Trojný integrál
Zavedení, výpočet a transformace
Petr Liška
Masarykova univerzita
29.4.2021
Petr Liška (Masarykova univerzita) Trojný integrál 29.4.2021 1 / 10
Uvažme funkci f(x, y, z) definovanou na kvádru
V = {(x, y, z) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, e ≤ z ≤ g} ,
• interval [a, b] rozdělíme na l subintervalů [xi−1, xi] délky ∆x,
• interval [c, d] rozdělíme na m subintervalů [yi−1, yi] délky ∆y,
• interval [e, g] rozdělíme na n subintervalů [zi−1, zi] délky ∆z,
• roviny rovnoběžné se souřadnicovými rovinami, které jdou
koncovými body těchto subintervalů, rozdělí kvádr na l · m · n
kvádříků
Vijk = [xi−1, xi] × [yj−1, yj] × [zk−1, zk]
každý o objemu ∆x∆y∆z.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Trojný integrál 29.4.2021 2 / 10
Uvažme funkci f(x, y, z) definovanou na kvádru
V = {(x, y, z) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, e ≤ z ≤ g} ,
• interval [a, b] rozdělíme na l subintervalů [xi−1, xi] délky ∆x,
• interval [c, d] rozdělíme na m subintervalů [yi−1, yi] délky ∆y,
• interval [e, g] rozdělíme na n subintervalů [zi−1, zi] délky ∆z,
• roviny rovnoběžné se souřadnicovými rovinami, které jdou
koncovými body těchto subintervalů, rozdělí kvádr na l · m · n
kvádříků
Vijk = [xi−1, xi] × [yj−1, yj] × [zk−1, zk]
každý o objemu ∆x∆y∆z.
„objem“ ≈
l
i=1
m
j=1
n
k=1
f(xijk, yijk, zijk)∆x∆y∆z
kde (xijk, yijk, zijk) je libovolný bod z kvádříku Vijk.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Trojný integrál 29.4.2021 2 / 10
Trojný integrál na kvádru
Definice
Nechť f(x, y, z) je ohraničená funkce na kvádru V . Trojný (Riemannův)
integrál této funkce f(x, y, z) na V je
V
f(x, y, z) dx dy dz = lim
l,m,n→∞
l
i=1
m
j=1
n
k=1
f(xijk, yijk, zijk)∆x∆y∆z
jestliže tato limita existuje.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Trojný integrál 29.4.2021 3 / 10
Věta (Fubini)
Nechť funkce f(x, y, z) je spojitá na kvádru (trojrozměrném intervalu)
V = [a, b] × [c, d] × [e, g]. Pak trojný integrál je
V
f(x, y, z) dx dy dz =
b
a
d
c
g
e
f(x, y, z) dz dy dx =
=
b
a
g
e
d
c
f(x, y, z) dy dz dx =
=
d
c
b
a
g
e
f(x, y, z) dz dx dy =
=
d
c
g
e
b
a
f(x, y, z) dx dz dy =
=
g
e
b
a
d
c
f(x, y, z) dy dx dz =
=
g
e
d
c
b
a
f(x, y, z) dx dy dz.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Trojný integrál 29.4.2021 4 / 10
Definice
Nechť f je funkce definovaná a ohraničená na ohraničené uzavřené souvislé
množině B ⊂ R3 a nechť V je kvádr takový, že B ⊆ V . Definujme
na V funkci g předpisem
F(x, y, z) =
f(x, y, z) je-li (x, y, z) ∈ B
0 jinak
a předpokládejme, že funkce F je na V integrovatelná. Pak trojný integrál
funkce f na množině B definujeme vztahem
M
f(x, y, z) dx dy dz =
V
F(x, y, z) dx dy dz.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Trojný integrál 29.4.2021 5 / 10
Věta (Fubini)
Nechť je dána množina v rovině
M = {[x, y] ∈ R2
: a ≤ x ≤ b, ϕ(x) ≤ y ≤ ψ(x)},
kde ϕ(x), ψ(x) jsou spojité funkce na intervalu [a, b] a ϕ(x) ≤ ψ(x), a
množina v prostoru
V = {[x, y, z] ∈ R3
: [x, y] ∈ M, Φ(x, y) ≤ z ≤ Ψ(x, y)},
kde Φ(x, y), Ψ(x, y) jsou spojité funkce na množině M a Φ(x, y) ≤
Ψ(x, y).
Je-li funkce f(x, y, z) spojitá na množině V v prostoru, pak platí
V
f(x, y, z) dx dy dz =
b
a
ψ(x)
ϕ(x)
Ψ(x,y)
Φ(x,y)
f(x, y, z) dz dy dx.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Trojný integrál 29.4.2021 6 / 10
Transformace trojného integrálu
Definice
Nechť je dáno zobrazení F : R3 → R3 určené rovnicemi
x = k(u, v, w), y = l(u, v, w), z = m(u, v, w)
kde funkce k a l mají spojité parciální derivace prvního řádu. Pak F se
nazývá spojitě diferencovatelné zobrazení a determinant
J (u, v, w) =
ku kv kw
lu lv lw
mu mv mw
se nazývá jakobián zobrazení F. Jestliže J (u, v, w) = 0, pak se toto
zobrazení nazývá regulární.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Trojný integrál 29.4.2021 7 / 10
Věta
Nechť je dána spojitá funkce f proměnných x, y a z na uzavřené elementární
oblasti V . Nechť F : R3 → R3 je prosté regulární spojitě diferencovatelné
zobrazení zadané rovnicemi
x = k(u, v, w), y = l(u, v, w), z = m(u, v, w)
a nechť V = F(B). Pak platí
V
f(x, y, z) dx dy dz =
=
B
f k(u, v, w), l(u, v, w), m(u, v, w) |J (u, v, w)| du dv dw.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Trojný integrál 29.4.2021 8 / 10
Transformace trojného integrálu do válcových souřadnic
z
y
x
̺ϕ
z
x = cos ϕ,
y = sin ϕ,
z = z.
J =
x y z
xϕ yϕ zϕ
xz yz zz
=
cos ϕ sin ϕ 0
− sin ϕ cos ϕ 0
0 0 1
= .
Petr Liška (Masarykova univerzita) Trojný integrál 29.4.2021 9 / 10
Transformace trojného integrálu do sférických souřadnic
z
y
x
P
̺
ϕ
θ
x = sin θ cos ϕ,
y = sin θ sin ϕ,
z = cos θ.
J = − 2
sin θ
Petr Liška (Masarykova univerzita) Trojný integrál 29.4.2021 10 / 10