F8370 Moderní metody modelování ve fyzice jaro 2021
D. Hemzal, F. Múnz hemzal@physics.muni.cz
Numerický výpočet derivace
Taylorův rozvoj spojité funkce y{x) v okolí bodu x = a můžeme zapsat jako
y(x) = y(a) + y'(a)(x - a) + -y"(a)(x - a)2 + . . . JJT^^ ~ *f+\ (1)
zde se zbytkem v Lagrangeově tvaru, kde £ leží mezi x & a. Význam zbytku spočívá v tom, že s jeho využitím je rozvoj funkce neaproximativní. Není sice jasné, jak konkrétně zvolit hodnotu £, ale i tak můžeme zbytek prostřednictvím jeho majorizace dobře použít k odhadu přesnosti rozvoje.
Diskretizace
Diskretizované hodnoty nezávislé proměnné x označíme x[n]. V těchto uzlových bodech evakuujeme závislou proměnnou y, označíme přirozeně y(x[n]) = y[n]. V rámci (ekvidistantní) diskretizace zvolme x[n+l] — x[n] = e > 0.
Předpokládejme v dalším speciálně rozvoje jen v uzlových bodech, například
y(x[n] + e) = y(x[n}) + y'(x[n])e + ^y"(x[n])e2 + ...,
neboli, s využitím zavedeného značení,
y[n+l] = y[n] + y'[n]e + ^y"[n]e2 + ... (2)
Po shrnutí členů s druhou a vyšší derivacemi y do 0(e2) oc e2 můžeme napsat
y'[n] = y[n+1]-y[n]+0(s). (3)
Tomuto vzorci se říká jednobodová dopředná první derivace, podle počtu a typu bodů, které jsou ve vzorci zahrnuty kromě bodu výchozího; chyba této formule je řádu e. Stejně tak jsme ovšem mohli napsat
y(x[n] - e) = y[n] - y'[n}e + ^y"[n}£2 + ... (4)
a byli bychom dostali
y[n] -y[n-l]
y[n\ =----hO(e), (5)
jednobodovou zpětnou první derivaci. Podotkněme, že numerické hodnoty dopředně a zpětné derivace se obecně liší (a to v řádu chyby 0{e)) i pro spojitou výchozí funkci.
Chybu můžeme zmenšit, když použijeme oba rozvoje současně: přidáním druhé rovnice jsme získali jeden stupeň volnosti navíc a ze soustavy (2), (4) tak můžeme eliminovat člen s druhou derivací,
y'[n] = y[n+1]-£y[n-1]+0(e2); (6)
tomuto vzorci se říká dvoubodová centrální první derivace. Jak je vidět z tvaru zbytku, pokud bude e malé, skutečně došlo oproti jednobodovým formulím ke zlepšení přesnosti.
1
Obdobným způsobem se hledají n-bodové k-té derivace. Například dvoubodová centrální druhá derivace se hledá opět ze soustavy (2), (4), tentokrát vyloučíme člen s první derivací a dostáváme
y"[n] = yi^]-Mn]+y[n-l] + (?)
Centrální vzorec nemusí být možné použít u hraničních bodů intervalu, na kterém máme funkci vyjádřenu. Jedna varianta je vrátit se zpět k příslušně orientované derivaci jednobodové, ale (z hlediska chyby) je lepší v takovém případě - například u levé hranice - vypomoci si rozvojem
y[n+2] = y[n] + y'[n]2s + \y"[n\le2 + 0(s3) (8) a ze soustavy (2), (8) opět vyloučit druhou derivaci; obdržíme
yi[n] = -Mn]+Mn+l]-y[n+2] + ^ (g)
Tento vzorec se nazývá dvoubodová dopředná první derivace.
2