Nové třídy rozdělení vytvoříme z třídy (a,b,1) pomocí dvou operací
– Skládání
– Míšení (směsi)
Budeme uvažovat pouze diskrétní rozdělení s hodnotami v N0, t.j.
čítací rozdělení.
Sdružená pravděpodobnostní funkce: fX,Y : R2 → [0, 1] je
definovaná vztahem
fX,Y (x, y) = P(X = x ∧ Y = y).
Analogicky se definuje sdružená pravděpodobnostní funkce pro více
náhodných veličin. Následující lemma dává dobře ověřitelné
kriterium nezávislosti.
Diskrétní náhodné veličiny X a Y jsou nezávislé právě tehdy, když
fX,Y (x, y) = fX (x)fY (y)
pro všechna x, y ∈ R.
Ze znalosti sdružené pravděpodobnostní funkce fX,Y můžeme
vypočítat marginální pravděpodobnostní funkce fX a fY . Máme
fX (x) = P(X = x) = P(
y
({X = x} ∩ {Y = y}))
=
y
P(X = x ∧ Y = y) =
y
fX,Y (x, y).
Podmíněná pravděpodobnost a podmíněné očekávání
Připoměňme definici podmíněné pravděpodobnosti pro jevy,
P(A | B) =
P(A ∩ B)
P(B)
.
V modelech pojistné a finanční matematiky je obvykle
pravděpodobnost podmíněná informací, kterou máme v danou
chvíli.
Podmíněná pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny Y za
podmínky X = x, kterou budeme označovat fY |X (. | x), je
definována jako
fY |X (y | x) = P(Y = y | X = x),
pro každé x takové, že P(X = x) > 0.
Z definice máme
P(Y = y | X = x) =
P(Y = y ∧ X = x)
P(X = x)
=
fX,Y (x, y)
fX (x)
,
tedy
fY |X (y | x) =
fX,Y (x, y)
fX (x)
,
což je analogický vztah jako platí pro podmíněné pravděpodobnosti
jevů.
Víme-li, že X = x, pak Y má novou pravděpodobnostní funkci
fY |X (y | x) jakožto funkci y (x je pevné).
Očekávání vůči této funkci je podmíněné očekávání Y za
podmínky X = x, které označíme Ψ(x) = E(Y | X = x).
Funkce (tj. náhodná veličina)
Ψ(x) = E(Y | X = x)
se nazývá podmíněné očekávání Y při znalosti X.
Věta o celkovém očekávání: Pro podmíněné očekávání
Ψ(x) = E(Y | X = x) platí
E(Ψ(x)) = E(Y ),
tedy
E(Y ) = E(E(Y |X)).
• Opravdu, střední hodnotu náhodné veličiny E(Y |X) lze
vypočítat jako
E E(Y |X) =
x
E(Y |X = x) · fX (x) =
=
x y
y · fY |X (y|x) · fX (x) =
=
y
y
x
fY |X (y|x) · fX (x) =
=
y
y · fY (y) = E(Y )
(1)
Podmíněný rozptyl
Platí důležitý vztah pro výpočet celkového rozptylu.
Zákon o celkovém rozptylu:
Var(X) = E[ Var(X|Y )] + Var[ E(X|Y )] (2)
– EVVE’s law.
Důkaz:
Víme že
Var(X|Y ) = E(X2
|Y ) − ( E(X|Y ))2
Tedy podle zákona o celkovém očekávání máme
Var(X) = E(X2
) − ( E(X))2
=
E{[ E(X2
|Y )]} − [ E( E(X|Y )]2
− E( E(X|Y )2
) + E( E(X|Y )2
) =
E[ Var(X|Y )] + Var[ E(X|Y )].
Tím je tvrzení dokázáno.
Diskrétní (čítací) složená rozdělení
lze získat procesem skládání dvou libovolných diskrétních rozdělení
Definice: Nechť N je diskrétní náhodná veličina a nechť M1, M2, . . .
jsou IID (vzájemně nezávislé, stejně rozdělené) diskrétní náhodné
veličiny. Předpokládejme, že Mi pro i = 1, 2, . . . nezávisejí na N.
Potom náhodná veličina
S =
N
i=1
Mi
má složené rozdělení.
– Máme tedy součet náhodného počtu náhodných veličin
Pojistná praxe
• náhodná veličina N může např. udávat počet různých dopravních
nehod
• náhodné proměnné Mi , i = 1, 2, . . . , N představují počet zraněných
z i-té nehody
• náhodný součet S udává celkový počet zraněných
Proč složená?
Označení: N ... primární (vnější) M ... sekundární (vnitřní)
Nechť M má generující funkcí GM(s). Pak pro generující funkci S
platí
GS (s) = GN GM(s) pro s ∈ R, (3)
kde GN(s) představuje generující funkci primárního rozdělení
a GM(s) generující funkci sekundárního rozdělení.
Pravděpodobnostní funkce složeného rozdělení
• pravděpodobnost, že dojde právě ke k pojistným nárokům (=
zraněním) lze vyjádřit z věty o celkové pravděpodobnosti
P(S = k) =
∞
n=0
P(S = k|N = n) · P(N = n) =
=
∞
n=0
P(M1 + M2 + · · · + MN = k|N = n) · P(N = n) =
=
∞
n=0
P(M1 + M2 + · · · + Mn = k) · P(N = n)
(4)
• Víme, že pst. funkce součtu nezávislých n.v. je konvoluce
• označme jednotlivé pst. funkce
gS (n) = P(S = n), qM(n) = P(M = n), pN(n) = P(N = n)
• potom (4) lze zapsat
gS (k) =
∞
n=0
q∗n
M (k) · pN(n) (5)
Pro praktický výpočet se nehodí, výpočet konvoluce je náročný.
Číselné charakteristiky
Střední hodnota:
• očekávání složené náhodné veličiny S vypočítáme
ze znalosti vlastnosti podmíněné střední hodnoty náhodné
veličiny S za podmínky N = n
• Mi pro i = 1, 2, . . . jsou IID, píšeme M ∼ Mi pro
libovolné i.
• Tedy podle věty o celkovém očekávání dostaneme
E(S) = E[E(S|N)] =
∞
n=0
E(S|N = n) · P(N = n) =
=
∞
n=0
E(M1 + M2 + · · · + MN|N = n) · P(N = n) =
=
∞
n=0
E(M1 + M2 + · · · + Mn) · P(N = n) =
=
∞
n=0
E(M) · n · P(N = n) = E(M) · E(N)
(6)
Rozptyl:
Var(S) = E[Var(S|N)] + Var[E(S|N)] =
= E N · Var(M) + Var N · E(M) =
= E(N) · Var(M) + Var(N) · E(M)
2
(7)
Moment generující funkce:
MS (t) = E(etS
) = E[E(etS
|N)] =
∞
n=0
E(etS
|N = n) · P(N = n) =
=
∞
n=0
E et(M1+M2+···+MN )
|N = n · P(N = n) =
=
∞
n=0
E et(M1+M2+···+Mn)
· P(N = n) =
=
∞
n=0
MM(t)
n
· P(N = n) = E [MM(t)]N
=
= E eN·ln(MM (t))
= MN ln[MM(t)] , t ≥ 0
(8)
Jak efektivně vypočítat pst. funkci složeného rozdělení?
Věta (Panjerova rekurze)
Je-li primární rozdělení členem třídy (a, b, 0), pak platí rekurentní
vztah
gS (k) =
1
1 − a · qM(0)
·
k
j=1
a+
jb
k
qM(j)·gS (k−j), k = 1, 2, . . .
(9)
Analogie platí i pro třídu (a, b, 1).
Věta
Je-li primární rozdělení členem třídy (a, b, 1), potom
gS (k) =
pN (1) − (a + b)pN (0) · qM (k) +
k
j=1
a + jb
k qM (j) · gS (k − j)
1 − a · qM (0)
pro k = 1, 2, . . .
(10)
• výše uvedené rekurentní formule v sobě nezahrnují konvoluci,
tím výrazně ulehčují naše výpočty
• k jejich použití musíme znát hodnotu gS (0)
Věta
Pro každé složené rozdělení platí
gS (0) = GN qM(0) , (11)
kde GN(s) je generující funkce primárního rozdělení a qM(0) je
pravděpodobnost, že náhodná veličina M ze sekundárního rozdělení
nabude hodnoty 0, tj. P(M = 0).
1. Diskrétní složené Poissonovo rozdělení
je považováno za nejdůležitější diskrétní složené rozdělení,
neboť právě Poissonovo rozdělení bývá nejčastěji využíváno
k popisu počtu škod
Definice
Nechť mají IID náhodné veličiny M1, M2, . . . společnou
distribuční funkci FM(k) a nechť jsou nezávislé na N. Pak
náhodný součet S =
N
i=1
Mi má složené Poissonovo rozdělení
s parametry λ a FM(k), značíme S ∼ CPo λ, FM(k) , jestliže
se N řídí Poissonovým rozdělením s parametrem λ > 0.
Tedy
P(N = n) =
e−λ · λn
n! , n = 0, 1, 2, . . . ,
0, jinak.
(12)
Označení: Poisson - M, např. Poisson - geometrické, pokud M má
geometrické rozdělení.
• připomeňme si, že N ∼ Po(λ) má GN(s) = eλ·(s−1)
a E(N) = Var(N) = λ
• pravděpodobnost, že nedojde k žádné pojistné události na
pojistném kmeni s primárním Poissonovým rozdělením, vyplývá
ze vztahu (11)
gS (0) = eλ·(qM (0)−1)
(13)
• pravděpodobnost, že v portfoliu nastane právě k pojistných
událostí, vypočítáme dle vztahu (9), kde a = 0 a b = λ
gS (k) =
λ
k
k
j=1
j · qM(j) · gS (k − j), k = 1, 2, . . . (14)
Generující funkce:
GS (s) = eλ·(GM (s)−1)
pro s ∈ R, (15)
kde GM(s) je generující funkce sekundárního rozdělení
Moment generující funkce:
MS (t) = eλ·(MM (t)−1)
pro t ≥ 0, (16)
kde MM(t) je moment generující funkce sekundárního rozdělení
Střední hodnota a rozptyl:
E(S) = E(M) · E(N) = λE(M) (17)
Var(S) = E(N) · Var(M) + Var(N) · E(M)
2
=
= λVar(M) + λ E(M)
2
= λ Var(M) + E(M)
2
=
= λ E(M2
) − E(M)
2
+ E(M)
2
= λE(M2
)
(18)
Věta
Nechť S1, S2, . . . , Sn jsou vzájemně nezávislé náhodné veličiny. Dále
nechť Sj má složené Poissonovo rozdělení s parametrem λj pro
primární rozdělení a se sekundárním rozdělením {qj (k) : k ∈ N0}
pro j = 1, 2, . . . , n. Potom součet S = S1 + S2 + · · · + Sn má také
složené Poissonovo rozdělení s parametrem λ = λ1 + λ2 + · · · + λn
a sekundárním rozdělením {qS (k) : k ∈ N0}, kde
qS (k) =
λ1q1(k) + λ2q2(k) + · · · + λnqn(k)
λ
=
1
λ
·
n
j=1
λj qj (k),
k = 0, 1, . . .
(19)
Pojistná praxe
• mějme n různých, vzájemně nezávislých portfolií, kde se
celkový počet nároků jednotlivých portfolií řídí složeným
Poissonovým rozdělením, potom se celkový počet nároků
vzniklý kombinací těchto n portfolií bude také řídit složeným
Poissonovým rozdělením
• uvažujeme-li pojistné portfolio na dobu n let
a předpokládáme-li, že celkové počty nároků jednotlivých let
jsou navzájem nezávislé a mají složené Poissonovo rozdělení,
pak celkový počet nároků vzniklý za n let bude mít také
složené Poissonovo rozdělení
Příklady diskrétních složených Poissonových rozdělení
a) Negativně binomické rozdělení
• získáme složením primárního Poissonova a sekundárního logaritmického
rozdělení
• generující funkce negativně binomického rozdělení je dána
ve tvaru
GN (s) =
1
1 − β(s − 1)
m
, m > 0, β > 0, s ∈ R
• ověříme, že generující funkce složeného rozdělení GS (s) =
GN(GM(s)), kde GN(s) představuje generující funkci Poissonova
rozdělení s parametrem λ > 0 a GM(s) generující
funkci logaritmického rozdělení s parametrem β > 0, je totožná
s generující funkcí negativně binomického rozdělení
b) Další rozdělení
Poisson-binomické rozdělení
Poissonovo rozdělení
binomické rozdělení
λ > 0; p ∈ (0, 1), n ∈ N
gS (0) = eλ·((1−p)n−1)
gS (k) = λ
k
k
j=1 j · n
j pj (1 − p)n−j · gS (k − j)
Neymanovo rozdělení typu A
Poissonovo rozdělení (parametr λ1)
Poissonovo rozdělení (parametr λ2)
λ1 > 0; λ2 > 0
gS (0) = eλ1·(e−λ2 −1)
gS (k) = λ1·e−λ2
k
k
j=1 j ·
λj
2
j! · gS (k − j)
Poisson-ETNB rozdělení
Poissonovo rozdělení
ETNB rozdělení
λ > 0; p ∈ (0, 1), resp. β > 0, m > −1, m = 0
gS (0) = e−λ
gS (k) = λ
k
k
j=1 j ·
(j+m−1
j )·(1−p)j
p−m−1
· gS (k − j)
gS (k) = λ
k
k
j=1 j · (j+m−1)·...·(m+1)·m
j!·((1+β)m−1) · β
1+β
j
· gS (k − j)
2. Další diskrétní složená rozdělení
Definice
Nechť mají IID náhodné veličiny M1, M2, . . . distribuční funkci
FM(k) a nechť jsou nezávislé na N. Potom řekneme, že náhodná
veličina S =
N
i=1
Mi má složené geometrické rozložení s parametry p
a FM(k), píšeme S ∼ CGe p, FM(k) , má-li N geometrické
rozložení s parametrem p ∈ (0, 1), tj.
P(N = n) =
p · (1 − p)n
, n = 0, 1, . . . ,
0, jinak
=



βn
(1+β)n+1 , n = 0, 1, . . . ;
β > 0,
0, jinak.
(20)
• analogicky nadefinujeme složené negativně binomické rozdělení
a složené binomické rozdělení
Složené geometrické rozdělení
p ∈ (0, 1), resp. β > 0
gS (0) = p
1−qM (0)+p·qM (0) = 1
1+β−β·qM (0)
a = 1 − p = β
1+β , b = 0
gS (k) = 1−p
1−(1−p)·qM (0)
k
j=1 qM (j) · gS (k − j)
gS (k) = β
1+β−β·qM (0)
k
j=1 qM (j) · gS (k − j)
GS (s) = p
1−GM (s)·(1−p) = 1
1−β· GM (s)−1
MS (t) = p
1−MM (t)·(1−p) = 1
1−β· MM (t)−1
E(S) = 1−p
p · E(M) = β · E(M)
Var(S) = 1−p
p · Var(M) + 1−p
p2 · E(M)
2
=
= β · Var(M) + β · (1 + β) · E(M)
2
Složené negativně binomické rozdělení
m > 0, p ∈ (0, 1), resp. β > 0
gS (0) = p
1−qM (0)·(1−p)
m
= 1
1−β·(qM (0)−1)
m
a = 1 − p = β
1+β , b = (m − 1) · (1 − p) = (m − 1) · β
1+β
gS (k) = 1−p
1−(1−p)·qM (0)
k
j=1
k+j·(m−1)
k · qM (j) · gS (k − j)
gS (k) = β
1+β−βqM (0)
k
j=1
k+j·(m−1)
k · qM (j) · gS (k − j)
GS (s) = p
1−GM (s)·(1−p)
m
= 1
1−β·(GM (s)−1)
m
MS (t) = p
1−MM (t)·(1−p)
m
= 1
1−β·(MM (t)−1)
m
E(S) = m · 1−p
p · E(M) = m · β · E(M)
Var(S) = m · 1−p
p · Var(M) + 1
p · E(M)
2
=
= m · β · E(M2
) + m · β2
· E(M)
2
Složené binomické rozdělení
p ∈ (0, 1), n ∈ N
gS (0) = 1 − p · (qM(0) − 1)
n
a = − p
1−p , b = (n + 1) · p
1−p
gS (k) = p
1−p+p·qM (0)
k
j=1
j·(n+1)−k
k · qM(j) · gS (k − j)
GS (s) = 1 + p · (GM(s) − 1)
n
MS (t) = 1 + p · (MM(t) − 1)
n
E(S) = n · p · E(M)
Var(S) = n · p · E(M2) − n · p2 · E(M)
2
Tabulka: Další složená rozdělení