmp

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
DFT
ω1 = 2,5Ω = 5p/NTVZ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þZÁVĚR
þje-li časová řada konečná a frekvenční spektrum diskrétní, pak její frekvenční spektrum je rovno
spektru diskrétní Fourierovy řady s periodou rovnou době trvání časové řady
DISKRÉTNÍ FOURIEROVA TRANSFORMACE - DFT