Elektrodynamika
1   Elektrické a magnetické veličiny, jednotky SI
Elektrický proud I je v systému SI základní veličina, jednotka je 1 Ampere (1 A). Definice: Stejné proudy ve 2 rovnoběžných drátech ve vzdálenosti 1 m mají velikost 1 A, když vzájemná přitahovací síla na 1 m drátu je 2 • 10~7N.
Náboj q: Zdroj elektromagnetických sil, pohybuje se ve vodiči, když teče elektrický proud. Jednotka: 1 Coulomb (1 C).
Definice: Při elektrickém proudu o 1 A proteče průřezem vodiče 1 C za sekundu. 1 C = 1 As až 6 • 1018 elementárních nábojů.
Coulombův zákon Přitažlivá nebo odpudivá síla dvou nábojů q± a q2 v místech x\ a x2
F = k       (x[ - x2),	F = kqf,
n2	n2
(1)
kde ri2 = \x± — ô^l a k je konstanta. Dimenze [k] této konstanty vyplývá z (1).
AT    r   As-As Nm2 N = M —-T- ^ [k]
nr
A2s2'
Definice Amperu byla tak zvolena, aby
k = I0~7c2
N
Ä21
kde c je rychlosti světla. V SI se píše z historických důvodů
47re0'
s tzv. „dielektrickou konstantou vakua" e0.
Poznámka: Mohli bychom předpokládat k = 1. Tím bychom určovali dimenzi náboje, vyjádřenou mechanickými veličinami. V systému cgs dostáváme z Coulombova zákona
gem     \qf i     s _1
dyn = —— = —-,    =3-     [q\ = g2 ema s . s2 cm2
To je jednotka náboje v Gaufiově systému.
Elektrické pole: Síla souboru nábojů qi,..., q^ v místech další náboj
q v bodě x je popsaná působením elektrického pole v bodě x na náboj.
Intenzita eletrického pole E(x) je lokální vlastnost prostoru, v němž se nacházejí elektické náboje.
i    N        ~" — ~"
Intenzita = síla na jednotkový náboj. Dimenze:
[E] ~ č - ^č-
Napětí U. Práce = změna potenciální energie při pohybu náboje v elektrickém poli je daná integrálem
W = í Fds.
V případě pohybu o vzdálenost / podél homogenního elektrického pole (např. v deskovém kondensátoru) platí jednoduše
W = qEl =: qU.
Elektrické napětí je rozdíl potenciální energie jednotkového náboje na dvou bodech.
Dimenze: [U] = ^
Jednotka: 1 Volt = IV = l£.
Volt se používá pro běžné označení jednotky elektrického pole, [E] = 1^.
Magnetické pole. (Stacionární) elektrické proudy vyvolávají síly na pohybující se náboje (Lorentzova síla). Analogicky k zavedení intenzity elektrického pole uvažujeme sílu souboru eletrických proudů v daném uspořádání vodičů na úsek dl jednoho dalšího drátu s konstantním proudem I. Síla je úměrná I a dl,
dF(x) = Idíx B(x). (3)
Magnetická indukce B(x) zahrnuje působení všech elektických proudů v bodě x. Dimenze: Z (3) vyplývá
*    ™      ^      N        J        Js Vs N = Am B , =>• B = —    = —   - = —  - = -.
Am     Anr     Cm^ nr
Jednotka: 1 Tesla = 1T = 1%
Příspěvek elektrického proudu v úseku drátu dl na místě X2 k magnetickému poli v bodě x\ (analogicky Coulombovu zákonu) je
dB(xx) = kmIdíx , f1 ~ Z2|q. (4)
Fl — x2\
V SI se píše km =      fiQ =      je tzv. „magnetická permeabilita vakua". Síla mezi dvěma infinitesimálními úseky vodiče, umístěnými v bodech s elek-
trickými proudy I\ a I2 (analogon Coulombova zákona):
F{xx) = ^hl2 dh x (df2 x  f 1 " *2 ^
47T \ \Xi — X2\
2
Hustota náboje:
p(x)
lim
av^o AV
kde q je naboj v objemu AV, který obsahuje bod x. Hustota proudu:
kde A A je element průřezu vodiče a je jednotkový vektor ve směru elektrického proudu J.
2   Maxwellovy rovnice, statický případ
J. C. Maxwell našel v 19. století dvě vektorové a dvě skalární parciální diferenciální rovnice 1. řadu, které spojují elektrické a magnetické pole navzájem a s elektrickým nábojem. Z těch rovnic lze odvodit celá elektrodynamika.
divE
P_
1 a 9E _ — rotB = e0 — + j,
jjLq Ol
TOtE =
div B = 0.
dB ~dt''
Vektorové operátory div a rot lze vyjádřit pomoci operátoru Nabla,
V - (— — —\
[dx' <9í/' d z I
(5)
(6)
div v = V • v,
rot v = V x v.
(7)
V případě statických polí, když časové derivace jsou nulové, odpojují se elektrické a magnetické pole.
Z Maxwellových rovnic plyne /em rovnice kontinuity
t. j. zachování náboje.
% + diví=0,
Elektrostatika
Základní rovnice
divE
P_
eo'
rotE = 0.
3
Elektrostatické pole je bezvírové pole se zřídlem ^. Pro takové pole existuje skalární potenciál <fi tak že
É = -grad0 = -V (j). (9)
Dosazením do Maxwellovy rovnice dostaneme
—div grad0 = — v 0
Definujeme Laplaceův operátor
P_
A-V2-—    —    — (10)
dx2    dy2    dz2'
pak nabývá rovnice pro potenciál následující tvar,
A0 = -^.
(H)
Táto rovnice se nazývá Poissonova rovnice. Oproti Maxwellové rovnici divE = — má
výhodu, že jejím řešením je jedna skalární funkce (j){x) místo vektorového pole E (x).
Magnet ost at ika
mtB = fiQj, divB = 0. (12)
Magnetostatické pole je bezzřídlové, siločáry jsou uzavřené; existuje vektorový potenciál A, tak že
B = rot A, (13)
protože
div rot A = 0. Dosazení do Maxwellovy rovnice vede k
rot B = rot rot A = grad div A — A A = fioj,
nebo
AÄ-V(VÄ) = -i20j. (14)
Potenciály nejsou jednoznačné určeny svými rovnicemi (11) a (14), <fi je jednoznačné až na libovolnou konstantu, A až na gradient libovolné funkce, poněvadž rot grad/ = 0. Potenciály lze kalibrovat, jsou kalibrační, nikoliv fyzikální veličiny.
4
3   Greenova funkce Poissonovy rovnice, ^-distribuce
Poissonova rovnice (11) je eliptická lineární parciální diferenciální rovnice druhého řadu. Pro takové rovnice existuje rozsáhlá teorie, my budeme ale zkonstruovat řešení na základě známých fyzikálních skutečností. Elektrické pole bodového náboje v počátku je
q     x . .
E = -^—, 15
47Te0 \x\3
příslušný potenciál je
0 = T^-- (16) 47re0 r
Pro hustotu bodového náboje v počátku platí
p(x) = 0 a ÍSxP(x)=q.
Přestože taková funkce v klasickém smyslu neexistuje, existuje matematický objekt, který popisuje idealizaci bodového náboje a pomoci toho můžeme skládat elektrické pole a potenciál libovolného rozložení náboje z výrazů (15) a (16).
Hustota bodového náboje je zkonstruovaná pomocí „Diracovy 5-funkce", která lze zavést jako limita funkcí s integrálem od minus do plus nekonečna rovným jedné, které jsou „více a více soustředěné na jeden bod", např.
1 1 _s?
ó(x) := lim gJx) = —= lim-e   e . (17) Takové limity mají vlastnost, že
f(x) 5{x) dx = lim /    f(x)ge(x)dx = f(0), (18) nebo obecněji,
roo
f(x')5(x-x')dx' = f(x) (19)
pro libovolnou spojitou funkci /. Integrál s 5-funkcí tedy vybírá hodnotu funkce v určitém bodě.
„Výběr určité funkční hodnoty" je exaktní význam ô v rámci distribucí, t.j. jako zobrazení vhodného prostoru funkcí do reálních nebo komplexních čísel. V jazyce distribucí se píše ekvivalent rovnice (19)
óx[f] = f(x). (20)
Distribuce 5X přiřazuje funkci / funkční hodnotu f(x); pro její definici stačí, že / je spojitá funkce.
Hustota bodového náboje v počátku souřadné soustavy se vyjadřuje trojrozměrnou ô- funkcí
p(x) = qô3(x) = qô(x)ô(y)ô(z). (21)
5
Dosadíme potenciál a hustotu náboje v bodě x' do Poissonovy rovnice,
A(f)(x) =        A —l— = -^-ô3(x -x'), (22) 47re0    \x — x'\ e0
odvodíme z toho
A—~ľ _ , =ô3(x- x'). (23) An\x-x'\        v ; v ;
G(x,x'):=-~X _ , (24)
v '    ;     An\x-x'\ K J
se nazývá Greenova funkce Laplaceova operátoru (= potenciál jednoho bodového náboje.
Poněvadž Poissonova rovnice je lineární, můžeme zkonstruovat potenciál rozložení náboje p(x) jako superpozici potenciálů bodových nábojů, tedy
m = T— í d3x'p(x')—^—, (25)
47T60 J \X — X'\
popřípadě
(x) = - I d3x' G(x, x') (26)
e0
To je řešení Poissonovy rovnice pro rozložení náboje p{x). Důkaz:
^3 / a  ntz zi\ P^') -  Ía3„'&(Z P^') - PÍ*)
-Ax(j)(x)=   ďx' AxG(x,xr) = ďx'óó(x-xr)
J éq       J e0 e0
Index x zdůrazňuje působení Laplaciánu na nečárkované souřadnice. Pro eletrostatické pole vyplývá z toho
^Í/dV^'>^lř <27>
Greenova funkce není jednoznačná. G(x,x') plus libovolné řešení homogénne diferenciální rovnice A0 = 0 je také Greenovou funkcí stejného operátoru.
Greenova věta
Odečtením dvou identit,
V(wVw) = u Av + Vu V v
a
V (v Vit) = v Au + Vv Vit,
dostaneme
V(it Vv — vVu) = u Av — v Au. Integrovaním a aplikací Gaufiovy věty odvodíme Greenovu větu:
/ [u Av — v Au) dV = / (u\7v — v\7u) řídS, Jv Jav
(28)
6
kde V je oblast a n je normálový vektor na okraj dV.
Podle okrajových podmínek má Greenova věta dvě standardní aplikace.
Dirichletův problém: Známe p(x) uvnitř nějakého objemu V a potenciál <fi na okraji dV. Dosadíme u = <pav = G do Greenovy věty.
cf)(x') AX'G(x,x') - G(x,x') Ax,(f)(x')] dV =
iv '
= í \(f)(x') Vx,G(x, x') - G(x, x') Vx<Mx')\ ňáS'. Jdv1 J
Podle předpokladu je první člen na pravé straně známý, druhý, který obsahuje gradient potenciálu, nikoliv. Tak využime možnost volby Greenovy funkce a zkonstruujeme takovou, která se rovná nule na okraji dV. Greenově funkci s tou vlastností říkáme Dirichletovu Greenovu funkci, Gd. Potenciál ve V je pak dán vzorcem
= - f GD(x,x')^^d3x'+ í VGD(x,x')<f>(x')ndS'. (29) Jv e0 Jav
Neumannův problém: Známe gradient potenciálu na dV. Vybereme Neumannovu Greenovu funkci G^, jejíž gradient se rovná nule na okraji.
(j)(x) = - í GN(x,x')^^-d3x'- í GN(x,x')f<l)(x')ňdS'. (30) Jv e0 Jav
4   Elektrostatická energie nábojů
Napíšeme si potenciální energii náboje v elektrostatickém potenciálu
U = q 4>{x).
Energie dvou nábojů = energie náboje q± v bodě x\ v potenciálu vyvolaném nábojem q2 v bodě x2 plus výraz s přehozenými náboji lomeno dvěma, aby se energie nepočítala dvakrát.
1
U = ~(qi M%i) + 92 01 (x2)),
kde
(f)i i^X^j =--~-.
47re0 \x — x*i \
Energie spojitého rozložení náboje:
U = ^jp(f>dV. (31)
Pro rozložení bodových nábojů je potenciál
004) = T— Y,—, rab=\xa-xb\ (32)
47re0 ^ rab
a energie
U=—Ti^. (33)
8^0 t?a rab
7
5   Multipólový rozklad pole
V následujícím budeme hledat rozvoj elektrického potenciálu ve velké vzdálenosti od zdroje.
5.1   Laplaceova rovnice ve sférických souřadnicích
Laplaceova rovnice
A0 = 0 (34)
platí všude, kde se nenachází náboj. Ve sférických souřadnicích má Laplacián následující tvar:
1 d ( 2ď0\ ,      1     d ( ,   qď0\ ,       1 ď20 A"    ~~7 T7~ I ' TT- ) • ~7> 77   777 777    '    •>:•>, „ (35)
Separace proměnných: Pokoušíme se přeměnit parciální diferenciální rovnici v tří obyčejné diferenciální rovnice pro funkce jednotlivých proměnných, R(r), ©(■$) a K tomu
předpokládáme řešení ve tvaru součinu
0(r, ů, ip) = R{r) ■ &(ů) ■ $(y>) (36)
a dosadíme do Laplaceovy rovnice
1 d ( 2 di?  ^    \       1     <9 /     n   „  d0     \        1      „ ^ d2$ rz or \    dr )   rA sin ů oů \ dů     J   rz sin » d(^
2.2..... (37)
Násobíme r ^q^ů a píšeme část, závisející na íp, na pravou stranu
sin2?? d / 9dR\    sinů d /       d0\        1 d2$
--r —   H---sin^- =---
R   dr\    dr)      O  dů\       dů)       $ dp2'
Levá strana teď závisí na r a i), pravá strana na p. Z toho vyplývá, že se obě strany musí rovnat konstantě, kterou nazveme m2. Z pravé strany dostaneme obyčejnou diferenciální rovnici,
d2$ „
-— + m2$ = 0. 38
dpz
Rovnici vyplývající z levé strany můžeme upravit podobným způsobem,
1 d / , dR\      m2        lid/, d6\ ~
--r —   = —2^--777^  sin$ —   = A ,
Rdr \    dr)     sin ů    sin wtídw \       d» /
kde se opět obě strany musí rovnat konstantě, označené A2. Z toho dostaneme dvě další obyčejné diferenciální rovnice,
±(rf)-#R = 0 (39) dr V    dr /
d / .   ndQ\
m
2
si^7777 M ^" 7777*77   © = 0, (40)
sin ů dů y       dů I     y       sin ů
tak že místo parciální diferenciální rovnice máme rovnice (38), (39) a (40). Řešení: Rovnice (38) má řešení
&m(p) = Cm cos mip + Sm sin mip
(41)
příslušné k parametru m, který musí být celočíselný, aby $ bylo periodické ve ip. Radiální rovnice (39) má řešení
(42)
kde A2 = /(/ +1). V rovnici (40) píšeme cosů = x. Řešení, které obsahuje obě separační konstanty mal, označíme Přm. Takovou úpravou dostaneme Legendreovu rovnici
(1    x2)dPr^x) 2xdPr(x)
dx2
dx
1(1
m
ar
PT(x) = o.
(43)
5.2   Legendreovy polynomy
Ortogonální bází řešení pro m = 0 jsou Legendreovy polynomy Pi(x), vyhovující jednodušší rovnici
d
dx
9,dPi(x)
+ l(l + l)Pl(x) = 0
(44)
s nezáporným celočíselným parametrem /. (Pro neceločíselné / dostaneme nekonečnou řadu, která diverguje v ±1.) Legendreovy polynomy jsou ortogonální v intervalu (—1,1)
J1 Pk{x)Pl(x)dx = 0 Vk^l.
(45)
Legendreovy polynomy se objevují jako koeficienty v rozvoji tzv. vytvářející funkce
1
(l_2xí + í2)V2 §Př(;r)íř-
(46)
Použitím Leibnizova pravidla
dm[f(x)g(x)] dxm
E
k=0
m\ dm f(x) dkg(x) k\ (m — k)\   dxm~k dxk
dostaneme m-násobným derivováním rovnice (44)
(1 - x2)f"(x) - 2x(m + l)f'(x) + (/ - m){l + m+ l)f(x) = 0,
(47)
(48)
kde f{x) = dmPi(x)/dxm. Substituce f{x) = (1 — x2) ml2g{x) vede k tomu, že funkce g(x) musí splňovat rovnici (43), je tedy konečně
i-(x) = (l-^í^.
(49)
9
Legendreovy polynomy lze vyjádřit pomocí Rodriguesova vzorce
^ľn^'2-1'' <50>
Využitím tothoto vztahu můžeme rozšířit (49) na oblast záporních m, tedy
P.m(x) = i—iL (1 - x2)m/2---(l-x2)1,        -Km<l. (51)
Funkce Přm se nazývají přidružené Legendreovy funkce. Námi definované P{n(x) nebo Pi(x) nejsou na intervalu (-1,1) normované na jedničku. Ostatně různé drobné i větší odchylky v definicích speciálních funkcí jsou díky historickému vývoji bohužel zcela běžné.
5.3   Kulové funkce
Pomocí přidružených Legendreových funkcí definujeme úplný ortonormální soubor kulových funkcí (t.j. každou spojitou funkci úhlových proměnných ve sférických souřadnicích můžeme napsat pomocí (nekonečné) řady těchto funkcí)
(2/ + 1) (l-m)\ \|    47T    (l + m)\
Přm(cos-r?) exp(irrup).
Platí tedy
2tt
dV / dů sin ů Y™1* (ů, <p) Y'"12 (Ů,V) = 5hh ómi o Jo
«12
(52)
(53)
(ortonormalita) a
oo m=l
oo     m=l „27t fIT
/(<M = £ E fTYTWM,        fľ= /  ty / áůsmůf{ů,V)YT^M- (54)
,r> , jo JO
1=0 m=-l
(úplnost). Několik prvních kulových funkcí je
Yu
-i
sin-ŕ? e
■iíp
Yľ
I 15 32^
I2
sin-ŕ? cos ů e
■tip
sin ůe
Y°-
I2 "
-2íip
cos Ů
Y2
Yl
sin-ŕ? e
I 15 32^
2 „q a2ÍLP
sin ůe
5
(3cos2í?-1) Y2X-.
(55)
sin-ŕ? cos ů e'tip.
Í7T "        V  167T V 87T
Velmi důležitým speciálním případem rozkladu (54) je vztah pro Legendreův polynom obecného úhlu 7 mezi dvěma vektory n = (sinůcos99, sin-$sin99, cosů) a n' = (sin a cos    sin a sin    cos a), tedy
cos 7 = n • ň' = cos "i? cos a + sin $ sin a cos(99 — /?),
47T
Pz(cos7) = ^— E Yr(a,P)Yr(ů,V).
(56)
10
5.4   Multipólový rozklad rozložení náboje
Uvažujeme rozložení náboje uvnitř koule o poloměru R,
^ = {o r>R ^
Potenciál mimo koule je dán vzorcem (25)
Ane0J        \x-x\     Ane0 J        Jx2 + x2 - 2\x\ ■ \x'\cos-f
1    1   /"dV   , P(£/) (58)
^0lXlJ yi-2fcos7+(f)2
7 je úhel mezi i a f'. V integrálu se objeví vytvářející funkce Legendreových polynomů, tak
lir 00 /V\Z
=---/ dVp(:r')£Pz(cos7)   - (59)
47re0 r J ^ V r J
(psali jsme \x\ = r a \x'\ = r'). Použitím (56) dostaneme rozvoj
1     r 4-ir r'1
m = ^ J d3x'p(x') J2 ^Y^ŽTT Yr^', V'WW, f)- (60)
Pomocí multipólových momentů
qlm:= í dVp(£')/r(^>') (61)
můžeme konečně psat potenciál jako superpozici kulových funkcí
1 Ä ^ lq,.
W =
ě0 [=0m=-i
V případě bodového náboje víme, že pole je dáno Coulombovým potenciálem. Je-li náboj q umístěn mimo počátek souřadnic, např. na ose z (v bodě z = R), je potenciál dán vztahem
q     ~ /r
(63)
r    47re0r ^  'V       ; V r 7 '
Pro r y> R převažuje rotačně souměrná (vzhledem k počátku souřadnic, nikoli poloze náboje) složka / = 0. Umístíme-li však na ose z ještě náboj opačné velikosti do z = —R, vyruší se identické příspěvky členů s / = 0 a pro r >>> R převažuje pak dipólová složka (1 = 1)
2qRP1(cosů)       D cosi?
0dip = "j--ž- = ~A--2~' (64)
47re0      rA 47re0 rÁ
11
kde D = 2qR označuje dipólový moment. Podobně, umístíme-li na ose z v z = ±R náboje g a v počátku náboj — 2g, vyruší se identické příspěvky členů s / = 0 a / = 1 a pro r y> R převažuje pak kvadrupólová složka (/ = 2)
2qR2P2(cos$)       Q  l-3cos2tf . .
0quad =----3- = "--3-, (65)
Anen      rá Anen rá
kde Q = qR2 je kvadrupólový moment. Obecně jsou multipólové momenty závislé na umístění v souřadném systému, s výjimkou nej nižšího nenulového momentu.
6 Magnetostatika
6.1   Analogie mezi elektrostatikou a magnetostatikou
Integrální tvar infinitesimální rovnice (4), vyjádřený pomocí hustoty proudu, je
f ,3 x-x    _    fi0  f 3 ,      ,     ^ 1
B(x) = — / dVj(i') x ——^t- = -— / dVj(i') x V
An J \x — x \6       Au J \x — x |
An
-V x /d3x' Z{Xih =: rot A{x). (66) J        \x — x I
Zavedli jsme vektorový potenciál
l(f) = ^/,dVT|2lT. (67) v '    An J        \x-x\ v '
Vektorový potenciál není jednoznačný, protože můžeme přičíst gradient libovolné funkce, jehož rotace je identicky nulová. Taková transformace,
A(x) —> A{x) + grad k(x)
se nazývá kalibrační transformace. (Stejně je skalární potenciál jednoznačný jenom až na konstantu.) Coulombova kalibrace div A = 0 vede k značnému zjednodušení: Dosazením do Maxwellovy rovnice dostaneme
rotB(x) = iotľotA(x) = grad div A (x) — AA(x) = — AA(x)
^° ľ j3 / r?(->'\ a 1
dV/(f) A—— = fiom, (68) An J \x — x \
tedy vektorovou Poissonovu rovnici pro A.
Následující tabulka ukazuje analogie mezi elektrostatikou a magnetostatikou.
12
Elektrostatika		Veličina, vztah	Magnetostatika
dF = dg E		definice pole	dF = J dfx B
dg		hustota zřídel	I dl = jd3x
F = qE		síla na náboj	F = qv x B
div E = p/e0 rot Ě = 0		rovnice pole	rot B = pQj div B = 0
= —grad 0		potenciály	5 = rot A
A0 = -^		rovnice potenciálu	AA = -hoj
(f)(x) = —— /d3x' 47t60 j		potenciál zřídel	
Analogické magnetické pole k elektrickému Coulombovu poli je pole lineárního vodiče. Uvažujme nekonečně dlouhý, rovný drát ve směru osy z s elektrickým proudem I
j(x)=IÔ(x)ô(y)e3. (69)
Podle (66) je magnetické pole
-        Hol [°° x- (0,0, z')
B[x) =-        /    dz e3 x —---—. 70
Zavedeme polární souřadnice p = \/x2 + y2, ip = arctan^, z a uvedomíme se, že pole musí být konstantní ve směru z, tak že stačí počítat B v rovině (x, y). Výpočet vede k Biotovu-Savartovu zákonu
B{p) = f^. (71)
z7t p
6.2   Magnetické pole kruhové smyčky.
Do vztahu pro vektorový potenciál (67) dosadíme hustotu proudu
j(x') dV = 15{p' - a) ô(z') ey p' dp' dz' dep', kde ey = — sin(p' — <p) ep + cos(p' — <p)ev, a dostaneme
A(p, z) = A„(p, 2;) e„,        A^p, z) = ^-     —----~r• (72)
Zn Jo  (a1 + p2 + z2 - 2ap cos ip) 2
Integrál lze vyjádřit úplnými eliptickými integrály E a K,
\ -       K{k) - E{k)
(73)
13
kde k2
4a p
(a + p)2 + z2'
K (k)
1 — k2 sin2 £
E(k)
1 - k2 sin2 £ d£.
Při výpočtu indukce potřebujeme identity
áE(k) _ E(k) - K(k) áK(k) ák k        ' dk
Potom máme pro složky indukce (Bv = 0)
E(k) K(k)
k(l-k2) k
BP(p,z)
dz
p0I
2tt
pj(a + p)2 + z2
-K{k)+f + p2+/2E{k) (a — p)Á + zA
(74)
(75)
(76)
Bz(p,z)
1 d(pAv) = poI_ p dp
2tt
(a + p)2 + z2
K(k)
a2 — p2 — z2 (a — p)2 + z2
V aproximaci pro velké vzdálenosti od smyčky (a <C r := Vp2 + z2) máme
4 ~
/íq/ Z"71     a cos dy?
/íq/ a n     cos dy?
27t Jo \/r2 — 2ap cos p 2n r Jo PqI a
2 ^ cos p
2n r Jo
kde p = rsin-$. Z toho vyplývají kartézské složky
pola2 sin ů sin
ap PqI a2p     poIa2 sin ů
(1 + ^2COS(f)cOSpdp = —— = —--—,
Ax = -Ap sin p
Az = A^ cos p
póla2 sin-ŕ? cos p
(77)
(78)
Jako kombinace kulových funkcí a V^-1 lomeno r2 představují Ax a Aj, složky dipólovového potenciálu.
7   Maxwellovy rovnice v materiálovém prostředí 7.1   Polarizace, magnetizace
Když se materiálové prostředí nachází pod vlivem vnějšího elektromagnetického pole, např. mezi deskami kondensátoru nebo v magnetickém poli cívky, rozlišujeme vnější náboje a proudy, pext a jext, a náboje p a proudy / indukované vnějším polem v materiálu. Náboje a proudy uvnitř atomů, molekul, nebo elementárních buňek krystalů, které vyvolávají mnohem větší pole než jsou makroskopická, můžeme zanedbat, když středujeme přes prostorové oblasti podstatně větší než vzdálenost elementárních jednotek materiálu. Středované Maxwellovy rovnice jsou
divE 1
(p) + Pext
dĚ
mtE
dB ~dt
(79)
—rot5 = e0— + (j) + jext Po ot
div B = 0.
14
E a, B jsou středovaná pole, () označuje středování zdrojů.
Celkový náboj vázaný na prostředí, které je plně uzavřeno uvnitř oblasti V, je roven nule
r (p) dV = 0 (p) = -divP, (80)
iv
přičemž P = 0 vně materiálu. Potom je totiž
í (p)dV = - í divPdV = - í P ■ ndS = 0, Jv Jv Js
kde S = dV. Uvažujme dipólový moment
í x(p)dV = - í xdivPdV = - í x (n ■ P) dS + í (P-V)xdV = í PdV. (81)
Uvažujme nyní uzavřenou plochu S uvnitř materiálu. Celkový proud touto plochou vázaný na prostředí je dán celkovou hodnotou časové změny průmětu vektoru polarizace P
{f).ňdS = _ ľ (MdV= ľ 9divPdV= ľ^Ĺ.ňdS
s Jv ot Jv ot J s ot
- dP
^(j)=rotM+—, (82)
přičemž M = 0 vně materiálu.
/ rot M ■ n dS = 0   protože   OS = 0. Js
V statickém případě je dP/dt = 0. Uvažujme magnetický moment
^ J x x (j) dV = i J x x rot M dV = (83)
- í x x (n x M) dS - - í (M x V) x xdV = í M dV.
Definice vektorů polarizace P a magnetizace M pomocí momentů je důležitá pro jednoznačnost, jinak by vyhovovaly také P + rot/ a M + grád f. Jako vedlejší výsledek dostaneme ze spojení rovnic (80) a (82) diferenciální (= mikroskopickou) rovnici kontinuity
d(p)
dt
+ div(j) = 0. (84)
7.2   Makroskopické Maxwellovy rovnice
Zavedeme vektory indukce elektrického pole a intenzity magnetického pole jako
D = e0Ě + P, H = —B-M. (85)
15
Použitím polarizace (80) a magnetizace (82) dostaneme makroskopické Maxwellovy rovnice,
dwD = pext, rot E = ——,
01 (86)
- dĎ
ľotH = — + jext, div5 = 0.
ot
Jak Maxwellovy rovnice ve všeobecné formě, tyto rovnice jsou konsistentní s rovnicí kontinuity
^f + divjext = 0. (87)
V homogenním isotropním lineárním prostředí bez disperse jsou vztahy mezi D a E a mezi H a, B obzvlašt jednoduché, pole jsou úměrná,
1 ^
D = ere0E,        H = -B, (88)
kde er je dielektrická konstanta a konstanta fir je magnetická permeabilita materiálu. („Lineární prostředí" znamená, že tyto veličiny jsou konstantní.)
7.3   Energie a impuls elektromagnetického pole
Mějme spojité rozložení náboje p. e označuje energii náboje obsaženého v objemu AV, Ae změna energie při pohybu v elektromagnetickém poli. p a / označují teď externí veličiny.
Ae = F-Ax,        F = pĚAV +jx BAV -—     = j- Ě. (89)
' H J AV At v '
S využitím vztahu
Ě ■ (V x H) - H ■ (V x Ě) = V • (H x Ě) (90) odvodíme z Maxwellových rovnic výraz
H-^ + Ě.^ = -j.Ě-V-(ĚxH). (91)
Na pravé straně vystupuje vykonaná práce a divergence toku, výraz na levé straně můžeme tedy interpretovat jako časovou změnu hustoty energie. Po zavedení veličin hustoty energie W a Poyntingova vektoru S
W = ^(Ě ■ D + B ■ H) ,        Š = ĚxH (92) můžeme (91) psát jako
4- / WdV+ í j-ĚdV+ í  Š-ňdL = 0. (93)
Ot Jv Jv JdV
16
S má tedy význam hustoty toku energie. Obdobnou úvahu můžeme provést pro impuls. Při přechodu ke spojitému rozložení náboje je
1 Ap
Ap = F At,
F = pEAV + j x B AV
AV At
pE + jxB. (94)
Z Maxwellových rovnic odvodíme výraz
D x — + — x B = É (ý ■ Ô) - B x (ý x Ě)+H (V • Ě)-Ďx(v x Ě)-jxB-pĚ.
\t ^ ^ o (95)
Poslední dva členy na pravé straně popisují Lorentzovu sílu, můžeme tedy časovou derivaci na levé straně interpretovat jako časovou změnu hustoty impulsu
,2
G = D x B = er/ire0/xo E x H
n
S,
„2 ~'
(96)
pokud první čtyři členy na pravé straně lze psát jako divergence toku impulsu. Zavedli jsme
Ěopo
n
(E. f* ^-íf •
(97)
c je rychlost šíření elektromagnetických vln ve vakuu, tedy rychlost světla, jak budeme brzo vidět, a n je index lomu, jehož význam bude také zřejmý v souvislosti s šíření elektromagnetických vln. Po úpravě, kdy předpokládáme, že permitivita a permeabilita nezávisí na prostorových souřadnicích, můžeme psát
E V • D - D x  V x E
H[V-B) — B x [V x H
3 a
3 Q
-ôt]E-D
-ôtJH-B
(98)
a zákon zachování má tvar
d
m!vc"dv
V
pEi + {jxB
dV
dV
J2 Tij nj d£ = 0.
(99)
Definovali jsme Maxwellův tensor napětí T~ jako
Tij = -(Ei D j + Ht B j) + -ôij(E ■ D + H ■ B).
(100)
Takto definovaný Maxwellův tensor určuje tok impulsu z uvažovaného objemu. Jeho stopa je rovna hustotě energie
0.
1=1
Pro volné elektromagnetické pole ve vakuu platí analogicky
W
T- ■
\ M2
e0EiEj
B-
S
Ex B.
Po
Po
1
Po
BíBj
B'
Po
(101)
(102)
(103)
17
8   Integrální formy Maxwellových rovnic, indukce
8.1   Integrované rovnice
Uvažujeme prostorovou oblast V s okrajem dV a plochu S s okrajem dS. n označuje jednotkový normálový vektor na plochu dV, popi. S, t tečný vektor na dS. Integrujeme rovnici divE = přes objem V, dostaneme podle Gaufiovy věty Gaufiův zákon elektrostatiky.
CO
Q
E-ndS
dv e0
(104)
Když integrujeme rotaci elektrického pole přes plochu S, můžeme uplatňovat Stokes-ovu větu (ŕ je tečny vektor okraje dS):
E -tds
dS
-> d r ->
rot E ■ n dS = — — / B ■ n dS.
s ot J s
(105)
Integrál J B-ndS definuje magnetický tok $m plochou S. Odvodili jsme tedy Faradayův indukční zákon: Elektrické napětí v uzavřené drátěné smyčce se rovná minus časové derivaci magnetického toku,
- - d E-tds = -— as ot
(106)
Analogicky dostaneme v statickém případě E = 0 B ■ tds =
dS
rot B ■ n dS = fio / 3 ' n diS.
s Js
(107)
Integrál na pravé straně představuje celkový elektrický proud J, z toho vyplývá Ampěreův zákon
as
B ■ t ds = fiQ I.
(108)
8.2   Aplikace — vzájemná indukce a vlastní indukce
Uvažujeme dvě geometricky pevné smyčky s proměnným proudem ve smyčce 2. Indukované napětí ve smyčce 1 vyvolané změnou pole buzeného smyčkou 2 je
d
B2-ňi dSi,
dt J(i) Po dosazení dostáváme
(i)
B2 ■ ňi dSi
Ä2.dl, Ä2 = ^í I**. (109) (i) 4?r 7(2) r12
U1 = M12^, dt
M12 =
dl2 ■ d£t
47T 7(1) 7(2) |xi — x2
Pokud by tekl proměnný proud smyčkou 1, bylo by indukované napětí ve smyčce 2
d/x
(110)
Uo = M<
2Y
dt
Mi
12
M-
21
M.
(111)
Ale také změna magnetického toku smyčkou 1 vytvoří indukované napětí v této smyčce, stejně platí pro smyčku 2. Obecně tedy můžeme psát
d/i        dlo d/i dlo
Časová změna energie magnetického pole je rovna záporně vzaté práci
f =       * = ^ A f + X, ^ - M + ,,£) , („3,
takže pro energii magnetického pole je
W = l- Li l\ + i L2 J2 — MI\ h,        Li L2 > M2. (114)
Energii magnetického pole máme ovšem také vyjádřenou jako
W = — í B2dV. (115) 2/i0
Vztahu pro energii využijeme pro výpočet vlastní indukčnosti
L = ^—\ B2dV. (116)
Uvažujme solenoidální cívku o N závitech. Průřez je S a délka l. Pole je tedy přibližně (Ampěreův zákon)
b«h^L (in)
a pro indukčnosti máme
(U8)
Pro energii magnetického pole pak
w = m^.ľ. (no)
9   Časově proměnná elektromagnetická pole 9.1   Dynamické potenciály, kalibrace
Předpokládáme dynamické potenciály <p(x, t) a A(x, t) a B = rot A. Pak vyplývá z
Maxwellovy rovnice rot E = —B, že i časová derivace vektorového potenciálu přispívá k elektrickému poli
BA
B = rot A,        E = -grad0 - —. (120)
19
Dosazení do dalších Maxwellových rovnic vede k
d
Aó + — div A Ot
A r        d2Ä        J,   ? 90\ A A - eo/ioi^y ~ Srad  dlv^ + eo/"o-
dt2
S využitím kalibrační transformace
A —► A + grad-ŕ/>,
<9ŕ
_ P.
(121)
0^0
(122)
n   r «90 divA + e0/xoT7T = 0 Ot
můžeme mít Lorenzovu kalibraci (Ludwig Valentin Lorenz ^ Hendrik Antoon Lorentz)
(123)
a dostáváme tak pro potenciály nehomogenní rovnice
«2 A
(124)
(J" UL~
Označili jsme rychlost světla ve vakuu
Rovnice (124) jsou Maxwellovy rovnice pro potenciály, spolu s kalibrací (123) jsou ekvivalentní (5).
9.2   Rovinná a kulová vlna
V případě volného elektromagnetického pole popisují homogenní rovnice odpovídající (124) šíření vln. Vlnová rovnice v jednorozměrném případě popisuje rovinnou vlnu (ve směru x)
d2ý(x,t)     1 d2i)(x,ť)
dx2
c2 dt2
0.
Obecné řešení je
i/)(x,t) = f[t-^) +g(t--c).
(125)
(126)
Vezmeme jako príklad Gaufiovu funkci / = exp[— (t — ^)2]. Maximum se nachází při t — | = 0, pohybuje se tedy rychlostí c ve směru rostoucího x.
Dalším jednorozměrném příkladem je sféricky symetrická vlnová rovnice,
ld2(rý(r,t))     1 d2ý(r,t)
r dr2
c2 dt2
0
s obecným řešením
^(r,t) = -f(t--)+-g(t + -). r    V     cjr\ cj
(127)
(128)
20
Na toto řešení se můžeme dívat jako na rozbíhavou nebo sbíhavou kulovou vlnu. Tvar řešení také ukazuje, že rychlost šíření je c.
V (lineárním) materiálovém prostředí se nahrazuje e0 —► ere0 a p0 —► prPo- Pak dostaneme z rovnice (124) rychlost šíření c/n, když zavedeme index lomu
Ti - -\J €.rp jJLrp .
9.3   Obecné řešení nehomogenní rovnice pro potenciály.
Pro obecné řešení rovnice (124) ještě chybí partikulární řešení nehomogenní rovnice. Zavedeme Fourierovu transformaci časové závislosti potenciálu a hustoty náboje
1 í'°°
<f>(čc,t) = —       áu(j)(x,uj)e-lwt, (129) 2n J-oo
1 í'°°
p(čc,t) = —       áup(x,uj)e-lwt (130)
a dosadíme do rovnice (124),
oo
du [ A + z- ) <f>(x, uj) e-iujt =--/    dco p(x, uj) e-'lult. (131)
\ c2) 6n J-oo
Exponenciální funkce s různými uj jsou nezávislé, proto platí
( ,     ^j2\ ~,^   \ p(x,uj)
\A + — U(x,u) = -^-!-. (132)
Hledáme Greenovu funkci diferenciálního operátoru na levé straně, definovanou vztahem
(A + k2)G(x,x',k) = 53(x-x'),       k=-. (133)
c
Řešení této rovnice závisí jen na absolutní hodnotu r = \x — x'\:
Důkaz: 1)
G(x,x', k) = G(r, k) =--. (134)
Aur
(A + k2)—= l-^r + k2   — = 0 (135)
platí pro r / 0.
2) Násobíme levou stranu testovací funkcí f{x) a integrujeme přes celý prostor. Díky (135) stačí integrál přes infinitesimální kouli o poloměru e kolem počátku,
d3x f(x) (A + k2) ^— = í   d3x f(x) (A + k2) (136)
r Jr<e r
21
Rozvijeme exponenciální funkci a využijeme A l/r = — 4ttô3(x — x')
d3x f (x) (A + k2)(-±ik- -k2r ± .. ) = í   d3x f (x) (A- + k2- ± .. ) ■ Vr 2 /     Jr<e Vr       r /
= -47r/(0) + O(e2). (137) V limitě e —► 0 tak získáme
(A + k2) -*———— = —S3(x — x'). (138) 4n\x — x
±ik\x—x 'I
Řešením rovnice (132) je tedy
0±í2-\x-x'\
<j)(x, to) =-        / dV p(x", to) ——^j-. (139)
4ľ7T6Q J \x — x
Zpětná Fourierova transformace pro kladné znaménko vede k
. . 1 ľ      -í     ,   f°° P(X',LJ)      -iujít-^^] 1 ľ      n ,p(x',tTet)
<fi(x, t) = —— / dV /   dco      'J. e    V     c  ) =-        / d3x'      ' 'eľ, 140
87T2eo J J-oo       \x — x | 47T60 j p — x \
kde retardovaný čas byl definován jako
íret = t ~ 1-^—L- (141)
Z rovnice (138) lze přímo vypočítat Greenovu funkci v prostoru a čase:
G(S -x',t- ť) =--^-^      °   ' = - l'    ™{. (142)
An\x-x'\ An\x-x'\
Potenciál časové závislého rozložení náboje vypapdá formálně jako statický potenciál, s rozdílem, že časový argument závisí na vzdálenost \x — x'\, t. j. potenciál a elektrické pole se šíří konečnou rychlostí. Takto získaný potenciál se nazývá retardovaný potenciál, analogicky to platí pro vektorový potenciál.
0ret(f,t) = --      / dV ľK   '     _„c   ;, (143)
47T60 J \x — x
Äľet(s,t) = £° / dV ns':!~lzfA). (144)
47T j \x — x \
9.4   Pole časově proměnného dipólu
Uvažujme bodové náboje, soustředěné všechny kolem počátku souřadnic. Pak můžeme pro vektorový potenciál psát
A(*,t) 3 dV = (t - ^ (145)
22
neboli pomocí dipólového momentu
p(t) = J2eaXa(t).
Skalární potenciál spočteme integrací vztahu (Lorenzova kalibrace)
-c2 div A
Jednoduchými úpravami dostaneme divÄ-
90 ~dt
Po
rot A = Skalární potenciál je tedy <f>(x,t)
Pro intenzity dostaneme
Anr3
Po 47rr3
x
x x
1 x
47t60 r3
r\    r ■■/ r
r\     r ■ r
E (x, t)
B (x, t)
Aneor3 [r2
p [t--| • x
x — p [t
Po ±(. r\
r \	1 i
čj	+ ~2 c
	ŕ r
P	ŕ - -
	V c
p (t--l XX
x :
Dostatečně daleko od dipólu máme E(x, t)
1    1^/^ r\
- D I x, t--) x n,
c/
AnenC2 r
B(x,t) = —-Ď ( x,t
kde jsme označili
D [ x,t — - ) =p[t
x
x n,
n
Pro hustotu energie a Poyntingúv vektor platí
1 1
= i ( e0£2 + —B2 2 V Po ,
Je přirozeně
167r2c4eo r-
1  - 1 1
S=-£xB = ——-
W
cn.
Příklad: Vezměme rozložení proudu ve tvaru
nz
j (x, t) = I ô (x) ô (y) sin ( — J cos(c<jŕ) ez,        0 < z < L.
23
Podle (145) a (146) spočteme snadno
p{t)
2LI
TVŮJ
sin(cjŕ) ez
a podle (152)
D[x,t- -
2LIu   .   „  .     / r' --sin i/ sin o; \t--e,„.
7t \ c
Příklad: Rotující náboj v rovině (x,y) v dipólové aproximaci:
D
P = Qro (cos ^ sm ^ 0), (z sin ujt,—z cos ct7t, y cos ut — x sin cjí) .
(156)
(157)
(158)
(159)
Časově středovaný Poyntingův vektor popisuje výkon záření do elementu prostorového úhlu,
q2rQĹj4    1 + cos2-;? (x, y, z)
^ Z   167r2c3e0r2 2 Celková vyzařovaná energie za sekundu je pak
P
(S)-ňds
q2rQĹú4
q2a2
(160)
(161)
kde a označuje zrychlení r§uj2 na kruhové dráze. Táto ztráta energie by vedla k rychlému kolapsu atomů v klasické elektrodynamice.
9.5   Liénardův - Wiechertův potenciál
Ať se nabitá částice pohybuje po zadané trajektorii x = x0(t). Hustota náboje je pak
p(x,ť) = eó{3\x-x0(t)). (162) Vzorec pro skalární potenciál přepíšeme jako
(/>(x,t)
47re0 J \x — x'\
ô  ť - t
dť d3 x'
47t60 J R{t')
kde jsme označili R{ť) = x — Xo(t'), R{ť) = \R(t')\. S pomocí vztahu
ô  ť - t
R{ť)
5(ť - tr)
i _ Ř{tr)-V{tr) 1 cR(tr)
Ritr
napíšeme výraz pro skalární potenciál jako
(163)
(164)
(165)
24
Výraz pro vektorový potenciál je pak obdobně
(166)
Vezměme teď jednoduchý případ pohybu s konstantní rychlostí podél osy x. Podmínku pro nalezení časového zpoždění přepíšeme na
c2{t - tr)2 = (x - vtr)2 + y2 + z2,
odkud
v \ vx 1
1 - — )tr = t- — - -
(x - vt)2 + 1
(y2 + z2)
Jmenovatel výrazů (165) a (166) pro potenciály můžeme psát jako
v(x — vtr)
c{t - tr)----- = c
c
Po malé úpravě pak dostáváme
(f)(x,t)
t
vx
tr
-o Jl
pro skalární potenciál a
Ä(x,t) = (Ax(x,t),0,0),
pro vektorový potenciál, kde jsme označili
Ax(x, t) — —
47T
1 _ VI
Vektor intenzity elektrického pole je
Ě(x, t)
47re,
2     (y* ^ 3
o Jl-5 r
(x - vt,y,z)
a vektor indukce magnetického pole je
e/i0 lv B(x,t) =--, —ö (0,—z,y).
4tt _ /i _ vi r*3
Pro vektor hustoty impulsu pole G = enE x B dostáváme
G (x, t)
16tt2 1
„*6
í/2 + z2, —y(x — vt), —z(x — vt)
a pro hustotu energie W = (e0E2 + B2 j/x0) /2 výraz
1     (x - vt)2 + (l + S) (ž/2 + z2)
W(x,t)
327r2e0 1
(167)
(168)
(169)
(170)
(171)
(172)
(173)
(174)
(175)
(176)
25
10   Základy teorie relativity
10.1 Principy
Princip relativity: všechny přírodní zákony jsou stejné ve všech inerciálních souřadných soustavách. Inerciální soustavy jsou takové, kde se pohyb dějě s konstantní rychlostí.
Interakce částic se v nerelativistcké mechanice popisuje pomocí interakční potenciální energie, která je funkcí polohy interagujících částic. Tento způsob popisu v sobě obsahuje předpoklad o okamžitém působení.
Princip konečné rychlosti šíření signálu: Rychlost šíření interakce je konečná. Z principu relativity je tato rychlost ve všech inerciálních soustavách stejná. Z Maxwell-ových rovnic je vidět, že jde o rychlost světla ve vakuu
c = 299 792 458 ms"1. (177)
Toto je exaktní hodnota, určující tak délkovou jednotku jednotkou času.
Sjednocení principu relativity s principem konečné rychlosti šíření signálu je nazýváno Einsteinovým principem relativity.
10.2 Interval, vlastní čas.
Uvažujme dvě události: emisi a absorpci fotonu. V soustavě K je
(x2 - Xlf + (y2 - yif + (z2 - Zlf - c2(t2 - h)2 = 0, (178)
v soustavě K' pak
{x'2 - x\)2 + (y>2 - y[)2 + (4 - z[)2 - c2(ť2 - ťx)2 = 0. (179)
Zavedeme obecně kvadrát intervalu mezi dvěma událostmi jako
s\2 = c2{t2 - h)2 - {x2 - Xl)2 - (y2 - Vl)2 - {z2 - Zl)2, (180)
popřípadě pro infinitesimálně blízké události
ds2 = c2dr2 — dx2 — dy2 — dz2.
(181)
Je-li interval roven nule v nějaké inerciální souřadné soustavě K, je roven nule i v libovolné jiné soustavě K'. Potom tedy musí být
ds2 = k(v) ds'2. (182)
Vzhledem k homogenitě prostoru a času nemůže faktor úměrnosti záviset na souřadnicích, vzhledem k isotropii prostoru může pak tento faktor záviset pouze na velikosti relativní rychlosti uvažovaných inerciálních soustav. Uvažujeme-li tři soustavy K, K\ a K2, dostáváme
ds2 = k(vi) ds2,        ds2 = k(v2) ds2,,        ds2 = k(ví2) ds2,     =3- = ^^12^'
(183)
26
a protože levá strana poslední rovnice nezávisí na úhlu mezi vektory rychlostí v\ a v2, zatímco pravá strana může, musí být
k{v) = 1. (184)
Kvadrát intervalu mezi dvěma událostmi (180) nebo mezi dvěma infinitesimálně blízkými událostmi (181) je stejný ve všech inerciálních soustavách.
V předešlých úvahách se připojuje čas přirozeným způsobem k prostoru, proto je výhodně definovat čtyřrozměrný prostoročas či Minkowskiho prostor, v němž se počítá kvadrát prostorového intervalu záporně a kvadrát časového intervalu kladně (nebo opačně). Oznámení událost má význam bodu v čtyřrozměrném prostoručase.
Označme si v soustavě K
t12 = Í2-Í1,        4 = (x2-x1)2+(y2-y1)2 + (z2-z1)2 s212 = cH\2-l\2. (185)
Zkoumejme, existuje-li taková soustava K', kde by se obě události odehrály v jednom bodě prostoru, tedy že platí £'12 = 0. Máme tak podmínku s\2 = c2t\2 — í\2 = c2ť22 > 0,; takový interval se nazývá časupodobný. Naopak požadavek na to, aby existovala soustava, ve které obě události nastanou současně (t'l2 = 0), vede k podmínce s\2 = c2t\2 — í\2 = —£'12 < 0,; interval se pak nazývá prostorupodobný. V soustavě, která se pohybuje s daným hmotným bodem (í'12 = 0), můžeme tedy definovat vlastní čas jako
1
1 rS2        ŕ2 ( v2\2 ť2-t[ = -     ds =        1 - —    dt. (186)
c Jsi Jíi    > n2
V případě konstantní rychlosti v dostaneme jednoduchý vztah mezi parametrem s trajektorie tělesa a časovou souřadnicí t,
v2
s2-s1 = c^l- — (t2-t1). (187) 10.3   Lorentzova transformace
Soustava K se pohybuje vůči inerciální soustavě K' rychlostí v podél osy x. Z elementárních úvah je zřejmé, že čtverec intervalu s2 = c2t2 — x2 se nezmění při transformaci
ct = x' sinh-í/> + cť cosh-í/>,      x = x' cosh-í/> + cť sinh-í/>, (188) podobně jako se nezmění čtverec vzdálenosti l2 = x2 + y2 při transformaci
x = x' cos ip + y' sin 99,        y = — x'simp + í/'cos 99. (189)
Pro počátek soustavy K' (bod x' = 0) máme v soustavě K z definice x/t = v, jednak z (188) x/t = ctanh-í/>, máme tedy tanh-í/> = v/c a vztah (188) můžeme zapsat jako Lorentzovu transformaci
(190)
27
Vždy jsou uváděny dva klasické příklady na použití vztahu (190).
(a) V soustavě K je podél osy x v klidu měřítko, jehož dvě rysky mají v této soustavě souřadnice xi, x2. Vzdálenost (klidová) rysek je tedy Ax0 = x2 — x\. Vzdálenost v soustavě K' (souřadnice jsou určovány ve stejném čase t[ = ť2) je Ax
Axq\ 1 — \. Mluvíme o kontrakci délky.
(b) V soustavě K' se v časech t[ a ť2 odehrají dvě události v jediném místě x[ = x'2, y[ = y'2, z[ = z'2 (interval mezi událostmi je tedy Aí0 = ť2 —V soustavě K je interval mezi těmito událostmi At = t2 —1\ = At0 / Jl — ^ . Mluvíme pak o dilataci času.
Vztah (190) IIlŮZGIIlG ZcipSclt i v diferenciálním tvaru
cdť + ^dx'
cdt =-c--
dx' + v dť . .
dx = — ,    dy = dy ,    dz = dz . (191)
Pro transformaci složek vektoru rychlosti (w = dx/dt, w' = dx'/dť) dostaneme z (191) vztah
w'x + v
w'x v '
w'Jl - K
^2
w.
w'Jl - K
r2
Sledujeme-li šíření světelného paprsku v rovině (wx = ccosů, wy = c sinů, wz w'x = ccosů', w' = c sinů', w'z = 0), dostaneme vztah (aberace světla)
sin-ŕ?
cos ů'
sin ů'.
(192) 0 resp.
(193)
Pro «/cC 1 položíme ů = ů' — Aů a porovnáním nejnižšího členu Taylorova rozvoje dostaneme obvykle uváděný vztah
v
Aů
sinů'.
(194)
10.4   Ctyřvektory, čtyřtenzory
Nejprve definujeme podstatné tenzory. Metrický tenzor v Minkowskiho prostoru a jednotkový tenzor jsou
9ik = 9
ik
0
o
f 1 o
0 -1
0 0-1
V o o o
0 \
o o
-1J
^ 1 0  0  0 ^
0 10 0
0 0 10
V o o o i y
(195)
Qik se nazývá kovariantní metrika, inverzní metrika gtk se nazývá kontravariantní. Kon-travariantní a kovariantní úplně antisymetrický tenzor 4. řádu jsou definovány pomocí vztahů
Jklm   / 0123
^iklm (e0123
-1).
(196)
28
Čtyřvektor souřadnic události (kontravariantní a kovariantní) zapisujeme jako xL = (x°, x1, x2, x3) = (ct,x), Xi = (x0,x1,x2,x3) = (ct,—x). (197)
Metrika nám udává invariantní prostoročasovou „délku" vektoru x%
s2 = gik x1 xk = gik Xi xk = xl Xi = c2t2 - (x2 + y2 + z2). (198)
Přitom platí
Xi=gikxk, x^g^Xk (199)
(zvednutí a spuštění indexů = transformace mezi kontravariantními a kovariantními indexy).
V čtyřrozměrném zápisu můžeme Lorentzovu transformaci (ve směru x) (190) psát ve tvaru
xi = K\ x,k (200)
s Lorentzovou maticí
A*
( 1 ll 0  0 \
-cl 7 0 0
0 0 10
V o o o i )
(201)
kde 7 je běžné zkrácení
7 := i—?• (202)
10.5   Ctyřrychlost a čtyřzrychlení
Definujeme čtyřvektor rychlosti přirozeným způsobem jako derivaci čtyřvektoru událostí, ze kterých se skládá světočára (čtyřrozměrná trajektorie) tělesa, podle parametru s (= c krát vlastní čas)
áx%     (d(cť) drr dí\ /      1 v       , , ,
■u* je tedy tečným vektorem světočáry. Obdobně čtyřvektor zrychlení
áuL á2x%
-   d,   w        "'"• = a (204)
Podívejme se na relativistický popis pohybu s konstantním zrychlením. V souřadné soustavě, kde rychlost částice je momentálně nulová (v = 0), máme
< = (1,0,0,0), ďK=(0,-,0,0), (205)
kde a je obyčejné zrychlení. V souřadné soustavě pohybující se rychlostí v ve směru x je rychlost a zrychlení
l v \ (      v_ Av_ dv
ul = I —;^=,    .        :,0,0   ,        é =\—c3dt  9,-&-9,0,0]. (206)
29
Po malé úpravě (z rovnosti cŕ a,t — d,lj^ clkí
) dostáváme d / v
dt \ . Ix -2
= a. (207)
S počátečními podmínkami vq = 0, xq = 0 dostáváme řešení pro konstantní zrychlení a
v=   i   "* * = -\\ll+l-) "H- (206
at ď I  L     fáty \
s2' "     a \ V " ' W '
10.6   Relativistický impuls
Jak v nerelativistické mechanice, tak existuje i ve speciální teorii relativity princip nejmenšího účinku. Jako invariantní a jednoduchý účinek bodové částice se nabízí integrál délky podél světočáry. Z důvodu dimenze a abychom v nerelativistické limitě dostali pro účinek známý nerelativistický výraz, musíme konstantu úměrnost zvolit rovnu —mc, tedy
S = -mc jb ds = -mc2 jí*" Jl - V— dt. (209)
Lagrangeova funkce a impuls jsou
v2 ^    dL       m v
S volbou faktoru —mc dostaneme v přiblížení «<c
1-^)= —-mc2, (211)
tedy nerelativistickou Lagrangovu funkci volné částice minus konstantu mc2, která je bez významu pro pohybové rovnice klasické mechaniky. Hamiltonova funkce je pak
2 _
Tfl C I-
H = p ■ v — L =   .        ■. = Jp2c2 + m2c4; (212)
v případě «<c dostaneme
r2
2 mv2
H^mď + —, (213)
t. j. klidová energie hmoty + nerelativistická kinetická energie. Z hamiltoniánu a impulsu skládáme čtyřimpuls
p1 = y—,pj = mcu%, p%pi = m c (214)
a zavedeme čtyřvektor sily
f = ?f=(^ř^,-J—\,        ľp, = 0. (215)
r2
30
11   Náboj v elektromagnetickém poli
11.1   Pohybové rovnice
Účinek nabité částice v elektromagnetickém poli je dán vzorcem
ŕb ŕb
S = —mc j ds — q j A4 dx\ kde jsme zavedli čtyřpotenciál
a Ja
Lagrangeova funkce a zobecněný impuls jsou
L = —mc \ 1---        + qA ■ v — qcfi,        P = -—
d L        m v
c* dv     A11 _ m
qA = p
hamiltonova funkce je
H = P ■ v — L
m c
+ q(f)= \lm2cA + c2(P - qA)2 + qcf).
Z vektorové analýzy budeme potřebovat identitu
V (a- S) = (a- V) 6+ (b- V) a + b x (V x aj + a x (V x S)
Je pak
VX = gV (Ä-v) - qVcf) = q (v- v) Ä+qv x (v x Ä) - qVcf),
d r\ d A      / -r.
Lagrangeova rovnice je tedy
dp
q [E + vx B
kde jsme označili
E = -v0
B = V x A
Ve čtyřrozměrné notaci je
fŕ> ŕb
5S = —mc I óds — q ó / Aj dx\
Variace elementu délky je
/-'- Qih ÔÓ.x^
óds = ó\Igikdx'ldxk = —- = u\. ódxk,
v ds
31
variace vektorového potenciálu
6Ai = ^6xk.
oxk
Použitím toho a integrací per partes dostaneme ÖS =
(rncöx1 dui + q-^—r 5x1 dxk — q-^—r 5xk dx1
dxk
Z toho vyplývají pohybové rovnice
' dxk
duí        1-, k
mc-      = q tik u
ds
s definicí tenzoru Fn
dAk OA.
dx"1 dxk
(mcui + qAi) ôx1
Prostorové složky pohybových rovnic popisují Lorentzovu sílu (222).
(226)
(227)
(22í
(229)
11.2   Tenzor elektromagnetického pole
V minulém podkapitoli jsme zavedli tenzor elektromagnetického pole
/   0      — — \
0
-B z B, 0
y
Br
V
.E*
c
By Bx
í 0
o J
Ex c
.ĚS. \
c
Ex g
v
Ez_ c
By Bx
Bz B 0
0 J
'y
-Br
(230)
Při Lorentzově transformaci se tenzor elektromagnetického pole transformuje podle vztahu
(231)
pik
k rplmn
Při Lorentzově transformaci ve směru x s maticí K\ (201) dostaneme následující transformační vztah tenzoru elektromagnetického pole
0
/20   i   v p/21
/30 _l v p/31
c
1(F 1[F
?r01
121   i   v 77/20
'31   i  V. p>30
c
1íp'02 + v_ _p/12>
7 )p'12 + l F'02^ 0
p/32
7 íj?'03 + £ ^13 ^ \
F'23 0 }
Převedeno do vektorů intenzity a indukce platí
Ey=1(E'y + vB'z),    Ez = 1{E'z-vB'y)
Ex = E'x,
Bx = B'x,
B,n
^B'y--2E'ZI, 32
B?
1\B'Z + -E'y
(232)
(233)
V nerelativistickém přiblížení (v/c —► 0) přechází (233) na
Ě = Ě' - v x B'        B = B'.
(234)
Invarianty pole můžeme zkonstruovat z tenzoru pole. Poněvadž je antisymetrický, zúžení nedává nic a máme až kvadratické výrazy
gim gkn p^ _ p^ piK _ -my^
ikmn
F-u F
A ik A mn
Fjh -kF"1'
mv.
(235)
Duální tenzor vyjádřený pomocí intenzity elektrického pole a indukce magnetického pole má tvar
/ 0
~BX By
Bx 0 B„
-Bz \ E 7. E„
c c
0
B7
El
c
E E
J-Jy J-'x C C
E r.
Invarianty mají pak vyjádření
Fík F
ik
E2
B
Fík *F
ik
4-
E-B
(236)
(237)
FkF   je Lagrangeova funkce volného elektromagnetického pole.
12   Synchrotronové záření
12.1   Liénardův-Wiechertův potenciál
Počítáme potenciál pole, vytvářeného jedním nábojem, který se pohybuje po trajektorii x = x0(t), v čase t v bodě P(x, y, z). Potenciál je dán stavem pohybu částice v čase ť, pro který platí (doba potřebná pro šíření světelného signálu)
c(t - ť) = R{t') = \x-x0(ť)\.
(235
V souřadné soustavě, ve které je částice v čase ť v klidu, máme právě Coulombův zákon
0(f,r)
Ä(x, t) = 0.
(239)
47re0 R(ť)
Podmínku (238) zapíšeme ve čtyřrozměrném (kovariantním) tvaru jako podmínku toho, že interval mezi událostmi „emise fotonu" (cť,ä?o(ť)) a „absorpce fotonu" (cb,x) leží na světelném kuželu, tedy pro rozdíl čtyřvektorů událostí Rk = (c(r — ť),x — xo(t')) platí
Rk Rk = 0. (240)
33
Pomocí tohoto nulového čtyřvektoru a jednotkového čtyřvektoru rychlosti částice
*-\-r±p-Žr*)' (241)
i-5 <Vi
se pokusíme zapsat čtyřvektor potenciálu pole tak, aby pro v = 0 (tj. pro čtyřvektor uL = (1,0)) přešel do tvaru (239). Z možných kombinací snadno nalezeme výsledek
Ai=(*,Ä\ =    6     U\. (242)
Pokud nevypisujeme explicitně argumenty, musíme mít na pamětí, že levé strany vztahů jsou uvažovány v čase t, pravé strany v čase ť. V trojrozměrném značení pak má (242) tvar
0 = ---A-^š,        A=6-^       * (243)
47T60 R (l _ J|)' 47TÄ(l_JgN
Výsledek (243) je přirozeně stejný jako (165) a (166). Při výpočtu polí
3Ä ->
E = -V0 - —,        B = V x A (244)
budeme potřebovat následující triky pro výpočet parciálních derivací: Derivováním vztahu (238) podle t dostáváme
dR _dRdť _   Ř-vdť _   (     dť\     dť _ 1 ~dt~dť~dt~     W ~dt ~C\1~~dt)^~dt~i-^É' ^2A5'
v 7 1 cR
Obdobně derivováním vztahu (238) podle x dostáváme
d R R R
-cVť = VR{ť) = ^ Vť + ^     Vť =--. . (246)
K >     dť R ci? (l - f|X K '
Výraz pro potenciály ve (244) pak budeme chápat jako funkce f(x,ť), a budeme počítat parciální derivace podle x při konstantním ť a podle ť při konstantním x. Porovnáváním diferenciálů
df = Vf-dx + ^dt = Vf-dx+^ dť =hf + % Vť) -dž+ZL^ dt (247)
přepíšeme (244) jako
- - ,, _ „ d(/)(x, ť) -> . dÄ(x, ť) dť E = -V(f)(x, ť) -   Y\ '  ; Vť        v ;
5 = V x      , ť) + Vť x —i^-^
dť dť     dť (246
34
Pro intenzitu elektrického pole dostáváme pak
E
47re0
l-v4 71
n x I I n — -c ] x -u;
i?2 1
c2 R 1
(249)
zatímco pro indukci magnetického pole
5
-n x E = -
C 47T
(■u x rt)
i?2 1
3--\- n x
n x I I n — -c ] x -u;
ci? 1
(250)
Označili jsme jednotkový vektor n = R/R a zrychlení w = dv/dť. Limitní případy pro v/c —► 0 jsou
E
en
AneriR2
B
efi0(v x n) 4nR2
(251)
12.2   Intenzita záření
Poyntingův vektor (energie, procházející jednotkovou plochou za jednotku času, dimenze [Jm_2s-1]) je
Š = —Ě x B = e0cE2n (252) /"o
a intenzitu záření (tj. energie, vyzařovanou za sekundu do elementu prostorového úhlu, [Watt]) spočteme tedy jako
dl = lim Š-nR2díl. (253)
R^oo
Po dosazení z (252) a (249)
2(rt ■ w)(v ■ w)
dl
lQn2eoC3
w
(rt • w)2
cl
díl.
(254)
Pro v/c —► 0 dostáváme s označením n-w = w cos£ pro celkovou vyzařovanou intenzitu
e2w2
2tt
e2 -u;2
ifi 2    s/    dr]     d£ sin£(l - cos2£) V klidové soustavě částice je tedy (s označením I = dE/dt)
(255)
dE
e2w2
Ô7T 6qC3
dŕ, -u*
drr* ds
(1,0), w*
dul ds
0,
w
(256)
Relativisticky invariantní výraz (tj. diferenciál čtyřvektoru impulzu) vytvořený z čtyř-vektorů rychlosti a zrychlení, který v klidové soustavě přejde na výrazy ze vztahu (256), je pak
■E J, P" = [ —,P
dp1
e2 duk duk 6ireoC ds ds
35
dx1
e2 duk duk 6ireoC ds ds
ul ds.
(257)
V laboratorní soustavě tedy máme pro celkovou vyzařovanou intenzitu výraz
p2   w2 — (w x
6ne0c3
(258)
Zde jsme potřebovali vyjádření čtyřvektoru rychlosti i zrychlení v laboratorní soustavě. Abychom nemuseli při výpočtu čtyřvektoru zrychlení užit obecné Lorentzovy transfor-
2 —»//       / -i 7^2
mace, vypočteme wl derivováním známého tvaru uL = yí/y 1 — fr,v/ \ c\Jl potom
V homogenním magnetickém poli se nabitá částice pohybuje rychlostí v po kružnici poloměru R, její zrychlení w = v2/R je kolmé k rychlosti. Dosazením do vztahu (258)
g2c    í±.Yai-££-(JL\ (260)
6ne0c3 fí2 (i _ v^y     6ne0R2 \mcj      6ne0R2 \mc2
V posledním výrazu ve (260) jsme použili aproximace vysokých energií, kde pro kinetickou energii platí T = \/p2c2 + m2c4 — nic2 « pc. Z tohoto výrazu je také zřejmé, že synchrotronové záření je omezujícím faktorem při urychlování lehkých částic (elektronů a positronů). Pro normovači hodnotu Rq    0, 5 km můžeme psát I « (JR0/Ä)2(T/mc2)4eVs-1.
Jsou-li rychlost a zrychlení v určitém okamžiku rovnoběžné, dostáváme (n • v = vcosů, rychlost podél osy z) pro úhlové rozložení záření výraz
e2w2         sin2-# ^ d/= m 2   37-xědíl (261)
c
Pro hodnoty v/c —► 1 má úhlové rozložení velmi úzké, ale „dvouhrbé" maximum kolem ů = 0. Jsou-li rychlost a zrychlení v určitém okamžiku navzájem kolmé, dostáváme (n • v = v cos ů, n • w = w cos 99 sin ů, rychlost podél osy z a zrychlení podél osy x) pro úhlové rozložení
dl
e2w2
167r2e0c3
1 - \) sin2 ů cos2 ip
(l-fcostf)4 (l-fcost?)6
díl (262)
13   Maxwellovy rovnice v čtyřrozměrné formulaci
13.1    Čtyřrozměrný vektor proudu, rovnice kontinuity
Definujeme čtyřvektor proudu (pro částici: náboj krát čtyřrychlost)
dxl
f = p— = (cp,pv) = (cp,j). (263)
36
Náboj, který ubude v nějakém objemu, můžeme zapsat dvojím způsobem
-ít.ípdV = fJ'-ridS-
(264)
S pomocí Gaufiovy věty pak z (264) plyne
(265)
tedy (objem je libovolný) rovnice kontinuity
_±  _   do df
V • j+ — = — = 0.
dt dxl
(266)
13.2   Homogenní Maxwellovy rovnice
Z vyjádření tensoru elektromagnetického pole pomocí potenciálu snadno odvodíme platnost vztahu
dFik    dFH dFu
dxl      dx'L dxk
0.
(267)
Na levé straně je úplně antisymetrický tensor třetího řádu, představuje pouze čtyři různé rovnice. Zřetelněji je to vidět, užijeme-li zápis duálního (pseudo)vektoru
2       dxk dxk
(265
Nultá komponenta dává tvrzení o nezřídlovém charakteru magnetického pole, další tři komponenty Faradayův indukční zákon
V -B = 0,
(269)
13.3   Nehomogenní Maxwellovy rovnice
Čtyřrozměrný zápis nehomogenních Maxwellových rovnic, obsahujících hustotu náboje a proudu, je
q pík dxk
-Poj •
(270)
Nultá komponenta je rovnice pro divergenci intenzity elektrického pole (Gaufiova věta elektrostatiky), zbývající tři pro rotaci magnetického pole (Ampěreův zákon)
^    ň     1 9E V x B = —— + fi0j. cz ot
(271)
37
13.4   Tensor energie-impulzu
Z hustoty energie
W=\ (e0Ě2 + —B2] , (272) 1 \ Po /
z Poyntingova vektoru
Š = —Ě x B (273) Po
a z Maxwellova tensoru napětí (hustota impulzu elektomagnetického pole)
<raf) = e0EaEp + —BaBp - W6ap (274) Po
elektromagnetického pole (ve vakuu) můžeme sestavit čtyřrozměrný tensor energie-impulsu,
,   W lS0
Tk = I c      ]. (275)
—(7,
c
a —uaj3
Pomocí tensoru elektromagnetického pole dostáváme jednoduchý výraz
(276)
Ttk = — (-glmFaFkm + -JkFlmFlm Po V 4
Tensor energie-impulsu soustavy částic zapíšeme pomocí analogie s tensorem energie-impulsu elektromagnetického pole. Hustotu impulsu soustavy částic napíšeme jako
na = pcua,        ii = J2mJ(3)(x-xa). (277)
a
Hustota impulsu je u elektromagnetického pole rovna hustotě toku energie dělené c2. Výraz (277) bude tedy analogicky roven T0a/c. Veličina fic je nultou komponentou (stejně jako hustota náboje u čtyřvektoru proudu) čtyřvektoru toku hmoty pdxl/dt. Tensor energie-impulsu tak můžeme konečně psát jako
K-^^^ť       V-1?- (278)
Pro tensor energie-impulsu elektromagnetického pole dostaneme s využitím Maxwell-ových rovnic
f) f) F
Ur      _      ..   J iklmurlm _ n (07Q\
výraz
9 Tk = _Fikjk. (280)
dxk
Pro tensor energie-impulsu soustavy částic dostaneme s využitím pohybových rovnic
pc — = p F*k uk & pc — = F*k Jk (281) 38
a rovnice zachování hmotnosti (rovnice kontinuity pro čtyřvektor toku hmotnosti, podobně jako pro čtyřvektor proudu)
d   ( dxk\
e-n- =o (282)
dxk \ dt
výraz
dxk
Spojením (280) a (283) dostáváme zákon zachování
d
9 Tk = rkJk^ (2g3)
n , ,T'f + TPk = 0. (284) oxk v '
Pro tensor energie-impulsu platí (rovnost právě pro elektromagnetické pole)
T\ > 0. (285)
14   Elektromagnetické vlny 14.1   Vlnová rovnice
Vezmeme nehomogenní Maxwellovy rovnic ve vakuu (p = 0, j = 0) a dosadíme vyjádření pole pomocí potenciálů
dxk      ' y dxi     dxl) '
i7- d2Ak       kl d2A*
9 -:--9 -= 0.
dxi dxk        dxk dxl
Lorenzova kalibrační podmínka (123) nabývá formu čtyřdivergence
dAk
(286)
dxk
a zjednoduší (286) na vlnovu rovnici
d2 A{
0 (287)
Pomocí d'Alembertova operátoru
f w = °- <288)
□ = A-i^ (289)
máme pak ve třírozměrném zápisu 1 dcf)
, V-A = 0,        □</> = 0,        LU = 0. (290) c2 ot
39
Vlnové rovnice, spolu s Lorenzovou kalibrační podmínkou, jsou ekvivalentní Maxwell-ovým rovnicím pro volné elektromagnetické pole. Konsistence kalibračních podmínek s rovnicemi pole se dokáže takto:
1) Zvolíme Lorenzovu kalibraci dkAk = 0 na počáteční nadploše t = 0.
2) Řešíme rovnici D Ak = 0.
3) Protože Ak je řešení vlnové rovnice, platí
jt dkAk = Ä0 + VÄ= AA0 + VÄ=V (VA0 + AJ = -VÉ = 0.
dkAk = 0       a       í dkAk = 0
dt
pro t = 0.
4) Když Ak je řešení vlnové rovnice, pak je dkAk také řešení:
UdkAk = dkUAk = 0.
5) Z toho vyplývá, že dkAk = 0 všude.
14.2   Rovinná monochromatická vlna
Řešení hledáme ve tvaru rovinné vlny, tedy konstantní čtyřvektor násobený komplexním fázovým faktorem
A* = Re{ať exp^r^')},        h k' = 0,        h a' = 0. (291)
Poslední vztah ve (291) je dán Lorenzovou kalibrační podmínkou. Vlnový čtyřvektor zapisujeme jako
k%=^-,kj,        k = ~ň'        n=l. (292)
Velmi jednoduše popíšeme pomocí charakteristik rovinné monochromatické vlny Dop-plerův jev. Mějme zdroj světla, který je v klidu v soustavě Kq. Soustava Kq se pohybuje vzhledem k laboratorní soustavě K rychlostí v. Ať je úhel mezi směrem pohybu zdroje a směrem šíření světla a. Potom platí
L.0 _ V 1.1
L.0      _   ^ C ^ jLO      _ 7,0   _ ^
^(0) - r, u)
"(o) - r,—v£' (o)
„2
c
,i      k1 -^k° uj(0) u
kfo = —i       2 ,   kfo = —^ cosqí(o),   k = — cos a.
(293)
a odtud
r .o
" = "(o) -iv (294) 1 — - cos a
c
Pro rychlosti malé ve srovnání s rychlostí světla máme
v lv
2
uú    cj(o)   1 H— cos a H----        cos 2a   . (295)
c ' 2 c2
40
Tensor energie-impulsu je
i* + Re {(rdi exp (2ikj xj^j}] . (296)
r2 1
Tk = — W k'kk,       W =-
ujz 2/i0
a a-
Ve střední hodnotě podle času je druhý člen ve výrazu pro hustotu energie roven nule. Oba invarianty (237) jsou rovny nule.
Se speciální volbou kalibrace (spojené ovšem s jednou určitou inerciální souřadnou soustavou) máme pro rovinnou vlnu ve směru x
Ä1 = (0, A),   A = ay cos(ut — kx + ot)ey + az sin(c<jr — kx + ot)ez,
E = ujdy sin(c<jr — kx + a)ey — uaz cos(ut — kx + ot)ez, (297)
B = kaz cos(ujt — kx + a)ey + kay sin(c<jr — kx + «)ez.
Eliptická polarizace takové vlny je vidět ze vztahu
E2       E2 B2 B2
y   1     z  - 1 y   '     z  - 1. (298)
cj2a2    uj2a2      ' A;2a2 A;2a2
14.3   Rozklad elektrostatického pole bodového náboje
Potenciál bodového náboje (Coulombův potenciál) vyhovuje rovnici
A<f)(x) = --ô{3\x). (299)
Uvažujme Fourierovu transformaci
/—*        ó3 k í —*
0gexp(žfc ■ x)      ^3,        0g = y 0(^0 exp(—iA; • a?) d3x. (300)
Máme dvě vyjádření pro Fourierovu transformaci působení Laplaceova operátoru
d3A;
A<j)(x) = j -A;20gexp(iA; • ^j—^ (A0)g =
C[ f ~* A/ ^
A0(f) =--exp(ik-x)—— (A0)g =--.
e0 7 (2?r)3 e0
(301)
Porovnáním obou vyjádření dostáváme 14.4   Vlastní kmity pole
^ = 7T2- (302)
Uvažujme objem V uzavřený v hranole o hranách délky A, B, C a kalibraci 0 = 0, v • Ä = 0. Máme
4 = £^exp(ifc-x),        ^-1^ = 0,        Ä_n = Äl, (303)
41
přitom
27™^ 27m,, 2imz
kx =        ,        ky =   g  ,        kz =        , (304)
kde nx, ny, nz jsou celá čísla. Fourierovy složky vyhovují rovnici
+     = °- (305)
Jsou-li rozměry A, B, C zvoleného objemu dostatečně velké, jsou sousední hodnoty kx, ky, kz velmi blízké a můžeme uvažovat o počtu možných stavů v intervalu hodnot vlnového vektoru
ABC Anx = — Akx,        Any = — Aky,        Anz = — Akz, 2n 2n 2n
(306)
a       a     a     a        t r       Aky Akz
An = AnT An,n Anz = V--—^--.
v (27t)3
Pro pole dostaneme s potenciálem (303) E = -— = - exp(ik -x),        B = V x A =       k x Aj: exp(ik ■ x). (307)
k k
Celková energie pole je
(308)
Jednoduchou úpravou (využití kalibrační podmínky) přepíšeme výraz (308) na
í=^EÍ^-^+^-V4).       "»=c\l\. (309)
V rozkladu potenciálu (303) je časová závislost obsažená v Ag. Vhodnější pro interpretaci je explicitní zápis časového chováni pro každé k
Ä =      j^ag exp (i (k ■ x — ujkt)) + gi exp (—i (k ■ x — ujkt)) . (310)
k
Porovnáním (310) a (303) dostáváme
= agexp(-iwfcr) + a*g exp(iukt). (311) Dosazení (311) do (309) umožňuje teď napsat energii pole jako
£ = % = 2^o^ara|. (312)
k
42
Obdobně dostaneme pro impuls
* = J-/(šxS)dr = X;íf. (313)
Nakonec zavedeme kanonické proměnné
Qk = V<k)V (a^exp(-iu:kt) + aZ exp(iujkt)^ ,
= -iuj^^/ěoV (a% exp(-iujkt) - aZ exp(iujkt)^j
dQk
(314)
V těchto proměnných máme energii vyjádřenou jako energii souboru harmonických oscilátorů
£ = E% % = \{pš + «>IqD- (315)
k
15   Rozptyl záření volnými náboji 15.1   Thomsonův vzorec
Zavedeme pojem účinného průřezu. Ať dl značí intenzitu záření, tj. střední hodnotu energie vyzařované soustavou za jednotku času do elementu prostorového úhlu díl a S je střední hodnota Poyntingova vektoru (střední hodnota toku energie) dopadajícího záření. Potom je diferenciální účinný průřez (účinný průřez rozptylu do elementu prostorového úhlu díl) veličina rozměru elementu plochy
dl , .
da = (316)
Uvažujme teď rozptyl elektromagnetické vlny jedním jednotkovým volným nábojem. Budeme předpokládat, že rychlost získaná nábojem bude malá a že vlnová délka je mnohem větší než amplituda vyvolaných kmitů náboje okolo původní polohy (kam umístíme počátek souřadnic), tedy můžeme psát
m——r = eĚo cos (k ■ x — ut + a) « cĚq cosíut — a). (317) dtz v '
Pro intenzitu dipólového záření kmitajícího náboje máme podle (153) ve směru ň
4 4
dl = _ 26   2 AĚQ x n|2cos2(^t - a) díl = qo   6        E2 sm2tidQ (318) a pro střední hodnotu Poyntingova vektoru dopadající vlny
S = ce0 E0 cos2(cjr — a) = — ce0 E0, (319)
takže pro diferenciální účinný průřez je
-,2
2
do- = I---t I sin2?? díl (320)
\4ne0mc2 '
43
Celkový účinný průřez je pak dán Thomsonovým vzorcem
2       \ 2
3 \4ne0mc2j      3 e'
(7 = ^f^_7|   =-nr2e, (321)
kde re je klasický poloměr elektronu.
15.2   Modifikace Thomsonova vzorce
Uvažujme nyní nikoliv volný náboj, ale tlumený oscilátor, tedy
d2x dx
dť2     1 dt      u m Pro dipólový moment p = ex odsud dostáváme
+ 7——h uj0 x = — Eq COS Uút. (322)
e2 (uúq — co2) cos uot + 7cj sin ut m       (cJq — u2)2 + 72cj2
p = ——7^—..^ , ..9...9.— Lo- yS2S)
Celkový účinný průřez je v tomto případě
Š7T    0 oj4
o = —K —2- . (324)
3     (cjg - co2)2 + 72w2
16   Index lomu
Definujeme polarizovatelnost ol(uj) jako konstantu úměrnosti ve vztahu mezi (lokálním) elektrickým polem E\oc a dipólovým momentem p. Vyjdeme z komplexního zápisu (322)
d. 30      d.iř/      o_.     g   *        c   *       ,       , , ,
17b~ + ^37 + ^0 x = — ^loc = —E0 exp(-iut). (325) dŕ^       dt m m
Potom
e2 1
p = e0 a(w) E'ioc, a(w) =--5-:--. (326)
e0m cjg — i^u) — uz
Polarizace je pak p = N p. Musíme ovšem uvážit, jaké pole působí na náboj. Připomeňme z elektrostatiky, že je-li v dielektriku s homogenním polem dutina, je lokální pole rovno
Ěloc = Ě,       Ěloc = Ě + -p,       Ěloc = Ě + ^-p, (327)
eo 3e0
podle toho, jde-li o štěrbinu podél nebo napříč pole nebo o kulovou dutinu. (V případě štěrbiny napříč pole máme E\oc = ^D.) Pro úplnost poznamenejme, že pro magnetické pole máme v podobné situaci
Bloc = B-M,        Bloc = B,        Bloc = B-^M. (325
44
Pro dielektrika uvažujeme o vázaných nábojích uvnitř kulové dutiny, můžeme tedy psát
P = e0 NaĚloc = eoNa(Ě+^-py (329)
tak že
Na
Index lomu dostaneme z relace
e0E e0E (za velmi častého předpokladu h(uj) = po):
Na
•> D P / \
n2 = er = — = ! + — (331)
"2 = 1 + T^ps- (332)
Obvyklá forma tohoto vztahu je (Clausius - Mosotti)
n2 - 1
3 -— = Na. (333) nz + 2
Ve vodiči uvažujeme o téměř volných elektronech (nevázaných k atomu, tedy cjn = 0) a dále máme pro konstantu 7 (ze dvou různých vyjádření proudu a zápisu změny impulsu za dobu mezi srážkami)
Ne2
j = aE,        j = NeVd,        mvďy = eE   =>•   7 =-. (334)
m a
(vd je zprůměrovaná rychlost elektronů - drift.) Také lokální pole je rovno vnějšímu, opět díky neustálému pohybu téměř volných elektronů. Odtud máme pro index lomu
úl „Ne2
= 1 " -ATT^-^^        < = —■ (335) ujp je tzv. plasmová frekvence.
oj2 + íuj uň a ' p     m en
p   O" J
V plasmatu je 7 zanedbatelné, t. zn. e0/a —► 0, a kvadrát indexu lomu je
uj2
n2 = 1 - (336)
Když > cjp, je n reálné a plasma propustí e.m. vlny, když uj < ujp, je n imaginárni, což znamená, že plasma odrazuje vlny. Krátké a dlouhé radiové vlny se odrazují od ionosféry a vrátí se k zemi, ultrakrátké propagují do prostoru. Kovy jsou průhledné pro ultrafialové světlo. Při vstupu vesmírních lodí do atmosféry se zahřívá vyduch, tím se zvyšuje počet iontů, t. j. plasmová frekvence v okolí, a komunikace je přechodně přerušena.
45