Příklady cvičení plus
• Uvažujte homogenně nabitou kouli ležící v počátku souřadnicové soustavy
o hustotě náboje a poloměru R, rotující úhlovou frekvencí ω
okolo osy z. Vypočtěte magnetickou indukci na ose rotace. Bz =
µ0ωR2Q
10πz3
• Uvažujte nabitou kouli o poloměru R s hustotou náboje závisící pouze
na radiální vzdálenosti (r). Určete tuto závislost tak, aby byla elektrostatická
energie nejmenší. [ (r) ∼ δ(R)]
• Dokažte rovnost
−→
·
−→
E ×
−→
B = −
1
2
∂
∂t
B2 +
1
c2
E2 − µ0
−→
j ·
−→
E .
• Potenciální energie bodového tělesa o hmotnosti m0 v gravitačním
poli je v Newtonovské fyzice dána Poissonovou rovnicí ∆Ep(−→r ) =
4πm0κ (−→r ). Napište obecný vztah pro gravitační sílu púsobící na
těleso o hmotnosti m0 v gravitačním poli, které je buzené hustotou
(−→r ).
−→
F = −m0κ
(−→r − −→r ) (−→r )
|−→r − −→r |3
dV
• Uvažujte púlsférovou slupku o poloměru R se středem v počátku určené
podmínkou z > 0 (t.j. tvořenou body splňujícími x2+y2+z2 = R2∧z >
0). Púlsférová slupka je nabitá plošnou hustotou náboje σ(x, y, z) =
σ0z. Určete elektrickou intenzitu v počátku. Ez = −
σ0R
6ε0
• Uvažujte dvě rovnoběžné nekonečně dlouhé přímky vzdálené od sebe
l. Jedna z přímek je nabita délkovou hustotou náboje τ1 = D/l, kde
D je konstanta, a druhá hustotou náboje τ2 = −D/l. Určete rozložení
elektrického potenciálu v tomto systému. Určete rozložení potenciálu
v limitě kdy vzdálenost přímek je nulová. Při výpočtu nezapomeňte
na to, že když budeme přímky přibližovat tak jejich délková hustota
poroste nepřímo úměrně vzdálenosti mezi přímkami. Vypočtěte elektrickou
intenzitu odpovídající tomuto limitnímu případu.
• Uvažujte nekonečně velkou vodivou desku v rovině x − y a bodový
náboj velikosti Q umístěný na kladné části osy z ve vzdálenosti d od
této desky. Určete rozložení elektrické intenzity a potenciálu v tomto
systému. Elektrickou intenzitu v polorovině z > 0 múžete najít tak, že
kromě náboje Q ležícího v kladné polorovině si také představíte bodový
náboj −Q ležící na záporné části osy z vzdálený d od počátku. Určete
rozložení plošného náboje σ(x, y) podél vodivé desky. Ze získané plošné
hustoty náboje určete celkový náboj vodivé desky. [Qd = −Q]
• Uvažujte dvě bodové nabité částice s opačným znaménkem pro jejichž
hmotnosti platí M m. Uvažujte možnost pouze radiálního pohybu.
Vypočtěte závislost času na radiální poloze
1
a) pokud jsou částice volné (částice přiletěla, nebo odletí do nekonečna)
b) pokud jsou částice vázané.
a) t + c =
b
a3/2
a
b
r 1 +
a
b
r + ln 1 +
a
b
r −
a
b
r ,
b) t+c = −
b
˜a3/2
˜a
b
r 1 −
˜a
b
r + arccos
˜a
b
r , kde b =
2Q1Q2
4πε0m
,
−˜a = a =
2Ec
m
, kde Ec je celková energie částice.
• Uvažujte N dimenzionální krychli. Na každé hraně krychle se nachází
rezistor o odporu R. Protilehlé rohy této krychle jso zapojeny ke zdroji
napětí. Určete odpor této krychle. Rc = N
N
k=0
R
(N
k )
• Uvažujte cívku (solenoid) o délce L tvořenou tenkým drátem stočeným
do šroubovice o poloměru R, kterým protéká proud I. Sestavte BiotSavartův
integrál pro složku vektoru magnetické indukce rovnoběžnou s
osou šroubovice. Tuto složku vypočtěte uprostřed šroubovice. Dokažte,
že v případě L → ∞ je integrál roven výsledku z Ampérova zákona.
• Uvažujte homogeně nabitý válec o délce L a poloměru R. Vypočtěte
elektrickou intenzitu a potenciál na ose válce.
Ez = 2ε0
R2 + z − L
2
2
1
2
− R2 + z + L
2
2
1
2
+ L ,
ϕ = −2ε0
R2
4 ln
R2+(z−L
2 )
2
1
2
+(z−L
2 )
R2+(z−L
2 )
2
1
2
−(z−L
2 )
−R2
4 ln
R2+(z+L
2 )
2
1
2
+(z+L
2 )
R2+(z+L
2 )
2
1
2
−(z+L
2 )
+Lz+
1
2 z − L
2 R2 + z − L
2
2
1
2
− z + L
2 R2 + z + L
2
2
1
2
=
−2ε0
R2
2 ln
R2+(z−L
2 )
2
1
2
+(z−L
2 )
R2+(z+L
2 )
2
1
2
+(z+L
2 )
+ Lz+
+1
2 z − L
2 R2 + z − L
2
2
1
2
− z + L
2 R2 + z + L
2
2
1
2
• Uvažujte homogeně nabitý okolo osy symetrie rotující válec o délce L
a poloměru R. Vypočtěte magnetickou indukci na ose válce.
• Uvažujte paralelně zapojenou civku, rezistor a kondenzátor, které nejsou
dále k ničemu připojeny. Cívkou a rezistorem na počátku neprotéká
žádný proud. Kondenzátor je nabitý nábojem Q0. Určete časový vývoj
náboje na kondenzátoru a proudu v cívce a rezistoru.
2
• Uvažujte kruhovou proudovou smyčku o poloměru R s proudem I
nacházející se v nehomogenním magnetickém poli
−→
B. Smyčka leží v
rovině xy. Vypočtěte vektor síly působící na tuto smyčku. Při výpočtu
použijte Taylorův rozvoj magnetické indukce do prvního (nekonstantního)
řádu.
• Uvažujte lineární koaxiální kabel o délce L, kterým protéká proud I.
Vnitřní vodič má poloměr R1 a vnější tenká vodivá slupka má poloměr
R2. Vypočtěte energii magnetického pole v kabelu. Nezanedbejte poloměr
vnitřního vodiče. E =
µ0I2L
4π
1
4 + ln R2
R1
3