F6122 Základy fyziky pevných látek — seminář elektrony v pevné látce verze 1. prosince 2016 1 Drudeho model volných elektronů 1 1.1 Mathiessenovo pravidlo ............................................... 1 1.2 Frekvenční závislost vodivosti volných elektronů v kovu v Drudeho modelu .................. 1 1.3 Optická odezva zlata v IR a VIS.......................................... 1 2 Sommerfeldův model volných elektronů 2 2.1 Betheho-Sommerfeldův rozvoj ........................................... 2 2.2 Tepelná kapacita v Sommerfeldově modelu za nízkých teplot........................... 2 2.3 Tepelná vodivost elektronového plynu....................................... 2 3 Elektron v periodickém potenciálu 3 3.1 Důkaz Blochova teorému............................................... 3 3.2 Jednorozměrný kosinový potenciál......................................... 3 3.3 Fermiho plochy v prázdné čtvercové a kubické mřížce............................... 3 3.4 Jednorozměrný potenciál............................................... 3 3.5 Metoda těsné vazby pro p-pásy ve čtvercové mřížce................................ 4 4 Kvaziklasická aproximace 5 4.1 Efektivní hmotnost v prosté kubické mřížce.................................... 5 5 Polovodiče 6 5.1 Statistika nositelů náboje v polovodiči typu N................................... 6 5.2 PN přechod...................................................... 6 1 Drudeho model volných elektronů 1.1 Mathiessenovo pravidlo Mějme kovový materiál, kde elektrony se mohou rozptylovat na příměsech s teplotně nezávislou relaxační dobou tv a také na tepelných kmitech mříže s relaxační dobou rt(T). Předpokládejme, že oba druhy rozptylu jsou vzájemně nezávislé. Jaká bude celková relaxační doba, teplotní závislost měrného elektrického odporu a měrné vodivosti? 1.2 Frekvenční závislost vodivosti volných elektronů v kovu v Drudeho modelu V Drudeho modelu je pohyb elektronů popsán rovnicí dv v F 1 út t in in Najděte frekvenční závislost vodivosti. 1.3 Optická odezva zlata v IR a VIS Optická odezva zlata v IR a VIS oblasti se dá popsat Drudeho formulí kde = 3, E p = 57.2eV2 a T = 0.0602eV. Spočtěte reálnou část vodivosti, index lomu a hloubku průniku pro energie fotonu Ťiuj = 0.001, 0.01, 0.1, 1, 2 a 3eV. 1 2 Sommerfeldův model volných elektronů 2.1 Betheho Sommerfeldův rozvoj Ukažte, že integrál J0°° H{E)fpi){E) dE je možné aproximovat rozvojem ľ°° 7t2 7tt4 J H{E)fFD{E)áE= J H(E)dE + -(kBTfH'(ri + ^(kBTýH"'(ri + O Pomůcka: 1 12 2.2 Tepelná kapacita v Sommerfeldově modelu za nízkých teplot Experimentálně zjištěná tepelná kapacita kovů pro nízké teploty splňuje vztah Vmo\ Vypočtěte koeficient 7 následujících kovů a srovnejte s tabulkovou hodnotou. a [A] 7 [mJ/mol.K] Cu 3,61 0,695 Ag 4,09 0,646 Au 4,08 0,729 Předpokládejte jeden vodivostní elektron na atom. Všechny tyto kovy mají strukturu kubickou plošně centrovanou (fcc). Pomůcka: (j^)2/3 = 3.848 x 1015 Jmol^R-W2. 2.3 Tepelná vodivost elektronového plynu Tok tepelné energie v materiálu, kde předpokládáme tepelný gradient ve směru osy z, je dán vztahem 1,, ,du 3E=3l{v)ď-z' kde l je střední volná dráha, (v) střední driftová rychlost a m je hustota vnitřní energie. Gradient ^ můžeme napsat ve tvaru du du dT dT dz dT dz V dz ' kde cy je tepelná kapacita elektronového plynu. Dosaďte do předchozích vztahů vztahy získané pro elektronový plyn a odvoďte Wiedemannův-Franzův zákon crT 2 f k e = 2,45 x 10~8WÍ1KT2. Výsledek porovnejte s tabulkovými hodnotami pro reálné kovy. kov L (10-8Wíldeg-2) kov L (10~8Wíldeg-2) při 0°C při 100°C při 0°C při 100°C Ag 2.31 2.37 Pb 2.47 2.56 Au 2.35 2.40 Pt 2.51 2.60 Cd 2.42 2.43 Sn 2.52 2.49 Cu 2.23 2.33 W 3.04 3.20 Mo 2.61 2.79 Zn 2.31 2.33 2 3 Elektron v periodickém potenciálu 3.1 Důkaz Blochova teorému Podle Ascroft, Mermin: Solid state physics 3.2 Jednorozměrný kosinový potenciál Metodou rozvoje do rovinných vln najděte vlastní energie elektronu v jednodimenzionálním potenciálu s periodou a zadaném funkcí u(x) = — Vq cos ^—x^j . Z vlastních energií pro dostatečný počet Blochových vektorů v 1. Brillouinově zóně sestavte pásové schéma. Při numerickém řešení použijte následující hodnoty parametrů: a = 0.4 nm. Srovnejte výsledky pro Vq = 1 eV a Vq = 4 e V s disperzními relacemi volných elektronů. Poznámky: vysvětlit vlastní stavy komutujících operátorů - ne každý vlastní stav jednoho je i vlastním stavem druhého. Téměř volné elektrony pro kosinový potenciál. 3.3 Fermiho plochy v prázdné čtvercové a kubické mřížce Najděte Fermiho plochy ve čtvercové mříži pro volné elektrony. Podobně také v kubické prosté, plošně cetrované a prostorově centrované pro 1, 2, 3 elektrony na primitivní buňku. Porovnejte s Fermiho plochami kovů: http://www.phys.ufl.edu/fermisurface/periodic_table.html 3.4 Jednorozměrný potenciál Metodou rozvoje do rovinných vln najděte vlastní energie elektronu v jednodimenzionálním potenciálu s periodou a zadaném funkcí (x — na)2 U(x) = -V0 J2 exP n——oo jehož Fourierovy složky jsou UG = -Vq^tt - exp---— a \ 4 G = 2irn Z vlastních energií pro dostatečný počet Blochových vektorů v 1. Brillouinově zóně sestavte pásové schéma. Při numerickém řešení použijte následující hodnoty parametrů: a = 0.5nm, a = 0.1a. Srovnejte výsledky pro Vq = 2eV a Vq = 10 e V s disperzními relacemi volných elektronů. o.o x [nm] Pozn.: Při srovnávání je výhodné použít energii vztaženou na střední hodnotu potenciálu, tj. E — Ug=o- 3 3.5 Metoda těsné vazby pro p^pásy ve čtvercové mřížce Uvažujme o dvourozměrné čtvercové mřížce s jednoatomovou bází. Najděte disperzní relace pásů odvozených z dvakrát degenerovaných p-orbitalů px a py. Vlnové funkce těchto orbitalů mají tvar tpPic (x, y) = x f(\/x2 + y2) a ipPy{x,y) = y f(\/x2 + y2). Při výpočtu se omezte pouze na maticové elementy mezi nejbližšími sousedy a matici překryvových integrálů aproximujte jednotkovou maticí. Pásové schéma zobrazte podél lomené čáry M — T — X. 4 4 Kvaziklasická aproximace 4.1 Efektivní hmotnost v prosté kubické mřížce Spočtěte tenzor efektivní hmotnosti (Míj) pro elektrony v prosté kubické mřížce v jednoduchém těsnovazebním pásu ve středu Brillouinovy zóny T (fe = (0,0,0)), ve středu stěny X (fe = (1,0,0)), ve středu hrany M (fe = (1,1, 0)) a ve vrcholu Brillouinovy zóny L (fe = (1,1,1)). Diskutujte užitečnost aproximace efektivní hmotnosti v bodě M. (Pozn. Jednoduchý těsnovazební pás vznikne z s-orbitalů). 5 5 Polovodiče 5.1 Statistika nositelů náboje v polovodiči typu N V polovodiči je 1013 donorů v cm3, které mají ionizační energii Ejj = 1 meV a efektivní hmotnost mef = 0.01 me. Žádné akceptorové atomy nejsou přítomny a polovodič je nedegenerovaný, tj. Eg 3> ksT. Odhadněte koncentraci vodivostních elektronů při T = 4 K a hodnotu Hallovy konstanty. 5.2 PN přechod Odvození statistiky nositelů náboje v PN přechodu. Šířka ochuzené vrstvy, difuzní potenciál, ideální voltampérová charakteristika. Literatura: Kittel Introduction to solid state physics Aschcroft, Mermin: Solid state physics Sze, Ng: Physics of semiconductor devices Frank, Snejdar: Principy a vlastnosti polovodičových součástek Radomír Lenhard: Fyzika polovodičů, přechod PN, Brno 2013. Simulace rozložení na PN přechodu: http: //pages . physics . Cornell. edu/sss/ program poisson. 6