logo-IBA logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ČASOVÉ ŘADY Mgr. et Mgr. Jiří Kalina, PhD. prof. Ing. Jiří Holčík, CSc. UKB, pavilon D29 (Recetox), kancelář 123 kalina@mail.muni.cz logo-IBA logo-MU © Institut biostatistiky a analýz IX. FREKVENČNÍ TRANSFORMACE — POKRAČOVÁNÍ– levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þhodnoty funkcí cos a sin se používají z tabulek pro čtvrtinu periody; þzrychlení výpočetního algoritmu se dosáhne využitím dříve vypočítaných mezivýsledků, resp. vynecháním zbytečných výpočtů – např. násobení nulou; RYCHLÁ FOURIEROVA TRANSFORMACE - FFT levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þFFT – (Cooley, Tukey – 1965, ale před nimi již i mnozí další od 1903) èrozklad v časové oblasti; èrozklad ve frekvenční oblasti þjednotka pracnosti P – jedno komplexní násobení a sečítání þpracnost výpočtu jednoho vzorku spektra – N.P þpracnost celé transformace – N.N.P = N2.P RYCHLÁ FOURIEROVA TRANSFORMACE - FFT levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þvstupní posloupnost o sudém počtu vzorku rozdělíme na dvě dílčí posloupnosti þ {gn} = {x2n} - sudé prvky původní posloupnosti, þ {hn} = {x2n+1} - liché prvky původní þ posloupnosti, þ n=0,1,…, N/2-1 þ předpokládáme, že každá z posloupností (původní i obě dílčí), mají svou DFT FFT ROZKLAD V ČASOVÉ OBLASTI levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz FFT ROZKLAD V ČASOVÉ OBLASTI levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz FFT-2 FFT ROZKLAD V ČASOVÉ OBLASTI levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þvýsledná pracnost bude součtem pracností výpočtu spekter obou posloupností þ2.(N/2)2.P+N.P þ tzn. uspoření pracnosti téměř na polovinu; þje-li N/2 opět sudé, může se v dělení pokra-čovat – celkově je výhodné, je-li N = 2m FFT ROZKLAD V ČASOVÉ OBLASTI levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz FFT ROZKLAD V ČASOVÉ OBLASTI levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz FFT ROZKLAD V ČASOVÉ OBLASTI levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þkaždý uzel v grafu představuje jedno komplexní násobení a součet þN uzlů ve vrstvě; celkem m vrstev m=log2N þcelková pracnost: þP.N.m = P.N.log2N þ to představuje při N=8 úsporu 60%, při N=1024 již téměř 99% a při N=131072=217 dokonce 99,99% FFT ROZKLAD V ČASOVÉ OBLASTI levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þvýstup je uspořádán přirozeně; vstup je v bitově inverzním pořadí; þopakující se struktury „motýlků“ obsahujících 4 uzly a 4 hrany FFT ROZKLAD V ČASOVÉ OBLASTI logo-IBA logo-MU © Institut biostatistiky a analýz X. SYSTÉMY - ZÁKLADNÍ POJMY levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz SYSTÉM - DEFINICE þ SYSTÉM (řec.) þß þsložené, seskupené (v celek) þ þuzavřený, jednotně uspořádaný celek; þsoustava věcí, myšlenek, apod. uspořádaná podle určitého hlediska, určitou formou a metodou; þzáměrný, promyšlený, určitým způsobem uspořádaný postup, organizace, děj nebo vývoj; levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þ [Systém se skládá] z dynamicky uspořádaných prvků a vzájemně se ovlivňujících procesů. […] Základním úkolem biologie je odhalení zákonitostí biologických systémů. vonBertalanffy Ludwig von Bertalanffy (1901-1972) Kritische Theorie der Formbildung, Berlin 1928 General System Theory. Foundations, Development, Applications, NY1968 SYSTÉM - DEFINICE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz SYSTÉM - DEFINICE þSystém je komplex vzájemně na sebe působících elementů. (L. von Bertalanffy) þSystém je soubor prvků a vazeb mezi nimi. (R. L. Ackoff) þSystém je uspořádání určitých komponent, vzájemně propojených v celek (G. J. Klir) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þstruktura – je dána množinou všech prvků a vazeb (vztahů, relací) mezi prvky, resp. dalšími různými podsystémy daného systému; þ ZÁKLADNÍ ATRIBUTY SYSTÉMU levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þchování – je projevem dynamiky systému Dynamika je schopnost vyvolat změnu v systému, zejména jeho stavu. Dynamika je vlastností prvků systému, vazby jsou jejími iniciátory (vstupy), resp. nositeli důsledků (výstupy). berta-lo ZÁKLADNÍ ATRIBUTY SYSTÉMU levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þstavem sytému rozumíme souhrn hodnot jeho vlastností, které lze rozpoznat v daném časovém okamžiku za přesně definovaných podmínek. Stavu systému lze v libovolném časovém okamžiku t (z nějakého daného či zvoleného časového intervalu) přiřadit vektor hodnot s(t)Î S, který nazýváme stavovým vektorem, složky xi vektoru s nazýváme stavovými veličinami (proměnnými) a prostor S všech možných hodnot stavových veličin nazýváme stavovým prostorem. Podle vývoje hodnot stavu systému lze systémy dělit na statické (nevykazují pohyb) a dynamické. ZÁKLADNÍ ATRIBUTY SYSTÉMU levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þstabilita je schopnost systému udržovat si při změně vstupů a stavů svých prvků nezměněnou vnější formu (chování) i navzdory procesům probíhajícím uvnitř systému. Stabilitu chápeme jako vlastnost zaručující, že i po určité malé změně počátečních podmínek nastane v systému při nezměněných vstupech pohyb jen málo odlišný od původního. Pojem stability se neomezuje pouze na návrat do původního stavu po poruše, která způsobí vychýlení. Často je návrat do původního stavu nemožný, protože se změnily podmínky, v nichž systém existuje – pak si systém může najít stav odchylný od výchozího stavu, který je rovněž stabilní – tzv. ultrastabilní systém. ZÁKLADNÍ ATRIBUTY SYSTÉMU levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þokolí systému je tvořeno množinou prvků, které nejsou součástí daného systému, ale jsou s ním významně svázány. Systém a jeho okolí jsou jednak objektivní skutečností, ale jsou dány i subjektivně, v závislosti na osobě zkoumající systém a na účelu zkoumání. ZÁKLADNÍ ATRIBUTY SYSTÉMU levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þVeličiny (vazby), které zprostředkovávají vliv okolí na systém jsou vstupy systému a vnější projevy (vazby) systému, které reprezentují jeho vliv na okolí, jsou výstupy systému. Prvek systému, který má vazbu s okolím (vstupní nebo výstupní nebo vstupní i výstupní) nazýváme hraničním prvkem systému a množinu všech hraničních prvků nazýváme hranice systému. ZÁKLADNÍ ATRIBUTY SYSTÉMU levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þotevřený systém je takový, u něhož dochází k energetické a informační výměně s jeho okolím. þuzavřený (konzervativní) systém je naopak od svého okolí zcela izolován, nemá se svým okolím žádné vazby. þpodmínka separability systému – systém je separabilní, jestliže jeho výstupy zpětně vlivem prostředí podstatně neovlivňují vstupy. ZÁKLADNÍ ATRIBUTY SYSTÉMU levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ZÁKLADNÍ ATRIBUTY SYSTÉMU PŘÍKLADY obr3_1 LIDSKÝ ORGANISMUS JAKO SYSTÉM levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ZÁKLADNÍ ATRIBUTY SYSTÉMU SYSTÉM PĚTI PRVKŮ KLASICKÉ ČÍNSKÉ MEDICÍNY A FILOSOFIE 5EL1 PŘÍKLADY levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz NEFORMÁLNÍ ABSTRAKTNÍ POPIS SYSTÉMU þprvky – části, ze kterých se systém skládá þproměnné – slouží k popisu stavu prvků a jejich vývoje v čase; þvazby – pravidla, dle kterých se prvky navzájem ovlivňují (případně mění své parametry) a tak určují vývoj chování v čase; þparametry – zpravidla neproměnné (konstantní) charakteristiky prvků a vazeb systému; þzákladní předpoklady (počáteční podmínky) – vyplývají ze specifikace; levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz NEFORMÁLNÍ ABSTRAKTNÍ POPIS SYSTÉMU MODEL DRAVEC A KOŘIST þDxn - Dxm = k1.x(t).Dt - k2.x(t).y(t).Dt = [k1.x(t) - k2.x(t).y(t)].Dt þDyn - Dym = [k2.k3.x(t).y(t) - k4.y(t)].Dt þ þPrvky: populace dravce a populace kořisti þProměnné: jejich četnosti, resp. hustoty - x(t), y(t) þVazby: výše uvedené rovnice þParametry: k1, …, k4 þZákladní předpoklady: þ počáteční stavy obou populací þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz PROČ ABSTRAKTNÍ SYSTÉMY? þmodely zkoumaných reálných (biologických) objektů (procesů) -; þpopis algoritmů pro zpracování dat (technické, resp. matematické systémy); levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz FORMÁLNÍ (MATEMATICKÝ) POPIS SYSTÉMU þMatematické prostředky se různí podle: þtypu časové základny (spojité, diskrétní, nezávislé na časovém měřítku); þcharakteru proměnných (kvantitativní - spojité, diskrétní, logické; kvalitativní); þdeterminovanosti proměnných a parametrů (deterministické, nedeterministické - pravděpodobnostní, fuzzy,…); þvztahu k okolí (autonomní, neautonomní); þproměnnosti parametrů (lineární, nelineární, časově proměnné); þvztahu k minulosti (bez paměti, s pamětí); levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz FORMÁLNÍ (MATEMATICKÝ) POPIS SYSTÉMU þMatematické prostředky se různí podle: þtypu časové základny (spojité, diskrétní, nezávislé na časovém měřítku); þcharakteru proměnných (kvantitativní - spojité, diskrétní, logické; kvalitativní); þdeterminovanosti proměnných a parametrů (deterministické, nedeterministické - pravděpodobnostní, fuzzy,…); þvztahu k okolí (autonomní, neautonomní); þproměnnosti parametrů (lineární, nelineární, časově proměnné); þvztahu k minulosti (bez paměti, s pamětí); levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz LINEARITA þSystém je lineární, platí-li pro něj princip superpozice þJe-li y=f(x) převodní funkce systému, pak pro lineární systém musí platit þ 1) f(x1) + f(x2) = f(x1 + x2); þ 2) c.f(x) = f(c.x), c = konst. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz LINEARITA þ f(x1) + f(x2) = f(x1 + x2) þ c.f(x) = f(c.x), c = konst. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þA to je jen tehdy, je-li y=k.x, kde k = konst. þ þ1) k.x1 + k.x2 = k.(x1 + x2) þ2) c.k.x = k.c.x LINEARITA levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þA neplatí to ani, když þy=k.x-q, kde k,q = konst., þprotože þ þ1) (k.x1-q)+ (k.x2-q) ≠ k.(x1+x2)-q þ2) c.(k.x-q) ≠ (k.c.x-q) LINEARITA levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz KAUZALITA þKauzální (příčinný) je obecně takový systém, jehož výstup v každém časovém okamžiku t0 závisí pouze na průběhu vstupní veličiny x(t) pro t £ t0 Þ hodnota výstupu systému v každém okamžiku závisí pouze na vstupu v daném okamžiku a jeho průběhu v minulosti, nikoliv na budoucím průběhu vstupní veličiny. Systém, který tento požadavek nesplňuje, nazýváme nekauzální, příp. anticipativní. Nebo ještě jinak, systém je kauzální, pokud se výstup systému neobjeví dříve, než je na vstup přiveden vstupní veličina. Všechny rozumné reálné systémy jsou systémy kauzální. Časové řady zpravidla začínají v určitém referenčním okamžiku, který nazýváme počátkem časové osy. Jako kauzální zprostředkovaně označujeme takové časové řady, pro které platí x(n) = 0 pro n < 0. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz PŘÍKLAD MODEL DYNAMIKY JEDNODRUHOVÉ POPULACE þstav populace je dán počtem jejích členů – s(n) þautonomní lineární systém; þneautonomní lineární systém; þnelineární systém. þprvek systému/modelu jednodruhové populace je jediný Þ systém je vždy 1. řádu. þje-li s(n) počet jedinců v populaci v čase n, je dána stavem populace s(n-1) v předešlém časovém okamžiku, modifikovaným procesy, které se v dané populaci odehrávají. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þAUTONOMNÍ LINEÁRNÍ SYSTÉM þdynamika jeho chování závislá pouze na vnitřních dějích þkoeficient porodnosti b - definován podílem nově narozených jedinců ke všem jedincům populace za jednotkovou vzorkovací periodu (b ³ 0); þkoeficient úmrtnosti d - podíl zemřelých jedinců vůči všem jedincům v populaci za jednotkovou vzorkovací periodu PŘÍKLAD MODEL DYNAMIKY JEDNODRUHOVÉ POPULACE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þAUTONOMNÍ LINEÁRNÍ SYSTÉM þdynamika jeho chování závislá pouze na vnitřních dějích þkoeficient porodnosti b - definován podílem nově narozených jedinců ke všem jedincům populace za jednotkovou vzorkovací periodu (musí platit b ³ 0) þkoeficient úmrtnosti d - podíl zemřelých jedinců vůči všem jedincům v populaci za jednotkovou vzorkovací periodu (d Î á0; 1ñ) þr = b – d þpočáteční stav populace s(0) PŘÍKLAD MODEL DYNAMIKY JEDNODRUHOVÉ POPULACE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þpočet nově narozených jedinců za čas án-1, nñ je úměrný stavu populace v čase n-1 þ sb(n) = b.s(n-1) þpočet zemřelých - sd(n) = d.s(n-1) þ þs(n) = s(n-1)+sb(n) - sd(n) = s(n-1).(1+b–d) = þ= s(n-1).(1+r) þpři nulovém přírůstku (r = 0) stav populace v čase n roven stavu předchozí generace; þpři r = 0,5 (jeden potomek na dva rodiče) je nový stav roven jeden a půl násobku stavu předchozí generace. To odpovídá situaci, kdy do další generace přežívají všichni jednotlivci z předchozí generace a navíc se objevují nově narození jedinci; þtakto definovaný systém může být vhodný jako model populace, kdy délka života jejích členů je delší než doba dospívání, kterou reprezentuje vzorkovací krok; PŘÍKLAD MODEL DYNAMIKY JEDNODRUHOVÉ POPULACE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þDosadíme-li do definiční rovnice za s(n-1) podle ekvivalentního vztahu dostaneme þs(n) = s(n-1).(1+r) = s(n-2).(1+r)2 þatd., až z počáteční podmínky þs(n) = s(0).(1+r)n þposloupnost {s(n)} je exponenciálně rostoucí pro r>0, exponenciálně klesající pro rÎá-1, 0ñ a konstantní pro r=0. þ þPrůběh řešení závisí pouze na hodnotách parametrů systému b, d, resp. r a na počáteční podmínce s(0). þPro r < -1 má posloupnost {s(n)} kmitavý charakter, přičemž se mění polarita jejích hodnot. Tedy bez reálného praktického smyslu a významu. PŘÍKLAD MODEL DYNAMIKY JEDNODRUHOVÉ POPULACE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þNEAUTONOMNÍ LINEÁRNÍ SYSTÉM þprůběh stavové posloupnosti {s(n)} nebude závislý jen na dějích uvnitř populace, nýbrž i na změnách vyvolaných emigrací a imigrací z okolí systému þPokud vyjádříme výměnu jedinců systémové populace s okolím proměnnou x(n), která představuje rozdíl počtu jedinců, kteří odešli, příp. přišli z okolního prostředí během časového intervalu án-1, nñ, pak se definiční diferenční rovnice změní na þs(n) = s(n-1).(1+r) + x(n) þPrůběh řešení už nebude záviset pouze na parame-trech systému b, d, resp. r, nýbrž i na průběhu vstupní posloupnosti x(n). þ PŘÍKLAD MODEL DYNAMIKY JEDNODRUHOVÉ POPULACE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þAUTONOMNÍ NELINEÁRNÍ SYSTÉM þŘešení diferenční rovnice lineárního autonomního systému {s(n)} má exponenciální průběh. Pro r>0 je exponenciálně rostoucí. þProstor, ve kterém populace existuje je ale omezený, stejně jako množství využitelné energie. Velikost populace se proto v reálných podmínkách nemůže exponenciálně zvyšovat do nekonečna. þModifikujme definiční diferenční rovnici tak, že úmrtnost nebude konstantní, ale závislá na velikosti populace - čím větší populace, tím větší úmrtnost. þUvažme tu nejjednodušší závislost - lineární. Parametr úmrtnosti je pak určen vztahem þd + c.s(n-1). þDiferenční rovnice se změní na þs(n)=s(n-1).(1+b-d-c.s(n-1))=s(n-1).(1+r-c.s(n-1))= =(1+r).s(n-1) – c.s2(n-1)=s(n-1).p(s,n) PŘÍKLAD MODEL DYNAMIKY JEDNODRUHOVÉ POPULACE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þNEAUTONOMNÍ NELINEÁRNÍ SYSTÉM þdo předchozí rovnice přibude člen x(n) před-stavující vstupní hodnotu þs(n)=s(n-1).(1+b-d-c.s(n-1))+x(n)= þ= s(n-1).(1+r-c.s(n-1))+x(n) = þ= s(n-1).p(s,n)+x(n) þresp. s(n)-s(n-1).p(s,n) = x(n), þ þProtože parametr p(s,n) je funkcí stavu, který je v neautonomním případě současně i funkcí vstupu, nejsou vlastnosti takového systému určeny jen jeho vlastní strukturou (jako u lineárního systému), nýbrž závisí i na vlivu okolí. þ PŘÍKLAD MODEL DYNAMIKY JEDNODRUHOVÉ POPULACE