Masarykova univerzita Zuzana Došlá Matematika pro chemiky 2. díl Brno 2011 Recenzent: doc. RNDr. Josef Kalas, CSc. ©2011 Zuzana Došlá ©2011 Masarykova univerzita ISBN 978-80-210-5432-5 Předmluva Předmětem těchto skript jsou diferenciální rovnice, diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných, základy vektorové analýzy, křivkový a plošný integrál. Tyto partie patří do matematické analýzy a navazují na první díl skript obsahující diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné. Podobně jako je tomu u prvního dílu, i tento díl je koncipována tak, aby byl srozumitelný širokému okruhu čtenářů. Pochopení jednotlivých matematických pojmů a algoritmů je ilustrováno na velkém počtu řešených příkladů a cvičeních uvedených spolu s výsledky na konci každé kapitoly. Použití matematiky pro chemiky jsme ukázali v prvním díle na jednoduchých chemických úlohách, v tomto druhém díle jej budeme ilustrovat zejména prostřednictvím fyzikálních úloh. Primárně jsou tato skripta určena pro studenty chemie a biochemie. Věřím, že skripta budou užitečná i pro studenty jiných přírodovědných a technických oborů. Stejně jako první díl, i tento druhý díl skript vznikl za velké pomoci Mgr. Petra Lišky, který se výrazně podílel na tvorbě příkladů, sazbě v systému KTfrjX a vytvořil všechny obrázky, a kterému bych chtěla touto cestou upřímně poděkovat za spolupráci a podnětné připomínky při psaní skript. Dále bych chtěla poděkovat recenzentovi doc. RNDr. J. Kalasovi, CSc. a kolegovi RNDr. Janu Vondrovi, PhD. za pečlivé přečtení textu a cenné připomínky a Mgr. Kamilu Babulovi za kontrolu výsledků všech cvičení. Brno, únor 2011 Zuzana Došlá iii Obsah Předmluva iii 1 Diferenciální rovnice prvního řádu 1 1.1 Co jsou diferenciální rovnice............................ 1 1.2 Rovnice se separovanými proměnnými....................... 5 1.3 Lineární diferenciální rovnice............................ 7 1.4 Aplikace diferenciálních rovnic prvního řádu................... 13 1.5 Numerické řešení počáteční úlohy......................... 21 Cvičení .......................................... 22 2 Diferenciální rovnice druhého řádu 25 2.1 Počáteční úloha................................... 25 2.2 Homogenní rovnice................................. 26 2.3 Nehomogenní rovnice................................ 30 2.4 Okrajová úloha................................... 36 Cvičení .......................................... 38 3 Funkce více proměnných 40 3.1 Definiční obor funkce a graf funkce........................ 40 3.2 Limita funkce.................................... 42 3.3 Spojitost funkce................................... 45 Cvičení .......................................... 47 4 Parciální derivace 49 4.1 Parciální derivace l.řádu.............................. 49 4.2 Směrové derivace.................................. 52 4.3 Derivace vyšších řádů................................ 53 4.4 Diferenciál funkce.................................. 54 4.5 Kmenová funkce .................................. 56 Cvičení .......................................... 59 5 Extrémy funkcí více proměnných 62 5.1 Lokální extrémy................................... 62 5.2 Absolutní extrémy ................................. 65 Cvičení .......................................... 69 v 6 Dvojný integrál 71 6.1 Co je dvojný integrál................................ 71 6.2 Fubiniova věta, pro dvojný integrál ........................ 72 6.3 Polární souřadnice ................................. 76 6.4 Transformace dvojného integrálu ......................... 77 6.5 Aplikace dvojného integrálu............................ 80 Cvičení .......................................... 83 7 Trojný integrál 84 7.1 Fubiniova věta pro trojný integrál......................... 84 7.2 Válcové souřadnice................................. 87 7.3 Transformace trojného integrálu.......................... 88 7.4 Aplikace trojného integrálu............................. 92 Cvičení .......................................... 93 8 Diferenciální operátory matematické fyziky 95 8.1 Vektorové funkce.................................. 95 8.2 Gradient funkce................................... 97 8.3 Divergence vektorového pole............................ 98 8.4 Rotace vektorového pole.............................. 99 Cvičení .......................................... 101 9 Křivkový integrál 103 9.1 Parametrické rovnice křivek............................ 103 9.2 Křivkový integrál prvního druhu.......................... 105 9.3 Křivkový integrál druhého druhu ......................... 107 9.4 Nezávislost integrálu na integrační cestě ..................... 109 9.5 Greenova věta.................................... 112 Cvičení .......................................... 113 10 Plošný integrál 115 10.1 Plochy v prostoru.................................. 115 10.2 Plošný integrál prvního druhu........................... 116 10.3 Plošný integrál druhého druhu........................... 117 10.4 Gauss-Ostrogradského věta ............................ 121 Cvičení .......................................... 122 vi 1 Kapitola 1 Diferenciální rovnice prvního řádu Diferenciální rovnice hrají důležitou roli ve všech přírodních vědách a v technice. Popisují např. průběh chemických reakcí, růst mikroorganismů, pohyb raket. Aplikace diferenciálních rovnic najdeme také v ekonomii a společenských vědách. Velmi často zde vystupuje jako nezávisle proměnná čas. Obsahem této a další kapitoly je ukázat, jak se řeší nej důležitější diferenciální rovnice. V chemii se nejčastěji setkáme s diferenciálními rovnicemi 1. řádu, konkrétně s dvěma typy těchto rovnic, rovnicemi se separovanými proměnnými a lineárními rovnicemi. Důležitým typem rovnic jsou také diferenciální rovnice 2. řádu, s kterými se zase nejčastěji setkáváme ve fyzice. 1.1 Co jsou diferenciální rovnice Diferenciální rovnice je rovnice, v které roli neznámé hraje funkce a která zároveň obsahuje derivace hledané funkce. Například rovnice a) y' = y, b) y" + y = 0 jsou diferenciální rovnice. Řešit diferenciální rovnici znamená nalézt všechny funkce, které jsou definované na nějakém intervalu I a vyhovují dané rovnici. Takovou funkci nazýváme řešením diferenciální rovnice. Řešením první rovnice je funkce y = ex, protože (ex)' = ex. Snadno ověříme, že řešením jsou všechny funkce tvaru y = Cex, kde C je libovolná konstanta. Řešením druhé rovnice je například funkce y = sin x, protože (sinrr)" + sin x = 0 pro všechna x. Řešením této rovnice je také ovšem funkce y = cos x a opět lze ověřit, že všechny funkce tvaru y = C\ sinx + C2 cos x, kde Ci, C2 jsou libovolné konstanty, splňují tuto rovnici, tj. jsou jejími řešeními. Řádem diferenciální rovnice rozumíme řád nejvyšší derivace, která se v rovnici vyskytuje. Tak například předchozí rovnice byly prvního a druhého řádu. Obecné řešení diferenciální rovnice prvního řádu je funkce závisející na jednom parametru C taková, že speciální volbou C lze získat každé řešení této rovnice. Partikulární řešení je jedno konkrétní řešení získané z obecného řešení volbou konstanty C. 2 Diferenciální rovnice prvního řádu Průběh nějakého skutečného jevu je popsán jediným řešením. Z množiny všech řešení určíme toto řešení zadáním počáteční podmínky. Úloha najít řešení diferenciální rovnice splňující danou počáteční podmínku se nazývá počáteční úloha (někdy také Cauchyova počáteční úloha). V praktických aplikacích hraje často roli nezávislé proměnné x čas. Je proto přirozené hledat řešení diferenciálních rovnic pro x > 0. Například, počáteční úloha y' = -y, y(0) = 100 má řešení y = 100e~x. U rovnic druhého řádu je pro jednoznačnost řešení nutné zadat dvě počáteční podmínky. Například, počáteční úloha y" + y = 0, 2/(0) = 0, y'(0) = l má řešení y = sin x. V mnoha případech není možné najít explicitní vyjádření hledané funkce. Naštěstí v případě, kdy je daná rovnice tvaru y' = f(x,y), můžeme získat nějaké informace o hledaném řešení díky geometrické interpretaci dané rovnice. Geometrická interpretace Diferenciální rovnice y' = f(x, y) přiřazuje bodu [x, y] v rovině právě jednu hodnotu y'(x), neboli hodnotu derivace hledané funkce. Tuto hodnotu můžeme chápat jako směrnici přímky procházející bodem [x,y]. Tuto přímku obvykle znázorňujeme jako krátkou úsečkou se středem v daném bodě [x,y] a směrnicí y'{x). Tato úsečka se nazývá lineární element. Množinu všech lineárních elementů diferenciální rovnice nazýváme smčrové pole. Graf každého řešení f{x) dané diferenciální rovnice, tzv. integrální křivka, má zřejmě tu vlastnost, že tečna v každém jeho bodě [x, f{x)\ obsahuje příslušný lineární element. Směrové pole nám tak pomáhá zobrazit tvar hledaných integrálních křivek tím, že ukazuje směr, v kterém křivka prochází každým bodem. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ N \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ^~ \ \ \ ^ \ \ \ \ _// / __^ / (a) Směrové pole rovnice y' = x + y a řešení splňující podmínku y(0) = 1 1 2 3 4 5 (b) Směrové pole rovnice y' pro různé počáteční podmínky Na následujících příkladech si ukážeme, jak můžeme ověřit, zda-li je nějaká funkce řešením diferenciální rovnice, případně počáteční úlohy. 1.1 Co jsou diferenciální rovnice 3 Příklad 1.1. Ukažte, že funkce y = x — ^ je řešením rovnice xy' + y = 2x. Řešeni. Nejprve určíme derivaci zadané funkce: y'=(x--) =1 + ^-\ x J xz Dosadíme-li do levé strany dané rovnice za y a y', dostaneme / 1 \ 1 1 1 rry + y = x [ 1 -\—- ] + x--= x -\---h x--= 2x. tX/ / tX/ tXj tXj Výraz na levé straně se rovná výrazu na pravé straně, funkce y = x — ^ je proto řešením dané rovnice. Á Příklad 1.2. Ověřte, že funkce y = sin x cos x — cos x je řešením počáteční úlohy y' + ytg x = cos2 x y(0) = — 1. Řešeni. Podobně jako v předchozím příkladě vypočteme í/ = cos x cos x — sin x sin x + sin x = cos2 x — sin2 x + sin x a dosadíme do levé strany rovnice za y a y' y' + ytgx = cos2 x — sin2 x + sin x + tgx(sinxcosx — cosrr) = Q Q Slil lÍ/ , , = cos x — sin x + s'mx-\--(sin x cos x — cos x) = cos x = cos2 x — sin2 x + sin x + sin2 x — sin x = cos2 rr. Daná funkce je tak řešením zadané rovnice a zbývá ověřit, že pro ni platí i počáteční podmínka: y(0) = sin 0 cos 0 — cosO = 0 — 1 = — 1. Dohromady je tedy funkce y = sin x cos x — cos x řešením dané počáteční úlohy. A Příklad 1.3. Ověřte, že každá funkce tvaru y = Ce^, C ER je řešením rovnice y' = xy a najděte takové řešení této rovnice, které splňuje počáteční podmínku y(0) = 5. 4 Diferenciální rovnice prvního řádu Řešeni. Nejprve spočtěme y' s přihlédnutím k tomu, že C je konstanta y' = Ce 2 ( — j = Cre 2 . Dosaďme za y do pravé strany rovnice rry = Cre 2 a vidíme, že opravdu každá funkce daného tvaru je řešením rovnice. Má-li funkce splnit počáteční úlohu y(0) = 5, musí platit Ce° = 5 a tedy C = 5. Řešením počáteční úlohy je tak funkce y = 5e 2 . A Řešení nej jednodušších diferenciálních rovnic vede na úlohu nalezení primitivní funkce. Příklad 1.4. Najděte řešení diferenciální rovnice: a) y' = x3, b) y'" = x. Řešeni, a) Hledaná funkce, která bude řešením rovnice, je vlastně primitivní funkce k funkci na pravé straně, proto platí ľ x4 y = / x3 dx = — + C. 4 Řešením dané rovnice jsou tak všechny funkce tvaru y = ^- + C, kde C G IR. b) Danou rovnici můžeme řešit opakováním předchozího postupu. Postupně dostáváme f x2 y" = / xdx = — + Ci, y' = / (Y + Cl) dx = T + + C2' S \ 4 2 — + C1x + C2) dx = — + C1— + C2x + C3. o y 24 z Řešením této rovnice jsou všechny funkce, které dostaneme z předpisu y = ^ + Ciy- + C2X + C3 volbou konstant Ci, C2 a C3. A V následujících částech ukážeme, jak se řeší dva typy diferenciálních rovnic prvního řádu: Rovnice se separovanými proměnnými a lineární rovnice. Přesto, že se jedná o jedny z nejjed-nodušších typů rovnic, mají, jak ukážeme na závěr této kapitoly, mnoho praktických aplikací. 1.2 Rovnice se separovanými proměnnými 5 1.2 Rovnice se separovanými proměnnými Jde o rovnici tvaru y' = f(x)g(y), (1.1) kde f a g jsou spojité funkce. Dosadíme y' = ^ a dostaneme 7^ = f{x)g{y). dx Nejprve si všimněme, že konstantní funkce určené rovnicí g{y) = 0 jsou řešením rovnice (1.1). Za předpokladu g{y) ^ 0 separujeme proměnné (tj. na jedné straně rovnice máme výraz pouze proměnné y a, na, druhé výraz pouze proměnné x) ^ f(x) dx g(y) a tuto rovnost zintegrujeme dy ' f(x)dx. (1.2) g(y) Nezapomeňme, že primitivní funkce se liší o konstantu, čímž dostaneme množinu řešení rovnice (1.1)! Máme-li zadanou počáteční podmínku, určíme tuto konstantu z počáteční podmínky. Poznamenejme, že ne vždy se nám podaří z (1.2) vyjádřit explicitní tvar řešení y = y (x). Příklad 1.5. Řešte diferenciální rovnice a) y' = 2xy, b) y' = -(Ay-l). x Řešení, a) Rovnici přepíšeme do tvaru dy_ dx 2xy, a odtud za předpokladu, že y ^ 0 dy 2x dx. y Všimněme si přitom, že funkce y = 0 je řešením původní rovnice. Integrací dostáváme ln \y\ = x2 + K. Pomocí pravidel pro počítání s logaritmy můžeme tento výsledek upravit ln \y\ = x2 + K = ln + ln eK = ln ex2eK a po odlogaritmování II T2 K \y\ = ex eK 6 Diferenciální rovnice prvního řádu a odtud y = ±ď\K. Označíme-li C = ±eK, kde C je kladné nebo záporné číslo, dostaneme obecné řešení tvaru y = Cď\ CeR. Poznamenejme, že pro C = 0 je v tomto vztahu zahrnuto i řešení y = 0. b) Nejprve vyšetřeme případ 4y — 1 = 0. Vidíme, že funkce y = | je řešením naší rovnice. Za předpokladu y ý \ dostáváme dy f dx Ay — 1 J x a po integraci 1 — In \ Ay — 11 = ln |rr| + ln K, kde K je kladná konstanta. Odsud užitím pravidel pro počítání s logaritmy ln|%- 1| = lnifV. Nahradíme-li po odlogaritmování kladnou konstantu K4 libovolnou konstantou C, můžeme odstranit absolutní hodnoty a dostaneme Ay - 1 = Cx4, a odtud 1 1 y = ±Cx4 + -. y 4 4 Tento vztah zahrnuje i řešení y = \. 4- A Příklad 1.6. Řešte počáteční úlohu a) x + yy' = 0, y(0) = 2, b) (rr + 1) dy — xy dx = 0, y(0) = 1. Řešeni, a) Rovnici můžeme přepsat do tvaru dy x + í/— = 0, dx separujeme proměnné a integrujeme /,d»=-/xdI. Dostáváme 2 2 Aby byla splněna počáteční podmínka y(0) = 2, musí platit 22 O2 „ Odtud C = 2 a řešení rovnice dostáváme ve tvaru x2 + y2 = 4, graf řešení je část kružnice y = V4 - x2, a: G [-2,2]. 1.3 Lineární diferenciální rovnice 7 b) Separujeme proměnné a za předpokladu y ^ 0 máme dy x dx y x + 1 Funkce na pravé straně je neryze lomená funkce. Dělením ji převedeme na polynom a ryze lomenou racionální funkci a integrujeme dV i , 1 - i j dx. y 7 V x + 1 Dostáváme tak ln \y\ = x — ln \x + 1| + C. Označme C = \nK, vzhledem k tomu, že platí x = \nex , dostaneme ln \y\ = lnex - ln \x + 1| + InK, K > 0 a užitím pravidel pro počítání s logaritmy lil i Kď ln = ln x + l\ Nyní můžeme odlogaritmovat a uvážíme-li novou konstantu Ä"* G IR, můžeme vynechat absolutní hodnoty, dostaneme tak řešení dané rovnice ve tvaru K*ex x + 1 Toto řešení obsahuje i řešení y = 0. Aby byla splněna počáteční podmínka musí platit . i^e0 0 + 1 Řešením počáteční úlohy je funkce y = K* = 1. 1.3 Lineární diferenciální rovnice Jde o rovnici tvaru y' + p(x)y = f(x), (1.3) kde paf jsou spojité funkce. Je-li f(x) = 0, nazývá se rovnice (1.3) homogenní. V opačném případě, tj. /(rr) ^ 0, se nazývá nehomogenní. Předepíšeme-li počáteční podmínku, pak má lineární rovnice (1.3) právě jedno řešení a to existuje na celém intervalu, kde jsou funkce p, f spojité. > Homogenní rovnice. Uvažujme rovnici y'+p(x)y = 0. (1.4) 8 Diferenciální rovnice prvního řádu Tato rovnice má vždy tzv. triviální řešení y = 0. Jde o rovnici se separovanými proměnnými a její obecné řešení najdeme tak, že separujeme proměnné a integrujeme — = — í p(x) dx. y J Odtud ln \y\ = — Jp{x) dx + k. Po odlogaritmování dostaneme |^| _ e- fp(x)dx+K _ e-fp(x)dxeK _ (je-fp(x)dx^ ((J = eK > 0). Odstraníme-li absolutní hodnotu a uvážíme-li také triviální řešení y = 0, dostaneme obecné řešení homogenní rovnice y = Ce~fp(-X^dx, (C je libovolná konstanta). Odtud je vidět, že netriviální řešení je buď kladné nebo záporné, nikdy neprotne osu x. > Nehomogenní rovnice. Pro řešení rovnice (1.3) použijeme následující větu: Věta 1.7. Nechť y0(x) je obecné řešení homogenní rovnice (1.4), tj. a yp(x) je partikulární řešení nehomogenní rovnice (1.3). Pak obecné řešení této nehomogenní rovnice je y(x) = y0(x) +yP(x). Vidíme, že obecné řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice je složeno z obecného řešení příslušné homogenní rovnice a nějakého partikulárního řešení nehomogenní rovnice. Jelikož homogenní rovnici řešit umíme, zbývá tedy vyřešit úlohu, jak nalézt partikulární (tj. jedno konkrétní) řešení nehomogenní rovnice. Použijeme tzv. metoáu variace konstanty. Vyjdeme z řešení homogenní rovnice, nahradíme konstantu C vhodnou funkcí C(x) (odtud název variace konstanty) a hledáme řešení ve tvaru yp(x)=C(x)y0(x)=C(x)e--í^dx. Potřebujeme tedy určit neznámou funkci C(x). Vypočteme y1 (jako derivaci součinu): y'P(x) = C'(x)y0(x) + C(x)y'0(x). Dosadíme yp, y1 do (1.3) za y, y' a dostaneme tak C'(x)y0(x) + C{x)y'Q(x) + p(x)C {x)yQ(x) = f(x). Protože y0 je řešení homogenní rovnice, máme z (1.4) vztah y'Q = —p(x)y0 a dosazením do předchozí rovnice dostaneme C'(x)y0(x) = f(x), 1.3 Lineární diferenciální rovnice 9 odkud plyne C(x) = I ^ß-dx. yo{x) Shrneme-li celý postup, spočívá v těchto krocích: (1) určíme obecné řešení y0 homogenní rovnice (2) určíme partikulární řešení yp nehomogenní rovnice metodou variace konstanty (3) obecné řešení y nehomogenní rovnice je součet řešení z kroků (1) a (2), tj. y = yo + yP-Je-li zadaná počáteční podmínka, určíme konstantu a najdeme jediné řešení počáteční úlohy. Příklad 1.8. Najděte obecné řešení rovnice a) y' = 2y + x, b) y' + 2xy = xe~x2. Řešeni, a) Krok 1: Nejprve vyřešíme homogenní rovnici y' = 2y. Jde o rovnici se separovanými proměnnými a proto — = 2y dx dy 1 2dx. y Odtud \n\y\ = 2x + K a po odlogaritmování a odstranění absolutní hodnoty dostáváme obecné řešení homogenní rovnice yo = Ce2x, C eR. Krok 2: Najdeme partikulární řešení nehomogenní rovnice ve tvaru yp = C(x)e2x. Vypočteme y' = C'(x)e2x + 2C(x)e2x a dosadíme za y a y' do původní rovnice C\x)e2x + 2C(x)e2x = 2C(x)e2x + x a odtud C\x) xe -2x Metodou per partes vypočítáme C(x) = Jxe-2xdx = -X-z-2x - l-e-2x. Partikulární řešení nehomogenní rovnice má proto tvar Vp = C(x)e2x = (-X-e-2x - \e-2^ e2x = -| - \. Krok 3: Obecné řešení nehomogenní rovnice je 10 Diferenciální rovnice prvního řádu b) Postupujeme podobně jako v předchozím příkladě. Krok 1. Nejprve vyřešíme homogenní rovnici y' + 2xy = 0. Opět jde o rovnici se separovanými proměnnými dy 2x dx. y a odtud ln \y\ = -x2 + K a po odlogaritmování a odstranění absolutní hodnoty dostaneme obecné řešení homogenní rovnice yo = Ce-x\ CeR. Krok 2. Partikulární řešení nehomogenní rovnice hledáme ve tvaru yp = C(x)e x . Vypočteme y' = C'(x)e~x — 2xC(x)e~x a dosadíme do rovnice x2 C'(x)e-X -2xC(x)e-x +2xC(x)e-x =xe~x a odtud C'(x) = x a po zintegrování C{x) 2 . Partikulární řešení nehomogenní rovnice má proto tvar yp = C(x)e-x2 = V1'. Krok 3. Obecné řešení nehomogenní rovnice je y = Ce-x2 + -e-x2 = (c + — ) e-x" Příklad 1.9. Řešte počáteční úlohu 2x a) x3y'-2x2y = 4, y{\) = -2, b) y\x2 + 1) + 2xy = ——, y(0) = -1. x2 + 1 Řešeni, a) Rovnici upravme do tvaru , 2 y - -v- Jedná se o lineární rovnici. 3' 1.3 Lineární diferenciální rovnice 11 Krok 1: Řešíme příslušnou homogenní rovnici y x dy f 2 dx y J x Odtud ln \y\ = 2\n\x\ + K = \nx2 + K a odlogaritmováním a odstraněním absolutní hodnoty dostaneme y0 = Cx2, C ER. Krok 2: Partikulární řešení nehomogenní rovnice bude tvaru yp = C{x)x2. Vypočteme y', dosadíme do rovnice a dostaneme 4 C'{x) a po zintegrování C{x) ~- Partikulární řešení je x5 x4' y = Cx2- -2. 2 1 2 1 yp = C(x)x = -—x = - — . Krok 3: Obecné řešení nehomogenní rovnice je 1 x Dosadíme počáteční podmínku a dostáváme -2 = C- 1 a odtud C = — 1. Řešením počáteční úlohy je funkce 2 1 y = -z —r- b) Postupujme obdobně jako v předchozích příkladech. Rovnici upravíme do tvaru 2x 2x y' + -^r—;y x2 + r (x2 + i) 2 ' Jedná se opět lineární rovnici. Krok 1: Vyřešíme příslušnou homogenní rovnici 2x x + 1 Jde o rovnici se separovanými proměnnými, dostáváme tak dy f —2x dx. y J x2 + 1 12 Diferenciální rovnice prvního řádu Odtud ln \y\ = - \n(x2 + 1) + K = \n(x2 + l)"1 + K odlogaritmováním a odstraněním absolutní hodnoty dostaneme y° = CeR- x + 1 Krok 2: Partikulární řešení nehomogenní rovnice bude tvaru yp = ^rpj-- Vypočteme , _ C\x)(x2 + 1) - 2xC(x) Vp ~ (x2 + l)2 ' dosadíme do rovnice a dostaneme 2r a po zintegrování Partikulární řešení je Vp x2 + 1 C(ar) = \n(x2 + 1). C(ar) ln(x2 + 1) (x2 + 1) x2 + 1 Krok 3: Obecné řešení nehomogenní rovnice má tvar C ln(x2 + l) C + ln(x2 + i; y x2 + 1 x2 + 1 x2 + 1 Dosadíme počáteční podmínku a dostáváme _1 = £+0 0 + 1 ' odtud C = —1. Řešením počáteční úlohy je funkce -1 + \n(x2 + 1) y x2 + 1 Poznámka 1.10. Kromě metody variace konstanty můžeme použít i metodu integračního faktoru. Máme-li nehomogenní lineární rovnici tvaru y' + p(x)y = f(x) můžeme ji řešit tak, že obě strany vynásobíme výrazem I{x) = e^p^dx, tzv. integračním faktorem, a poté zintegrujeme. Například pro rovnici y' + 3x2y = 6x2 1.4 Aplikace diferenciálních rovnic prvního řádu 13 je integrační faktor výraz I{x) =ef3x2dx = ď\ 3 Vynásobíme-li obě strany rovnice výrazem ex dostaneme ex3y' + 3x2ex3y = Qx2ex3. Všimněme si, že na levé straně stojí rozepsaná derivace součinu. Rovnici lze proto upravit do tvaru (ex3yy = 6x2exi. Nyní můžeme obě strany zintegrovat ď3y = J 6x2ex3 dx. Integrál na pravé straně vypočteme pomocí substituce t = x3, dx = ^. Dostaneme ď3y = 2ex3 + C a odtud y = 2 + Ce-x3. Ještě poznamenejme, že obě metody jsou ekvivalentní a vedou na výpočet stejných integrálů. 1.4 Aplikace diferenciálních rovnic prvního řádu Příklad 1.11. (Model radioaktivního rozpadu) Uvažme radioaktivní atomy v nějakém izotopu chemického prvku a označme jejich počet v závislosti na čase N(t). Radioaktivita je přirozený nebo uměle navozený samovolný rozpad atomového jádra provázený vysíláním radioaktivního záření. Ernest Rutherford ukázal, že rychlost rozpadu (tedy vlastně změna počtu atomů) je přímo úměrná počtu atomů příslušného prvku. Tento proces můžeme proto popsat diferenciální rovnicí N' = -XN, kde A > 0 je tzv. přeměnová konstanta. Jedná se o rovnici se separovanými proměnnými, kterou můžeme doplnit o počáteční podmínku N(0) = Nq, tj. že v jistém čase, v kterém započalo měření byl počet atomů Nq. Rovnici upravíme dN ~dT -XN N a integrujeme dN — = -Xdt — = / -Adr. N Odtud dostaneme řešení N(t) = Ke-Xt 14 Diferenciální rovnice prvního řádu Aby byla splněna počáteční podmínka musí platit Nq = Ke0 a řešení počáteční úlohy je tak tvaru N(t) = N0e-Xt. Pomocí tohoto výsledku můžeme řešit např. následující úlohu: Poločas rozpadu radioaktivního izotopu uhlíku 14C je 5568 let (tj. počáteční množství se za tuto dobu zmenší na polovinu). Určete, za jak dlouho se počáteční množství sníží o 25 %. Řešení. Dosadíme-li do předchozího vztahu N(t) ^Nq a t = 5568, dostáváme -N0 = A^0e — 5568A a po zlogaritmování ,-5568A ln 2 5565 -In2 = -5568A =>• A Pro hledaný čas t za který se množství sníží o 25 % proto platí: 3 -Nq = N0e 55681 t 5568 ln| ± = 2310 let. 4 ln2 Počáteční množství izotopu uhlíku 14C se sníží o čtvrtinu za 2310 let. Á Příklad 1.12. (Smíchávání) a) Nádrž obsahuje 20 kg soli rozpuštěné v 50001 vody. Solný roztok obsahující 0,03 kg soli na litr přitéká do nádrže rychlostí 25 l/min. Směs v nádrži je rovnoměrně promíchána a vytéká z ní stejnou rychlostí. Jaké množství soli zůstane v nádrži po 30 minutách? 1.4 Aplikace diferenciálních rovnic prvního řádu 15 Řešení. Označme y(ť) množství soli v nádrži po t minutách. Víme, že y(0) = 20 a chceme zjistit y(30). Sestavme proto diferenciální rovnici, kterou bude y(t) splňovat. Zcela jistě pro změnu množství soli platí dy — = (přítok) — (odtok), kde přítokem myslíme množství soli, která se dostane do nádrže a odtokem množství, které z nádrže odejde. Ze zadání úlohy máme (přítok) = (0,03^) (25—) =0,75 kg mm / mm Nádrž stále obsahuje 50001 roztoku, proto koncentrace v čase t je kg/l. Jelikož roztok odtéká rychlostí 25 l/min, dostáváme Máme tak rovnici fodtok) = (*®- Í25 _L\=ĚŘ^. 1 ' V5000 1 / v mnv 200 min' ^ = n 75 _ yM = 150 - dt ' 200 200 což je rovnice se separovanými proměnnými, kterou umíme řešit. Úpravou a integrováním dostáváme dy f dt 150- y J 200 — In 1150 — ž/1 = — + C. 1 y| 200 Protože má být splněna počáteční podmínka y(0) = 20, máme — ln 130 = C a tak ln 1150 -y\ = lnl30 - — 1 y| 200 t ln 1150 — y\ = ln 130 — lne200 a odlogaritmováním dostaneme řešení dané počáteční úlohy ve tvaru y(t) = 150 - 130e-^č. Množství soli v nádrži po 30 minutách je 30 y(30) = 150 - 130e-2ôô = 38,1 kg. A b) Jak se změní řešení úlohy, jestliže bude směs vytékat rychlostí 201 za minutu? 16 Diferenciální rovnice prvního řádu y(kg) 150-- 120-- 200 400 600 800 1000 t(mín) Obrázek 1.1: Graf řešení y(t) = 150 — 130e~25č Řešení. Vyjdeme ze stejné rovnice dy dt kde pro přítok bude výraz stejný (přítok) — (odtok), (přítok) = 0,03 kg 25- mm 0,75 kg mm Nyní není ovšem množství roztoku v nádrži konstantní, nýbrž platí, že nádrž obsahuje v čase t zřejmě 5000 + (25 — 20)í litrů roztoku a proto koncentrace v tomto okamžiku bude y(t) 5000 + 5í Pro odtok tak dostáváme (odtok) = Máme tak rovnici y(t) kg 5000 + 5í 20 mm Ay(t) kg 1000 +t min ? = 0,75-^L, 3,(0) = 20, dŕ 1000 +ŕ' yv ; což je nehomogenní lineární rovnice prvního řádu. Nejprve řešme homogenní rovnici dy Ay dt dy y 1000 +1 4dŕ 1000 +1 a po integraci dostaneme \n\y\ = -41n(1000 + ŕ) + K. Odlogaritmováním a odstraněním absolutní hodnoty dostáváme C yo (1000 +ŕ)4' C e R. 1.4 Aplikace diferenciálních rovnic prvního řádu 17 Partikulární řešení nehomogenní rovnice najdeme ve tvaru m Cit) VÁ) (1000 + ty Pak C"(í)(1000 + í)4 - 4C(í)(1000 + í)3 Vp^ ~ (1000 + č)8 a po dosazení do rovnice dostáváme C'(t) = 0,75(1000 + č)4, odkud C(t) = 0,15(1000 +ŕ)5. Partikulární řešení je proto 0.15(1000+Jf ypW (1000 +ŕ)4 ' V ; a obecné řešení rovnice je *<ť> = (iôô¥TT)i + 0-15(1000 + í>' Dosadíme-li počáteční podmínku y(0) = 20, dostaneme C 20 =-- + 150 10004 a odtud C = -130 • 10004. Množství soli je proto dáno funkcí y(t) = 0,15(1000 + t)-/130-10W44 yw ' v ; (1000 +ŕ)4 a platí 130 • 10004 y 30 = 0,15 • 1030---— « 39 kg. yv > , 103Q4 6 A Příklad 1.13. (Rychlost chemické reakce) Při jednoduché chemické reakci jednotlivé molekuly dvou reaktantů A a B vytvoří molekulu produktu C: A + B —> C. V roce 1864 objevili Cato Maximilian Guldberg a Peter Waage, že rychlost této reakce je přímo úměrná součinu okamžitých koncentrací, neboli 18 Diferenciální rovnice prvního řádu y(kg) n 300-- a) Odvoďte diferenciální rovnici popisující změnu koncentrace vzniklé látky. b) Pomocí této rovnice určete rychlost reakce za předpokladu, že počáteční koncentrace obou látek byla shodná. Řešení, a) Označme x(t), resp. y (t), koncentrace (v molech na litr) v čase t látky A, resp. látky B. Nechť a = x(0) > 0, b = y(0) > 0 jsou počáteční koncentrace obou látek a z(t) značí úbytek obou látek. Vzhledem k tomu, že spolu kombinujeme vždy jednu a jednu molekulu látek A a B a vzniká jedna molekula látky C, platí dz dx dy dt dt dt Přitom pro samotný úbytek z(t) koncentrace látky A, resp. látky B, platí z(t) = a — x(t), resp. z(t) = b — y(t). Ze zadání víme, že ^ = kx(t)y(t) a po dosazení za x(t) a y(t) dostáváme diferenciální rovnici z' = k(z - a)(z - b), z(0) = 0. b) Jedná se o rovnici se separovanými proměnnými a navíc předpokládáme, že a = b. Úpravou a integrováním dostáváme /(^V=/"dí) 1 --= kt + c. z — a Odtud 1 , , 1.4 Aplikace diferenciálních rovnic prvního řádu 19 Z počáteční podmínky dostaneme 1 0 + a 0 + c a Dosazením do (1.5) a úpravou získáme řešení z(t) a2kt akt + 1 Pro rychlost reakce pak dostáváme dz a2k dt (akt+1)2' A Příklad 1.14. (Model růstu populace) Předpokládejme, že rychlost růstu nějaké populace je přímo úměrná její velikosti. To je rozumný předpoklad například pro populace bakterií nebo zvířat v ideálních podmínkách (dostatek potravy, absence predátorů, odolnost vůči nemocem, nelimitované prostředí). Je-li t čas a P je počet jedinců v populaci v čase t, dostaneme pro rychlost růstu populace kde A; je kladná konstanta. Podle tohoto modelu by populace rostla stále rychleji a až do nekonečna. Bylo by tedy jistě rozumné tento model přiblížit realitě například tak, že bychom reflektovali omezené možnosti daného prostředí. Mnoho populací se začne rozrůstat exponenciálně, ale jakmile se počet jedinců přiblíží nosné kapacitě K prostředí (tj. nějaké maximální hodnotě, kterou je dané prostředí schopno uživit) růst se zpomalí, případně velikost populace začne klesat pokud její velikost tuto hodnotu překročí. Pro takovýto model máme tedy tyto předpoklady • ^ « kP pro malá P, tj. ze začátku populace roste přímo úměrně svojí velikosti • < 0, jestliže P > K, tj. velikost populace se zmenšuje, jestliže počet jedinců přesáhne kapacitu prostředí. Oba předpoklady splňuje rovnice která se nazývá logistická diferenciální rovnice. Doplňme tuto rovnici o počáteční podmínku P(0) = Pq a vyřešme ji. (1.6) 20 Diferenciální rovnice prvního řádu Řešeni. Jedná se o rovnici se separovanými proměnnými, upravme ji a integrujme K dP = k dt. P(K - P) Integrál na levé straně rovnice můžeme rozložit na parciální zlomky a dostáváme tak 1 1 ' dP = I k dt Upravíme a odlogaritmujeme P K-P/ ln LPI - ln\K - P\ = kt + C. K-P P -kt-C Označíme-li kladnou konstantu e c = A a budeme předpokládat, že A G IR, můžeme odstranit absolutní hodnotu K-P P Ae -kt Odtud vyjádříme funkci P = P (t) a dostaneme tak obecné řešení rovnice (1.6) K Z počáteční podmínky platí odkud Pit) Pn A 1 + Ae-kt' K 1 + Ae°' K-P0 Pn Obrázek 1.3: Model růstu populace pro různé volby k 1.5 Numerické řešení počáteční úlohy 21 1.5 Numerické řešení počáteční úlohy V mnoha případech nejsme schopni danou diferenciální rovnici přímo vyřešit a musíme se spokojit pouze s přibližným řešením, kterého můžeme dosáhnout pomocí tzv. numerických metod. Nej jednodušší metodou numerického řešení počáteční úlohy je Eulerova metoda. Základní myšlenkou této metody je aproximace řešení lomenou čarou. Uvažujme počáteční úlohu v' = f(x,y), y(x0)=y0. Chceme nalézt přibližné řešení y{x) pro x G [xq, xq+o\. Postupujeme tak, že interval rozdělíme na n podintervalů délky hi. Dostaneme tak dělicí body x\ = Xq + hi, x2 = x\ + h2, • • • , xn = Xn-\ + hn = Xq + a, kde hi + h2 + • • • + hn = a. Vypočteme y'Q = f(x0, y0) a položíme 2/i = 2/o + hy'o = Vo + hf(x0, y0). Podobně určíme y2 = yi + ^2/(^1, ž/i) atd. a dostaneme přibližné řešení y(x) = yi +f(xi,yi)(x - Xi) pro xe[xí,xi+1], (i = 0,1,...,n - 1). Nej jednodušším způsobem dělení intervalu je použití stejně vzdálených dělicích bodů. V tomto případě můžeme Eulerovu metodu popsat následovně: Vi+i =Ví + hf(xi,yi), i = 0,1,2,... ,n. Příklad 1.15. Pomocí Eulerova algoritmu určete přibližné řešení počáteční úlohy y' = x + y, y(0) = l (1.7) s krokem h = 0,1. Porovnejte tento výsledek s přesným řešením. Řešení. Máme dáno h = 0,1, x0 = 0, yo = 1 a f(x,y) = x + y. Podle předchozího postupu tak dostáváme Ž/i=Ž/o + hf(x0, y0) = 1 + 0,1(0 + 1) = 1,1, 2/2 = 2/1 + hf(xuyi) = 1,1 + 0,1(0,1 + 1,1) = 1,22, 2/3 = 2/2 + hf(x2, y2) = 1, 22 + 0,1(0, 2 + 1, 22) = 1, 362. Tedy hodnota řešení v bodě x = 0,3 je 2/(0, 3) ~ 1, 362. Pokračovaním v podobných výpočtech dostaneme další hodnoty: i Ví i Ví 1 0,1 1,100000 6 0,6 1,943122 2 0,2 1,220000 7 0,7 2,197434 3 0,3 1,362000 8 0,8 2,487178 4 0,4 1,528200 9 0,9 2,815895 5 0,5 1,721020 10 1,0 3,187485 22 Diferenciální rovnice prvního řádu Přibližné řešení počáteční úlohy (1.7) na intervalu [0,1] je lomená čára spojující body [xi,yi] z předchozí tabulky. Jelikož se jedná o lineární rovnici, můžeme najít přesné řešení, kterým je funkce y(x) = 2ex — x — 1. Porovnáme-li hodnotu tohoto řešení v bodě x = 1, tj. y(l) = 2e — 2 »2 3,436564 s řešením pomocí Eulerova algoritmu y(l) = 3,187485, dostaneme rozdíl 0,249079. Á Poznámka 1.16. a) Při použití Eulerovy metody se dopouštíme chyby, která je přímo úměrná velikosti dělicího intervalu, nej jednodušší cestou ke zpřesnění je tak zmenšení dělicího intervalu. Vliv velikosti kroku h na řešení předchozího příkladu v x = 1 je vidět v následující tabulce. Velikost h Hodnota y(l) 0,500 2,500000 0,250 2,882813 0,100 3,187485 0,050 3,306595 0,020 3,383176 0,010 3,409628 0,005 3,423034 0,001 3,433848 b) Nelze jednoduše říci, jak velká je chyba, které se dopouštíme při použití Eulerovy metody, snadno však můžeme poznat, zda-li naše přibližné řešení leží pod nebo nad skutečným řešením v okolí uzlového bodu. Dá se ukázat, že v případě, kdy je řešení konvexní (konkávni) v okolí uzlového bodu, pak naše přibližné řešení leží v okolí tohoto bodu pod (nad) skutečným řešením. O tom, zda-li je řešení konvexní nebo konkávni, se můžeme přesvědčit přímo ze zadání. Cvičení 1. Rozhodněte, zdaje funkce řešením dané diferenciální rovnice: a) Ž/=iTč> y' = -y2, b) y = e-t + te-\ y" + 2y' + y = 0, c) y = t^j, y' = xy3, d) y = S§?, y' = \{y2 - l)- Pro rovnice z části c) a d) najděte funkce, které vyhovují počáteční podmínce y(0) = 2. 2. Řešte rovnice se separovanými proměnnými: a) fx=y\ b) 2í,-*y = 0, ,2 c) 1 + y + xyy' = 0, d) y + xy + xy' — xyy' = 0, - fet dí Vy/l+iř' e) xyy' = 1 - x2, f) _ —í£. Cvičení 23 3. Řešte dané počáteční úlohy: a) $-x = 0, 2/(1) = 1, b) fx=y2 + l, 2/(1) = 0, c) xy' + y = y2, y(—1) = |, d) sin y cos rrdy = cos y sinrrdrr, y(0) = ^, e) 2(l + e%ž/' = e*, y(0) = 0, f) ylny + xy' = 0, y(l) = 1. 4. Řešte lineární rovnice: a) y' + 2y = Ax, b) í/ + 3x2y = 6x2, c) y' + 2y = 2ex, d) (1 + x2)y' - 2xy = (1 + x2)2, e) y' + 4x3í/ = rř^e^4, f) y'ex2 + 2xyex2 = cos x. 5. Řešte počáteční úlohu: a) xy' + y — ex = 0, y(l) = 0, b) 2rr?/' + x2 — 6y = 0, y(l) = l, c) í// + í/ = x + e:E, y(0)=0, d) Xy'-^ = x, y(l) = 0. 6. Mějme tzv. monomolekulární reakci prvního řádu. Je to reakce typu A —y X, které se zúčastňují molekuly jedné látky a jejíž rychlost je přímo úměrná množství látky (např. inverze cukru, rozpad kysličníku dusičnatého). Vypočtěte množství vznikající látky v čase t a určete, k jaké hodnotě se blíží pro t —> oo. 7. Je experimentálně dokázáno, že rychlost reakce H2 + Br2 —> 2HBr se řídí rovnicí — = k(a — x)(b — x)2, dt kde x = [HBr], a = [H2] a b = [B^]. Najděte funkci x(t) v případě, že koncentrace obou vstupních látek jsou shodné a víte-li, že x(0) = 0. 8. Roztok glukózy je nitrožilně podáván do krevního oběhu konstantní rychlostí r. Jak je glukóza přidávána, tak se mění na další látky a ubývá v krvi rychlostí, která je úměrná její koncentraci. Proto je model pro koncentraci C = C (t) roztoku glukózy v krevním oběhu popsán diferenciální rovnicí: dt ~r kC> kde A; je nějaká kladná konstanta. Řešením rovnice najděte funkci C(t) víte-li, že C(0) = Cq. 24 Diferenciální rovnice prvního řádu Výsledky: 3+er 3-eÉ 1. a) ano, b) ano, c) ano, y = , 1 , d) ano, y Ví-1' 2. a) y = & y = 0,b)y = Ce~^, c) C = (y2 + l)x2, d) ln +x-y = C, e) y2 = -x2 + 2 ln |rr| + C, f) y2 = ^/9(íe* - e* + C)2 - 1. 3. a) y = x, b) y = tg (x - 1), c) y = y^, d) \/2cosí/ = cos x, e) y2 = \n(ex + 1), f) V = L 4. a) y = Ce~2x + 2x - 1, b) y = Ce^3 + 2, c) y = Ce~2x + §ex, d) y = (C + x)(l + x2), e) y = (ý + c) e-x\ í) y = (sinx + C)e^2. 5. a) y = e3:+1~e, b) y = |(x2 + x3), c) y = x - 1 + \{ex + e-2), d) y = - 1 + ln \x\). 6. Návod: Je-li množství dané látky a a množství vznikající látky x (t) v čase t, dostaneme pro funkci x (t) rovnici: dx — = k(a - x) (k> 0), dt kde A; je rychlostní konstanta a ^| je rychlost vzniku látky. Výsledek: Množství vznikající látky je x = a(l — e~fcí), pro t —y oo je x —y a. 7. x (t) = a fc)e 1 k *• C(t) = (Co - |)e-fcí + f 25 Kapitola 2 Diferenciální rovnice druhého řádu Dalším důležitým typem diferenciálních rovnic jsou lineární diferenciální rovnice druhého řádu y"+py' + qy = f(x), (2.1) kde p,q jsou reálná čísla a f(x) je spojitá funkce. Je-li f(x) = 0 (říkáme, že je identicky rovna nule), nazývá se rovnice (2.1) homogenní. V opačném případě, tj. f(x) ^ 0, se nazývá nehomogenní. S těmito rovnicemi se často setkáváme například při použití druhého Newtonova zákona. Příklad 2.1. Rovnice a) y" = y, b) y" + y = 0, c) y" = 0 jsou diferenciální rovnice druhého řádu. V případě a) je řešením funkce y = ex, ale také funkce y = e~x. Navíc můžeme ověřit, že všechny funkce tvaru y = Ciex + C^e-2kde Ci,C2 jsou libovolné konstanty, jsou řešeními této rovnice. V případě b) je řešením rovnice například funkce y = sin x, protože (sinrr)" + sin x = 0 pro všechna x. Podobně řešením této rovnice je také funkce y = cos x a opět lze ověřit, že všechny funkce tvaru y = C\ sin x + C2 cos x jsou jejími řešeními. V případě c) můžeme rovnici řešit postupnou integrací: Integrací rovnice {y')' = 0 plyne y'{x) = Ci a odtud další integrací dostaneme y{x) = C\x + C2, kde C±, C2 jsou konstanty. 2.1 Počáteční úloha Podobně jako u diferenciálních rovnic prvního řádu potřebujeme v praktických úlohách nalézt řešení diferenciální rovnice pro x > 0, které splňuje dané počáteční podmínky. K tomu, aby měla rovnice (2.1) právě jedno řešení, je třeba předepsat dvě počáteční podmínky y(0)=y0, y'(0)=yi. Příklad 2.2. Řešte počáteční úlohu a) y" = ex, y(0) = 1, ^(0) = 0, b) y" = cosx, y(0) = l, y'(0) = 1. 26 Diferenciální rovnice druhého řádu Řešeni, a) Postupně dostáváme y' = I ex dx = ex + Ci, y = J (ex + Ci) dx = ď + dx + C2. Řešením naší rovnice bez počáteční podmínky jsou všechny funkce, které dostaneme z předpisu y = ex + Cirr + C2 volbou konstant Ci a C2. Hledáme-li řešení, které splňuje počáteční podmínky y(0) = 1, y'(0) = 0, spočteme y' = ex + Ci a dosadíme za proměnné x a y do funkčního předpisu a do předpisu pro první derivaci funkce: 1 = e° + 0-C1 + C2, 0 = e° + C1. Odtud C2 = 0 a Ci = -1 a řešením počáteční úlohy je funkce y = ex — x. b) Postupujeme obdobně jako v předchozím případě y' = J cos x dx = sin x + Ci, y = J (sin x + Ci) dx = — cos x + Cix + C2. Proto řešením rovnice bez počáteční podmínky jsou všechny funkce, které dostaneme z předpisu y = — cos x + Cirr + C2 volbou konstant Ci a C2. Máme-li nalézt řešení počáteční úlohy, tak podobně jako v předchozím případě, dosadíme do funkčního předpisu a do předpisu pro první derivaci: 1 =-cosO + 0-Ci+ C2, I = sin0 + Ci. Odtud dostáváme Ci = 1 a C2 = 2. Řešením počáteční úlohy je funkce y = — cosx + x + 2. 2.2 Homogenní rovnice Uvažujme rovnici (2.1), kde f(x) = 0, tj. rovnici tvaru y" + py' + qy = o, (2.2) kde p, g jsou reálná čísla. > Vlastnosti homogenní rovnice. Jsou-li dvě funkce yi, í/2 řešením rovnice (2.2), pak je také funkce y = Ciyi + C2í/2 řešením této rovnice. Právě pro tuto vlastnost se rovnice (2.1) nazývá lineární diferenciální rovnice. Dvě řešení yi, y2 rovnice (2.2) jsou lineárně nezávislá, jestliže determinant w(x) yi(x) y2{x) y[(x) y'2(x) 2.2 Homogenní rovnice 27 je nenulový, tj. w(x) ý 0- Tento determinant se nazývá wronskián. Dá se ukázat, že wronskián dvou řešení je buď identicky nula nebo je různý od nuly pro všechna x. Je-li p = 0, pak w(x) je konstanta. Jsou-li funkce y±, y2 lineárně nezávislá řešení rovnice (2.2), pak libovolné řešení této rovnice dostaneme lineární kombinací těchto řešení, tj. y(x) = Ciyi(x) + C2y2(x), d,C2 E R. Toto řešení nazýváme obecné řešení rovnice (2.2). Příklad 2.3. Ověřte, že následující funkce jsou lineárně nezávislé a e a e b) cos x a sinrr. Řešení, a) Vypočteme wronskián těchto funkcí. Dostaneme w(x) - -2 ý O- V úvodu jsme ukázali, že funkce y\ = ex a y2 = e~x jsou řešeními rovnice y" — y = 0. Protože jejich wronskián je různý od nuly, jsou tato řešení dokonce lineárně nezávislá řešení této rovnice a tvoří tak její obecné řešení tvaru y = C\ex + C2<ěTx. b) Wronskián těchto funkcí je w(x) cosrr smi -sinrr cos x cos2 x + sin2 i = l/0. Jelikož je wronskián různý od nuly, jedná se o lineárně nezávislé funkce. O Nalezení řešení homogenní rovnice. Řešení rovnice (2.2) hledáme ve tvaru y = eXx, kde A je vhodné číslo. Vypočteme y' = \eXx, y" = \2eXx a dosadíme do rovnice (2.2) Protože eXx ^ 0, musí A splňovat rovnici \2eXx + p\eXx + qeXx = 0. A2 + p\ + q = 0. (2.3) Tato kvadratická rovnice se nazývá charakteristická rovnice diferenciální rovnice (2.2). Mohou nastat tyto případy: (1) Kvadratická rovnice má dva reálné různé kořeny Ai, A2. Pak řešením homogenní rovnice jsou funkce Ví = eXlX, y2 = e X2x 28 Diferenciální rovnice druhého řádu a obecné řešení je y = CieXlX + C2eX2X. (2.4) (2) Kvadratická rovnice má jeden dvojnásobný kořen A. Pak řešením homogenní rovnice jsou funkce Ví = eXx, y2 = xeXx a obecné řešení je y = deXx + C2xeXx. (2.5) (3) Kvadratická rovnice má dva komplexné sdružené kořeny \lj2 = oi ± i/3. Pak řešením homogenní rovnice je například funkce y = e(a+ii3)x = eOLXeiPx která je komplexní funkcí. Použijeme-li Eulerův vztah e%l3x = cos /3x + i sin /3x, dostaneme řešení homogenní rovnice ve tvaru y = eax(cos f3x + i sin f3x) = eax cos f3x + ieax sin f3x. Lze ukázat, že tato funkce je řešením homogenní rovnice (2.2) právě tehdy, když je řešením této rovnice reálná a imaginární část této funkce. Proto řešením homogenní rovnice jsou funkce yi = eax cos j3x, y2 = eax sin fix. Obecné řešení pak je y = deax cos /3x + C2eax sin /3x. (2.6) Všimněme si, že stejný výsledek dostaneme i pro druhý kořen X2 = a — i/3. Příklad 2.4. Řešte následující homogenní rovnice a) y" + y' - 6y = 0 b) y" - y' = 0 c) y" + 2^ + 1 = 0 d) y" - Ay' + 85y = 0 Řešení, a) Napíšeme charakteristickou rovnici A2 + A - 6 = 0. Její kořeny jsou _ -1 ± VI + 24 _ -1 ±5 Ai,2 —---— —-—, tj. Ai — 2, A2 — —3. Oba kořeny jsou reálné a jednoduché, každému proto přísluší jedno řešení a obecné řešení je pak yi = e2x, y2 = e 3x y = Cie2x + C2e-3x. Zvolíme-li Ci = C2 = 1, dostaneme řešení y = e2x + e~3x, které je znázorněno na obrázku 2.1. 2.2 Homogenní rovnice 29 -2 -1 O 1 2 x Obrázek 2.1: Řešení rovnice y" + y' — 6 = 0 s volbou C\ = C2 = 1 b) Charakteristická rovnice je A2 - A = 0 A(A - 1) = 0. Její kořeny jsou Ai = 0 a A2 = 1. Oba jsou jednoduché a reálné, řešením jsou funkce Vi = ete = 1 y2 = ex a obecné řešení rovnice je tak tvaru y = C1 + C2ď. c) Charakteristická rovnice je A2 + 2A + 1 = 0 (A + 1)2 = 0 a má jeden dvojnásobný kořen Ai,2 = — 1, kterému odpovídá dvojice řešení V\ = e~x V2 = xe~x. Tyto funkce jsou pro x > 0 znázorněny na obrázku 2.2. Obecné řešení rovnice je tvaru y = Cxz~x + C2xe~x. d) Charakteristická rovnice je V - 4A + 85 = 0. Její kořeny jsou 4 ± V16 - 340 4 ±18« Ai 2 =-z-=-z-= 2 ± 9«. 2 2 K této dvojici komplexně sdružených kořenů (a = 2,/3 = 9) přísluší řešení 2r ^ 2r • r\ yi = e cos 9x ž/2 = e sin 9rr. Funkce y = e2:E sin9x je znázorněna na obrázku 2.3. Obecné řešení je y = Cxe2x cos 9x + C2eZx sin 9x. 2x . 30 Diferenciální rovnice druhého řádu y' i e 0 1 2 3 4 -^ x 1 2 3 4 x (b) Řešení y = e~x (a) Řešení y = xe x Obrázek 2.2: Různá řešení rovnice y" + 2í/ + 1 = 0 Příklad 2.5. Napište lineární diferenciální rovnici druhého řádu, která má řešení b) yi = ex sin x. a) í/! = e2x, y2 = e 3x; Řešení, a) Z podoby řešení plyne, že charakteristická rovnice hledané diferenciální rovnice musí mít za kořeny čísla Ai = 2 a A2 = — 3. Charakteristická rovnice je tak například rovnice tvaru (A-2)(A + 3) = 0 A2 + A - 6 = 0. Tato rovnice je příslušná diferenciální rovnici y" + y'-6y = 0. b) Z tvaru řešení plyne, že charakteristická rovnice musí mít kořen Ai = Jelikož se jedná o kvadratickou rovnici s reálnými koeficienty, druhé řešení musí být komplexně sdružené, proto A2 = 1 — *. Dostáváme tak charakteristickou rovnici tvaru (A - 1 -i)(A- 1 +i) = 0. Roznásobením, případně úpravou podle vzorce a2 — b2, a využitím i2 = — 1 dostaneme A2-2A + 2 = 0. Tato rovnice je příslušná diferenciální rovnici y" - y + 2 = 0. 2.3 Nehomogenní rovnice Uvažujme nehomogenní diferenciální rovnici y" +py' + qy = f(x). Podobně jako u diferenciální rovnice prvního řádu platí následující věta: (2.7) 2.3 Nehomogenní rovnice 31 Obrázek 2.3: Graf funkce y = e2x sin9x Věta 2.6. Nechi yo(x) je obecné řešeni homogenní rovníce (2.2) a yp{x) je partikulární řešení nehomogenní rovnice (2.7). Pak obecné řešení této nehomogenní rovnice je y(x) = y0(x) +yp(x). Otázkou tedy je, jak najdeme partikulární řešení nehomogenní rovnice. Univerzální metodou je metoda variace konstanty, která je však u rovnic druhého řádu složitější (podrobnosti viz [7]). Ve speciálních případech, kde je funkce f(x) „jednoduchá", je výhodná metoda neurčitých koeficientů, kdy hledáme řešení v předepsaném tvaru. Ukažme si dva případy: 1) Funkce f(x) je polynom stupně n. a) Jestliže číslo A = 0 není kořenem charakteristické rovnice (2.3), pak má nehomogenní rovnice partikulární řešení tvaru y0 = Q(x), kde Q(x) je polynom stupně n s neznámými koeficienty. Tyto koeficienty určíme dosazením tohoto polynomu a jeho derivací do rovnice. b) Jestliže číslo A = 0 je jednoduchým kořenem charakteristické rovnice (2.3), pak má nehomogenní rovnice partikulární řešení tvaru yo = xQ(x), kde Q(x) je polynom stupně n s neznámými koeficienty. c) Jestliže číslo A = 0 je dvojnásobným kořenem charakteristické rovnice (2.3), pak má nehomogenní rovnice partikulární řešení tvaru y0 = x2Q(x), kde Q(x) je polynom stupně n s neznámými koeficienty. Všimněme si, že tato situace nastane právě, když p = q = 0 v (2.1) a řešení této rovnice vede na dvojnásobnou integraci funkce f(x). 2) Funkce f(x) = P(x)eax, kde P{x) je polynom stupně n. 32 Diferenciální rovnice druhého řádu a) Jestliže číslo a není kořenem charakteristické rovnice (2.3), pak má nehomogenní rovnice partikulární řešení tvaru y0 = Q(x)eax, kde Q(x) je polynom stupně n s neznámými koeficienty. Tyto koeficienty určíme dosazením tohoto polynomu a jeho derivací do rovnice. b) Jestliže číslo a je jednoduchým kořenem charakteristické rovnice (2.3), pak má nehomogenní rovnice partikulární řešení tvaru yo = xQ(x)eax, kde Q(x) je polynom stupně n s neznámými koeficienty. Podobně pro dvojnásobný kořen uvažujeme řešení yo = x2Q(x)eax Příklad 2.7. Najděte obecné řešení rovnice a) y" - 2y' + 2y = 2x b) y" - y' = 2(1 - x) c) 2y" + y' — y = 2ex d) y" — 3y' + 2y = xe~x Řešeni, a) Homogenní rovnice je y" - 2y' + 2y = 0. Příslušná charakteristická rovnice A2-2A + 2 = 0, má dvojici komplexních kořenů Ai,2 = 1 ± i. Obecné řešení homogenní rovnice je tak yo = ď (Ci cos x + C2 sin x) . Jelikož 0 není kořenem charakteristické rovnice, předpokládáme partikulární řešení yp(x) ve tvaru yp{x) = P(x), kde P{x) je polynom stejného stupně jako polynom na pravé straně nehomogenní rovnice, proto platí yp(x) = Ax + B, y'p{x) = A, y'^x) = 0. Funkci yp{x) a její derivace dosadíme do nehomogenní rovnice a dostáváme Q-2A + 2(Ax + B) =2x 2Ax - 2A + 2B = 2x. Porovnáním koeficientů u x1 a x° dostaneme A = 1 a B = 1. Odtud yp{x) = x + 1. Obecné řešení nehomogenní rovnice je y = ex (Ci cos x + C2 sin x) + x + 1. b) Homogenní rovnice je y"-y' = o K ní příslušná charakteristická rovnice má tvar A2 - A = 0. 2.3 Nehomogenní rovnice 33 Tato rovnice má dva reálné jednoduché kořeny Ai = 0 a A2 = 1. Obecné řešení homogenní rovnice je tak y0 = C1 + C2ex. Jelikož je A = 0 je jednoduchý kořen charakteristické rovnice, předpokládáme partikulární řešení ve tvaru yp{x) = xP(x), kde P{x) je polynom stejného stupně jako polynom na pravé straně nehomogenní rovnice, proto platí yp(x) = Ax2 + Bx, y'p(x) = 2Ax + B, yp(x) = 2A. Funkci yp{x) a její derivace dosadíme do nehomogenní rovnice a dostáváme 2A - (2Ax + B) = -2x + 2 -2Ax + 2A- B = -2x + 2. Porovnáním koeficientů u x1 a x° dostaneme A = 1 a B = 0. Odtud yp(x) = x2. Obecné řešení nehomogenní rovnice je y = Ci + C2ex + x2. c) Příslušná homogenní rovnice je 2y" + y'-y = 0. Její charakteristická rovnice má tvar 2A2 + A - 1 = 0, a kořeny jsou Ai = — 1 a A2 = \. Obecné řešení homogenní rovnice je proto y0 = Cie-X + C2ěx. Protože číslo A = 1 není kořen charakteristické rovnice, předpokládáme partikulární řešení ve tvaru y(x) = Aex. Platí yp(x) = Aex, y'p(x) = Aex, y';(x) = Aer. Funkci yp{x) a její derivace dosadíme do nehomogenní rovnice a dostáváme 2Aex + Aex - Aex = 2ex 2Aex = 2ex. Vidíme, že A = 1, odtud yp{x) = ex a obecné řešení nehomogenní rovnice je y = cie-x + c2ěx + ď. d) Homogenní rovnice je tvaru y" - 3y' + 2y = 0 příslušná charakteristická rovnice je A2-3A + 2 = 0, 34 Diferenciální rovnice druhého řádu a má kořeny Ai = 1 a A2 = 2. Obecné řešení homogenní rovnice je proto y0 = C1ď + C2e2x. Vzhledem k tomu, že a = — 1 není řešením charakteristické rovnice, hledáme partikulární řešení yp(x) = (Ax + B)e~x. Platí %,(rr) = (Ax + 5)e^, ž4(rr) = Ae-X - (Ax + 5)e^ = (-Ax + A- B)e~x, y'^(x) = -Ae-X - (-Ax + A- B)e-X = (Ax -2A + B)e-X. Funkci yp(x) a její derivace dosadíme do nehomogenní rovnice a dostáváme (Ax -2A + B)e-X - 3(-Ax + A- B)e-X + 2(Ax + B)e-X = x&~x a po úpravě QAx - 5A + QB = x. Porovnáním koeficientů u x1 a x° dostaneme A=ja5 = |. Odtud o So 1 yP{x) = ^(6x + 5)e x a obecné řešení nehomogenní rovnice je y = Clex + C2e2x + ^-(Qx + 5)e-x. ób Á Příklad 2.8. Najděte řešení počáteční úlohy a) y"-Ay = 0, y(0) = 0, y'(0) = 1 b) y" - 3y> + 2y = 3e2x, y(0) = 1, y'(0) = 1 Řešení, a) Charakteristická rovnice je tvaru A2 - 4 = 0 a její kořeny jsou Ai^ = ±2. Obecné řešení je tak y = de2* + C2e-2x. Abychom mohli dosadit počáteční podmínky spočítáme y' = 2Cie2x - 2C2e-2x. Dosadíme počáteční podmínky a dostaneme soustavu rovnic 0 = d + C2 1 = 2Ci - 2C2, jejíž řešení je C\ = \ a C2 = — \. Řešením počáteční úlohy je tak funkce y = -e--e . y 4 4 Graf tohoto řešení včetně znázornění počáteční podmínky je na obrázku 2.4. 2.3 Nehomogenní rovnice 35 y Obrázek 2.4: Graf funkce y = ^e2x — ^e 2x b) Nejprve určeme obecné řešení homogenní rovnice y" - 3y' + 2y = 0. Její charakteristická rovnice A2 - 3A + 2 = 0 má kořeny Ai = 1 a A2 = 2. Obecné řešení homogenní rovnice je yo = Clex + C2e2x. Protože a = 2 je řešením charakteristické rovnice, hledáme partikulární řešení nehomogenní rovnice ve tvaru yp(x) = Axe2x. Platí y'p(x) = Ae2x + 2Axe2x = (A + 2Ax)e2x, y»(x) = 2Ae2x + 2(A + 2Ax)e2x. Funkci yp(x) a její derivace dosadíme do nehomogenní rovnice a dostáváme AAe2x + AAxe2x -3(A + 2Ax)e2x + 2Axe2x = 3e2x a po roznásobení a sečtení Ae2x = 3e2x. Odtud vidíme, že A = 3, a proto yp(x) = 3xe2x. Obecné řešení nehomogenní rovnice pak je y = dď + C2e2x + 3xe2x. Nyní vypočítáme y' = Ciex + 2C2e2x + 3e2x + 6xe2x 36 Diferenciální rovnice druhého řádu a dosadíme počáteční podmínky 1 = Cie° + C2e° + 0, tj. Ci + C2 = l, 1 = de0 + 2C2e° + 3e° + 0, tj. d + 2C2 = -2. —3. Řešením dané počáteční úlohy je tak Řešení této soustavy rovnic je C\ = 4 a C2 = funkce y = 4ex - 3e2x 3xe 2x Obrázek 2.5: Graf funkce y = Aex — 3e + 3xe J2x 2.4 Okrajová úloha V praxi někdy potřebujeme nalézt řešení tzv. okrajové úlohy, tj. chceme nalézt řešení diferenciální rovnice splňující jisté podmínky v krajních bodech intervalu. Uvažujme okrajovou úlohu y" + ay = 0, y(0) = y(n) = 0. (2.8) Chceme určit číslo a tak, aby existovalo řešení ?/^0a toto řešení určit. Postupujeme analogicky jako při řešení počáteční úlohy, tj. nalezneme obecné řešení rovnice a z okrajových podmínek určíme hodnotu a a řešení y. Na rozdíl od počáteční úlohy nemáme zajištěno, že bude existovat právě jedno řešení y ^ 0. Okrajová úloha může mít i nekonečně mnoho řešení, případně jen triviální řešení y = 0. Dá se ukázat, že v případě, kdy má okrajová úloha nekonečně mnoho řešení, tvoří tato řešení posloupnost funkcí yn(x). Tyto funkce se nazývají vlastní funkce a odpovídající hodnoty an se nazývají vlastní čísla. Řešme nyní úlohu (2.8). Obecné řešení rovnice y" + ay = 0 vypadá následovně a < 0 : y = d^x + C2^^x, a = 0 : y = C\x + C2, a > 0 : y = Ci cos y/ax + C2 sin y/ax. 2.4 Okrajová úloha 37 Pro a < 0 existuje zřejmě jen triviální řešení úlohy (2.8). Uvažujme tedy a > 0 a dosaďme do obecného řešení okrajové podmínky, dostaneme tak soustavu rovnic 0 = Ci, 0 = C*2 sin y/aiv. Protože hledáme netriviální řešení, musí být C2 Ý 0. Druhá rovnice bude splněna pouze v případě, že sin \fčnx = 0 =^ \fčnx = kn =^ a = k2. Tedy čísla ak = k2, A; G N jsou vlastní čísla okrajové úlohy a pro každé ak má úloha nekonečně mnoho řešení yk = C sin kx, C G IR, k G N. Poznámka 2.9. Vlastní čísla okrajové úlohy úzce souvisí s řešitelností nehomogenní okrajové úlohy y" + ay = f(x), y(0) = y (a) = 0. Dá se ukázat, že tato úloha je jednoznačně řešitelná právě tehdy, když a není vlastní číslo příslušného homogenního problému. V případě, že a je vlastní číslo příslušného homogenního problému, má úloha nekonečně mnoho řešení právě tehdy, když pro vlastní funkci y{x) platí y{x)f{x) dx = 0. o Pokud toto neplatí nemá okrajová úloha žádné řešení. Využití můžeme ilustrovat na příkladu z kvantové mechaniky. Příklad 2.10. Podle kvantové mechaniky je pohyb částice za jistých omezení popsán okrajovou úlohou d2^ a2i), ý(0) = ý(a) = 0, dx2 kde ip je vlnová funkce částice, x je prostorová proměnná, a > 0 je konstanta, a2 = (^r) E, m > 0 je hmotnost, h je Planckova konstanta a E > 0 energie částice. Najděte netriviální řešení ip této okrajové úlohy. Pro které hodnoty E tato řešení existují? Řešeni. Charakteristická rovnice je A2 + a2 = 0, odkud A = ±ai. Obecné řešení je tvaru ip(x) = A sin ax + B cos ax, kde A, B jsou konstanty. Nyní najdeme konstanty A, B tak, aby byly splněny okrajové podmínky. Pro x = 0 dostaneme Asin0 + 5cos0 = 0 tj. B = 0. 38 Diferenciální rovnice druhého řádu Pro x = a dostaneme A sin aa + B cos aa = 0 tj. y4sinoía = 0. Kdyby A = 0, pak také ip(x) = 0 a rovnice by měla jen triviální řešení. Proto sin aa = 0 =>• aa = ±niT, n G N. Dostáváme tak vlastní čísla nn an = ±—, iiéN. a Řešením okrajové úlohy je posloupnost funkcí ipn(x) = Ansin nnx Tato řešení odpovídají energii En = az — h2 n2n2 h2 2m a2 2m (a) Řešení pro n = 1 (b) Řešení pro n = 2 (c) Řešení pro n = 3 Obrázek 2.6: Různá řešení okrajové úlohy 2.10 Cvičení 1. Najděte obecné řešení rovnic: a) y" - 3y' + 2y = 0 c) y" + 8y' + 16y = 0 e) y" - 16y = 0 2. Najděte obecné řešení rovnic: a) y" + Ay'-5y= 1, c) y" + y = x3, e) y" + 3í/ + 2y = (20x + 29)e: 3x b) y" + 16y = 0 d) y" - 6y' + 13y = 0 f) y" - 4í/ + 5y = 0 b) í/// + 2í// + í/ = e-2x, d) 2y" + 5y' = 5x2 - 2x - 1, f) y" + 4y' + 4 = xe2x. Cvičení 39 3. Najděte řešení počáteční úlohy: a) y" + 2y' + y = 0, y(0) = 2, y'(0) = -1, b) 3y" + Ay' = 0, y(0) = 0, y'(0) = -1, c) y" -Ay' + Ay = 2 - rr, y(0) = y'(0) = 1, d) y"-2y' + y = 1 + x, y(0) = 2, y'(0) = -3. 4. Působíme-li elektrickým polem na roztok elektrolytu, začnou se ionty působením elektrostatických sil pohybovat směrem k elektrodám. Zároveň je však rychlost pohybu iontů brzděna přímo úměrně třecími silami. Podle Druhého Newtonova zákona je pohyb kationtu s elektrickým nábojem q > 0 a hmotností m > 0 podél osy x popsán následující počáteční úlohou x"(t) H--x'(t) = —E, x(0) = x0, x'(0) = v0, m m kde t > 0 je čas, k > 0 je koeficient úměrnosti třecích sil, E > 0 je síla homogenního elektrického pole a xq, vq jsou počáteční pozice a rychlost iontu. (Poslední 4 hodnoty považujeme za konstanty.) Najděte řešení počáteční úlohy pro 0 < t < oo. 5. Určete řešení okrajové úlohy d2ib 9 dib, . /7T dx2 ' dx ' v 2 Výsledky: 1. a) y = Cie2x + C^e*, b) y = Ci cosAx + C2 sin4x, c) y = Cie~4x + C2:re~4:E, d) y = e3x(Ci cos 2x + C2 sin 2rr), e) y = Cie4x + C2e~4:E, f) y = Cie2:E cos x + C2e2:E sin x. 2. a)y = Ciex + C2e-5x - \, b) y = (d + C2x)e~x + e-2x, c) y = Ci sinx + C2 cosrr + — 6rr, d) y = C\ + C^e-!1 + |x3 — |x2 + ^x, e)y = Cie-X + C2e-2^ + (x + l)e3*, f) y = (d + C2:r)e-2* + - i) e2*. 3. a) í/ = 2e_:E + rre^, b) y = — | + fe-^, c) y = \(Se2x — xe2x — x + 1), d) y = rr + 3 — e:E(l + 3x). 4. x(í)=x0 + fí+(nr_^) (i_e-^) 5. Řešením jsou funkce ipn(x) = An cos(2n+ l)x pro an = (2n + l)2, kde n = 0, 1, 2, .... 40 Kapitola 3 Funkce více proměnných 3.1 Definiční obor funkce a graf funkce Obsahem této kapitoly je zavedení funkce více proměnných. Základní úlohou této kapitoly je určení definičního oboru a nakreslení grafu funkce. Tyto úlohy vedou na úlohy z analytické geometrie v rovině, které využijeme v dalších kapitolách. Definice 3.1. Nechť je dána množina D C IR2. Předpis /, který každému bodu roviny [x,y] G D přiřazuje právě jedno z G IR, nazýváme funkcí dvou proměnných. Tuto funkci označujeme z = f(x,y). Množina D se nazývá definiční obor funkce /. Podobně definujeme funkci tří proměnných u = f (x,y, z) a obecně funkci n-proměnných V = f(xi,x2, ■ ■ .,xn). Příklad 3.2. Zobrazte v rovině definiční obor těchto funkcí: a) z = \n(y — x) + ln(rr + y), b) z = a/9 — x2 — y2, c) z = x ln(x — y2), d) z = arcsin(x2 + y2 — 2). Řešení, a) Protože logaritmická funkce je definovaná pouze pro kladná čísla, musí platit y > x a y > —x. Definiční obor je tak průnik dvou polorovin. b) Odmocnina má smysl pouze z nezáporného čísla. Odtud plyne 9-x2-y2>0 tj. 32>x2 + y2. Definičním oborem je kruh s počátkem v bodě [0, 0] a poloměrem 3. c) Daný výraz má smysl, jestliže platí x > y2. Definičním oborem je část roviny omezená parabolou, bez této paraboly. d) Z vlastností funkce arkussinus plyne podmínka -1 < x2 + y2 - 2 < 1. Odtud 1 < x2 + y2 < 3 3.1 Defíniční obor funkce a graf funkce 41 a definiční obor tvoří body ležící v mezikruží tvořeným dvěma kružnicemi se středem v počátku a poloměry r\ = 1 a r2 = y/Š. -3 -2 -i / / / / / -2 / / / ' -3 \ 1 2 3 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (a) Definiční obor funkce z = ln(y — x) ln(x + y) (c) Definiční obor funkce z = x ln(x — y2) (b) Definiční obor funkce •y/9 — x2 — y2 (d) Definiční obor funkce z arcsin(x2 + y2 — 2) Grafem funkce dvou proměnných je množina bodů v trojrozměrném prostoru, nejčastěji nějaká trojrozměrná plocha, např. rovina, kuželová plocha, parabolická plocha. K získání názorné představy, jaký je tvar této plochy, nám pomohou řezy rovinami z = 0, y = 0, x = 0 (což jsou rovnice souřadných stěn gxy, gxz, gyz). Příklad 3.3. Nakreslete graf funkce z = 4 — 2x — y. Řešeni. Položíme-li y = 0, dostaneme z = 4 — 2x, což je přímka v rovině pxz. Podobně pro x = 0 dostaneme přímku z = 4 — y a pro z = 0 přímku y = 4 — 2x. Proto je grafem této funkce rovina, která vytíná na souřadné osách postupně úseky o velikostech 2, 4 a 4. V prvním oktantu je to trojúhelník. Á K určení grafu funkce z = f(x,y) se někdy používají vrstevnice funkce, což jsou body v rovině se stejnou funkční hodnotou. Chápeme-li graf funkce dvou proměnných jako reliéf krajiny, pak vrstevnice funkce na úrovni c je množina všech bodů s nadmořskou výškou rovnou 42 Funkce více proměnných z n (a) Souřadný systém pro funkce dvou (b) Graf funkce z = 4 — 2x — y proměnných c, tj. náš pojem vrstevnice je totožný s geografickým významem tohoto slova. Matematicky můžeme říct, že vrstevnice jsou křivky popsané rovnicemi f(x,y) = c. Příklad 3.4. Pomocí vrstevnic a řezů rovinami načrtněte v prostoru grafy funkcí: a) z = x2 + y2, b) z = y/A — x2 — y2. Řešení, a) Provedeme-li řez rovinou x = 0, dostaneme křivku z = y2, což je parabola s vrcholem v počátku. Podobně i řezem rovinou y = 0 je parabola o rovnici z = x2. Vrstevnice funkce na úrovni k > 0 jsou dány rovnicemi k = x2 + y2, což jsou kružnice se středem na ose z a poloměrem y/k. Na základě získaných výsledků můžeme říci, že grafem funkce z = x2 + y2 je tzv. rotační paraboloid s vrcholem v počátku a osou z. Jedná se o plochu, která vznikne rotací paraboly kolem její osy (hlavní osa paraboloidu). b) V tomto případě je řezem rovinou x = 0 funkce z = \/'4 — y2, což je horní polovina kružnice se středem v počátku a poloměrem 2. Podobně řezem rovinou y = 0 je funkce z = y/A — x2, která je opět horní polovinou kružnice se středem v počátku o poloměru 2. Vrstevnice funkce na úrovni k > 0 jsou dány rovnicemi k = y/A - x2 - y2 <=> A-k2 = x2 + y2, což jsou kružnice se středem na ose z a poloměrem yjA — k2. Proto grafem funkce z = y/A — x2 — y2 je horní polovina kulové plochy se středem v počátku a poloměrem 2. A 3.2 Limita funkce S pojmem limita jsme se setkali u funkce jedné proměnné. Připomeňme, že limita popisuje chování funkce v ryzím okolí bodu, v němž limitu určujeme a píšeme lim f(x) = L. 3.2 Limita funkce 43 y a (d) Graf funkce z = x2 + y2 Ryzím okolím bodu xq rozumíme okolí kromě tohoto bodu, tj. body splňující x G (x q — a, x q) U (xq, xq + a). Funkce nemůže mít v daném bodě dvě limity. Je-li limita zprava různá od limity zleva, pak funkce nemá v daném bodě limitu. U funkce dvou proměnných je situace podobná: Limita popisuje chováni funkce v okolí daného bodu kromě tohoto bodu. Tento pojem je založen na pojmu okolí bodu. Zásadní rozdíl je v tom, jak vypadá okolí bodu na přímce (ose x) a okolí bodu v rovině. Okolím bodu x0, který leží na ose x, je interval. Okolím bodu [rrož/o]? který leží v rovině, je množina bodů, které mají od tohoto bodu vzdálenost menší než nějaké číslo a. Ryzím okolím bodu [^OjŽ/o] rozumíme okolí kromě tohoto bodu, tj. body ležící uvnitř kruhu se středem [x0, y0] a poloměru a kromě tohoto bodu, tj- 0 < (x - xq)2 + (y- y0)2 < a2. U funkce jedné proměnné se k tomuto bodu můžeme blížit jen po přímce, tj. ze dvou stran (což znamená, že funkce má limitu v bodě, má-li obě jednostranné limity a tyto se sobě rovnají), 44 Funkce více proměnných (a) Řez rovinou gyz (x = 0) (b) Řez rovinou gxz (y = 0) (c) Vrstevnice (d) Kulová plocha složená z funkcí z = ±\/4 — x2 — y2 zatímco u funkce více proměnných je těchto možností nekonečně mnoho; můžeme se blížit k danému bodu po přímkách, po parabolách apod. Existence limity v daném bodě znamená, že nezáleží na cestě, po které se k danému bodu blížíme. Naopak dostaneme-li různé hodnoty limity pro různé cesty, znamená to, že limita v daném bodě nemůže existovat. Příklad 3.5. Vypočtěte limitu funkce f(x,y) x+y+l bodě [1,0]. Řešení. Pokud můžeme souřadnice limitního bodu do příslušného výrazu dosadit (tj. po dosazení neobdržíme neurčitý výraz), je hodnota limity dané funkce rovna funkční hodnotě v tomto bodě. Platí tedy x+y+l 1 lim - = - . (x,y)^(i,o) x + y + 3 2 3.3 Spojitost funkce 45 Příklad 3.6. Ukažte, že neexistuje limita funkce lim (x,y)^(0,0) xy x2+y2 ' Řešení. Zvolíme přímky y = kx. Tyto přímky procházejí počátkem a jejich body mají tvar [x, kx]. Aby se tyto body blížily k počátku, musí se blížit x k nule. Dostaneme lim lim kx2 lim x2 + (A;x)2 x2(l + k2) x^o l + k2 1 + k2' Výsledek záleží na k, tj. na směrnici přímky, po níž se blížíme k počátku. Proto limita neexistuje. Á Počítání limit funkcí dvou a více proměnných je obtížnější než v případě funkcí jedné proměnné, neboť k počítání tzv. neurčitých výrazů (limity typu jj,^) nemáme k dispozici žádnou analogii 1'Hospitalova pravidla. (a) Graf funkce f(x, y) = ^ +v2 (b) Graf funkce f(x, y) x2+y2 3.3 Spojitost funkce Rovněž pojem spojitosti funkce více proměnných lze podobně jako pro funkce jedné proměnné definovat pomocí limity funkce. Funkce / je spojitá v bodě [rr0,í/o]? jestliže má v tomto bodě vlastní limitu a platí lim f(x,y) = f(x0,y0). (x,y)->(x0,yo) Pomocí spojitosti funkce v bodě je definována spojitost funkce na množině M C IR2. Příklad 3.7. Funkce f(x,y) = xn a g(x,y) = ym, kde n,m jsou přirozená čísla, jsou spojité v každém bodě roviny. Vzhledem k tomu, že spojitost funkce dvou a více proměnných se definuje pomocí pojmu limity funkce stejně jako pro funkci jedné proměnné, obdobně platí věta, že součet, součin a podíl spojitých funkcí je spojitá funkce, a dále platí věta o spojitosti složené funkce. 46 Funkce více proměnných Příklad 3.8. Funkce f{x, y) = x3 + 3x2 — 3xy + 1 je spojitá v celé rovině. Stejně jako pro funkci jedné proměnné platí pro funkci dvou proměnných Weierstrassova věta. Připomeňme, že Weierstrassova věta pro funkce jedné proměnné se týká funkcí spojitých na uzavřeném a ohraničeném intervalu. Před tím než formulujeme analogickou větu pro funkce více proměnných, uveďme několik pojmů. Hraničním bodem množiny rozumíme bod, jehož libovolné okolí obsahuje jak bod, který do dané množiny patří, tak bod, který do dané množiny bodů nepatří. Množina všech hraničních bodů se nazývá hranice množiny. Množina se nazývá uzavřená, jestliže obsahuje svou hranici. Množina se nazývá otevřená, jestliže s každým jejím bodem do ní patří i nějaké okolí tohoto bodu. Podotkněme, že pojem otevřená množina není opak uzavřené množiny. Množina se nazývá ohraničená, jestliže existuje nějaká kladná konstanta K taková, že vzdálenost dvou libovolných bodů této množiny je menší než K. Množina se nazývá souvislá, jestliže každé dva body této množiny lze spojit lomenou čarou, která leží celá uvnitř této množiny. Množinu, která je souvislá a otevřená, nazýváme oblastí. Příkladem uzavřené a ohraničené množiny je kruh x2 + y2 < a2 (tj. obsahuje hraniční kružnici), nebo obdélník, který obsahuje hraniční úsečky. Kruh, který neobsahuje hraniční kružnici je příkladem oblasti. Věta 3.9 (Weierstrassova). Nechť funkce f je spojitá na ohraničené a uzavřené množině M C IR2. Pak nabývá na M své nejmenší a největší hodnoty. Příklad 3.10. Rozhodněte, zda funkce nabývá nejmenší a největší hodnotu na množině M : x2 + y2 < 1. Řešení. Funkce je definovaná ve všech bodech množiny M. Touto množinou je kruh se středem v počátku. Vyšetřeme limitu této funkce v počátku: pro(x,í/) Ý (0,0) v počátku 1 lim — (x,y)^(0,0) x- = oo. Proto tato funkce není v počátku spojitá a nenabývá největší hodnotu na množině M. Vrstevnicemi funkce jsou kružnice se středem v počátku. Nejmenší hodnoty nabývá funkce v bodech kružnice x2 + y2 = 1. Á Cvičení 47 Cvičení 1. Zobrazte v rovině definiční obory funkcí: a) z = *±g±, b) z= y/l-x>-4y>, c) z = Jy+y/25-x*-y*, d) z = \Jl-{f + £), e) 2 = ln(x + í/), f) z = in^ľľysy, g) ^ = VI - a;2 + V1 - ž/2? h) z= \/(x2 + y2 - x2 - y2) 2. Pomocí vrstevnic a řezů rovinami načrtněte v prostoru grafy funkcí: a) z = 2 - x - y, b) z - — -1-K 4 9 ' c) * = y, d) z = ^^, e) z = v'l — x<2 — V2-, f) z = x2 + y2, g) z = i (x2 - y2), h) 2 = 2- x/x2 + y2, i) z = y2 + l, j) z = 3-x2-y2. 3. Vypočtěte limitu funkce f (x,y) = , x +y =— v bodě [0,0]. V :r2+J/2 + l —1 4. Dokažte, že funkce f (x,y) = nemá v bodě [0,0] limitu. 5. Pomocí přímek y = kx a paraboly y = x2 ukažte, že neexistuje limita 3x2y lim (x,y)^(0,0) x4 + y 2 ' 48 Funkce více proměnných Obrázek 3.1: Příklady funkcí: Vrstevnice a grafy 49 Kapitola 4 Parciální derivace 4.1 Parciální derivace l.řádu Připomeňme definici a geometrický význam derivace funkce jedné proměnné y = f(x) v bodě x0. Tuto derivaci definujeme jako limitu Derivace funkce v bodě je číslo, které udává směrnici tečny ke křivce y = f(x) v bodě [x0, f(x0)]. Má-li funkce derivaci v bodě x0, je v tomto bodě spojitá, a tudíž zde existuje také limita funkce. Jak jsme již ukázali v předcházející kapitole, limita funkce dvou a více proměnných je komplikovanějším pojmem než v případě funkce jedné proměnné, neboť k bodu [xq, yo] (v případě dvou proměnných) se můžeme blížit nekonečně mnoha způsoby. Zcela přirozené je začít zkoumat situaci, blížíme-li se k bodu [a^ojž/o] ve směru souřadných os x a y. Tím se dostáváme k pojmu parciální derivace funkce dvou proměnných. Při „parciálním"1 derivování se vždy na jednu z proměnných x,y díváme jako na konstantu a podle druhé derivujeme. Definice 4.1. Nechť f(x,y) je funkce a [a^ojž/o] bod. Funkce g(x) = f(x,y0) je funkcí jedné proměnné x. Má-li funkce g(x) v bodě x0 derivaci g'(x0), nazýváme tuto derivaci parciální derivací funkce / podle proměnné x v bodě [rrn,?/o] a označujeme Podobně, má-li funkce h(y) = f(xo,y) derivaci v bodě yo, nazýváme tuto derivaci parciální derivací funkce / podle proměnné y v bodě [rrn,?/o] a označujeme fx(x0,y0) nebo i,xQ,yQ). fy(x0,y0) nebo dy (x0,y0). Doslovný český překlad slova parciální je „částečný". 50 Parciální derivace Poznámka 4.2. i) Parciální derivace podle x je tedy limita fx{x0,yo) = lim -= hm x^x0 X — Xq x^x0 X — Xq Podobně se dá definovat i parciální derivace podle y. ii) Má-li funkce z = f(x,y) parciální derivace v libovolném bodě [x,y], jsou tyto derivace funkcemi proměnných x,y. Označujeme je fx(x,y), fy(x,y), popř. ^f(x,y), ^f(x,y). iii) Z definice parciální derivace plyne, že při jejím výpočtu postupujeme tak, že všechny argumenty kromě toho, podle něhož derivujeme, považujeme za konstanty. Protože parciální derivace fx(x,y) funkce je definována jako „obyčejná" derivace podle proměnné x, platí pro počítání parciálních derivací obvyklá pravidla pro derivování. Příklad 4.3. Vypočtěte parciální derivace funkce f(x,y) = \(x2 + y2)3 v bodě [1,1]. Řešení. Podle definice 4.1 dostáváme g(x) = f(x,l) = ^x2 + l)3, g\X) = f'(x, 1) = 3(X2 + l)2X a dosazením za x = 1 dostaneme fx(l, 1) = 3 • 4 = 12. Podobně h{y) = f{l,y)=l-{l+y2)\ h'(y) = f (l,y) = 3(1 +y2)2y a po dosazení fy(l, 1) = 12. Častěji postupujeme tak, nejprve určíme parciální derivace v libovolném bodě. Parciální derivace podle x znamená, že y považujeme za konstantu a derivujeme podle x fx(x,y) = ^(x2 + l)22x = 3(x2 + y2)2x. Dosazením za [x,y] = [1,1] dostaneme fx(l,l) = 12. Podobně určíme parciální derivaci podle y. Á Příklad 4.4. Vypočtete parciální derivace funkce dvou proměnných: x—y ' a) f(x,y) =x3 + x2y3- 2y2, b) f(x,y) - c) f(x,y) = a/x2 + y2, d) f(x, y) = \n(x + y2). Řešení, a) Použijeme pravidla pro derivaci součtu, případně rozdílu, a pravidlo o derivace polynomu, dostaneme tak fx(x,y) = 3x2 + 2xy3, fy(x,y) = 3x2y2 - Ay. 4.1 Parciální derivace l.řádu 51 b) Použijeme pravidla pro derivaci podílu: y(x -y)-xy y2 fx(x,y) fy(x,y) (x-y)2 (x-y)2' x(x — y) + xy x2 (x-y)2 (x-y)2' c) Použijeme pravidla pro derivaci složené funkce: fx(x,y) = n , l 2x 2^/x2 + y2 \/ x2 + y2 fy(x,y) = ^ t l 2y V 2^/x2 + y2 \/ x2 + y2 d) Postupujeme obdobně jako v předchozím příkladě: 1 fx(x,y) fy(x,y) x + y2 x + y2 Geometrický význam parciálních derivací. Nechť je dána funkce /: IR2 —y IR a G f je její graf. Nechť 7r je rovina daná rovnicí x = xq. Za rozumných předpokladů (např. spojitost funkce /) je průsečíkem G f H 7r křivka 7 v rovině 7r a parciální derivace fy(xo,yo) udává směrnici tečny t k této křivce v bodě Q0 = [x0, y0, f(x0, yo)], viz obrázek. (Připomeňme, že směrnice tečny ŕ je tg a.) Podobně, derivace fx(xo,yo) udává směrnici tečny ke křivce v bodě Q0, která vznikne průsečíkem grafu funkce s rovinou y = yo. 52 Parciální derivace Zatímco u funkcí jedné proměnné plyne z existence derivace v daném bodě její spojitost, u funkcí více proměnných toto tvrzení neplatí. Má-li funkce f: IR2 —y IR parciální derivace v bodě [xQ,y0], nemusí být v tomto bodě spojitá. Příklad 4.5. Funkce definovaná předpisem f(x,y) = pro x = 0 nebo y = 0, jinak má v bodě [0, 0] obě parciální derivace (rovny nule) a není zde spojitá, neboť v tomto bodě neexistuje limita (grafem funkce je podstavná rovina, z níž je „vyzdvižen" osový kříž). Gradient funkce Ve fyzikální terminologii se vektor parciálních derivací nazývá gradient funkce a označuje se buď jako grad / nebo symbolem V/ (nabla). Pro funkci dvou proměnných f(x,y) je gradientem vektor V/(x,í/) = (fx(x,y),fy(x,y)) a pro funkci tří proměnných f(x,y, z) je gradientem vektor V/(a:, y, z) = (fx(x, y, z), fy(x, y, z), fz(x, y, z)). Podrobněji se gradientem budeme zabývat v kapitole 8. 4.2 Směrové derivace Pomocí gradientu můžeme definovat směrové derivace funkce, které jsou zobecněním parciálních derivací. Nejprve připomeňme, že skalární součin vektorů u = (iti, u2, ■ ■ ■, un), v = (vl7 v2, ■ ■ ■, vn) je číslo u ■ v, kde u ■ v = UiVi + u2v2 H-----h unvn. Jestliže 9 je úhel, který svírají tyto vektory, pak platí u • v = \u\\v\ cos 9, přičemž = \/u\ + u2, + • • • + značí velikost vektoru u. Z předchozího vztahu plyne, že skalární součin dvou navzájem kolmých vektorů je roven nule. Definice 4.6. Nechť / má spojité parciální derivace. Směrovou derivací fv funkce / ve směru vektoru v rozumíme skalární součin fv = gxadf-u, (4.2) kde u = v^r, tj. u je jednotkový vektor ve směru vektoru v. 4.3 Derivace vyšších řádů 53 Poznamenejme, že někdy se směrová derivace fv definuje jako fv = grad • v (viz [2]). Pak tato derivace závisí na velikosti vektoru v. Parciální derivace jsou speciálním případem směrových derivací, fx je směrová derivace ve směru vektoru u = (1,0), podobně fy je směrová derivace ve směru vektoru u = (0,1). Směrové derivace popisují rychlost změny funkce ve směru vektoru v. Příklad 4.7. Je dána funkce / = x2y3 — Ay. Určete její derivaci ve směru vektoru v = (2, 5). Řešení. Podle (4.2) je derivace funkce f(x,y) ve směru vektoru v = (2,5) rovna fv(x,y) = grad f -u = fxux + fyu2, (4.3) kde vektor u = (■u1,-u2) je jednotkový vektor ve směru vektoru v. Proto nejprve určíme jednotkový vektor u v _ í 2 5 U ~ \A ~ V\/29' \/29 Nyní spočítáme parciální derivace fx, fy. Dostaneme = a(xv - iv) = 2xtA f = W - 4») = w _ 4 ox oy Po dosazení do (4.3) získáváme /„ (x, y) = 2xy3 ■ -|= + (3x2y2 - 4) .29 V29 a po roznásobení 4xy3 15x2y2 20 fv{x,y) 29 V29 V29 4.3 Derivace vyšších řádů Funkce f(x,y) má dvě parciální derivace l.řádu: fx(x,y) a fy(x,y). Každou tuto funkci můžeme dál parciálně derivovat (pokud tyto derivace existují), čímž dostaneme čtyři funkce fxx(%jy)j fxy(%jy)j fyx(%jy)j fyy(.x?y)- Někdy je označujeme jako d2f d2f d2f d2f Tr^(x,y), ——(x,y), ——(x,y), —(x,y). oxz oxoy oyox oyz Tyto parciální derivace nazýváme parciální áerivace 2.řádu funkce f(x,y). Parciální derivace fxy(x,y) a fyX(x,y) se nazývají smíšené parciální derivace. Příklad 4.8. Vypočtěte všechny druhé derivace funkce f(x,y) = xy, x > 0. 54 Parciální derivace Řešení. Parciální derivaci podle x určíme jako derivaci mocninné funkce a derivaci podle y jako derivaci exponenciální funkce se základem x, tj. fx yx^ , fy x^ ln x. Podobně obdržíme fxx = y (y - l)^2, fyy = xv ln2 x. Při výpočtu smíšených derivací musíme derivovat oba výrazy podle pravidla pro výpočet derivace součinu a dostaneme fxy = xy~1(y]nx + 1), fyx = xy~1(y]nx + 1). A Pro funkce, s kterými se setkáme, jsou smíšené parciální derivace stejné. Tuto skutečnost popisuje následující věta. Věta 4.9 (Schwarzova). Nechť funkce f(x,y) má v okolí bodu [xo,yo] spojité parciální derivace fxy(x,y) a fyx(x,y). Pak platí fxy(x0,y0) = fyx(x0,y0)- (4.4) Parciální derivace n-tého řádu (n > 3) definujeme jako parciální derivace derivací (n — l)-ního řádu. Indukcí lze pak rozšířit Schwarzovu větu takto: Má-li funkce f(x,y) spojité parciální derivace až do řádu n, pak hodnota parciální derivace řádu n závisí pouze na tom, kolikrát se derivovalo podle proměnné x a kolikrát podle proměnné y, nikoliv na pořadí, v jakém se podle těchto proměnných derivovalo. 4.4 Diferenciál funkce Diferenciálem funkce jedné proměnné v bodě x0 rozumíme přírůstek funkce na tečně vedené ke grafu funkce v bodě [xq, f(xo)]. Označíme-li přírůstek nezávisle proměnné dx = x — xq, diferenciál funkce y = f (x) v bodě xq je lineární funkce proměnné dx df(x0) = f'(x0)dx. V tomto případě existence diferenciálu neboli diferencovatelnost funkce je ekvivalentní existenci derivace v bodě x0. U funkce f(x,y) je tzv. totální diferenciál definován analogicky: Je to přírůstek funkce na tečné rovině vedené ke grafu funkce bodem [xq, yo, f(xo, yo)]. Tečná rovina má s grafem funkce lokálně (tj. v okolí bodu, kde ji sestrojujeme) společný právě jeden bod. Definice 4.10. Nechť má funkce f(x,y) v bodě [^ojŽ/o] spojité parciální derivace 1. řádu a označme přírůstky nezávisle proměnných jako dx = x - x0, dy = y - y0. Diferenciál funkce f(x,y) v bodě [^OjŽ/o] Je lineární funkce proměnných dx a dy tvaru df(x0,y0) = fx(x0,y0) dx + fy(x0,y0) dy. (4.5) Má-li funkce v daném bodě diferenciál, říkáme, že je v tomto bodě diferencovatelná. 4.4 Diferenciál funkce 55 Poznámka 4.11. i) Z (4.5) vidíme, že diferenciál je skalární součin gradientu funkce v daném bodě a přírůstkového vektoru (dx,dy). ii) V předchozí kapitole jsme ukázali, že pro funkce dvou proměnných z existence parciálních derivací neplyne spojitost. Diferencovatelnost funkce je tou „správnou" vlastností, která implikuje spojitost funkce. Opak neplatí: Je-li funkce spojitá, nemusí být diferencovatelná, např. f(x, y) = \Jx2 + y2 v bodě [0, 0]. Příklad 4.12. Určete totální diferenciál funkce f(x,y) = x2+y2 ■ Řešení. Určíme parciální derivace x2 + y2 — 2x2 y2 — x2 fx{x,y) fy(x,y) (x2 + y2)2 (x2 + y2)2' —2xy (x2 + y2)2 Diferenciál v libovolném bodě [x,y] ^ [0,0] je funkce au \ V2 -x2 A 2xy df{x, y) = —j-—dx ~ i 2 i 2\2 dy-(xz + y1)1 [xÁ + y1)1 Věta 4.13. Má-li funkce f(x,y) v bodě \xo,yo\ totální diferenciál, má graf funkce v tomto bodě tečnou rovinu o rovnici z = f(x0,y0) + fx(x0,y0)(x - x0) + fy(x0,y0)(y - y0). (4.6) Rovnice tečné roviny je nejlepší lineární aproximací funkce f(x,y) v okolí bodu [rr0,í/o]-Přibližná hodnota funkce je f(x,y) « f(x0,y0) + df(x0,y0). (4.7) Příklad 4.14. Pomocí totálního diferenciálu přibližně vypočtěte: a) 1,042<02 b) ^(2,98)2 + (4,05)2 Řešení. a) K výpočtu použijeme diferenciál funkce f(x,y) = xy v bodě [1,2] s diferencemi dx = 0,04, dy = 0,02. Platí df(x, y) = yxy~ľdx + xy \nxdy, tj. d/(l, 2) = 2 dx + 0 dy = 2 dx, a tedy podle (4.7) 1,042<02 = /(1,04; 2,02) « f (1,2) + d/(l, 2) = 1,08. 56 Parciální derivace b) K výpočtu použijeme diferenciál funkce f(x,y) = \J x2 + y2 v bodě [3,4] s diferencemi dx = -0,02, dy = 0,05. Platí xdx ydy df(x, V) = , 9 9 + / 9 9 yr + yz ^ xz + yz a dosazením do (4.7) dostáváme v/(2,98)2 + (4,05)2 « 5 + i(-3 • 0,02 + 4 • 0,05) = 5,028. A 5 Příklad 4.15. Napište rovnici tečné roviny grafu funkce z = x2 + y2 v bodě [1,1, ?]. Řešení. Dosazením do funkčního předpisu najdeme z-ovou souřadnici dotykového bodu z = 12 —|— 12 = 2. Spočtěme parciální derivace fx = 2x a fy = 2y a přímým dosazením do vzorce (4.6) pro tečnou rovinu dostáváme její rovnici z = 2 + 2(x — l) + 2(y— 1), tj. 2x + 2y — z — 2 = 0. A 4.5 Kmenová funkce V tomto odstavci vyřešíme následující úlohu: Je dán výraz P(x,y)dx + Q(x,y)dy. (4.8) Máme rozhodnout, zda existuje funkce H(x,y) taková, že je tento výraz jejím diferenciálem. Funkce H se nazývá kmenová funkce funkcí P, Q. Aby kmenová funkce H existovala musí podle předchozího platit Hx(x,y) = P(x,y), Hy(x,y) = Q(x,y). Za předpokladu spojitosti parciálních derivací 2.řádu plyne ze Schwarzovy věty, že Hxy(x, y) = Hyx(x,y), tj. Py(x,y) = Qx(x,y). (4.9) Pokud je tato podmínka splněna, postupnou integrací určíme kmenovou funkci. Poznamenejme, že rovnost (4.9) musí platit pro všechny body z dané oblasti G, která je tzv. jednoduše souvislá. To znamená, že libovolnou uzavřenou křivku ležící v G lze spojitě deformovat v G do bodu (hranici množiny G tvoří jediná uzavřená křivka). Příkladem jednoduše souvislé oblasti je kruh nebo obdélník, naopak množina, která je tvořena mezikružím, není jednoduše souvislá. Poznámka 4.16. S úlohou, zda je výraz (4.8) diferenciálem nějaké funkce, se setkáme u křivkového integrálu v tomto znění (více viz kapitola 8): Jestliže na hmotný bod o souřadnicích [x,y] G G působí síla F(x,y) = (P(x,y),Q(x,y)), pak práce A, která se vykoná, přejde-li hmotný bod po křivce C z jejího prvního do posledního bodu, se definuje jako A= P(x,y) dx + Q(x,y) dy. Jc V praxi je velmi důležitá otázka, zda tento křivkový integrál nezávisí na integrační cestě, tj. zda hodnota tohoto integrálu je stejná integrujeme-li přes libovolnou křivku C se stejným počátečním a koncovým bodem. Ukážeme, že tato nezávislost na integrační cestě úzce souvisí s podmínkou (4.9). 4.5 Kmenová funkce 57 Příklad 4.17. Rozhodněte, zda výraz (x2 — y2)dx + (5 — 2xy)dy je diferenciálem nějaké funkce; v případě že ano, určete tuto (kmenovou) funkci. Řešeni. Nejprve ověříme, zda je uvedený výraz opravdu diferenciálem. V celém IR2 platí J^(5 - 2xy) = -2y, ^-(x2 - y2) = -2y, tj. zadaný výraz je diferenciálem jisté kmenové funkce H. Dále platí „2 „.2\ _ X „.2, H(x, y) = J (x -y)dx= — - yx + ip(y), kde íp(y) hraje roli integrační konstanty, neboť její derivace podle x je nulová. Derivováním podle y, tj. Hy = —2xy + íp'(y) a dosazením do vztahu Hy = Q dostáváme -2xy + (p'(y) = 5-2xy, odkud íp'(y) = 5, tj. f{y) = 5y + c. Vypočítali jsme tak, že zadaný výraz je diferenciálem funkce H(x, y) = y - y2x + 5y + c, c G IR. Stavová funkce V termodynamice se popisují vlastnosti makroskopických systémů pomocí stavových funkcí. Tyto funkce závisejí na daném stavu systému, jsou však nezávislé na tom, jakou cestou (způsobem) byl tento stav dosažen. Tento fakt bývá hojně používán při chemických výpočtech. Stavové funkce jsou v chemii tytéž, kterým se v matematice říká funkce kmenové. Například k určení stavu jednosložkového homogenního systému (čisté látky) se používají dvě stavové proměnné, teplota T a objem V. Co je to stavová funkce matematicky? Funkce u proměnných T, V je stavovou funkcí v termodynamickém smyslu, je-li výraz du = f1(T,V)dT + f2(T, V) dV, jejím totálním diferenciálem du(T, V) proměnných dT, dV. Proto musí platit _ du _ du /l_9Ť' a h~dV- Zároveň, ze Schwarzovy věty, si musí být druhé smíšené parciální derivace rovny, tedy d2u dfi df2 d2u dTdV = dV=~df = dVdT' Příklad 4.18. Dokažte, že stavovou funkcí termodynamiky je tzv. termická stavová funkce p proměnných V, T zvaná tlak, platí-li pro ideální plyn Boyleův-Mariottův zákon p = -rr. 58 Parciální derivace Řešení. Uvažujme p = ^y- = p(T, V). Parciální derivace této funkce jsou dp _ R dp _ RT dŤ~V7 dV ~ "T7^ a zároveň d2p R d2p R dTdV =~V1' dV dT = 'V2' tj. smíšené parciální derivace jsou si rovny. Odtud plyne, že tlak p jako funkce objemu a tlaku je stavovou funkcí a její totální diferenciál je R RP dp = — dT ——— d V. (4.10) V Vz Pro výpočty příkladů, kde pracujeme s Boylovým-Mariottovým zákonem, nám tudíž stačí znát pouze počáteční a konečnou hodnotu tlaku ideálního plynu, nezáleží nám na „cestě", kterou se tlak z počátečního do konečného stavu dostal. A Příklad 4.19. Dokažte, že vnitřní energie U(T,V) systému pro ideální plyn je stavovou funkcí, víte-li, že závisí pouze na teplotě T, ale nikoliv na objemu V. Řešení. Uvažujme U = U(T,V) = U(T), což vyjadřuje, že vnitřní energie je funkcí pouze = 0 a smíšená derivace qvqt = 0. Označme Cy = lp, dV teploty. Pak ^ = 0 a smíšená derivace Qy^T = 0. Označme Cy = §|jf, kde Cy je molární tepelná kapacita při konstantním objemu. Vidíme, že Cy je funkcí pouze teploty, proto = 0. Odtud plyne, že smíšené derivace jsou záměnné. Proto je výraz dU = ^dT+^dV = ^dT = CvdT (4.11) totálním diferenciálem. Proto vnitřní energie systému pro ideální plyn je stavovou funkcí. A Příklad 4.20. Ukažte, že teplo Q není termodynamickou stavovou funkcí. Řešení. Platí první věta termodynamická dU = dQ + dA, (4.12) kde dQ je množství tepla, dA práce vložená do systému pro ideální plyn, který se při konstantním tlaku rozepne o objem dV a kterému je dáno teplo dQ. Z (4.12) plyne dQ = dU- dA. Podobně jako v (4.11) lze pro práci vloženou do systému odvodit vztah dA = — pdV. Dosa-díme-li zároveň za dli z výrazu (4.11), tedy dli = CydT. Dostaneme dQ = CydT + pdV. Dále dosaďme za tlak p z Boyle-Mariottova zákona p = -^7-, vyjde RP dQ = CvdT+— dV. (4.13) Cvičení 59 Pro smíšené parciální derivace platí 9 (O - o ^ 9 RT proto výraz (4.13) není totálním diferenciálem a teplo Q není termodynamickou stavovou funkcí. Přivedené množství tepla závisí tedy na tom, přes které mezistavy se dostaneme do konečného stavu. Á Poznámka 4.21. Ve fyzikální chemii se vyjadřuje jako výsledek spojení první a druhé věty termodynamické pro reverzibilní děj vztah pro diferenciální vnitřní energie uzavřeného systému dU = TdS-pdV. Vnitřní energie U je chápána jako funkce entropie S a objemu V, tedy U = U(S, V), a má totální diferenciál Porovnáním obou vztahů získáme parciální derivace vnitřní energie dU „ dU dš = T a dv = -p- Z rovnosti druhých smíšených derivací d2U _ dT d2U _ d(-p) dS dV ~dV a dV dS ~ dS pak usoudíme na vztah dT _ dp dV ~ ~dŠ' Tento vztah bývá využíván ve výpočtech ve fyzikální chemii. Cvičení 1. Vypočtěte parciální derivace 1. řádu funkcí: a) ,y) = x3 + 2x2y + 3xy2 + Ax — 5y, b) f(x, ,y) = (2x + 3y)10 c) y) _ x-y x+y' d) f(x, ,y) = xe3y, e) f(x, y) = sinrrí/, f) f(x, y) = y/x\ny, g) f{x, ,y) = xy ln(rr + y), h) f(x, ,y) = arctg|. 60 Parciální derivace 2. Vypočtěte dané parciální derivace 1. řádu funkcí v bodech: a) f(x,y) = ^, 7,(2,1), b) f(x,y) = \n(x+y/x^+7), W,A), c) f(x,y)=y2 + yVTTx^, fy(2,5), d) f(x,y) = ln(x + ^),fx(l,2). 3. Určete směrovou derivaci funkce f = Ay — x2y3 ve směru vektoru v = (3, —2, — \/3)- 4. Vypočtěte parciální derivace 2. řádu funkcí: a) f(x, y) = x4 + y4 — Ax2y2, b) f(x, y) = 3xy4 + x3y2, c) f(x,y)=xyey, d) j(x,í/) e) f(x,y) = %, f) g) = xsin(x + í/), h) f(x,y) = in^/x2 + y2. 5. Určete diferenciál funkce v daném bodě: a) f(x,y) = xy+ |, [1,1], b) f(x,y) = \fx2 + y21 [1,1]. 6. Pomocí diferenciálu přibližně vypočtěte: a) arctgig, b) e0'053-°'02. 7. Najděte rovnice tečné roviny ke grafu funkce v daném bodě: a) f(x,y) = y/xy, [1,1,1], b) f(x,y) = x2 + xy + 2y2, [1,1,4]. 8. Zjistěte, zda dané výrazy jsou totálními diferenciály nějaké funkce: a) {x + lny) dx + (| + siny) dy, b) xsin2y dx + x2 cos 2y dy. 9. Ověřte, že dané výrazy jsou totálními diferenciály nějaké funkce a tuto funkci najděte: a) ^g|, b) (y2 - 1) dx + (2^ + 3y) dy. y/x' Výsledky: 1. a)fx = 3x2 + Axy + 3y2, fy = 2x2y + 6xy-5, b) fx = 20(2x + 3y)9, fy = 30(2x + 3y)9, c) /i = (x+y)2> A/ = ~~ (x+j/)2' ^) ^ = e^V> fy = 3xe3y, e) /j. = ycosxy, fy = xcosxy, 0/« = ĚI, /B = f ,g)/B = ířIn(x + y) + ^, /w=xln(x + í,) + ^., M f = _2_ f =__2_. J J x ^2_|_^2 j ^ x^ ~\~y^ ' 2. a) 7,(2,1) = §, b) 7,(3,4) = i, c) fy(2, 5) = 10 + VŠ, d) /.(l, 2) = 0. 3. /„ = -Ixy3 -2 + lx2y2. Cvičení 61 4. a) fxx = 12x2 - 8y2, fxy = -16xy, fyy = 12y2 - 8x2, b) fxx = 6xy2, fxy = 12y3 + 6x2y, fyy = 36xy2 + 2x3, c) fxx = O, fxy = ey(l + y), fyy = ey(2y + xy), d) fxX O, fXy ^2, fyy ^3 , 6) fxX O, fXy ^3, fyy ^4 , n f _ —3xy2 r _ 2x2y—y'i r _ — x'i+2xy2 í) Jxx — 3 , jm/ — 5 , Jj/j/ — 5 , (XÁ+yÁ)2 (pi+yi^ [xA+yA^ g) fxx = 2cos(x + y) - xsin(x + y), fxy = -xsm(x + y), fyy = -x sin(x + y), 1 \ *■ _ y2-x2 r _ 2xy r _ y2-x2 U) J XX — (x2+y2}2, Jxy — (x2+y2}2, Jyy ~ (x2+y2}2- 5. a)2dx, h)^§dx + &dy. 6. a) f + 0,035, b) O, 98. 7. a) x + y - 2,2 = O, b) 3x + 5y - z - 4 = 0. 8. a) ano, b) ano. 9. a) ano, f (x, y) = yj x2 + y2 + C, b) ano, f (x, y) = xy2 — x + |y2 + C. 62 Kapitola 5 Extrémy funkcí více proměnných Vyšetřování extrémů funkcí je jednou z nejdůležitějších částí diferenciálního počtu funkcí jedné i více proměnných. Nejprve studujeme lokální extrémy. Zde vyšetřujeme danou funkci pouze lokálně, tj. v okolí nějakého bodu. Pokud je předepsána množina a máme najít bod této množiny, v němž funkce nabývá největší, resp. nejmenší hodnoty, mluvíme o absolutních extrémech. 5.1 Lokální extrémy Definice 5.1. Řekneme, že funkce f(x,y) nabývá v bodě [^OjŽ/o] lokálního maxima, jestliže existuje okolí tohoto bodu takové, že pro všechny body z tohoto okolí platí f(x,y) < f(x0,y0). (5.1) Podobně definujeme lokální minimum. Jsou-li tyto nerovnosti ostré pro všechny body tohoto okolí různé od bodu [rr0,í/o]? mluvíme o ostrých lokálních maximech a minimech. Lokální maxima a lokální minima souhrnně nazýváme lokální extrémy. Příklad 5.2. i) Funkce f(x, y) = \f x2 + y2 má v bodě [x, y] = [0, 0] ostré lokální minimum, neboť /(0,0) = 0 a pro každé [x,y] ^ [0,0] je f(x,y) > 0. Grafem funkce je část kuželové plochy. ii) Funkce /: IR2 —y IR definovaná předpisem f(x y) = íx2 + ž/2' pro y\ ŕ [°> °]> \ i, Pro lx,y] = [o,o], má v bodě [0, 0] ostré lokální maximum, neboť pro [x, y] ^ [0,0] dostatečně blízko počátku platí/(*,ž/) 0, (5.3) pak má funkce f v [xQ,y0] ostrý lokální extrém. Je-li fxx(xQ,y0) > 0, jde o minimum, je-li fxx(xo,yo) < 0, jde o maximum. Jestliže D(xo,yo) < 0, pak v bodé [xo,yo] lokální extrém nenastává. Poznámka 5.5. V případě, kdy D(xo,yo) = 0, nemůžeme podle této věty rozhodnout a musíme najít jinou cestu jak určit, zda v tomto bodě extrém je a nebo není. Příklad 5.6. Určete lokální extrémy funkce f(x,y) = x3 + y3 - 3xy. Řešení. Funkce, jejíž extrémy hledáme, je polynomem proměnných x,y, a proto jsou její parciální derivace spojité v celém IR2. Lokální extrémy proto mohou nastat pouze ve stacionárních bodech, které najdeme jako řešení soustavy rovnic fx = 3x2 - 3y = 0, fy = 3y2 - 3x = 0. Z první rovnice plyne y = x2 a dosazením do druhé rovnice dostáváme x4 — x = x(x — l)(x2 + x + 1) = 0, odtud X\ = 0,x2 = 1 (kvadratický trojčlen x2 + x + 1 má záporný diskriminant, a je proto vždy kladný). Existují tedy dva stacionární body Pľ = [0,0], P2 = [1,1]- Dále platí fxx = 6x, fyy = 6y, fxy = -3, odtud D(x, y) = 36xy - 9, tj. D(Pľ) = -9 < 0, D(P2) = 36 - 9 = 27 > 0. Podle věty 5.4 v bodě P\ extrém nenastává a v bodě P2 nastává ostré lokální minimum, neboť zxx(P2) = 6 > 0. A Příklad 5.7. Určete lokální extrémy funkce f(x, y) = 2x3 — xy2 + 5x2 + y2. 64 Extrémy funkcí více proměnných Řešení. Funkce / je včetně všech svých parciálních derivací spojitá v celém oboru IR2, takže může mít extrémy pouze ve stacionárních bodech. Stacionární body určíme ze soustavy fx : 6x2 + Wx - y2 = 0 fy:-2xy + 2y = 2y(l-x) = 0. Druhá rovnice je splněna pro y = 0 nebo x = 1. Dosazením těchto hodnot do první rovnice dostáváme: Pro x = 1 je 6 + 10 — y2 = 0, tedy y±)2 = ±4. Pro y = 0 je 6x2 + lOx = 0, tedy X\ = —^, x2 = 0. Stacionární body tedy jsou Si = [1,4], ^2 = [1,-4], S3 = [—|,0],S,4= [0,0]. Určíme druhé derivace funkce / fxx 12 X +10, fyy 2X + 2, fXy fyX 2í/. V každém z těchto bodů S = [xo,yo] určíme hodnotu výrazu D(S) = fxx(x0,y0)fyy(x0,y0) - [fxy(x0,y0)]2. Dostáváme D(S!) = -64 < 0, D(S2) = -64 < 0, D(S3) = —— < 0, D(S4) = 20 > 0. Lokální extrém tedy existuje pouze v bodě S4 = [0,0]. Protože platí fxx(S4) = 10 > 0 je v bodě S4 lokální minimum a platí /(0, 0) = 0. Á Příklad 5.8. Určete lokální extrémy funkce f(x,y) = ex2-y(5-2x + y). Řešení. Funkce f(x,y) je včetně všech svých parciálních derivací spojitá v celém oboru IR2, takže může mít extrémy pouze ve stacionárních bodech. Stacionární body určíme ze soustavy fx : ex2-y(-Ax2 + 2xy + lOrr - 2) = 0 ./;:<••'" ?ŕi2.r U li 0. 2 Protože výraz ex ~y 0, řešíme soustavu -Ax2 + 2xy + lOx - 2 = 0 2x - y - A = 0. Vyjádříme-li ze druhé rovnice y = 2x — A a dosadíme-li do rovnice první, obdržíme rovnici —2x + 2 = 0. Získáme tak stacionární bod S = [1, —2]. Určíme druhé derivace funkce f(x,y): fxx = ex2-y(-8x3 + Ax2y + 20x2 - 12x + 2y + 10), fyy = ex2-y(-2x + y + 3), fxy = fyx = ex2-y(Ax2 - 2xy -8x + 2). V bodě S určíme hodnotu výrazu D(S) = fxx(1, —2)fyy(1, —2) — fxy(1, —2)fyx(1, —2). Dostáváme D(S) = —2e3(—e3) — 4e6 = —2e6 < 0. Proto funkce f(x,y) nemá lokální extrém. A 5.2 Absolutní extrémy 65 Příklad 5.9. Určete lokální extrémy funkce f(x, y) = x4 + y4 - x2 - 2xy - y2. Řešení. Stacionární body určíme jako řešení soustavy rovnic fx = Ax3 - 2x - 2y = 0, fy = Ay3 -2x-2y = 0. (5.4) Odečtením rovnic dostáváme x3 — y3 = 0, odtud x = y a dosazením do jedné z rovnic v (5.4) dostáváme tři stacionární body P\ = [0, 0], P2 = [1,1], P3 = [—1, —1]. Dále D(x,y) = fxx(x,y)fyy(x,y) - [fxy(x,y)}2 = (12x2 - 2)(\2y2 - 2) - 4. Protože D(P2) = D(P3) = 96 > 0 a fxx(l,l) = fxx(-l,-l) = 10 > 0, má funkce / v obou těchto stacionárních bodech ostré lokální minimum. Ve stacionárním bodě Pi je však D(Pi) = 0, proto o existenci extrému v tomto bodě nelze takto rozhodnout. Zde postupujeme následujícím způsobem: Funkci / můžeme upravit na tvar f(x,y) = x4 + y4 — (x + y)2. Odtud f(x, —x) = 2x4 > 0 pro i/O. Na druhé straně f(x, 0) = x4 — x2 = x2(l — x2) < 0 pro x G (—1, 0) U (0,1). V libovolném okolí bodu [0, 0] tedy funkce / nabývá jak kladných, tak záporných hodnot, což spolu s faktem, že /(0, 0) = 0, znamená, že v tomto bodě lokální extrém nenastává. Á 5.2 Absolutní extrémy Definice 5.10. Nechť je dána množina M v rovině, bod [rrož/o] leží v této množině a funkce f(x,y) je definovaná na této množině. Řekneme, že funkce f(x,y) nabývá v bodě [rrož/o] absolutní maximum na množině M, jestliže pro všechny body této množiny platí nerovnost f(x,y) < f(x0,y0). Podobně definujeme absolutní minimum funkce na množině. Absolutní maxima a minima souhrne nazýváme absolutní extrémy. Na otázku, kdy má funkce na množině absolutní extrémy, dává odpověď Weierstrassova věta: Je-li množina M ohraničená a uzavřená a funkce spojitá na této množině, pak existují absolutní extrémy na této množině. Tato podmínka bude ve všech našich úlohách splněna. Navíc budou tyto funkce diferencovatelné, tudíž budou mít spojité parciální derivace 1. řádu. Postup, jak hledáme absolutní extrémy: 1) Najdeme stacionární body a vybereme ty, které leží uvnitř množiny M. 2) Vyšetříme danou funkci na hranici množiny. Zpravidla tvoří tuto hranici úsečka nebo půlkružnice. Rovnici této křivky, která tvoří část hranice, dosadíme do funkce f(x,y) a vyšetřujeme absolutní extrémy vzniklé funkce jedné proměnné. 66 Extrémy funkcí více proměnných Příklad 5.11. Určete největší a nejmenší hodnotu funkce f(x,y) = x2 + y2 -xy- x-y na oblasti popsané nerovnicemi x > 0, y>0&x + y<3. Řešeni. Vyšetříme nejprve lokální extrémy funkce f(x,y). Stacionární body určíme ze soustavy fx:2x-y-l = 0 fy:2y-x-l = 0. Snadno určíme, že jediným stacionárním bodem je bod S = [1,1], který zřejmě leží uvnitř dané oblasti. Platí /(l, 1) = —1. (Není třeba dokazovat, že jde o lokální extrém. Hodnotu v tomto bodě porovnáme s hodnotami získanými na hranici oblasti.) Nyní budeme hledat největší a nejmenší hodnotu funkce f(x,y) na hranici trojúhelníka, který je tvořen úsečkami: I. y = 0, x G [0, 3] ,11. y = 3-x , x G [0, 3], III. x = 0, y G [0, 3]. I) y = 0, x G [0,3]. Dosazením dostáváme f (x, 0) = x2 — x a hledáme absolutní extrémy této funkce jedné proměnné pro x G [0,3]. Platí f (x) = 2x—l, odtud x = |. Funkční hodnoty ve stacionárním bodě a v krajních bodech intervalu jsou /(i) = -i, /(0) = 0 a f (3) = 6.^ ^ II) y = 3 — x, x G [0, 3]. Dosazením dostáváme f(x, 3 — x) = 3x2 — 9x + 6 a hledáme absolutní extrémy této funkce jedné proměnné pro x G [0,3]. Platí f (x) = 6x — 9, odtud x = |. Funkční hodnoty ve stacionárním bodě a v krajních bodech intervalu jsou /(§) = -f, /(0) = 6 a /(3) = 6. III) x = 0, y E [0,3]. Dosazením dostáváme /(0,ž/)=ž/2-ž/ a hledáme absolutní extrémy této funkce jedné proměnné pro y G [0,3]. Platí f (y) = 2y— 1, odtud y = \. Funkční hodnoty ve stacionárním bodě a v krajních bodech intervalu jsou /(i) = -\, /(0) = 0 a /(3) = 6. Vidíme, že platí: /(l, 1) = -1, /(±,0) = -±, /(0,0) = 0, /(3,0) = 6, /(§,§) = -f, /(0,3) = 6,/(0,i) = -|. Porovnáním všech vypočtených hodnot vidíme, že funkce f(x,y) nabývá na oblasti své nejmenší hodnoty v bodě [1,1] a své největší hodnoty v bodech [3, 0] a [0, 3]. Dostáváme tak Ímin = -1, pro [x,y] = [1,1], /max = 6, pro [x,y] = [3,0] a [x,y] = [0,3]. A 5.2 Absolutní extrémy 67 Příklad 5.12. Určete největší a nejmenší hodnotu funkce f(x,y) = x2 - y2 v kruhu x2 + y2 < A. Řešeni. Vyšetříme nejprve lokální extrémy funkce f(x,y), která je včetně všech svých parciálních derivací spojitá v celém oboru IR2. Stacionární body určíme ze soustavy fx:2x = 0 fy ■ -2y = 0. Jediným stacionárním bodem je bod S = [0,0], který zřejmě leží uvnitř daného kruhu. Obvyklým způsobem bychom nyní mohli ukázat, že v tomto bodě funkce f(x, y) nemá lokální extrém. Hledáme-li největší a nejmenší hodnotu funkce na daném kruhu, stačí porovnat hodnotu /(O, 0) = 0 s hodnotami, které získáme na hranici kruhu. Budeme tedy nyní hledat největší a nejmenší hodnotu funkce f(x,y) na kružnici x2 + y2 = 4. Tu si rozdělíme na dvě části, horní a dolní půlkružnici. I) Horní půlkružnice je popsána rovnicí y = y/A — x2, pro x E [—2,2]. Dosazením do předpisu funkce f(x,y) dostáváme f(x, yjA - x2) = x2 - A + x2 = 2x2 - A. Obdrželi jsme funkci f(x) jediné proměnné a její absolutní extrémy nyní najdeme (v tomto jednoduchém případě bychom to mohli snadno vyšetřit graficky). Jsou buď ve stacionárních bodech funkce f{x) nebo v krajních bodech intervalu [—2,2], tj. krajních bodech půlkružnice. Položíme f'{x) = Ax = 0, odkud získáváme jediný stacionární bod x0 = 0, pro který platí /(0) = —A. V krajních bodech intervalu [—2,2] nabývá funkce f(x) hodnot /(—2) = /(2) = 4. II) Dolní půlkružnice je popsána rovnicí y = —y/A — x2, pro [—2, 2]. Po dosazení do předpisu funkce f(x,y) dostáváme stejnou úlohu, jako v případě I. Porovnáním všech vypočtených hodnot vidíme, že /min = -4, pro [x,y] = [0, ±2], /max = 4, pro [x,y] = [±2,0]. A Příklad 5.13. Určete nejmenší a největší hodnotu funkce f(x, y) = xy - x2 - y2 + x + y v trojúhelníku tvořeném souřadnými osami a tečnou ke grafu funkce y = - v bodě [2, 2]. 68 Extrémy funkcí více proměnných Řešení. Nejprve určeme rovnici tečny ke grafu funkce y = -. Platí y' = — \, tj. rovnice tečny v bodě [2,2] je y = 2 — |(rr — 2) = — x + 4. Tedy množinou M, na níž hledáme absolutní extrémy, je množina M = {[x, y] G R2 : x > 0,y > 0,y < 4 - x}. Určíme stacionární body funkce z fx=y-2x + l = 0, fy=x-2y + l = 0, odkud dostáváme stacionární bod [x, y] = [1,1] G M. Nyní vyšetřeme funkci / na hranici množiny M, která se skládá z úseček I. y = 0, x G [0,4], II. x = 0, y G [0,4], III. y = 4 - x, x G [0,4]. I) y = 0, x G [0,4]. Dosazením dostáváme ■u = /(x, 0) = —x2 + x a hledáme absolutní extrémy této funkce jedné proměnné pro x G [0,4]. Položíme u'(x) = —2x + 1 = 0, odtud x = |. Funkční hodnoty ve stacionárním bodě a v krajních bodech intervalu jsou w(|) = ^, it(0) = 0, it(4) = —12. II) x = 0, y G [0,4]. Dosazením dostáváme « = /(0,Ž/) = -ž/2 + y a stejně jako v části I v(0) = 0, v (A) = —12, w(|) = |. III) y = 4 — x, x E [0,4]. Dosazením dostáváme w = f(x, 4 - x) = x{A - x) - x2 - (4 - x)2 + x + 4 - x = -3x2 + 12x - 12. Položíme w'(x) = —6x + 12 = 0, odtud x = 2, w(2) = 0. V krajních bodech w(0) = -12,w(A) = -12. Porovnáním funkčních hodnot funkce / na hranici (tj. hodnot funkcí u,v,w v jejich stacionárních bodech a v krajních bodech intervalů, kde tyto funkce vyšetřujeme) s funkční hodnotou funkce / v jediném stacionárním bodě [1,1] vidíme, že /min = -12 pro [x,y] = [0,4] a [x,y] = [4,0], /max = 1 pro [x,y] = [1,1]. Závěrem poznamenejme, že algebraické úpravy spojené s vyjádřením funkce / na hranici bývají nejčastějším zdrojem numerických chyb. Máme však k dispozici poměrně dobrou průběžnou kontrolu. V bodě [x, y] = [4, 0] se stýkají části hranice I a III, a tedy funkce uzl musí pro x = 4 nabývat stejné funkční hodnoty jako funkce w z III v x = 4. V našem případě je it(4) = —12 = w(A). Podobně v bodě [0, 0] se stýkají části I a II a v bodě [0,4] části II a III. Také v těchto bodech průběžná kontrola vychází, neboť u(0) = 0 = v(0) a w(0) = v (A) = —12. Doporučujeme čtenáři tuto kontrolu vždy provést, neboť značně minimalizuje možnost šíření numerické chyby ve výpočtu. Á Cvičení 69 Cvičení 1. Určete lokální extrémy funkcí a) f(x,y) = x2 - f- Axy + 6y2 — 2x + 8y, b) /(z y) = —3x4 — 5í/4, c) f(x,y) = x2 - - y2 — xy — 2x + y, d) /(z y) = 10x2y — hx2 — e) f(x,y) = x2 - Vy2 + x2y + 4, f) y) = xy — 2x — y, g) f(x,y) = 4 x - - y4 — Axy + 1, h) f (x y) = xy(A — x — y). 2. Určete absolutní extrémy funkcí na množině M a) f (x, y) = 1 + Ax - 5y, M je trojúhelník s vrcholy [0, 0], [2, 0], [0, 3], b) f (x, y) = x2 + y2 + 3xy + 2, M je omezená grafy funkcí y = \x\ a y = 2, c) f {x, y) = 3xy, M je kruh x2 + y2 < 2, d) f (x, y) = 2x2 + Ay2, M je kruh x2 + y2 < 9, e) f (x, y) = x3 + y3 - 9xy + 27, M je čtverec s vrcholy [0, 0], [4,0], [4,4], [0,4], f) f (x,y) = Ax + 6y - x2 - y2, M = {[x,y}: 0 < x < A, 0 < y < 5}. 70 Extrémy funkcí více proměnných Výsledky: 1 • /min = -19 v bodě [7,-3], b) /max = 0 v bodě [0,0], c) /min = -1 v bodě [1,0], d) /min = 0 v bodě [0,0], ^0 /min = 4 v bodě [0,0], f) /min = -2 v bodě [1,2], §) /min = -1 v bodech [1,1] a [-1, -1], = | v bodě [|,|]. h) /min 2- &) /min = -14 v bodě [0, 3], /max = 1 v bodě [0, 0], b) /min = 2 v bodě [0, 0], /max = 22 v bodě [2,2], c) /min = -3 v bodech [-1,1] a [1,-1], /max = 3 v bodech [1,1] d) /min = 0 v bodě [0, 0], /max = 18 v bodech [0, 3] a [0, -3], ^) /min = 0 v bodě [3, 3], /max = 91 v bodech [0,4] a [4, 0], f) /min : = 0 v bodech [0, 0] a [4, 0], /max = 13 v bodě [2, 3]. 71 Kapitola 6 Dvojný integrál V této kapitole se budeme zabývat integrálem funkce dvou proměnných - tzv. dvojným integrálem. Ukážeme dva způsoby, jak lze vypočítat dvojný integrál: Převedení dvojného integrálu na dva jednoduché integrály (tzv. Fubiniova věta) a pomocí transformace do polárních souřadnic. 6.1 Co je dvojný integrál Připomeňme si, co je integrál funkce jedné proměnné (jednoduchý integrál). Je-li funkce f(x) nezáporná a spojitá na intervalu [a, b], pak integrál této funkce na intervalu [a, b] ŕ / f (x) dx J a je číslo, které vyjadřuje obsah rovinného obrazce M ohraničeného grafem této funkce, osou x a přímkami x = a a x = b. Pomocí nerovností můžeme množinu M zapsat M = {[x, y] G m2 : a < x < b, 0 < y < f (x)}. Tento integrál lze spočítat pomocí primitivní funkce F k funkci / jako F (b) — F (a). Dvojný integrál je integrál funkce dvou proměnných. Při zavedení tohoto pojmu vyjdeme z geometrického významu dvojného integrálu: Nechť funkce f(x,y) je nezáporná a spojitá na množině M C IR2 M = {[x,y] G m2 : a < x < b, ip(x) < y < i/j(x)}, (6.1) kde (p(x), ip(x) jsou spojité funkce na intervalu [a, b] a (x) f(x,y)dxdy= / / f(x,y)dy\ dx. (6.3) J a \Jip(x) M Příklad 6.5. Vypočtěte x3y dx dy, M kde množina M je čtvrtkruh o daném poloměru r > 0 se středem v počátku, ležící v prvním kvadrantu. Řešeni. Množinu, přes kterou integrujeme, můžeme popsat nerovnostmi 0\/r2—x2 x3y dy = x3 y_ 2 \Jr2 — x2 Proto dvojný integrál je m i r i x3y dxdy = - J (x3r2 — x5) dx = — x3(r2 — x2). 4 2 fi 00 i" 00 4 6 24 Příklad 6.6. Vypočtěte (2x + y) dx dy, M kde množina M je lichoběžník určený přímkami x = 1, x = 2, y = 1 a y = 2x Řešeni. Z obrázku 6.1a vidíme, že platí l 0 je popsána

0. 6.4 Transformace dvojného integrálu 77 Příklad 6.9. Popište množinu, která je zapsaná v polárních souřadnicích: 7t 7t 2 < g \x\. 6.4 Transformace dvojného integrálu 79 Řešeni. Oblast ohraničená danými křivkami je část mezikruží, která je ohraničená přímkami y = x a y = —x. Popsat mezikruží již umíme, jak můžeme popsat dané přímky? Jedna z možností je přímo, z názorného významu polárních souřadnic, tj. y = x je ip = ^ a y = —x je ip = Druhá možnost je pomocí dosazení transformačních rovnic a řešení příslušné goniometrické rovnice, například pro y = x, dostáváme cos ip = sirup a odtud p> = |. V polárních souřadnicích tak můžeme množinu M popsat nerovnostmi: 7t 37t l< Q<2, - < ip< —. 4-^-4 Pro daný integrál platí x2 + í/2) dx dy M q (cos ip + sin ip) dg dtp 3ir 4 gó dg ■ I (cos2 ip + sin2 ip) dtp r 4i2 Q J 1 r i¥ 15 Nyní podrobněji popíšeme transformaci dvojného integrálu. Tu lze provést nejen pro polární souřadnice, ale pro libovolnou „pěknou" transformaci. Příkladem je zobrazení, které transformuje rovnoběžník na obdélník (takové zobrazení je lineární), nebo zobrazení které transformuje elipsu na obdélník. Výběr transformace se provádí podle tvaru množiny, přes kterou integrujeme. Nejprve zaveďme následující pojmy. Definice 6.14. Nechť je dáno zobrazení F: IR2 —y IR2 určené rovnicemi x = k(u,v), y = l(u,v), (6.4) kde funkce k a / mají spojité parciální derivace prvního řádu. Pak F se nazývá spojité diferencovatelné zobrazení a determinant k 1 u u k 1 J(u,v) se nazývá jakobián zobrazení F. Jestliže J(u,v) ý 0, pak se toto zobrazení nazývá regulární. Například, lineární zobrazení x = au + bv, y = cu + dv má jakobián J = ad — bc. Toto zobrazení je regulární, jestliže ad ^ bc. Toto zobrazení při vhodné volbě konstant transformuje rovnoběžník v rovině xy na obdélník v rovině uv. Věta 6.15. Nechť je dána spojitá funkce f proménných x a y na množiné M dané vztahem (6.1). Nechť F: IR2 —y IR2 je prosté regulární zobrazení zadané rovnicemi (6.4) a nechť M = 80 Dvojný integrál F (B). Pak platí f (x,y) dxdy = J J f[k(u,v),l(u,v)]\J(u,v)\dudv. M B Příklad 6.16. Určete obsah rovnoběžníku M: x < y < x + 1, Řešeni. Označme nové proměnné u = y — x, Pak z (6.5) dostaneme 0 < u < 1, 2x - 2 < y < 2x. v = y — 2x. -2p> = 0 a >p> = ^, máme tak popis množiny M 0 < g < 2 cos (p, 0 <

= 2 I cos2v?dv9 (1 + cos 2ip) dip (f + - sin2(^ 7t 1 4 + 2' Obrázek 6.4: Množina M z příkladu 6.1É Příklad 6.19. Určete objem V tělesa, které je ohraničené plochou rotačního paraboloidu z = x2 + y2 nad čtvercem určeným body [0, 0], [1, 0], [0,1] a [1,1]. Řešeni. Objem daného tělesa je dán integrálem jJ (x2 +y2) dx dy, kde M je množina tvořená m daným čtvercem. Pro hledaný objem tak dostáváme V (x2 + y2) dx dy M 1 o \Jo 1 (x2 o V -i r dx dx / 1 J 0 v s 1 xó _1 X Y"1 ~ 3 0 2 . y x y H-- y 3 2 3 dx 82 Dvojný integrál Příklad 6.20. Určete hmotnost H obdélníkové desky M: 0 < x < 2, 0 < y < |, která má v každém bodě [x,y] plošnou hustotu p(x,y) = xy. Řešeni. Pro hmotnost H tenké desky M platí H = J J p(x,y) dxdy. M Dostáváme tak H M xydxdy=l / xydy\dx= xdx ■ ydy o \Jo I Jo Jo 2 9 9 = 2-- = -. 8 4 r 2i 2 r 2i X y _~2 0 _ 2 _ Poznámka 6.21. Mezi další fyzikální aplikace patří například určení momentů setrvačnosti či těžiště daného rovinného útvaru, případně určení celkového elektrické náboje na rovinné desce. Závěrem ukažme, jak lze dvojný integrál použít pro výpočet integrálu funkce jedné proměnné v případě, že neznáme primitivní funkci. Příklad 6.22. Vypočtěte nevlastní integrál e~x2 dx. Řešení. Podle poznámky 6.2 c) platí e x dx■ e y dy o Jo e x e y dxdy e-{x2+y2)dxdy, M M kde M je čtverec [0, a] x [0, a]. Pro a —> oo dostaneme oo roo &~x2 dx ■ / e~y2 dy o Jo e-(x2+y2)dxdy, (6.7) kde J je první kvadrant. Pro výpočet dvojného integrálu použijeme transformaci do polárních souřadnic a dostaneme e-(x2+y21 dxdy = Jj ^jí e^2£d£ ) dV. Použijeme substituci t = g2. Pak dŕ = 2gdg a dostaneme -(x2+y2^dxdy ~2 a 1 r - dip-- e o z Jo oo _ 7t o - 4- Odtud a z (6.7) plyne _T2 . \/n e dx 2 Cvičení 83 Cvičení 1. Vypočtěte následující integrály a) J J (x2 + y2)dxdy, kde M je čtverec určený body [0, 0],[2, 0],[0, 2] a [2,2]. M b) j j xy2 dxdy, kde M je lichoběžník omezený přímkami y = —1, j/ = i)j: = 0ai = 2. m c) j j xydxdy, kde M je množina ohraničena nerovnostmi 1 < x < A, - 0, y > 0. m b) JJ rry2 dx dy, kde množina M je menší kruhová úseč vyťatá přímkou x + y = 1 v kruhu m X2 +í/2 < 1. c) J J e~x ~y dxdy, kde pro množinu M platí x2 + y2 < 1, x > 0. m d) j j y/ x2 + í/2 dxdy, kde pro množinu M platí x2 + y2 — 2y < 0. m e) J J arctg ^ dx dy, kde pro množinu M platí x2 + í/2 > 1, x2 + y2 < 3, y > -j=, y < y/Šx M í) j j (x2 + y2) dx dy, kde pro množinu M platí 1 < x2 + y2 < 4, y > 0, y < x. M g) JJ ydx dy, kde pro množinu M platí x2 + y2 < 4, y < x, y > —x. M 3. Určete obsah množiny M a) Množina M je ohraničena hyperbolou xy = 1 a přímkou 2x + 2y = 5. b) Množina M je omezená kružnicemi x2 +y2 = 2x, x2 + y2 = Ax a přímkami y = x, y = 0. 4. Pomoci nových proměnných u = - a v = yx vypočítejte obsah množiny M, která je ohraničená funkcemi y = x, y = 2x, y = - a y = -. Výsledky: 1. a) f, b) f, c) f - ln2, d) J, e) f) 4 + ^ g) f. 2. a) |,b)^,c)^,d)f,e)f,f)i|7r,g)0. 3. a) f-21n2, b) |tt - § 4. m(M) = ln 2 84 Kapitola 7 Trojný integrál Podobně jako jsme v předcházející kapitole integrovali funkci dvou proměnných, budeme se nyní zabývat integrálem funkce tří proměnných - trojným integrálem. Fyzikálně můžeme definovat trojný integrál takto: Hmotnost tělesa je rovna součinu jeho hustoty a objemu. Máme-li těleso V C IR3 a jeho hustota je v bodě (x,y,z) rovna f(x,y,z), pak hmotnost tohoto tělesa je dána trojným integrálem f(x, y, z) dx dy dz. Geometricky můžeme definovat trojný integrál funkce f(x,y,z) = 1 na množině (tělese) V jako míru této množiny (tj. objem tělesa) dx dy dz = m(V). K výpočtu slouží opět Fubiniova věta, která převádí trojný integrál na trojnásobný, a transformace integrálu, nejčastěji do válcových nebo sférických souřadnic. 7.1 Fubiniova věta pro trojný integrál Základní metodou pro výpočet trojného integrálu je Fubiniova věta, která je podobná jako pro dvojný integrál. Věta 7.1 (Fubini). Nechi funkce f(x,y,z) je spojitá na kvádru (trojrozměrném intervalu) J = [a, b] x [c, d] x [e, g]. Pak trojný integrál je f(x,y,z)dxdydz= í \[ (í f(x,y,z)dz] dyX dx. a K J c \J e Poznámka 7.2. a) Jednoduché integrály na pravé straně jsou dobře definované (tj. funkce jsou integrovatelné). Podrobněji, označíme-li J\ = [c, d] x [e, g], pak platí: 7.1 Fubiniova věta pro trojný integrál 85 1) Funkce h(x) = jj g(x, y, z) dy dz je integrovatelná na intervalu [a, b] a Ji b rb g(x, y, z) dx dy dz = j h{x)dx = j \ I I g(x,y, z) dydz | dx. Ji 2) Podobně, funkce k(y, z) = g(x,y, z) dx je integrovatelná na dvojrozměrném intervalu Ji a g(x, y, z) dx dy dz = J J k(y,z)dydz = J J g(x,y,z)dxj dydz. j Ji Ji b) Když jsme počítali dvojný integrál přes obdélník, nezáleželo na pořadí v jakém integrujeme, podobně ani u trojného integrálu nezáleží při integraci na pořadí, pokud integrujeme přes kvádr. Příklad 7.3. Vypočtěte trojný integrál (x + y) dx dy dz, v kde množina V je krychle, pro kterou platí 0 < x < 1, l<í/<2a0 dx = J (^J (x + y) [z]q dy^j dx v [x + y) dy J dx = o \Ji / JO L 1 / i \ rl , y 1 xy + — a j i dx 2x + 2 — x--| drr = / (x + - \ dx V Jo V 2 ' x2 3 --1—x 2 2 2. Věta 7.4 (Fubini). Nechť je dána množina v rovině M = {[x,y] E R2: a dx v 0 I jo \j0 2 ^ Jo Oo dy) dX (x + xy) dy I dx = -o \Jo J 2 jq |_ 2 r 3 1 ' dx = - x3 dx 2 2 1 x x y -\- ~2~ 0 3 r 4i 2 — = 3 4 _ 4 _ 0 dx Příklad 7.6. Vypočtěte z dx dy dz, v kde množina V je ohraničena rovinami x + y + z = 1, z = 0, y = 0 a x = 0. Řešeni. Při výpočtu trojného integrálu, kdy daná množina není dána nerovnostmi, je výhodné si nakreslit dva obrázky, jeden pro danou množinu V a jeden pro její projekci na některou ze souřadných rovin (např. rovinu xy). V tomto případě můžeme vidět, že spodní hranicí našeho 7.2 Valcové souřadnice 87 tělesa je rovina z = 0 a horní hranicí je rovina x + y + z = 1, resp. z = 1 — x — y. Obě tyto roviny se protínají v přímce x + y= l{y = l — x), které leží v rovině xy. Projekce do roviny xy je proto trojúhelník a máme tak popis dané množiny V = {(x,y,z): 0 < x < 1,0 < y < 1 - x,0 < z < 1 - x - y} , což nám umožní vypočítat daný integrál pomocí Fubiniovy věty A 7.2 Válcové souřadnice Integrujeme-li přes válec V nebo jeho část, pak místo kartézských souřadnic x, y, z je výhodné používat válcové souřadnice g, ip a z. Nechť bod v prostoru má kartézské souřadnice [x,y,z\. Pak válcové souřadnice jsou z (beze změny) a místo kartézských souřadnic x, y jsou polární souřadnice průmětu tohoto bodu do roviny xy. Odtud plynou rovnice transformace pro převod kartézských souřadnic do válcových: x = g cos ip, y = g sin (p, z = z. Příklad 7.7. Zapište ve válcových souřadnicích následující množiny: a) válec s osou v ose z, poloměrem r = 10 a výškou v = 100; b) část koule se středem v počátku, poloměrem r = 2 ležící v prvním oktantu (tj. x > 0, y>o,z>o). Řešeni, a) Průmětem válce do roviny xy je kruh o poloměru 10. Vzhledem k tomu, že popis v této rovině provádíme pomocí polárních souřadnic a výška válce je 100, musí všechny body válce splňovat nerovnosti 0 < (f < 2tt, 0 < g < 10, 0 < z < 100. 88 Trojný integrál b) Průmětem části koule do roviny xy je čtvrtkruh, který můžeme v polárních souřadnicích popsat nerovnostmi 0 <

0 0 0 1 Q. 7.3 Transformace trojného integrálu Protože válcové souřadnice jsou analogií polárních souřadnic v rovině, postupujeme při transformaci trojného integrálu do válcových souřadnic podobně jako při transformaci dvojného integrálu. Věta 7.8. Nechť funkce f(x,y,z) je spojitá na množině V c ir3 a nechť je tato množina určená ve válcových souřadnicích nerovnostmi ) < z < ^(g,(p), kde funkce Qi, q2, $>(q,,z) gáz ) )■ dip. Příklad 7.9. Vypočtěte trojný integrál „2 , „2 X í/2) áxáyáz, v kde pro množinu V platí x2 + y2 < 2z a z < 2. 7.3 Transformace trojného integrálu 89 2' \ x 12 (a) Průmět do roviny xz (b) Průmět do roviny xy (c) Graf funkce z = x2 + y2 Obrázek 7.2: Množina V z příkladu 7.9 Řešeni. Množina V představuje část rotačního paraboloidu z = x ~t,y , který je shora seříznut rovinou z = 2, která je rovnoběžná s rovinou Oxy. Integrál transformujeme do válcových souřadnic. Řez rovinou z = 2 získáme dosazením do rovnice paraboloidu, máme tak 4 = x2 + y2. Vidíme, že řezem je kružnice se středem v počátku a poloměrem 2, do stejné kružnice v rovině xy se promítá i dané těleso. Pro množinu V tak dostáváme ve válcových souřadnicích popis 0 < Q < 2, 0 < up < 2tt, Pro daný integrál tak dostáváme ^ dg o V^o 2 2g 2tt o 3 _ £_ 2 5~ dip dg 2g3 - y ) dg = 2tt 2 / /.27t 0 V^O ^3 [z ]^2 dy? ) o 2í?: s Q Q_ _ Q_ 2 12 61 2 1ô7t J 0 Příklad 7.10. Vypočtěte \f x2 + y2 dx dy dz, v kde V je množina omezená nerovnostmi x + y < 1, z < 1 — y a z > 0. Řešeni. Množina V je válec, který je seříznut rovinami z = 0 a z = 1 — y. Převodem do válcových souřadnic dostaneme 0<^ z, x2 + y2 < 1, z > 0. Řešeni. Množina V je válec, ze kterého je „vyříznut" kousek rotačního paraboloidu. Opět pomocí transformace do válcových souřadnic dostaneme >p> G [0, 27r], g G [0,1] (celé těleso je uvnitř daného válce), ve směru osy z je těleso omezené rovinou xy a daným paraboloidem, 7.3 Transformace trojného integrálu 91 (a) Průmět do roviny xz (b) Průmět do roviny xy (c) Obraz množiny V Obrázek 7.4: Ilustrace množiny V z příkladu 7.11 tedy z G [0,x2 + y2] neboli z G [0, g2] po dosazení válcových souřadnic. Dostáváme tak A Trojný integrál lze transformovat také do jiných souřadnic. Dalším typickým příkladem transformace jsou sférické souřadnice g, ip a 9, které jsou definovány takto: Nechť bod v prostoru má kartézské souřadnice [x,y,z]. Pak souřadnice g je vzdálenost bodu od počátku (průvodič), 9 je úhel, který svírá průvodič s kladným směrem osy z, a ip úhel, který svírá průmět průvodiče do roviny xy, tj. hodnota gsm.9, s kladným směrem osy x. Znamená to, že v rovině xy máme místo kartézských souřadnic x, y polární souřadnice s průvodičem gsin9 a úhlem ip. Odtud plynou rovnice transformace pro převod kartézských souřadnic do sférických: x = g sin# cos ip, y = gsin9 sirup, z = g cos 9. Jakobián tohoto zobrazení je J = —g2 sin#. 92 Trojný integrál Příklad 7.12. Zapište ve sférických souřadnicích kouli se středem v počátku a poloměrem r = 4. Řešeni. Výhodou sférických souřadnice je fakt, že koule se v nich dá popsat, podobně jako kvádr v kartézských souřadnicích, pomocí nerovností s konstantními mezemi. V tomto případě budou tyto nerovnosti tvaru 0<£<4, 0 < v? < 2tt, 0<9 cos 29 = 0 tj. 9 * 2 • 2 g sin i 2 • 2 g sin i 4 Dostáváme tak integrační meze 7t 0 < v? < 2tt, 0 < 9 < -, 0<£<2£cos( a výpočet daného integrálu je podle předchozí poznámky f27r / {• 2 cos 6 ŕ 'o Vo dx dy dz v o 2tt r i n 2 cos -q ó J o q sin 0 d£J dip f d# sin 0 dip \ d9 o 2tt cos3 9 sin # d y? d# 16 y 16 To — 7t / ťdt = 71. 3 7t / cos ^ sin 9 d9 o cos ^ = t sin9d9 = -dt 0 ~> l,f ^ Cvičení 93 Cvičení 1. Vypočtěte následující integrály a) JJJ xy2z dx dy dz, kde V je omezena nerovnostmi 0 < rr < 1, 0 < y < 1, 0 < z < 1. v b) JJJ (7 x + 2 z) dxdydz, kde V je omezena nerovnostmi 0 < x < 1, x2 < y < x, 0 < z < v xy. c) jjjx2dx dy dz, kde V je omezena rovinami x = 0, y = 0, z = 0ax + y + z = l. v d) JJJ xy2 z dxdydz, kde V je omezena nerovnostmi 0 < rr < 1, 0 < y < x, 0 < z < xy. v e) JJJ\x — y + 2z) dx dy dz, kde V je omezena nerovnostmi l 0) omezena plochami v x2 + y2 — z2 + l = 0ax + y = l. 2. Vypočtěte objem kužele pomocí dvojného a trojného integrálu. 3. Vypočtěte objem množiny V určené nerovnostmi &)x2 + y2 0, z + y < 2. v b) JJJ x2y dx dy dz, kde pro množinu V platí 1 < + y2 < 4, y > 0, \z\ < 2. v c) JJJyzdx dy dz, kde pro množinu V platí x2 + y2 < 4, 0 < z < y. v d) JJJ xz\Jx2 + í/2 dx dz, kde pro množinu V platí 1 < x2 + y2 < 4, 0 < z < 3, x < 0, y ž/>0. 94 Trojný integrál Výsledky: 1 a) J_ b)^- c)— ď) — e)1^ f) ^ 2. |7rr2w 3. a) ^tt, b) |tt(27 — 5>/5). 4. a)87r, b)^,c)f|,d)-if. 95 Kapitola 8 Diferenciální operátory matematické fyziky Různé fyzikální problémy vedou k pojmům skalárního a vektorového pole. K jejich popisu často využíváme diferenciální operátory, kterými jsou gradient, rotace a divergence. Užití zmíněných operátorů umožňuje popsat a vysvětlit některé vlastnosti fyzikálních polí. 8.1 Vektorové funkce Dosud jsme se setkávali se skalárními funkcemi. Připomeňme, že funkce f (neboli skalární funkce) je zobrazení /: irn —y ir a určuje velikost nějaké fyzikální veličiny (např. teplota, tlak). Vektorová funkce je zobrazení F: irn —y irn, které bodu přiřadí vektor. To znamená, že vektorová funkce popisuje nejen velikost (danou velikostí daného vektoru), ale také směr nějaké fyzikální veličiny (např. gravitační síla, rychlost). Konkrétně v rovině je vektorová funkce zobrazení F: ir2 —y ir2, které bodu v rovině přiřadí vektor v rovině F(x,y) = (P(x,y),Q(x,y)), (8.1) kde P(x, y), Q(x, y) jsou funkce. Podobně vektorová funkce v prostoru je zobrazení F: ir3 —y ir3, které bodu v prostoru přiřadí vektor v prostoru F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)), (8.2) kde P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) jsou funkce. Ve fyzikální terminologii se místo skalární a vektorová funkce používá označení skalární a vektorové pole. . Vektorové pole v rovině a v prostoru často zapisujeme pomocí jednotkových vektorů ve směru souřadných os. Uvažujme vektorové pole v rovině a označme jednotkové vektory ve směru os x a y r =(i,o), J =(o,i). Pak vektorové pole (8.1) lze zapsat F(x, y) = P(x, y)ľ+ Q(x, y)j 96 Diferenciální operátory matematické fyziky nebo stučně F = PÍ+ Qj. Nej jednodušší způsob jak si dané pole představit, je v několika bodech nakreslit šipky reprezentující vektor F(x,y), který začíná v bodě [x,y]. // ^ yy * / / S y y ■ / / S s s- ■ J / / / s ■ i J / / ✓ l l í I ' 111!' ■!■ Ij,! ■ ' v l 1 1 1 1 \ \ \ \ <■ \ \ \ •■ \ x \ \ *» ■ \ \ \ x ' \ \ x x - - v N \ \ - ^ v \ \ \ .N S \ \ \ ■ V \ \ \ \ •■ S \ \ \ < 1 1 1 1 -1 ■ 1 , t .f. 2 4 1 ' J t t í ' I I t t ■'//// • ^ / / / / • y y / / / » y y y / / • y y y S / y y ^ y ^ ^ ^ y y y y y y , y y y y y y r s /• S S f / . ! t \ \ \ \ \ \ \ N \ V N \ % V V ^ V ^ V V ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^^^^^^^ y y y y y y y y .y y y .y y y y y y y y y y r / / / / / / t i r t i 1 ! \ \ \ \ \ \ \ \ N \ \ N \ \ v v ^ v ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ WW/// ww/,//, // / \ \ \\; // / \ \\\ y y r \ n v \ n. n. \ / s y / N. \ \ / / / /! // / \ \w /*/ / \ \ \ X X W \ / /, / // / \w / // M W y y y t \ w \ n. n. x\ j y y \ W \ / / / y" y^ y* ŕ ^ /// ; \ w / / / / \ w (a)F = (-y,x) (b)F=(y,2) (c) F = (sinx, siny) Obrázek 8.1: Příklady vektorových polí v rovině Příklad 8.1. Znázorněte vektorové pole F(x,y) = (—y,x). Řešeni. Pomocí šipek znázorníme v rovině vektory v konkrétních bodech. Například v bodě [1, 0] je vektor F(l, 0) = (0,1) = j, tj. jednotkový vektor ve směru osy y. Podobně v bodě [2, 2] je vektor F(2,2) = (—2,2). Stejným způsobem vybereme i další reprezentanty a nakreslíme příslušné vektory. A Ve fyzice nejčastěji používáme vektorové pole v prostoru. Označíme-li jednotkové vektory ve směru os x, y, a z 1= (1,0,0), pak vektorové pole (8.2) lze zapsat 3= (0,1,0), k = (0,0,1) F(x, y, z) = P(x, y, z)í+ Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k. Vektorová pole v prostoru můžeme znázornit analogicky jako vektorová pole v rovině. Příklad 8.2. Newtonův gravitační zákon říká, že velikost gravitační síly F mezi dvěma tělesy s hmotnostmi ni\ a 1712 je dána vztahem k- 17111712 r 2 ' kde r je vzdálenost mezi tělesy a k je gravitační konstanta. Popište příslušné vektorové pole - tzv. gravitační pole. 8.2 Gradient funkce 97 (a) F = (—y, —2, x) (b) F = (f,-f, z) (c) F = (x, y, z) Obrázek 8.2: Příklady vektorových polí v prostoru Řešeni. Umístěme jedno z těles do počátku soustavy souřadnic a označme polohový vektor druhého tělesa x = (x, y, z). Potom vzdálenost r je rovna velikosti tohoto vektoru, tj. r = \x\ = \J x2 + y2 + z2. Gravitační síla vztažená k druhému tělesu směřuje do počátku a jednotkový vektor v tomto směru je x \x\ Dostaneme tak gravitační sílu, která působí na těleso v bodě [x, y,z], a je dána vztahem F(x,y,z) = -K—^—(x,y,z). A 8.2 Gradient funkce V kapitole o diferenciálním počtu jsme se setkali s pojmem gradient funkce /, který byl definován pro funkci dvou proměnných gradf(x,y) = (fx(x,y),fy(x,y)), případně pro funkci tří proměnných gradf(x,y,z) = (fx(x,y,z), fy(x,y,z), fz(x,y,z)). Často stučně píšeme jen grad /. Gradient funkce je tak příkladem vektorového pole. Toto pole v každém bodě ukazuje směr největšího růstu funkce. Ve fyzice se vektorové pole F, které je gradientem nějaké skalární funkce /, tj. F = grad /, nazývá konzervatívni vektorové pole a danou funkci / nazýváme potenciálovou funkci (potenciálem) pole F. 98 Diferenciální operátory matematické fyziky Obrázek 8.3: Gradient a vrstevnice Příklad 8.3. Najděte gradientově vektorové pole funkce f(x,y) = x2y — y3. Řešeni. Vzhledem k tomu, že grad/ je dán vztahem gx&df(x,y) = (fx(x,y),fy(x,y)) dostáváme gradf(x,y) = (2xy,x2 - 3y2). Na obrázku 8.3 je příslušné pole společně s vrstevnicemi. Můžeme si povšimnout, že vektory gradientu jsou kolmé na vrstevnice a jsou větší čím jsou vrstevnice blíže u sebe. Proč je tomu tak? A Vektor parciálních derivací V - (— — —\ \dx' dy' d z J se nazývá Hamíltonův operátor. Pomocí tohoto operátoru můžeme zapsat gradient funkce 'df df df grad / = V/ dx' dy' d z J (8.3) Na vektorových polích v prostoru můžeme definovat dvě operace, které nám umožní popis jejich chování. Jde o divergenci a rotaci vektorového pole. 8.3 Divergence vektorového pole Nechť F = PÍ+ Qj + Rk je vektorové pole v prostoru. Jestliže existují parciální derivace Px, Qy, Rz, pak divergence vektorového pole F je skalární funkce div F(x, y, z) = Px(x,y,z) + Qy(x,y,z) + Rz(x,y,z). Pomocí Hamiltonova operátoru můžeme divergenci vektorového pole zapsat jako skalární součin ^ ~" (dx' dy' dz} ^ >Q>-^) 8.4 Rotace vektorového pole 99 Význam této funkce můžeme vysvětlit například takto: Popisuje-li P rychlost proudění kapaliny nebo plynu, pak div F popisuje míru změny množství této kapaliny (plynu), která proudí z bodu [x, y, z]. Jinými slovy, divergence měří schopnost kapaliny divergovat („rozbíhat se") z bodu [x,y,z]. Je-li v nějakém bodě P divergence div P(P) > 0, říkáme bodu P zdroj nebo zřidlo, je-li div P(P) < 0, říkáme, že bod je propad nebo výpusť. V případě, že v každém bodě je div P = 0, nazýváme vektorové pole P bezzdrojové. Příklad 8.4. Vypočtěte divergenci vektorového pole a) P = (x, y, z), b) P = (x2yz,xy2 z ,xyz2\ Řešení, a) Platí PX 1 , Q y 1 , RZ 1 . Proto div F(x, y, z) = 3, tj. každý bod tohoto vektorového pole je zdroj, viz obrázek 8.2c. b) Platí Px = 2xyz, Qy = 2xyz, Rz = 2xyz. Proto je divergence div F(x, y, z) = 2xyz + 2xyz + 2xyz = 6xyz. Á 8.4 Rotace vektorového pole Předtím než přistoupíme k definici rotace vektorového pole, připomeňme pojem vektorového součinu. Označme t, f, k jednotkové vektory ve směru souřadných os. Nechť jsou dány vektory u = (ui,u2, u3) &v = (vi, v2, v3). Vektorovým součinem vektorů u a, v rozumíme vektor u x v, u x v í j k ui u2 u3 vi v2 v3 (8.4) Vektorový součin (8.4) lze vyjádřit u x v u2 u3 Ul u3 Ul u2 v = ■ l — •3 + v2 v3 Vl v3 Vl v2 ■ k, pak tedy u x v = {u2v3 - u3v2, U3Vi - UiV3, UiV2 - U2Vi). 100 Diferenciální operátory matematické fyziky Nechť F = PÍ+ Qj + Rk je vektorové pole v prostoru. Jestliže existují všechny parciální derivace 1. řádu, pak rotace vektorového pole F je vektorové pole definované rot F(x,y, z) = (Ry(x,y,z) - Qz(x,y, z), Pz(x,y, z) - Rx(x,y, z),Qx(x,y, z) - Py(x,y,z)). (8-5) Pomocí Hamiltonova operátoru můžeme rotaci zapsat jako vektorový součin V x F. Význam rotace je například následující. Uvažujme částici blízko bodu [x, y, z], ta má v kapalině tendenci rotovat kolem osy procházející bodem [x, y, z] ve směru rot F{x, y, z). Rychlost této rotace závisí na velikosti vektoru rot F{x, y, z). Jestliže v každém bodě platí rot F = 0, pak toto pole nazýváme nevírové. Příklad 8.5. Najděte rotaci vektorového pole F(x,y,z) = (xyz,0, -x2). Řešení. Podle (8.5) je rotace vektorového pole F rovna /<9(—x2) <90\ _ /dxyz d(—x2)\ _ /<90 dxyz\ ^ \ dy d z) \ d z dx / \dx dy J Vypočtením příslušných derivací získáme rot F = (0, xy + 2x, —xz). Následující dvě věty popisují některé základní vlastnosti rotace. Věta 8.6. Nechť f je funkce tří proměnných, která má spojité parciální derivace druhého řádu. Pak rotgrad/ = o = (0,0,0). (8.6) Z této věty plyne, že je-li F konzervativní pole, pak rot F = o. Platí také opačné tvrzení a tedy platí následující věta. Věta 8.7. Nechť F je vektorové pole definované na jednoduše souvislé množině v prostoru, jehož složky jsou spojitě diferencovatelné funkce. Pak rot F = 0 <š=> F je konzervativní. Příklad 8.8. Ukažte, že vektorové pole intenzity elektrostatického pole bodového náboje Ě=- ^ f, kde r = {x,y,z) A-keq I r |d je a) konzervativní, b) nevírové. Cvičení 101 Řešení, a) Konzervativní vektorové pole je definováno tak, že pro něj existuje skalární pole, jehož gradient je roven danému vektorovému poli. Nyní ukážeme, že pro vektorové pole E je toto skalární pole zadané skalární funkcí záporně vzatého elektrostatického potenciálu p, kde l Q Aneo I r | Ukážeme tedy, že platí E = grad(—(p) = — gradp. (8.7) Podle (8.3) je 'q i q q i q q i q 47re0 ^x2+y2+z2 47re0 ^x2+y2+z2 47re0 ^x2+y2+z2 gradv? =---,---,--- ox ôy oz Q í x y 4tt£0 \{^x2 + y2 + Z2)3' (^x2 + y2 + z2)3' (^x2 + y2 + z2f ^ Zapíšeme-li tento vektor pomoci polohového vektoru f= (x, y, z), dostaneme Q r gradv? =---—- = —E. Aneo \ r \á Tím jsme dokázali platnost vztahu (8.7) a vektorové pole E je tedy konzervativní, b) Ověřit, že vektorové pole E je nevírové, můžeme přímo, tj. výpočtem rotace E. Vhodnějším způsobem je však použít vektorovou identitu (8.6) s uvážením, že v předchozím bodě jsme ukázali, že pole E je konzervativní. Platí tedy rot E = rot grad (—c d d (x — y) dx + x dy, c kde C je kladně orientovaná křivka, kterou představuje obvod čtverce ABC D určeného vrcholy A =[2,2], B = [-2,2], C = [-2, -2] a D = [2, -2]. Řešení. Funkce P(x, y) = x — y a Q(x, y) = x i jejich derivace py(x,y) = -1 Qx(x,y) = l jsou funkce spojité na IR2. Křivka C je uzavřená po částech hladká křivka v IR2. Jsou splněny podmínky Greenovy věty a platí tedy ( D je čtverec o straně 4 ) (x — y) dx + x dy = J J (1 + 1) dx dy = 2 J J dxdy c d d Při výpočtu jsme užili skutečnosti, že dvojný integrál vyjadřuje obsah čtverce ABCD. Cvičení 1. Vypočtěte křivkový integrál prvního druhu a) Jc(x -2y+l) ds, kde C je úsečka AB, A = [4, 0], B = [1,1]. b) jc x2 ds, kde C je „horní" půlkružnice x2 + y2 = a2 pro y > 0. c) Jc kde C je úsečka AB, kde A = [0, -2] a B = [4, 0]. d) jc xyds, kde C je čtvrtina kružnice x2 + y2 = 4 v 1. kvadrantu. e) jc(x + z) ds, kde C úsečka AB, kde A = [1, 0,1] a B = [1,1,1]. f) Jc y3 ds, kde C je křivka popsána parametricky rovnicemi x = t3, y = t, t G [0, 2]. g) jc xy4 ds,kde C je „pravá" část kružnice x2 + y2 = 16. 2. Vypočtěte křivkový integrál druhého druhu a) Jc y2 dx + x2 dy, kde C je úsečka AB, kde A = [0, 0] a 5 = [1,1]. b) jc xy dx + (x — y) dy, kde C je lomená čára PQR, kde P = [0, 0], Q = [2,0] a R = [3,2]. c) Jc(2x — y) dx + xdy, kde C je úsečka AB, kde A = [0, 0] a 5 = [2,1]. d) í/2 dx + x dy, kde C je část paraboly x = 4 — y2 mezi body [—5, —3] a [0, 2]. e) jc y2 dx + x2 dy, kde C je část paraboly x = y2 mezi body [0, 0] a [1,1]. f) Jc(2x — y) dx + x dy, kde C je část křivky x2 — 4y = 0 mezi body [0, 0] a [2,1]. g) jc y dx + z dy + x dz, kde C je úsečka AB, kde A = [2, 0, 0] a 5 = [3,4, 5]. 114 Křivkový integrál 3. Ukažte, že integrál nezávisí na integrační cestě a vypočtěte jej a) jc 2:r shií/drr + (x2 cos y — 3y2) dy, kde C je křivka mezi body [—1, 0] a [5,1]. b) jc{2y2 — 12x3í/3) dx + (Axy — 9x4y2) dy, kde C je křivka mezi body [1,1] a [3, 2]. 4. Pomocí Greenovy věty vypočtěte a) Jc(xy + x + y)dx + (xy + x — y) dy, kde c je kladně orientovaná křivka x2 + y2 = 1. b) Jc,x4dx + xydy, kde c je kladně orientovaná křivka tvořící obvod trojúhelníka PQR, kde P = [0, 0], Q = [1, 0], R = [0,1]. c) fc(3y — esinx) dx + (7x + a/í/4 + 1) dy, kde c je kružnice x2 + í/2 = 9. 2 2 5. Určete obsah oblasti ohraničené elipsou ^ + 52" = 1-Výsledky: 1. a) § 0, y > 0 a z > 0). Řešeni. Nejprve vyjádříme plochu S: z = 1 — x — y, kde 0 < rr < 1, 0 < y < 1 — x. Platí fx(x,y) = -1, fy(x,y) = -1, dS = y/l + (-1)2 + (-1)2 dxdy = VŠ dxdy. Dostáváme tak J J xyz dS = VŠ J J xy (1 — x — y) dxdy = VŠ J dx J xy (1 — x — y) dy = s d 0 0 = VŠ í x —------— dx = VŠ í — íl — x)3 dx = ... = Jo L 2 2 3 J 0 Jo 6K J 120 Příklad 10.4. Vypočtěte hmotnost části kuželové plochy S ; z = Vx2 + y2,00az>0. b) S: z = y2, 0 < x < 4, y > 0, z > 0. c) S* je válcová plocha x2 + y2 = 4, y > 0, 0 < z < 2. Řešeni, a) Platí n = (—fx,—fy,l) = (0,1,1). Dostáváme T = JJF-dS = J J (0,0, 2). (0,1,1) dxdy = 2 J J dxdy = 16. s d d Výsledek dvojného integrálu jsme získali úvahou, protože se jedná o obsah plochy D, kterou je obdélník o stranách 4 a 2 délkové jednotky. Tok plochou je tedy 16 jednotek toku. 120 Plošný integrál b) I v tomto případě svírají normálové vektory plochy ostrý úhel s kladným směrem osy z a platí n = (-fx, -fy, 1) = (0, ^2,1). Dostáváme T = IIp ■dš=//<°. m ■ <°. ™* -2 // ^ - «>• s d d Také v tomto případě je oblast D stejný obdélník jako v části a). Tok plochou je tedy opět 16 jednotek toku. c) V tomto případě jsou normálové vektory kolmé na kladný směr osy z, a tedy také na vektor F = (0, 0,2) V každém bodě válcové plochy platí F-ň = 0. Tok vektorového pole plochou je tedy v tomto případě roven nule. Á Příklad 10.7. Vypočtěte tok vektorového pole F = (2, —1,1) kuželovou plochou z = 2^x2 + y2, 0 < z < 4, která je orientovaná tak, že její normálové vektory svírají s kladným směrem osy z tupý úhel. Řešeni. Platí y/ x2 + y2' y/ x2 + y2' odtud _ f 2x 2y V\/x2 + y2 \fx2 + y2 Pro tok T pak dostáváme T = Iľ-dŠ= S í<2' ^ ' Ä'-l]dXdV ^=^=--^ — 1 J drr = /Y — ^ dx dy — /Y dx dy. xyx2 + y2 y/x2 + y2 J J J yfx2 + y2 J J Získaný dvojný integrál jsme rozdělili na dva integrály pouze z důvodu výpočtu. První integrál vypočteme transformací do polárních souřadnic, ve kterých je oblast D určena nerovnicemi 0<ŕ?<2a0<(/?< 27T. Dostáváme Ax — 2y ľ2 /"27r Ag cos tp> — 2gsiwp> dxdy= I dg I gdcp = * nr\G^ in -L Gin , y/x2 + y2 J q J q a/q* cos^ p + g' sin" ip d f 2 r2n ľZ ľZír / g dg- (4 cos ip — 2 sin ip) dtp Jo Jo 2 [A sin ip + 2 cos ^g71 = 0. o 10.4 Gauss-Ostrogradského věta 121 Druhý integrál, pokud neuvažujeme znaménko, vyjadřuje obsah kruhu, jehož poloměr je 2. Máme tedy d Celkový tok T přes plochu S je roven — Air jednotek toku. Á 10.4 Gauss-Ostrogradského věta Analogií Greenovy věty pro plošný integrál je Gauss-Ostrogradského věta, která umožňuje převést výpočet plošného integrálu druhého druhu na výpočet trojného integrálu. Věta 10.8. Nechi F = (P, Q, R) je vektorová funkce definovaná na oblastí Q C IR3 a nechť G G íl je oblast, jejíž hranicí je uzavřená plocha S orientovaná kladně. Nechť P, Q, R, Px, Qy a Rz jsou na Q spojité. Pak platí JJf-g\Š= JJJá\vFáxáyáz = JJj (Px + Qy + Rz) áxáyáz. s g g Interpretujeme-li plošný integrál jako tok T vektorového pole uzavřenou plochou, pak T = 71 - T2, kde Tí je množství tekutiny, které z G vyteče za jednotku T2 je množství tekutiny, které do G za stejný čas přiteče. Je-li T = 0, pak z oblasti vytéká právě tolik tekutiny, kolik do ní vtéká. Je-li T > 0, pak z oblasti vytéká za jednotku času více tekutiny, než kolik do ní vtéká. Dá se to vysvětlit tak, že uvnitř oblasti G se nacházejí tzv. zřídla, tj. body, ve kterých nějakým způsobem přibývá tekutiny. Je-li T < 0, pak z oblasti vytéká méně tekutiny, než kolik do ní vtéká. To se dá vysvětlit tím, že v oblasti se nachází tzv. nory, ve kterých se tekutina ztrácí. Příkladem uzavřené plochy je kulová plocha, povrch krychle, čtyřstěnu. Příklad 10.9. Vypočtete tok T = JJF ■ dŠ, kde F(P,Q,R) = (y2,z2,x2), přes povrch s krychle —l 0, z > 0, a která je orientovaná tak, že normálový vektor svírá s osou z ostrý úhel. 5. Vypočtěte tok vektorového pole F = (x, y, z) orientovanou plochou S, kterou je část roviny f + f + f = lv 1.oktantu a jejíž normálové vektory svírají s osou z ostrý úhel. 6. Vypočtěte tok vektorového pole F = (x, y, z) orientovanou plochou S, kterou je část kulové plocha x2 + y2 + z2 = 9, z > 0, jejíž normálové vektory svírají s osou z ostrý úhel. Výsledky: 1. AnVŽ 2. |tt(2v^-1) 3. Ave! 4. 4 5. 12 6. 54tt 123 Rejstřík B bod stacionární, 63 D definiční obor, 40 derivace parciální, 49 2. řádu, 53 geometrický význam, 51 smíšené, 53 směrová, 52 diferenciál, 55 totální, 54 diferenciální rovnice, 1 lineární, 7 druhého řádu, 25 logistická, 19 se separovanými proměnnými, 5 divergence, 98 dvojný integrál, 71 E extrém absolutní, 65 lokální, 62 F Fubiniova věta, 73, 84 funkce diferencovatelná, 55 dvou proměnných, 40 kmenová, 56 skalární, 95 vektorová, 95 G gradient, 52 Greenova věta, 112 H Hamiltonův operátor, 98 hraniční bod, 46 I integrační faktor, 12 J jakobián, 77 K křivka integrální, 2 L lineární element, 2 M metoda integračního faktoru, 12 neurčitých koeficientů, 31 variace konstanty, 8 množina ohraničená, 46 otevřená, 46 souvislá, 46 uzavřená, 46 O oblast, 46 jednoduše souvislá, 56 okrajová úloha, 36 orientace křivky, 104 plochy, 116 P plocha, 115 hladká, 115 počáteční podmínka, 2 124 REJSTŘÍK počáteční úloha, 2 polární souřadnice, 76 pole, 95 konzervativní, 97 R řád diferenciální rovnice, 1 řešení triviální, 36 řešení diferenciální rovnice, 1 lineárně nezávislá, 26 obecné, 1 partikulární, 1 rotace, 100 rovnice charakteristická, 27 S sférické souřadnice, 91 směrové pole, 2 součin skalární, 52 vektorový, 99 V vektor normálový, 115 věta Fubiniova, 72 Schwarzova, 54 Weierstrassova, 46 vlastní čísla, 36 vlastní funkce, 36 vrstevnice funkce, 41 W wronskián, 27 125 Literatura [1] Došlá, Z.: Matematika pro chemiky - l.díl. První vydání. Masarykova univerzita, Brno 2010. [2] Došlá, Z. - Došlý, O.: Diferenciální počet funkcí více proměnných. Třetí vydání. Masarykova univerzita, Brno 2006. [3] Došlá, Z. - Došlý, O.: Metrické prostory. Teorie a příklady. Třetí vydání. Masarykova univerzita, Brno 2006. [4] Fuchsová, L. - Vosmanský, J.: Matematika II pro nematematické obory První vydání. Státní pedagogické nakladatelství, Praha 1982. [5] Kalas, J. - Kuběn, J.: Integrální počet funkcí více proměnných. První vydání. Masarykova univerzita, Brno 2009. [6] Kalas, J. - Pospíšil, Z.: Spojité modely v biologii. První vydání. Masarykova univerzita, Brno 2001. [7] Kalas, J. - Ráb, M.: Obyčejné diferenciální rovnice Druhé vydání. Masarykova univerzita, Brno 2001. [8] Mikušková, E.: Vybrané partie z diferenciálního a integrálního počtu pro chemiky. Diplomová práce. Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity, Brno 2010. [9] Obrdlíková, S.: Diferenciální operátory ve fyzice. Diplomová práce. Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity, Brno 2011. [10] Plch, R.: Příklady z matematické analýzy. Diferenciální rovnice. První vydání. Masarykova univerzita, Brno 2002. [11] Póta, G.: Mathematical Problems for Chemistry Students. First edition. Elsevier, 2006. [12] Stewart, J.: Metric International Version Calculus, Early Transcendentals. Sixth edition. Brooks/Cole publishing company, 2008. Matematika pro chemiky, 2. díl Prof. RNDr. Zuzana Došlá, DSc. Vydala Masarykova univerzita v roce 2011 Technické zpracování: Mgr. Petr Liška Ilustrace: RNDr. Šárka Došlá, PhD. Obálka: Ivo Peci První vydání, 2011 Náklad 500 výtisků Tisk: Tiskárna Blansko - Těchov Těchov 152 678 01 Blansko ISBN 978-80-210-5432-5