1
Fyzika pro chemiky IIFyzika pro chemiky II
......
Fyzika mikrosvětaFyzika mikrosvěta
(základy kvantové mechaniky)(základy kvantové mechaniky)
……
Petr MikulíkPetr Mikulík
Ústav fyziky kondenzovaných látek
Přírodovědecká fakulta
Masarykova univerzita, Brno
Na základě přednášek Fyzika pro chemiky II – Václav HolýNa základě přednášek Fyzika pro chemiky II – Václav Holý
Hodina číslo 6 2
II. ELEMENTY KVANTOVÉ FYZIKYII. ELEMENTY KVANTOVÉ FYZIKY
II.1. Kvantový popis světlaII.1. Kvantový popis světla
Historie
Teorie elektromagnetismu (James Clerk Maxwell 1831–1873) – světlo je
elektromagnetické vlnění a zároveň elektromagnetické vlnění má vlastnosti analogické
světlu (odraz elektromagnetického vlnění, lom na rozhraní atd.) – předpověděl teoreticky
1865.
Experimentální ověření existence elektromagnetických vln, jejich odrazu a lomu – 1886 –
Heinrich Hertz (1857–1894).
3
Záření černého tělesaZáření černého tělesa
Každý objekt zahřátý na dostatečně vysokou teplotu
emituje světlo. Jaké je spektrální složení tohoto
světla?
Josef Stefan (1879) ukázal experimentálně, že
celkový výkon emitovaný jednotkovou plochou
horkého tělesa na všech frekvencích dohromady je
úměrný 4. mocnině jeho absolutní teploty:
etotal = aσ T
4
(II.1)
σ = 5.67⋅10
−8
W⋅m
−2
K
−4
je Stefanova–Boltzmannova konstanta, a
konstanta a závisí na „barvě“ tělesa, a = 1 je pro ideálně černé těleso.
Zaveďme spektrální hustotu záření – energie v jednotkovém objemu dutiny v horkém
tělese v jednotkovém intervalu vlnových délek u (λ, T), takže
Hledal se univerzální tvar této funkce.
e(T) =∫0
∞
u(λ,T ) dλ
kde
4
Ukázalo se však experimentálně, že pro dlouhé vlnové délky vztah neplatí.
Lord Rayleigh a James Jeans předpokládali, že elektromagnetické vlnění v dutině je
v termodynamické rovnováze s okolními stěnami. Stojatou elektromagnetickou vlnu
uvažovali jako harmonický oscilátor a předpokládali jeho střední energii ve tvaru kB T.
Vlnění v dutině je superpozicí velkého počtu stojatých vln (harmonických oscilátorů).
Nakonec jim vyšlo
u(λ,T) =
8 π
λ4
kBT
Tento Rayleighův–Jeansův zákon dobře vyhovoval pro dlouhé vlny, selhával ale
pro krátké vlny („UV katastrofa“), kde lépe platil Wienův zákon.
(II.3)
Wilhelm Wien (1896) na základě experimentů předpokládal tvar (Wienův exponenciální
zákon)
u(λ,T)=
8πhc
λ
5 exp
(−
hc
λkB T ) (II.2)
Wienův posunovací zákon (1893 – empiricky) – vlnová délka maxima spektrální hustoty
záření závisí na teplotě vztahem:
λmax ≈
hc
4.965kB T
=
konst
T
Čím teplejší těleso, tím … srovnání: Slunce, žárovka, elektrická plotýnka, oheň, …
Boltzmanova konstanta kB = 1.38⋅10
−23
JK
−1
5
Poté odvodil Planckův zákon pro spektrální hustotu záření
u(λ,T)=
8π hc
λ5
1
exp
( hc
λkB T )−1
(II.4)
Limity Planckova zákona: hc
λ kB T
≫1 vyjde Wienův vzorec
hc
λ kB T
≪1 vyjde Rayleighův–Jeansův zákon
Elektromagnetické vlnění existuje v nespojitých energetických kvantech o energii
E = hf = ℏω, ℏ =
h
2π
≈ 1.054⋅10
−34
J⋅s ≈ 6.582⋅10
−16
eV⋅s
(II.5)
Max Planck vyřešil rozpor předpokladem, že energie
elementárního harmonického oscilátoru, tj. stojaté
elektromagnetické vlny v dutině černého tělesa, je celistvým
násobkem hf, kde h je Planckova konstanta
MaxPlanck(1858–1947)
h ≈ 6.626⋅10−34
J⋅s
6
Srovnání spektrálních hustot podle Wienova zákona, Rayleighova–Jeansova zákona
a Planckova zákona:
7
Vnější fotoelektrický jevVnější fotoelektrický jev
Poprvé pozorován H. Hertzem v roce 1887: čisté kovové
povrchy emitují nabité částice, jsou-li ozářeny UV světlem.
(Vnější = elektrony opouští materiál; vnitřní: fotovodivost.)
W. Hallwachs (1888): tyto náboje jsou záporné.
J.J. Thomson (1899): kovové povrchy emitují elektronyelektrony..
P. Lennard (1902): maximální kinetická energie emitovaných
elektronů nezávisí na intenzitě světla, zvětšuje se s frekvencí
světla. Tok emitovaných elektronů je úměrný intenzitě světla.
Měření maximální kinetické energie elektronů:
Ekin, max = eU s
(II.6)
Albert Einstein (1877–1955)
Polarita napětí U proti toku emitovaných
elektronů → určení prahové energie.
8
Ekin,max
ff0 U
tok elektronů (měřený proud)
velká intenzita světla
malá intenzita světla
Us
<0 0 V
A. Einstein – vysvětlení 1905, N.P. 1921.
Světelné kvantum (fotonfoton) se absorbuje v kovu. Jeho energie se spotřebuje na výstupní práci
elektronu (opuštění kovu) a na získání kinetické energie (urychlení):
→ Ekin,max = hf−ϕ
kde ϕ je výstupní práce elektronu v kovu.
(II.7)
hf = ϕ + Ekin,max
9
Comptonův jevComptonův jev
A.H. Compton (1922) – měření rtg spekter v závislosti na úhlu rozptylu záření v uhlíkové destičce
→ ukázal, že fotony se chovají jako částice s hybností
Fotony rtg záření se rozptylují na volných elektronech – úhel rozptylu θ. Tento rozptyl
nelze vysvětlit klasickou elektrodynamikou.
Rozptylem fotonu na elektronu se část energie
fotonu přemění na kinetickou energii elektronu
(zpětný ráz), celková hybnost a energie soustavy
se zachovávají:
hf(1)
= hf(2)
+ ΔEkin,el
pfot
(1)
= pfot
(2)
+ Δpel
Odtud:
Δλ(θ) = λ(2)
−λ(1)
=
h
mc
(1−cosθ)
elektron
foton
foton
 (II.8)
(II.9)
p =
hf
c
Klidová hmotnost elektronu:
m = 9.1∙10 -31
kgComptonova vlnová délka
h
mc
≈ 0.00243 nm = 2.43 pm
Šum v tvrdém rtg, gama spektroskopie, …
10
II.2. Bohrův model atomuII.2. Bohrův model atomu
Základní experimenty:
• Objev elektrolýzyObjev elektrolýzy (M. Faraday – 1833) – hmotnost vyloučené látky na elektrodě je přímo
úměrná přenesenému náboji a nepřímo úměrná mocnosti vylučované látky.
• Objev elektronuObjev elektronu a změření jeho specifického náboje e/m (J.J. Thomson – 1897) –
elektrický proud se přenáší v kvantech (studoval katodové paprsky).
• Přesné měření elektrického nábojePřesné měření elektrického náboje e (R. Millikan – 1909).
• Objev atomového jádraObjev atomového jádra (E. Rutherford, H. Geiger, E. Marsden – 1913) rozptylem -částic
(He2+
, Z = N = 2) na tenké kovové folii.
Rutherfordův rozptyl -částic na atomových jádrech:
Ernest Rutherford
(1871–1937)
11
Mezi kladně nabitou -částicí a kladně nabitým atomovým jádrem se Z protony působí
odpudivá elektrostatická síla. Při rozptylu se zachovává mechanická energie a celková
hybnost soustavy.
Tok rozptýlených částic závisí na úhlu rozptylu φ jako
I(φ) = const⋅Z⋅(sin
φ
2)
−4
Velikost jádra lze odhadnout z minimální vzdálenosti mezi -částicí a jádrem, kterou částice
dosáhne při φ = π vyjde řádově 10–15
m.
V době objevu nebylo jasné:
(i) co drží protony v jádře a překonává odpudivé elektrostatické síly mezi protony,
(ii) proč je hmotnost atomu větší než hmotnost Z protonů,
(iii) proč se elektrony pohybují po stabilních drahách kolem jádra a nevyzařují při tomto
pohybu elektromagnetické vlnění.
Problém (i) byl vyřešen mnohem později objevem silné interakce.
Problém (ii) byl vyřešen objevem neutronu (J. Chadwick – 1921).
Problém (iii) byl vyřešen v rámci Bohrova modelu atomu (N. Bohr – 1913).
(II.10)
Rutherfordův rozptylRutherfordův rozptyl
12
Bohrův model atomuBohrův model atomu (1913)
Postuláty:Postuláty:
• elektrony se pohybují po kruhových drahách kolem jádra,
• kruhové dráhy jsou stabilní,
• přechází-li elektron z jedné kruhové dráhy na jinou, tak emituje
nebo absorbuje foton s frekvencí f
Ei−Ef =±hf
• poloměry stabilních kruhových drah plynou z kvantovací podmínky
mvrn = nℏ , n = 1, 2, 3, …, ℏ = h/2π
Pohybová rovnice elektronu na stabilní dráze kolem protonu (atom vodíku) – rovnováha sil:
m v
2
r
=
e
2
4 π ε0 r2
(II.11)
(II.12)
(II.13)
Z (II.12) a (II.13) plyne pro poloměry kruhových drah:
rn = 4 π ε0
ℏ
2
me
2
⋅n
2
= a0 n
2 (II.14)
kde Bohrův poloměr je a0 ≈ 0.0529 nm ≈ 0.5Å
Niels Bohr (1885–1962)
13
Energie elektronu na n-té dráze (orbitě):
En = Ekin,n+ Epot ,n =−
me
4
2(4πε0)
2
ℏ
2
⋅
1
n
2
En =−R
1
n
2
, R ≈ 13.6 eV
(II.15)
R je Rydbergova konstanta, n je kvantové číslokvantové číslo,, En jsou ionizační energie orbitů.
Energie emitovaných fotonů:
hf = R
(1
nf
2
−
1
ni
2
) (II.16)
Princip korespondence:
Pro klasické objekty musí kvantově-mechanické výsledky souhlasit s klasickou mechanikou.
V případě atomu vodíku musí pro n→ vyjít klasický výsledek.
Spektrální série
(čarové spektrum)
atomu vodíku:
n f
=1
n f
=2
n f
=3
En < 0 ... vázaný stav
14
Moseleyho zákonMoseleyho zákon
Zanedbáme-li jemnou strukturu, je ionizační energie slupky (II.15)
En =−R
Z
2
n
2
Dopadem elektronu s kinetickou energií větší
než je ionizační energie slupky se tato slupka
ionizuje a na prázdné místo přejde elektron z
vyšší slupky. Vyzáří se foton rtg záření. Energie
vzniklé spektrální čáry je lineární funkcí Z2
.
H.G.J. Moseley (1887–1915)
15
1914 – objev charakteristického rtg záření
(H. G. J. Moseley, Phil. Mag., 1914, p. 703)
– první experimentální potvrzení Bohrova modelu
atomu
Wolfram: Z = 74
Měď: Z = 29
Skutečnost: „stínění“ ostatními elektrony; stínící
konstanta k (pro K α čáru je k =1):
√E ∝ √ω ∝ Z
En =−R
(Z−k)
2
n2
E ∝ Z
2
→ rtg
16
II.3. De Broglieho vlnyII.3. De Broglieho vlny
Doposud jsme studovali částicovou podstatu hmoty.
Experimentálně se ukázalo, že některé vlastnosti částic lze popsat
pomocí jejich vlnové povahy (difrakce elektronů – C.J. Davisson a
L.H. Germer, 1927).
Bohrova atomární teorie měla řadu nedostatků:
• neumožnila předpovědět intenzitu spektrálních čar,
• selhávala u atomů s více elektrony.
λ =
h
p
⇒ p =
h
λ
= ℏk
a frekvence těchto vln je
f =
E
h
, ω =
E
ℏ
(II.17)
(II.18)
Louis Victor de Broglie (1892–1987)
Nová mechanika byla založena na myšlence částicově-vlnového dualismu (L.V. de Broglie
– 1923). Předpokládala částicové a současně vlnové vlastnosti všech částic, podobně jako
u fotonů.
Vlnová délka de Broglieho vln spojených s pohybujícím se objektem je spjata s jeho
hybností
17
Délka orbity (=obvod dráhy, 2πr ) je rovna celistvému násobku vlnových délek de Broglieho
vlny elektronu na dané orbitě:
2π r = n λ ⇒ mv rn = nℏ
Příklad de Broglieho
vlny pro n = 3
(II.19)
De Broglieho teorie umožnila vyložit kvantování momentu hybnosti v Bohrově modelu atomu:
Odvození: 2π r = n λ ⇒ 2 πr⋅m v = n λ⋅p ⇒ 2π⋅rmv = n⋅λ p ⇒ r m v = nℏ
18
Davissonův–Germerův experimentDavissonův–Germerův experiment – difrakce elektronů na krystalové mřížce (1927)

d
V
Clinton Davisson (1881–1958)
mřížka fcc, a =3.52 Å
dhkl
=0.91 Å
19
Elektrony jsou urychleny napětím V, jejich vlnová délka je
1
2
mv2
= eV ⇒ λ =
h
p
=
h
mv
=
h
√2eV m
V původním experimentu se použilo V = 54 V, tedy  = 1.67 Å. Tyto elektrony difraktují
na krystalové mřížce niklu, difrakční podmínka je:
2d sin ϑ = n λ
(II.20)
(II.21)
20
Úvod do fyziky mikrosvěta
Část 2
Vlnová klubka
Heisenbergův princip neurčitosti
Schrödingerova rovnice v jednorozměrném prostoru
21
Vlnová klubkaVlnová klubka
Pohybující se lokalizovaná částice nemůže být popsána postupnou monochromatickou
vlnou. Lokalizaci získáme superpozicí mnoha postupných vln s různými frekvencemi
Monochromatická postupná vlna:
Ψ (x,t) = A e
−i(ωt−kx)
Vlnové klubko:
Ψ (x,t) =∫−∞
∞
dk A(k)e−i(ω(k)t−kx)
Fázová rychlost:
v(k0) =
ω(k0)
k0
Grupová rychlost:
vg(k0) =
dω(k)
dk
∣k=k0
Disperze: ω = ω(k)
(II.22)
(II.23)
(II.24)
22
Superpozice dvou monochromatických postupných vln s týmiž amplitudami, s vlnovými
vektory k1 =1, k2 =1.1 a fázovými rychlostmi v1 =2 a v2 =3 (v libovolných jednotkách).
Výsledné vlnové klubko má fázovou a grupovou rychlost
v ≈
v1+ v2
2
= 2.5, vg = v+ k
dv
dk
≈
v1+ v2
2
+
k1+ k2
2
v2−v1
k2−k1
= 13
Fáze se posouvá rychlostí v,
maximum amplitudy klubka se
posouvá rychlostí vg.
23
→ rozložení výchylky v daném
časovém okamžiku:
Vlnové klubko složené z mnoha monochromatických vln
Závislost amplitudy na vlnovém vektoru:
24
Časový vývoj tvaru vlnového klubka při nenulové disperzi (libovolné jednotky):
dv
dk
=
1
k (dω
dk
−
ω
k )> 0
x=vgt
25
Heisenbergův princip neurčitostiHeisenbergův princip neurčitosti (1924)
Šířka vlnového klubka v prostoru je nepřímo úměrná šířce
oboru vlnových vektorů zastoupených ve vlnovém klubku:
Δx Δk ≥
1
2
Což můžeme vyjádřit vztahem pro hybnosti:
Δx Δpx ≥
ℏ
2
(II.25)
široké klubko úzké klubko
Werner Heisenberg (1901–1976) 26
Heisenbergův princip neurčitosti lze ilustrovat (Fraunhoferovou) difrakcí světla na štěrbině:
úzká štěrbina – malé x, velké px široká štěrbina – velké x, malé px
27
Difrakci částic můžeme popsat jako difrakci de Broglieho vln
Experimentální ověření:
rtg difrakce na kovové folii …
… a difrakce elektronů na téže
kovové folii, tatáž vlnová délka
28
II.4. Základy kvantové mechaniky v 1 dimenziII.4. Základy kvantové mechaniky v 1 dimenzi
Vlnová funkce nese všechny informace o objektu.
Pravděpodobnost nalezení částice v elementárním intervalu
dx je
Ψ (x,t)
P(x,t) dx =∣Ψ(x,t)∣2
dx (II.26)
P(x, t) je hustota pravděpodobnostihustota pravděpodobnosti nalezení částice
v místě x. Je jisté, že se částice nachází někde na ose x,
proto
∫−∞
∞
dx∣Ψ(x,t)∣2
=1 (II.27)
… normovací podmínka pro vlnovou funkci.
Max Born (1882–1970)
Srovnání s klasickou fyzikou: v klasické fyzice známe přesnou polohu částice v libovolném
čase x=x(t), a pravděpodobnost je tedy rovna jedné v místě, kde se částice nachází, a nula
všude jinde, tedy
Ψklas(x=x(t),t)=1 a Ψklas(x≠x(t),t)=0
29
Vlnová funkce
Ψk (x ,t)= Ae
−i(ωt−kx)
= Ae
−i(Et/ℏ−px/ℏ)
= A e
−
i
ℏ (Et−px)
(II.29)
je postupná monochromatická vlna.
Stav částice je úplně určen vlnovým vektorem k (kvantové číslokvantové číslo).
Normalizace funkce (aneb upřesnění konstanty A): částice se určitě nachází v intervalu <a, b>
a proto integrál musí vyjít roven jedné (100procentní pravděpodobnost):
∫a
b
dx|Ψk (x,t)|2
=|A|2
(b−a) = 1 (II.30)
Vlnová funkce volné částiceVlnová funkce volné částice
Na volnou částici nepůsobí žádná síla a její kinetická energie E je konstantní. Z de Broglieho
vztahu p=ℏk (II.18) mezi hybností p a vlnočtem k plyne
E =
p2
2m
=
ℏ2
k2
2m
, ω =
E
ℏ
=
ℏk2
2m
(II.28)
a hodnota A v (II.29) je tedy
A=
1
√b−a
30
Částice v silovém poliČástice v silovém poli
Schrödingerova rovnice – jeden z postulátů kvantové mechaniky:
Erwin Schrödinger
(1887–1961)
−
ℏ
2
2m
∂
2
Ψ (x ,t)
∂x
2 + U (x)Ψ (x ,t) = iℏ
∂Ψ (x,t)
∂t
(II.31)
Tato rovnice popisuje časový vývoj vlnové funkce částice v silovém poli
s potenciální energií U(x). Počáteční podmínka je dána funkcí
Ψ(x,t=0)
Řešme rovnicí separací proměnných. Předpokládejme
Ψ(x,t)= ψ(x)ϕ(t)
Dosazením vyjde
−
ℏ
2
2m
d
2
ψ(x)
dx
2 +U (x)ψ(x) = Eψ(x)
iℏ
dϕ (t)
dt
= Eϕ (t) ⇒ ϕ(t) = A e
−
i
ℏ
Et
časově nezávislá Schrödingerova rovnice
(II.31)
31
Částice v silovém poliČástice v silovém poli
Schrödingerova rovnice – jeden z postulátů kvantové mechaniky
Erwin Schrödinger
(1887–1961)
−
ℏ
2
2m
∂
2
Ψ (x ,t)
∂ x
2 + U (x)Ψ (x ,t) = iℏ
∂Ψ (x,t)
∂t
(II.31)
rovnice popisuje časový vývoj vlnové funkce částice v silovém poli
s potenciální energií U(x). Počáteční podmínka je dána funkcí
Ψx,t=0
Řešme rovnicí separací proměnných. Předpokládejme
Ψ(x,t) = ψ(x)ϕ (t)
Dosazením vyjde
−
ℏ2
2m
d
2
ψ(x)
dx2
+U (x)ψ(x) = Eψ(x)
iℏ
dϕ (t)
dt
= Eϕ (t) ⇒ ϕ (t) = A e
−
i
ℏ
Et
časově nezávislá Schrödingerova rovnice
(II.31)
32
Obecné řešení – číslujeme je písmenkem (číslem) k:
ψk (x) = Acos(kx)+ Bsin(kx), x∈〈0,L〉, k =
√2m E
ℏ
Vlnová funkce (x) musí být všude spojitá, její derivace d/dx musí být všude spojitá
s výjimkou bodů, v nichž je U(x) → ∞. Platí proto
ψk (0) = ψk(L) = 0
(II.33)
(II.34)
Řešíme rovnici (II.32) s okrajovými podmínkami (II.34) – okrajový problém.
Z podmínky (II.34) plyne A = 0 a možné hodnoty kvantového čísla k jsou pouze tyto:
k = nπ/L, n=1,2,… (II.35)
Energie částice v potenciálové jámě jsou kvantoványkvantovány
En =
ℏ2
k2
2m
=
n2
π2
ℏ2
2mL2
∝ n2
, n=1,2,… (II.36)
Obecné řešení rovnice (II.32) je lineární kombinace řešení (II.33) s různými hodnotami
kvantového čísla n.
33
vlnová funkce (x) hustota pravděpodobnosti P(x) = |(x)|2
34
Jednorozměrná konečně hluboká kvantová jámaJednorozměrná konečně hluboká kvantová jáma
0 L
x
U(x)
U
Schrödingerova rovnice částice uvnitř jámy vypadá stejně jako na dně nekonečně hluboké jámy:
−
ℏ2
2m
d
2
ψ
dx
2
= Eψ , x∈〈0, L〉 (II.37)
zatímco v bariérách
−
ℏ2
2m
d
2
ψ
dx
2 = (E−U)ψ , x ∉ 〈0, L〉 (II.38)
35
Uvažme případ E < U, tj. částice je vázána v jámě. Řešení rovnice (II.37) má tvar (II.33),
rovnice (II.38) má řešení
ψ(x) = Ceαx
pro x< 0, ψ(x) = De−αx
pro x> L,
α =
1
ℏ
√2m(U−E)
(II.38)
Použili jsme přitom podmínku lim
x±∞
ψx=0 Koeficienty A,B,C,D určíme z okrajových
podmínek.
Tyto podmínky lze napsat jako soustavu 4 lineárních homogenních rovnic pro A,B,C,D.
Podmínka existence netriviálního řešení této soustavy je, že determinant její matice je nulový:
det = e−αL
[k2
sin(kL)−2α kcos(kL)−α2
sin(kL)]=0
Tento výraz představuje transcendentní rovnici pro E, která má konečně mnoho
řešení En pro E < U:
tan(k L) =
2α k
k2
−α2
(II.39)
(II.40)
Okrajové podmínky – spojitost (x) a její 1. derivace v bodech x = 0 a x = L.
36
Existuje nenulová pravděpodobnost nalezení částice v bariéře.
Částice pronikají do bariéry s efektivní hloubkou vniku:
δ =
1
α
=
ℏ
√2m(U−E)
(II.41)
vlnová funkce hustota pravděpodobnosti
37
Jednorozměrný kvantový harmonický oscilátorJednorozměrný kvantový harmonický oscilátor
Částice se pohybuje v silovém poli s parabolickým rozložením potenciální energie
minimum potenciální energie – stabilní rovnovážná poloha
x
U(x)
Potenciální energie U (x) =
1
2
K x
2
=
1
2
m ω
2
x
2
Klasická fyzika: síla F (x) =−
dU (x)
dx
=−K x
K je tuhost vazby,  je vlastní frekvence harmonického oscilátoru.
(II.42)
38
Schrödingerova rovnice je
d2
ψ
dx
2
=
2m
ℏ
2 (1
2
mω
2
x
2
−E)ψ(x)
Tato rovnice má spočetně mnoho řešení
kde
Hn(ξ) = (−1)n
eξ
2
dn
dξn
(e−ξ
2
)
je Hermiteův polynom stupně n.
(II.43)
(II.44)
(II.45)
En = ℏω(n+
1
2 ) (II.47)
Schrödingerova rovnice (II.43) má netriviální řešení pouze pro diskrétní spektrum energií
(kvantování energie):
Vlnové funkce (II.44) jsou normovány
∫−∞
∞
dξ ψn(ξ)ψm(ξ) = δnm
(II.46)
ψn(x) =
1
√n!2
n
√π
Hn (ξ) e
−
ξ
2
2
, ξ=x
√mω
ℏ
, n=0,1,2,…
39
Hustota pravděpodobnosti několika stavů kvantového harmonického oscilátoru
Pn(ξ)=∣ψn(ξ)∣2
40
Jednorozměrná nekonečně hluboká kvantová jámaJednorozměrná nekonečně hluboká kvantová jáma
Předpokládejme profil potenciální energie U(x) jako
nekonečně hlubokou jámu (propast), částice s energií
E se nachází uvnitř.
x
U ( x )
0 L
∞∞
Částice se určitě nachází uvnitř jámy, mimo jámu se
určitě nenachází, tj.
ψ(x) = 0 vně jámy
Řešíme Schrödingerovu rovnici (II.31) a hledáme řešení,
tj. E a ψ(x) v diferenciální rovnici:
(II.32)−
ℏ
2
2m
d
2
ψ
dx2
= Eψ
−
ℏ2
2m
d
2
ψ(x)
dx2
+U (x)ψ(x) = Eψ(x)
Uvnitř jámy je U=0:
41
Základní stav pro n = 0:
E0 =
1
2
ℏω , ψ0 (ξ) = π−1/4
exp(−ξ2
/2) (II.48)
Srovnání s klasickým oscilátorem:
klasický: kvantový:
energie: spojité spektrum:
E=
1
2
mω
2
A
2
diskrétní spektrum:
En=ℏ ω(n+
1
2
)
hustota
pravděpodobnosti:
Px={ A
2
−x
2

−1/2
/π pro∣x∣A
0 pro ∣x∣A
kvantové číslo: , spojité spektrumA≥0 n = 0,1,2,…, diskrétní spektrum
základní stav: A = 0, E0 = 0 n = 0, E0=
1
2
ℏ ω
V základním stavu nemůže být E0 = 0, odporovalo by to Heisenbergovu principu neurčitosti.
Pn (x)=|(n!2n
√π)
−
1
2
exp(−
ξ2
2 )Hn (ξ)|
2
42
Tok částic potenciálovou bariérou – tunelováníTok částic potenciálovou bariérou – tunelování
Uvažme částici v silovém poli s profilem potenciální energie
0 L
U
x
U(x)
Uvažme nejprve klasickou částici, dopadající na bariéru zleva a mající kinetickou energii E < U.
Taková částice bariéru nepřekoná a od bariéry se odrazí. Hustota pravděpodobnosti jejího
výskytu v bariéře je nulová.
Kvantová částice má nenulovou hustotu pravděpodobnosti výskytu v libovolném bodě x,
v němž je U(x) konečné. Její vlnová funkce nalevo od bariéry (x < 0)
Ψ(x,t) = Ae−i(ωt−kx)
+ Be−i(ωt+ kx)
částice se pohybuje zleva doprava
(dopadající částice)
částice se pohybuje zprava doleva
(odražená částice)
(II.49)
43
Vlnová funkce částice napravo od bariéry ( x > L )
Ψ(x,t) = F e−i(ωt−kx)
+ Ge−i(ωt+ kx)
Předpoklad: napravo od bariéry nejsou částice, které by se pohybovaly zprava doleva, tj. G = 0.
(II.50)
Vlnová funkce částice uvnitř bariéry 0 < x < L (předpokládáme E < U – viz (II.38))
Ψ(x,t)= Ce
−i(ωt−αx)
+ De
−i(ωt+ αx)
α =
1
ℏ
√2m(U −E) (II.51)
Okrajové podmínky – spojitost Ψ(x,t) a její 1. derivace podle x v bodech x = 0 a x = L.
Zaveďme odrazivost R a propustnost T bariéry jako podíly hustot pravděpodobnosti:
R =
∣Ψ (x,t)∣reflected
2
∣Ψ (x,t)∣incident
2
=
∣B∣2
∣A∣
2
, T =
∣Ψ (x,t)∣transmitted
2
∣Ψ (x,t)∣incident
2
=
∣F∣2
∣A∣
2 (II.52)
a položme pro jednoduchost A = 1. Z okrajových podmínek dostaneme 4 lineární
nehomogenní rovnice pro neznámé B, C, D, F. Tato soustava rovnic má vždy právě jedno
řešení pro každou energii E dopadajících částic, tedy i pro E > U. Pro propustnost vyjde
přibližný vztah (platí pro libovolný tvar bariéry):
T ≈ exp
(−
2
ℏ
√2m ∫
U (x)> E
dx√U (x)−E
) (II.53)
44
Příklad výpočtu pro E < U:
45
Příklad výpočtu pro E > U:
46
Aplikace:Aplikace: -rozpad radioaktivních jader-rozpad radioaktivních jader
-částice se nachází v silovém poli s potenciální energií
r
U(r)
R
0
přitažlivá síla uvnitř jádra
(silná interakce)
elektrostatická odpudivá síla
vně jádra
U(r)=
2Ze
2
4 πε0 renergie E -částice
částice překoná potenciální bariéru tunelováním,
propustnost lze získat ze vztahu (II.53)
Další aplikace: emise elektronů studenou katodou.
T(E) = exp
[−4 π Z
√E0
E
+ 8
√Z R
r0
],
r0 =
4 π ε0 ℏ2
mα e2
≈ 7.25×10
−6
nm,
E0 =
e2
8π ε0r0
≈ 0.099 MeV
47
Aplikace: tunelovací mikroskopie (STM)Aplikace: tunelovací mikroskopie (STM)
náčrtek principu STM
měření tunelovacího proudu
Gerd Binning (vpravo), Heinrich Rohrer, Nobelova cena 1981
48
II. 5. Základy formální kvantové teorieII. 5. Základy formální kvantové teorie
Postulát: Fyzikální veličiny jsou reprezentovány operátoryoperátory, působící na vlnové funkce.
Příklad: Operátor energie částice v jednorozměrném potenciálovém poli (hamiltonián)
̂H = −
ℏ
2
2m
∂
2
∂x
2
+ U(x) (II.54)
Nečasová Schrödingerova rovnice je
̂Hψ(x) = Eψ(x) (II.56)
Její řešení ψ(x) je tedy vlastní funkcí operátoru , jemuž odpovídá vlastní hodnota E.
Obdobně například hybnost je popsána vektorovým operátorem
H
̂p =−iℏ∇ =−iℏ( ∂
∂x
, ∂
∂ y
, ∂
∂z) (II.57)
Schrödingerova rovnice (II.31) má pak tvar
̂H Ψ(x,t) = i ℏ
∂Ψ (x,t)
∂t
(II.55)
49
Platí tedy princip korespondence: vztahy mezi fyzikálními veličinami (vyjádřenými operátory)
odpovídají klasickým výrazům.
Nečasová vlnová funkce volné částice
ψk (x) = Ae
ikx
Souřadnice x je popsána operátorem
̂x = x (II.58)
Hamiltonián (II.54) lze vyjádřit pomocí složky operátoru hybnosti
̂H =
̂px
2
2m
+ U(x)
(II.59)
(II.60)
je vlastní funkcí hamiltoniánu volné částice ̂H =
̂px
2
2m
s vlastní hodnotou E =
ℏ
2
k
2
2m
. Tato funkce
je i vlastní funkcí operátoru hybnosti (II.57) s vlastní hodnotou . Mezi vlastními hodnotamip=ℏk
hamiltoniánu i operátoru hybnosti platí tedy klasický vztah .E=
p
2
2m
Např. vlastní funkce (II.44) hamiltoniánu částice v parabolickém potenciálovém poli
(harmonický oscilátor) není vlastní funkcí operátoru hybnosti.
50
Postulát:
Měření fyzikální veličiny Q je statistický proces a výsledkem měření Q jsou rovny vlastním
hodnotám operátoru této veličiny. V případě částice na přímce s vlnovou funkcí
je střední hodnota této veličiny rovna
Q Ψx,t
〈Q〉 =∫−∞
∞
dxΨ
*
(x ,t) ̂QΨ (x ,t) (II.61)
Tak například střední hodnota energie částice popsané rovinnou vlnou (II.60) je
(II.62)
Přitom jsme předpokládali, že částice se nachází v intervalu a použili jsme
normovací podmínku (II.30). Střední hodnoty hybnosti této částice je .
Střední hodnota souřadnice této částice je (a + b)/2 .
Vlnová funkce (II.60) je vlastní funkcí operátorů , je to stav s ostrou hodnotou
energie a hybnosti.
x∈〈a ,b〉
〈 p〉=ℏk
H a px
Stav systému po měření fyzikální veličiny s výsledkem Q je popsán vlastní funkcí operátoru
s vlastní hodnotou Q.
Q
〈E〉 =∫a
b
dx A
*
e
−ikx
(−
ℏ2
2m
∂2
∂ x2 )A e
ikx
=
ℏ2
k2
2m
∣A∣
2
(b−a) =
ℏ2
k2
2m
51
Vlnová funkce (II.44) popisuje stav s ostrou hodnotou energie, střední hodnota
energie v tomto stavu je vlastní hodnotou (II.47) hamiltoniánu harmonického
oscilátoru. Tato funkce není vlastní funkcí operátoru hybnosti. Střední hodnota
hybnosti v tomto stavu je
〈px 〉 =∫−∞
∞
dx ψn
*
(x) (−
i
h
∂
∂x)ψn(x) = 0 (II.63)
Tato funkce není také vlastní funkcí operátoru souřadnice. Střední hodnota souřadnice x
v tomto stavu je
〈x〉=∫−∞
∞
dx ψn
*
(x) x ψn(x)=0 (II.64)
Střední kvadratická odchylka hodnoty veličiny Q se definuje jako
ΔQ = √〈(Q−〈Q〉)2
〉 =√〈Q2
〉−〈Q〉2
S použitím (II.61) vyjde
(ΔQ)2
=∫−∞
∞
dx Ψ*
(x,t) ( ̂Q )
2
Ψ(x,t)−(∫−∞
∞
dx Ψ*
(x,t) ̂Q Ψ(x,t))
2
(II.65)
(II.66)
Je-li vlastní funkcí operátoru , platíΨx,t Q
̂QΨ = QΨ , ( ̂Q)2
Ψ = Q2
Ψ (II.67)
52
Pro stav popsaný vlnovou funkcí (II.60) platí
〈p
2
〉 =∫a
b
dx A
*
e
−ikx
(−i ℏ
d
dx)
2
Ae
ikx
= ℏ
2
k
2
= 〈p〉
2
⇒ Δp = 0
〈x
2
〉 =∫a
b
dx A
*
e
−ikx
x
2
Ae
ikx
=
1
3
(a
2
+ ab+ b
2
), 〈x〉
2
=
1
4
(a+ b)
2
⇒
⇒ Δx =
b−a
√12
Částice má tedy ostrou hodnotu hybnosti a neostrou (rozmazanou) hodnotu souřadnice.
To souhlasí s Heisenbergovým principem neurčitosti (II.25).
a tedy střední kvadratická odchylka je
ΔQ = Q
2
(〈Ψ∣Ψ〉−〈Ψ∣Ψ 〉
2
) = 0, 〈Ψ∣Ψ 〉 =∫−∞
∞
dx Ψ
*
(x,t)Ψ (x,t)
přičemž jsme použili normovací podmínku 〈Ψ∣Ψ〉= 1
Takže: vlastní stavy operátoru jsou stavy s ostrou hodnotou veličiny QQ
Příklad:
(II.68)
(II.69)
53
Úvod do fyziky mikrosvěta
Část 3
Schrödingerova rovnice ve třírozměrném prostoru
Atom vodíku
Fyzika pro chemiky II – F2090Fyzika pro chemiky II – F2090
Jarní semestr 2020Jarní semestr 2020
54
II.6. Základy kvantové mechaniky ve 3 dimenzíchII.6. Základy kvantové mechaniky ve 3 dimenzích
Schrödingerova rovnice pro vlnovou funkci Ψ(r,t) částice v 3 dimenzích
−
ℏ
2
2m
ΔΨ (r,t)+U (r)Ψ(r ,t) = iℏ
∂Ψ(r ,t)
∂t (II.70)
Analogicky jednorozměrnému případu separujeme prostorové proměnné a čas:
Ψ (r ,t) = ψ(r)ϕ (t), ϕ (t) = exp
(−
i
ℏ
Et
) (II.71)
a obdržíme nečasovou trojrozměrnou Schrödingerovu rovnici
−
ℏ
2
2m
Δψ(r)+U (r)ψ(r) = Eψ(r) (II.72)
Laplaceův operátor (laplacián): Δ = ∂
2
∂x2
+ ∂
2
∂ y2
+ ∂
2
∂z2
55
II.7. Částice v trojrozměrné pravoúhlé kvantové jáměII.7. Částice v trojrozměrné pravoúhlé kvantové jámě
−
ℏ
2
2m
Δψ(r)+U (r)ψ(r) = Eψ(r) (II.72)
Uvažme částici nacházející se v krabici , v níž je potenciální energie U(r) nulová,
mimo ni je . Řešíme nečasovou Schrödingerovu rovnici pro částici v 3 dimenzích
x , y, z ∈ ⟨0, L⟩
U (r)→∞
ψ(r) = ψ1(x) ψ2(y) ψ3(z)
Hledejme řešení ve tvaru
Dosazením do (II.72) separujeme proměnné a dostaneme trojici rovnic
−
ℏ2
2m
d
2
dx2
ψ1(x) = E1ψ1(x), −
ℏ2
2m
d
2
dy2
ψ2( y) = E2ψ2( y), −
ℏ2
2m
d
2
dz2
ψ3(z) = E3ψ3(z) (II.73)
E=E1E2E3přičemž
56
Každá z trojice rovnic popisuje částici v jednorozměrné kvantové jámě ((II.33) až (II.36)).
Rovnice (II.73) řešíme s okrajovou podmínkou
Řešení se popisuje trojicí kvantových čísel n1
, n2
, n3
ψ
n1 ,n2,n3
(r) = Bsin(kn1
x)sin(kn2
y)sin(kn3
z)
(II.74)
Obecné řešení je lineární kombinací těchto řešení s různými hodnotami kvantových čísel n1
, n2
, n3
.
kde
kn = n
π
L
, E
n1,n2, n3
=
π
2
ℏ
2
2m L2 (n1
2
+ n2
2
+ n3
2
), n1,n2, n3=1,2,… (II.75)
Konstantu B v (II.74) můžeme určit z normovací podmínky
∫krabice
d3
r ∣ψn1, n2, n3
(r)∣2
= 1 ⇒ B =(2
L)
3/2
(II.76)
vyjadřující to, že částice ve stavu n1
, n2
, n3
se v krabici určitě vyskytuje.
ψj(xj)∣xj=0, L =0, j=1,2,3, xj=x, y,z
57
n1 n2 n3 n1
2
+ n2
2
+ n3
2 degenerace
1 1 1 3 1
1 1 2 6 3
1 2 1 6
2 1 1 6
2 2 1 9 3
2 1 2 9
1 2 2 9
1 1 3 11 3
1 3 1 11
3 1 1 11
2 2 2 12 1
… … … … …
Tabulka energiových hladin částice v krabici
E1
2 E1
3 E1
11/3 E1
4 E1
E
1
3
3
3
1
degenerace
Schéma energiových hladin
…Pozn.: 511 a 333
58
Hustoty pravděpodobnosti několika prvních stavů v rovině z = const.
E = E1
E = 2 E1
E = 3 E1
59Částice v centrálním silovém poli (atom vodíku)Částice v centrálním silovém poli (atom vodíku)
Řešme nečasovou Schrödingerovu rovnici (II.72) pro elektron nacházející se v centrálním
silovém poli
Výsledek pak použijeme pro elektron v elektrostatickém poli protonu (atom vodíku)
U (r)= U (∣r∣) = U (r)
U (r) =−
e2
4 π ε0 r
(II.77)
(II.78)
Z klasické mechaniky plyne, že při pohybu částice v centrálním poli se zachovává
moment hybnosti částice
L = r×p
Heisenbergův princip neurčitosti ovšem neumožňuje, aby všechny 3 souřadnice L byly
ostré. Kdyby byl směr L přesně znám, částice by se pohybovala v orbitální rovině kolmé na
L, tedy její souřadnice a hybnost ve směru kolmém na tuto orbitální rovinu byly současně
ostré a rovny 0. To je v rozporu s Heisenbergovým principem (II.25). Je-li jedna souřadnice
L ostrá, ostatní dvě musí být neostré. Zvolme ostrou souřadnici Lz .
Stav částice lze pak popsat trojicí kvantových čísel odpovídající trojici veličin, které jsou
současně ostré, a to E, |L| a Lz .
(II.79)
60Sférické souřadniceSférické souřadnice
Laplaceův operátor v kartézských souřadnicích je:
Nečasovou Schrödingerovu rovnici (II.72)
ψ(r)= R(r) Θ(ϑ ) Φ(ϕ )
−
ℏ
2
2m
Δψ(r)+U (r)ψ(r) = Eψ(r)
lze řešit separací sférických proměnných r, a :ϑ ϕ
(II.80)
Laplaceův operátor ve sférických souřadnicích je:
61
d2
Φ(ϕ )
d ϕ
2
=−ml
2
Φ(ϕ )
Uvažme nejprve funkce úhlových proměnných. Převodem Schrödingerovy rovnice do
sférických souřadnic a separací úhlových proměnných vyjde
d2
Θ(ϑ )
d ϑ 2
+ cotgϑ
dΘ(ϑ )
dϑ
− m l
2 Θ(ϑ )
sin2
ϑ
+ l(l+1)Θ(ϑ ) = 0
kde l = 0,1,2,… je orbitální kvantové čísloorbitální kvantové číslo
a je magnetické kvantové číslomagnetické kvantové číslo..
Tato kvantové čísla určují vlastní hodnoty operátorů velikosti momentu hybnosti
a z-ové souřadnice momentu hybnosti
ml=−l,−l+ 1,…−1,0,1,…,l−1,l
∣L∣
Lz
∣L∣= ℏ√l(l+ 1) , Lz = ml ℏ
(II.81)
(II.82)
Řešení rovnic (II.81) jsou kulové funkce
Yl
ml
(ϑ ,ϕ ) = Pl
ml
(cosϑ ) e
i ml ϕ
(II.83)
kde jsou přidružené Legendreovy funkce.Pl
ml
(ξ)
62
Některé kulové funkce:
1
2√π
1
2√3
π
cos(ϑ) ∓
1
2 √3
2π
sin(ϑ)e
±i ϕ
1
4 √5
π
(3cos2
(ϑ)−1) ∓
1
2 √15
2π
sin(ϑ)cos(ϑ)e
±iϕ 1
4 √15
2π
sin2
(ϑ)e±2iϕ
Yl
ml
(ϑ , ϕ ) ml=0 ml=±1 ml=±2
l=0
l=1
l=2
Kulové funkce jsou normovány vztahem
∫0
2π
dϕ∫0
π
dϑ sinϑ ∣Yl
ml
(ϑ ,ϕ )∣2
= 1 (II.84)
63
Grafy kulových funkcí ∣Yl
ml
(ϑ ,ϕ )∣
2
l=0
l=1
l=2
ml=0 ml=1 ml=2
z
64
Místo uvedených kulových funkcí lze použít i jejich lineární kombinace.
Například pro l = 1 lze místo trojice funkcí použít funkceY1
−1
, Y1
0
a Y1
1
Y 1
0 1
√2
(Y 1
1
+ Y 1
−1
)
−i
√2
(Y 1
1
−Y 1
−1
)
z
x
y
Kvantová čísla l a ml určují úhel mezi vektorem L
a osou z. Neurčují však úplně směr vektoru L, protože
složky Lxy jsou neostré.
odpovídající stavům, kdy je elektron soustředěn podél os z, x a y
… prostorové modely orbitalů typu p
65Úhlová část vlnové funkce částice v centrálním poli nezávisí na tvaru pole a je dána vždy
kulovými funkcemi (II.83). Radiální část vlnové funkce je řešením rovnice
Uvažme nyní speciální případ centrálního pole – elektrostatické pole protonu (jádra)
podle (II.78).
Lze ukázat, že rovnice (II.85) má řešení pro hodnoty energie E dané vztahem (II.15)
plynoucím z Bohrova modelu atomu
−
ℏ2
2m
d2
dr2
(r R(r)) + Ueff
(r)r R(r) = Er R(r), Ueff
(r) =
ℏ2
l(l+1)
2mr2
+U (r) (II.85)
Rovnice je formálně totožná se Schrödingerovou rovnicí částice na přímce, na niž působí
efektivní silové pole Ueff (r) obsahující i příspěvek „odstředivé síly“ k silovému poli, který
odpovídá rotaci této přímky s úhlovou frekvencí
En =−
me4
2(4π ε0)
2
ℏ
2
⋅
1
n
2
, n = 1, 2, … (II.86)
n je hlavní kvantové číslo. Hodnoty energie nezávisejí na orbitálním kvantovém čísle l, i když
se toto číslo v (II.85) vyskytuje. Orbitální kvantové číslo může nabývat hodnot
l = 0, 1, 2, …, n−1 (II.87)
Energiová hladina En je tedy -krát degenerovaná (zatím neuvažujeme spin).∑l=0
n−1
(2l+ 1) = n2
∣L∣
mr2
=
ℏ√l(l+ 1)
mr2
66
Řešení rovnice (II.85) Rnl(r) lze vyjádřit pomocí Laguerrových polynomů. Radiální funkce
v několika nejnižších stavech jsou
Tato degenerace se snímá v atomech s více elektrony, tím vzniká z jedné energiové
hladiny (slupky) En celkem n podslupek. Slupky a podslupky se značí písmeny takto:
n symbol slupky
1 K
2 L
3 M
4 N
5 O
… …
l symbol podslupky
0 s
1 p
2 d
3 f
4 g
… …
R10 (r)=
2
a0
3/2 e
−r/a0
, R20(r) =
1
(2a0)
3/2 (2−
r
a0
) e
−r/2a0
, R21(r) =
1
(2a0)
3/2
r
√3a0
e
−r/2a0
(II.88)
Pravděpodobnosti výskytu elektronu jsou např.
∣ψ10(r)∣
2
= e
−2r/a0
67
Vypočtěme radiální rozložení hustoty pravděpodobnosti nalezení elektronu v obalu atomu
vodíku jako integrál hustoty pravděpodobnosti přes úhlové proměnné
Pnl
rad
(r) =∫0
2π
dϕ∫0
π
dϑ sin ϑ r2
∣Rnl(r)Yl
ml
(ϑ ,ϕ )∣2
= r2
∣Rnl(r)∣2
(II.89)
Radiální hustoty pravděpodobnosti
pro několik stavů:
svislé šipky odpovídají poloměrům
Bohrových orbitalů (II.14)
68
Řezy elektronovým oblakem podél roviny xz pro n = 3
x/a0
z/a0
l = 0
l = 1
l = 2
m l = 0
m l = 1
m l = 2
69
II.7. AtomyII.7. Atomy
Magnetický moment vyvolaný orbitálním mechanickým momentem elektronuMagnetický moment vyvolaný orbitálním mechanickým momentem elektronu
Analogie s magnetickým momentem μ proudové smyčky
Klasická elektrodynamika: ∣μ∣= j A , j =∣e∣/ T
Mechanický orbitální moment: ∣L∣= 2m
A
T
Odtud: μ = γ L =
e
2m
L
kde γ =
e
2m
je gyromagnetický poměr
(II.90)
Definujeme Bohrův magneton
e < 0 je náboj elektronu
μB =
∣e∣ℏ
2m
≈ 9.274⋅10−24
J/T
Složka z magnetického momentu  se kvantuje do osy z
podobně jako složka mechanického momentu Lz: Lz = ℏml → μz =−μBml (II.91)
plocha A
doba oběhuhustota proudu
70Atom vodíku ve vnějším magnetickém poli:
Vektor  vykonává precesní pohyb kolem vektoru B (Larmorova preceseLarmorova precese) s úhlovou frekvencí
ωL = B
∣e∣
2m
(II.92)
Potenciální energie magnetického momentu ve vnějším magnetickém poli je
U =−μB = ℏ ωL ml (II.93)
Tyto vztahy lze snadno odvodit v rámci klasické elektrodynamiky.
Energiová hladina elektronu v elektrickém poli protonu je bez vnějšího pole 2l +1 -krát
degenerovaná. Tato degenerace se snímá ve vnějším magnetickém poli:
0,1  ln
1,2  ln
0lm
ml=−1
ml=0
ml=1
ℏω0 ℏω0−ℏωL ℏω0 ℏ ω0ℏωL
normální Zeemanův jevnormální Zeemanův jev
0B
0B
Výběrová pravidla (vyplývají ze zákona zachování momentu hybnosti soustavy atom + foton):
Δl = ±1, Δml =−1,0,1
71
Spinový moment elektronu a s ním spojený magnetický momentSpinový moment elektronu a s ním spojený magnetický moment
Klasická elektrodynamika: rotující nabité těleso má magnetický moment
μs = g
e
2m
S
S je mechanický moment rotace (spinový moment), g je tzv. g-faktor závisící na rozložení
náboje uvnitř tělesa.
Sternův–Gerlachův pokus: štěpení toku neutrálních atomů v nehomogenním magnetickém poli
Zjistilo se, že proud atomů se štěpí do dvou složek, tedy 2s +1=2 a s=1/2
z-ová (tj. ostrá) složka mechanického spinového momentu elektronu je
Sz = ms ℏ, ms = −
1
2
, +
1
2
(II.94)
(II.95)
72
Velikost spinového mechanického momentu je
∣S∣= √s(s+ 1) ℏ =
√3
2
ℏ
Magnetický spinový moment je dán vztahem (II.94), g-faktor elektronu je
(II.96)
g = 2.00232 ≈ 2
Tato hodnota vyplývá z relativistické kvantové teorie (P.A.M. Dirac) a z kvantové
elektrodynamiky (R. Feynman)
Celkový magnetický moment elektronu je tedy
μ = μl+ μs =
e
2m
(L+ g S)
Celkový mechanický moment je přitom
J = L+ S
Protože je g různé od 1, nejsou celkový mechanický a magnetický moment rovnoběžné.
Složka celkového magnetického momentu rovnoběžná s J se nazývá efektivní magnetický
moment.
(II.97)
(II.98)
73
(Normální) Zeemanův jev se započtením spinu je Paschenův–Backův jev
Výběrová pravidla Δl =±1, Δ(ml+ ms)= 0, ±1
Tento jev se experimentálně pozoruje jen při velmi silných magnetických polích.
(II.99)
74
Spin-orbitální interakceSpin-orbitální interakce
Orbitální magnetický moment elektronu vyvolává magnetické pole, které interaguje
s magnetickým spinovým momentem elektronu. To vyvolá rozštěpení energiové hladiny
pro ms =1/2 a ms =–1/2 i bez vnějšího magnetického pole.
Spin-orbitální interakce způsobí, že orbitální moment L a spinový moment S se odděleně
nezachovávají. Stacionární stav elektronu v poli protonu není tedy popsán kvantovými čísly
ms a ml .
Zachovává se celkový mechanický moment J = L + S.
Celkový mechanický moment:
∣J∣= √j( j+ 1) ℏ, j =∣l−s∣, ∣l−s∣+ 1, …, l+ s
Jz = mj ℏ, mj =−j, − j+ 1, …, j
Kvantová čísla popisující stacionární stav elektronu (se započtením spin-orbitální interakce)
jsou
n, l, j, mj
(II.100)
75
Štěpení spektrální čáry Na bez vnějšího magnetického pole (sodíkový dublet):
ΔE=2.13⋅10
−3
eV tomu odpovídá Δλ = 0.597 nm
Pozn. značení energiových hladin (termů):
n(2s+ 1)
Xj , X=S, P, D, F,…
Atom se spin-orbitální interakcí v magnetickém poli – anomální Zeemanův jevanomální Zeemanův jev
76
Pauliho vylučovací principPauliho vylučovací princip
Atomy s více elektrony – kolik elektronů může být současně ve stejném
stavu popsaném kvantovými čísly n, l, ml , ms (nebo n, l, j, mj )?
Pauliho vylučovací princip: v daném stavu může být nanejvýš jedennanejvýš jeden
elektronelektron. Toto plyne z principu, že nelze principiálně rozlišit dva
elektrony.
Uvažme vlnovou funkci dvojice elektronů ψr1,r2
která popisuje stav, že 1. elektron je ve stavu r1 a 2. elektron ve stavu r2. Na základě
Pauliho principu platí
∣ψ(r1,r2)∣
2
=∣ψ(r2,r1)∣
2
Pro částice s poločísleným spinem (fermionyfermiony) platí
ψ(r1,r2)= −ψ(r2 ,r1)
Pro částice s celočíselným (bosonybosony) spinem platí
ψ(r1,r2)= ψ(r2 ,r1)
(II.101)
(II.102)
(II.103)
Wolfgang Pauli (1900–1958)
77
Hundovo pravidloHundovo pravidlo
Jaká je konfigurace elektronů v základním stavu atomu?
Elektrony se snaží v základním stavu zaujmout stavy s různými kvantovými čísly ml a
stejnými orientacemi spinů.
78
Co by teď mohlo následovat … a bude jindy či jinde:Co by teď mohlo následovat … a bude jindy či jinde:
– vazba atomů v molekulách, molekulární spektra, …
– kvantová chemie
Viz speciální přednášky ve Vašem dalším studiu…
Hodně štěstí s kvantovkou!