V teorii rizika musíme umět:
1. Modelovat celkový počet nároků
2. Modelovat velikost jednotlivých nároků
3. Dát to dohromady – Kolektivní teorie rizika
(+ závislost na čase ... stochastické procesy)
Typy diskrétních rozdělení
1. Poissonovo rozdělení
popisuje výskyt řídkých jevů za určitou jednotku času, např. počet
pojistných nároků během jednoho pojistného období
Definice
Diskrétní náhodná veličina N má Poissonovo rozdělení
s parametrem λ > 0, píšeme N ∼ Po(λ), jestliže je
pravděpodobnostní funkce tvaru
pN(k) =
e−λ · λk
k! , k = 0, 1, 2, . . . ,
0, jinak.
(1)
Generující funkce:
GN(s) = eλ·(s−1)
(2)
Střední hodnota a rozptyl:
E(N) = λ (3)
Var(N) = λ (4)
Věta
Nechť N1, N2, . . . , Nn jsou nezávislé náhodné veličiny z Poissonova
rozdělení s parametry λ1, λ2, . . . , λn. Pak N = N1 + N2 + · · · + Nn
má také Poissonovo rozdělení s parametrem λ = λ1 + λ2 + · · · + λn.
Věta
Předpokládejme, že náhodná veličina N vyjadřující počet pojistných
nároků se řídí Poissonovým rozdělením se střední hodnotou λ. Dále
předpokládejme, že každý nárok může být rozdělen do m tříd
s pravděpodobnostmi p1, p2, . . . , pm a všechny nároky jsou
navzájem nezávislé. Potom náhodné veličiny N1, N2, . . . , Nm
vyjadřující počet nároků v jednotlivých třídách 1, 2, . . . , m jsou
vzájemně nezávislé a řídí se Poissonovým rozdělením se středními
hodnotami λp1, λp2, . . . , λpm.
• nároky může klasifikovat například podle rozsahu – ty, které
překročí určitý limit & ty, jež limit nepřesáhnou
• rozdělení pojistných nároků překračujících stanovený limit má
jiný parametr Poissonova rozdělení než rozdělení nároků
nacházejících se pod limitem
2. Geometrické rozdělení
Definice
Diskrétní náhodná veličina N se řídí geometrickým rozdělením
s parametrem p ∈ (0, 1), zapisujeme N ∼ Ge(p), jestliže lze její
pravděpodobnostní funkci psát ve tvaru
pN(k) =
p · (1 − p)k, k = 0, 1, . . . ,
0, jinak,
(5)
resp. ve tvaru
pN(k) =
βk
(1+β)k+1 , k = 0, 1, . . . ,
0, jinak
(6)
pro p = 1
1+β , tj. β = 1−p
p > 0.
Generující funkce:
GN(s) =
p
1 − s · (1 − p)
=
1
1 − β · (s − 1)
(7)
Střední hodnota a rozptyl:
E(N) =
1 − p
p
= β (8)
Var(N) =
1 − p
p2
= β · (1 + β) (9)
3. Negativně binomické rozdělení
– Počet neúspěchů před m-tým úspěchem.
– Zobecnění geometrického rozdělení.
Definice
Diskrétní náhodná veličina N má negativně binomické rozdělení
s parametry m > 0 a p ∈ (0, 1), píšeme N ∼ NeBi(m, p), je-li
pravděpodobnostní funkce tvaru
pN(k) =
k+m−1
k pm(1 − p)k, k = 0, 1, . . . ,
0, jinak,
(10)
Generující funkce:
GN(s) =
p
1 − s · (1 − p)
m
=
1
1 − β · (s − 1)
m
(11)
Střední hodnota a rozptyl:
E(N) = m ·
1 − p
p
= mβ (12)
Var(N) = m ·
1 − p
p2
= mβ · (1 + β) (13)
(14)
4. Alternativní a binomické rozdělení
Definice
Diskrétní náhodná veličina N má alternativní rozdělení
s parametrem p ∈ (0, 1), píšeme N ∼ Alt(p), je-li její
pravděpodobnostní funkce
pN(k) =



p, k = 1,
1 − p, k = 0,
0, jinak.
(15)
Definice
Diskrétní náhodná veličina N se řídí binomickým rozdělením
s parametry n ∈ N a p ∈ (0, 1), zapisujeme N ∼ Bi(n, p), pokud je
pravděpodobnostní funkce tvaru
pN(k) =
n
k pk(1 − p)n−k, k = 0, 1, . . . , n,
0, jinak.
(16)
Generující funkce:
GN(s) = 1 + p · (s − 1)
n
(17)
Střední hodnota a rozptyl:
E(N) = np (18)
Var(N) = np · (1 − p) (19)
Modely počtu pojistných událostí
rozhodujeme-li se při modelování počtu pojistných událostí, jaké
pravděpodobnostní rozdělení použít, pak je nám nápomocen vztah
mezi číselnými charakteristikami náhodné veličiny N
• Poissonovo rozdělení: E(N) = Var(N) . . . equidispersion
• Negativně binomické rozdělení: E(N) < Var(N)
. . . overdispersion
• Binomické rozdělení: E(N) > Var(N) . . . underdispersion
Třída rozdělení (a, b, 0)
Definice
Nechť pN(k) = P(N = k) je pravděpodobnostní funkce diskrétní
náhodné veličiny N. Řekneme, že je členem třídy rozdělení (a, b, 0),
jestliže existují reálné konstanty a a b takové, že platí
pN(k)
pN(k − 1)
= a +
b
k
pro k = 1, 2, 3, . . . (20)
• pravděpodobnost pN(0) dopočítáme z
∞
k=0
pN(k) = 1
• do třídy obecných rozdělení (a, b, 0) patří právě Poissonovo
rozdělení, negativně binomické a binomické rozdělení
• Pro Poissonovo rozdělení je a = 0 a b = λ.
• Pro binomické je a = − p
1−p < 0 a b = (n + 1) p
1−p .
• Pro NeBi je a = 1 − p > 0 a b = (m − 1)(1 − p).
• pro konkrétní datový soubor s velkým množstvím pozorování
lze určit vhodný model pomocí formule (20)
• formuli přepíšeme do tvaru
pN(k)
pN(k − 1)
· k = ak + b, k = 1, 2, 3, . . . (21)
• podíl pN (k)
pN (k−1) odhadneme na základě pozorovaných četností
nk a nk−1 hodnot k a k − 1
pN(k)
pN(k − 1)
· k =
nk
nk−1
· k. (22)
• graf procházející body k, k · nk
nk−1
by měl přibližně vykazovat
lineární průběh
• podle směrnice a dané přímky zvolíme vhodný model
nulová směrnice → Poissonovo rozdělení
záporná směrnice → binomické rozdělení
kladná směrnice → negativně binomické rozdělení
Třída rozdělení (a, b, 1)
• rozdělení třídy (a, b, 0) často nepopisují adekvátně data,
s nimiž se v praxi setkáváme
Hlavní příčina:
• rozdělení třídy (a, b, 0) nejsou s to vystihnout tvar dat
v jistých částech rozdělení, zejména hodnotu v nule.
• budeme se věnovat rozložení pravděpodobnosti v nule
(pravděpodobnost, že nenastane žádná pojistná událost
během stanoveného časového období) – např. u pojištění
odpovědnosti, majetku aj. je pravděpodobnost v nule největší
• úpravou pravděpodobnosti v nule lze třídu rozdělení (a, b, 0)
rozšířit na třídu (a, b, 1)
Definice
Nechť pN(k) je pravděpodobnostní funkce diskrétní náhodné
veličiny N. Řekneme, že je členem třídy rozdělení (a, b, 1) za
předpokladu, že existují konstanty a, b ∈ R takové, že
pN(k)
pN(k − 1)
= a +
b
k
pro k = 2, 3, . . . (23)
•
∞
k=1
pN(k) může nabývat libovolných hodnot na (0, 1 , zbývající
pravděpodobnost je v k = 0, jelikož pN(0) +
∞
k=1
pN(k) = 1
U třídy (a, b, 1) rozlišujeme dvě podtřídy
pN(0) = 0 . . . rozdělení useknuté v nule s pT
N (k)
pN(0) > 0 . . . rozdělení modifikované v nule s pM
N (k)
1. Rozdělení modifikovaná v nule
lze na ně pohlížet jako na směs rozdělení třídy (a, b, 0)
a degenerovaného rozdělení se všemi pravděpodobnostmi
soustředěnými v nule
• GN(s) =
∞
k=0
pN(k) · sk je generující funkce rozdělení třídy
(a, b, 0)
GM
N (s) =
∞
k=0
pM
N (k) · sk je generující funkce příslušného v nule
modifikovaného rozdělení třídy (a, b, 1)
• platí, že pM
N (k) = c·pN(k) pro k = 1, 2, . . . ; c ∈ R+ a pM
N (0) je
libovolně zvolené z intervalu (0, 1). Musíme vypočítat hodnotu
c.
• potom
GM
N (s) = pM
N (0) +
∞
k=1
pM
N (k) · sk
=
= pM
N (0) + c ·
∞
k=1
pN(k) · sk
=
= pM
N (0) + c · GN(s) − pN(0)
(24)
• z platnosti GM
N (1) = GN(1) = 1 plyne 1 = pM
N (0)+c · 1−
pN(0)
• odtud c =
1−pM
N (0)
1−pN (0)
• tudíž
pM
N (k) =
1 − pM
N (0)
1 − pN(0)
· pN(k) pro k = 1, 2, . . . (25)
• dostaneme generující funkci modifikovaného rozdělení
GM
N (s) = pM
N (0) + c · GN(s) − pN(0) =
= pM
N (0) +
1 − pM
N (0)
1 − pN(0)
· GN(s) − pN(0) =
=
pM
N (0) − pN(0)
1 − pN(0)
+
1 − pM
N (0)
1 − pN(0)
· GN(s) =
=
pM
N (0) − 1 + 1 − pN(0)
1 − pN(0)
+
1 − pM
N (0)
1 − pN(0)
· GN(s) =
= 1 −
1 − pM
N (0)
1 − pN(0)
+
1 − pM
N (0)
1 − pN(0)
· GN(s)
(26)
2. Rozdělení useknutá v nule
lze chápat jako speciální typ v nule modifikovaného rozdělení
s hodnotou pM
N (0) = 0
• GT
N (s) je generující funkce v nule useknutého rozdělení
• potom z (25), (26) a pM
N (0) = 0 získáme
pT
N (k) =
pN(k)
1 − pN(0)
pro k = 1, 2, . . . , (27)
GT
N (s) =
GN(s) − pN(0)
1 − pN(0)
(28)
a) rozšířené useknuté negativně binomické (ETNB)
rozdělení
množina možných hodnot parametru m je rozšířena z m > 0
na m > −1, přičemž m = 0
Pravděpodobnostní funkce:
pT
N (k) =
(k+m−1
k )·(1−p)k
p−m−1
, k = 1, 2, . . . ; p ∈ (0, 1),
0, jinak,
(29)
resp.
pT
N (k) =



(k+m−1
k )· β
1+β
k
(1+β)m−1
= k = 1, 2, . . . ;
= (k+m−1)·...·(m+1)·m
k!·((1+β)m−1)
· β
1+β
k
, β = 1−p
p
> 0,
0, jinak.
(30)
b) logaritmické rozdělení
• je limitním případem ETNB rozdělení pro m → 0
• neexistuje k němu odpovídající rozdělení ve třídě (a, b, 0)
Pravděpodobnostní funkce:
pT
N (k) =
−(1−p)k
k·ln(p)
, k = 1, 2, . . . ; p ∈ (0, 1),
0, jinak,
(31)
resp.
pT
N (k) =
βk
k(1+β)k ln(1+β)
, k = 1, 2, . . . ; β = 1−p
p
> 0,
0, jinak.
(32)
Opět lze dokázat že další taková rozdělení neexistují.
Další třídy čítacích rozdělení vytvoříme pomocí dvou operací
– Skládání
– Míšení (směsi)