Komplexní čísla
1. Upravte a výsledek zapište v algebraickém tvaru: =
−
−
−
+
i
i
i
i 1
2
2
2. Vypočítejte: ( )( )=++ ii 23.1
3. Vypočítejte: =
−
+−
i
ii
23
34
4. Nakresli do Gaussovy roviny obrazy všech komplexních čísel, pro která platí:
52i1-z ≤+
5. Řešte rovnici v C: 2.z + 3. z = 5 + i
6. Řešte kvadratickou rovnici v C: z2
– (3 + 2i).z + 5 + i = 0
7. Řešte binomickou rovnici v C a kořeny zobrazte v Gaussově rovině: z4
= - 6 - 6 3 i
Řeš.:
1. ( )
55
2
5
2
5
5543
1
5
43
5
44
.
1
2
2
.
2
2
2
22
iiii
i
i
i
iiii
i
i
i
i
i
i
i
i
−−=
−−
=
−−+
=−−+
+
=
−
−
++
=
−
−
+
+
−
+
2. ( )( ) ( )( ) iiiiiiii 515152323.123.1 2
+=−=−+=−−=++
3.
( )
21
13
.1313
13
2.1315
23
23
.
23
5
23
34
23
34 222
=+=
+
=
++
=
+
+
−
+
=
−
+−+
=
−
+−
i
iii
i
i
i
i
i
i
i
ii
4. 52i1-z ≤+
( ) 52i1-z ≤−
5. 2.z + 3. z = 5 + i
z = x + yi; z = x – yi
2.(x + yi) + 3.(x – yi) = 5 + i
2x + 2yi + 3x – 3yi = 5 + i
5x – yi = 5 + i
5x = 5; -y = 1
x = 1; y = -1
K = {1 - i}
x
y
1
-2i
6
3
2
2
2
2
2
6. z2
– (3 + 2i).z + 5 + i = 0
( ) ( )
2
81523
2
420412923
2
5.42323
2
2,1
iiiiiiii
z
+−±+
=
−−−+±+
=
+−+±+
=
2 + 3i
( )=
+±+
=
2
4123
2,1
ii
z 1 – i K = {2 + 3i; 1 - i}
7. z4
= - 6 - 6 3 i
Hledám z = ( )xix sin.cos.z + tak, aby z4
= a.
Tedy: ( ) 





+=+
3
4
sin.
3
4
cos.124sin.4cos.z
4 ππ
ixix
{ }3,2,1,0,2
3
4
412
4
∈+=∧= kkxz π
π
{ }3,2,1,0,
23
124
∈+=∧= k
k
xz
ππ
Závěr: zk = { }3,2,1,0,
23
sin.
23
cos.124
∈











++





+ k
k
i
k ππππ
K = { }Uk
k
k
i
k






∈











++





+ 3,2,1,0,
23
sin.
23
cos.124 ππππ
z0 = 





+
3
sin.
3
cos.124 ππ
i ;
z1 = 





+
6
5
sin.
6
5
cos.124 ππ
i ;
z2 = 





+
3
4
sin.
3
4
cos.124 ππ
i ;
z1 = 





+
6
11
sin.
6
11
cos.124 ππ
i
{ }
( )( ) 01.1682;15
41815016152815
4115
164
,,815
2222
2422
2
2
=−+=−=−
±±=+−=−++−=+−
±=→±=−=−→=∈+=+−
xxxyyx
iixxxyiyxi
yx
x
x
x
yRyxkdeyixi
Pomocný výpočet: a = - 6 - 6 3 i ….. do goniometrického tvaru
( ) ( ) 12144366
22
==−+−=a ; cos x =
2
1
12
6
−=
−
; sin x =
2
3
12
36
−=
−
x =
3
4π
x
y
z0
z1
z2
z3
4
12
x
2
2
4
2
3
1
6
Známka: 20 – 18 bodů …… 1
17 – 14 bodů …... 2
13 – 8 bodů ……. 3
7 – 4 body ……. 4