Vícerozměrné statistické metody 
Vícerozměrné statistické rozdělení a testy, operace s vektory a 
maticemi 
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová
Vícerozměrné statistické metody 
Vícerozměrné statistické rozdělení a testy
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Význam rozdělení ve vícerozměrném prostoru
• Použitelnost mnohých klasických statistických metod a postupů vyžaduje 
předpoklad o normálním rozdělení sledovaných proměnných. 
• Podmínka normality vyplývá z toho, že metody založené na tomto předpokladu 
mohou využít kompletní matematický aparát schovaný za danou statistickou 
metodou. Tyto metody jsou také relativně snadno pochopitelné a se získanými 
řešeními se dobře pracuje. 
• Ovšem v reálném světě bývá obtížné předpoklad o normálním rozložení dodržet, 
v mnohých oblastech přírodních a mnohdy i technických oborů není tento 
předpoklad samozřejmostí. 
• Předpokládejme však normalitu a předpoklad o jedné normálně rozložené 
náhodné proměnné můžeme rozšířit na předpoklad simultánního normálního 
rozložení dvou a více náhodných proměnných. Některé vícerozměrné postupy a 
metody vycházejí z předpokladu vícerozměrného normálního rozdělení. 
Vícerozměrné normální rozdělení může být také velmi užitečnou aproximací 
různých jiných simultánních rozdělení. 
3
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Rozdělení dat ve vícerozměrném prostoru
4
• Klasická jednorozměrná rozdělení a testy mají svůj protějšek ve vícerozměrném 
prostoru; analogii lze nalézt v podstatě ke každému z nich 
• Obrázky zobrazují 1D, 2D a 3D normální rozdělení
• Při popisu vícerozměrných dat se uplatňují stejné charakteristiky jako při popisu 
dat jednorozměrných, nicméně nyní již ne jako jedno číslo, ale jako vektor 
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
0
50
100
150
200
250
300
350
400
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Pojmy popisu vícerozměrných rozdělení
• Centroid
– průměr nebo medián nebo jiná charakteristika středu spočtená pro všechny dimenze
– Je popsán vektorem charakteristik středu
– Používán jako popisná statistika nebo i jako součást výpočtu shlukovacích metod
– „virtuální střed vícerozměrného shluku“ 
• Medoid
– Medoid je reprezentativní objekt datového souboru nebo shluku v datech, jehož průměr 
podobnosti od všech ostatních objektů v datech nebo ve shluku je minimální. 
– Medoid má podobný význam jako průměr nebo centroid, jen je vždy reprezentován 
reálným objektem z datového souboru. 
– Medoid bývá nejčastěji používán tam, kde není definován průměr nebo centroid (např. 
tří a vícerozměrný prostor). Tento termín se používá při shlukové analýze.
5
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Vícerozměrné charakteristiky rozdělení
• Základní charakteristikou vícerozměrného rozdělení je vektor středních hodnot
(vektor průměrů) 
• a kovariační matice
• kde je  kovariance dvou náhodných veličin, tj.
6
 















)E(X
)E(X
)E(X
E
p
2
1

X















2
21
2
2
212
121
2
1
)cov()var(
ppp
p
p







XXΣ
ij
       jjiijiij XEXXEXEX,Xcovσ 
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Příklady vícerozměrného rozdělení
• R – knihovna MSBVAR
7
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Příklad vícerozměrného rozdělení I
8
vmat1=matrix(c(1,0,0, 0,1,0, 0,0,1),3,3)
x1<‐rmultnorm(1000,c(10,10, 10), vmat1, tol = 1e‐10)
write.table(x1,"x1.txt")
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Příklad vícerozměrného rozdělení II
9
vmat2=matrix(c(1,0.5,0.5, 0.5,1,0.5, 0.5,0.5,1),3,3)
x2<‐rmultnorm(1000,c(10,10, 10), vmat2, tol = 1e‐10)
write.table(x2,"x2.txt")
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Příklad vícerozměrného rozdělení III
10
vmat4=matrix(c(1,0.7,0.7, 0.7,1,0.7, 0.7,0.1,1),3,3)
x4<‐rmultnorm(1000,c(10,10, 10), vmat4, tol = 1e‐10)
write.table(x4,"x4.txt")
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Příklad vícerozměrného rozdělení IV
11
vmat3=matrix(c(1,1,1, 1,1,1, 1,1,1),3,3)
x3<‐rmultnorm(1000,c(10,10, 10), vmat3, tol = 1e‐10)
write.table(x3,"x3.txt")
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Wishartovo rozdělení
• Wishartovo rozdělení je vícerozměrným zobecněním chi‐square rozdělení
• Při odvození některých důležitých algoritmů ve vícerozměrné statistické analýze se 
uplatňuje dále uvedená vlastnost Wishartova rozdělení. 
• Součet nezávislých náhodných matic s Wishartovým rozdělením se shodnou
střední hodnotou je rovněž Wishartovo rozdělení se stejnou střední hodnotou, 
přičemž stupně volnosti se sčítají.
12
 













ΣA
ΣA
A...AAA 21
,νW~
H1,2,...,h,,νW~
H
1h
hph
hph
H
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Hotellingovo rozdělení
• Jedná se o zobecnění t‐ rozdělení pro p‐rozměrný prostor
• Uvažujme regulární čtvercovou matici A p‐tého řádu a rozdělením a na A nezávislý p‐
položkový vektor a s rozdělením Potom kvadratická forma má
Hotellingovo rozdělení T2 (p, ν – p+1).
• V jednorozměrném normálním rozdělení se při testování hypotéz o střední hodnotě používá
statistika (jednovýběrový t‐test)
• Druhou mocninu této statistiky můžeme upravit a zapsat ve tvaru
Tento výraz odpovídá p‐rozměrné statistice, vhodné k úsudku o μ, která má Hotellingovo
rozdělení T2 s p a n–p stupni volnosti, jedná se tedy o zobecnění t‐ rozdělení pro p‐rozměrný
prostor. Můžeme tedy psát
13
     pnp,T~SμxnΣμ,N~x 21T
p  
 Σ,Wp 
 c
N Σ,opp
aAa 1T 
 cQ1
 
 
 1-nt~
n
xs
μx
σμ,N~
2
2 
X
      μxxsμxnt
122


Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Normalita ve vícerozměrném prostoru
• Normalita ve vícerozměrném prostoru
14
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Nenormální rozložení ve vícerozměrném prostoru
15
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
+
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Nenormální rozložení ve vícerozměrném prostoru
16
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Je normalita v jednorozměrném prostoru jedinou 
podmínkou vícerozměrné normality? 
17
+
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
0
50
100
150
200
250
300
350
400
6 7 8 9 10 11 12 13 14
0
50
100
150
200
250
300
350
400
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Je normalita v jednorozměrném prostoru jedinou 
podmínkou vícerozměrné normality? 
18
+
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
8.5
9.0
9.5
10.0
10.5
11.0
11.5
12.0
12.5
13.0
13.5
14.0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
8.5
9.0
9.5
10.0
10.5
11.0
11.5
12.0
12.5
13.0
13.5
14.0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Je normalita v jednorozměrném prostoru jedinou 
podmínkou vícerozměrné normality? 
19
+
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
8.5
9.0
9.5
10.0
10.5
11.0
11.5
12.0
12.5
13.0
13.5
14.0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
8.5
9.0
9.5
10.0
10.5
11.0
11.5
12.0
12.5
13.0
13.5
14.0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
6 7 8 9 10 11 12 13 14
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Vícerozměrný outlier
20
+
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
0
50
100
150
200
250
300
350
400
6 7 8 9 10 11 12 13 14
0
50
100
150
200
250
300
350
400
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Srovnání průměrů ve vícerozměrném prostoru
• Pro zobecnění t‐testu pro p 
rozměrů se využívá Hottelingovo
rozdělení
• kde (nejčastěji δ = 0), má
opět Hotellingovo rozdělení
s parametry p, n – p –1
21
   δxxSδxx
n
nn
T 21
1T
21
212


21 μμδ 
Vícerozměrné statistické metody 
Operace s vektory a maticemi
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Pojmy vícerozměrných analýz 
23
• Vícerozměrné metody: Název vícerozměrné vychází z typu vstupních dat, tato data jsou tvořena 
jednotlivými objekty (i.e. klienti) a každý z nich je charakterizován svými parametry (věk, příjem atd.) a 
každý z těchto parametrů můžeme považovat za jeden rozměr objektu.
• Maticová algebra: Základem práce s daty a výpočtů vícerozměrných metod je maticová algebra, matice 
tvoří jak vstupní, tak výstupní data a probíhají na nich výpočty.
• NxP matice: N objektů s p parametry pak vytváří tzv. NxP matici, která je prvním typem vstupu dat do 
vícerozměrných analýz. 
• Asociační matice: Na základě těchto matic jsou počítány matice asociační na nichž pak probíhají další 
výpočty, jde o čtvercové matice obsahující informace o podobnosti nebo rozdílnosti (tzv. metriky) buď 
objektů (Q mode analýza) nebo parametrů (R mode analýza).Měřítko podobnosti se liší podle použité 
metody a typu dat, některé metody umožňují použití uživatelských metrik. 
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Vstupní matice vícerozměrných analýz 
24
Hodnoty parametrů pro jednotlivé objekty
NxP MATICE ASOCIAČNÍ MATICE
Korelace, kovariance, vzdálenost, podobnost
Výpočet metriky 
podobností/
vzdáleností