Sbírka řešených příkladů z matematické analýzy I | Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity

I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta

Věta 26

Funkce $f$ má v bodě $x_0$ diferenciál (je diferencovatelná v $x_0$) právě tehdy, když existuje vlastní derivace $f'(x_0)$. Přitom platí

$\mathrm{d}f(x_0)(h)=f'(x_0)\cdot h$, píšeme též $\mathrm{d}f(x)=f'(x)\,\mathrm{d}x.$

Pro dostatečně malé $h$ platí:

$f(x_0+h)\doteq f(x_0)+f'(x_0)h$,

též $f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$ pro $x\to x_0$.

Řešené příklady

Věta 27 (Taylorova věta)

Nechť má funkce $f$ v okolí bodu $x_0$ vlastní derivace až do řádu $n+1$ pro nějaké $n\in\mathbb{N}\cup\{0\}$. Pak pro všechna $x$ z tohoto okolí platí tzv. Taylorův vzorec

$\begin{aligned} f(x)=f(x_0)&+\dfrac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0) + \dfrac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+ \\ &+\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x), \end{aligned} $

kde $R_n(x) = \dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} $,

přičemž $\xi$ je vhodné číslo ležící mezi $x_0$ a $x$. Chyba $R_n(x)$ se nazývá zbytek.

Zbytek uvedený v Taylorově větě je v tzv. Lagrangeově tvaru, což není jediná možnost jeho vyjádření.

Pokud v Taylorově vzorci vynecháme zbytek, obdržíme tzv. Taylorův polynom.

Pokud v Taylorově větě položíme $x_0=0$, získáme tzv. Maclaurinův vzorec, resp. tzv. Maclaurinův polynom.

Řešené příklady

295

296

297

298

299

300

Příklad č. 295

Určete $\mathrm{d}f(x_0)(h)$ pro $f(x)=\sqrt{x^2+1}$ a $x_0=1$.

Řešení» Zobrazit řešení «

Nejdříve musíme vyčíslit derivaci funkce $f(x)$ v bodě $x_0$, tj.

$\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\overset{x_0=1}{\rightsquigarrow}\dfrac{1}{\sqrt{2}}$,

proto dle definice platí

$\mathrm{d}f(1)(h)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}h$.

Příklad č. 296

Pomocí diferenciálu funkce přibližně určete $\sqrt{382}$.

Řešení

Nejdříve musíme zvolit vhodnou funkci $f(x)$, jejímž vyčíslením obdržíme $\sqrt{382}$ . Zvolíme $f(x)=\sqrt{x}$ (druhou možnou volbou by mohla být např. funkce $g(x)=\sqrt[x]{382}$). Nyní musíme zvolit vhodný bod $x_0$. Tento bod musí být zvolen tak, abychom byli bez problémů schopni vyčíslit funkci $f(x)$ v tomto bodě. Navíc, tento bod by měl být nejbližší možný k zadané hodnotě, abychom se dopustili co nejmenší chyby. Proto zvolíme $x_0=400$ a $h=-18$ (aby platilo $382=x_0+h$). Potom vyčíslíme funkci a její derivaci v bodě $x_0$, tj.

$f(x)=\sqrt{x}\overset{x_0=400}{\rightsquigarrow}20, \quad f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\overset{x_0=400}{\rightsquigarrow}\dfrac{1}{40}$.

Nyní pomocí diferenciálu funkce obdržíme

$f(382)=f(400-18)=\sqrt{382}\approx 20-\dfrac{18}{40}=19,55$.

Příklad č. 297

Pomocí diferenciálu funkce přibližně určete $\sqrt[5]{36}$.

Řešení

Zvolíme $f(x)=\sqrt[5]{x}$, $x_0=32$ a $h=4$.

$f(x)=\sqrt[5]{x}\overset{x_0=32}{\rightsquigarrow}2, \quad f'(x)=\dfrac{1}{5\sqrt[5]{x^4}}\overset{x_0=32}{\rightsquigarrow}\dfrac{1}{80}$.

Tedy pomocí diferenciálu funkce dostaneme

$f(36)=f(32+4)=\sqrt[5]{36}\approx 2+\dfrac{4}{80}=2,05$.

Příklad č. 298» Zobrazit zadání «

Pomocí diferenciálu funkce přibližně určete $\operatorname{arctg} 1,1$ .

Řešení» Zobrazit řešení «

Příklad č. 299» Zobrazit zadání «

Pomocí diferenciálu funkce přibližně určete $\ln 1,3$ .

Řešení» Zobrazit řešení «

Příklad č. 300» Zobrazit zadání «

Pomocí diferenciálu funkce přibližně určete $\sin(-0,22)$ .

Řešení» Zobrazit řešení «