34 Spojitost funkce, limita funkce - met.
Stručný přehled teorie – uváděn průběžně – spolu s metodickými radami a vzorovými výpočty úloh
Met.: Spojitost funkce: Studenti by měli být v úvodu tématu o diferenciálním počtu seznámeni stručně,
názorně a intuitivně s pojmem spojité funkce (důležité při výpočtech limit) – stačí nanejvýš rozsah této
stránky. Učitel by měl dokonce zvážit, zda vůbec uvede definici spojitosti funkce (ve slabších třídách jde o
příliš abstraktní záležitost, i v talentované třídě je tato definice velmi náročná a čas nedovolí zdržet se u ní
déle, než aby studenti pochopili, že je funkce v bodě a spojitá právě tehdy, když funkční hodnoty všech
argumentů z 𝛿-okolí bodu a budou „natěsnány“ v 𝜀-okolí bodu 𝒇(𝒂)).
Příklady grafů funkcí v bodě a spojitých (graf „plynule prochází“ přes bod, jehož x-ová souřadnice je a) :
Příklady grafů funkcí v bodě a nespojitých (graf je v bodě s x-ovou souřadnicí a „nějak“ přerušen):
V definici spojitosti (a také limity) funkce se používá okolí bodu a:
• δ-okolím bodu a (δ  R+
) nazveme otevřený interval (a – δ; a + δ), tedy množinu všech x, pro něž
platí: |𝒙 − 𝑎| < 𝛿
• levým δ-okolím bodu a (δ  R+
) nazýváme interval ( a – δ ; a
• pravým δ-okolím bodu a (δ  R+
) nazýváme interval ); + aa
Def.: Funkce f: y = f(x) je spojitá v bodě a, jestliže:
1. je definovaná v nějakém okolí bodu a (včetně samotného bodu a);
2. ke každému ε-okolí bodu f(a) existuje δ-okolí bodu a tak, že pro všechna x z δ-okolí bodu a
patří funkční hodnoty f(x) do ε-okolí bodu f(a).
Tedy: Funkce f: y = f(x) je spojitá v bodě a, jestliže
1. je v bodě a definovaná;
2. (∀𝜀 > 0)(∃𝛿 > 0)(∀𝑥: |𝑥 − 𝒂| < 𝛿)(|𝑓(𝑥) − 𝑓(𝒂)| < 𝜀).
Věty o spojitosti funkce v bodě:
Jsou-li funkce f(x) a g(x) spojité v bodě a, pak jsou v tomto bodě spojité i funkce
a) f(x) + g(x);
b) f(x) – g(x);
c) f(x) . g(x);
d) 0)(
)(
)(
agpro
xg
xf
.
V každém bodě xR jsou spojité funkce f(x) = c , f(x) = anxn
+ an-1xn-1
+ an-2xn-2
+ … a1x + a0 ,
f(x) = sin x , f(x) = cos x , …
a a
a
a
a
a x
x
xx
x x
y y y
y y y
aa - δ a + δ
a - δ aa - δ
a a + δ
𝜀
𝜀
𝒂
𝛿2
𝛿 = min( 𝛿1, 𝛿2)
𝛿1
𝛿 𝛿
𝒂 + 𝜹𝒂 − 𝜹
𝑳
𝑳 + 𝜺
𝑳 − 𝜺
𝑥
𝑦 𝑓: 𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝐕𝐥𝐚𝐬𝐭𝐧í 𝐥𝐢𝐦𝐢𝐭𝐚 𝐯𝐞 𝐯𝐥𝐚𝐬𝐭𝐧í𝐦 𝐛𝐨𝐝ě
𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒂
𝒇(𝒙) = 𝑳 ⇔ (∀𝜺 > 𝟎)(∃𝜹 > 𝟎)(∀𝒙 ≠ 𝒂: |𝒙 − 𝒂| < 𝜹)(|𝒇(𝒙) − 𝑳| < 𝜺)
Limita funkce: Před vlastním probíráním tématu „Limita funkce“ by měl učitel zařadit důležitou informaci:
Limita (vlastní) funkce v daném bodě a je (intuitivně) číslo L, k němuž se neomezeně blízko blíží hodnoty
funkce, jestliže se hodnoty argumentu neomezeně blízko blíží k a. Zápis: 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿
Následujícímu obrázku by se měl učitel se studenty věnovat značnou část vyučovací hodiny. Ideálně by měl
mít každý student obrázek k dispozici pro vlastní potřebu (nalepení do sešitu). Při online hodině by jej učitel
mohl studentům nasdílet a využít jej k tomu, aby na něm ukázal studentům celou řadu nejrůznějších typů
limit. Pokud by učil prezenčně, měl by využít k demonstraci obrázku dataprojektor, nebo jej může v krajním
případě překreslit na tabuli. Jestliže se studenti tímto způsobem s limitami seznámí a intuitivně je pochopí,
dokážou vzápětí zpravidla velmi dobře pochopit definice limit a v řadě případů dokonce dokážou tyto
definice i sami „vymyslet“.
Evidentně na obrázku lze najít - vlastní limitu spojité funkce ve vlastním bodě (a);
- vlastní limitu ve vlastním bodě funkce v něm nespojité (c, g);
- vlastní limitu v nevlastním bodě (+∞);
- nevlastní limitu ve vlastním bodě (d);
- nevlastní limitu v nevlastním bodě (−∞);
- jednostrannou vlastní limitu zleva (𝑐−
, 𝑔− );
- jednostrannou vlastní limitu zprava (𝑏+
, 𝑔+);
- jednostrannou nevlastní limitu zleva (𝑏−
, 𝑑−
, 𝑒−);
- jednostrannou nevlastní limitu zprava (𝑑+
, 𝑒+)
Rozšíření množiny reálných čísel o nevlastní body +∞, −∞:
−∞ ….. ∀𝑥 ∈ 𝑅 platí: 𝑥 > −∞
+∞ ….. ∀𝑥 ∈ 𝑅 platí: 𝑥 < +∞
Operace s nevlastními body:
1) +∞ + ∞ = +∞ 3)+∞. (+∞) = +∞
2) −∞ − ∞ = −∞ 4) −∞. (−∞) = +∞ 5) +∞. (−∞) = −∞
6) +∞ ± 𝑐 = +∞ 𝑐 ∈ 𝑅
7) −∞ ± 𝑐 = −∞ 𝑐 ∈ 𝑅
pro c > 0: 8) 𝑐. (+∞) = +∞ pro c < 0: 12) 𝑐. (+∞) = −∞
9) 𝑐. (−∞) = −∞ 13) 𝑐. (−∞) = +∞
10)
𝑐
0−
= −∞ 14)
𝑐
0−
= +∞
11)
𝑐
0+
= +∞ 15)
𝑐
0+
= −∞
16)
𝒄
±∞
= 0
_______________________________________________________________________
Neurčité výrazy typu: A)
0
0
nebo
∞
∞
… lze řešit užitím L’Hospitalova pravidla
B) 0. ∞, +∞ − ∞, 00
, … lze převést algebraickými transformacemi na typy
0
0
nebo
∞
∞
.
Druhy limit:
Vlastní limita ve vlastním bodě: ( ) ,9lim =
→
xf
cx
( ) 4lim −=
→
xf
gx
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 ⇔ (∀𝜀 > 0)(∃𝛿 > 0)(∀𝑥 ≠ 𝑎: |𝑥 − 𝑎| < 𝛿)(|𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀)
Vlastní limita v nevlastním bodě: ( ) 7lim −=
→
xf
x
𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
𝑓(𝑥) = 𝐿 ⇔ (∀𝜀 > 0)(∃𝑥0)(∀𝑥 > 𝑥0:|𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀) Analogicky: ( )xf
x −→
lim
Nevlastní limita ve vlastním bodě: ( ) =
→
xf
dx
lim
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = ∞ ⇔ (∀𝐾 ∈ 𝑅)(∃𝛿 > 0)(∀𝑥 ≠ 𝑎: |𝑥 − 𝑎| < 𝛿)(𝑓(𝑥) > 𝐾) Analogicky: ( ) −=
→
xf
ax
lim
Nevlastní limita v nevlastním bodě: ( ) +=
−→
xf
x
lim
𝑓(𝑥) = ∞ ⇔ (∀𝐾 ∈ 𝑅)(∃𝑥0)(∀𝑥 < 𝑥0)(𝑓(𝑥) > 𝐾) Analogicky: ( ) ( ) ,lim,lim −=−=
→−→
xfxf
xx
( ) =
→
xf
x
lim
Jednostranné limity: a) vlastní limita zleva: ( ) ( ) 4lim,9lim −== −−
→→
xfxf
gxcx
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) −−=−
→
LxfaaxLxf
ax
;00lim
b) vlastní limita zprava: ( ) ( ) 4lim,6lim −== ++
→→
xfxf
gxbx
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) −+=+
→
LxfaaxLxf
ax
;00lim
c) nevlastní limita zleva: ( ) ( ) ( ) =−== −−−
→→→
xfxfxf
dxexbx
lim,limlim
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )KxfaaxKxf
ax
−=−
→
;0lim  Analogicky: ostatní nevlastní
jednostranné limity
a
9
x
y
a b c d e g
9
6
4
-4
-9
-7
f
Věty o limitách:
• Funkce f:y = f(x) má v každém bodě a nejvýš jednu limitu.
• Jestliže je funkce f: y = f(x) v bodě a spojitá, pak platí: ( ) ( )afxf
ax
=
→
lim
Př.: ( ) 753lim
4
=−
→
x
x
• Nechť jsou dány funkce f(x) a g(x) a nechť pro všechna x ≠ a z jistého δ-okolí bodu a platí:
f(x) = g(x). Má-li funkce g(x) v bodě a limitu L, tedy ( ) Lxg
ax
=
→
lim , pak má v bodě a limitu i funkce
f(x) a platí: ( ) ( ) Lxgxf
axax
==
→→
limlim .
Př.: 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
𝑥2+4𝑥−21
𝑥−3
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
(𝑥+7).(𝑥−3)
𝑥−3
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
(𝑥 + 7) = 10
• Jestliže pro každé x ≠ a jistého δ-okolí bodu a platí: g(x) < f(x) < h(x) a jestliže existují limity
( ) ( ) Lxhxg
axax
==
→→
limlim , pak existuje také limita f(x) a platí: ( ) Lxf
ax
=
→
lim .
(Pozn. Tuto větu lze použít např. pro důkaz, že 1
sin
lim
0
=
→ x
x
x
)
• Nechť jsou dány funkce f(x) a g(x), které mají limitu v tomtéž bodě a.
Nechť platí: ( ) Lxf
ax
=
→
lim a ( ) Mxg
ax
=
→
lim .
Pak mají v tomto bodě limitu i funkce představující jejich součet, rozdíl, součin a pro M ≠ 0 i podíl a
platí:
1. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
(𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)) = 𝐿 + 𝑀
2. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
(𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)) = 𝐿 − 𝑀
3. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
(𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)) = 𝐿. 𝑀
4. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
𝐿
𝑀
• L´Hospitalovo pravidlo: Pokud je splněna jedna z podmínek a) ( ) ( ) 0limlim ==
→→
xgxf
axax
b) ( ) ( ) ==
→→
xgxf
axax
limlim ,
a jestliže existuje 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
, pak 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
.
Př.: 1) lim
𝑥→3
𝑥2−2𝑥−3
𝑥2−4𝑥+3
= lim
𝑥→3
2𝑥−2
2𝑥−4
=
2.3−2
2.3−4
=
4
2
= 2 … (𝑡𝑦𝑝
0
0
)
2) lim
𝑥→1
𝑥4−1
𝑥−1
= lim
𝑥→1
4𝑥3
1
= 4 …(𝑡𝑦𝑝
0
0
)
3) lim
𝑥→0
sin 𝑥
𝑥
= lim
𝑥→0
cos 𝑥
1
= 1 … (𝑡𝑦𝑝
0
0
)
4) lim
𝑥→0
sin 4𝑥
√𝑥+1−1
= lim
𝑥→0
4 cos4𝑥
1
2√𝑥+1
= lim
𝑥→0
[8. √ 𝑥 + 1. cos 4𝑥] = 8.1.1 = 8 … (𝑡𝑦𝑝
0
0
)
5) lim
𝑥→∞
3𝑥2+1
𝑥2+𝑥−2
= lim
𝑥→∞
6𝑥
2𝑥+1
= lim
𝑥→∞
6
2
= 3 … (𝑡𝑦𝑝
∞
∞
)
6) lim
𝑥→∞
2 𝑥+3+4
2 𝑥−1+1
= lim
𝑥→∞
2 𝑥+3.ln 2
2 𝑥−1.ln 2
= lim
𝑥→∞
8.2 𝑥
2 𝑥
2
= 16 … (𝑡𝑦𝑝
∞
∞
) .
Před používáním L´Hospitalova pravidla musí být ovšem probrána derivace funkce. Tedy, lépe
řečeno, výpočty limit užitím L´Hospitalova pravidla lze provádět až po probrání derivace funkce.
Některé důležité limity – učitel by měl většinu z nich doplnit drobnými náčrty grafů příslušných
funkcí. Jednak si tak studenti grafy některých funkcí zopakují, jednak tím
budou limity dobře vizualizovány:
1. lim
𝑥→0−
1
𝑥
= −∞;
2. lim
𝑥→0+
1
𝑥
= +∞;
3. lim
𝑥→−∞
1
𝑥
= 0;
4. lim
𝑥→+∞
1
𝑥
= 0;
5. lim
𝑥→0
1
𝑥
… neexistuje;
Pro 𝒂 ∈ (𝟎; 𝟏):
6. lim
𝑥→−∞
𝑎 𝑥
= +∞;
7. lim
𝑥→+∞
𝑎 𝑥
= 0;
8. lim
𝑥→0+
log 𝑎 𝑥 = +∞;
9. lim
𝑥→+∞
log 𝑎 𝑥 = −∞;
Pro 𝒂 ∈ (𝟏; +∞):
10. lim
𝑥→−∞
𝑎 𝑥
= 0;
11. lim
𝑥→+∞
𝑎 𝑥
= +∞;
12. lim
𝑥→0+
log 𝑎 𝑥 = −∞;
13. lim
𝑥→+∞
log 𝑎 𝑥 = +∞;
14. lim
𝑥→0+
ln 𝑥 = −∞;
15. lim
𝑥→+∞
ln 𝑥 = +∞;
16. lim
𝑥→+∞
sin 𝑥 … neexistuje;
17. lim
𝑥→−∞
sin 𝑥 … neexistuje;
18. lim
𝑥→+∞
cos 𝑥 … neexistuje;
19. lim
𝑥→−∞
cos 𝑥 … neexistuje;
20. lim
𝑥→
𝜋
2
− tg𝑥 = +∞;
21. lim
𝑥→
𝜋
2
+
tg𝑥 = −∞;
22. lim
𝑥→0−
cotg𝑥 = −∞;
23. lim
𝑥→0+
cotg𝑥 = +∞;
24. lim
𝑥→0
sin 𝑥
𝑥
= 1;
25. lim
𝑥→0
tg 𝑥
𝑥
= 1;
26. lim
𝑥→0
𝑒 𝑥−1
𝑥
= 1;
27. lim
𝑥→0
ln(1+𝑥)
𝑥
= 1;
𝒇: 𝒚 =
𝟏
𝒙
𝒙
𝒚
𝒇: 𝒚 = 𝒂 𝒙
𝒈: 𝒚 = 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒙
𝒙
𝒚
𝒙
𝒈: 𝒚 = 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒙
𝒚
𝒇: 𝒚 = 𝐬𝐢𝐧 𝒙
𝒈: 𝒚 = 𝐜𝐨𝐬 𝒙
𝝅 𝟐𝝅
𝒚
𝒙
𝒇: 𝒚 = 𝐭𝐠𝒙
𝒇: 𝒚 = 𝐜𝐨𝐭𝐠𝒙
𝝅 𝟐𝝅
𝒙
𝒚
Rady, doporučení, metody, „finty“, … používané při výpočtech limit:
Limita funkce ve vlastním bodě:
Funkce spojitá v daném bodě a:
Nechť počítáme lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥), kde 𝑓(𝑥) je spojitá v bodě a. Pak lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎).
Př.1: a) lim
𝑥→0
𝑥2+2𝑥−1
𝑥+1
= [
02
+2.0−1
0+1
] = −1;
b) lim
𝑥→
𝜋
4
sin 𝑥
1+cos 𝑥
= [
sin
𝜋
4
1+cos
𝜋
4
=
√2
2
1+
√2
2
=
√2
2+√2
.
2−√2
2−√2
=
2.(√2−1)
2
] = √2 − 1;
c) lim
𝑥→1
(log 10𝑥 − ln 𝑥) = [log 10 − ln 1 = 1 − 0] = 1;
Př.2: Vypočítejte lim
𝑥→2
(7𝑥 − 11) a na základě definice limity funkce v daném bodě dokažte správnost
svého výpočtu.
Řeš.: Funkce 𝑓: 𝑦 = 7𝑥 − 11 je lineární, a tedy spojitá v každém bodě R.
Proto lim
𝑥→2
(7𝑥 − 11) = 7.2 − 11 = 3.
lim
𝑥→2
(7𝑥 − 11) = 3 ⇔ (∀𝜀 > 0)(∃𝛿 > 0) (∀𝑥: 0 < |𝑥 − 2| < 𝛿 ⇒ |7𝑥 − 11 − 3| < 𝜀).
Nechť 𝜀 > 0 … libovolné. Kdy |7𝑥 − 11 − 3| < 𝜀 ?
Když |7𝑥 − 14| < 𝜀 ,
7. |𝑥 − 2| < 𝜀 ,
tedy když |𝑥 − 2| <
𝜀
7
. Našli jsme 𝛿 =
𝜀
7
Funkce v daném bodě a nespojitá:
Nechť počítáme lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥), kde 𝑓(𝑥) je nespojitá v bodě a, 𝑓(𝑥) =
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
a 𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥) = 0.
Pak a je kořen 𝑃(𝑥) i 𝑄(𝑥) a lze rozložit 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 𝑎). 𝑃1(𝑥) a 𝑄(𝑥) = (𝑥 − 𝑎). 𝑄1(𝑥).
Pak lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑎
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
= lim
𝑥→𝑎
(𝑥−𝑎).𝑃1(𝑥)
(𝑥−𝑎).𝑄1(𝑥)
= lim
𝑥→𝑎
𝑃1(𝑥)
𝑄1(𝑥)
.
Zmíněné rozklady provádíme vytýkáním, užitím vhodných vzorců, dělením mnohočlenu
mnohočlenem, užitím „umělých“ úprav, …
Př.2: a) lim
𝑥→1
𝑥2−1
𝑥3−1
= [
(𝑥−1).(𝑥+1)
(𝑥−1).(𝑥2+𝑥+1)
=
𝑥+1
𝑥2+𝑥+1
=
1+1
12+1+1
] =
2
3
;
b) lim
𝑥→−2
𝑥4−16
𝑥3+8
= [
(𝑥+2).(𝑥−2).(𝑥2+4)
(𝑥+2).(𝑥2−2𝑥+4)
=
(𝑥−2).(𝑥2+4)
𝑥2−2𝑥+4
=
(−2−2).((−2)2+4)
(−2)2−2.(−2)+4
=
−4.8
4+4+4
=
−32
12
] = −
8
3
;
c) lim
𝑥→3
𝑥2−6𝑥+9
81−𝑥4 = [
(𝑥−3)2
(3−𝑥).(3+𝑥).(9+𝑥2)
=
(3−𝑥)2
(3−𝑥).(3+𝑥).(9+𝑥2)
=
3−𝑥
(3+𝑥).(9+𝑥2)
=
3−3
(3+3).(9+9)
] = 0;
d) lim
𝑥→
1
3
3𝑥2+5𝑥−2
27𝑥3−1
= [
(3𝑥−1).(𝑥+2)
(3𝑥−1).(9𝑥2+3𝑥+1)
=
𝑥+2
9𝑥2+3𝑥+1
=
7
3
3
] =
7
9
;
e) lim
𝑥→1
𝑥3+𝑥−2
𝑥2−1
= [
(𝑥−1).(𝑥2+𝑥+2)
(𝑥−1).(𝑥+1)
=
𝑥2+𝑥+2
𝑥+1
=
12+1+2
1+1
] = 2;
f) lim
𝑥→1
𝑥3−3𝑥+2
𝑥4−4𝑥+3
= [
(𝑥−1).(𝑥2+𝑥−2)
(𝑥−1).(𝑥3+𝑥2+𝑥−3)
=
(𝑥+2).(𝑥−1)
(𝑥2+2𝑥+3).(𝑥−1)
=
𝑥+2
𝑥2+2𝑥+3
=
1+2
12+2.1+3
] =
3
6
=
1
2
;
Př.3: a) lim
𝑥→
𝜋
6
2sin2 𝑥+sin 𝑥−1
2sin2 𝑥−5 sin 𝑥+2
= lim
𝑦→
1
2
2𝑦2+𝑦−1
2𝑦2−5𝑦+2
= [
(2𝑦+1).(𝑦+1)
(2𝑦+1).(𝑦−2)
=
𝑦+1
𝑦−2
=
1
2
+1
1
2
−2
=
3
2
−
3
2
] = −1;
Subst.: 𝑦 = sin 𝑥 ; … 𝑥 →
𝜋
6
⟹ 𝑦 →
1
2
b) lim
𝑥→−
𝜋
4
4+2cotg𝑥−2cotg2 𝑥
cotg2 𝑥−1
= lim
𝑦→−1
4+2𝑦−2𝑦2
𝑦2−1
= [
2(2−𝑦).(1+𝑦)
(𝑦−1).(𝑦+1)
=
4−2𝑦
𝑦−1
=
4+2
−1−1
] = −3;
Subst.: 𝑦 = cotg𝑥 ; … 𝑥 → −
𝜋
4
⟹ 𝑦 → −1
Př.4: a) lim
𝑥→3
𝑥−3
√𝑥+1−2
= [
𝑥−3
√𝑥+1−2
.
√𝑥+1+2
√𝑥+1+2
=
(𝑥−3).(√𝑥+1+2)
𝑥+1−4
= √3 + 1 + 2] = 4;
b) lim
𝑥→−2
2−√6+𝑥
𝑥+2
= [
2−√6+𝑥
𝑥+2
.
2+√6+𝑥
2+√6+𝑥
=
4−(6+𝑥)
(𝑥+2).(2+√6+𝑥)
=
−2−𝑥
(𝑥+2).(2+√6+𝑥)
=
−1
2+√6+𝑥
=
−1
2+√6−2
] = −
1
4
;
c) lim
𝑥→4
√1+2𝑥−3
√ 𝑥−2
= [
√1+2𝑥−3
√ 𝑥−2
.
√1+2𝑥+3
√1+2𝑥+3
.
√ 𝑥+2
√ 𝑥+2
=
(1+2𝑥−9).(√ 𝑥+2)
(𝑥−4).(√1+2𝑥+3)
=
2.(𝑥−4).(√ 𝑥+2)
(𝑥−4).(√1+2𝑥+3)
=
2.(√4+2)
√1+8+3
] =
8
6
=
4
3
;
Př.5: a) lim
𝑥→
𝜋
4
sin 𝑥−cos 𝑥
1−tg𝑥
= [
sin 𝑥−cos 𝑥
1−
sin 𝑥
cos 𝑥
=
sin 𝑥−cos 𝑥
cos 𝑥−sin 𝑥
cos 𝑥
= − cos 𝑥 = − cos
𝜋
4
] = −
√2
2
;
b) lim
𝑥→0
1−cos2𝑥+tg2 𝑥
sin2 𝑥
= [
1−(cos2 𝑥−sin2 𝑥)+
sin2 𝑥
cos2 𝑥
sin2 𝑥
=
sin2 𝑥+sin2 𝑥+
sin2 𝑥
cos2 𝑥
sin2 𝑥
=
sin2 𝑥(1+1+
1
cos2 𝑥
)
sin2 𝑥
] = 1 + 1 + 1 = 3;
c) lim
𝑥→0
1−cos 𝑥
sin 𝑥
=
1−cos 𝑥
sin 𝑥
.
1+cos 𝑥
1+cos 𝑥
=
1−cos2 𝑥
sin 𝑥.(1+cos 𝑥)
=
sin2 𝑥
sin 𝑥.(1+cos 𝑥)
=
sin 𝑥
1+cos 𝑥
=
0
1+1
= 0;
Př.6: a) lim
𝑥→0
tg2 𝑥
1−√cos2𝑥
= [
tg2 𝑥
1−√cos2𝑥
.
1+√cos2𝑥
1+√cos2𝑥
=
sin2 𝑥
cos2 𝑥
.(1+√cos2𝑥)
1−cos 2𝑥
=
sin2 𝑥.(1+√cos2𝑥)
cos2 𝑥.[1−(cos2 𝑥−sin2 𝑥)]
=
sin2 𝑥.(1+√cos2𝑥)
cos2 𝑥.2sin2 𝑥
=
1+√cos2𝑥
2cos2 𝑥
=
1+√cos.0
2cos20
=
1+1
2.1
] = 1;
b) lim
𝑥→
𝜋
4
cos 2𝑥
√sin 𝑥−√cos 𝑥
= [
cos2𝑥
√sin 𝑥−√cos 𝑥
.
√sin 𝑥+√cos 𝑥
√sin 𝑥+√cos 𝑥
=
(cos2 𝑥−sin2 𝑥).(√sin 𝑥+√cos 𝑥)
sin 𝑥−cos 𝑥
=
(cos 𝑥−sin 𝑥).(cos 𝑥+sin 𝑥).(√sin 𝑥+√cos 𝑥)
−(cos 𝑥−sin 𝑥)
= − (cos
𝜋
4
+ sin
𝜋
4
) . (√sin
𝜋
4
+ √cos
𝜋
4
) =
−2.
√2
2
.2. √√2
2
] = −2. √2
4
;
c) lim
𝑥→𝜋
1−√cos 𝑥+2
sin22𝑥
= [
1−√cos 𝑥+2
sin22𝑥
.
1+√cos 𝑥+2
1+√cos 𝑥+2
=
1−cos 𝑥−2
4.sin2 𝑥.cos2 𝑥.(1+√cos 𝑥+2)
=
−(1+cos 𝑥)
4.sin2 𝑥.cos2 𝑥.(1+√cos 𝑥+2)
.
(1−cos 𝑥)
(1−cos 𝑥)
=
−sin2 𝑥
4.sin2 𝑥.cos2 𝑥.(1+√cos 𝑥+2).(1−cos 𝑥)
=
−1
4cos2 𝑥.(1+√cos 𝑥+2).(1−cos 𝑥)
=
−1
4cos2 𝜋.(1+√cos 𝜋+2).(1−cos 𝜋)
=
−1
4.(−1)2.(1+√−1+2).(1−(−1))
=
−1
4.1.2.2
] = −
1
16
;
Př.7: a) lim
𝑥→0
sin 8𝑥
𝑥
= lim
𝑥→0
𝟖.
sin 8𝑥
𝟖𝑥
= 8. lim
𝑦→0
sin 𝑦
𝑦
= 8.1 = 8;
Subst.: 𝑦 = 8𝑥 … 𝑥 → 0 ⇒ 𝑦 → 0
b) lim
𝑥→0
𝑠𝑖𝑛2 𝑥
4𝑥2 =
1
4
. lim
𝑥→0
sin 𝑥
𝑥
.
sin 𝑥
𝑥
=
1
4
. 1.1 =
1
4
;
c) lim
𝑥→0
5𝑥3+𝑥.sin 7𝑥
2𝑥2
= lim
𝑥→0
(
5𝑥
2
+
sin7𝑥
2𝑥
) = lim
𝑥→0
5𝑥
2
+
𝟕
2
lim
𝑥→0
sin 7𝑥
𝟕𝑥
= 0 +
7
2
. 1 =
7
2
;
d) lim
𝑥→0
cos2 𝑥−1+sin2𝑥
𝑥
= [
−sin2 𝑥+2.sin 𝑥 cos 𝑥
𝑥
=
sin 𝑥
𝑥
(2 cos 𝑥 − sin 𝑥) = 1. (2.1 − 0)] = 2 ;
e) lim
𝑥→0
√ 𝑥+5−√5
sin 𝑥
= [
√ 𝑥+5−√5
sin 𝑥
.
√ 𝑥+5+√5
√ 𝑥+5+√5
=
𝑥
sin 𝑥
.
1
√ 𝑥+5+√5
=
1
sin 𝑥
𝑥
.
1
√ 𝑥+5+√5
=
1
1
.
1
2√5
] =
√5
10
;
f) lim
𝑥→0
√1−cos 2𝑥
|𝑥|
= [√
1−cos 2𝑥
𝑥2 = √
1−(cos2 𝑥−sin2 𝑥)
𝑥2 = √
2sin2 𝑥
𝑥2 = √2.
sin 𝑥
𝑥
.
sin 𝑥
𝑥
= √2.1.1] = √2;
Pozn.: Všechny příklady z úloh 2 – 7 lze řešit snadno LʼHospitalovým pravidlem. To však může
učitel ukázat studentům až později, po probrání derivace funkce.
Limita funkce v nevlastním bodě:
Př.8: a) lim
x→∞
7x5−2x3
8x6+15
= lim
x→∞
x5.(7−
2
x2)
x6.(8+
15
x6)
= lim
x→∞
1
x
. lim
x→∞
7−
2
x2
8+
15
x6
= 0.
7
8
= 0;
b) lim
x→∞
7x5−2x3
8x5+15
= lim
x→∞
x5.(7−
2
x2)
x5.(8+
15
x5)
= lim
x→∞
7−
2
x2
8+
15
x6
=
7
8
;
c) lim
x→∞
−7x8−2x3
8x5+15
= lim
x→∞
x8.(−7−
2
x5)
x5.(8+
15
x5)
= lim
x→∞
x3
.
−7
8
= ∞. (−
7
8
) = −∞;
d) lim
𝑥→−∞
𝑥4+3𝑥2+5
3−𝑥
= [
𝑥4.(1+
3
𝑥2+
5
𝑥4)
𝑥.(
3
𝑥
−1)
=
𝑥3.(1+0+0)
0−1
= (−∞)3
. (−1)] = +∞
Při výpočtu limity polynomické lomené funkce se využívá vytýkání nejvyšší mocniny proměnné v čitateli i ve
jmenovateli. Běžně se ale nemusí vždy postupovat takto podrobně. Lze využít následujícího postupu:
– je-li stupeň čitatele menší než stupeň jmenovatele, je limita rovna nule (viz zadání a));
– je-li stupeň čitatele stejný jako stupeň jmenovatele, je limita rovna podílu koeficientů při nejvyšších
mocninách proměnné (viz zadání b));
– je-li stupeň čitatele větší než stupeň jmenovatele, měl by být dodržen postup jako v zadáních c), d).
Př.9: a)lim
𝑥→∞
√
2𝑥+3
𝑥−1
= [√
(2𝑥+3).
1
𝑥
(𝑥−1).
1
𝑥
= √
2+
3
𝑥
1−
1
𝑥
= √
2+0
1−0
] = √2;
b) lim
𝑥→∞
√𝑥+2+3.√𝑥2−6
2𝑥+1
= [
(√𝑥+2+3.√𝑥2−6).
1
𝑥
(2𝑥+1).
1
𝑥
=
1
𝑥
.√𝑥+2+3.
1
𝑥
.√𝑥2−6
2+
1
𝑥
=
√
𝑥+2
𝑥2 +3.√ 𝑥2−6
𝑥2
2+
1
𝑥
=
√
1
𝑥
+
2
𝑥2+3√1−
6
𝑥2
2+
1
𝑥
=
√0+0+3√1−0
2+0
] =
3
2
;
c) lim
𝑥→∞
(√𝑥2 + 7𝑥 − 1 − 𝑥) = [
(√𝑥2+7𝑥−1−𝑥).(√𝑥2+7𝑥−1+𝑥)
(√𝑥2+7𝑥−1+𝑥)
=
𝑥2+7𝑥−1−𝑥2
(√𝑥2+7𝑥−1+𝑥)
=
(7𝑥−1).
1
𝑥
(√𝑥2+7𝑥−1+𝑥).
1
𝑥
=
7−
1
𝑥
1
𝑥
.√𝑥2+7𝑥−1+1
=
7−
1
𝑥
√1+
7
𝑥
−
1
𝑥2+1
=
7−0
√1+0−0+1
] =
7
2
;
Jednostranné limity:
Př.10: a1) lim
𝑥→5+
2𝑥+1
𝑥−5
=? Zápis 𝑥 → 5+
znamená, že x se neomezeně blízko blíží k 5 zprava.
Proto pro výpočet limity dosadíme do zlomku za x pomocnou
hodnotu, která je na číselné ose těsně vedle obrazu čísla 5 zprava
… např. 5,1.Rozdíl ve jmenovateli bude tedy velmi malé kladné
číslo (5,1 − 5 = 0,1 = 0+
). Analogicky pracujeme s limitou zleva.
lim
𝑥→5+
2𝑥+1
𝑥−5
= [
2.5+1
5,1−5
=
11
0+] = +∞;
a2) lim
𝑥→5−
2𝑥+1
𝑥−5
= [
2.5+1
4,9−5
=
11
0−] = −∞;
a3) lim
𝑥→5
2𝑥+1
𝑥−5
− neexistuje, protože lim
𝑥→5+
2𝑥+1
𝑥−5
≠ lim
𝑥→5−
2𝑥+1
𝑥−5
;
b) lim
𝑥→0+
𝑥+3
𝑥
= [
3
0+] = +∞;
c) lim
𝑥→0−
𝑥2−5
𝑥2 = [
0−5
(−0,1)2 =
−5
+0,01
=
−5
0+] = −∞;
d) lim
𝑥→2+
7
(2−𝑥)3 = [
7
(2−2,1)3 =
7
(−0,1)3 =
7
−0,001
=
7
0−] = −∞;
e) lim
𝑥→1−
𝑥2+𝑥+1
𝑥2−2𝑥+1
= [
𝑥2+𝑥+1
(𝑥−1)2 =
1+1+1
(0,9−1)2 =
3
(−0,1)2 =
3
+0,01
=
3
0+] = +∞;
f) lim
𝑥→3−
2𝑥2+6
𝑥2−9
= [
2.32+6
2,92−9
=
24
0−] = −∞;
Základní poznatky:
1) lim
𝑥→2
3𝑥−5
𝑥2−2𝑥+3
[
1
3
] 4) lim
𝑥→0
𝑠𝑖𝑛 2𝑥
3𝑥
[
2
3
]
2) lim
𝑥→+∞
3𝑥−5
2𝑥+3
[
3
2
] 5) lim
x→0
5
𝑥2
[+∞]
3) lim
𝑥→−∞
(−4𝑥3
− 𝑥2
+ 2) [+∞]
Typové příklady standardní náročnosti
1) lim
x→2
𝑥2+4𝑥−12
3𝑥2−5𝑥−2
[
8
7
] 6) lim
x→1
(
1
1−𝑥
−
3
1−𝑥3
) [−1]
2) lim
𝑥→−4
√𝑥+8−2
3𝑥+12
[
1
12
] 7) lim
𝑥→−3
𝑥+3
√ 𝑥+4−1
[2]
3) lim
𝑥→
𝜋
4
sin 𝑥−cos 𝑥
1−tg𝑥
[−
√2
2
] 8) lim
𝑥→0
tg𝑥−sin 𝑥
sin3 𝑥
[
1
2
]
4) lim
𝑥→0
(
sin 2𝑥
3𝑥
−
tg 𝑥
2𝑥
) [
1
6
] 9) lim
𝑥→−∞
4𝑥3−𝑥+2
3𝑥3−2𝑥+3
[
4
3
]
5) a) lim
𝑥→−2−
(
1
𝑥2−4
)  + 10) lim
𝑥→−∞
2𝑥3−𝑥2+5
𝑥2+𝑥−2
[+∞]
b) lim
𝑥→−2+
(
1
𝑥2−4
) [−∞] 11) lim
𝑥→2
ln(𝑥2−3)
𝑥2+3𝑥−10 



7
4
c) lim
𝑥→−2
(
1
𝑥2−4
) [neexistuje] 12) lim
𝑥→0
𝑥(𝑒 𝑥+1)−2(𝑒 𝑥−1)
𝑥3
[
1
6
]