Autonomní systémy v rovině
Geometrické vlastnosti trajektorií, nelineární systémy
Petr Liška
Masarykova univerzita
11.3.2021
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy v rovině 11.3.2021 1 / 9
Lineární autonomní systém
Uvažujme lineární autonomní systém, tj.
x = Ax, kde x =
x
y
, A =
a b
c d
. (1)
Věta
Nechť A je regulární matice systému (1) a nechť λ1, λ2 jsou vlastní
čísla matice A. Stacionární bod [0, 0] je
• nestabilní uzel, jsou-li λ1, λ2 ∈ R a λ1 ≥ λ2 > 0;
• stabilní uzel, jsou-li λ1, λ2 ∈ R a λ1 ≤ λ2 < 0;
• sedlo, jsou-li λ1, λ2 ∈ R a λ1 < 0 < λ2;
• nestabilní ohnisko, jsou-li λ1,2 = α ± βi a α > 0;
• stabilní ohnisko, jsou-li λ1,2 = α ± βi a α < 0;
• střed, jsou-li λ1,2 = ±βi.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy v rovině 11.3.2021 2 / 9
Malá odbočka - asymptotická stabilita
Definice
Řešení rovnice
x = f(x), (2)
se nazývá asymptoticky stabilní, když je stabilní a když ke každému
t1 ≥ t0 existuje δ = δ(t1) > 0 tak, že pro každé řešení x rovnice (2)
splňující nerovnost |x(t1) − x0(t1)| < δ platí
lim
t→∞
|x(t) − x0(t)| = 0.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy v rovině 11.3.2021 3 / 9
Malá odbočka - asymptotická stabilita
Definice
Řešení rovnice
x = f(x), (2)
se nazývá asymptoticky stabilní, když je stabilní a když ke každému
t1 ≥ t0 existuje δ = δ(t1) > 0 tak, že pro každé řešení x rovnice (2)
splňující nerovnost |x(t1) − x0(t1)| < δ platí
lim
t→∞
|x(t) − x0(t)| = 0.
Věta
Nulové řešení rovnice (1) je asymptoticky stabilní právě tehdy, když
každý kořen charakteristické rovnice matice A má zápornou reálnou
část.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy v rovině 11.3.2021 3 / 9
Nelineární systém
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy v rovině 11.3.2021 4 / 9
Věta
Předpokládejme, že funkce f(x, y), g(x, y) jsou spojité a mají spojité parciální derivace
druhého řádu v okolí bodu [x0, y0] a že f(x0, y0) = g(x0, y0) = 0. Nechť
∂f(x0,y0)
∂x
∂f(x0,y0)
∂y
∂g(x0,y0)
∂x
∂g(x0,y0)
∂y
= 0 .
Pak je bod [x0, y0] izolovaným singulárním bodem systému
x = f(x, y)
y = g(x, y) .
(3)
Přitom je bod [x0, y0] stabilní/nestabilní uzel/ohnisko nebo sedlo pro systém (3), je-li počátek
singulárním bodem stejného typu pro systém
x =
∂f(x0, y0)
∂x
x +
∂f(x0, y0)
∂y
y
y =
∂g(x0, y0)
∂x
x +
∂g(x0, y0)
∂y
y .
(4)
Je-li však počátek střed pro systém (4), je bod [x0, y0] buď bod rotace nebo ohnisko pro
systém (3)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy v rovině 11.3.2021 5 / 9
Příklad
Nalezněte stacionární body autonomního systému
x = x(x − 3y + 1)
y = x2
− 3y − 1
a určete jejich typ.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy v rovině 11.3.2021 6 / 9
Jak se k tomu došlo aneb metoda linearizace
f(x, y) ≈ f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(y − a)+
+
1
2
[fxx(a, b)(x−a)2
+2fxy(a, b)(x−a)(x−b)+fyy(a, b)(y −b)2
]+· · ·
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy v rovině 11.3.2021 7 / 9
Jak se k tomu došlo aneb metoda linearizace
f(x, y) ≈ f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(y − a)+
+
1
2
[fxx(a, b)(x−a)2
+2fxy(a, b)(x−a)(x−b)+fyy(a, b)(y −b)2
]+· · ·
f(x) = f(a) + ∆f(a)(x − a) +
1
2
(x − a)T
D2
f(a)(x − a) + · · ·
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy v rovině 11.3.2021 7 / 9
Jak se k tomu došlo aneb metoda linearizace
f(x, y) ≈ f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(y − a)+
+
1
2
[fxx(a, b)(x−a)2
+2fxy(a, b)(x−a)(x−b)+fyy(a, b)(y −b)2
]+· · ·
f(x) = f(a) + ∆f(a)(x − a) +
1
2
(x − a)T
D2
f(a)(x − a) + · · ·
1
2
(x − a)T
D2
f(a)(x − a) ≤ C ||x − a||2
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy v rovině 11.3.2021 7 / 9
Jak se k tomu došlo aneb metoda linearizace
f(x, y) ≈ f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(y − a)+
+
1
2
[fxx(a, b)(x−a)2
+2fxy(a, b)(x−a)(x−b)+fyy(a, b)(y −b)2
]+· · ·
f(x) = f(a) + ∆f(a)(x − a) +
1
2
(x − a)T
D2
f(a)(x − a) + · · ·
1
2
(x − a)T
D2
f(a)(x − a) ≤ C ||x − a||2
f(x) = f(x ) + Df(x )(x − x ) + · · · ,
[Df(x )]ij =
∂fi
∂xj x=x
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy v rovině 11.3.2021 7 / 9
Jak se k tomu došlo aneb metoda linearizace
f(x) ≈ f(x ) + Df(x )(x − x )
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy v rovině 11.3.2021 8 / 9
Jak se k tomu došlo aneb metoda linearizace
f(x) ≈ f(x ) + Df(x )(x − x )
Uvažujme
x = f(x), (5)
kde f(x) je hladká a nechť x je stac. bod, tj. f(x ) = 0, pak
x = f(x) = f(x ) + Df(x )(x − x ) + · · ·
a
x ≈ Df(x )(x − x )
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy v rovině 11.3.2021 8 / 9
Jak se k tomu došlo aneb metoda linearizace
f(x) ≈ f(x ) + Df(x )(x − x )
Uvažujme
x = f(x), (5)
kde f(x) je hladká a nechť x je stac. bod, tj. f(x ) = 0, pak
x = f(x) = f(x ) + Df(x )(x − x ) + · · ·
a
x ≈ Df(x )(x − x )
d
dt
(x − x ) ≈ Df(x )(x − x )
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy v rovině 11.3.2021 8 / 9
Jak se k tomu došlo aneb metoda linearizace
f(x) ≈ f(x ) + Df(x )(x − x )
Uvažujme
x = f(x), (5)
kde f(x) je hladká a nechť x je stac. bod, tj. f(x ) = 0, pak
x = f(x) = f(x ) + Df(x )(x − x ) + · · ·
a
x ≈ Df(x )(x − x )
d
dt
(x − x ) ≈ Df(x )(x − x )
y = Jy (6)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy v rovině 11.3.2021 8 / 9
Grobman-Hartman Theorem
Hrubě řečeno
Nemá-li matice Df(x ) čistě imaginární vlastní čísla, pak existuje bijektivní
zobrazení mezi trajektoriemi rovnice (5) a trajektoriemi rovnice
(6) z okolí bodu x do okolí bodu 0.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy v rovině 11.3.2021 9 / 9