Tepelná kapacita
Dulong-Petitovo pravidlo: U = 3kTN => Cv = 3kN
Tepelná kapacita mřížky
Oscilátor s kvantovanou energií En = (n + |) hu má střední hodnotu energie (po označení x hu/kT)
-     J2Ene-E^kT      1 E n e"™
-c' = —^-„ .,_    = -hu + hv-
J2e~E"/kT        2 nepoužitím
J2ne~m _     d A _     d / 1
^ e-m (jx V / dx \   1 — e~x J      ex — 1
dostaneme
-     1, hi/ E = -hv
2        eWfcT _ 1
Einsteinův výpočet (1907): Soustava N nezávislých oscilátoru se stejnou vlastní frekvencí má vnitřní energii U = SNE, jejíž derivací získáme tepelnou kapacitu
dU        ArJ (hu\2 ehv'kT
Cv = — = 3Nk   — -?
dT \kT J (ehv/kT_1ý
Tento jednoduchý výpočet sice ukazuje, že tepelná kapacita musí za nízkých teplot klesat k nule, průběh spočítaného poklesu ale neodpovídá realitě.
Debye počítal s tím, že excitacemi krystalové mřížky jsou stojaté vlny s maximální frekvencí z/p. Počet vln g{v)dv v oblasti frekvencí mezi v a v + dv je přímo úměrný v2. Debyeova frekvence z/p je definovaná vztahem
g(v)du = 3N
o
(N je počet atomů mřížky). Po spočítání vnitřní energie
U =   / Egdv =  -NhuD H--Th
8      u      i/3     ./ eWfeT-l
a její derivaci vychází
In.
o
kde Td = hľ£> j k se nazývá Debyeova teplota. Pro nízké teploty platí limita
C y oc
T
Ti
d
pro vysoké teploty Cy ^°°> 3kN. Nedokonalosti modelu lze částečně odstranit tím, že se Debyeova teplota považuje za funkci teploty
Born a von Kármán doplnili Debyeův model tím, že započítali rozdílnou rychlost podélných a příčných fononů. Blackman a Parkinson dále započítali i interakce mezi vzdálenějšími atomy
Tepelná kapacita mřížky spočítaná poále Debyeova moáelu.
Tepelnou kapacitu ovlivňuje také povrch krystalu, přítomnost vakancí a intersticiálů, dislokací nebo např. uspořádávání struktury slitin. Například vliv bodových poruch s energií Ep a hustotou
__E£
g= g0e kr
způsobí příspěvek k tepelné kapacitě
C =
d(gEp
E2P _^
dT        cu kT2 Tepelná kapacita vodivostních elektronů
Elektrony se řídí Fermi-Diracovou statistikou. Pro jejich střední energii proto platí přibližně
U oc E
EdE
e"kt +1
Za dostatečně nízkých (i pokojových) teplot platí pro jejich tepelnou kapacitu
r dU dT
Jiné příspěvky k tepelné kapacitě
V magnetických materiálech přispívá k tepelné kapacitě také excitace magnonů. Za velmi nízkých teplot je často dominantní tepelná kapacita způsobená interakcí jader s jejich okolím. Tepelná kapacita způsobená existencí několika diskrétních energiových hladin se obecně nazývá Schottkyho příspěvek k tepelné kapacitě. Ten lze jednoduše spočítat pomocí vnitřní energie Schottkyho systému
u = Y,n^
n,   = N
e-E%/kT e-Ei/kT
kde Et je energie i-té hladiny rij její populace a N celkový počet částic. V případě nej jednoduššího systému dvou hladin oddělených energií E dostaneme
-E/kT EN
U  = EN
1 + e~E/kT       eE/kT + 1
dU _     E2 eE'kT
dT kT2 (eE/kT + x
,2
Zejména v amorfních látkách se může projevit časová závislost měrné tepelné kapacity jev svázaný s relaxací ochlazené látky. Při ochlazení může látka zůstat v metastabilním stavu, který během času přechází do nižšího stavu a uvolněná energie vzorek ohřívá.
Tepelná rozťažnosť
Tepelná roztažnost je způsobena anharmonicitou kmitů mřížky a také (slabším) vlivem elektronů. Tepelná roztažnost se popisuje koeficientem lineární tepelné roztažnosti
a =
1 dV
W ďr'
který je funkcí teploty:
a = c{F + c2T.
í harmon.
realita
3
Tepelná vodivost
JQ
R A
1 1
Äľ
—A VT
1
Ä
Af
E
Rfi
A je tepelná vodivost tepelný odpor
fononová a elektronová vodivost
T-
^ A
Fi
Každá ze složek (ižj) tepelného odporu je způsobena konkrétním srážkovým procesem, který brzdí přenos energie fonony, elektrony, event. magnony. Často lze pro konkrétní rozptylový proces použít vztah odvozený z kinetické teorie plynů Aj = ^cvvlt, kde cv je tepelná kapacita jednotkového objemu plynu, v střední velikost rychlosi částic plynu a Z j střední volná dráha částic mezi srážkami ž-tého typu.
Přenos tepla fonony je zpomalován srážkami fononů s povrchem vzorku a hranicemi krystalových zrn, srážkami s příměsemi a nečistotami a prostřednictvím tzv. reverzních procesů (U-procesů) i srážkami s ostatními fonony Dále se uplatňují srážky s vodivostními elektrony, dislokacemi, vakancemi, intersticiály atd.
Pomocí zmíněného vztahu Aj = ^c^uZj lze odvodit, že tepelný odpor způsobený rozptylem fononů na povrchu a hranicích zrn je přímo úměrný T-3, protože tepelná kapacita fononů je úměrná T3 a rychlost fononů ani rozměry látky na teplotě prakticky nezávisejí. Normální srážky fononů s fonony nemají na tepelnou vodivost přímý vliv, protože při nich nedochází ke změně toku hybnosti. Pokud je ale celková hybnost srážejících se fononů dostatečně velká, může dojít k reverznímu procesu a část hybnosti je předána krystalové mřížce jako celku. Pravděpodobnost srážky s fononem s dostatečnou hybností je za nízkých teplot úměrná e~£^T a za vysokých teplot T4. Za nízkých teplot bude proto tepelný odpor způsobený fonon-fononovými srážkami přibližně úměrný , za vysokých teplot bude přímo úměrný teplotě T.
T-
-S/T
Závislost tepelné vodivosti safíru na teplotě pro tři různé průměry vzorku (A: 3 mm, B: 1,55mm, C: 1,02mm).
Převzato z L. Skrbek a kol: Fyzika nízkých teplot, Matfyzpress, 2011.
4
Výpočet teplotní závislosti tepelného odporu pocházejícího od srážek fononů s příměsemi, vakancemi a intersticiály je obtížnější, protože pravděpodobnost rozptylu silně závisí na vlnové délce fononu. Přibližně ale platí, že tento příspěvek tepelného odporu je úměrný T3/2.
Vidíme tedy, že za nízkých teplot je tepelná vodivost fononu omezena rozptylem na površích, zatímco za vysokých teplot ji omezují rozptyly na bodových poruchách a fononech. Z toho vyplývá nemonotónní závislost tepelné vodivosti na teplotě s maximem, viz obr.
Za nízkých teplot je výraznou překážkou vedení tepla fonony tzv. Kapicův odpor. Jde o tepelný odpor rozhraní dvou materiálů lišících se rychlostí zvuku. Od takovéhoto rozhraní se může většina fononů odrazit a nepřispěje proto k vedení tepla do sousedního materiálu. Přibližně platí
rK = —— oc T
Q
kde rK je měrný Kapicův odpor, AT rozdíl teplot obou materiálů, Q tok tepla rozhraním a S plocha rozhraní.
Dominantními procesy omezujícími tepelnou vodivost elektronů jsou rozptyl elektronů na bodových poruchách (příměsích a pod.) a rozptyl elektronů na fononech. Protože tepelná kapacita elektronů je přímo úměrná teplotě, je odpor způsobený příměsemi nepřímo úměrný teplotě, zatímco odpor vyvolaný srážkami s fonony roste s druhou mocninou teploty. I pro tepelnou vodivost elektronů tak dostáváme teplotní závislost vykazující maximum v oblasti relativně nízkých teplot.
Pro některé teploty lze tepelnou vodivost elektronů spočítat z elektrické vodivosti (a) podle Wiedemannova-Franzova zákona
_ = io «2.510-^
Tepelná vodivost elektronů prudce poklesne při přechodu kovu do supravodivého stavu, čehož se využívá při konstrukci tepelných klíčů.
5