logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek, S. Littnerová, J. Kalina
Asociační tabulky
Korelace
Regrese
13. Vztah dvou proměnných

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek, S. Littnerová, J. Kalina
Fisherův exaktní (přímý) test
—Využití ve čtyřpolní tabulce s nízkými četnostmi, které znemožňují použití c2-testu.
—Patří mezi neparametrické testy pracující s daty na nominální škále, v nejjednodušší podobě ve
dvou třídách: pozitivní/negativní, úspěch/neúspěch apod.
—Nulová hypotéza předpokládá rovnoměrné zastoupení sledovaného znaku u dvou nezávislých souborů.
—Slovo exaktní (přímý) znamená, že se přímo vypočítává pravděpodobnost odmítnutí, resp. platnosti
nulové hypotézy.

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek, S. Littnerová, J. Kalina
Fisherův exaktní (přímý) test
—Výpočet probíhá v cyklu:
¡spočítá se parciální pravděpodobnost čtyřpolní tabulky p1:
¡
¡
¡
¡
¡nejnižší hodnota v tabulce se sníží o jedna při zachování součtů řádků i sloupců,
¡postup se opakuje (výpočet parciálních pravděpodobností p2…pn)
¡cyklus končí ve chvíli, kdy je v nejnižším poli tabulky 0.
—p-hodnota testu je součtem parciálních pravděpodobností.
¡

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek, S. Littnerová, J. Kalina
Vyjádření rizik ve čtyřpolní tabulce - motivace
—Sledujeme souvislost věku matky a výskytu náhlého úmrtí kojence (SIDS). Výsledky dány v tabulce.
—Pomocí Pearsonova chí‐kvadrátu nebo Fisherova exaktního testu můžeme rozhodovat o
závislosti/nezávislosti dvou sledovaných veličin. Testy ale neumožňují tento vztah kvantifikovat.
—
—Má‐li to smysl a chceme‐li kvantifikovat (rozhodovat o těsnosti této závislosti) můžeme použít
tzv. relativní riziko a poměr šancí.

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek, S. Littnerová, J. Kalina
Relativní riziko = Relative Risk (RR)
—Výpočet relativního rizika (RR) umožňuje srovnat pravděpodobnosti výskytu sledovaného jevu ve dvou
různých skupinách.
—1. skupina –experimentální nebo skupina s expozicí určitému faktoru
—2. skupina –kontrolní nebo skupina bez expozice

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek, S. Littnerová, J. Kalina
Příklad: relativní riziko
—Sledujeme souvislost věku matky a výskytu náhlého úmrtí kojence (SIDS). Výsledky dány ve čtyřpolní
tabulce:
Riziko výskytu SIDS u dětí matek ve věku do 25 je téměř třikrát vyšší než u dětí matek rodících ve
vyšším věku.

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek, S. Littnerová, J. Kalina
Poměr šancí = Odds ratio
—Poměr šancí (OR) je další charakteristikou, která umožňuje srovnat výskyt sledovaného jevu ve dvou
různých skupinách.
—1. skupina –experimentální nebo skupina s expozicí určitému faktoru
—2. skupina –kontrolní nebo skupina bez expozice

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek, S. Littnerová, J. Kalina
Příklad: odds ratio
—Sledujeme souvislost věku matky a výskytu náhlého úmrtí kojence (SIDS). Výsledky dány ve čtyřpolní
tabulce:
„Šance“ na výskyt SIDS u dětí matek ve věku do 25 je téměř třikrát vyšší než u dětí matek rodících
ve vyšším věku.

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek, S. Littnerová, J. Kalina
Grafické srovnání RR a OR

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek, S. Littnerová, J. Kalina
Umělý příklad: pití slazených nápojů
—Sledujeme vliv pití slazených nápojů na výskyt zubního kazu. Výsledky dány v tabulce:

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek, S. Littnerová, J. Kalina
Srovnání RR a OR
—Hodnoty, jakých může nabývat RR i OR, souvisí s četností výskytu sledované události v kontrolní
(referenční) skupině.

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek, S. Littnerová, J. Kalina
Výhody a nevýhody RR a OR
—
—Nevýhoda OR:
¡obtížná interpretace.
—
—Výhoda i nevýhoda RR:
¡nezajímá ho samotná pravděpodobnost výskytu jevu, ale pouze jejich podíl → korektní použití RR je
však pouze v případě, že pravděpodobnost výskytu jevu v kontrolní skupině je reprezentativní (není
ovlivněna výběrem sledovaných subjektů).
—

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek, S. Littnerová, J. Kalina
Prospektivní a retrospektivní studie
—Prospektivní studie
¡U některých subjektů je rizikový faktor přítomen a u jiných ne → sledujeme v čase, zda se vyskytne
událost.
—Retrospektivní studie
¡U některých subjektů se událost vyskytla a u jiných ne → zpětně hodnotíme, zda se liší s ohledem
na nějaký rizikový faktor.
—

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek, S. Littnerová, J. Kalina
Použití RR a OR
—Prospektivní studie – u některých subjektů je rizikový faktor přítomen a u jiných ne → sledujeme,
zda se vyskytne událost.
¡Zjištěná pravděpodobnost výskytu události v kontrolní skupině je reprezentativní, neboť
prospektivně zařazujeme všechny pacienty
¡→ korektní použití RR.
—Retrospektivní studie – u některých subjektů se událost vyskytla a u jiných ne → zpětně hodnotíme,
zda se liší s ohledem na nějaký rizikový faktor.
¡Zjištěná pravděpodobnost výskytu události v kontrolní skupině není reprezentativní, neboť ji
ovlivňujeme zpětným výběrem skupin subjektů.
¡→ nekorektní použití RR.
¡→ korektní použití OR.

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek, J. Kalina
Korelace a regrese
—Zatím jsme se zabývali spojitou veličinou v jedné skupině, spojitou veličinou ve více skupinách,
diskrétní veličinou v jedné skupině, diskrétní veličinou ve více skupinách, dvěma diskrétními
veličinami v jedné skupině.
—Teď se chceme zabývat dvěma spojitými veličinami v jedné skupině:
—1.Chceme zjistit, jestli mezi nimi existuje vztah –např. jestli vyšší hodnoty jedné veličiny
znamenají nižší hodnoty jiné veličiny.
—2.Chceme predikovat hodnoty jedné veličiny na základě znalosti hodnot jiných veličin.
—3.Chceme kvantifikovat vztah mezi dvěma spojitými veličinami –např. pro použití jedné veličiny
namísto druhé veličiny.

logo-IBA
Korelace a regrese
—Korelační analýza je využívána pro vyhodnocení míry vztahu dvou spojitých proměnných. Obdobně jako
jiné statistické metody, i korelace mohou být parametrické nebo neparametrické.
—Regresní analýza vytváří model vztahu dvou nebo více proměnných, tedy jakým způsobem jedna
proměnná (vysvětlovaná) závisí na jiných proměnných (prediktorech). Regresní analýza je obdobně
jako ANOVA nástrojem pro vysvětlení variability hodnocené proměnné.
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek, J. Kalina

logo-IBA
Korelace
—K měření těsnosti lineárního vztahu 2 spojitých proměnných
r = 0 → nekorelované
r > 0 → kladně korelované
r < 0 → záporně korelované
—H0: proměnné X, Y jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny
(r = 0)
HA: proměnné X, Y nejsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny (r ≠ 0)
—Parametrický korelační koeficient:
Pearsonův kor. koef. (dvourozměrné normální rozložení)
—Neparametrické korelační koeficienty:
Spearmanův (pořadový) kor. koef., Kendallovo tau.
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek, J. Kalina

logo-IBA
Vizuální hodnocení vztahu dvou proměnných
—Nejjednodušší formou je bodový graf (x‐y graf), tzv. scatterplot.
—Vztah výšky a váhy studentů Biostatistiky pro matematické biology – jaro 2010:
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek, J. Kalina

logo-IBA
Základy korelační analýzy - I.
Korelace – vztah (závislost) dvou znaků (parametrů)
Y2
X1
Y
2
X
1
Y2
X1
ANO
NE
ANO
a
b
NE
c
d
X1
X2
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek, J. Kalina

logo-IBA
Základy korelační analýzy - II.
Parametrické míry korelace
Kovariance
Pearsonův koeficient korelace
0
0
0
--  x
--  y
Y2
X1
r = 1
r = -1
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek, J. Kalina

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Základy korelační analýzy - III.
PI (zem)
10
14
15
32
40
20
16
50
PI (rostl.)
19
22
26
41
35
32
25
40
I.
II.

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Základy korelační analýzy - IV.
Srovnání dvou korelačních koeficientů (r)
1.
2.
Krevní tlak x koncentrace kysl. radikálů
7,461 >> 1,96  =>  P << 0,01

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Základy korelační analýzy - V.
Neparametrická korelace (rs)
PI v půdě
1
2
3
6
7
5
4
8
PI v rostl.
1
2
4
8
6
5
3
7
dI
0
0
1
2
-1
0
-1
-1
i = 1, ….. n;   n = 8  => v = 6
P = 0,358
Pacient č.
1
2
3
4
5
6
7
Lékař 1
4
1
6
5
3
2
7
Lékař 2
4
2
5
6
1
3
7
dI
0
-1
1
-1
2
-1
0

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Korelace v grafech I.
Y
X
Y
X
Vztahy velmi často implikují funkční vztah mezi Y a X.
Y = a + b . X
Y = a + b1 . X1 + b2 . X2 + b3 . X3
Y = a + b1 . X1 + b2 . X2
Y = a + b1 . X1 + b2 . X2 + b3 . X1 . X2

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Korelace v grafech II.
Problém rozložení hodnot
Problém typu modelu
X
Y
X
r = 0,981
(p < 0,001)
r = 0,761
(p < 0,032)
Y
Problém velikosti vzorku
Y
X
Y
X
r = 0,891
(p < 0,214)
r = 0,212
(p < 0,008)

logo-IBA
Jednoduchá lineární regrese
—V případě existence vzájemného vztahu (korelace) lze tento vztah podrobněji popsat.
—Cíl regresní analýzy: popsat závislost hodnot proměnné Y na hodnotách proměnné X.
—V případě lineární regrese je tento popis dán lineárním modelem tvaru y = ax + b.
—Existují i techniky nelineární regrese.
—Nemáme-li dostatek informací k teoretickému souboru, snažíme se odhadnout typ funkce pomocí
dvourozměrného diagramu.
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek, J. Kalina

logo-IBA
Předpoklady lineární regrese
—Hlavním předpokladem je splnění požadavků Gauss-Markovovy věty:
1.
2.
3.
—Splnění těchto předpokladů je zajištěno v případě, kdy jsou rezidua normálně rozdělena, nezávislá
na prediktorech (které jsou nezávislé).
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek, J. Kalina
E(\varepsilon_i)=0, V(\varepsilon_i)= \sigma^2 < \infty, {\rm cov}(\varepsilon_i,\varepsilon_j) =
0, \forall i \neq j