MIN201 Matematika I - příklady počítané na cvičení (jarní semestr 2021) 1 1. týden — interpolační polynomy Cvičení konané 1.3. 2021. Příklad 1.1: Nalezněte nej větší společný dělitel polynomů f (x) = x4 - 2x3 - 2x2 + 7x - 6 a g (x) = 2x3 - Ax2 - x + 2. Příklad 1.2: [5.1. a 5.2] • Nalezněte reálný polynom P (x) co nejnižšího stupně splňující P(2) = 1, P(3) = 0, P(4) = -l, P(5) = 6. • Nalezněte komplexní polynom co nejnižšího stupně splňující Q(l+ «) = «, Q(2) = l, Q(3) = -i. Příklad 1.3: [5.4] Nalezněte reálný polynom P{x) co nejnižšího stupně splňující P(1) = 0, P'(l) = l, P(2)=3, P'(2) = 3. Příklad 1.4: Nalezněte přirozený splajn S(x), který splňuje podmínky S'(-1) = 0, S(0) = 1, S(l) = 0. 2 2. týden — limity posloupností Cvičení konané 8. 3. 2021. Příklad 2.1: [5.36] Určete limity následujících posloupností: (\) ljm ^ 2n2+3n+l i: 2n2+3n+l l^llj llllln^oo 3n2+n+1 , (iii) lim. n+l n->oo 2)!2+3n+l ' (iv) limn_^_00 2n^2-™' (v) lim V4n2+n (vi) lim^oo yj4n2 + n — 2n. Příklad 2.2: [5.37 a 5.38] (i) Nechť c G IR+ je kladné reálné číslo. Ukažte, že limn^oo -ý/č = 1. (ii) Určete limn^oo yfň. Příklad 2.3: [5.41] Určete limitu \/n3 - lln2 + 2 + \/n7 - 2??J - n3 - n + sin2■/?. lim -=-. 2 - \/35n4 + 2n3 + 5 Příklad 2.4: Určete následující limity: m lim 3"+('2)"+1 (ii) lim^oofl + sinn)n. 3 3. týden — limity funkcí a derivace Cvičení konané 15. 3. 2021. Příklad 3.1: [5.47] Určete limity následujících funkcí: (i) lim^^/gsinx, (ii) li"., .,7^F- (iii) lim^oo (arccos ^-)3, (iv) linx^-oo arctan ^, lim:E^_O0 arctanx4, lim^^oo arctan(sinrr). Příklad 3.2: [5.56] Určete limitu 1 — COS X lim , . ^ sin x Příklad 3.3: Ukažte, že lim^o ^ = 1- Příklad 3.4: [5.49] Určete limity následujících funkcí: x-2 (i) lim, x-2 (nj hnij----- sin2 x (iii) linxj (iv) \imx^0e1/x. Příklad 3.5: [Část 5.57] S využitím lim (1 + = ea určete následující limity: lim (^r)n, lim (1 + ±Y, Příklad 3.6: [5.61] Dodefinujte funkci 2x — 1 f(x) = (x2 - l)sin—--, xz — 1 tak, aby byla spojitá ve všech bodech x G BL Příklad 3.7: [5.74] Zderivujte a upravte (i) (ii (iii (iv (v x smx, \n(x + y/x2 — a2), a / 0, |rr| > |a|, arctan(^=7), Příklad 3.8: [5.82] Určete parametr c G M tak, aby tečna ke grafu funkce -^p- v bodě [1, 0] procházela bodem [2,2]. Příklad 3.9: Ověřte, že elementární Hermiteovy polynomy pro interpolaci v bodech x1}..., xn s předepsanými hodnotami a prvními derivacemi v těchto bodech jsou dány vztahy h\{x)=[l-^{x-xi)]{íl{x))\ h?(x) = (X - Xi)ii(x), kde l(x) = (x — xi) . . . (x — xn) a íi[x) jsou elementární Lagrangeovy interpolační polynomy. Teda je třeba ověřit h](x1) = ôj, (h})'(Xj) = 0, ti(xj)=0, (h^)'(xJ) = 5l Příklad 3.10: [5.93] Určete rr-ovou souřadnici bodu xA na parabole y = x2, který je nejblíž bodu A = [1,2]. 4 4. týden — L'Hospitalovo pravidlo Cvičení konané 22. 3. 2021. Příklad 4.1: [5.97] Spočtěte limity (i) linXj,- sin(2x) — 2 siní ^° 2ex-x2-2x-2 ' (ii) linXj,- lni coti' (iii) lima;- ( x 1 \ (iv) linij.. _>!+ lna: \n(x — 1 (v) ( sin x \ ~7I Příklad 4.2: [5.102, 5.104 . 5.106] Vyšetřete konvergenci řad --řL=). Via—> yľí±l. 5 5. týden — Nekonečné řady a mocninné řady Cvičení konané 29. 3. 2021. Příklad 5.1: [5.102] Určete součet řad: (i) En=l (^""i 2 42n / ; (íí) e~=i í n=l 3" ' 1 (iíí) En=0 (3n+l)(3n+4) ' Příklad 5.2: [5.107, 5.106, odjinud] Rozhodněte, zda následující řady konvergují: (O E,! = l ň' (U) En=l (n+l)-3n ' H £~=1sin£, (vi) Er=i(-l)n+1ln(l + ^)-Příklad 5.3: [5.108, 5.109] Vyšetřete konvergenci mocninných řad (i) E~ i £*n, \n) Z^n=l ' (iii) £~=i(-4n)n*n, (iv) E~i(i + £)nV, 6 6. týden — Taylorův rozvoj, průběh funkce Cvičení konané 12. 4. 2021. Příklad 6.1: [6.12, 6.14] (i) Určete Taylorův rozvoj Tf v bodě 1 pro funkci (ii) Funkci ln(:r + 1) rozviňte do mocninné řady v bodech 0 a 1 a určete všechna x G IR, pro které tyto řady konvergují. Příklad 6.2: [6.30, 6.36] (i) Určete obor hodnot funkce f{x) = ^ť^. (ii) Vyšetřete průběh funkce f(x) = 1|3 + 1. 7 7. týden — Integrování I. Cvičení konané 19. 4. 2021. Příklad 7.1: [6.39, 6.40] Spočtěte integrály: (i) j -^dx, x ý 0, (ii) J tan2 x dx, x ^ | + kn, (iii) J" (6 sin5x + cos | + 2e^) o. 8 8. týden — Integrování II. Cvičení konané 26. 4. 2021. Příklad 8.1: [6.51, 6.52] Spočtěte integrály: (i) I (x-iy2(x2+2x+2) dx-> x Ý 1; (íí) ./' Ä5ä Příklad 8.2: [6.55] Spočtěte integrály: (i) / TTFdi"> \ ' J x ln3 x+x ln2 2x Příklad 8.3: [6.59] Spočtěte určité integrály: (i) Io7^dx^ (ii) Jo (Ä + d^) Příklad 8.4: [6.63, 6.64] Určete nevlastní integrály, (i) f™ s'm x dx, (íí) Jľi4^dx> (iii) f\is,dx, (iv) /r^T2Fd;r' (v) S\e-^dx 9 9. týden — Aplikace integrálu Cvičení konané 3. 5. 2021. Příklad 9.1: [6.69] Určete délku křivky dané parametricky: x = t2, y = t3, kde t E [0,y/E\. Příklad 9.2: [6.70, 6.72] (i) Určete plochu ležící napravo od přímky x = 3 a dále ohraničenou grafem funkce y = j-a osou x. (ii) Určete obsah S obrazce složeného ze dvou vymezených přímkami x = 0, x = 1, x = A, osou x a grafem funkce f{x) = -3/=f- Příklad 9.3: [6.76] Hyperbolu xy = 1 pro x > a > 0 rotujeme kolem osy x. Ukažte, že toto těleso má konečný objem a nekonečný obsah. Příklad 9.4: [6.77, 6.82] (i) Rozhodněte konvergenci/divergenci řad oo ^ oo ^ —— a y^^r- ^—' nmn ^—' rr n=l n=l (ii) Určete součet řady Y^n=i P°užitím vztahu J2°° = 10 10. týden — Diferenciální rovnice Cvičení konané 10. 5. 2021. Příklad 10.1: [6.83] Uvažme funkci f(x) = Y^=ine~nx■ Určete -In 3 f(x)dx. In 2 Příklad 10.2: [8.118, 8.121] (i) Určete všechna řešení diferenciální rovnice \J\ — y2 2 y =—---(1 + cos x). COS2 X (ii) Určete řešení diferenciální rovnice y = 7TT pro které je y(0) = 1. Příklad 10.3: [7.1] V prostoru reálných funkcí na intervalu [1,2] je dán vektorový podprostor (x2, l/x). (i) Doplňte funkci l/x na jeho ortogonální bázi. (ii) Určete kolmou projekci funkce x na tento podprostor. (iii) Spočtěte vzdálenost funkce x od tohoto podprostoru. 11 11. týden — Diferenciální rovnice Cvičení konané 17. 5. 2021. Příklad 11.1: [7.5, 7.6] Najděte Fourierovu řadu pro (i) f(x) = sin(2x) cos(3x) pro x G [—7r,7r], (ii) periodické prodloužení funkce g(x) = 0 pro x G [—7r, 0) a g(x) = sin x pro x G (0,7r], (iii) periodické prodloužení funkce g(x) = \x\, x G [—7r,7r). Příklad 11.2: [7.9] Určete kosinovou Fourierovu řadu pro periodické prodloužení funkce g(x) = 1, x G [0,1], g (x) = 0, x G [1,4). 12 12. týden - Metrické prostory, konvoluce Cvičení konané 24. 5. 2021. Příklad 12.1: [7.22] Nechť je F + vi TTT, d{x, y) = —r, x, y G R. l + \x- y\ Ukažte, že d je metrika na IR. Příklad 12.2: [7.23] Určete vzdálenost funkcí x f{x)=x a g(x) = -7===, a: G [1,2] x jako prvků normovaného vektorového prostoru