Metrické prostory
Zobecnění pojmu vzdálenost
Petr Liška
Masarykova univerzita
25.03.2021
Petr Liška  (Masarykova univerzita)		Metrické prostory	25.03.2021 1/7
Metrický prostor
Definice
Množinu P / 0 a zobrazení g: P x P —> M+ splňující pro všechna x, y,
ze P
1. £>(x,y) = 0       x = y
2. p(x,y) = p(y,x)
3. g(x,y) + g(y,z) > g(x,z)
se nazývá metrický prostor. Zobrazení g se nazývá metrika, £>(x, y) je pak vzdálenost bodů x, y v prostoru (P,g).
Petr Liška  (Masarykova univerzita)	Metrické prostory		25.03.2021 2/7
Petr Liška  (Masarykova univerzita)		Metrické prostory	25.03.2021 3/7
Základní metriky na R"
Euklidovská metrika
g(X, Y) =
n
w J2(xk-yk):
\ k=l
Součtová metrika
n
k=l
Petr Liška  (Masarykova univerzita)		Metrické prostory	25.03.2021 3/7
Základní metriky na M"
Petr Liška  (Masarykova univerzita)		Metrické prostory	25.03.2021 3/7
Základní metriky na C[a, b
Metrika stejnoměrné konvergence
qc(f,g) = max |ŕ(x)-s(x)|
xe[a,b]
Petr Liška  (Masarykova univerzita)		Metrické prostory	25.03.2021 4/7
Základní metriky na C[a, b
Petr Liška  (Masarykova univerzita)		Metrické prostory	25.03.2021 4/7
Necht (P, g) je metrický prostor. Pro A, B G P, A, B ^ 0 definujeme vzdálenost množin A a B
e{A,B) = \nf{e{x,y),xeA,yeB} a průměr množiny A
d (A) = sup {g(x, y), x, y e A} Jestliže množina d{A) není shora ohraničená, klademe d{A) — oo.
Je-1i d{A) < oc množina se nazýva ohraničená (omezená).
i
Petr Liška  (Masarykova univerzita)		Metrické prostory	25.03.2021 5/7
Nechť {xn}^° je posloupnost bodů v (P, £>). Řekneme, že posloupnost konverguje k bodu xq (xn —> xq), jestliže
É>(xn, xq) —0   pro   n —> oc.
Řekneme, že posloupost je cauchyovská, jestliže
£>(xm, xn) —)► 0   pro   min{rn. n} —>► oc.
Petr Liška  (Masarykova univerzita)		Metrické prostory	25.03.2021 6/7
J ^^^^
Necht {xn}1 je posloupnost bodů v (P,q). Řekneme, že posloupnost konverguje k bodu xq (xn —> xq), jestliže
^(xn,xo)^0   pro   n —> oc.
■v
Řekneme, že posloupost je cauchyovská, jestliže
£>(xm, xn) —)► 0   pro   min{rn. n} —» oc.
Definice
Necht gi, ^2 jsou metriky na P. Řekneme, že metriky jsou ekvivalentní, jestliže
Q1K
xn —>► x0
Q2K
xn —>► x0
Petr Liška  (Masarykova univerzita)		Metrické prostory	25.03.2021 6/7
Prekvapení!
Věta (Někdy také definice)
Metriky q\, q2 na P jsou ekvivalentní, jestliže existují čísla m, M > O taková, že
m • qi(X, Y) < 02(X, Y) < M • Ql(X, Y)      VX, Y G P.
Petr Liška  (Masarykova univerzita)		Metrické prostory	25.03.2021 7/7
Prekvapení!
Věta (Někdy také definice)
Metriky q\, q2 na P jsou ekvivalentní, jestliže existují čísla m, M > O taková, že
m • qi(X, Y) < 02(X, Y) < M • Ql(X, Y)      VX, Y G P.
Věta
Je-// P konečnědimenzionální vektorový prostor, pak všechny metriky na tomto prostoru jsou ekvivalentní
Petr Liška  (Masarykova univerzita)		Metrické prostory	25.03.2021 7/7