Čítací procesy
{Nt, t ≥ 0} ... stochastický proces
– pro každé pevné t je Nt náhodná veličina
t ... čas
– příklady: Náhodná procházka, Wienerův proces, Poissonův
proces
– Ns − Nt .... přírůstek procesu za čas od t do s (s > t).
– stacionární přírůstky ... rozdělení závisí jen na rozdílu s − t.
– nezávislé přírůstky ... přes disjunktní časového intervaly.
Závislé přírůstky ... znalost počtu nehod tento rok ovlivní
rozdělení počtu nehod příští rok
Definice:
Čítací proces je stochastický proces s hodnotami
v {0, 1, 2, . . . } kdy pro t > s platí Ns ≥ Nt.
– navíc se obvykle předpokládá N(0) = 0.
– Zajímá nás marginální rozdělení Nt pro konkrétní t
– sdružené rozdělení (Nt1 , . . . , Ntk
) pro různá tj i hodnoty k.
– Hodnoty Ntj
jsou závislé (z podmínky růstu)
Příklad: Nt ... počet nehod řidiče do času t (v letech).
N3 − N2 ... počet nehod řidiče ve 3.roce
Procesy s nezávislými přírůstky
– předpokládejme, že přírůstky procesu přes disjunktní
intervaly jsou nezávislé.
– následující věta říká, že jediný takový proces - až na
transformaci času - je Poissonův proces.
Věta: Nechť Xt je čítací proces s nezávislými přírůstky. Nechť
E(Xt) = m(t) je spojitá rostoucí funkce času t a m(0) = 0.
Pak m(t) lze zavést jako novou časovou proměnnou vztahem
˜Xτ = Xm−1(τ)
tak, že ˜X má stacionární nezávislé přírůstky a ˜X(τ) má
Poissonovo rozdělení s parametrem τ.
– τ = m(t) se nazývá operační čas.
– namísto roků (hodin ...) měří čas v očekávaném počtu
nároků (událostí).
– velmi silná vlastnost, až na změnu času jen Poissonův proces
Markovské procesy
Dále budeme uvažovat podstatně slabší vlastnost.
Uvažujme stochastický proces X(t), t ≥ 0 ve spojitém čase,
který nabývá hodnoty v nezáporných celých číslech.
Definice: Proces X(t), t ≥ 0 je Markovský řetězec ve spojitém
čase, jestliže pro všechna s, t ≥ 0 a nezáporná celá čísla
i, j, x(u) platí Markovská vlastnost
P(X(t + s) = j|X(s) = i, X(u) = x(u), 0 ≤ u < s)
= P(X(t + s) = j|X(s) = i).
– Obecně nemusí jít o čítací proces
Markovovská vlastnost tedy říká, analogicky jako v diskrétním
případě, že pravděpodobnostní rozdělení budoucích stavů,
podmíněné současným a všemi minulými stavy, závisí jen na
současném stavu a je nezávislé na minulosti.
Příklad: Nt ... počet nehod do času t
Počet nehod v intervalu (s, t), tedy Ns − Nt závisí na počtu
nehod do času s, tedy Ns, ale ne na jejich přesném časovém
průběhu.
Markovský proces nemá paměť, ale “ví kde je”, na rozdíl od
procesu s nezávislými přírůstky.
Hlavní charakteristika Markovského čítacího procesu jsou
přechodové pravděpodobnosti
pk,k+n(s, t) = P(Nt−Ns = n|Ns = k) = P(Nt = k+n|Ns = k).
kde 0 ≤ s ≤ t, k, n = 0, 1, . . . .
Pokud tyto pravděpodobnosti závisí jen na rozdílu t − s, pak
se proces nazývá homogenní
– Stacionarita se týká nepodmíněných pravděpodobností pro
přírůstky
– Homogenita se týká podmíněných pravděpodobností
Marginální pst. funkce pro Nt je
pn(t) = p0,t(0, t) = P(Nt = n), n = 0, 1, . . .
Marginální pst. funkci pro přírůstek Nt − Ns dostaneme ze
zákona o celkové pravděpodobnosti
P(Nt − Ns = n) =
∞
k=0
P(Nt − Ns = n|Ns = k)P(Ns = k) =
=
∞
k=0
pk,k+n(s, t)pk(s)
Definice: Poissonův proces s intenzitou λ > 0 je proces
N = {N(t) : t ≥ 0} nabývající hodnoty v S = {0, 1, 2, . . . }
takový, že
– N(0) = 0 a pro s < t je N(s) ≤ N(t).
–
P(N(t+h) = k +n|N(t) = k) =



λh + o(h) pro n = 1
o(h) pro n > 1
1 − λh + o(h) pro n = 0
.
– Je-li s < t, pak počet N(t) − N(s) událostí v intervalech
[s, t] je nezávislý na N(s), t.j. počtu událostí v [0, s].
– N(t) . . . počet příchodů, událostí, emisí do času t.
– N je čítací proces.
– λ je intenzita procesu
Zajímá nás rozložení N(t).
Věta: N(t) má Poissonovo rozdělení s parametrem λt, tedy
P(N(t) = j) =
(λt)j
j!
e−λt
, j = 0, 1, 2, . . .
Obecně, λ necháme záviset jak na čase t, tak na současném
stavu procesu k.
Definice: Proces čistého zrodu je proces N = {N(t) : t ≥ 0}
nabývající hodnoty v S = {0, 1, 2, . . . } takový, že
– N(0) = 0 a pro s < t je N(s) ≤ N(t).
– P(N(t + h) = k + n|N(t) = k) =



λn(t)h + o(h) pro n = 1
o(h) pro n > 1
1 − λn(t)h + o(h) pro n = 0
.
Obecně, proces zrodu a zániku uvažuje i situaci kdy hodnota
Nt klesne o 1 (populační biologie)
λk(t) je funkce intenzity přechodu
Je-li λk nezávislé na t, pak je proces homogenní.
Pokud intenzity přechodu závisí na t a nezávisí na k, pak má
proces nezávislé přírůstky, ale ne stacionární.
Obecně je tedy
pk,k+1(t, t + h) = λk(t)h + o(h)
a
pk,k(t, t + h) = 1 − λk(t)h + o(h)
Odvodíme diferenciální rovnice pro pk,k+n.
Chapman-Kolmogorovovy rovnice
Podle věty o celkové pravděpodobnosti, podmíněním hodnotou
v t dostaneme
pk,k+n(s, t + h) =
n
j=0
pk,k+j (s, t)pk+j,k+n(t, t + h),
kde druhý člen je o(h), kromě j = n − 1 a j = n. Tedy
pk,k+n(s, t+h) = pk,k+n−1(s, t)λk+n−1(t)h+pk,k+n(s, t)(1−λk+n(t)h)
odečteme pk,k+n, vydělíme h a vezmeme limitu h → 0.
Tak dostaneme
∂
∂t
pk,k+n(s, t) = pk,k+n−1(s, t)λk+n−1(t)−pk,k+n(s, t)λk+n(t)h.
Tento systém ODR vyřešíme rekurentně
Řešením dostaneme následující rekurentní vztahy.
Věta: Přechodové pravděpodobnosti jsou dány rekurentně
vztahy
pk,k(s, t) = exp(−
t
s
λk(x)dx)
a pro n = 1, 2, . . .
pk,k+n(s, t) =
t
s
λk+n−1(y)pk,k+n−1(s, y) exp[−
t
y
λk+n(x)dx]dy
Důkaz - metoda integračního faktoru pro řešení lineárních dif.
rovnic (d.ú.).
Je-li λk(t) ≡ λ dostaneme standardní Poissonův proces, kde
pk,k+n(s, t) =
[λ(t − s)]n
e−λ(t−s)
n!
.
Speciálně pro s = 0 a k = 0
P(Nt = n) =
(λt)n
e−λt
n!
Tedy Nt ∼ Po(λt)
Má stacionární a nezávislé přírůstky, t.j. Nt − Ns ∼ Nt−s
závisí jen na t − s.
Procesy s nákazou
– contagion
Nechť
λk(t) = a + bk, k = 0, 1, . . .
– Proces s lineární nákazou
b > 0... kladná nákaza, b < 0... záporná nákaza
b = 0 ... Poissonův proces
Věta: Je-li λk(t) = a + bk ≥ 0 a b = 0, pak přechodové
pravděpodobnosti lze zapsat ve tvaru
pk,k+n(s, t) =
a
b
+ k + n − 1
n
e−(a+kb)(t−s)
[1 − e−b(t−s)
]n
Z předchozí věty máme pro n = 0
pk,k(s, t) = exp(−
t
s
(a + kb)dx) = e−(a+kb)(t−s)
Tedy vztah platí pro n = 0. Dále použijeme indukci (viz
Klugman).
Lemma: Pro b > 0 (kladná nákaza) a pevné k mají
přechodové pravděpodobnosti NB rozdělení.
Důkaz: podle předchozího vztahu máme
pk,k+n(s, t) =
a
b
+ k + n − 1
n
(e−b(t−s)
)
a
b
+k
[1 − e−b(t−s)
]n
pro n = 0, 1, 2, . . . , což je NB rozdělení jako funkce n s
parametry r = a
b
+ k a p = 1 − e−b(t−s)
Příklad: nehoda —> tendence k další nehodě se zvýší
(“nervozita”).
Naopak, při negativní nákaze se pst. další nehody zmenší (řidič
si dává větší pozor).
Lemma: Pro b < 0 (záporná nákaza) a pevné k mají
přechodové pravděpodobnosti Bi rozdělení.
Důkaz: Klugman
λk(t) nemohou být záporné
ak + b se musí trefit do nuly, tedy aM + b = 0 pro nějaké
přirozené M.
Pak λM(t) = 0 a tedy nemůže být více než celkem M nároků.
– jako rozdělení procesu s nákazou jsme přirozeně dostali
všechna rozdělení třídy (a, b, 0).