C2142 Návrh algoritmů pro přírodovědce 12. Těžké problémy. Tomáš Raček Jaro 2022 Typy problémů V rámci teoretické analýzy nejčastěji rozlišujeme dva typy problémů: Rozhodovací problém • ověření, zdali něco platí, nebo ne • př. Existuje v grafu G cesta mezi vrcholy s a t délky nejvýše 10? • odpověď: ANO × NE Optimalizační problém • cílem je nalezení nejlepšího řešení z množiny přípustných řešení • př. Jaká je nejkratší cesta v grafu G mezi vrcholy s a t? • odpověd: konkrétní nejkratší cesta × cesta neexistuje Poznámka. Pokud existuje polynomiální algoritmus pro rozhodovací problém, existuje i pro jeho optimalizační variantu (a naopak). Problém obchodního cestujícího (TSP) Problém. Nalezněte nejkratší cestu, která prochází všemi zadanými městy a začíná a končí ve stejném městě. Alternativní definice. Nalezněte v hranově ohodnoceném grafu Hamiltonovskou kružnici (= obsahující všechny vrcholy) minimální délky. TSP – možnosti řešení Hrubá síla. Vygeneruji a ověřím délky všech možných cest. • složitost přístupu O(n!) • v praxi nepoužitelné Dynamické programování • výrazně netriviální • složitost O(n22n) Aktuální stav řešení TSP. • nevíme, zdali existuje algoritmus se složitostí nižší než O(2n) • v roce 2006 se podařilo najít řešení pro instanci problému o velikosti 85 900 měst → 136 CPU let výpočtů xkcd.com/399 Třídy problémů Pozorování. Velká část dosud prezentovaných problémů byla bez větších problémů prakticky řešitelná. Opakem je například TSP. V rámci teorie pak můžeme přemýšlet, zdali lze problémy dělit do kategorií podle složitosti jejich řešení. Nejčastěji rozlišujeme dvě třídy problémů: P třída problémů řešitelných v polynomiálním čase NP třída problémů, pro které lze ověřit řešení v polynomiálním čase Poznámka. V rámci zařazování problémů do těchto tříd vždy uvažujeme jejich rozhodovací varianty. Příklad. TSP je ve třídě NP, nejkratší vzdálenost v grafu je v P i v NP. P vs. NP Zamyšlení. Zjevně platí, že každý problém ve třídě P patří i do třídy NP, tedy P ⊆ NP. Otázka. Platí to ale i naopak (NP ⊆ P)? Pokud ano, pak P = NP. P NP P = NPvs. P vs. NP • otevřený problém, jeden z největších v matematice a informatice • jeden ze sedmi problémů milénia (Millennium Prize Problem → odměna 1 milion dolarů) P = NP If P = NP, then the world would be a profoundly different place than we usually assume it to be. There would be no special value in ’creative leaps,’ no fundamental gap between solving a problem and recognizing the solution once it’s found. Everyone who could appreciate a symphony would be Mozart; everyone who could follow a step-by-step argument would be Gauss… Scott Aaronson, MIT NP-úplné problémy Pozorování. I v rámci třídy NP jsou problémy, které jsou různě těžké. NP-úplné problémy jsou nejtěžší problémy ve třídě NP. • každý problém v NP lze převést na NP-úplný problém v polynomiálním čase (existuje polynomiální redukce) • rozhodovací varianta TSP je NP-úplný problém • pro žádný NP-úplný problém není znám polynomiální algoritmus Možnosti řešení P vs. NP 1. Ukázat, že pro některý NP-úplný problém nelze zkonstruovat polynomiální algoritmus. Pak P NP. 2. Nalézt polynomiální algoritmus pro libovolný NP-úplný problém. Pak P = NP. Problémy v NP – příklady Zamyšlení. Předpokládejme P NP. Existují problémy, které jsou v NP, ale nejsou NP-úplné? Pravděpodobně následující: • prvočíselný rozklad • izomorfismus grafů Prvočíselný rozklad Úkol. Rozložte následující číslo na prvočísla: 135066410865995223349603216278805969938881475605 667027524485143851526510604859533833940287150571 909441798207282164471551373680419703964191743046 496589274256239341020864383202110372958725762358 509643110564073501508187510676594629205563685529 475213500852879416377328533906109750544334999811 150056977236890927563 • ekvivalentní rozluštění RSA-1024 • odměna 100 000 dolarů • soutěž skončila v roce 2007 Travelling salesman (2012) Vybrané příklady NP-úplných problémů I Problém splnitelnosti výrokových formulí • formule výrokové logiky s proměnnými A1, . . . , An • Existuje přiřazení proměnných takové, že se zadaná formule vyhodnotí na TRUE? • Příklad: (¬A1 ∨ A2) ∧ A3 ∧ ¬A1 je splnitelná např. pro A1 = 0, A2 = 0, A3 = 1, Klika • Existuje v grafu klika (= podgraf, který je úplným grafem) o k vrcholech? Vybrané příklady NP-úplných problémů II Problém dvou loupežníků • Lze rozdělit multimnožinu nezáporných čísel na dvě tak, že v obou bude součet obsažených čísel stejný? Izomorfismus podgrafu • Je graf H izomorfní nějakému podgrafu grafu G? Problém batohu • mějme batoh o nosnosti W a n předmětů, každý o hmotnosti wi a hodnotě vi • Lze do batohu umístit předměty o celkové hodnotě alespoň V? Součet podmnožiny • Lze najít podmnožinu zadané množiny celých čísel takovou, že součet jejích prvků je nula? xkcd.com/287 General solutions get you a 50% tip. P vs. NP – poznámky Možné výsledky • P = NP, ale nejlepší algoritmus pro TSP se složitostí Ω(n100) • P NP, ale algoritmus pro TSP se složitostí O(20,00...01·n) Možnosti řešení 1. přijmout exponenciální algoritmus 2. omezit se na speciální případy (př. izomorfismus stromů je v P) 3. přijmout suboptimální řešení (užitím hladových algoritmů, heuristik)