Teorie zobrazení
Matematická kartografie
Osnova
1. Východiska
2. Ekvidistantní zobrazení
3. Ekvivalentní zobrazení
4. Konformní zobrazení
2
VÝCHODISKA
3
1
Východiska
• minule – zákony zkreslení
• možnost matematicky definovat zobrazení – stanovení
počátečních podmínek
• odvození jednotlivých typů zobrazení:
• ekvidistantní
• ekvivalentní
• konformní
• základní odvození vždy pro pólovou polohu z referenčního
elipsoidu
• případ při použití koule se odvodí následně
• v případě jiné než pólové polohy se dosazují kartografické
souřadnice
4
EKVIDISTANTNÍ ZOBRAZENÍ
5
2
Ekvidistantní zobrazení
• požadavek nezkreslení délek nějaké soustavy čar
• matematicky vyjádřeno pomocí:
• základních vzorců pro délkové zkreslení
• Gaussových symbolů
ds
dS
m =
1=pm
1=
Md
dSp
1=
RdU
dSp
2
1 ME
M
E
== 2
1 RE
R
E
==
M
E
mp =
Mddsp =
6
• základ – délkové zkreslení
• ekvidistantní zobrazení v polednících
Ekvidistantní zobrazení
1=rm
1
cos
=
dN
dSr
1
cos
=
UdVR
dSr


22
cos1
cos
NG
N
G
== URG
UR
G 22
cos1
cos
==
cosN
G
mr =
dNdsr cos=
7
• ekvidistantnost v jiných soustavách čar
• šikmá poloha
• kartografické souřadnice Š a D
• ekvidistantní zobrazení v rovnoběžkách
EKVIVALENTNÍ ZOBRAZENÍ
8
3
Ekvivalentní zobrazení
• nezkreslené nebo konstantně
zkreslené plochy
1=plm
1´sin =rrp Amm
1=rp mm


cos1
cos
MNH
MN
H
==
URH
UR
H
cos1
cos
2
2
==
9
• jednoduchá zobrazení
• obecný vzorec je
zjednodušený pro A’r = 90°
• nepravá a obecná zobrazení
• zpravidla Gaussovy symboly
KONFORMNÍ ZOBRAZENÍ
10
4
Konformní zobrazení
• Nezkreslují se úhly
– přesněji v
diferenciálním okolí.
0=
ab
ab
mm
mm
+
−
=

2
sin 
ba mm =z toho plyne:
ba mm =z toho také plyne:
11
• Kružnice zůstane
kružnicí – nezkreslí se
na elipsu.
Konformní zobrazení
AmA
MN
F
Amm rp
22222
sin2sin
cos
cos ++=

rp mm =
12
• Platí tedy:
• mp = mr
• F = 0
• Extrémní hodnoty délkového zkreslení jsou tedy stejné.
• To je možné, když délkové zkreslení je:
• konstantní
• nezávislé na směru azimutu délkového elementu
Konformní zobrazení
• podmínku lze vyjádřit i
pomocí Gaussových
koeficientů
 22
2
coscos N
M
G
E
N
G
M
E
==
UG
E
UR
G
R
E
2
cos
1
cos
==
13
rp mm =
• definice zobrazení
pomocí Gaussových
koeficientů a
zeměpisných souřadnic
• na elipsoidu
• na kouli
Konformní zobrazení
• Obecné zobrazovací rovnice konformního zobrazení
pomocí izometrických souřadnic:
( )iqfiyx +=+ ( )iqfiyx −=−
• Konformní zobrazení je definováno pomocí izometrických
souřadnic.
• q = izometrická šířka na elipsoidu
• Q = izometrická šířka na kouli
14
15
Konformní zobrazení geodetické čáry
• Geodézie – měření pomocí trigonometrických sítí.
• Strany trojúhelníků trigonometrických sítí jsou geodetickými
čarami:
• Koule – části hlavních kružnic
• Referenční elipsoid – části geodetických čar
• Většina úloh praktické geodézie je řešena v rovině
konformního zobrazení.
• Úhly se měří nejpřesněji.
Ne tak úplně!
• Převod trojúhelníku z koule do roviny.
• Z více než 180° bude jen 180° – dojde
ke zkreslení úhlů!
16
Konformní zobrazení geodetické čáry
Konformní zobrazení nezkresluje úhly?
• To platí i v případě ekvidistantního nebo
ekvivalentního zobrazení.
• Tam by ale navíc došlo i ke zkreslení
délky kvůli zobrazení.
• Proto se v geodézii používá konformní
zobrazení, aby se řešilo méně korekcí.
Proč se tedy tolik používá?
Průběh obrazu geodetické čáry v rovině
konformního zobrazení
• Pro výpočty v geodetické praxi je
nutné znát:
• tvar geodetické čáry –
především na jejím
počátečním a koncovém
bodě
• délku jejího obrazu.
• Tyto vlastnosti lze určit pomocí
výpočtů tzv. směrové a délkové
korekce geodetické čáry.
• Viz skripta.
17
Průběh obrazu geodetické čáry v rovině
konformního zobrazení
dT
dm
m
1
=
• m - délkové zkreslení
• dm/dT - změna zkreslení ve směru kolmém ke geodetické čáře
křivost
18
• geodetická čára vedena kolmo k
ekvideformátám:
• směr kolmý na geod. čáru je
rovnoběžný s ekvideformátami
• dm/dT = 0
• obraz bude přímka
• geodetická čára ve směru ekvideformát
• směr kolmý na geod. čáru je kolmý
na ekvideformáty
• dm/dT = max
• křivost čáry bude maximální
jednoduchá zobrazení – ekvideformáty
totožné s rovnoběžkami
geodetické čáry na
Google Maps
19
Průběh obrazu geodetické čáry v rovině
konformního zobrazení