logo-IBA logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
ČASOVÉ ŘADY
Mgr. et Mgr. Jiří Kalina, PhD.
prof. Ing. Jiří Holčík, CSc.
UKB, pavilon D29 (Recetox), kancelář 123
kalina@mail.muni.cz

logo-IBA logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
XI. POPIS LINEÁRNÍCH SYSTÉMŮ

PŘEDEVŠÍM VE FREKVENČNÍ DOMÉNĚ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
POPIS SYSTÉMU
þvnější popis
èvyjadřuje vztah mezi vstupní a výstupní veličinou;
þvnitřní popis
èzohledňuje vnitřní strukturu systému/modelu;
èvyjadřuje vztah mezi stavovými, vstupními a výstupními veličinami;

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍHO SYSTÉMU
þdiferenční rovnice
þjednodruhová autonomní populace
þ(lineární, je-li je r = konst.)
þs(n) = s(n-1)+sb(n) - sd(n) = s(n-1).(1+b–d) = s(n-1).(1+r)
þs(n) - s(n-1).(1+r) = 0
þjednodruhová neautonomní populace
þs(n) - s(n-1).(1+r) = x(n)
þnelineární autonomní systém (populace)
þs(n) - s(n-1).p(s,n) = 0
þnelineární neautonomní systém (populace)
þs(n) - s(n-1).p(s,n) = x(n)

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍHO SYSTÉMU
þdiferenční rovnice
þ
þ
þresp.
þ
þ
þkde ai a bi jsou parametry systému, x(k) jsou hodnoty vstupní posloupnosti a y(k) hodnoty výstupní
posloupnosti.
þJe-li systém autonomní, tj. bez vstupu, je diferenční rovnice homogenní, s nulovou pravou stranou.
þ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þParametry ai a bi mohou být obecně funkcemi jak vstupních i výstupních veličin (nelineární
systémy), tak i času (časově závislé systémy). Jsou-li parametry konstantní, splňuje systém princip
superpozice a systém je lineární.
þHodnota n určuje maximální zpoždění pro vzorky výstupní posloupnosti a současně řád systému, m
určuje maximální zpoždění pro vzorky vstupní posloupnosti zahrnuté do výpočtu.
þAlternativním zápisem diferenční rovnice může být výraz pro výpočet k-tého výstupního vzorku,
který využívá hodnotu k-tého vzorku vstupní posloupnosti a předchozí vzorky jak vstupní, tak
výstupní posloupnosti až do zpoždění m, resp. n
VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍHO SYSTÉMU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þPŘÍKLAD:
þDiferenční rovnice y(k) = x(k) – 2y(k – 1) + y(k – 2) reprezentuje diskrétní, časově invariantní
lineární rekurzivní systém, přičemž koeficienty diferenční rovnice jsou a0 = 1, b0 = 1, b1 = 2 a
b2 = -1.
þ
þDiferenční rovnice a její řešení představuje to nejdůležitější, co očekáváme od konstrukce
matematického modelu, tj. možnost určení průběhu veličin reprezentujících chování, tj. dynamiku
modelovaného objektu.
þExistuje i jiná možnost popisu systému, která by dokázala odhalit jiné zajímavé či užitečné
vlastnosti zkoumaného systému ?
þLineární systémy představují značné zjednodušení – jejich parametry musí být konstantní. Nicméně
právě lineární systémy umožňují různé formy popisu, přestože si zachovávají širokou oblast použití.
þ
VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍHO SYSTÉMU
priklad32

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þdefinice DTFT - opakování
X(ω) je obecně komplexní funkce reálné proměnné ω - kmitočtu
je-li z=exp(iωT), dostaneme
oboustranná
Z-transformace
Z TRANSFORMACE

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
Z TRANSFORMACE
jednostranná Z-transformace
Z-transformace jednotkového impulsu
Z(Δ(kTvz))=1
Z-transformace posunutého jednotkového impulsu
      Z(Δ(kTvz-nTvz))=

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
Z TRANSFORMACE
Z-transformace jednotkového skoku
U(z) = 1 + z-1 + z-2 + z-3 + z-4 + …
vynásobíme-li obě strany (z-1) dostaneme
(z-1).U(z) = (z+1+z-1+z-2+z-3+…) – (1+z-1+z-2+z-3+z-4+…) = z
U(z) = z/(z-1) = 1/(1-z-1)

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
VLASTNOSTI Z TRANSFORMACE
Linearita
a·x(k) + b·y(k) ~ a·X(z) + b·Y(z)
Posun vpravo x(k).u(k)
x(k-n)·u(k-n) ~ z-nX(z)
Posun vpravo x(k)
x(k-1) ~ z-1X(z) + x(-1)
x(k-2) ~ z-2X(z) + x(-2) + z-1.x(-1)
:
x(k-n) ~ z-nX(z) + x(-n) + z-1·x(-n+1) + … + z-n+1·x(-1)
Je-li x(m) = 0 pro m = -1, -2, …., -n, je
x(k-n) ~ z-nX(z),
což je totéž jako pro x(k-n)·u(k-n) .

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
VLASTNOSTI Z TRANSFORMACE
Konvoluce

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
x(k)
X(z)
oblast konvergence
d(k)
1
"z
d(k–i)
z-i
pro "z kromě z=0, když i > 0 nebo z→∞, když i < 0
s(k), resp. –s(–k–1)
 |z| > 1, resp. |z| < 1
aks(k), resp. –ak s(–k–1)
|z| > a, resp. |z| < a
kaks(k), resp. –kak s(–k–1)
|z| > a, resp. |z| < a
(k+1)aks(k)
|z| > a
cos(kW0) s(k)
|z| > 1
sin(kW0) s(k)
|z| > 1
[ak·cos(kW0)] s(k)
|z| > a
[ak·sin(kW0)] s(k)
|z| > a
|z| > 0
VLASTNOSTI Z TRANSFORMACE

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þy(nTvz) = h(nTvz)*x(nTvz)
þY(z) = H(z)·X(z)
þH(z) = Y(z)/X(z), kde H(z) je racionální lomená funkce proměnné z-1 (obrazová přenosová funkce)
VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍHO SYSTÉMU
PŘENOSOVÁ FUNKCE
a·x(k) + b·y(k) ~ a·X(z) + b·Y(z)

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍHO SYSTÉMU
NULOVÉ BODY A PÓLY
A – zesílení; zni … nulové body; zpi … póly

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍHO SYSTÉMU
DIFERENČNÍ ROVNICE
diferenční rovnice
!!! za předpokladu nulových počátečních podmínek !!!

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍHO SYSTÉMU
FREKVENČNÍ PŘENOSOVÁ FUNKCE
z = exp(iωTvz)

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍHO SYSTÉMU
FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKY

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍHO SYSTÉMU
FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKY

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þkonvoluce
operátorová přenosová funkce
H(z) = Y(z)/X(z)
Y(z) = H(z).X(z)
VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍHO SYSTÉMU
IMPULSNÍ CHARAKTERISTIKA

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍHO SYSTÉMU
IMPULSNÍ CHARAKTERISTIKA
Y(z) = H(z).X(z)
za předpokladu, že X(z) = 1 máme
Y(z) = H(z).1
y(kTvz) = h(kTvz) = Z-1(H(z))
X(z) = 1 Þ x(kTvz) = Z-1(1)

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍHO SYSTÉMU
IMPULSNÍ CHARAKTERISTIKA
þY(z) = H(z).X(z)
þza předpokladu, že X(z) = 1 máme
þY(z) = H(z).1
þy(kTvz) = h(kTvz) = Z-1(H(z))
þX(z) = 1 Þ x(kTvz) = Z-1(1)
þ
þZ-transformace jednotkového impulsu
þZ(Δ(kTvz))=1

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þy(kTvz) = h(kTvz) = Z-1(H(z).Z(Δ(kTvz)))
þodezva na jednotkový impuls -
-impulsová charakteristika
þ
þ
þimpulsní charakteristika a přenosová funkce tvoří transformační pár Z transformace.
þimpulsní charakteristika a frekvenční přenosová funkce tvoří transformační pár Fourierovy (DFT)
transformace.
VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍHO SYSTÉMU
IMPULSNÍ CHARAKTERISTIKA

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þje-li h(kTvz) = 0 pro k >k0 hovoříme o systému s konečnou impulsní charakteristikou (KIO – FIR);
þnení-li h(kTvz) = 0 pro k >k0 hovoříme o systému s nekonečnou impulsní charakteristikou (NIO –
IIR);
þ
VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍHO SYSTÉMU
IMPULSNÍ CHARAKTERISTIKA

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þpřechodová charakteristika =
þ= odezva systému na jednotkový skok
þ
þZ(u(kTvz)) = 1/1-z-1 = z/(z-1)
þY(z) = G(z) = H(z).z/(z-1)
VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍHO SYSTÉMU
PŘECHODOVÁ CHARAKTERISTIKA

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
LINEÁRNÍ SYSTÉMY S VÍCE VSTUPY A VÝSTUPY
þJak se situace změní, když má systém více vstupů, resp. více výstupů?
þLineární časově invariantní systém (tj. s konstantními parametry) s více vstupy lze řešit s
použitím principu superpozice. Podle něj lze každý vstup uvažovat jednotlivě s tím, že všechny
ostatní vstupy jsou vynulovány. Poté součet všech výstupních reakcí na separované, ovšem na systém
současně přivedené vstupy dává celkovou odezvu systému.

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
LINEÁRNÍ SYSTÉMY S VÍCE VSTUPY A VÝSTUPY
þJak se situace změní, když má systém více vstupů, resp. více výstupů?
þ
þK zamyšlení:
þJe potřeba případ více výstupů řešit na základě nějakého specifického pravidla nebo nikoliv?

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍCH SYSTÉMŮ
1.diferenční rovnice;
2.obrazová neboli operátorová přenosová funkce (z transformace);
3.rozložení nulových bodů a pólů;
4.frekvenční přenosová funkce;
5.frekvenční charakteristiky – modulová, fázová;
6.impulsní charakteristika;
7.přechodová charakteristika.;

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍCH SYSTÉMŮ