Témata pro kolokviální projekt
1. Vytvořte interaktivní prostředí pro simulaci maticových modelů s konstantní maticí.
Vstupem by mělo být: počet tříd, projekční matice, délka projekce.
Výstupy numerické: růstový koeficient, vektor stabilizované struktury, vektor reprodukčních
hodnot, matice citlivosti a pružnosti.
Výstupy grafické: Průběh velikosti populace a jednotlivých tříd, grafické znázornění vektorů
stabilizované struktury a reprodukčních hodnot, znázornění matic citlivosti a pružnosti.
Je možné využít např. prostředí RShiny.
Toto není práce pro jednotlivce, ale pro team; jeho členové se mohou podělit o vytvoření
jednotlivých procedur.
2. Uvažujte populaci, jejíž vývoj je popsán Leslieho projekční maticí s plodnostmi a pravděpodobností
přežívání daných tabulkou
i Fi Pi
1 0 0.99670
2 0.00102 0.99837
3 0.08515 0.99780
4 0.30574 0.99672
5 0.40002 0.99607
6 0.28061 0.99472
7 0.15260 0.99240
8 0.06420 0.98867
9 0.01483 0.98274
10 0.00089
(populace amerických žen mladších než 50 let).
„Stabilizujte populaci změnou (zmenšením) právě jednoho z koeficientů a vypočítejte setrvačnost
populace.
Výpočet proveďte pro každý z 18 koeficientů a pokuste se najít závislost setrvačnosti populace
na jednotlivých koeficientech.
3. Zvolte si nějakou projekční matici a pomocí ní simulujte vývoj příslušné populace. K simulovaným
datům přidejte šum (náhodnou složku) aditivní a/nebo multiplikativní. Z takto
vygenerovaných dat identifikujte původní parametry modelu. parametry.
Celý postup zopakujte několikrát. Pokuste se najít souvislost mezi rozptylem náhodné složky
a přesností identifikace parametrů.
4. Alternativní model se sezónní variabilitou.
Hraboši rodí mláďata dvakrát ročně, na jaře a na podzim. Jarní novorozenci rodí již na
podzim téhož roku, podzimní novorozenci na jaře roku následujícího. Hraboši se dožívají
nejvýše dvou let. Jedinci narození na jaře mají jinou kondici (tj. plodnost a pravděpodobnost
přežívání), než jedinci narození na podzim.
Sestavte a analyzujte model vývoje takové populace.
5. Uvažujte maticový model n(t + 1) = A(t)n(t) s periodickou maticí A, tj. A(t + m) = A(t)
pro všechna t ∈ R a nějaké m ∈ N. Každá z matic A(t) je primitivní.
Rozhodněte, zda je matice A0 = A(m − 1)A(m − 2) · · · A(1)A(0) primitivní, imprimitivní,
nebo reducibilní; své rozhodnutí dokažte.
6. Dokažte, že pro Birkhoffův kontrakční koeficient τ kladné matice A platí τ(A) < 1.
7. Navrhněte (nebo někde najděte) proceduru nebo algoritmus výpočtu Birkhoffova kontrakčního
koeficientu nezáporné matice.
Uvažujte posloupnost matic
Ht =
t−1
j=0
A(j), kde A(t) =


0 1 + 0,9 sin 1
2 t − 3 5 + sin 1
10 t + 1
0,3 + 0,15 sin t 0 0
0 0,5 + 0,2 sin (2t − 1) 0

 .
Simulujte průběh posloupnosti τ(Ht) a ukažte/dokažte, že tato posloupnost je ergodická.