logo-IBA logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ČASOVÉ ŘADY Mgr. et Mgr. Jiří Kalina, PhD. prof. Ing. Jiří Holčík, CSc. UKB, pavilon D29 (Recetox), kancelář 123 kalina@mail.muni.cz levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍCH SYSTÉMŮ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz MODEL DRAVEC/KOŘIST þ þx(k+1) = Dxb - Dxd = k1.x(k) - k2.x(k).y(k) þy(k+1) = Dyb - Dyd = k2.k3.x(k).y(k) - k4.y(k) þ þ þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz MODEL DRAVEC/KOŘIST þ þx(k+1) = Dxb - Dxd = k1.x(k) - k2.x(k).y(k) þy(k+1) = Dyb - Dyd = k2.k3.x(k).y(k) - k4.y(k) þ þlineární ? nelineární þ þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz MODEL DRAVEC/KOŘIST þ þx(k+1) = Dxb - Dxd = k1.x(k) - k2.x(k).y(k) þy(k+1) = Dyb - Dyd = k2.k3.x(k).y(k) - k4.y(k) þ þa) x(k+1) = Dxb - Dxd = k1.x(k) - k2.y(k) þy(k+1) = Dyb - Dyd = k2.k3.y(k) - k4.y(k) = (k2.k3 - k4).y(k) þ þb) x(k+1) = Dxb - Dxd = k1.x(k) - k2.x(k) = (k1 - k2).x(k) þy(k+1) = Dyb - Dyd = k2.k3.x(k) - k4.y(k) þ þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz VNITŘNÍ STAVOVÝ POPIS þDynamika je vyjádřena jejich hodnotami stavových proměnných v následujícím časovém kroku. þ þ þ þ þ þkde s(k+1) = (s1(k+1), s2(k+1), …, sn(k+1))T je vektor hodnot stavových veličin v čase k+1, s(k) je vektor hodnot stavových veličin v čase k a vektor x(k) představuje hodnoty vstupních posloupností v čase k. Matice A(n,n) je matice dynamiky systému a její (v případě lineárních, časově invariantních systémů konstantní) prvky vyjadřují vztah mezi hodnotami stavových veličin v čase k+1 a k. Matice B(n,m) je tzv. vstupní matice systému a popisuje vzájemný vztah mezi hodnotami stavových veličin v čase k+1 a hodnotami vstupních veličin v čase k. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz VNITŘNÍ STAVOVÝ POPIS þa) x(k+1) = Dxb - Dxd = k1.x(k) - k2.y(k) þy(k+1) = Dyb - Dyd = k2.k3.y(k) - k4.y(k) = (k2.k3 - k4).y(k) þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz VNITŘNÍ STAVOVÝ POPIS þa) x(k+1) = Dxb - Dxd = k1.x(k) - k2.y(k) þy(k+1) = Dyb - Dyd = k2.k3.y(k) - k4.y(k) = (k2.k3 - k4).y(k) þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz VNITŘNÍ STAVOVÝ POPIS þInformaci o ději uvnitř systému získáváme prostřednictvím hodnot výstupních veličin, které určujeme pomocí druhé stavové rovnice, kterou píšeme ve tvaru þ þ þ þ þ þ þkde kromě již výše použitých symbolů je y(k) = (y1(k), y2(k), …, yr(k))T vektor hodnot výstupních posloupností v čase k, matice C(r,n) matice popisující vliv stavu systému na výstup a matice D(r,m) je matice přímých vstupně-výstupních vazeb. þ þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz VNITŘNÍ STAVOVÝ POPIS þa) x(k+1) = Dxb - Dxd = k1.x(k) - k2.y(k) þy(k+1) = Dyb - Dyd = k2.k3.y(k) - k4.y(k) = (k2.k3 - k4).y(k) þ þ þ þ þ þ þ þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz VNITŘNÍ STAVOVÝ POPIS þa) x(k+1) = Dxb - Dxd = k1.x(k) - k2.y(k) þy(k+1) = Dyb - Dyd = k2.k3.y(k) - k4.y(k) = (k2.k3 - k4).y(k) þ þ þ þ þ þ þ þ logo-IBA logo-MU © Institut biostatistiky a analýz XII. STABILITA levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz KDY JE A KDY NENÍ SYSTÉM STABILNÍ þStabilita - vlastnost systému, kterou můžeme charakterizovat jeho schopností udržet své chování či rysy (parametry) v předepsaných mezích i za případného vnějšího rušivého působení. þRovnováha - relativně stálý stav systému, vzniklý vyrovnáním vlivů na systém působících. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz KDY JE A KDY NENÍ SYSTÉM STABILNÍ koule obr12_1 levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz STABILITA NELINEÁRNÍCH SYSTÉMŮ þLjapunovská stabilita: Rovnovážný stav xe je ljapunovsky stabilní právě tehdy, když ke každému e > 0 existuje δ > 0 takové, že pro libovolný počáteční stav x0, který leží v okolí δ rovnovážného stavu, tj. platí, že všechny stavy x(t), které jsou řešením systému, leží v blízkosti rovnovážného stavu, tj. Nevyžadujeme, aby řešení konvergovalo do rovnovážného stavu, ale pouze vyžadujeme, aby se mu příliš nevzdalovalo. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz STABILITA NELINEÁRNÍCH SYSTÉMŮ þLjapunovská stabilita obr12_2 ljapunov_stabil levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þasymptotická stabilita: þasymptoticky stabilní systém je systém, jehož přirozená odezva časem zaniká þ þ asymptotic_stabil STABILITA LINEÁRNÍCH SYSTÉMŮ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þdva základní přístupy k určení stability: þstabilita vynuceného pohybu/externí stabilita; þstabilita vůči počátečnímu stavu/interní (daná konvergencí přirozené odezvy); þ STABILITA LINEÁRNÍCH SYSTÉMŮ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz STABILITA VYNUCENÉHO POHYBU þtendence systému reagovat přiměřeně na konečný podnět (co do hodnot i trvání) a po jeho zániku se vrátit do výchozího stavu (není nezbytnou podmínkou); þstabilita BIBO (Bounded Input Bouded Output) þDEFINICE: þSystém je stabilní, pokud na každý ohraničený vstup x(t) [x(nTvz)] reaguje rovněž ohraničeným výstupem y(t) [y(nTvz)]. þ þDle této definice lze ověřit pouze nestabilitu – jakmile je nalezen takový vstup, pro který se systém chová nestabilně, je systém nestabilní. Pokud na všechny vyzkoušené ohraničené vstupní posloupnosti reaguje systém stabilně, neznamená to ještě, že neexistuje žádný vstup, na který by reagoval nestabilně. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz STABILITA VYNUCENÉHO POHYBU þNutnou a postačující podmínkou pro tuto formu stability je tzv. Hurwitzovo kritérium, které je v diskrétním tvaru þ þ þkde h(k) je impulzní charakteristika systému. þ þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz STABILITA VYNUCENÉHO POHYBU þPokud platí výše uvedená podmínka a současně je vstupní posloupnost ohraničená, tj. þ þpak z konvoluční sumy þ þje þ þ W,V < ¥ þ þvýstupní posloupnost je ohraničená a Hurwitzova podmínka je postačující. Že je to i podmínka nutná, dokažme sporem. þ þ þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þPředpokládejme, že Hurwitzova podmínka neplatí, tj. þ þ þa přesto je systém stabilní. Pokusme se nyní najít takovou posloupnost, která by nesplňovala základní, výše uvedenou podmínku BIBO stability, tj. že by na ohraničený vstup systém reagoval neomezeným výstupem. þPro vstupní posloupnost použijme þx(i) = sign[h(k-i)], tj. x(k-i) = sign[h(i)]. þ STABILITA VYNUCENÉHO POHYBU , tj. , levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þPotom þ þ þNení-li Hurwitzova podmínka splněna, je systém nestabilní. Je tedy současně i podmínkou nutnou. þ þ STABILITA VYNUCENÉHO POHYBU , tj. , levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz STABILITA VŮČI POČÁTEČNÍMU STAVU þje dána jen a jen vlastnostmi systému samotného – interní stabilita; þlze ji rozpoznat z vlastností některého (libovolného) popisu jeho vlastností. Jak existuje několik způsobů popisu lineárního systému, tak existuje i více kritérií (metod), jak interní stabilitu vůči počátečnímu stavu odhalit. þzabývejme se tím nejběžnějším způsobem podle polohy pólů obrazové přenosové funkce (resp.vlastních čísel matice systému) a ukažme na základě dílčích případů, jaká je oblast, ve které se musí nacházet póly stabilního v čase diskrétního systému. þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz 25 þLineární stacionární systém je asymptoticky stabilní právě tehdy, jsou-li póly systému v absolutní hodnotě (resp. vlastní čísla matice systému) menší než 1. þ STABILITA VŮČI POČÁTEČNÍMU STAVU levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍHO SYSTÉMU NULOVÉ BODY A PÓLY A – zesílení; zni … nulové body; zpi … póly levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz STABILITA VŮČI POČÁTEČNÍMU STAVU levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz x(k) X(z) d(k) 1 d(k–i) z-i s(k), resp. –s(–k–1) aks(k), resp. –ak s(–k–1) kaks(k), resp. –kak s(–k–1) (k+1)aks(k) cos(kW0) s(k) sin(kW0) s(k) [ak·cos(kW0)] s(k) [ak·sin(kW0)] s(k) VLASTNOSTI Z TRANSFORMACE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þPříklad: Mějme diskrétní systém s přenosovou funkcí Tento systém je nestabilní. Póly přenosové funkce jsou: z1,2 = -0,4; z3 = -0,667; z4 = 0,1; z5 = -1-i; z6 = -1+i; STABILITA VŮČI POČÁTEČNÍMU STAVU levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þPříklad: Nechť jsou póly diskrétního systému þz1 = -1; z2 = 0,5; z3 = -0,5-0,2i; z4 = -0,5+0,2i; þ þ þ STABILITA VŮČI POČÁTEČNÍMU STAVU levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þPříklad: Nechť jsou póly diskrétního systému þz1 = -1; z2 = 0,5; z3 = -0,5-0,2i; z4 = -0,5+0,2i; þ þSystém je na mezi stability. þ STABILITA VŮČI POČÁTEČNÍMU STAVU levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þPříklad: Nechť jsou póly diskrétního systému þz1 = -1; z2 = 0,5; z3 = -0,5-0,2i; z4 = -0,5+0,2i; þ þSystém je na mezi stability. þ STABILITA VŮČI POČÁTEČNÍMU STAVU þPříklad: Nechť jsou póly diskrétního systému z1 = 0,1; z2 = -0,5-0,2i; z3 = -0,5+0,5i; levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þPříklad: Nechť jsou póly diskrétního systému þz1 = -1; z2 = 0,5; z3 = -0,5-0,2i; z4 = -0,5+0,2i; þ þSystém je na mezi stability. þ STABILITA VŮČI POČÁTEČNÍMU STAVU þPříklad: Nechť jsou póly diskrétního systému z1 = 0,1; z2 = -0,5-0,2i; z3 = -0,5+0,5i; Systém je stabilní, nicméně koeficienty jmenovatele jeho přenosové funkce nejsou reálné a tedy odezva na reálný vstup je komplexní. logo-IBA logo-MU © Institut biostatistiky a analýz XIII. SPOJOVÁNÍ SYSTÉMŮ ZPĚTNÁ VAZBA levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz SÉRIOVÉ (KASKÁDNÍ) ZAPOJENÍ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz SÉRIOVÉ (KASKÁDNÍ) ZAPOJENÍ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz PARALELNÍ ZAPOJENÍ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz PARALELNÍ ZAPOJENÍ http://is.muni.cz/system/tex2img?code=y_1%28t%29%3Dh_1%28t%29%2Ax_1%28t%29%3Dh_1%28t%29%2Ax%28t%29% 5C%5C%0Ay_2%28t%29%3Dh_2%28t%29%2Ax_2%28t%29%3Dh_2%28t%29%2Ax%28t%29. http://is.muni.cz/system/tex2img?code=y%28t%29%3Dy_1%28t%29%2By_2%28t%29%3Dh_1%28t%29%2Ax%28t%29%2B h_2%28t%29%2Ax%28t%29%3D%5Bh_1%28t%29%2Bh_2%28t%29%5D%2Ax%28t%29. http://is.muni.cz/system/tex2img?code=h_p%28t%29%3Dh_1%28t%29%2Bh_2%28t%29%2C http://is.muni.cz/system/tex2img?code=h_p%28t%29%3D%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5EN%20h_i%28t%29. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ZPĚTNOVAZEBNÍ ZAPOJENÍ E(z) = X(z) - V(z) X(z) = E(z) + V(z) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ZPĚTNOVAZEBNÍ ZAPOJENÍ kladná ZV levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ZPĚTNÁ VAZBA VLASTNOSTI þzvýšená přesnost – např. schopnost věrně reprodukovat vstup; þsnížená citlivost poměru výstup/vstup na změny parametrů systému; þsnížený vliv nelinearit; þsnížený vliv vnějších poruch a šumu; þširší rozsah frekvenčního pásma; þtendence k oscilacím a nestabilitě; levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ZPĚTNÁ VAZBA PRINCIP REGULACE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz BIOLOGICKÁ ZPĚTNÁ VAZBA þBiologická zpětná vazba je mechanismus, který prostřednictvím měření a smyslově vnímatelného znázornění stavu určitého subsystému lidského organismu umožňuje tento stav změnit volní činnosti vyšetřované osoby. þ þ þ þ þ þ þ þ þMůže-li si člověk prostřednictvím určitého přístroje uvědomit stav či změnu stavu svého organismu (které by si normálně nevšimnul), např. generování EEG signálu s převažujícím výskytem složek o frekvencích z intervalu 8 – 12 Hz – rytmus alfa, pak se může naučit tento stav do určité míry ovlivňovat. http://programujte.com/../galerie/2005/12/200512030221_feedback.jpg levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz BIOLOGICKÁ ZPĚTNÁ VAZBA þVeličiny, které mohou být biologickou zpětnou vazbou vědomě modifikovány, jsou např. klidové svalové napětí, srdeční rytmus, tlak krve, periferní tok krve (vasokonstrikce, resp. vasodilatace), kožní odpor či EEG signál. þZnázornění hodnoty sledované veličiny je především vizuální (poloha ukazatele, umístění bodu na ploše obrazovky) nebo akustické (výška či hlasitost tónu). V poslední době se prosazuje forma jednoduchých počítačových her. þMožnost (schopnost) ovlivňovat stav vlastního organismu umožňuje využít tohoto principu v terapii psychických poruch různého typu. þ