Kokojevy
1. Landauova teorie pro feromagnet
S pomocí Landauovy teorie popište kritické chování anisotropního feromagnetu s tzv. magneticky měkkou osou, v němž muže magnetizace zaujímat pouze dvě orientace - po směru osy z a proti směru osy z. V ose z dále působí magnetické pole B. Landauovu volnou energii zapíšeme ve tvaru mocninného rozvoje vhodného pro případy s malou magnetizací M
oo
L(T,B, M) = ^2\n(T,B)Mn « l0(T, B)+l1(T,B)M+l2(T, B)M2+l3(T, _B)M3+/4(T, B)MA.
n=0
(1)
Předpokládáme, že velikosti B a T — Tc jsou malé (slabé pole, blízkost fázového přechodu), a máme proto
ln(T, B) « an + bnB + cn (T - Tc). (2)
(a) Zjednodušte uvedený rozvoj do čtvrtého řádu s využitím symetrie L(T, —B, —M) L(T, B, M).
Rozvoj do štvrtého rádu má tvar
L(T, B, M) = a0 + b0B + c0(T - Tc) + axM + bxBM + ci(T - TC)M + a2M2 + b2BM2+ c2(T - TC)M2 + a3M3 + b3BM3 + Cl(T - TC)M3 + a4M4 + &45M4 + c(T - TC)M4 (3)
vďaka symetrií zo zadania môžeme usúdiť, že sú pre nás dôležité len členy kde je súčin B a M v párnej (sudéj) mocnine a teda
L(T, B, M) = a0 + c0(T-Tc)+b1BM + a2M2 + c2(T-Tc)M2 + b3BM3 + a4M/í + c4(T-Tc)M/í
(4)
(b) Rozvažte, jaké podmínky musí splňovat zbylé koeficienty rozvoje, abychom při nulovém poli dostali řešení M = 0 pro T > Tc a ± M (T) při T < Tc.
Koeficienty     a co, sú z pohľadu tejto úlohy pre nás nezaujímavé, tvoria len akýsi bias a nemenia tvar krivky. Takže pre B = 0 môžeme prepísať rovnicu pre L do tvaru
L (T, 5, M) = a2M2 + c2(T - TC)M2 + a4M4 + c4(T - TC)M4 =
= [a2 + c2(T - Tc)} M2 + [a4 + c4(T - Tc)] M4 (5)
k tomu aby sme získali nami žiadaný výsledok kde pre M = 0 pro T > Tc a ± M (T) při T < Tc musí prvá hraná zátvorka [02 + c2(T — Tc)] byť záporná a druhá hranatá zátvorka [a4 + c4(T — Tc)] musí byť kladná.
(c) Zanedbáme koeficienty, které nehrají při fázovém přechodu významou roli. Dále určíme hodnotu koeficientu bi s využitím termodynamického vztahu M = —dF/dB. Výsledný tvar Landauovy volné energie
L(T, B, M)    —BM + c2(T — TC)M2 + a4M4 (6)
použijte k výpočtu následujících veličin:
(cl) Magnetizace M(T) při nulovém poli B = 0.
A teda stacionárne body Landauovej energie a teda magnetizácie sú
d í
— =c2(T- TC)2M + 4a4M3 = 0, (7) M[2c2(T - Tc) + 4a4M2] = 0 (8)
1
a teda korene sú M\ = 0 a M2j3 = ±a/c2(T — Tc)/2a4.
(c2) Susceptibility pre malé pole, definovanú ako
(dM\
K výpočtu pouťijeme pôvodný zjednodušeny tvar Landauovej voľnej energie, derivácia podľa M bude teda mať tvar
dL
— = B + c2(T - TC)2M + 4a4M3 = 0, (10)
a následne z tejto rovnice vyjadríme rovnicu pre B
B = 2c2(T — TC)M + 4a4M3. (11)
Využijeme symetriu
d_M=ídB_Y (12)
aby sme sa dostali k vyjadreniu susceptibility. Deriváciou rovnice (11) získame tak prevrátenú hodnotu susceptibility a teda
dB     _   _    _    _ -
<9M
2c2(T-Tc) + 12a4M2 (13)
%=(!§) = (2c2(T" Tc)+12fl4M2)_1 (14)
do tejto rovnice môžeme dopniť výsledok z predchádzajúcej časti a teda rovnicu pre M (T)
1 1
X = 2c2(T - Tc) + 12a4^l = ~4c2(T - Tc) (15)
pre Tc > T
X = ~Ac2(T-Tc) ^
a pre Tc < T
X = 2c2(T-Tc)' ^
(c3) Magnetizace na Tc vyvolané vnějším polem, M (B) pro T = Tc.
Opäť využijeme vzťah pre výpočet magnetizácie
dL
— = -B + c2(T-Tc)2M + 4a4M3 = 0. (18) Keďže T = Tc druhý člen bude nulový a teda pre M platí
"=v£- (19)
(c4) Specifického tepla c = —T(d2F/dT2)b=o v okolí fázového přechodu.
Do vzťahu doplníme opäť vzťah pre M (T) a získame tak vzťah
L(T, B = 0,M) = -^-(T- Tc)2 (20)
následne už len dva krát zderivujeme podľa T, výsledné špecifické teplo teda je
c = -T^. (21) a4
2