Dvojný integrál
Definice a výpočet v kartézských souřadnicích
Petr Liška
Masarykova univerzita
15.4.2021
Petr Liška (Masarykova univerzita) Dvojný integrál 15.4.2021 1 / 12
Dvojný integrál na obdélníku
Nechť f(x, y) je spojitá funkce definovaná na obdélníku
R = [a, b] × [c, d] = (x, y) ∈ R2
| a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d
a uvažujme, že f(x, y) ≥ 0. Graf funkce f je pak plocha o rovnici
z = f(x, y) a máme tak těleso S, které leží nad obdélníkem R a pod
grafem funkce f, tj.
S = (x, y, z) ∈ R3
| 0 ≤ z ≤ f(x, y), (x, y) ∈ R .
x
y
z
Petr Liška (Masarykova univerzita) Dvojný integrál 15.4.2021 2 / 12
Rij
(x⋆
ij , y⋆
ij )
x
y
a b∆x
c
d
∆y
Petr Liška (Masarykova univerzita) Dvojný integrál 15.4.2021 3 / 12
Každý kvádřík má objem
f(xij, yij)∆x∆y.
x
y
z
(a)
x
y
z
(b)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Dvojný integrál 15.4.2021 4 / 12
Každý kvádřík má objem
f(xij, yij)∆x∆y.
x
y
z
(c)
x
y
z
(d)
Sečteme-li objemy kvádříků přes všechny obdelníky Rij dostaneme
přibližný objem tělesa S:
V ≈
m
i=1
n
j=1
f(xij, yij)∆x ∆y
Petr Liška (Masarykova univerzita) Dvojný integrál 15.4.2021 4 / 12
Dvojný integrál na obdélníku – definice
Zřejmě bude předchozí aproximace tím lepší, čím víc bude dílků m, n
dělení, tedy čím menší budou obdélníčky Rij, můžeme tak říct, že
objem tělesa S bude
V = lim
m, n→∞
m
i=1
n
j=1
f(xij, yij)∆x ∆y.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Dvojný integrál 15.4.2021 5 / 12
Dvojný integrál na obdélníku – definice
Zřejmě bude předchozí aproximace tím lepší, čím víc bude dílků m, n
dělení, tedy čím menší budou obdélníčky Rij, můžeme tak říct, že
objem tělesa S bude
V = lim
m, n→∞
m
i=1
n
j=1
f(xij, yij)∆x ∆y.
Definice
Nechť f(x, y) je ohraničená funkce na obdélníku R. Dvojný (Riemannův)
integrál funkce f(x, y) na R je
R
f(x, y) dx dy = lim
m, n→∞
m
i=1
n
j=1
f(xij, yij)∆x ∆y,
jestliže tato limita existuje.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Dvojný integrál 15.4.2021 5 / 12
Kdy dvojný integrál existuje?
Jestliže limita z předchozí definice existuje, říkáme, že funkce f je
integrovatelná. Postačující podmínku pro integrovatelnost funkce uvádí
následující věta.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Dvojný integrál 15.4.2021 6 / 12
Kdy dvojný integrál existuje?
Jestliže limita z předchozí definice existuje, říkáme, že funkce f je
integrovatelná. Postačující podmínku pro integrovatelnost funkce uvádí
následující věta.
Věta
Nechť f je funkce dvou proměnných spojitá na obdélníku R. Pak je
funkce f na tomto obdélníku integrovatelná.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Dvojný integrál 15.4.2021 6 / 12
Kdy dvojný integrál existuje?
Jestliže limita z předchozí definice existuje, říkáme, že funkce f je
integrovatelná. Postačující podmínku pro integrovatelnost funkce uvádí
následující věta.
Věta
Nechť f je funkce dvou proměnných spojitá na obdélníku R. Pak je
funkce f na tomto obdélníku integrovatelná.
Poznámka
Aby dvojný integrál funkce f existoval, funkce f nemusí být nutně spojitá.
Stačí, aby byla na R ohraničená a nespojitá pouze na konečném
počtu „hladkých křivek“.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Dvojný integrál 15.4.2021 6 / 12
„Zřejmé“ vlastnosti
R
[f(x, y) + g(x, y)] dx dy =
R
f(x, y) dx dy +
R
g(x, y) dx dy
Petr Liška (Masarykova univerzita) Dvojný integrál 15.4.2021 7 / 12
„Zřejmé“ vlastnosti
R
[f(x, y) + g(x, y)] dx dy =
R
f(x, y) dx dy +
R
g(x, y) dx dy
R
cf(x, y) dx dy = c
R
f(x, y) dx dy
Petr Liška (Masarykova univerzita) Dvojný integrál 15.4.2021 7 / 12
„Zřejmé“ vlastnosti
R
[f(x, y) + g(x, y)] dx dy =
R
f(x, y) dx dy +
R
g(x, y) dx dy
R
cf(x, y) dx dy = c
R
f(x, y) dx dy
Je-li f(x, y) ≥ g(x, y) pro všechna [x, y] ∈ R, pak
R
f(x, y) dx dy ≥
R
g(x, y) dx dy
Petr Liška (Masarykova univerzita) Dvojný integrál 15.4.2021 7 / 12
Jak dvojný integrál spočítat?
Věta (Fubini)
Nechť f(x, y) je funkce spojitá na obdélníku R = [a, b] × [c, d] potom
R
f(x, y) dx dy =
b
a
d
c
f(x, y) dy dx =
=
d
c
b
a
f(x, y) dx dy .
Petr Liška (Masarykova univerzita) Dvojný integrál 15.4.2021 8 / 12
Jak dvojný integrál spočítat?
Věta (Fubini)
Nechť f(x, y) je funkce spojitá na obdélníku R = [a, b] × [c, d] potom
R
f(x, y) dx dy =
b
a
d
c
f(x, y) dy dx =
=
d
c
b
a
f(x, y) dx dy .
Poznámka
V případě, že se funkce f dá psát ve tvaru f(x, y) = g(x) · h(y), je
možné výpočet zjednodušit
R
f(x, y) dx dy =
b
a
g(x) dx ·
d
c
h(y) dy .
Petr Liška (Masarykova univerzita) Dvojný integrál 15.4.2021 8 / 12
Dvojný integrál na obecné uzavřené oblasti
Definice
Nechť f je funkce definovaná a ohraničená na ohraničené uzavřené souvislé
množině M ⊂ R2 a nechť R je obdelník takový, že M ⊆ R. Definujme
na R funkci g předpisem
g(x, y) =
f(x, y) je-li(x, y) ∈ M
0 jinak
a předpokládejme, že funkce g je na R integrovatelná. Pak dvojný integrál
funkce f na množině M definujeme vztahem
M
f(x, y) dx dy =
R
g(x, y) dx dy .
Podobně jako u dvojného integrálu přes obdélník, platí, že funkce, která
je definovaná a spojitá na ohraničené uzavřené souvislé oblasti, je
integrovatelná.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Dvojný integrál 15.4.2021 9 / 12
Jak vypadají množiny, na kterých umíme integrovat?
M
ϕ(x)
ψ(x)
xa b
y
(e)
M
ϕ(y) ψ(y)
x
y
c
d
(f)
Obrázek: Uzavřené elementární oblasti
Petr Liška (Masarykova univerzita) Dvojný integrál 15.4.2021 10 / 12
Jak dvojný integrál vypočteme?
Věta (Fubini)
Nechť ϕ(x), ψ(x) jsou funkce spojité na intervalu [a, b] a nechť f(x, y)
je funkce spojitá na množině
M = {(x, y) ∈ R2
| a ≤ x ≤ b, ϕ(x) ≤ y ≤ ψ(x)}.
Pak
M
f(x, y) dx dy =
b
a
ψ(x)
ϕ(x)
f(x, y) dy dx .
Nechť ϕ(y), ψ(y) jsou funkce spojité na intervalu [c, d] a nechť f(x, y)
je funkce spojitá na množině
M = {(x, y) ∈ R2
| c ≤ y ≤ d, ϕ(y) ≤ x ≤ ψ(y)}.
Pak
M
f(x, y) dx dy =
d
c
ψ(y)
ϕ(y)
f(x, y) dx dy .
Petr Liška (Masarykova univerzita) Dvojný integrál 15.4.2021 11 / 12
Aditivita integrálu vzhledem k integračnímu oboru
Věta
Nechť f(x, y) je funkce integrovatelná na konečném počtu uzavřených
elementárních oblastí M1, M2, . . . , Mn, které mají společné nejvýše
hraniční body a nechť M = M1 ∪ M2 ∪ · · · ∪ Mn. Pak platí
M
f(x, y) dx dy =
=
M1
f(x, y) dx dx +
M2
f(x, y) dx dx + · · · +
Mn
f(x, y) dx dx .
Petr Liška (Masarykova univerzita) Dvojný integrál 15.4.2021 12 / 12