Jednoduchá azimutální zobrazení, azimutální projekce Matematická kartografie 1. Základní vztahy a vzorce 2. Ekvidistantní zobrazení 3. Ekvivalentní zobrazení 4. Konformní zobrazení 5. Azimutální projekce 2 1 ZÁKLADNÍ VZTAHY A VZORCE 3 Základní vztahy a vz • kuželová zobrazení: s — nV • azimutální zobrazení jsou mezní případ kuželových zobrazení, kdy konstanta n = 1 • počátek polární soustavy - vrchol kužele - splyne s pólem (zeměpisným nebo kartografickým) • počátek rovinné pravoúhlé sítě -ztotožnění s obrazem pólu (středem zobrazení) • osa x (svislá) se vloží do základního poledníku Základní vztahy a vz • obrazem pólu je bod • obrazem sítě poledníků jsou polopřímky z pólu • obrazem rovnoběžek jsou soustředné kružnice se středem v pólu • je to jednoduché zobrazení, poledníky a rovnoběžky jsou vzájemně kolmé • ekvideformáty mají tvar soustředných kružnic se středem v pólu zobrazení Základní vztahy a vz Odvozeno pro kouli, ale lze i pro elipsoid. Odvozeno pro pólovou polohu, ale používá se i šikmá nebo rovníková: • Obrazy zeměpisných poledníků a rovnoběžek jsou složitými křivkami. • Pouze poledník procházející středem zobrazovaného území, který je totožný se základním kartografickým poledníkem (a tedy i s osou X), je zobrazen jako přímka. 40"0'0"N 60'0'0"N 1CCWW 180WE 60"0'0"N 4O'0"N 90"0'0"W- ' crotrw 10-0'0"S' OWN ro'0"N ows 30WW 10"0'0"W 0"0'0"E 10WE 30"C0"E 50-0'0"E 60-0'0"E 70WE 6 Základní vztahy a vz zobrazovací rovnice v polárních souřadnicích použití zenitové vzdálenosti Z místo U p = f(Z) Z = 90°-U s = V A x pj přepočet do pravoúhlých souřadnic: x = pcoss y = psin s 7 Základní vztahy a vz Podobné jako u kuželového zobrazení, ale: • bez konstanty n, • se Z místo U, • bez záporného znaménka - Z a p mají stejný směr. rovnice zkreslení: dp p . Aco mr-m m.. = —— m. = —-— ......... sin - p RdZ ' RsmZ mpl=mrmp 2 mr+mp 8 EKVIDISTANTNÍ ZOBRAZENÍ Ekvidistantní azimutální asi nejběžnější ekvidistantní azimutální zobrazení - Postelovo ekvidistantní v polednících m. p = _dp_ = ^ podmínka RdZ jdp = R^dZ o p-RZ i zobrazovací rovnice s — V 2. zobrazovací rovnice mp = 1 mr = mpl = sin Z sin Aú) Z - sin Z 2 Z + sin Z 130°0'0"W 140-0'0"W 11 11 160-0'0"W 180°0'0"W 160"0'0"E HďWE 130"0'0"E II M 120'0'0'W 40'0'0"N' 100"0'0"W* 90"0'0"W 80"0'0"W 40°0'0"M 60"0'0"W ■120WE B-4u"u'u"rj •100WE •90°0'0"E :0"0'0"E IWďWN 0'0"E II I II I I I I I II I II 5ďWW 40°0'0"W 20°0'0"W 0'0'0"E 20°0'0"E 40°0'0"E 50WE Kde se typicky používá? 10 Ekvidistantní azimutální • Zachovává vzdálenosti od pólu k libovolnému bodu v zobrazovaném prostoru • vzdálenosti obrazů rovnoběžek jsou stejné • zkreslení v polednících není (mP=1) • Vhodné pro rychlé zjišťování vzdáleností od pozorovacího místa - např. displeje radiolokátorů. Ekvidistantní azimutální zobrazení a oř 1 , = 0 c = 27? cos 2 ^0 23 Konformní azimutální zo Musíme zjistit parametr c. B) doplňkový požadavek na nezkreslený pól Zo=0° (střed mapy) Tzv. stereografická projekce - ukázka viz dále. m =1 c=2R zobrazovací rovnice: P = 2Rtg^- s = V rovnice zkreslení: 1 m =-— m. = m Aco = 0 Někdy se nastavuje hodnota délkového zkreslení na pólu (měřítkový faktor) Např. při definování zobrazení UPS (Universal Polar Stereographic). 24 Konformní azimutální zobra Konformní azimutální zobrazení - šikmá poloha pól = U0=50°, V0=15° Co je nezkreslené? 25 Konformní azimutální zobra Zvětšování obrazu poledníkového úseku mezi rovnoběžkami směrem od středu mapy. Tissotovy indikatrix 26 Konformní azimutální zobra Konformní azimutální zobra Jak odlišit kuželové v pólové poloze a azimutální v obecné poloze? Nápověda: Poledníky. 28 AZIMUTÁLNÍ PROJEKCE 29 Azimutální projekc • „Projections" = kartografická zobrazení • „Projekce" = odvoditelné geometrickou cestou • Projekce - odvozování rovinných souřadnic na základě geometrických principů. • Projekce povrchu referenční koule na zobrazovací rovinu. • Existují i válcové a kuželové projekce. Ale používají se méně. Azimutální projekc podobné trojúhelníky: p C + R R sin Z C + RcosZ _(C + R)RsmZ p ~ —Ď-V~ 1 ■ zobrazovací rovnice C - odlišuje různé verze projekcí s = V 2. zobrazovací rovnice Obecné zákony zkreslení jako u jiných azimutálních zobrazení. mp = dp RdZ mr = P R sin Z mPl = mrmP Aco m-m1 sin m.. + m Gnómonická projekc Gnómonická (centrální) projekce vzniká pň promítání ze středu koule. C = 0 lze zobrazit jen jednu polokouli nejde zobrazit rovník ortodromy se zobrazují jako přímky Thales z Milétu dosazení C do zobrazovací rovnice: p = RtgZ s = V dosazení p do rovnice zkreslení: 1 m = p 2 ry cos Z sin ňo) cosZ — 1 . Aco 2 Z — =- sin-= tg — 2 cosZ + 1 2 2 Všimli jste si na vzorcích zkreslení něčeho? Není délkojevné, úhlojevné ani plochojevné. 32 Gnómonická projekce ^^^^^ • Ve skutečnosti jde zobrazit i rovník - při správně nastavené polokouli. • pólová poloha - rovnoběžky soustředné kružnice, poledníky polopřímky • rovníková poloha - poledníky jsou rovnoběžné úsečky, rovnoběžky jsou hyperboly se středem na rovníku. 3: Gnómonická projekc 150"E 140-E 130-E W( 110*E 100*E WE WE «T£ flCTE ^^^^^ \ A lxv^__ \ \\^ NT"--"--\— x. N. V> \\vv um/a t OTÍ-^a \ ws--^ / J f / 1ÄTW / / ^L^"^ 110'W y^j 1 lf k v \ Í\*'*,**«íw \ 20'w 1 \l \ 1\ «•» »"S i«rw »*w 90*w 7o*w «rw »*w ws obecná poloha - poledníky úsečky, rovnoběžky hyperboly, elipsy, paraboly 34 Gnómonická projekc Tissotovy indikatrix <20°,90°> 35 Stereografická projekc Stereografická projekce vzniká při promítání z protějšího pólu koule. • C = R • projekce je konformním azimutálním zobrazením - viz dříve • vzdálenosti obrazů rovnoběžek se zvětšují směrem od středu mapy • Hipparchos z Nikaie P' P Ps dosazení C do zobrazovací rovnice: 2R sin Z ^n Z P = —-- = 2Rtg- 1 + cosZ 2 s = V dosazení p do rovnice zkreslení: 2 1 mp =mr = 1 + cosZ 2 Z cos — 2 mpl -- 1 4z cos — 2 Aco = 0 36 Stereografická projekc Odkud se promítalo? Ortografická projekc Ortografická projekce vzniká při promítání z nekonečna. • C = nekonečno • „pohled z vesmíru" • projekce je ekvidistantním zobrazením v rovnoběžkách odvodí se z obrázku (nekonečno do vzorce nedosadíme): p = R sin Z s = V dosazení p do rovnice zkreslení: Ortografie ká projekc • Rovníková poloha: rovnoběžky úsečky, poledníky elipsy. • Pólová poloha: rovnoběžky kružnice, poledníky polopřímky. • Obecná poloha: poledníky i rovnoběžky elipsy. 39 Ortografie ká projekc Tissotovy indikatrix 40 Srovnání různých azimutá mm obražení 41 Ortografie ká projekce na vále • Pozor! Ne všechny projekce jsou azimutální. • Zobrazení Lambertovo válcové plochojevné. Viz válcová zobrazení. • Ortografická válcová projekce. Střed promítání v nekonečnu. • Ekvivalentní • Nezkreslený rovník x = R sin u y — Rv 42