RNDr. Jaromír Široký — RNDr. Miroslava Široká
základy astronomie v příkladech
PRAHA
STÁTNÍ PEDAGOGICKÉ NAKLADATELSTVÍ
Zpracovali ilr. Jaromír Široký a dr. Miroslava Široká
Recenzovali doc. dr. Bohumil Hacar, doo. dr. Jiří Bouěka a dr. Pavel Andrlo
Schváleno výnosem ministerstva. školství a kultury 6. j. 30 017/G5-TTI/1 y.o dne 8, Července lftflií jako vysokoškolská příručka
(p; Jaromír Široký —• Miloslava Široká, 1960
OBSAH
Str.
Předmluva..............' ."................ 6
Seznam používaných symbolů....................... 7
KAP. 1. SFÉRICKÁ ASTRONOMIE................... 11
Příklady 1—71.......................... 31
Doplněk............................ 40
KAP. 2. SLUNEČNÍ SOUSTAVA . . .................. 43
Příklady 72—149 ........................ 53
Doplněk............................ 75
KAP. 3. ZÁKLADY ASTROFYZIKY................... 78
Příklady 150 -207........................ 92
KAP. 4. HVĚZDNÝ VESMÍR...................... 103
Příklady 208- 268........................ 115
KAP. 5. ASTRONOMICKÉ PŘÍSTROJE •„* . . V . • • ■ •....... 134
Příklady 269—300........... í............ 137
Tabulky................................ 144
Seznam kapitol a odstavců........................ 154
Věcný rejstřík.............................. 156
PŘEDMLUVA K 2. VYDÁNÍ
Tato příručka je určena studontům učitelské specializace na přírodovědeckých fakultách a studentům pedagogických fakult, kteří mají ve studijním plánu fyziky zařazenu přednášku z astronomie. Má jim sloužit ncjon jako příručka k zopakování a k procvičení základní učební látky, nýbrž i později při jejich působení na středních a na základních školách.
Obsah knihy je rozdělen do pěti kapitol. V první kapitole jsou probrány základy sférické astronomie včetně časomíry a jevů, studovaných sférickou astronomií (re-frakce, aberace, precese a nutace). Druhá kapitola je věnována sluneční soustavě; základem jsou Keplerovy zákony pohybu planet a Newtonův gravitační zákon. Třetí kapitola pojednává o astrofyzice, tj. o hvězdných velikostech, hmotnostech, hustotách a zářivostech hvězd. Čtvrtá kapitola obsahuje některé důležité vztahy ze stelární astronomie. Poslední, pátá kapitola, pojednává o základních vlastnostech astronomických dalekohledů. Je poměrně krátká, protože podobná tematika je zpracovávána ve sbírkách příkladů z fyziky. V závěru jsou shrnuty nejdůležitější údaje o Slunci, Zemi, Měsíci, měsících planet, kometách a je připojen seznam souhvězdí s výkladem o označování hvězd.
Jednotlivé kapitoly dělíme na odstavce, v jejichž záhlaví jsou uvedeny základní veličiny a jednotky. Některé veličiny jsou stále upřesňovány a převodní vztahy mezi nimi nejsou ustáleny. Snažili jsme se, abychom důsledně používali soustavu jednotek SI, která je u nás uzákoněna normou ČSN 01 1300. Ačkoliv v astronomii je možno používat i soustavu jednotek COS, převedli jsme — pokud jo to možné — všechny údaje do soustavy SI, protože studenti již znají ze středních škol pouze soustavu SI. Odchylky zůstaly pouze u specilických astronomických jednotek, ale i ty jsme se snažili přepočítat na základní jednotky SI.
Ve druhém vydání jsme především upravili terminologii (místo termínu hmota užíváme hmotnost) a způsob psaní některých jednotek (např. místo °K píšeme pouze K). Upřesnili jsme řadu číselných hodnot ve třetí kapitole s přihlédnutím ke 2. vydání knihy C. W. Allena, Astrophysical Quantities (Londýn, 1964). Je však třeba mít na paměti, že číselné hodnoty v zadání příkladů jsou často zaokrouhlené pro snazší numerický výpočet, takže nemohou být považovány za přesné hodnoty. Vzorce uvádíme v logaritmickém tvaru a při výpočtech stačí používat pětimístné logaritmické tabulky. Ľ každého příkladu jsou uvedeny výsledky, u některých příkladů je připojeno řešení, nebo alespoň je naznačen postup řešení.
Závěrem děkujeme oběma recenzentům, doc. dr. B. Hacarovi a doc. dr. J. Bouškovi, za pečlivé prohlédnutí rukopisu prvního vydání z roku 1966 a prof. dr. V. Vanýskovi a dr. P. Andrlovi za rady a připomínky, jimiž přispěli k zlepšení druhého vydání.
Autoři
6
SEZNAM POUŽÍVANÝCH SYMBOLŮ
A - azimut;
BC - bolometrieká korekce;
D - průměr těles; — průměr vstupní pupily dalekohledu;
D' - průměr výstupní pupily;
£>„ - průměr oční pupily;
E - excentrická anomálie; — intenzita gravitačního pole; — výkon vyzařovaný
jednotkou plochy;
F - síla;
I - intenzita světla;
J ■ joule;
K - solární konstanta; — poloviční amplituda radiální rychlosti dvojhvězdy;
L - zářivost;
M - hmotnost; — střední anomálie; — absolutní hvězdná velikost;
N - newton;
N - perioda nutace;
P - siderická oběžná doba; — precese; — perioda proměnné hvězdy;
R - poloměr; — refrakce;
S - synodická oběžná doba; —■ světelnost dalekohledu;
T - čas; ■— okamžik průchodu perihéliem; — absolutní teplota; — propustnost dalekohledu;
V - gravitační potenciál; — objem; — prostorová rychlost hvězdy;
VT - radiální rychlost hvězdy;
l't - tangenciální rychlost hvozdy;
W - watt;
W - energie;
Wk - kinetická energie;
ífp - potenciální energie;
Mpc - megaparsek;
°C - teplotní stupeň Celsiův;
K - teplotní stupeň Kelvinův;
a - velká poloosa eliptické dráhy; — koeficient absorpce světla;
b - malá poloosa dráhy; — barometrický tlak; — galaktická šířka;
c - rychlost šíření světla;
d - úhlový průměr; — vzdálenost;
e - numerická excentricita;
7
/ - ohnisková vzdálenost objektívu;
/„ - ohnisková vzdálenost okuláru;
g - gravitační zrychlení; — tíhové zrychlení;
h - výška hvězdy nad obzorem; — výška nad povrchem Země; — Planckova.
konstanta;
i - sklon dráhy;
Jt - aberační konstanta; — refrakční konstanta; — poměr intenzit; — Boltzmanno-va konstanta;
I - délka; — galaktická délka;
m - hmotnost; — zdanlivá hvězdná velikost;
mboi - bolo metrická hvězdná velikost;
Wpe - fotoelektrická hvězdná velikost;
mve - fotografická hvězdná velikost;
í«pT - fotovizuální hvězdná velikost;
^rad " radiometrická hvězdná velikost;
mv - vizuální hvězdná velikost;
n - střední denní pohyb;
p - rovníková paralaxa;
r - vzdálenost; —- průvodič;
t - čas; — hodinový úhel; — teplota v Celsiově stupnici;
v - rychlost; — pravá anomálie;
z - zenitová vzdálenost;
AU - astronomická jednotka;
cal - kalorie;
p c - parsek
kpc - kiloparsek;
min - minuta;
nrn - nanometr
rad - radián;
sv. r. - světelný rok;
d - den;
h - hodina;
m - metr;
s - sekunda:
A - afélium;
ľ - zvětšení dalekohledu;
A - úhlová vzdálenost;
f) - hvězdný čas; — úhel, který svírá prostorová rychlost hvězdy se směrem zorného
paprsku;
<9M - místní hvězdný čas;
II - perihélium;
W - poziční úhel směru vlastního pohybu; — rozlišovací schopnost dalekohledu;
Q - délka výstupného uzlu u planet; — poziční úhel výstupného uzlu u dvojhvězd;
* - rektascenze; — maximální elongacc; — úhlový průměr hvězdokupy;
fS - astronomická šířka;
ô - deklinace;
5 - střední chyba;
8
e - lineární excentricita; — sklon ekliptiky;
x - gravitační konstanta;
2. - astronomická délka; — vlnová délka;
H - vlastní pohyb hvězdy;
tc - Ludolfovo číslo;
n - roční paralaxa hvězd;
o - hustota;
a - Stefanova konstanta;
t - časová rovnice;
ip - zemepisná šířka;
m - argument šířky perihélia u planet; — délka periastra u dvojhvězd; — úhlová
rychlost;
tyt - hmotnost hvězdy;
O - Slunce.
9
KAPITOLA 1.
SFÉRICKÁ ASTRONOMIE
V této kapitole nejdříve probíráme základní veličiny a jednotky pro délku, hmotnost a čas. V astronomii se jako délkové jednotky používají astronomická jednotka (jejíž ekvivalentní veličinou je rovníková paralaxa Slunce pQ), světelný rok a parsek, který souvisí s roční paralaxou n hvězdy. Jednotky hmotnosti jsou hmotnost Země a hmotnost Slunce 9JřQ, používaná zejména ve stelární astronomii. Časové jednotky jsou určeny jednak časem rotačním (hvězdným a slunečním), jednak časem efemeridovým. Rotační čas je nerovnoměrný, protože ani rotace Země není pravidelná. Efemeridový čas je ideálně rovnoměrný, ale pro praktické použití obtížně dostupný.
Další část je věnována astronomickým souřadnicím, z nichž probíráme souřadnice obzorníkové, první a druhé rovníkové, ekliptikální a galaktické (starý i nový systém galaktických souřadnic). K transformaci souřadnic uvádíme vzorce a v případě galaktických souřadnic nomogram pro transformaci rovníkových souřadnic na starý systém galaktických souřadnic. K převodu na nový systém uvádíme převodní tabulky.
V závěru kapitoly je věnována pozornost faktorům, které mají vliv na polohu těles na sféře (tj. refrakce, denní a roční aberace), a faktorům, které působí změnu souřadnicových soustav (tj. precese a nutace). Na konci kapitoly je jako doplněk připojen návod k přibližnému určování středního slunečního času podle hvězd.
101 DÉLKA Z metr [m]
je mírou vzdálenosti hmotných objektů a jejich rozměrů; metr je délka rovnající se 1 650 763,73 násobku vlnové délky záření šířícího se ve vakuu, které přísluší přechodu mezi energetickými hladinami 2pJ0 a 5d5 atomu kryptonu 86.
102 astronomická jednotka AU*) 149,6 . 10« km
*) Doposud sc v literatuře vyskytuje starší značka astronomicko jednotky a. j.
U
je střední vzdálenost Země od Shmce; používá se zejména ve sluneční soustavě a v soustavách dvojhvězd. Světelný paprsek urazí vzdálenost 1 AU za 499 s =8,3 min.
Určení délky 1 AU je ekvivalentní stanovení tzv. rovníkové paralaxy Slunce p0, což je úhel, pod nímž bychom viděli rovníkový poloměr Země ve střední vzdálenosti Země od Slunce, kolmo k zornému paprsku.
Obecně je rovníková paralaxa p dána vztahem
B7
P
[ľad].
kde r je vzdálenost tělesa od Země, nebo v obloukových vteřinách
p = 206 264,8"
R7
kde r = 1 AU [km] a 7?z je rovníkový poloměr Země [km].
Nejstarší určení délky 1 AU pochází od Aristarcha (r. 300 př. n. 1.), který měřil úhel £ v okamžiku první nebo poslední čtvrti Měsíce (obr. 1). V pravoúhlém trojúhelníku ZMS položíme ZM = 1, změříme £ a odtud vypočteme délku přepony r = ZS = sec |. Aristarchův výsledek byl však zatížen velkou chybou. V novější době se používalo nepřímých metod (měření vzdáleností planetek) a nejnověji se užívá metody radioastronomické. Některá určení paralaxy Slunce jsou shrnuta v tab. 1 a graficky znázorněna na obr. 2. Standardní hodnota z r.
AU [km] -j- P0[']
1896: pQ = 8,800".
149750000-
700 000-
650000-
600000-
Obr. 1. Aristarchova metoda určení délky astronomické jednotky (po je rovníková paralaxa Slunce)
Obr. 2. Vztah mezi astronomickou jednotkou a pa-ralaxou (viz tah. 1)
550000-
500 000-~6'800
450000 149 400 000-
-8,785
■8,790
-8,795
-8,805
12
TABULKA 1
Některá určení paralaxy Slunce
Čís. Autor nebo pracoviště Metoda (rok pozorování) Rok publikování PO ■
1. Gill planetky Victoria, Sapho a Iris (1888/89) 1890 8,802" iL 0,005"
2. Hinks planetka Bros (1901) 1901 8,806 ± 0,003
3. Note boom poruchy v pohybu Erose (1901) 1921 8,799 ::■ 0,001
4. Spencer Jones pozorování Erose (1900/01) 1942 8,790 ± 0,001
5. Rabe rušení pohybu Erose Zemí 1950 8,7984 rr: 0,0004
6. Lincoln Laboratory, USA radiolokace Venuše, / = 440 MHz 1959 8,8022 ± 0,0001
7. Jodrell Bank, Anglie radiolokace Venuše, / = 408 MHz 1959 8,8020 ± 0,0005
8. Akademie věd SSSR radiolokace Venuše, / = 700 MHz 1961 8,8026 ± 0,0003
9. Jodrell Bank, Anglie radiolokace Venuše, / = 408 MHz 1961 8,7943 ± 0,0003
10. Lincoln Laboratory, USA radiolokace Venuše. / = 440 MHz 1961 8,79450 ± 0.00008
11. Lincoln Laboratory, USA radiolokace Venuše 1961 8,79449 ± 0,00002
Podle nejnovějších radarových měření plyne pro vzdálenost 1 AU = = (149 597 850 ± 400) km, což odpovídá paralaxe Slunce p0 = 8,79449" ± ± 0,00002" (tj. 4,263 . 10~5 rad).
103 světelný rok sv. r.*) 9,46 . 1012 km
je starší jednotka používaná ve stelární astronomii; je to vzdálenost, kterou urazí světlo ve vakuu za 1 tropický rok. Rychlost šíření světla c = (299 793,0 i ±0,3) km s-1.
1 sv. r. = 63 290 AU = 9,5 . 1015 m.
Světelný rok se dosud používá v populární literatuře.
*) V anglicky psané literaturo se užívá zkratka 1. y. (light year).
13
104 parsek
pc
3,08 . 1013km
Proxima Centauri
je jednotka používaná ve stelární astronomii. Ze vzdálenosti 1 pc bychom
viděli poloměr zemské dráhy pod úhlem 1 obloukové vteřiny (obr. 3). To znamená, že těleso ve vzdálenosti 1 pc má roční paralaxu n = 1".
Roční paralaxa n hvězdy je malý úhel v trojííhelníku, ve kterém tvoří přeponu vzdálenost r hvězdy od Slunce a malou odvěsnu střední vzdálenost Země od Slunce; platí
71
H9596100 km Obr. 3. K definici parseku
1 1
r ' ti
1 pc = 3,259 sv. r. = 206 265 AU = = 3,08 . 1016 m.
Běžně používané násobky parseku jsou:
1 kpc (kiloparsek) = 103 pc, 1 Mpc (megaparsek) = 106 pc, 1 Gpc (gigaparsek) = 109 pc.
Převodní vztahy mezi astronomickou jednotkou, světelným rokem a parsekem jsou v tab. 2.
TABULKA 2
Převod délkových jednotek používaných v astronomii
Název j Zkratka kilometr astronomická jednotka světelný rok parsek kiloparsek megaparsek
kilometr km 1 6,69.10-« 1,06. 10-13 3,24.10-" 3,24.10-" 3,24.10-20
astrono-
mická
jednotka AU 1,49.10» 1 1,58.10-6 4,85. 10-« 4,85.10-9 4,85.10-12
světelný rok sv. r. 9,46.10" 6,33.104 1 3,07.10-1 3,07.10-4 3,07.10-'
parsek pc 3,08.1013 2,06.105 3,26 1 io-3 10-"
kilo-
parsek kpc 3,08.10" 2,06.108 3,26.103 103 1 10-3
megaparsek Mpc 3,08.10" 2,06.10" 3,26.106 10« 103 1
14
K rychlému přepočítání světelných roků na parseky a naopak nám poslouží tah. 3 a tab. 4.
TABULKA 3
Převod světelných roků [sv. r.] na parseky [pc]
[sv. r.] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 [sv. r.]
00 0,00 0,31 0,61 0,92 1,23 1,53 1,84 2,14 2,45 2,76 [pc]
10 3,06 3,27 3,68 3,98 4,29 4,60 4,90 5,21 5,52 5,82
20 6,13 6,43 6,74 7,05 7,35 7,66 7,97 8,27 8,58 8,89
30 9,19 9,50 9,81 10,11 10,42 10,72 11,03 11,34 11,64 11,95
40 12,26 12,56 12,87 13,18 13,48 13,79 14,10 15,71 15,71 15,01
50 15,32 15,63 15,93 16,24 16,55 16,85 17,16 17,47 17,77 18,08
60 18,39 18,69 19,00 19,30 19,61 19,92 20,22 20,53 20,84 21,14
70 21,45 21,76 22,06 22,37 22,68 22,98 23,29 23,59 23,90 24,21
80 24,51 24,82 25,13 25,43 25,74 26,05 26,35 26,66 26,97 27,27
90 27,28 27,88 28,19 28,50 28,80 29,11 29,42 29,72 30,03 30,34
TABULKA 4
Převod parseků [pc] na světelné roky [sv. r.]
[PC] 0 1 2 3 5 6 7 8 1 9 [pc]
00 0,00 3,26 6,53 9,79 13,05 16,32 19,58 22,84 26,11 29,37 [sv.
10 32,63 35,90 39,16 42,43 49,69 48,95 52,22 55,48 58,74 62,01 r.]
20 65,27 68,53 71,80 75,06 78,32 81,59 84,85 88,11 91,38 94,64
30 97,90 101,2 104,4 107,7 111,0 114,2 117,5 120,7 124,0 127,3
40 130,5 133,8 137,1 140,3 143,6 146,9 150,1 153,4 156,6 159,9
50 163,2 166,7 169,7 173,0 176,2 179,5 182,8 186,0 189,3 192,6
60 195,8 199,1 202,3 205,6 208,9 212,1 215,4 218,6 221,9 225,2
70 228,4 231,7 235,0 238,2 241,5 244,8 248,0 251,3 254,6 257,8
80 261,1 264,3 267,6 270,9 274,1 277,4 280,7 283,9 287,2 290,4
90 293,7 297,0 300,2 303,5 306,8 310,0 313,3 316,6 319,8 323,1
Vztahy mezi roční paralaxou tc a vzdáleností r hvězdy ve světelných rocích, příp. v parsekách, udávají tab. 5 a tab. 6.
15
TABU LKA 5
Paralaxa ji a vzdálenost r ve světelných rocích
71 r 71 r ' 71 r 71 r 7T r
0,001" 3263 0,021" 155,4 0,041" 79,60 0,061" 53,49 0,081" 40,30
002 1632 022 148,3 042 77,70 062 52,64 082 39,81
003 1088 023 141.9 043 75,91 063 51,79 083 39,32
004 815,9 024 136,0 044 74,18 064 51,01 084 38,84
005 652,7 025 130,5 045 72,51 065 50,19 085 38,38
0,006 544.0 0,026 125,5 0,046 70,95 0,066 49,44 0,086 37.95
007 466,4 027 120,9 047 69,45 067 48,72 087 37,50
008 407,9 028 116,5 048 67,98 068 48,01 088 37,07
009 362,6 029 112,5 049 66,61 069 47,29 089 36,68
010 326,4 030 108,8 050 65,27 070 46,64 090 36,26
0,011 296,7 0,031 105,3 0,051 64,00 0,071 45,95 0,091 35,87
012 271,9 032 102,0 052 62,76 072 45,33 092 35,47
013 251,0 033 98,88 053 61,58 073 44,71 093 35,08
014 233,1 034 95,98 054 60,44 074 44,09 094 34,72
015 217,6 035 93,24 055 59,33 075 43,50 095 34,36
0,016 204,0 0,036 90,66 0,056 58,29 0,076 42,95 0,096 34,01
017 192,0 037 88,21 057 57,24 077 42,39 097 33,65
018 181,3 038 85,89 058 56,26 078 41,84 098 33,29
019 171,8 039 83,68 059 55,32 079 41,32 099 32.96
020 163,2 040 81,59 060 54,24 080 40,79 100 32,63
TABULKA 6
Paralaxa n" a vzdálenost r v parsekách
71 r 71 r n r n r 71 r
0,001" 1000 0,021" 47,62 0,041" 24,39 0,061" 16,39 0,081" 12,35
002 500,0 022 45,45 042 23,81 062 16,13 082 12,20
003 333,3 023 43,48 043 23,26 063 15,87 083 12,05
004 250,0 024 41,67 044 22,73 064 15,63 084 11,90
005 200,0 025 40,00 045 22,22 065 15,38 085 11,76
0,006 166,7 0,026 38,46 0,046 21,74 0,066 15,15 0,086 11,63
007 142,9 027 37,04 047 21,28 067 14,93 087 11,49
008 125,0 028 35,71 048 20,83 068 14,71 088 11,36
009 111,1 029 34,48 049 20,41 069 14,49 089 11,24
010 100,0 030 33,33 050 20,00 070 14,29 090 11,11
0,011 90,91 0,031 32,26 0,051 19,61 0,071 14,08 0,091 10,99
012 83,33 032 31,25 052 19,23 072 13,89 092 10,87
013 76,92 033 30,30 053 18,87 073 13,70 093 10,75
014 71,43 034 29,41 054 18,52 074 13,51 094 10,64
015 66,67 035 28,57 055 18,18 075 13,33 095 10,53
0,016 62,50 0,036 27,78 0,056 17,86 0,076 13,16 0,096 10,42
017 58,82 037 27,03 057 17,54 077 12,99 097 10,31
018 55,56 038 26,32 058 17,24 078 12,82 098 10,20
019 52,63 039 25,64 059 16,95 079 12,66 099 10,10
020 50,00 040 25,00 060 16,61 080 12,50 100 10,00
1«
Poznámka: Všechny hvězdy mají roční paralaxu ti < 1"; nej bližší hvězda Proxima Centauri má paralaxu ti — 0,762" ±0,005", což odpovídá vzdálenosti r = 1,3 pc. Na obr. 4 jsou znázorněny roční paralaxy dvou hvězd H1 a H2 v projekci na sféru.
Obr. 4. Projevy roční paralaxy hvězd
111 HMOTNOST M kilogram [kg]
určuje setrvačné a tíhové vlastnosti hmotných objektů; kilogram je hmotnost mezinárodního prototypu kilogramu, který je uložen u Mezinárodního úřadu pro váhy a míry v Sěvres.
112 hmotnost Země Mz 5,98 . 1024kg
používá se ve sluneční soustavě. Hmotnost všech planet je 447,9 Mz, hmotnost všech měsíců planet 0,12 Mz, všech dosud známých planetek 0,0003 Mz a hmotnost meteorické látky 5 . 10—10 My. Celková hmotnost planetární soustavy (mimo Slunce) je 448,0 Mz.
113 hmotnost Slunce 3RQ 1,987. 1030 kg
je základní jednotka hmotnosti používaná ve hvězdné astronomii (3JÍQ = = 333 100 Mz). Hmotnost hvězd určujeme dvěma způsoby: a) z gravitačních účinků na jiné těleso; b) z gravitačních účinků na fotony (gravitační posuv).
Hmotnosti hvězd se navzájem příliš neliší: velká většina hmotností hvězd je v intervalu od 0,4 do 4 3ft0; známe však hvězdy, jejichž hmotnosti jsou 0,008 mo až 400 mQ.
V záhlaví uvedená hmotnost Slunce platí pro standardní hodnotu paralaxy Slunce pQ = 8,800". S ohledem na výsledky radioastronomických měření bude třeba změnit hodnotu sluneční paralaxy na pQ = 8,794" (viz 102), což povede k nové hodnotě hmotnosti Slunce
WtQ = 1,991 . 1030 kg.
Tato úprava je předmětem jednání Mezinárodní astronomické unie.
121 ČAS T sekunda [s]
? SMklady astronomie
17
je mírou trvání dějů; sekunda je 31 556 925, 9747 díl tropického roku 1900, leden 0 ve 12 hodin efemeridového času. Ve fyzice se sekunda definuje jako doba trvání 9 192 631 770 period záření, které odpovídá přechodu mezi dvěma hladinami velmi jemné struktury základního stavu atomu cézia 133.
122 hvězdný čas
0
[8]
je určen hodinovým úhlem jarního bodu T. Jedna hvězdná sekunda je 86 400. díl hvězdného dne, přičemž 1 hv. s. — 0,997 269 566 s středního slunečního času.
Pravý hvězdný čas je hodinový úhel okamžitého (skutečného) jarního bodu. Střední hvězdný čas je hodinový iihel středního jarního bodu, který nepodléhá nutaci.
Rozdíl mezi pravým hvězdným časem a středním hvězdným časem se nazývá rovnice ekvinolccií.
Mezi hvězdným časem &, rektascenzí hvězdy a (viz 134) a jejím hodinovým úhlem t (viz 133) platí vztah
9 = 0L + t.
123 sluneční čas
[B]
je určován otáčením Země vzhledem ke Slunci.
Pravý sluneční čas (tempus solare verum Tv) je dán hodinovým úhlem skutečného Slunce. Zdánlivý pohyb Slunce na obloze je nerovnoměrný, proto i pravý sluneční čas plyne nerovnoměrně.
Střední sluneční čas (tempus solare medium TM) je dán polohou (hodinovým úhlem) myšleného druhého středního Slunce, které se pohybuje rovnoměrně
po světovém rovníku. V občan -T[min] ském životě používáme střední
sluneční čas, jehož sekunda je definována jako 86 400. část středního slunečního dne.
Rozdíl mezi pravým slunečním časem a středním slunečním časem se nazývá časová rovnice r (lépe: oasová korekce)
-15 -JO -5 0 + 5 +10 >415
......
.iÉlIII SF Á
JjjjÉr
-—i—i—i -1-1- --y—i-1 -1----
// /// IV V VI VII VIII IX X XI XII Obr. 5. Průběh časové rovnice z
Největší záporné hodnoty dosahuje časová rovnice (obr. 5) dne 12. února (—14 min 25 s), nulová
18
jo 15. dubna, kdy se střední sluneční čas shoduje s pravým slunečním časem. Dne 16. května dosahuje hodnoty +3 min 47 s; 14. června znovu klesá na nulu a 25. července se skutečné Slunce opožďuje o —6 min 20 s. Dne 1. září je rozdíl znovu nulový a 3. listopadu vzroste rozdíl na -flfi min 22 s; dne 25. prosince se opět časy vyrovnají. Přehled časových jednotek je v tab. 7.
T A B U L K A 7 Časové jednotky: den, měsíc a rok
Název Trvání Poznámka
den siderický středTií sluneční 23h56min04,098 92s 24 03 50,555 (hv. času) rotace Země vzhledem k hvězdám přibližně o 4 min delší než siderický
o x >v siderický synodický tropický anomalistický drakonický 27(J07h43minii,53 = 27,32 1 601«» 29 12 44 02,8 = 29,530 588 27 07 43 04,7 = 27,321 581 27 13 18 33,7 = 27,554 550 27 05 05 35,8 = 27,212 220 doba oběhu Měsíce kolem Země vzhledem k hvězdám střídání fází Měsíce (od novu) od jarního bodu od průchodu perigeem od průchodu výstupným uzlem
siderický tropický anomalistický gregoriánskeho kalendáre občanský 365d06H09mto09,54s = 365,250 366 d. 365 05 48 45,71 — 365,242 199 365 06 13 53,2 = 365,259 641 365,242 5,
jestliže hvězda vrcholí mezi zenitem a světovým pólem (obr. 10a); a
zo = 9 —
jestliže vrcholí mezi zenitem a světovým rovníkem (obr. 10b). Při dolní kulminaci je zenitová vzdálenost (obr. 10c)
Zx = 180° — [ b1 — —1,4°. Galaktické délky sc nyní počítají ve směru zvětšující se rektascenze od středu Galaxie.
Mezinárodní astronomická unie doporučuje používat jen nového systému galaktických souřadnic a souřadnice označovat l a b.
Iv převodu starých galaktických souřadnic na nový systém galaktických souřadnic slouží tab. 8 a tab. 9.
141 refrakce
R
["]
v H'
zenit
je lom světelného paprsku v ovzduší Země; způsobuje rozdíl mezi zdánlivou z (pozorovanou) a skutečnou z (geometrickou) výškou hvězdy (obr. 14). Rozdíl obou úhlů z — z' = B se nazývá refrakční úhel nebo pouze refrakce:
Obr. 14. Refrakce (z--z') R = k tg z,
kde k je tzv. refrakční konstanta. Její hodnota závisí na barometrickom tlaku b a teploto t; pro b = 760 torr a t = 0 °C je k = 60,2". Obecně pro re frakci platí
b 273
Ä = 60'2W-27TTTtgz'
Tento vztah lze použít do zenitové vzdálenosti 70°. U obzoru je refrakce kolem 35'.
26
TABULKA 8
Korekce l11 — (/-T + 33,1") pro převod galaktických délek ze staré soustavy na novou soustavu galaktických souřadnic
11 0° 15" 30° 45a 60° 75° 90° 105" 120" 135 150° 165° 180=
61 -1 85= 4-5" 1 1° i 14° -1 16° -1 17° + 17 = +15° + 13" + 1P !-7u + 4" i-l° + 3" — 85"
4 75 + 1,3 + 2,8 -4,0 4,9 + o,4 + 4,6 1-5,3 - 4,6 -1 3,8 + 2,8 1 1,5 + 0,2 - 1,0 —75
+ 00 1 0,6 + 1,2 f 1,8 4 1,8 + 2,2 + 2,2 + 2,1 t2,0 ~ 1,8 + 1,3 + 0,7 -1 0,1 —0.5 —60
40 + 0,3 1 0,6 4 0,9 + 1,1 -1 l'í + 1,4 + 1,3 + 1,3 + 1,0 + 0.7 + 0,5 + 0,1 —0,3 — 40
+ 20 - 0,1 + 0,2 + 0.4 1 0,5 + 0,7 + 0,6 + 0,5 + 0,4 + 0,4 + 0,8 1 0,2 0,0 - 0,1 —20
0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0
- 20 —0,1 0.3 —0,4 —0,5 0,6 —0,7 0,5 —0,4 —0,3 —0,3 —0,1 0,0 + 0,1 + 20
—40 0.3 —0,6 —0,8 —1,0 - -1,3 -1,5 —1,2 —1,0 —0,9 —0,7 - 0,4 —0,1 + 0,3 + 40
- no —0,5 - -1,1 —1,7 —2,1 —2,4 —2,5 —2,6 —2,3 2,0 -1,4 —0,8 —0,1 -f 0,6 1-60
—75 —1,1 — 2,3 -3.5 -4,5 —5,1 -5,3 - 5,6 —5,1 4,4 —3,3 —2,0 —0,2 + 1,4 + 75
—85 —3° —(i" — 10° —12° — 14' 16° —17° —17° — 15" — 12" —7 —r + 5" + 85 bi
180 195° 210 225° 240 255° 270 285-' 300° 315" 330° 345" 360° U
TABULKA 9
Korekce l»H—bl pro převod galakt ických šířek ve staré soustavě na novou soustavu galaktických souřadnic
li 0" 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80° 90° 100° 110° 120° 130° 140° 150° 160° 170° 180° n
61 +85' + 1,4° + 1,3° + 1.2° + 1,0° + 0,8° + 0,5° + 0,2° + 0,0° —0,3° —0.5° —0,7° —0,9° -1,1° —1,2° —1,3° —1,4° —1,5° —1,5° —1,5° —85°&I
+ 75 1-1,4 1.3 1.2 1,1 0,9 0,6 0.4 0,1 —0,2 —0,4 —0,6 —0,8 —1.0 —1,2 —1,3 —1,4 —1,5 — 1.5 —1,5 —75
+ 60 + 1,5 1,3 1,2 1.1 0,9 0,7 0,4 0,2 —0,1 —0,4 —O.G —0,8 —1,0 —1,2 —1.2 —1,4 —1,5 —1,5 —1,5 —60
+ 40 + 1,5 1.4 1.3 1,1 0,9 0,7 0,4 0,2 0,(1 —0,3 —0,6 -0,8 —1,0 —1,2 —1,3 —1,4 — 1,5 —1,5 — 1,5 —40
+ 20 + 1,5 1,4 1,3 1.1 0,9 0,7 0,4 0,2 0,0 —0,3 —0,5 —0,8 —1,0 —1,2 —1,3 —1,4 —1,5 —1,5 — 1,5 —20
0 + 1,5 1,4 1,3 1,1 0.9 0,7 0,4 0,2 0,0 — 0,3 —0,5 —0.8 —1,0 —1,2 —1,3 —1,4 —1,5 —1,5 —1,5 0
—20 + 1,5 1.4 1,3 1.1 0,9 0.7 0,4 0,2 0,0 —0,3 —0,5 —0,8 — 1,0 —1,2 —1,3 — 1,4 —1,5 —1,5 —1,6 + 20
—áO + 1,5 1.4 1.3 1,1 0,9 0,7 0.4 0,2 0,0 —0,3 —0,5 —0,8 —1,0 —1,2 —1,3 — 1,4 —1,5 —1,5 —1,5 + 40
—60 + 1,5 1,4 1.3 1,1 0,9 0.7 0.5 0,2 0,0 —0,3 —0,5 —0,8 —1,0 — 1,2 —1,3 —1.4 —1,5 —1,5 —1,5 + 60
_ 7 5 + 1,5 1,4 1,3 1 i 1,0 0,8 0,5 0,3 0,0 —0.2 —0,5 —0,8 —1,0 —1,2 —1,3 —1.4 —1,5 —1,5 —1,4 + 75
+ 1,5 1.4 1,3 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 —0,1 —0,3 —0,6 —0,8 —1,1 — 1,3 —1,4 — 1,5 — 1,5 —1,4 + 85 61
V- 180° 190° 200° 210° 220° 230° 240° 250° 260° 270° 280° 290° 300° 310° 320° 330° 340° 350° 360° U
Bereme-li argument zdola a zprava, pak musíme změnit znaménko korekce v tabulce.
Refrakce má vliv na východ a západ těles na sféře. Nepřihlížíme-li k refrakci,, pak v okamžiku východu nebo západu tělesa je jeho výška nad obzorem rovna nule, a tedy sin h — 0, cos h — 1. Ze vztahů pro převod obzorníkových souřadnic na rovníkové souřadnice (viz 134) plyne pro hodinový úhel t v okamžiku východu nebo západu vzorec
cos t — — tg (p tg 6.
Protože tato rovnice má dvě řešeni (+£, —t), bereme záporné znaménko pro východ tělesa a kladné znaménko pro jeho západ. Azimut A v okamžiku východu počítáme ze vztahu
sin ô
cos A =
cos
§
0h 3,ls 2,8 3,1* 3,ls 3,ls 3,ls 3,1^ 3,ls 3,1« 3,1» 3,1° 3.1a 3.1s + 20"
1 2,9 3,0 3,0 3,1 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3.7 4,0 -I 19
2 2,5 2,7 2,8 3,0 3,1 3,2 3,3 3,5 3,6 3,9 4,2 4.9 + 17
3 2,3 2,5 2,7 2,9 3,1 3,2 3,4 3,0 3,9 4,2 4,7 5,7 + 14
4 2,1 2,4 2,7 2,9 3,1 3,3 3,5 3,7 4,0 4,4 5,1 6,2 i 10
5 2,0 2,3 2,6 2,8 3,1 3,3 3,5 3,8 4,2 4,6 5,3 6,6 + 5
6 2,0 2,3 2,6 2,8 3,1 3,3 3,6 3,8 4,2 4,7 5,4 6,7 0
7 2,0 2,3 2,6 2,8 3.1 3,3 3,5 3,8 4,2 4,6 5,3 6,6 ■— 5
8 2,1 2,4 2,7 2,9 3,1 3,3 3,5 3,7 4,0 4,4 5,1 6,2 - 10
9 2,3 2,5 2,7 2,9 3,1 3,2 3,4 3,6 3,9 4,2 4,7 5,7 —14
10 2.5 2.7 2,8 3,0 3,1 3,2 3,3 3,5 3,6 3,9 4,2 4,9 17
11 2,8 2,9 3,0 3,0 3,1 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,7 4,0 — 19
12 3,1 3,1 3,1 3,1 3.1 3,1 3,1 3,1 3,1 3,1 3,1 3,1 —20
13 3,4 3,3 3,2 3,1 3,1 3,0 3,0 2,9 2,8 2,7 2,5 2.1 — 19
14 3,6 3,5 3,3 3,2 3,1 3,0 2,8 2,7 2,5 2,3 1,9 1,2 —17
15 3,9 3.6 3,4 3,2 3,1 2,9 2,7 2,5 2,3 2.0 L4 0,5 —14
16 4,0 3,7 3,5 3,3 3,1 2,9 2,7 2,4 2,1 1,7 LI 0,1 — 10
17 4,2 3.8 3,5 3,3 3,1 2,8 2,6 2,3 2,0 1,5 0,8 0.5 — 5
18 4,2 3,8 3,6 3,3 3,1 2,8 2,6 2,3 2,0 1,5 0,8 0,6 0
19 4,2 3,8 3,5 3,3 3,1 2,8 2,6 2,3 2,0 1,5 0,8 0,5 + 5
20 4,0 3,7 3,5 3,3 3,1 2,9 2,7 2,4 2,1 1,7 1,1 0,1 + 10
21 3,9 3,6 3,4 3,2 3,1 2,9 2,7 2,5 2,3 2,0 1,4 0,5 + 14
22 3,6 3,5 3,3 3,2 3,1 3,0 2,8 2,7 2,5 2,3 1,9 1,2 + 17
23 3,4 3,3 3,2 3,1 3,1 3,0 3,0 2,9 2,8 2,7 2,5 2,1 + 19
24 3,1 3,1 3,1 3,1 3,1 3,1 3,1 3,1 3,1 3,1 3,1 3,1 + 20
30
152 nutacc
je periodické kolísání zemské osy, překládající se přes precesní pohyb. Perioda nutace je N = 18,7 roku. Její hlavní příčinou jsou periodické změny gravitačních účinků Měsíce na rotující zemský elipsoid. Nutací se mění poloha jarního bodu a sklon ekliptiky ke světovému rovníku. Rovníkové souřadnice se mění obě, z ekliptikálních se mění pouze astronomická délka (ekliptika je sice pevná, ale počátek — jarní bod — mění svoji polohu); astronomická šířka se nutací nemění.
PRÍKLADY
1. Průměr Měsíce je 0,27 průměru Země. Určete rovníkovou paralaxu Slunce pro pozorovatele na Měsíci. Vzdálenost Měsíce od Země zanedbejte.
[Po = 2,38"]
2. Určete rovníkovou paralaxu Marsu, je-li tato planeta nejblíže Zemi (r = 0,378 AU).
[p = 23,3"]
3. Určete rovníkovou paralaxu Jupitera, je-li ve vzdálenosti 6 AU od Země. [p = 1,47"]
4. V opozici je vzdálenost Jupitera od Země r = 628 . 106 km; úhlový průměr Jupitera je 47,2". Určete rovníkovou paralaxu Jupitera a jeho skutečný průměr D.
[p = 2,1", D = 1,44 . 105 km]
5. Rovníková paralaxa Neptuna je 0,29". Určete jeho vzdálenost od Země. [r = 30 AU]
6. Rovníková paralaxa Měsíce je 57' 2.7"; úhlový poloměr 15' 32,6". Vypočtěte vzdálenost r Měsíce od Země a poloměr ižM Měsíce v jednotkách poloměru Země.
[r = 60,3 Ez; Ru - 0,272 Rz]
1. Rovníková paralaxa Slunce je 8,8", úhlový poloměr Slunce je 16'01". Určete poloměr Slunce v jednotkách poloměru Země.
[RQ = 109 Rz]
31
8. Pod jakým úhlem bychom viděli poloměr: a) zemské dráhy; b) Plutovy dráhy z nej bližší hvězdy (Proxima Centauri), jejíž roční paralaxa ti = 0,76"? Poloměr Plutovy dráhy je 39 AU.
[a) 0,76"; b)29,6"]
9. Jaká je roční paralaxa Síria (a CMa*)), který je ve vzdálenosti 8.67 světelných roků od Slunce?
[ti = 0,376"]
10. Roční paralaxa Barnardovy hvězdy n = 0,545". Určete její vzdálenost od Slunce v parsekách a ve světelných rocích.
[r = 1,83 pc = 5,97 sv. r.]
11. Roční paralaxa Procyona (« CMi) byla změřena n = 0,312" se střední chybou on = ±0,006". Určete vzdálenost hvězdy a její střední chybu. Jaká je relativní chyba v procentech?
[r = (3,20 ± 0,06) pc; relativní chyba 2 %]
12. Pod jakým úhlem bychom viděli poloměr Jupiterovy dráhy (R = 5,2 AU) z hvězdy, která je ve vzdálenosti 10 pc?
[0,52"]
13. Rektascenze hvězdy je a = 14h 30miu. Určete její hodinový úhel t v 21h 14mÍQ hvězdného času.
[t = 611 44»li»]
14. Hodinový úhel hvězdy t = 14h 22ffiia. Rektascenze « = 13h 2raín. Určete hvězdný čas v okamžiku pozorování.
[6>M = 3h 24mi"]
15. Určete hvězdný čas, je-li hodinový úhel hvězdy, jejíž rektascenze je ol = 21h 9mlQ 233, rovný t = 98° 11' 15", měřeno směrem východním?
[<9M = I4h 36min 383]
16. Rektascenze Vegy ol = 18h 34miu. Určete její hodinový úhel v okamžiku 1 horní kulminace jarního bodu.
[í = 5h 26min]
17. Rektascenze Capelly (a Aurigae) je 5h 10min, Vegy {a Lyrae) je 18h 34min. *) Viz tab. VII. Seznam souhvězdí a označování hvězd.
32
Určete hodinový úhel Capelly v okamžiku: a) horní kulminace Vegy; b) dolní kulminace Vegy.
[a) t = 13h 24raitl; b) t -= lh 24min]
18. Určete výšku h a azimut A hvězdy Thuban (« Draconis) pro místo se zeměpisnou šířkou
sin ô + sin (p cos ó cos t
cos A = -;--
cos h
zjistíme, že cos A je záporný. Protože sin A je kladný, je azimut ve druhém kvadrantu, a tedy A = 180° —58° 12' 30" - 121° 47' 30".]
19. V kolik hodin 21. června, tj. v době letního slunovratu, bude v Olomouci zenitová vzdálenost Slunce z = 53° 08'? Zeměpisná šířka Olomouce cp — = 49° 36'; deklinace Slunce 21. června ô = +23,5°.
[v 8h a v 16h]
20. Určete zenitovou vzdálenost a azimut Arctura (tx Boo) pro zeměpisnou šířku
= 55° 45' 20" byla v okamžiku horní kulminace určité hvězdy změřena její zenitová vzdálenost z' = 50° 00' 00". Teplota vzduchu t — 9 °C, tlak b = 766 torr. Určete deklinaci hvězdy s opravou na re frakci.
[d = 5°44'11"]
46. Změřená zenitová vzdálenost hvězdy /3 UMi byla při horní kulminaci z\ = 24° 02' 08", při dolní kulminaci z'.2 = 53° 51' 51". Barometrický tlak v okamžiku pozorování byl& = 750 torr, teplota vzduchu t = +20 °C. Určete zeměpisnou šířku q> pozorovacího místa a deklinaci hvězdy s ohledem na refrakci.
[cp = 51° 02' 10", ô = 75° 04' 43"]
47. Zenitová vzdálenost horního okraje Slunce byla změřena z' = 64° 55' 33" při tlaku 760 torr a teplotě 0 °C; zdánlivý poloměr Slunce je 15' 15". Určete skutečnou zenitovou vzdálenost středu Slunce.
[z = 65° 12' 57"]
36
48. Hvězda e Geminorum má souřadnice = 21h 45min. — V okamžiku západu ^4 = 139° 09', t = Sh 55min, 0 = = 15L 35min]
49. Vypočtěte hvězdný čas v okamžiku východu a západu hvězdy oc CMi, jejíž souřadnice jsou a = 7h 37min, ó — -ŕ5° 19'; zeměpisná šířka pozorovacího místa q? = 50°. Eefrakci zanedbejte!
[při východu 6>v = lh 12min, při západu 0Z = 14h 02miĽ]
50. Vypočtěte hodinový úhel a azimut bodů východu a západu hvězdy o souřadnicích a. — 10h 05min, ô — +12° 18' v místě se zeměpisnou šířkou 5g > přibližně o 3 548".
Protože za jeden rok se posune jarní bod o 50,25", bude tropický rok kratší než rok siderický o dobu
50 25"
z,ř = ¥Íi87==0'014dne;
délka tropického roku je tedy 365,256 — 0,014 = 365,242 dne.]
61. Ekliptikami souřadnice hvězdy byly v roce 1900 X = 359° 17' 44", /? = —17° 35' 37". Určete její souřadnice pro rok 1800, 1890 a 2000.
[A = 357° 53' 59"; 359° 09' 22"; 0° 41' 29"; £ se nemění]
62. V roce 1920 byly souřadnice určité hvězdy x = llh*). Tyto hvězdy jsou nejjasnějšími hvězdami v souhvězdí Ursae Maioris (UMa), jehož část — tvořená sedmi jasnými hvězdami — se lidově nazývá Velký vůz. Spojnice hvězdy to 31,3», rektascenze /S UMa je * = 10^ 5 9™« 40,8»; souřadnice Polárky (* UMi) jsou a = lh 58">h> 38,8» a ô = -^89= 05' 50" pro ekvinokcium 1960,0.
40
směřuje k hvězdě 90°, pak se těleso pohybuje zpětným (retrogradním) směrem, tj. ve směru zdánlivého pohybu oblohy. Tento případ nastává jen u komet.
215 délka výstupného uzlu
D
[°]
Dráha tělesa protíná ekliptiku ve dvou bodech: v uzlu výstupném SI, v němž vystupuje nad rovinu ekliptiky (do části oblohy, která obsahuje severní pól), a v uzlu sestupném 1$, v němž sestupuje pod rovinu ekliptiky. Spojnici výstupného a sestupného uzlu nazýváme uzlová přímka. Délku výstupného uzlu měříme od jarního bodu přímým směrem.
Sklon dráhy a délka výstupného uzlu určují polohu roviny dráhy v prostoru.
216 argument šířky perihelia to [°]
je úhel, který svírá uzlová přímka s přímkou apsid. Spojnici perihelia a aíelia nazýváme přímka apsid; je to hlavní osa elipsy.
Argument šířky perihelia udává orientaci dráhy v její rovině.
217 okamžik průchodu perihéliem T
Čas t, uplynulý od okamžiku průchodu planet}^ perihéliem, určuje polohu
tělesa na dráze.
218 doba oběžná P [rok], [den]
je čas, za který opíše průvodič planety úhel 360°; nazýváme ji siderická oběžná doba. Naproti tomu synodická oběžná doba (8) je doba mezi dvěma po sobě následujícími konjunkcemi nebo opozicemi planety (viz 222 a 223); je to tedy oběžná doba, jak se nám jeví ze Země.
Označíme-li P0 siderickou dobu oběžnou Země (P0 = 365 dní), pak Země
360'
opíše za 1 den úhel
Po
. Je-li P siderická oběžná doba vnitřní planety, pak
360°
průvodič této planety opíše za den úhel
P
. Rozdíl úhlů průvodičů planety
a Země vzroste za den o
360°
360°
P
46
Za synodickou oběžnou dobu S tento úhel vzroste na 360°. platí tedy
Pro vnitřní planety (Merkur a Venuši) tedy platí
1 1 1
* P 1\ • Pro vnější planety dostaneme podobnou ňvahou vztah
T 1 1
Střední hodnota excentricity drah velkých planet je malá, ě — 0,08. Excentricita drah planet se zvolna mění; u Merkura, Marsu, Jupitera a Neptuna roste, u Venuše, Země, Saturna a Urana se zmenšuje. Střední hodnota sklonu drah velkých planet vzhledem k rovině ekliptiky je i — 4°28'. Sklony drah planet se mění; v přítomné době některé rostou, jiné se zmenšují. Uzlová přímka velkých planet se vlivem poruch otáčí, a to u všech planet zpětným směrem. Přímka apsid se rovněž otáčí, a to v přímém směru, tj. ve směru pohybu planet.
U Měsíce se excentricita dráhy mění od 0,043 do 0,072 v periodě 8,85 roku. Sklon dráhy Měsíce se mění od 4°59' do 5°18' (střední hodnota je 5°9') v periodě 18,6 roku. Uzlová přímka se otáčí zpětným směrem; uzly měsíční dráhy se posunují po ekliptice o 19,3° za rok a celý oběh vykonají za 18,6 roku. Přímka apsid se otáčí přímým směrem (rychlostí 40,7° za rok), takže otočení o 360° vykoná za 8,85 roku. Elementy drah a fyzikální charakteristiky velkých planet jsou uvedeny v tab. 11.
TABULKA 11a Elementy drah planet
Planeta a [AU] e ,: j „ to ■Ptrok]
Merkur 0,3871 0,2056 7° 0' 47° 8' 75°54' 0,241
Venuše 0,7233 0,0068 3 24 75 47 130 9 0,615
Země 1,0000 0,0167 — — 101 13 1,000
Mars 1,5237 0,0933 1 51 48 47 334 13 1,881
Jupiter 5,2031 0,0483 1 19 99 27 12 43 11,862
Saturn 9,5190 0,0559 2 30 112 47 91 6 29,458
Uran 19,2123 0,0470 0 46 73 29 169 3 84,018
Neptun 30,1917 0,0087 1 47 130 41 43 50 167,78
Pluto 39,5160 0,2504 17 9 108 57 222 48 248,4
47
TABULKA IIb
Fyzikální charakteristiky planet
Planeta Rovníkový poloměr [km] [Země = 1] Hmotnost [Země =1] Hustota S [kg m-»] Gravi -tační zrychlení [m s~2] Úniková rychlost [km s-1] Doba rotace
Merkur 2 420 0,38 0,053 5 300 3,60 4,2 58,646'i
Venuše 6 200 0,97 0,815 4 950 8,50 10,3 242,982d
Země 6 378 1,00 1,000 5 520 9,82 11,2 23^5 6min 4S
Mars 3 400 0,53 0.107 3 950 3,76 5,0 24 37 23
Jupiter 71 400 11,20 318,00 1 330 26,00 61 9 50 30
Saturn 60 400 9,47 95.22 687 1 1,20 37 10 14
Uran 23 800 3,75 14,55 1 560 9,40 22 10 49
Neptun 22 300 3,50 17,23 2 270 15,00 25 15 40
Pluto 7 200 1,1? 0,9 4 000 8,00 10 6<ä8h24min
221 ASPEKTY
jsou význačné polohy planet vůči Zemi a Slunci (obr. 20).
222 konjunkce ď
opozice
U vnitřních planet rozeznáváme dolní konjunkci, je-li planeta mezi Zemí a Sluncem, a horní konjunkci, je-li Slunce mezi Zemí a planetou. Při dolní konjukci je planeta v „novu", při horní konjukci v „úplňku".
U vnějších planet může nastat jen horní konjunkce. Je-li planeta v konjunkci se Sluncem, pak vychází i zapadá současně se Sluncem; je na denní obloze, a není tudíž pozorovatelná.
Obr. 20. Aspekty planet
223 opozice §
nastává jen u vnějších planet; při opozici je planeta na spojnici Slunce a Země v bodě protilehlém Slunci. V době opozice planeta vychází při západu Slunce, kulminuje o půlnoci a zapadá při východu Slunce, takže je pozorovatelná po celou noc.
48
224 elongace
je úhlová vzdálenost vnitřních planet od Slunce. Při západní elongaci planeta vychází i zapadá před východem Slunce, při východní elongaci planeta vychází i zapadá po Slunci.
Elongace vnitřních planet dosahují jisté nej větší hodnoty, kterou nazýváme maximální elongace. U Merkura jsou v mezích od 16° (je-li Merkur v perihéliu) do 27° 56' (je-li Merkur v aféliu). Maximální elongace Venuše jsou v mezích od 45° 54' do 46° 44'.
225 kvadratura □
nastává u vnějších planet, je-li úhel planeta—Země—Slunce rovný 90°. U vnitřních planet nemůže kvadratura nastat. Při západní kvadratuře vychází planeta kolem půlnoci, kulminuje kolem 6U a zapadá kolem poledne, takže je pozorovatelná v časných ranních hodinách. Při východní kvadratuře vychází planeta kolem poledne, kulminuje kolem 18h a zapadá kolem půlnoci, takže je pozorovatelná v časných večerních hodinách.
231 ANOMÁLIE
je úhel, který se používá v teorii pohybu planet kolem Slunce (obr. 21). Rozlišujeme pravou, excentrickou,
a střední anomálii.
Obr. 21. Pravá v, excentrická E a střední M anomálie
232 pravá anomálie v [°]
je úhel, který svírá průvodič r planety s přímkou apsid, tj. s velkou poloosou: v = I7SB.
4 Základy astronomie
49
Pomocí pravé anomálie můžeme vyjádřit vzdálenost planety od Slunce
a (1 — e2) r —-.
1+6 cos V
233 excentrická anomálie E [°]
Mysleme si kružnici, jejíž střed O je totožný se středem elipsy a poloměr je rovný velké poloose. Kolmice spuštěná z bodu B na velkou poloosu protne tuto kružnici v bodě B'. Excentrická anomálie E je úhel, který svírá spojnice bodu B' a středu O elipsy s přímkou apsid: E = ÍIOB'.
Mezi pravou a excentrickou anomálií platí vztah
v ][ 1 + e E
tgT = |T^ľ7tgT-
Mezi průvodičem a excentrickou anomálií platí vztah
r = a (1 —• e cos E).
234 střední anomálie M [°]
Mysleme si planetu, která by se pohybovala kolem Slunce rovnoměrně po kruhové dráze o poloměru rovném velké poloose elipsy tak, že by procházela současně se skutečnou planetou perihéliem II. Tato planeta by se v čase t — T nacházela v bodě B". Střední anomálie je úhel, který svírá spojnice středu O a bodu B" s přímkou apsid (obr. 21): M — ^.IIOB". Střední anomálii lze vyjádřit vztahem
M = n{t — T),
kde n je střední denní pohyb, T je okamžik průchodu planety perihéliem a (t — T) je počet dní uplynulých od průchodu planety perihéliem. Vyjádříme-li oběžnou dobu P planety ve dnech, pak střední denní pohyb
360°
Střední denní pohyb n planet (ve stupních za den) je uveden v následující tabulce:
50
Planeta n
Merkur 4,092
Venuše 1,602
Země 0,983
Mars 0,524
Jupiter 0,063
Saturn 0,033
Uran 0,012
Neptun 0,006
Pluto 0,004
Mezi střední anomálií M, excentrickou anomálií E a číselnou výstředností e platí vztah
M = E — e sin E,
který se nazývá Keplerova rovnice.
Je-li excentricita dráhy malá, můžeme excentrickou anomálii E vypočítat metodou postupných aproximací; první hodnotu E0 vypočteme ze vztahu
E0 -- M + e sin M,
další ze vztahu
Ex = M + e sin E0,.......
Eu = M + e sin En_„;
tento postup opakujeme tak dlouho, až se hodnoty En a En_1 od sebe neliší více, než je požadovaná přesnost. Pro větší excentricity hledáme předběžnou hodnotu E pomocí nomogramu (obr. 22).
Na stupnici pro e vyhledáme excentricitu dráhy planety a spojíme přímkou s 0° na stupnici pro střední anomálii M. Na stupnici pro M si vyznačíme příslušnou střední anomálii a tímto bodem vedeme rovnoběžku s první přímkou; ta nám protne křivku v příslušné excentrické anomálii E.
Obr. 22. Nomogram pro řešení Keplerovy rovnice
51
241
GRAVITACE
242 gravitační síla F [newton N = m kg s 2]
znamená sílu, která působí na těleso v gravitačním poli jiných těles. V případě vzájemného působení dvou hmotných bodů o hmotnostech mx a m2, které jsou ve vzdálenosti r, je gravitační síla dána Newtonovým gravitačním zákonem
F = k —— ,
kde gravitační konstanta* = (6,670 ± 0,007) . 10_u m3 kg"1 s~2. Stejný vztah platí také pro dvě homogenní koule, přičemž r je vzdálenost středů obou koulí.
24.3 intenzita gravitačního pole E [N kg™1 = m s™2 J
vyjadřuje mohutnost a směr pole v daném místě. Je určena podílem gravitační síly, působící na těleso hmotnosti m v místě pozorování a hmotnosti tohoto tělesa.
F
E = — . m
Je-li gravitační pole vytvořeno bodem o hmotnosti M, pak
M
E=x-T.
Intenzita gravitačního pole je totožná s gravitačním zrychlením, které pole xiděluje v témž místě všem tělesům bez ohledu na jejich hmotnost.
244 potenciální energie Wp [J]
tělesa hmotnosti m, umístěného v gravitačním poli vytvořeném hmotností M, je
Mm
245 gravitační potenciál V [J kg 1 = m2 s 2]
je rovný podílu potenciální energie tělesa hmotnosti m a této hmotnosti:
52
v =
w,
m
M r
246 tíhové zrychlení
9
[m s -»]
znamená zrychlení volně padajícího tělesa ve vakuu, určené k zvolenému místu na povrchu planety.
Průměrná hodnota tíhového zrychlení na Zemi je
gx = 9,806 65 m s"2.
251 těžiště soustavy těles
je bod, v němž si myslíme soustředěnu hmotnost celé soustavy. Jsou-li hmotnosti jednotlivých těles mx, m2, ... mu, jejich souřadnice xx, yx, z1, ...
x2, yz, z2, ... xu, yn, zu, pak souřadnice těžiště vypočteme ze vzorců
P R I K L A D Y
72. Určete, v jakém poměru je největší rychlost planety Merkura (v perihéliu) k nejmen-ší rychlosti (v aíéliu). Excentricita dráhy Merkura e — 0,2.
[Řešení: V perihéliu a v aíéliu je rychlost kolmá na průvodič planety. (-značíme-Ji rx vzdálenost perihelia II od Slunce, r% vzdálenost afélia A (obr. 23), můžeme napsat zákon zachování momentu hybnosti ve tvaru
Obr. 23. K příkladu 72
r1mv1 — r2mv2.
Vzdálenosti rv r2 vyjádříme pomocí velké poloosy a a excentricity e:
rx = a(l — e), r2 = a (1 -f e). Po dosazení do předcházejícího vztahu dostaneme
a(l — e) mví = a{l + e) mv2
53
a odtud pro poměr rychlostí
vt 1 ie v2 1 — e
Číselně je tento poměr — = 1,5. |
73. Nej menší vzdálenost Halleyovy komety od Slunce je rt = 0,59 astronomické jednotky, největší vzdálenost r2 = 35,4 AU. V největší vzdálenosti komety od Slunce je její postupná rychlost v2 = 0,91 km s_1. Určete; a) Jaká je její rychlost v1 v nej menší vzdálenosti od Slunce, b) jaká je oběžná doba komety.
[a) i\ = 54,6 km s"1; b) P = 76,3 roku]
74. Najděte poměr postupných rychlostí i\ : v% Země a Venuše za předpokladu, že obě planety obíhají kolem Slunce po kruhových drahách o poloměrech rx = 150 . 10« km (Země) a r2 = 108 . 10« km (Venuše).
I;: i; H
75. Brooksova kometa se pohybuje po eliptické dráze, jejíž excentricita e = 0,5. Srovnejte její lineární a úhlovou rychlost v perihéliu a v aféliu.
[V perihéliu je lineární rychlost třikrát, úhlová rychlost devětkrát větší než v aféliu.]
76. Postupná rychlost komety Honda—Mrkos—Pajdušáková je v aféliu 1 Okřát menší než v perihéliu. Jaká je excentricita její dráhy?
[e = 0,82]
77. Určete velkou poloosu dráhy planetky, která obíhá kolem Slunce s dobou oběžnou P — 3 roky.
3 _
[o = I/9 = 2,08 AUj
78. Dokažte, že geometrický průměr největší postupné rychlosti planety na eliptické dráze s velkou poloosou a a nejmenší rychlosti na této dráze je roven rychlosti ve vedlejších vrcholech elipsy.
Ŕešení: Označme vt největší rychlost planety (v perihéliu), v2 nejmenš) rychlost (v aféliu), v rychlost planety ve vedlejších vrcholech elipsy (na malé ose), rx vzdálenost perihélia, r2 vzdálenost afélia od ohniska (obr. 24). Pro pohyb
54
planety platí zákon zachování momentu hybnosti:
mv,r
mv0r0
mvb mvb,
přičemž momenty hybnosti počítáme vzhledem k ohnisku. Rovnice vynásobíme navzájem a dělíme druhou mocninou hmotnosti:
VlV2rlr2 = v*b*.
Obr. 24. K příkladu 78
Dosadíme-li rx = a(l — e), r2 = a (1 -f e), b2 = a2 (1 ---e2), dostaneme
vxvz . a2 (1 + e) (1 — e) = v2a2(l — e2),
a odtud
v = yvjv,.]
79. Poloměr dráhy Neptuna je přibližně 30 AU. Určete jeho oběžnou dobu P. [P = 164 rokuj
80, Planetka Hermes*) se pohybuje kolem Slunce po dráze s velkou poloosou a = 1,29 AU, excentricitou e = 0,475. Určete: a) její oběžnou dobu, b) nej menší vzdálenost od Slunce, c) největší vzdálenost od Slunce, d) délku malé poloosy.
[Běsení:
a) Označme dobu oběžnou Země Pz, velkou poloosu její dráhy az. Podle 3. Keplerova zákona platí
«3
P2
Z
p2
a oučud
P=P, W-5- •
l)osadíme-li Pz = 1 rok, az = 1 AU, a = 1,29 AU, je číselně P = 1,46 roku,
*) Planetku Hermes objevil Reinmuth v r. 1937. Její zdánlivá hvězdná velikost kolísá od 8™ do 18™. Průměr planetky se odhaduje na 1 až 2 km. V r. 1937 se Hermes přiblížil k Zemi na vzdálenost 0,004 AU, tj. byl v menší vzdálenosti než Měsíc.
55
b) Podle obr. 25 je rmin = a — e. kde a je velká poloosa dráhy, s vzdálenost Slunce od středu elipsy (lineární výstřednost). Dosadí me-li e = a . e, je
'■mm = o(l — e),
číselně je rmln = 0,68 AU —planetka je v perihéliu blíže k Slunci než Země.
Obr. 25. K příkladu 80 c) Pro největší vzdálenost planetky od Slunce platí obdobně
rWKf = a + s = a{l + e),
číselně rmax = 1,90 AU.
V
d) Pro malou poloosu elipsy platí vztah b
lineární excentricita. Po dosazení b — a l/l = 1,14 AU.]
t2, kde £ — a . e je
e2 dostáváme číselně b =
81. Vzdálenost Pluta od Slunce je v perihéliu rovna ř-j — 29,65 AU, v aféliu r2 — 49,26 AU. Určete: a) oběžnou dobu P, b) excentricitu e Plutovy dráhy.
[a) P —-- 248 roků, b) e = 0,249 — největší ze všech planet sluneční soustavy!]
82. Velká poloosa Maršový dráhy a = 227,8 . 106 km, excentricita e = = 0,0934. Vypočtěte vzdálenost d Marsu od Země při opozici: a) je-li Mars v perihéliu (tzv. perihéliová opozice), b) je-li Mars v aféliu. Dráhu Země považujte za kruhovou, sklon Maršový dráhy zanedbejte. Poloměr dráhy Země r = 149.5 . 10« kra.
[a) dn b) dA
a(l
e)
r r
57,0 . 106 km, 99,6 . 106 km]
83. Jak dlouho by padala Země na Slunce, kdyby se náhle zastavila na své dráze ?
[Řešení: Budeme uvažovat, že dráha Země by se změnila ve velmi protáhlou elipsu, jejíž velká poloosa je rovna polovině původní vzdálenosti Země od Slunce; aféliu m je v bodě, v němž se postupný pohyb Země po dráze zastavil, peri-hélium splývá se Sluncem. Oznaôíme-li r poloměr dráhy Země, pak velká polo-
osa této elipsy bude a lerova zákona:
— . Oběžnou dobu po této elipse vypočteme z 3. Kep-
P2 : Pl = a3 : r3,
56
přičemž P0 je doba jednoho roku, tedy P0 — 365,2 dne. Dosadíme-li a — rj2, můžeme dobu P vyjádřit vztahem !
P-P P■ - — TS " 2 J/2 •
Země by však vykonala jen polovinu jednoho oběhu a pak by dopadla na
- w ' P Po
Slunce. Doba, za kterou bv Země dopadla na Slunce, je tedv t = — =--ít=- .
1 2 4J/2
Číselně í = 64,6 dne.]
84. Jak dlouho by Měsíc padal k Zemi, kdyby se náhle přerušil jeho pohyb? Oběžná doba Měsíce je 27,3 dne.
[4,8 dne]
85. Za jak dlouho by planeta Pluto dopadla na povrch Slunce, kdyby se náhle zastavila? Oběžná doba Pluta je 248 roků.
[44 roků]
86. Pomocí přesného znění 3. Keplerova zákona vypočtěte hmotnost Jupitera v jednotkách hmotnosti Slunce. Hmotnost Země zanedbejte. Oběžná doba Jupitera Px = 4 332,6 dne, oběžná doba Země P — 365,26 dne, velká poloosa Jupiterovy dráhy % = 5,2028 AU.
1 1
[m - 0,0009 WG = 1Q Wl0. Přesná hodnota je m = W-o ■ 1
87. O kolik by se prodloužila oběžná doba Jupitera, kdyby byla jeho hmot-
1
nost zanedbatelně malá? Hmotnost Jupitera je -y-—^- hmotnosti Slunce,
oběžná doba je 4 333 dní.
[Řešení: Označíme-li P1 skutečnou oběžnou dobu Jupitera, P2 oběžnou dobou
při zanedbatelné hmotnosti Jupitera a m hmotnost Jupitera, pak dosazením
do přesného znění 3. Keplerova zákona dostaneme
P\ Wl0 -r m
~ = 1.
Pi se
■o
přičemž předpokládáme, že velká poloosa Jupiterovy dráhy se nezmění. Do-
sadíme-li do tohoto vztahu m — - r - , dostávame pro oběžnou dobu P„
1 047 1 2
výraz
Pí Í1 +T0l7 =^Vl.0«)955
57
a po odmocnění
P2 = P1. 1,000 477. Prodloužení oběžné doby je tedy
P2 — P1 = Pt . 0,000 477 - 4 333 . 0,000 477 = 2,07. Oběžná doba Jupitera by se prodloužila o 2,07 dne.]
88. O kolik by se zvětšila oběžná doba Měsíce, kdyby byla jeho hmotnost
1
zanedbatelně malá vzhledem k hmotnosti Země? Hmotnost Měsíce je — -
J 81,3
hmotnosti Země, oběžná doba je 27,32 dne. [o 0,167 dne, tj. o 4 hodiny]
89. Druhý měsíc Jupiterův, Europa, obíhá kolem Jupitera ve vzdálenosti rx = 671,4 . 103 km a jeho oběžná doba je P1 = 3,551 dne. Vypočtěte, v jaké vzdálenosti r2 od Jupitera obíhá jeho čtvrtý měsíc, Kallisto, jehož oběžná doba je P2 = 16,69 dne.
[ra = 1,884 . 108 km]
90. Vypočtěte hmotnost Marsu v jednotkách hmotnosti Země z pohybu Maršová měsíce Deimose, který obíhá kolem Marsu ve vzdálenosti rx = 23,5 . 103 km a má oběžnou dobu P1 = 1,262 dne. Odpovídající hodnoty pro Měsíc jsou r2 = 384,4 . 103 km, P2 = 27,32 dne. Hmotnost Měsíce i Deimose zanedbejte.
[M = 0,107 Mz]
91. Šestý Jupiterův měsíc má oběžnou dobu 251 dní, jeho vzdálenost od středu Jupitera je 11,5 . 108 km. Vypočtěte hmotnost Jupitera v jednotkách hmotnosti Země, je-li vzdálenost Měsíce od Země 3,84 . 105 km, oběžná doba Měsíce 27,3 dne. Hmotnost Měsíce zanedbejte.
[M = 318 Mz]
92. Vypočtěte hmotnost Saturna v jednotkách hmotnosti Země pomocí pohybu jeho měsíce Hyperiona, jehož vzdálenost od Saturna je 1,48 . 10B km, oběžná doba je 21,3 dne. Vzdálenost Měsíce od Země je 3,84 . 105 km, oběžná doba je 27,3 dne.
[M = 94 Mz]
93. Vypočtěte vzdálenosti planet od Slunce podle Titiovy-Bodeovy rady ok = 0,4 + 0,3 . 2fc a srovnejte se skutečnými vzdálenostmi; hodnoty k pro jednotlivé planety jsou: Merkur —oo, Venuše 0, Země 1, Mars 2, Jupiter 4,
58
Saturn 5, Uran 6, Neptun 7, Pluto 8. Vzdálenosti planet od Slunce v AU jsou uvedeny v tab. 11.
94. 0 kolik stupňů za den Země předbíhá Mars na dráze kolem Slunce? Oběžná doba Země je 365 dní, Marsu 687 dní.
[o 0,46° za den]
95. Vypočtěte synodickou oběžnou dobu Marsu, je-li jeho siderická oběžná doba P = 687 dní.
[S = 779 dní]
96. Synodická oběžná doba planetky 8 = 3 roky. Jaká je její siderická oběžná doba?
[P = 1,5 roku]
97. Vypočtěte synodickou oběžnou dobu Venuše, jejíž siderická oběžná doba P = 225 dní.
[8 = 586 dní]
98. Vypočtěte střední denní pohyb Merkura po jeho dráze kolem Slunce, je-li jeho synodická oběžná doba 8 — 116 dní.
360°
[Siderická oběžná doba P = 88 dní, střední denní pohyb n = ——— = 4,1° za den.]
99. Jaká musí být oběžná doba planetky, aby se její siderická oběžná doba právě rovnala oběžné době synodické?
[P = 8 = 2 roky]
100. Jaká by byla synodická oběžná doba Saturna pro pozorovatele na Jupiteru? Siderická oběžná doba Jupitera Px = 11,86 roku, siderická oběžná doba Saturna P2 — 29,46 roku.
[S = 19,85 roku]
101. Víte-li, že délka síderického roku, za který Země opíše úhel 360° kolem Slunce, je 365,256 36 středních slunečních dní, a že se perihélium zemské dráhy posune každý rok o 0,0033° ve směru pohybu Země, vypočtěte délku anomalistického roku (tj. dobu mezi dvěma průchody Země perihéliem). Určete, za jakou dobu opíše přímka apsid úhel 360°.
[Anomalistický rok je o 0,003 35 dne delší než siderický rok, je tedy jeho délka 365,259 71 dne. Přímka apsid opíše úhel 360° za 109 000 let.]
59
102. Vzdálenost Merkura od Slunce je 0,387 ATJ. Vypočtěte, jaká je jeho-maximální elongace. Dráhu Merkura pokládejte za kruhovou.
[sin oc = 0,387; « = 23°]
103. Největší elongace Venuše je 46,5°. Vypočtěte poloměr dráhy Venuše, [r - sin 46,5° . 1 AU = 0,725 AU]
10-1. Vypočtěte největší xihlovou vzdálenost Země od Slunce, jaká by byla pro pozorovatele na Marsu. Vzdálenost Marsu od Slunce je 1,52 AU.
[« = 41°]
105. Určete, jaká je největší úhlová vzdálenost Měsíce od Země pro pozorovatele na Marsu v okamžiku, kdy je Mars ve střední opozici. Vzdálenost Marsu od Slunce je 1,52 AU, vzdálenost Měsíce od Země je 384 000 km.
[« = 17']
106. Vzdálenost Jupitera od Slunce je 5,20 AU. Jaká je největší elongace Země pro pozorovatele ná Jupiteru?
1
sin oL = ——- ; a = 11° 5,2
107. Vypočtěte vzdálenost Marsu od Země v době, kdy je Mars v kvadratuře. Vzdálenost Marsu od Slunce je 1,52 AU.
[d = 1,15 AU]
108. Vypočtěte vzdálenost d Jupitera od Marsu v okamžiku, kdy je Jupiter v opozici a Mars v kvadratuře. Vzdálenost Marsu od Slunce je 1,52 AU, vzdálenost Jupitera od Slunce je 5,20 AU.
[d == 4,35 AU]
109. Jaká by byla synodická oběžná doba planetky, která by měla side-rickou oběžnou dobu 370 dní? Jaká by byla vzdálenost planetky od Země při opozici? Dráhy pokládejte za kruhové; oběžná doba Země je 365 dní.
[8 = 74 roků; d = 0,009 12 AU - 1,36 . 10° km]
110. Pozorovatel zjistil, že určitá planetka je v opozici každých 665 dní. Jaká je její vzdálenost od Slunce?
[a = 1,7 AU]
111. Vypočtěte metodou postupných aproximací excentrickou anomálii planetky po uplynutí 22.5 dne od príichodu perihéliem. Excentricita dráhy planetky e = 0,029 47, střední denní pohyb n — 14,678'.
60
[Řešení: Vypočteme nejdříve střední anomálii:
M = nt = 14,678' . 22,5 = 330,25' = 5,504 2°.
První hodnotu excentrické anomálie E0 vypočteme dosazením do vztahu
E0 ■= M + e sin M:
výraz e sin M musíme ovšem převést z radiánu na stupně, proto jej násobíme hodnotou
360°
—— = 57.296. 2?t
Dosazením číselných hodnot dostáváme první hodnotu excentrické anomálie
E0 = 5,666 2° = 5° 40,0'. Další hodnotu excentrické anomálie vypočteme z rovnice
Ex = M + c sin E0,
čili
E} = 5,670 9° = 5° 40,2'.
Pomocí této hodnoty vypočteme znovu excentrickou anomálii
E2 = M + e sin = 5,671 0° = 5° 40,3'.
Opakujeme-li tento postup znovu, je další hodnota excentrické anomálie
Ea = 5,671 0° = 5° 40,3'.
Poslední dvě hodnoty se již od sebe neliší, je tedy excentrická anomálie planetky E = 5° 40,3'.]
112. Pomocí nomogramu (obr. 22) určete excentrickou anomálii E komety, jedi střední anomálie M = 214°, výstřednost dráhy e = 0,7.
[E = 200°]
113. Jaká je střední a excentrická anomálie Merkura za 22 dní po průchodu perihéliem? Excentricita Merkurovy dráhy e = 0,21, oběžná doba P = 88 dní.
[M = 90°; E = 101,5°]
114. Určete střední a excentrickou anomálii Pluta za 100 let po průchodu perihéliem. Oběžná doba Pluta P — 90 700 dní, excentricita dráhy e = 0,25.
[M = 145°; E = 152°]
115. Kometa se pohybuje po eliptické dráze, jejíž excentricita e = 0,66.
61
Oběžná doba komety P = 3 roky. Určete excentrickou a pravou anomálii za rok po průchodu perihéliem.
[Řešení' Určíme střední anomálii M = 360 — = 120°. Pomocí nomogramu (obr. 22) odečteme excentrickou anomálii E — 143°. Dosazením do vzorce
tg — = 8 2
1 + e E
tg-v
1 — e ° 2
v
dostaneme — = 81,5°, a tedy pravá anomálie v — 163°.]
116. Kometa se pohybuje po eliptické dráze, jejíž velká poloosa a = 4 AU, excentricita e = 0,66. Určete pravou anomálii v a vzdálenost r komety od Slunce za rok po průchodu komety perihéliem.
[Řešení: Z 3. Keplerova zákona vypočteme oběžnou dobu P — 8 roků. Střední anomálie M — 45°, excentrická anomálie E = 83° (odečtená z nomogramu, obr. 22). Pomocí E a e vypočteme pravou anomálii v = 126°. Dosazením do vztahu
o(l — e2)
r = -r—- ,
1 -f- e cos v
případně do rovnice
r = a(l — e cos E), vypočteme vzdálenost komety od Slunce; r = 3,7 AU j
117. Vypočtěte gravitační konstantu x v soustavě jednotek SI, je-li hustota Země qz = 5 500 kg m-3, zemský poloměr Rz = 6,38 . 106 m a gravitační zrychlení na povrchu Země g = 9,81 m s-2.
r % i
1 ' 6,67 . 10-"m8kg-18-í|
[ ítzRzqz
118. Vypočtěte rychlost, s jakou se musí pohybovat umělá družice Země, aby obíhala po kruhové dráze těsně nad povrchem Země (1. kosmická rychlost). Určete oběžnou dobu této družice. Poloměr Země Rz = 6,38 . 106 m.
[Řešení: Obíhá-li umělá družice rychlostí v po kruhové dráze o poloměru R, je její dostředivé zrychlení
v*
a^~R-
62
V našem případě je toto zrychlení rovno gravitačnímu zrychlení na povrchu Země a platí tedy
v2 xMz
= g-
První kosmickou rychlost tedy vypočteme ze vzorce
v = ]lg~Ř.
Číselně je v = 7,91 . 103 m s""1 = 7,91 km s"1. Oběžnou dobu určíme ze vztahu
P--,
čili po dosazení P = 5 065 s = 1 h 24,5 min.]
119. Dokažte, že geometrické místo bodů, v nichž jsou gravitační síly Slunce a Země stejné (co do velikosti) je koule o poloměru
>]/m0Mz
M7
se středem ležícím na přímce, spojující Slunce a Zemi ve vzdálenosti
Mz.r
a
od středu Země na stranu opačnou Slunci; Mz je hmotnost Země, 9JJ0 = = 330 000 Mz je hmotnost Slunce, r = 150 . 106 km je vzdálenost Země od Slunce.
[Řešení: Zaveďme pravoúhlý souřadnicový systém (obr. 26) s počátkem ve středu Země a s osou X procházející středem Slunce. Uvažujme těleso hmotnosti to umístěné at bodě A, v němž jsou přitažlivé síly Slunce a Země stejně velké. Vzdálenost tohoto bodu od středu Země označme rls vzdálenost od středu Slunce označme r2. Přitažlivá síla Země
Obr. 26. K příkladu 119
y.Mzm
63
přitažlivá síla Slunce
Z podmínky Fl t\ plyne vztah
M7r\ = mor\.
Pro vzdálenosti rx, r2 platí
r\ = x2 Vy2 + z2,
r\ = (r — x)2 -f y2 + z2 kde x, y, z jsou souřadnice bodu A.
Po dosazení a úpravě dostáváme rovnici
2Mzr Mz
x + y + z2 =-- —-— r2.
SK© — -A^z ' 8W0 — Mz
K oběma stranám rovnice připočteme výraz
M\r2
(3JiQ - i¥z)2 a rovnici pak můžeme upravit na tvar
I Mzr f
2 4_ ,2
r23I7Mc
WQ-MZ)2
Porovnáme-li tento výsledek s rovnicí koule o poloměru R a o souřadnicích středu a, b, c
{x — a)2 + (// — b)2 i- (z — c)2 = iž2, vidíme, že hledané body leží na kouli o poloměru
r}/MzW0
střed této koule leží na ose X ve vzdálenosti
Mzr
a —
z
na straně opačné, než je Slunce. (Kladli}' směr osy X je směrem ke Slunci.) Dosadíme-li číselné hodnoty, je Ä = 261 000 km, a = 454 km. j
120. Ve kterém bodě na spojnici středů Země a Měsíce jsou jejich přitažlivé 04
I
síly stejně velké? Hmotnost Měsíce M = —- Mz, vzdálenost středů obou těles
81
r = 60 R7,
[Hledané body jsou dva: první leží ve vzdálenosti xx = 54 Rz, v tomto bodě se přitažlivé síly Země a Měsíce ruší. Druhý bod leží ve vzdálenosti xs = 67,5 Rz, v tomto bodě jsou síly stejně velké a stejného směru.]
121. V jaké výšce musí obíhat umělá družice Země, aby byla stále nad stejným místem rovníku?
3
I ií^jíT?'2
ľ
h — I - ž— R~t = 35 870 km (Mz je hmotnost Země, T oběžná doba
družice, Rz je poloměr Země.)]
122. V jaké vzdálenosti od povrchu Marsu musí být jeho družice, aby obíhala kolem něho se stejnou dobou oběžnou, s jakou se Mars otáčí kolem své osy? Hmotnost Marsu M = 6,46 . 1023 kg, doba jedné otočky T = 24 h 37 min, poloměr R = 3 400 km.
[h = 11 000 km]
123. Určete hmotnost Slunce z těchto údajů: úhlová rychlost Země na dráze kolem Slunce je 1° za den, gravitační konstanta x = 6,68 . 10-11 m3 kg-1 s~2, vzdálenost Země od Slunce r = 149,5 . 108 km.
WQ - — - = 2 . 1030 kg
121. Vypočtěte gravitační zrychlení na povrchu Marsu, je-li jeho poloměr Ä = 3 400 km, hmotnost M = 6,46 . 1023 kg.
[g - 3,73 m s"2]
1
125. Poloměr Měsíce R = 0,27 Rz, hmotnost M = —— Mz. Jak velká je
81
délka l matematického kyvadla, které by mělo na Měsíci dobu kyvu T = 1 s ? Jak velkou dobu kyvu T' by mělo na Měsíci sekundové kyvadlo pozemské?
[I = 0,168 m; T' = 2,43 s J
126. Určete postupnou rychlost Země na její dráze kolem Slunce, je-li hmotnost Slunce WQ = 2 . 10:!0kg, vzdálenost Země od Slunce r = 1,5 . 108km.
= 29,8 km s_1
5 Základy astronomii
65
127. Jupiter se otočí kolem své osy za dobu T = 9 li 50 min, jeho poloměr R — 70 000 km, hmotnost ilř = 1,9 . 1027 kg. Vypočtěte tíhové zrychlení gp na pólu a gr na rovníku Jupitera. Zploštění planety zanedbejte.
M _ 4jr2
19» = X ~B? = 25'9 m s 2; g* =" 9» ~ ~~TT R = 23'7 m S"2
128. Vypočtěte, jakou počáteční rychlost musíme udělit raketě, aby se vzdálila z povrchu Země do nekonečna (2. kosmická rychlost).
[Řešení: Raketa hmotnosti m je na povrchu Země, její vzdálenost od středu Země je rovna zemskému poloměru R. Potenciální energie rakety je
Vv' = — *
Mzm
R "
kde Mz je hmotnost Země. Kinetická energie rakety
1
2
Jestliže se raketa vzdálí do nekonečna, jsou obě energie rovny nule a z věty o zachování mechanické energie plyne, že i jejich součet na počátku pohybu musí být roven nule:
wk + wp = 0,
1 Mzm
R
a odtud
R '
Z tohoto vztahu můžeme počítat druhou kosmickou rychlost, známe-li hmotnost a poloměr Země. Tento výraz lze však dále upravit: zlomek pod odmocninou rozšíříme poloměrem R a máme
2xMzR
R*
Protože ^2 = g je gravitační zrychlení na povrchu Země, lze druhou
y.M2
kosmickou rychlost počítat ze vzorce
pgR.
66
Srovnáme-li tento výraz se vzorcem pro první kosmickou rychlost (viz př. 118), vidíme, žc druhá kosmická rychlost je ]/2krát větší. Číselně je v =■■ 11,2 km
129. Vypočtěte únikovou rychlost na povrchu Měsíce. Poloměr Měsíce
1
R = 0,27 Rz, hmotnost M = — Mz.
81
[v = 2,4 km s"1]
130. Vypočtěte únikovou rychlost na povrchu Slunce. Poloměr Slunce RQ 7 . 10» m, hmotnost 5DÍ0 = 2 . 1030 kg.
[v = 620 km s_1]
131. Jakou rychlost je třeba udělit meziplanetární raketě, aby mohla letět z povrchu Marsu na jiné planety ? Hmotnost Marsu M — 6,46 . 102s kg, poloměr R = 3 400 km.
[v = 5 km s^1]
132. Určete gravitační zrychlení na povrchu planetky, jejíž poloměr R — — 0,01 Rz, střední hustota je rovna střední hustotě Země. Jaká je úniková, rychlost na této planetce ?
[g = 0,01 gz - 0,098 m s-2; v = 112 m s-1]
133. Do jaké výšky by vystoupilo těleso vystřelené z povrchu Země svisle vzhůru rychlostí v = 5 km s"1? Hmotnost Země Mz = 5,98 . 1024 kg, poloměr Rz -- 6,38 . 10« m.
[Řešení: Těleso hmotnosti m vystřelené z povrchu Země rychlostí v má v počátečním okamžiku kinetickou energii
Wkl == —- mv2
1
a potenciální energii
xM7m W , = —-—
Těleso vystoupí do výšky h, ve které jc jeho kinetická energie Wk = 0, potenciální energie
xM7m
W « =_--—
Rz + h-
67
Z věty o zachování mechanické energie plyne
1 xM7m xM7m
mír
- Rz Rz + h
Odtud výška výstupu
2xMz - v*Rz
Dosadíme-li
xMz = glil, lze výšku výstupu vyjádřit vztahem
v2Rz
h -
2gRz--v- '
kde g = 9,81 m s-2 je gravitační zrychlení na povrchu Země. Číselně je h = 1 590 km.]
134. Na Zemi padá z nekonečně velké vzdálenosti meteor hmotnosti m = — 0,1 kg (počáteční rychlost je nulová). Vypočtěte kinetickou energii meteoru ve vzdálenosti h = 2 000 km nad povrchem Země.
qmR
W _.:- = 4 77 10« j
- h
1
135. Jakou počáteční rychlost (směrem svisle vzhůru) musíme udělit tělesu, které je v klidu na povrchu Země, aby vystoupilo do výšky rovné poloměru Země ?
I \íxM , , I
I v = V —j— = = 7,9 km s 1 (1. kosmická rychlost) I
136. Jak by se musela změnit hmotnost Země, aby Měsíc navždy opustil Zemi?
[Ěešení: Měsíc se pohybuje rychlostí vx po kruhové dráze o poloměru r. Označíme-li \l, hmotnost Země, pak platí
xMz
Označíme-li M změtiěnou hmotnost Země a v2 únikovou rychlost, pak platí
68
Hledáme takovou hmotnost M, pro kterou je kruhová rychlost vx Měsíce rovna únikové rychlosti v2:
a odtud
xM7
M =■
2xM r
M7
Hmotnost Země by se musela náhle zmenšit na polovinu
137. Jak by se změnila dráha Země, kdyby se hmotnost Slunce náhle zdvojnásobila í
[Řešení: Země se pohybuje po kruhové dráze kolem Slunce; označime-li ri j0jí rychlost, r vzdálenost Země od Slunce a 9JÍ0 hmotnost Slunce, pak při kruhovém pohybu (obr. 27) platí
*8Kn t>?
odtud
Obr. 27. K příkladu 137
Zdvoj n ásobí-li se hmotnost Slunce v okamžiku, kdy je Země v bodě A, bude se Země pohybovat po elipse, přičemž v bodě A bude afélium. Poloměr křivosti elipsy v aféliu je
R = — , a
vzdálenost Země od Slunce je r, hmotnost Slunce je nyní 290ín; platí tedy pro afélium rovnice
k23DL
Dosadíme-li
69
mame
2 a
V = ~¥ '
Vzdálenost Země v aféliu r = a (l + e), druhá mocnina malé poloosy V- = ar (1 — e2); po dosazení
2 a
a(l + e) ď2(l — e2) odtud excentricita dráhy e — 0,5;
r 2
velká poloosa a = ——— = — . 1,5 . 108 km = 108 km; ť 1 + e 3
vzdálenost Země v aféliu je rovna původnímu poloměru zemské dráhy; r = = 1,5 . 108 km, vzdálenost v perihéliu rn = a(l — e) = 0,5 . 108 km.
Rychlost Země v aféliu je rovna původní rychlosti po kruhové dráze, tj.
1 -f e
Vi = 30 km s-1; rychlost v perihéliu v2 vx —-— = 90 km s L.]
138. Určete excentricitu, velkou poloosu dráhy, vzdálenost v perihéliu a oběžnou dobu pro kometu, jejíž rychlost ve vzdálenosti 1 astronomické jednotky je kolmá na průvodič komety a lOkrát menší než rychlost Země.
[Řešení: Rychlost komety je kolmá na průvodič v perihéliu a v aféliu; v uvažovaném miste je rychlost menší, než odpovídající rychlost kruhová, je tedy
kometa v aféliu. Poloměr křivosti dráhy v aféliu B = — . Označíme-li rx vzdálenost afélia od Slunce a vx rychlost komety v aféliu, platí
v\a yM0
kde 9JlQ je hmotxxost Slunce. Země se pohybuje rychlostí v0 po kruhové dráze o poloměru rv platí tedy
Porovnáním obou rovnic dostáváme vztah
70
Protože 62 — a- (1 — e2), rl — a (1 + e), máme po dosazení
cí2(1 — e2) a(l + 6)
a odtud excentricita dráhy vo
Dosadíme-li i\ = —— , ie excentricita e = 0,99. 10
Velká poloosa dráhy a = ^ ^ . Protože rx je vzdálenost Země od Slunce
(rt = 1 AU), máme pro velkou poloosu a = 0,502 5 AU.
Vzdálenost perihélia od Slunce r2 = a (1 — e) = 0,005 025 AU.
Oběžnou dobu komety určíme z 3. Keplerova zákona:
P=PZ
Dosadíme-li oběžnou dobu Země Pz = 1 rok, vzdálenost Země od Slunce rt = 1 AU, je oběžná doba komety P = 0,356 roku.]
139. Určete mechanickou energii planety, jejíž hmotnost je m a velká poloosa a.
[Řešení: Mechanická energie W je dána součtem kinetické energie Wk
a potenciální energie Wp; tento součet je pro danou planetu konstantní, stačí
jej proto určit pro jeden bod na dráze. Vypočteme jej pro planetu v perihéliu.
Označme r vzdálenost perihélia od Slunce, v rychlost planety v perihéliu; pak
1 , ' xWt0m kinetická energie Wk = — mv2, potenciální energie Wp — ■—--.Mecha-
á t
nicka energie
1 »M.0m
W = Wk + Wp = — mv
Poněvadž poloměr křivosti dráhy v perihéliu je R = — (hlavní vrchol elipsy), platí
mv2 KWGm
71
a odtud lze vyjádřit kinetickou energii planety:
1 xWlQmb2
mv2 __
2 2r2a a celková mechanická energie je
W = —--—-^~ •
2r2a r
Dosadímedi b2 — a2 (1 — e2), r — a(l — e), máme po úpravě
xW.0m j
W
2a
140. Na základě výsledku předešlého příkladu dokažte, že pro okamžitou rychlost planety platí vztah
Í---1
kde a je velká poloosa a r vzdálenost planety od Slunce.
141. Hmotnosti Země a Měsíce jsou v poměru 81 : 1, vzdálenost jejich středů je 382 420 km. Kde leží jejich těžiště?
[na spojnici středů ve vzdálenosti 4 664 km od středu Země]
142. V jaké vzdálenosti od středu Slunce je těžiště soustavy Slunce, Jupiter a Saturn v případě, že jsou tato tělesa v jedné přímce a Jupiter se Saturnem jsou na téže straně od Slunce (v opozici) ? Porovnejte tuto vzdálenost s poloměrem Slunce.
[nesení: Vzdálenost rT těžiště od středu Slunce vypočteme z rovnice
mxrl -f- m2r2 T 9J?0 + r«i 4- to2 kde rx — 77S . 106 km je vzdálenost Jupitera od Slunce, r2 = 1 42 8 . 106 km je
vzdálenost Saturna od Slunce, nu = ——rz je hmotnost Jupitera, m? = -__—
1 047 J 1 2 3 502
je hmotnost Saturna v jednotkách hmotnosti Slunce (3)l0).
Dosadíme-li číselné hodnoty do rovnice pro rT, máme rT = 11,5 . 105 km.
r
T
Poloměr Slunce RQ = 7.105 km, je tedy poměr = 1,64. Těžiště tedy leží
■"o
ve vzdálenosti 0,64 EG nad povrchem Slunce.]
72
143. V době, kdy je Jupiter ve vzdálenosti 5,54 AU od Země, je jeho úhlový poloměr 17,8". Vypočtěte skutečný poloměr Jupitera v jednotkách poloměru Země a jeho hustotu, je-li hmotnost Jupitera 318 hmotností Země. Rovníková paralaxa Slunce p0 = 8,80".
[B = 11,2 Rz\ o = 0,23 ea]
144. Při opozici byla vzdálenost Marsu od Země 56.108 km, úhlový průměr Marsu byl 25". Vypočtěte skutečný poloměr Marsu a jeho hustotu, je-li hmotnost Marsu 6,4 . 1023 kg.
[r = 3400 km; q = 3,9 . 103 kg m 3J
145. Skutečný průměr Venuše je 12 200 km. Jaká je její vzdálenost od Země v době, kdy je její úhlový průměr ľ i
[r = 42.106 km = 0,28 AU. Protože vzdálenost Venuše od Slunce je 0,72 AU, je v této době planeta v dolní konjunkci se Sluncem.]
146. Vypočtěte poloměr a hustotu Neptuna a gravitační zrychlení na jeho povrchu, je-li jeho zdánlivý úhlový poloměr 1,05", rovníková paralaxa 0,29". Poloměr Země je 6 378 km, hustota Země 5 520 kg m-3. Hmotnost Neptuna je 17,23 hmotnosti Země.
[poloměr b = 3,62 rz = 23 090 km; hustota o = 0,363gz = 2000 kg m-3; gravitační zrychlení g -- l,32^z = 12,9 m s"2]
147. Vypočtěte numerickou excentricitu dráhy Země, víte-li, že největší úhlový průměr Slunce dx — 32'36.4", nejmenší úhlový průměr Slunce d2 =
148. Jsou dány tyto údaje: vzdálenost Slunce od Země a — 15 . 107 km, vzdálenost Měsíce od Země b = 36 . 104 km, poloměr Slunce r = 7 . 105 km, poloměr Měsíce r = 17,5 . 102 km. Na základě těchto údajů vypočtěte, jakou plochu má stín Měsíce na povrchu Země při úplném zatmění Slunce. Povrch Země považujte za rovinný. Při jaké vzdálenosti Měsíce od Země se měsíční stín dotkne Země v jediném bodě?
[Řešení: Označme x výšku kužele měsíčního stínu, měřenou od povrchu Země, q poloměr kruhu, který vytváří měsíční stín na povrchu Země. Z obr. 28 je zřejmé, že platí
= 31' 31,8".
- = 0.016 8
r
r
a -■- x
b + x
73
a
Odtud výška kužele
Dále platí
a odtud
Obr. 28. K příkladu 148 ra — Rb
x
q
b + x x
q — X-- •
ť b -f-x
Dosadíme-li do tohoto vztahu výraz, který jsme odvodili pro x, máme
ra — Rb
a —b
Protože vzdálenost b Měsíce od Země je velmi malá proti vzdálenosti a Země od Slunce, můžeme ve jmenovateli veličinu b zanedbat a po dosazení číselných hodnot vyjde poloměr q = 70 km.
Plocha měsíčního stínu P — no2 = 15 400 km2.
Má-li se měsíční stín dotknout Země v jediném bodě, musí být výška x = 0, a tedy r a = Rb. Odtud příslušná vzdálenost Měsíce
r a
b = = 37,5 . 104 km. jfť
Kdyby byla vzdálenost Měsíce ještě větší, nastalo by pouze prsténcové zatmění Slunce, j
149. Označme r poloměr Země; pak poloměr Slunce RQ — 109 r, vzdálenost středů Slunce a Země a — 23 680 r, vzdálenost středu Měsíce od středu Země 6 = 60 r. Vypočtěte poloměr q kolmého řezu plného stínu Země ve vzdálenosti Měsíce od Země za předpokladu, že Země není obklopena atmosférou.
íq = 0,726 r]
74
Doplněk:
Výpočet rovníkových souřadnic
Px — sin Q cos e, #2 = cos i cos Í2 cos e — sin * sin e,
Cx = sin Q sin e, C, = cos i sin í.' sin e + sin i cos e,
kde s je sklon ekliptiky k rovníku.
(5)
Veličiny Px, Py, ... Qz jsou směrové kosiny dráhy a nezávisí na čase t. Kontrolu výpočtů provedeme pomocí rovnic
P\ + Pl + P\ = 1,
QI + QI + Ql = L PÄ + Py<2, + PA = o.
(6)
7,r)
4. A'ypočteme geocentrické souřadnice X, Y, Z ze vzorců
(?)
X = x + X q, Y = y+YQ, Z =z + ZQ,
kde X0, YQ, Z0 jsou geocentrické pravoúhlé souřadnice Slunce v okamžiku tj_, načež x a ô vypočteme z rovnic
Y
tg (x
tg ó
Z
jež plynou z rovnic
(8)
X = g cos á cos a,
F = g cos ô sin a,
Z — g sin <5, kde j) je geocentrická vzdálenost.
Z rovnice (8) vypočteme rektascenzi a i deklinaci á planety v okamžiku ŕ1? č2, £3, ... a vypočtené hodnoty nazývame efemerida planety. Tato metoda je vhodná k výpočtu efemerid planet s malou excentricitou dráhy e.
Výpočet ukážeme na príkladu planetky s těmito elementy dráhy:
velká poloosa dráhy n = 2,718 AU
excentricita e = 0,290 39
sklon dráhy i = 10° 8' 10"
délka výstupného uzlu Ľ = 157° 14' 59"
argument šířky perihelia 0) = 190° 12' 14"
střední anomálie M0 = 350° 0' 36"
střední denní pohyb n = 0,219 916°
fn - 16. 8. 1936 v 2Hh 46mi"
Vypočtěte !-1-11 I I I I 1-1-■—I-1-1-1 I I I I
JljJt 1 2 3 l 5 10 20 30 iO 50 100
5m Bm ?m %m gm }(>m nm ? K5 -4,4 1 -1 1,71 1 1,73 3 400
MO I —4,4 i + 1,94 + 1,75 2 800
M 5 + 2,15
306 mezinárodní barevný systém U B V
je systém hvězdných, velikostí, měřených ve třech úzce definovaných oblastech spektra: ultrafialové (řJ), modré (B) a žluté (V). Místo dříve používaného barevného indexu Cl, definovaného jako rozdíl mezi fotografickou a vizuální hvězdnou velikostí, používají se nyní indexy U — B a B — F, definované jako rozdíly hvězdných velikostí měřených v daných oblastech spektra. Oba indexy závisí na barvě, a tedy také na teplotě hvězdy. Index B — V souvisí s barevnou povrchovou teplotou Te vztahem
7 300
B — V = —=— — 0,52.
86
Číselné hodnoty indexů B — V a U — B jsou pro hvězdy na různých větvích Hertzsprungova-Russellova diagramu uvedeny v tab. 15.
307 bolometrická korekce BC [m]
je rozdíl mezi vizuální a bolometrickou hvězdnou velikostí:
BC = mY — wbol.
Číselné hodnoty bolometrické korekce BC a absolutní bolometrické hvězdné velikosti Mhoí jsou pro hvězdy hlavní posloupnosti (třída svítivosti V), obry (III) a veleobry (I) uvedeny v tab. 16.
TABULKA 1tí
Bolometrické korekce BC a absolutní hvězdné velikosti pro hvězdy na některých
větvích Hertzsprungova-Russellova diagramu
Spektr, třída Hlavní posloupnost Obři Veleobři
BC Mboi BC BC
05 4,6 —10,6
B0 3,0 —6,7 3 —9,4
B5 1,6 —2,5
A0 0,68 0,0 0,7 —6,7
A5 0,30 + 1,7
F0 0,10 + 2,7 0,2 5—5,8
Fo 0,00 + 3,8
G0 0,03 + 4,6 0,1 i 0,7 0,3 —4,7
G5 0,10 + 5,1 0,3 + 1,2 0,6 -5,0
K0 0,20 + 5,8 0.6 + 0,2 1,0 —5,4
K5 0,58 + 6,8 1,0 —1,0 L<3 —6,0
M0 1.20 + 7,6 1.7 —2,0 2,5 —6,9
M5 2,1 + 9,8 3,0 —3,4 4,0
311 POVRCHOVÉ TEPLOTY HVĚZD
rozlišujeme podle toho, z jakého zákona byly odvozeny.
312 barevná teplota T [K]
je určena z rozložení energie ve spektru. Energie Ex vyzařovaná absolutně černým tělesem při absolutní teplotě T zářením vlnové délky X je podle
Planclcova zákona
2nhcä 1
El = JI ' hc
e *ÍT — 1
87
kde h = 6,625 . 10~34 J s je Planckova konstanta,
k = 1,380 . 10-23 J K-1 je Boltzmannova konstanta, c = 2,997 93 . 108 m s-1 je rychlost šíření světla.
Z Planckova zákona plyne Wienův zákon posuvu, podle kterého se maximum monochromatického vyzařování s rostoucí absolutní teplotou posouvá ke kratším vlnovým délkám. Označíme-li Amax vlnovou délku, na kterou připadá maximum energie při teplotě T, pak platí
; T = b
'-max -1
kde konstanta b = 2,90 . 10"3 m K.
313 efektivní teplota Tel [K]
je dána Stefanovým-Boltzmannovým zákonem, podle něhož je výkon vyzařovaný plošnou jednotkou absolutně černého tělesa teploty T úměrný čtvrté mocnině absolutní teploty:
E = oT\
kde a 5,67 . 10"8 W m-2 K-4 je Stefanova konstanta. Barevné a efektivní teploty hvězd jsou uvedeny v tab. 15.
321 ZÁŘIVOST (Luminosita) L
je základní charakteristika záření hvězd.
322 solární konstanta K 1,40 . I03 Jm"2 s_1
udává množství zářivé energie všech vlnových délek, které dopadá za 1 s na 1 m2 plochy postavené kolmo k dopadajícímu slunečnímu záření ve střední vzdálenosti Země od Slunce a mimo zemskou atmosféru. Pro solární konstantu byla určena hodnota
K = (1,40 ± 0,03) . 103 J m-2 s"1;
často se používá solární konstanta vyjádřená v kaloriích, které dopadají za 1 minutu na 1 cm2:
K = (2,00 ± 0,04) cal cm-2 min-1.
323 zářivost Slunce L~ ~4.102G W
je celkový výkon vysílaný celým slunečním povrchem do celého prostoru.
88
Základem pro výpočet zářivosti Slunce je solární konstanta. Zářivost Slunce bereme za jednotku zářivosti hvězd.
L
324 zářivost hvězd —— PJ0]
je poměr výkonu vyzařovaného celým povrchem hvězdy k zářivosti Slunce. Výkon vyzařovaný jednotkou plochy je
E ■ oTtv
Celý povrch hvězdy má plochu 4jzi?2, kde E je poloměr hvězdy. Je tedy celkový výkon
L = ítiE2 oT*v
Zářivost hvězdy, tj. poměr LjL0, souvisí s absolutní bolometrickou hvězdnou velikostí. Je Ji absolutní bolometrická hvězdná velikost Slunce +4,74JÍ a bo-lometrická velikost hvězdy Mhoh pak zářivost
-=4- = 2;5124'74-3íboi .
Zářivosti hvězd jsou ve velmi širokém intervalu (tah. 17): např. červení trpaslíci mají zářivost 10 OOOkrát menší, než je zářivost Slunce, naproti tomu žhaví obři mají zářivost 10 OOOkrát větší než Slunce.
325 poloměry hvězd E [RqÍ
udávají se obvykle v jednotkách poloměru Slunce KG, výjimečně v km. Poloměr Slunce je 6,96 . 10;> km.
Poloměr hvězdy lze vyjádřit (v jednotkách RG) pomocí absolutní teploty T a absolutní vizuální hvězdné velikosti vztahem
5 900
log i? = —— — 0,20 JfT>
nebo pomocí absolutní bolometrické hvězdné velikosti MUA log E = 8,53 — 0,2ilfbol — 2 log T.
89
TABULKA 17
Vztah mezi absolutní bolometrjckon hvězdnou velikostí (iWbol) a zářivostí hvězd L, vyjádřenou v jednotkách zuřivosti Slunce [Lq]
L[lq i M boi Aíbol lilq]
—9,0 310 000 —3,0 1 240 + 3,0 4,9 + 9,0 0,020
—8,8 260 000 —2,8 1 030 + 3,2 4,1 + 9,2 0,016 3
—8,6 215 000 —2,0 860 + 3,4 3,4 + 9,4 0,013 6
—8,4 180 000 —2,4 710 + 3,6 2,8 + 9,6 0,011 3
—8,2 150 000 —2,2 590 1 3,8 2,4 + 9,8 0,009 4
—8,0 124 000 —2,0 490 + 4,0 2,0 -10,0 0,007 8
—7,8 103 000 —1,8 410 + 4,2 1,63 + 10,2 0,006 5
—7,6 86 000 --1,6 340 + 4,4 1,30 + 10,4 0,005 4
—7,4 71 000 —1,4 280 + 4,6 1,13 + 10,6 0,004 5
—7,2 59 000 —1,2 240 + 4,8 0,94 + 10,8 0,003 7
—7,0 49 000 —1,0 200 + 5,0 0,78 -11,0 0,003 1
—6.8 41 000 —0,8 160 + 5,2 0,65 + 11,2 0,002 6
—6,6 34 000 —0,6 136 + 5,4 0,54 + 11,4 0,002 1
—6,4 28 000 —0,4 113 + 5,6 0,45 + 11,6 0,001 8
—6,2 24 000 —0,2 94 + 5,8 0,37 + 11,8 0,001 5
—6,0 19 600 0,0 78 -1-6,0 0,31 + 12,0 0,001 24
—5,8 16 300 + 0,2 65 + 6,2 0.26 + 12,2 0,001 03
— 5,6 13 600 + 0,4 54 + 6,4 0,21 + 12,4 0,000 86
—5,4 11 300 + 0,6 45 + 6,6 0,18 + 12,6 0,000 71
—5,2 9 400 + 0,8 37 + 6,8 0,15 + 12,8 0,000 59
—5,0 7 800 + 1,0 31 + 7,0 0,124 4-13.0 0.000 49
—4,8 6 500 + L2 26 + 7,2 0,103 +13.2 0,000 41
—4,6 5 400 + 1,4 22 + 7,4 0,086 + 13.4 0,000 34
—4,4 4 500 + 1,6 18 + 7,6 0.071 + 13,6 0.000 28
—4,2 3 700 + 1,8 15 " +7,8 0,059 + 13,8 0,000 24
—4,0 3 100 + 2,0 12,4 -8.0 0,049 + 14,0 0,000 20
—3,8 2 600 + 2,2 10,3 + 8,2 0,041 i 14,2 0,000 16
—3,6 2 200 + 2^4 8,6 + 8,4 0,034 + 14,4 0,000 136
—3,4 1 800 + 2,6 7,1 + 8,6 0,028 + 14.6 0,000 113
—3,2 1 500 + 2,8 5,9 + 8,8 0,024 + 14,8 0,000 094
—3,0 1 240 -L3,0 4,9 + 9,0 0,020 1 15,0 0,000 078
16,0 0,000 031 18.0 0,000 004 9
16,5 0,000 020 + 18,5 0,000 003 1
17,0 0,000 012 4 + 19,0 0,000 002 0
+ 17,5 0,000 007 8
326 úhlové průměry hvězd d ["]
souvisí se skutečnými poloměry R (v jednotkách řt3) vztahem
1 10/
1
kde n je roční paralaxa hvězdy v obloukových vteřinách, je průměr
90
Slunce v astronomických jednotkách. V logaritmickém tvaru
log d = log n + log B — 2,03, 5 900
nebo dosadíme-li za log B — ~ m— —0,20ilfT,
5 900
log d = log ti + — 0,20iřv — 2,03.
Vyjádříme-li absolutní hvězdnou velikost pomocí zdánlivé hvězdné velikosti a paralaxy, pak
5 900
log d = — 0,20 mv — 3,03.
327 hmotnosti hvězd SR [3Ji0]
vyjadřují se obvykle v jednotkách hmotnosti Slunce 9R0, viz 113.
Obr. 33. Závislost logaritmu hmot- obr. 34. Závislost logaritmu hmotnosti
nosti hvězd na. spektrální tnde pro na absolutní bolomefcrické hvězdné
některé posloupnosti na Hertz- velikosti sprungovó-Russellově diagramu
Závislost logaritmu hmotnosti na spektrální třídě hvězdy pro některé posloupnosti na Hertzsprungově-Russcllově diagramu je znázorněna na obr. 33. Tyto hodnoty jsou jen průměrné.
Obecně souvisí hmotnost hvězdy s její zářivostí, a tedy také s absolutní bolo-metrickou hvězdnou velikostí. Závislost logaritmu hmotnosti na absolutní bolo-
91
metrické hvězdné velikosti je znázorněna na obr. 34. Tato závislost neplatí pro bílé trpaslíky, kteří mají až stokrát menší zářivost, než by odpovídalo jejich hmotnosti. Matematicky lze tuto závislost vyjádřit vztahem
log m = 0,56 — 0,12 j»/b0l.
328 hustoty hvězd o [qg]
_
se udávají obvykle v jednotkách hustoty Slunce [qq], někdy v kg m-3, nebo v g cm-3. Střední hustota Slunce "G při standardní hodnotě sluneční paralaxy ti0 = 8,800" je ~0 = 1,407 . 103 kg m~3; podle nově navržené hodnoty rovníkové paralaxy Slunce nG = 8,794" je ~Q =- 1,410 . 103 kg m-3.
Hustotu hvězdy v jednotkách hustoty Slunce vypočteme podle vzorce
m
S = -y>
do něhož hmotnost 3JÍ hvězdy dosadíme v jednotkách hmotnosti Slunce (MQ r= = 1,9 . 1030 kg) a objem V hvězdy v jednotkách objemu Slunce (Ve = 1,4. . 1027 m3).
PŘÍ K LA D Y
150. Jaký je poměr intenzit světla hvězd 1. hvězdné velikosti a 6. hvězdné velikosti ?
[/i : I2 = 100]
151. Jaký je poměr intenzit světla dvou hvězd, jejichž zdánlivé hvězdné velikosti se liší o 7m?
[A : h = 631]
152. Jestliže se intenzita hvězdy zvýší 25 OOOkrát, o kolik se změní její hvězdná velikost ?
[Zmenší se o 1 lm]
153. Kdyby se vzdálenost hvězdy 4™ zmenšila na polovinu, jaká by byla její zdánlivá hvězdná velikost?
[2,5~]
154. Kolikrát by se musela zvětšit vzdálenost hvězdy, aby se její zdánlivá hvězdná velikost zvýšila o 3™ ?
[přibližně čtyřikrát]
92
155. Kolik hvězd zdánlivé hvězdné velikosti 0™ by nahradilo celkovou jasnost všech hvězd od hvězdné velikosti 10™ do 11™, kterých je celkem 546 000? Střední hvězdnou velikost těchto hvězd berte 10,5™.
[34 hvězd]
156. Hvězda Deneb (« Cyg) je od nás 75krát dále než Sírius; zdánlivá hvězdná^ velikost Denebu je m1 = 1,26™, Síria m2 — —1,43™. Kolikrát by byla intenzita Denebu větší než intenzita Síria, kdyby byly obě hvězdy ve stejné vzdálenosti od Slunce?
[472 krát]
157. Zdánlivá hvězdná velikost hvězdy je 4™. Jaká by byla hvězdná velikost této hvězdy, kdyby byla: a) ve vzdálenosti o 40 % menší, b) ve vzdálenosti
o 40 % větší?
[a) m = 2,9™; b) m = 4,7™]
158. Dvojhvězda Castor (<% Gem) má složky o hvězdných velikostech mx -— 1,99™ a 'tn., = 2,85™. Jaká je hvězdná velikost Castora při pozorování prostým okem, kdy se jeví jako jednoduchá hvězda?
[1,58™]
159. Jaká je zdánlivá hvězdná velikost dvojhvězdy, jejíž složky, okem nerozlišitelné, mají hvězdné velikosti mx = 1,0™, m2 = 2,0™ ?
[0,64™]
160. Zdánlivá hvězdná velikost Síria [a CMa) je —1,43™, paralaxa n =- 0,376" Vypočtěte jeho absolutní hvězdnou velikost.
[+ 1,45«]
161. Určete absolutní hvězdnou velikost hvězdy Antáres (a Sco), jejíž zdánlivá hvězdná velikost je +0,98™ a paralaxa n — 0,008 7".
[—4,32«]
162. Kolikrát je jasnost hvězdy Proxima Centauri menší než jasnost Slunce? Zdánlivá hvězdná velikost Proximy je +10,5™, paralaxa ji = 0,76". Absolutní hvězdná velikost Slunce je + 4,85«.
[10 500krát]
163. Hvězda oc Cas je ve vzdálenosti 163 světelných roků od Slunce; její zdánlivá hvězdná velikost je +2,37™. Vypočtěte její absolutní hvězdnou velikost.
[—1,12«]
1)3
164. Určete paralaxu hvězdy, která má modul vzdálenosti m — M ~- + 8™. [st = 0,002 5"]
165. Určete modul vzdálenosti hvězdy, která je ve vzdálenosti 100 pc od Slunce.
y [m — M= +5m]
166. Paralaxa hvězdy jc ti — 0,007 4", zdánlivá hvězdná velikost je 6,5«. Určete absolutní hvězdnou velikost této hvězdy, je-li koeficient absorpce a = 0,000 5 hvězdné velikosti na parsek.
[0,78-w]
167. Jaká je zdánlivá hvězdná velikost hvězdy, která je ve vzdálenosti 400 pc a má absolutní hvězdnou velikost —1,5M: a) je-li koeficient absorpce rovný nule; b) je-li a — 0,000 2 hvězdné velikosti na parsek; c) je-li a = 0,003 hvězdné velikosti na pc.
[a) 6,5"?; b)6,58«; c) 7,7™]
168. Hvězda spektrální třídy A0 má zdánlivou vizuální hvězdnou velikost 6,5"». Jaká je pravděpodobně její paralaxa, jde-li o hvězdu hlavní posloupnosti?
[Řešení: V tab. 15 vyhledáme pro hvězdy spektrální třídy A0, ležící na hlavní posloupnosti, střední absolutní hvězdnou velikost Mr — -f 0,7M. Pravděpodobnou paralaxu hvězdy vypočteme ze vztahu
M — m — 5 log st =---- = —2,16,
neboli log st = 0,84—3. Paralaxa je tedy st = 0,006 9".]
169. Hvězda spektrální třídy G0 má zdánlivou vizuální hvězdnou velikost +4,9» Jaká je její pravděpodobná paralaxa, patří-li hvězda a) ke hlavní posloupnosti; b) k posloupnosti obrů; c) k posloupnosti veleobrů?
[a) st -■ 0,087"; b) st = 0,024"; c) st - 0,001 4"]
170. Určete bolometrickou hvězdnou velikost obří hvězdy spektrální třídy K0, je-li její vizuální hvězdná velikost mv = 4,28™. Bolometrickou korekci vyhledejte v tab. 16.
Kol = 3,68«]
171. Určete pomocí tab. 16 bolometrické hvězdné velikosti hvězd spektrálních tříd B0, B5, F0, G5 a M0, jejichž vizuální hvězdné velikosti jsou stejné a rovné my — + 15,0™ a které leží na hlavní posloupnosti.
[B0 12,0™, B5 13,4« F0 14,9™, G5 14,9™, M0 13,8«]
94
172. Hvězda spektrální třídy FO je ve vzdálenosti 400 pc od Slunce; její zdánlivá vizuální hvězdná velikost je + 10,5m. Určete, ke které posloupnosti hvězda patří. Jaká je absolutní bolometrická hvězdná velikost této hvězdy?
[Hvězda patří k hlavní posloupnosti; MhoX — 2,GM]
173. Hvězda spektrální třídy BO, která patří k posloupnosti obrů, má para-laxu ti — 0,002'. Jaká je její zdánlivá vizuální hvězdná velikost, jedi koeficient absorpce 0,6™ na kiloparsek? Absolutní hvězdnou velikost vyhledejte v tab. 15.
[mr = 10,6»»]
174. Vypočtěte barevnou povrchovou teplotu a pomocí tab. 15 určete spektrální třídy hvězd hlavní posloupnosti, jejichž indexy B—V jsou a) —0,30™; b) 0»»; c) +0,70™.
[a) T = 33 000 K, sp. třída B; b) T = 14 000 K, sp. třída A; c) T = 6 000 K, sp. třída G]
175. Vypočtěte index B— V hvězd o barevné povrchové teplotě T = 4 200 K. [B— V - +1,22»]
176. Vypočtěte index B—V pro hvězdu o barevné povrchové teplotě T = 21 000 K.
[B—V = —0,17» J
177. Maximum energie ve slunečním spektru je u vlnové délky X — 480 nm. Vypočtěte povrchovou teplotu Slunce pomocí Wienova zákona posuvu.
[T = 6 040 K]
178. Na kterou vlnovou délku připadá maximum energie ve spektru hvězd, jejichž povrchová teplota T = 12 000 K?
[Amax - 240 nm]
179. U které vlnové délky je maximum energie pro hvězdu, jejíž index B — V = +0,78»?
[Amax = 520 nm]
180. Vypočtěte pomocí Stefanova zákona a solární konstanty teplotu Slunce. Poloměr Slunce RQ = 6,96 . 10ňkm, vzdálenost Země od Slunce r = 1,50. 108km.
[Řešení: Na každý m2 povrchu koule o poloměru zemské dráhy dopadne za 1 sekundu energie K = 1,4 . 103 J; celková energie vyzařovaná Sluncem je tedy
kde r je poloměr zemské dráhy.
95
Jeden m2 slunečního povrchu vyzáří za 1 sekundu energii
E = oT*,
kde a — 5,67 . 10-8 Wm-2 K-4 je Stefanova konstanta, T je absolutní teplota povrchu Slunce. Celý povrch Slunce tedy vyzařuje energii
Za předpokladu, že v prostoru mezi Sluncem a Zemí nedochází k tepelným ztrátám, můžeme položit
V\\ = W,
a odtud je
pro teplotu Slunce dostávame vztah
í
Číselně je povrchová teplota Slunce T = 5 820 K.J
T
181. Kolik látky ztratí Slunce ročně, jestliže 1 cm2 zemského povrchu přijme asi 2 cal min-1 cm-2 zářivé energie ve střední vzdálenosti Země od Slunce (r = 150 . 108 km). Na kolik roků by stačila nynější hmotnost Slunce {WQ = = 2 . 1030 kg), aby Slunce zářilo stále stejně?
[Řešeni: Plošný obsah kulové plochy o poloměru zemské dráhy, tj. r, je $ = 4jir2; z ní obdrží každý cm2 za 1 min asi 2 kalorie, tedy
cal 4 2 J
K = 2-—r- == 2 , ' 9 — = 8,4 . 10" J m^min"1.
cnrrnm 10 4nvmin
Celkové množství energie, který vyšle Slunce v čase t do prostoru, je
AW = SKt = 4jir*Kt.
Pro t — 1 rok = 525 600 min je tedy roční vyzářená energie
zJWrok. = 4it 2,25 . 1022 m2 . 8,4. 104 J m~2 min-1. 525 600 min = 1,248 . 1034 J.
Podle Einsteinovy teorie odpovídá setrvačné hmotnosti m množství energie W = mca, kde c je rychlost šíření světla ve vakuu. Proto energie, kterou Slunce vyzáří za 1 rok (zíWrok), odpovídá ročnímu ťibytku hmotnosti Slunce
AWm][ 1,248 . 1034
Am = -;— = —. — = 0,138 . 1018 kg = 138 . 1012 tun.
(r 9 . 10lb
96
Počet roků stejného záření Slunce, jako v současné době. je
WQ 2 . 1030 kg
t = -— =--- = 14 5 1013
Am 0,138 . 1018 kg
čili současná hmotnost Slunce by vystačila při nynějším záření po dobu 14,5 bilionů roků. Ve skutečnosti je odhad doby záření Slunce podstatně nižší, neboť všechna látka se nemůže přeměnit na energii. Při termonukleárních reakcích v nitru Slunce vznikají z lehčích prvků těžší prvky a jen část látky je vyzářena ve formě energie.]
182. O kolik stupňů by se musela zmenšit teplota Slunce, aby se solární konstanta zmenšila o 1 % '
[Řešení: Označíme-li K solární konstantu, r vzdálenost Země od Slunce, RQ poloměr Slunce a a Stefanovu konstantu, pak teplotu Slunce lze vyjádřit vztahem
4__
\ ŕK
T
V našem případě je r. R a a konstantní, je tedy
T = k ]ÍK.
Pro malé změny lze použít vztah
áT 1 dK
T 4 K
je tedy
dT 1
T 4
1 % = 0,25%;
vezmeme-li povrchovou teplotu Slunce T = 6 000 K, je změna dT — T. . 0,25 % = 15 K. Teplota Slunce by se musela zmenšit o 15 K.J
183. Vypočtěte hodnotu solární konstanty pro Mars, jehož střední vzdálenost od Slunce je 1,52 AU.
[Řešení: Hodnota solární konstanty pro Zemi je K = 1,4 . 103 J m-2 s-3; celková energie vyzařovaná Sluncem do celého prostoru je
W = 47ir*K,
kde r je vzdálenost Země od Slunce.
7 Základy astronomie
97
Označíme-li rx vzdálenost Marsu od Slunce a Kx solární konstantu pro Mars, pak lze celkovou energii vyzařovanou Sluncem vyjádřit vztahem
W = ±nr\Kx\
je tedy
4?ir2K = 4nr\Kx
a odtud
ŕ
Dosadímedi K = 1,4 . 103 J m~2 s~3, r = 1 AU, rx = 1,52 AU, máme hodnotu solární konstanty pro Mars
Kx = 606 J m-2 s-\]
184. Jaká by byla hodnota solární konstanty pro: a) Venuši (r — 0,72 AU); b) Jupitera (r = 5,2 AU).
[a) 2,7 . 103 J m~2 s"1; b) 52 J m"2 s"1]
185. Absolutní bolometrická hvězdná velikost hvězdy je Jřbol = 2,54jW. Vypočtěte poměr zářivosti této hvězdy k zářivosti Slunce.
li - H
186. Jaká je absolutní bolometrická hvězdná velikost hvězdy, jejíž zářivost je 2 . 104krát větší než zářivost Slunce?
[i¥bol = —6,01*]
187. Vypočtěte poloměr hvězdy Betelgeuze (a Oři) v jednotkách slunečního poloměru, vítedi, že paralaxa hvězdy ti = 0,006 7", úhlový průměr hvězdicí = 0,04".
[B 640 RQ]
188. Vypočtěte poloměr hvězdy 8 Centauri v jednotkách poloměru Slunce. Teplota hvězdy T = 21 000 K, absolutní vizuální hvězdná velikost Mv = = — 3,8M.
[R = 11 R0]
189. Vypočtěte poloměr hvězdy Antáres (oc Sco) v jednotkách slunečního poloměru, je li její zdánlivá vizuální hvězdná velikost mv — -\-Q,98m, paralaxa ji = 0,008 7" a povrchová teplota T = 3 100 K.
[R = 580 R0]
98
190. Určete poloměr Aldebarana (a. Tau) a vypočtěte jeho úhlový průměr. Paralaxa Aldebarana n = 0,057", povrchová teplota T — 3 300 K, absolutní vizuální hvězdná velikost 3/T = —0,1-^.
[R = 64 RQ> d 0,034"]
191. Kolikrát je poloměr hvězdy o absolutní hvězdné velikosti M1 = —4,0^ větší než poloměr hvězdy absolutní velikosti M2 — -f 13,4M, jsou-li teploty obou hvězd stejné?
[3 020krát]
192. Určete povrchovou teplotu hvězdy, která vysílá na Zemi energii 6,4 . 10-11 cal cm-2 min-1 a jejíž úhlový průměr je d = 0,020".
[T = 4 300 K]
193. Vypočtěte povrchovou teplotu hvězdy, která vysílá na Zemi energii 7,7 . 10~n cal cm-2 min-1. Uhlový průměr d = 0,047".
[T - 2 900 K]
194. Pomocí obr. 33 určete pravděpodobnou hmotnost hvězdy spektrální třídy PO, která leží: a) na hlavní posloupnosti, b) na větvi veleobrů.
[a) 1,6 PG; b) ~ 10 mQ]
195. *) Určete pomocí závislosti hmotnost — absolutní hvězdná velikost hmotnost Polárky (oc UMi) v jednotkách hmotnosti Slunce. Její absolutní vizuální hvězdná velikost je —3,7M
190. Pomocí závislosti hmotnost — absolutní hvězdná velikost vypočtěte hmotnost hvězdy, jejíž paralaxa ji — 0,19", zdánlivá hvězdná velikost m = = 4,3™.
[SK = o,76 äľc0]
197. Vypočtěte hustotu hvězdy 40 Eri B, jejíž hmotnost je 0,31 9KQ, teplota T = 12 500 K, absolutní vizuální hvězdná velikost Mv — -fll,33í. Hustotu vyjádřete v jednotkách hustoty Slunce a v kg m-3. Jaká je to hvězda?
[q — 72 000 q0 — 108 kg m-3; hvězda je bílý trpaslík]
198. Určete střední hustotu bílého trpaslíka, který tvoří dvojhvězdu s hvězdou o střední hustotě q = 200 kg m~s. Rozdíl hvězdných velikostí hlavní
*) U příkladů 195. 196, 199 a 200 klademe absolutní bolometrickou hvězdnou velikost, rovnu absolutní vizuální hvězdné velikosti.
99
hvězdy a bílého trpaslíka je 10™. Hmotnost hlavní hvězdy je dvakrát větší než hmotnost bílého trpaslíka, teploty obou hvězd jsou stejné.
[o = i o- kg m~3]
190. Vypočtěte hmotnost, poloměr a střední hustotu hvězdy, jejíž zdánlivá hvězdná velikost je 4-0,21*», paralaxa n = 0,073", povrchová teplota 6000 K. K určení hmotnosti použijte závislost hmotnost — absolutní hvězdná velikost. Hustotu vyjádřete v jednotkách hustoty Slunce a v kg m-3.
[9Ji = 4,2 ms: R ~- 12 K3; fi = 0,0024 qq = 3,4 kg m-3j
200. Úhlový průměr Vegy je d = 0.003 7". paralaxa ti — 0,124", zdánlivá hvězdná velikost m = -!-0,04m. Vypočtěte poloměr Vegy, její hmotnost, střední hustotu a povrchovou teplotu.
d . 107
r -------- = 3,2 R0; ti = 3,2 5K0; q = 0.1 qq = 140 kg m"3;
T = 9 700 K j
201. Při velké (perihéliové) opozici Marsu byla jeho zdánlivá hvězdná velikost mx = -2,8"', vzdálenost Marsu od Slunce- byla rx — 207 . 108 km, vzdálenost od Země dx = 56 . 106 km. Jaká je zdánlivá hvězdná velikost Marsu při aféliové opozici, kdy je jeho vzdálenost od Slunce r2 — 249 . 106 km, vzdálenost od Země d2 = 100 . 10(i km.
[Řešení: Intenzita světla u těles, která svítí pouze odraženým slunečním světlem, klesá s druhou mocninou vzdálenosti od Slunce a s druhou mocninou vzdálenosti od Země. Označíme-li Ix intenzitu Marsu při perihéliové opozici a I2 intenzitu při aféliové opozici, platí pro poměr intenzit
L r\d\ Ix r\d\
Dosadíme-li poměr intenzit do Pogsonovy rovnice, je rozdíl hvězdných velikostí
L r\d\ mx — m2 — 2,5 !og — - 2,5 log ■
Zdánlivá hvězdná velikost m2 při aféliové opozici je tedy m2 — m1 — 5 log rxdx 4- 5 log r2d2; čili m2 =■—1,14™.]
202. Vypočtěte zdánlivou hvězdnou velikost mx planetky při její vzdálenosti od Slunce rx — 4,0 AU, od Země dx = 6,0 AU, je-li velká poloosa její dráhy
100
a = 3.0 AU a hvězdná velikost při střední opozici m2 = 12,0r". (Při střední opozici je vzdálenost planetky od Slunce r2 — a, od Země d2 — a— 1.)
[mi = 15,0»»]
203. Při opozici je zdánlivá hvězdná velikost Jupitera —2,50»». Vzdálenost Jupitera od Slunce jc 5,20 AU. Jaká by byla jeho zdánlivá hvězdná velikost při opozici, kdyby byl ve dvojnásobné vzdálenosti od Slunce, než je ve skutečnosti ?
[m = 1 0,75m]
204. Při opozici je zdánlivá hvězdná velikost Jupitera —2,50TO. Jaká by byla zdánlivá hvězdná velikost Jupitera pro pozorovatele na Marsu v době, kdy je Jupiter v nejmenší vzdálenosti od Marsu? Poloměr dráhy Marsu je 1.52 AU, poloměr dráhy Jupitera je 5.20 AU. Dráhy pokládejte za kruhové.
[—2,79»']
205. Jo-li Saturn v nejmenší vzdálenosti od Země, je jeho zdánlivá hvězdná velikost —0,10m. Jaká by byla jeho maximální zdánlivá hvězdná velikost pro pozorovatele na Jupiteru? Poloměr Jupiterovy dráhy je 5.20 AU, poloměr Saturnovy dráhy je 9,55 AU. Dráhy obou planet pokládejte za kruhové.
[—1,57'«]
200. O kolik se změní zdánlivá hvězdná velikost komety, zmenší-li se její vzdálenost od Země i od Slunce na polovinu?
[Řešeni: Protože komety nesvítí pouze odraženým slunečním světlem, klesá intenzita jejich světla v mnoha případech se čtvrtou mocninou vzdálenosti od Slunce. Pro poměr intenzit platí tedy v tomto případě
kde r-y. r2 jsou vzdálenosti komety od Slunce a a\, d2 vzdálenosti od Země. V našem případě
r 2 2 > dt= — >
je tedy poměr intenzit
h 1 1
J2 = 24 . 22 = ~6T '
Zdánlivá hvězdná velikost komety se zmenší o 4,5*».]
101
207. Kometa měla ve vzdálenosti dx = 0,5 AU od Země a rx = 1,5 AU od Slunce zdánlivou hvězdnou velikost mx == 8,0m. Vypočtěte, jakou má hvězdnou velikost ve vzdálenosti r2 = 1 AU od Slunce a d% — 1 AU od Země. Intenzita klesá se čtvrtou mocninou vzdálenosti od Slunce.
[to, = 7,74"»]
102
KAPITOLA 4.
HVĚZDNÝ VESMÍR
V úvodu této kapitoly probíráme kinematické znaky hvězd, tj. radiálni, tangenciální a prostorové rychlosti. Pak popisujeme dvojhvězdy (vizuální, spektroskopické a zákrytové) a metody, jimiž se určují hmotnosti vizuálních a spektroskopických dvojhvězd. Známe-li hmotnosti, poloosy a oběžné doby dvojhvězd, můžeme určit tzv. dynamické paralaxy dvojhvězd. Proměnné hvězdy dělíme na pulsující, expandující a zákrytové; poslední patří mezi dvojhvězdy, které se projevují změnou jasnosti jediné hvězdy; řadíme je proto mezi tzv. geometrické proměnné hvězdy. Hvězdokupy dělíme na otevřené a kulové; zvláštním typem hvězdokup jsou hvězdné asociace typů 0 a T.
Všechny hvězdy i jejich soustavy tvoří galaktickou soustavu, Galaxii. Naše galaktická soustava má spirální tvar a lze ji přirovnat k spojné čočce o průměru asi 30 kpc. Slunce má poměrně výstřednou polohu v Galaxii a je ve vzdálenosti asi 10 kpc od centra, které leží ve směru souhvězdí Střelce. Oběžná doba Slunce kolem centra je asi 230.10'; roků (při rychlosti Slunce 220 km s-1). Celkově se hmotnost Galaxie odhaduje na 2 . 1011 hmotnosti Slunce, přičemž v jádru soustavy jsou asi 3 % celé hmotnosti. Toto rozložení látky vede k poměrně složité rotaci celé soustavy.
Kromě hvězd je významnou součástí Galaxie mezihvězdná látka, složená z plynu (vodík, který je buď v neutrálním, nebo ionizovaném stavu) a z prachu (tuhé částice, řádově velikosti 10-5 cm). Mračna mezihvězdné látky, tzv. temné mlhoviny, způsobují absorpci světla v galaktickém prostoru a tvoří poměrně izolovaná mračna o průměru 10 pc. Mezihvězdná látka je soustředěna v rovině Galaxie. V okolí Slunce připadá přibližně polovina látky na hvězdy a druhá polovina na mezihvězdnou látku.
Naše Galaxie se skládá z několika subsystémů, které tvoří objekty s podobnými fyzikálními vlastnostmi. Tak např. typické subsystémy tvoří otevřené hvězdokupy, proměnné hvozdy typu RR Lyrae, kulové hvězdokupy. Podle kinematických a prostorových charakteristik rozlišujeme v Galaxii tři základní složky, které nazýváme složka plochá, střední a kulová. Přehled o tom podává tabulka 18, v níž je také udáno průměrné stáří v miliardách roků.
103
T A B U L K A 1 8
Klasifikace typů hvězdných populací v Galaxii
Část Galaxie spirální větve 1'»« Iro a vnější části Galaxie
Sovětská terminologie /.cela plochá složka plochá složka střední složku kulov i složka
Americká terminologie extrémní populace I střední populace 1 populace disku střední populace 11 extrémní populace 11 galaktická korona
Stáří [109 ,oků] 0 — 1 1—3 3—5,5 5,5—0 6 —8
Objekty hvězdy Wolfovy-Rayetovy hvězdy tříd 0—B5; B8—B9 otevřené hvězdokupy hvězdné asociace typů O a T hvězdy typu T Tauri mezihvězdná látka (plyn a prach) — neutrální vodík (A = 21 cm) — mlhoviny s H« emisí hvězdy sp. tříd ' A-F červení veleobři otevřené hvězdokupy (bez hvězd sp. tříd O-......B) hvězdy se silnými čarami ve spektru obří hvězdy sp. tříd od G do K podobři hvězdy hlavní posloupnosti (trpaslíci dC—dM) poJopravidelnó proměnné hvězdy novy planetární m lhoviny hvězdy se slabými čarami ve spektru bílí trpaslíci cefeidy typu W Virginis dlouhoperiodioké proměnné hvězdy třídv M5e (P < 250 dní) kulové hvězdokupy proměnné hvězdy typu RE Lyrae (P > 0,4 dne) rychlé hvězdy ' (V> 100 kra s-1) podtrpaslíci
V závěru uvádíme klasifikaci vnějších galaxií a metody k určování jejich vzdáleností.
401
KINEMATICKÉ ZNAKY HVĚZD
402 radiální rychlost
v.
[km s"1]
je složka lineární rychlosti hvězdy ve směru paprsku (radia) od pozorovatele k hvězdě. Měří se na základě Dopplerova principu z posuvu AX spektrální čáry o vlnové délce X. Radiální rychlost vypočteme ze vzorce
V
AX
= c
kde c je rychlost šíření světla, ťři posuvu čar k červenému konci spektra má radiální rychlost kladné znaménko (hvězda se vzdaluje), při posuvu k fialovému konci spektra má záporné znaménko (hvězda se přibližuje).
Radiální rychlosti lze určovat s poměrně velkou přesností; např. u hvězdy x Bootis určil Adams Vr — í—5 211 ±5) m s-1. Radiální rychlosti jsou poměrné přesným statistickým materiálem.
Volmi obsáhlý katalog radiálních rychlostí vydal v r. 1932 Moork pod názvem Catalogue of the Radial Velocities of Stars, Nebulae and Clusters (Publ. of the Lick Observatory, sv. 18).
403 vlastní pohyb hvězdy
je nepatrná změna v poloze hvězdy na sféře, způsobená jednak pohybem hvězdy, jednak pohybem Slunce. Skládá se ze dvou složek : z vlastního pohybu vrektascenzi p,a a z vlastního pohybu v deklinaci jLis. Známe-li složky fiA a ftd, můžeme určit celkový vlastní pohyb // (složku ux převedeme na obloukové vteřiny hlavní kružnice):
fi = ]/(15 ,ua cos áj2 -f- i4,
Obr. 3ó. Složky vlastního pohybu ft hvězdy
["/rok
sever
\
X
východ \
uá
*) Vzorec lze použít pro objekty, jejichž rychlost Vz je malá ve srovnání s rychlostí šíření světla c. Při rychlostech blízkých rychlosti světla je nutno použít vztahu plynoucího ze speciální teorie relativity. Takovými rychlostmi se pohybují např. velmi vzdálené galaxie.
105
kde ô je deklinace hvězdy. Do tohoto vztahu dosazujeme fiA v časových sekundách, ps v obloukových vteřinách.
Označíme-li y> úhel (obr. 35), který svírá vlastní pohyb p se směrem k severnímu pólu (poziční úhel směru vlastního pohybu), pak platí
fia - íi cos ip,
15 (i^ cos ô — p sin ip.
jSTejvětší vlastní pohyb má Barnardova hvězda (10,27" za rok); vlastní pohyby ostatních hvězd jsou mnohem menší.
Katalog vlastních pohybů hvězd vydal v r. 1936 Schorr pod názvem Bergedorfer Eigenbewegungs-Lexicon, obsahující 94 731 hvězdu se známým vlastním pohybem.
404 tangenciální rychlost Vt [km s x]
je složka lineární rychlosti hvězdy v rovině kolmé k zornému paprsku. Vypočteme ji z vlastního pohybu /u hvězdy a ze vzdálenosti nebo paralaxj^ hvězdy. Tangenciální rychlost udáváme v km s-1, platí:
f*
Vt — kur = k — j
71
í 149 . ÍO* \
kde k je koeficient úměrnosti \k = = 4,74 km s 1j , r je vzdá-
lenost hvězdy v pc, n je roční paralaxa ve vteřinách.
405 prostorová rychlost V [km s *]
Prostorová rychlost V hvězdy jo dána vektorovým součtem radiální a tangenciální rychlosti. Její velikost
Označíme-li 0 úhel, který svírá prostorová rychlost hvězdy se směrem zorného paprsku (obr. 36), pak platí
Ft = V sin 0,
VT = V cos 0.
Úhel 0 nabývá hodnot od 0° do 180°; jestliže se hvězda vzdaluje, je VT > 0
106
a úhel 0 je v mezích od 0° do 90°; jestliže se hvězda přibližuje, je Vt < 0 a úhel 9 je v mezích od 90" do 180".
Prostorová rychlost hvězdy vůči myšlenému nehybnému Slunci, tj. oproštěná od vlivu pohybu Slunce, nazývá se reziduálni rychlost.
jsou soustavy dvou hvězd, které vlivem vzájemné přitažlivosti obíhají po eliptických drahách kolem společného těžiště. Rozlišujeme:
a) vizuální dvojhvězdy, můžeme-li obě hvězdy od sebe rozlišit pomocí dalekohledu,
b) spektroskopické dvojhvězdy, jejichž podvojnost se projeví posuvem čar ve spektru (opticky nelze dvojhvězdu rozlišit),
c) zákrytové dvojhvězdy, u nichž nastávají vzájemné zákryty obou složek, a tím i změny jasnosti. Rovina oběžné dráhy leží přibližně v rovině spojnice Země—dvojhvězda, takže příčiny změn jasnosti můžeme označit jako geometrické.
Dvojhvězdy jsou velmi významným zdrojem informací o hvězdách.
412 elementy drah dvojhvězd
Skutečná dráha dvojhvězdy v prostoru je dána podobnými elementy jako dráhy planet kolem Slunce:
a velká poloosa relativní dráhy v obloukových vteřinách, e numerická excentricita dráhy.
i sklon roviny dráhy vzhledem k tečné rovině sféry, Q poziční úhel výstupného uzlu vzhledem k rovině sféry.
Obr. 36. Prostorová rychlost hvězdy
411
DVOJHVĚZDY
107
Tento úhel je předběžně neurčitý o 180°, neboť z pouhého pozičního měření nelze rozhodnout, zda jde o uzel výstupný nebo sestupný. Lze to rozhodnout teprve měřením radiálních rychlostí.
oj délka periastra, která se počítá od uzlové přímky ve směru pohybu, T okamžik průchodu složky periastrem. P doba oběžná.
Výsledky měření a výpočtů z novější doby jsou obsaženy v těchto katalozích:
Buknham : General Catalogue oj Double Stars wíthin 121° of the, North Pole (zkratka BDS) z r. 1906. Obsahuje 13 665 dvojhvězd, z toho mnoho optických dvojhvězd.
InneS: Southern Double Stars Catalogue (zkratka SOS) z r. 1927. Obsahuje 3 100 dvojhvězd z jižní oblohy.
Aitkkn: Xew General Catalogue of Double Stavu wlthin 120° oi the North Pole (zkratka AOS) z r. 1932. Obsahuje 17 180 dvojhvězd.
Rossitkr: Catalogue o/ Southern Double. Stars z r. 1955.
413 hmotnost vizuálních dvojhvězd 9)1 [SR0 == 1]
Z třetího Keplerova zákona plyne
kde a je velká poloosa relativní dráhy (tj. střední vzdálenost složek). P oběžná doba, 9Jřt a 9JÍ2 hmotnosti složek. Konstanta k závisí na volbě jednotek; vyjádří-me-li a v astronomických jednotkách, P v rocích, Wlx a 9)J2 v jednotkách hmotnosti Slunce, pak k = 1, platí tedy
~ = SKi + 3R2 •
a"
Jedi poloosa a změřena v obloukových vteřinách ["], pak a = —- , kde ti je
paralaxa hvězdy. Pro součet hmotností pak platí
a?
93ci + ±»L, = —— •
Střední hodnota součtu hmotností je obvykle blízká 2ffle. Označíme-li a,, a2 velké poloosy drah. které opisují složky dvojhvězdy kolem společného těžiště, pak platí a = ax 4- a2 a dále platí
414 hmotnost spektroskopických dvojhvězd fflt [90Jo — 1J
U spektroskopických dvojhvězd dostáváme z měřeni výrazy
ax sin i, «2 sin i,
108
kde i je sklon dráhy, tedy průměty velkých poloos drah obou složek kolem společného těžiště na sféru. Jsou-li tyto hodnoty udány v astronomických jednotkách a oběžná doba v rocích, pak pro součet hmotností spektroskopické dvojhvězdy dostáváme výraz
(2JÍ! + 2Ha) sin3 i
(a± sin i + <*2 sm í*)3 pí
Jsou-li hodnoty an sin «2 sin i změřeny v kilometrech a oběžná doba ve dnech, pak
sin i 4- a., sin i)3
(SDii r SRa) sin3 i - 4,08 . lO"20
P2
Poměr hmotností obou složek vypočteme ze vzorce
Ve spektru spektroskopických dvojhvězd pozorujeme periodické kolísání radiální rychlosti kolem střední hodnoty, která odpovídá přímočarému a rovnoměrnému pohybu těžiště. Ve většině případů pozorujeme jen spektrum jasnější složky a můžeme nakreslit jen jednu křivku radiálních rychlostí. Jen asi v 15 % pozorujeme spektrum obou složek. Křivka radiálních rychlostí je pak dvojitá. Křivky radiálních
rychlostí pro tři různé dráhy b c
spektroskopických dvojhvězd jsou nakresleny na obr. 37.
Označíme-li K±, K2 poloviční amplitudy radiálních rychlostí, pak poměr hmotností lze vyjádřit vztahem
kruhová dráha
"ŠJÉľ
K, Kx
dl
Měříme-li Kx, K2 v km s~\ oběžnou dobu P ve dnech a známe-li excentricitu dráhy (tyto veličiny lze určit z křivek radiálních rychlostí), pak můžeme součet hmotností (v jednotkách hmotnosti Slunce) vypočítat z rovnice
Obr. 37. Křivky radiálních rychlostí pro různé dráhy spektroskopických dvojhvězd
{Wlí + W*) sin
3 _
1,030 . 10-" (l -62)5 {KL -f K2f P.
109
Hodnota sin i je známa pouze tehdy, jestliže spektroskopická dvojhvězda je současně zákrytovou proměnnou hvězdou; v tomto případě sklon i = 90°, a ted}^ sin i = 1. V případě, že sin i není znám, počítáme se střední hodnotou
_ 2
sin3 i = — ■
415 dynamická paralaxa dvojhvězdy n ["}
je paralaxa určená z hmotností, poloosy a oběžné doby dvojhvězdy. Měří-me-li poloosu a v obloukových vteřinách, pak
n = o(SB, + m2)~i P-1; nebo v logaritmickém tvaru
log ti - log a — ~ log P — — log (9Jř3 r m2) . V této rovnici neznáme sice součet hmotností, protože však vystupuje v nízké
.ví1!
mocnině \~^\ > ^e výpočet začít s přibližnou hodnotou tohoto součtu a postupnými aproximacemi dojít k poměrně přesné hodnotě dynamické paralaxy. V prvním přiblížení položíme součet hmotností rovný 23JÍ0 a vypočteme první hodnotu paralaxy. Pomocí této paralaxy a zdánlivých hvězdných velikostí obou složek vypočteme absolutní hvězdné velikosti složek a ze vztahu hmotnost — absolutní bolometrická hvězdná velikost (viz 327) nalezneme odpovídající hmotnosti složek. Pomocí takto určeného součtu hmotností vypočteme znovu dynamickou paralaxu. Výpočet opakujeme tak dlouho, až se n-tá &n — 1 hodnota paralaxy od sebe neliší.
421 PROMĚNNÉ HVĚZDY
jsou hvězdy, které mění jasnost, případně i spektrum. Příčiny změn mohou být fyzikální (změny průměru a teploty), nebo geometrické (vzájemné zakrývání dvou hvězd nebo eliptický tvar hvězdy). Rozlišujeme pulsující, expandující a zákrytové proměnné hvězdy. Amplituda proměnné hvězdy je dána rozdílem hvězdné velikosti v maximu a v minimu jasnosti.
422 pulsující proměnné hvězdy
jsou skutečné proměnné hvězdy, které periodicky mění svůj průměr, tj. velikost zářícího disku, a tím svou jasnost. Dělíme je na:
110
M
-2
10u
100c
a) dlouhoperiodické cefeidy, jejichž periody jsou od 1 dne do 50 až 70 dní, amplitudy jsou od 0,1™ do 2™. V maximu jsou spektrálních tříd P, v minimu tříd G až K. Absolutní fotografické hvězdné velikosti souvisí s periodou těmito vztahy:
MM = —0,74« - 1,67'" log P (0,00 < log P < 0,95), Mve = —0,35™ — 2,08™ log P (0,95 < log P < 2,00).
b) krátkoperiodické cefeidy typu RR Lyrae. Jsou to pulsující obři s periodami od 0,05 dne do 1 dne. Spektrální třídy jsou obvykle A, amplitudy nepřevyšují 1™ až 2™. Jsou většinou v kulové .složce naší Galaxie a ve vnějších galaxiích. Absolutní fotografické hvězdné velikosti souvisí s periodou vztahem
Mm = —0,17™ — 0,20™ log P (logP<0),
kde P je perioda světelných změn ve dnech (obr. 38).
Kromě těchto dvou základních typů pulsujících proměnných hvězd řadíme do této skupiny ještě dlouhoperiodické obří proměnné hvězdy typu Mira Ceti (amplitudy kolem 5™, periody od 80 dní do 1 000 dní, spektra tříd Me, Ce a Se), dále proměnné hvězdy tvpu RV Tauri (proměnní veleobři, amplituda 3™, periody od 30 dnů do 150 dnů), polopra-videlné a nepravidelné proměnné hvězdy a ještě některé málo početné typy proměnných hvězd.
-
!
-!--
-01
0 +0,i + 0t8 +12 +7,6 +2,0
logP
Obr. 38. Závislost absolutní hvězdné velikosti na logaritmu periody pro krátkoperiodické cefeidy (typ RR Lyrae) a dlouhoperiodické cefeidy (typ ň Cephei)
423 expandtjjící proměnné hvězdy
mění náhle průměr ve formě výbuchu, spojeného s expanzí plynného obalu hvězdy. V době mimo výbuch je hvězdná velikost těchto hvězd konstantní, anebo se mění jen v malých mezích. Rozlišujeme: supernovy, novy a hvězdy novám podobné (pomalé novy a rekurentní novy).
a) Supernovy dosahují amplitudy až 20™; při výbuchu dojde k strukturální změně v celé hvězdo. V Galaxii byly dosud pozorovány tři supernovy, které jsou intenzivními zdroji rádiového záření. Supernovy často pozorujeme ve vnějších galaxiích.
b) Novy jsou trpasličí žhavé hvězdy, které zvyšují náhle svou intenzitu
111
o ~m až 16™ během velmi krátké doby (několik dnů), načež pozvolna klesají na původní velikost. Kolem maxima jsou spektrálních tříd A nebo F. Jejich vzplanutí se patrně po velmi dlouhé době opakují.
Pomalé novy se liší od normálních nov pozvolnějším průběhem světelných změn; mezi rekurentní novy řadíme takové, u nichž bylo již pozorováno několik vzplanutí (amplitudy od lm do 9m). Konečně hvězdy novám podobné se bud světelnými změnami, nebo charakterem spektra podobají novám.
424 zákrytové proměnné hvězdy
vznikají zakrýváním složek dvojhvězdy. Jejich oběžná dráha leží přibližně v rovině spojnice Země—dvojhvězda. Rozlišujeme, zda jde o kulové hvězdy (typ (i Persei, Algol), které mají výrazný začátek a konec zatmění, anebo o elij)soidální hvězdy (typ ji Lyrae). u nichž se jasnost mění plynule během celého oběhu (kromě zákrytu pozorujeme v různých polohách různě velké plochy hvězd).
Dalším typem zákrytových pro-\ i \ I s *\ měnných hvězd jsou hvězdy, které
V V mají elipsoidální tvar a obíhají tak
_. .____,_ blízko sebe, že se téměř dotýkají
W W li ^ a maF ěasto i společnou atmosféru
(typ VY Ursae Maioris). Periody mají
H^ip^rMP Q_________-Ä kratší než 1 clen, spektrální* třídy
" " složek jsou F až G a amplitudy jsou
Gobvykle menší než 0,8m. Posledním typem jsou elipsoidální zákrytové hvězdv. u nichž k zatmění nedo-chází, ale mění se jen velikost plochy vysílající záření. Typické křivky zákrytových proměnných hvězd jsou nakresleny na obr. 39.
Zákrytové proměnné hvězdy jsou velmi důležitým zdrojem informací
Obr. 39. Světelné křivky zákrytových ° hvězdách. V tah. 19 jsou shrnuty proměnných hvězd nejlépe určené dráhy zákrytových
proměnných hvězd. V prvním sloupci je označení hvězdy, dále její perioda P ve dnech, spektrální třídy 8p obou složek, střední vzdálenosti a v miliónech km mezi středy složek, poloměry složek .Rx a R2 opět v miliónech km, dále hmotnosti ^Jl1 a ä)ť2, střední hustoty pj a o2 v jednotkách sluneční hmotnosti a hustoty. V posledním sloupci jsou uvedeny absolutní bolometrické hvězdné velikosti _Mbol obou hvězd.
112
TABULKA 19
Zákrytové proměnné hvězdy
Hvězda P Sp a 59c, 3JÍ2 Ch
[d] [10a km] [3Ko = 1] = 11
V Cygni 3,00 09,5 09,5 19,8 4,1 4,1 17,1 17,3 0,09 0,09 —5,3 -5,3
V Puppis 1,45 Bin B3 12,5 5,2 4,7 21,2 16,3 0,05 0,05 —4,9 —4,5
u Herculia 2,05 B3n B3n 10,0 3,2 3,4 7,5 2,9 0,10 0,03 - 3,4 2,4
TT Aurigae 1,33 B3 B5 8,1 3,0 2,7 6,7 5,3 0,11 0,12 —2,0 —2,1
U Ophiuchi 1,67 B4n B4n 9,0 2,2 2,2 5,4 4,7 0,18 0,16 —2, (i —2,4
/? Lyrao 12,92 B5e B8 49,2 29,9 12,5 18,7 7,1 0,0004 0,0025 4,1 —3,2
/S Persei 2,87 B8 F8 10,4 2,9 2,0 4,6 1,0 0,07 0,04 — 1.6 + 1,4
(j Aurigae 3,96 AOn AOn 12,5 1,9 1,9 2,4 2,4 0,11 0,11 — 0,6 —0,6
d Librae 2,33 Als Gl 8,6 2,4 2,5 2,7 1,2 0,08 0,03 -0,2 + 3,1
YZ Cassiopeiae 4,47 A3 P2 13,8 2,2 1,0 3,4 1,6 0,12 0,51 0,0 -1-4,2
WW Aurigae 2,52 A7n A7 8,7 1,5 1,5 2 2 1,9 0,21 0,21 + 1,7 + 2,0
S Antliae 0,65 A8n A 9 2,3 1,1 0,8 0,8 0,4 0,31 0,38 -2,9 + 3,0
RS Canum venatico-rum 4,80 F4n G8 12,7 1,1 3,7 1,8 1,7 0,45 0,01 + 2,7 + 1,6
W Ursae Maioris 0,33 F8n F8n 1,8 0,55 0,55 0,7 0,5 1,9 1,4 5,0 + 5,2
YY Geminorum 0,81 dMle dMle 2,7 0,43 0,43 0,6 0,6 2,5 2,5 -1-7,6 + 7,6
V r. 1952 vyšlo druhé vydání dvousvazkového katalogu proměnných hvězd, který sestavili Ktjkarkin, Parenago, Jefremov a Cholopov: Obšcij katalog perernennych zvezd, obsahující údaje o 14 708 hvězdách. Stejní autoři vydali v r. 1951 Katalog znezd, zapodozrennych v peremennosti (8 000 hvězd). V r. 1969 vyšlo již 3. vydání katalogu proměnných hvězd, obsahující informace o 20 437 proměnných hvězdách, objevených a označených do roku 1968. Z tohoto počtu je 13 782 pulsujících, 1618 eruptivních a 4002 zákrytových proměnných hvězd. Zbytek připadá na hvězdy s neobvyklými vlastnostmi a na málo studované hvězdy.
431 HVĚZDOKUPY
dělíme na dva typy: otevřené a kulové hvězdokupy. Zvláštním případem otevřených hvězdokup jsou pohybové hvězdokupy (např. Plejády a Hyády v souhvězdí Býka). Mezi hvězdokupy můžeme počítat také hvězdné asociace, objevené Ambakctjmjanem. Tvoří je poměrně mladé hvězdy raných spektrálních tříd (O— B), které společně vznikly (asociace typu- O). Průměry asociací jsou od 30 do 200 pc a obsahují poměrně malý počet hvězd. Kromě asociací žhavých hvězd známe asociace tvořené trpasličími proměnnými hvězdami typu T Tauri (asociace typu T).
432 otevřené hvězdokupy
tvoří plochý subsystém a rozkládají se v pásu ±15° kolem galaktického rovníku. Průměry otevřených hvězdokup jsou od 1,5 pc do 15 pc; průměrný počet hvězd v otevřené hvězdokupě je od 100 do 1000 hvězd. Celkem známe asi 760, předpokládá se, že v naší Galaxii je asi 20 000 otevřených hvězdokup. Otevřené hvězdokupy tvoří často jádra hvězdných asociací typu O.
433 kulové hvězdokupy
tvoří kulový subsystém v Galaxii. Průměry jsou asi 70 pc, obsahují 105 až 107 hvězd. Celkem známe 125 kulových hvězdokup a předpokládá se, že je jich v Galaxii asi 500. Tvoří je hvězdy spektrálních tříd A5 až K. Absolutní fotografická hvězdná velikost kulových hvězdokup je průměrně —7,3M. Kulové hvězdokupy jsou nejstarší útvary v Galaxii (jejich stáří se odhaduje na 1011 roků).
V r. 1958 vydalo Nakladatelství Cs. akademie věd v Praze katalog hvězdokup a asociací, který sestavili Alter, Rttprecht a Vanýsek Catalogue of Star Clusters and Associations. Druhé doplněné vydání tohoto katalogu zpracovali Alter, Rtjprecht a Balász a vydalo jej v roce 1970 nakladatelství Maďarské akademie věd v Budapešti.
441 VNĚJŠÍ GALAXIE
jsou soustavy podobné naší Galaxii. Dělíme je na galaxie eliptické FJ, spirální SA a spirální s příčkou 8B. Zvláštní skupinu tvoří nepravidelné
114
galaxie Ir. Průměrné absolutní fotografické hvězdné velikosti eliptických galaxií jsou —14,5M, spirálních —16M. Průměrná hmotnost galaxií je 5 . 101" 9K3, průměrně připadají 3 galaxie na 1 Mpc3. Celkovou hmotnost 9J?G galaxie počítáme ze vzorce
log WG = log 3R0 + log h + 0,4(M^q - J/llgG);
konstantu h klademe obvykle rovnu 12.
Vzdálenosti galaxií určujeme těmito metodami:
a) metoda cefeid (RR Lyrae), objevená Leavittovou v r. 1912: závislost absolutní hvězdné velikosti na periodě cefeidy;
b) metoda nov — předpokládáme, že novy v galaxiích mají v maximu stejné absolutní hvězdné velikosti jako novy v Galaxii, tj. —7,0M;
c) metoda jasných hvězd spektrálních tříd íB a W—R, jejichž absolutní hvězdné velikosti jsou průměrně —1,0M;
d) metoda integrálních absolutních hvězdných velikostí galaxií (průměrně —15,0*);
e) metoda středních průměrů galaxií d (v obloukových minutách). Integrální hvězdné velikosti m a průměry galaxií d jsou dány vztahem
mpg = j — 5 log d,
(u eliptických galaxií j == 11,6; u spirálních galaxií j = 13,7 a u spirálních galaxií s příčkou j — 14,6).
f) metoda radiálních rychlostí, tzv. červeného posuvu čar ve spektru galaxií (objevil Htjbble v r. 1929) vychází ze vztahu
Fr[km s-1] -= lír,
kde hodnota Hubbleovy konstanty H ?a 100 . 10~6, je-li vzdálenost r v par-sekách.
PŘÍKLADY
208. Nejžhavější a nejhmotnější hvězdy mají v průměru hmotnosti 2 . 10slkg a rychlosti kolem 15 . 103 m s-1; hvězdy třídy našeho Slunce mají hmotnosti kolem 2 . 1030 kg a rychlosti 64 . 103 m s-1; menší a chladnější hvězdy mají v průměru hmotnosti kolem 1,2 . 1030 kg a rychlosti kolem 78 . 103 m s-1. Porovnejte kinetické energie těchto hvězd.
[Kinetické energie hvězd jsou v poměru 2,2 : 4,1 : 3,6; liší se tedy od sebe poměrně málo přes velké rozdíly v hmotnostech a rychlostech; svědčí to o tom, že energie je poměrně rovnoměrně rozložena na všechny hvězdy.]
115
209. Za jakou dobu t se nkvát zvětší intenzita hvězdy, která je ve vzdálenosti r km od Slunce a přibližuje se k nám rychlostí v km s"1?
[Řešení: Hvězda se přibližuje ke Slunci (a tedy i k Zemi) rychlostí v; je-li v současné době její vzdálenost od Slunce r a intenzita světla Ix, pak po uplynutí doby t so tato vzdálenost zmenší na r — v t a intenzita vzroste na hodnotu I2. Protože intenzita klesá s druhou mocninou vzdálenosti, bude poměr intenzit
I2 r2
/i, (r — vtf
Intenzita se zvýší nkrát, je tedy /» — nlu a dosazením do vztahu pro poměr intenzit dostaneme
{r — vty
Odtud vypočteme hledanou dobu t:
1 |'J-
Dosadíme-li do tohoto vztahu vzdálenost r v kilometrech a rychlost hvězdy v km s_1, vyjde hledaná doba v sekundách. Převedeme ji na roky; protože počet sekund v roce je přibližně 3,156 . 107 je hledaná doba v rocích
1 " 3,156 . 107 v [l ]/n)
210. Za jakou dobu se zdvojnásobí intenzita hvězdy C Herculis. která má paralaxu ti — 0,108" a přibližuje se ke Slunci rychlostí 70 km s-1?
[za 38 000 roků]
211. Altair ( = 218°. Určete složky px a ud vlastního pohybu.
[us - —0,070«; u3 = —1,25"]
220. Barnardova hvězda má největší vlastní pohyb u = 10,27" za rok; její vzdálenost od Slunce je 1,83 pc. Vypočtěte její tangenciální rychlost Vt.
[Vt = 89 km s-1]
221. Vypočtěte tangenciální rychlost Vt Síria, jehož paralaxa ti = 0,376", roční vlastní pohyb u = 1,315".
[Ft = 16,6 km s-1]
117
222. Radiální rychlost Vegy je VT = —14 km s~\ jjaralaxa ti = 0,124", vlastní pohyb u = 0,348" za rok. Určete prostorovou rychlost Vegy vzhledem k Slunci.
[V - 19,3 km s"1]
223. Ve spektru Kapteynovy hvozdy je čára vápníku o vlnové délce X -----= 422,7 um posunuta o 0,341 nm k červenému konci spektra. Vlastní pohyb H = 8,75" za rok, paralaxa hvězdy n = 0,251". Určete prostorovou rychlost V hvězdy a úhel 0, který tato rychlost svírá se zorným paprskem.
[V = 293 km s"1; 0 = 34,3°]
224. Hvězda /? Crucis má prostorovou rychlost V = 21 km s-1, radiální rychlost Vt = -f-13 km s-1. Určete tangenciální rychlost této hvězdy.
[Vt = 16,5 km s_1]
225. Prostorová rychlost Capelly (* Aur) svírá se zorným paprskem úhel 0 — 48°, V == 45 km s-1. Určete vlastní pohyb /i této hvězdy, jedi paralaxa n = 0,073".
[u - 0,51"]
226. Je dána prostorová rychlost V hvězdy a úhel 0, který tato rychlost svírá se zorným paprskem. Paralaxa hvězdy je ti, zdánlivá hvězdná velikost m. Určete dobu t, za kterou bude (popřípadě byla) tato hvězda nej blíže Slunci.
Určete, jaká bude v té době její paralaxa tangenciální rychlost Vt, radiální rychlost VT a hvězdná velikost mv
A
Obr. 40. K příkladu 226
[Ěešení: V čase t — 0 je hvězda v bodě A, který je ve vzdálenosti r od Slunce S (obr. 40). Rychlost V hvězdy svírá se zorným paprskem lihel 0, nejmenší vzdálenost od Slunce je tedy d = r sin 0; hvězda pak bude v bodě B, který je ve vzdálenosti s od bodu A. Tuto vzdálenost hvězda urazí za
dobu t = —pr . Protože s = r cos 0, je doba
r cos 0
118
Vzdálenost hvězdy v bodě A vypočteme pomocí paralaxy:
1 1
r = - - [pc] = — 3.086 . 1013 [km]
71 71
a doba
cos 0
t = 3,086 . 1013-— [s].
71 V
Paralaxa hvězdy v bodě B je
1 1 71
d r sin 0 sin 0
z obr. 40 je zřejmé, že VlX = 0. Va — V.
Označíme li M absolutní hvězdnou velikost hvězdy, pak zdánlivá hvězdná velikost v bodě A je
to = M — 5 — 5 log 7t,
v bodě B
m1 = M — 5 — 5 log Tii,
odečtením dostaneme
■m — mx = 5 (log 7t1 — log ti),
a tedy
Ttx 1
to, — to — 5 los- = to — 5 log —:—— >
71 Slil 0
takže
tox — to -i- 5 log sin f9 .]
227. Hvězda a Centauri má v současné době zdánlivou hvězdnou velikost to = 0,02™, paralaxu ti — 0,758". Její radiální rychlost VT — —22 km s_1, tangenciální rychlost Vt = 23 km s-1. Vypočtěte, za jakou dobu t bude tato hvězda v nejmenší vzdálenosti od Slunce, jaká bude v té době její paralaxa 7ix, zdánlivá hvězdná velikost mx a roční vlastní pohyb fj,x.
[t = 28 000 roků; nx = 1,05"; mx = 0,02 — 0,71 = —0,69™; ^ = 7,05". V současné době je /* = 3,68".]
228. Určete, kdy bude Barnardova hvězda nejblíže Slunci. Paralaxa hvězdy v nynější době tc = 0,545", tangenciální rychlost Vt = 90 km s-1, radiální rychlost Vz — —110 km s_1.
[za 9 770 let]
229. Kdy byla Kapteynova hvězda v nejmenší vzdálenosti od Slunce?
119
Jaká byla tehdy její vzdálenost od Slunce? Jaká byla její zdánlivá hvězdná velikost? V současné době je paralaxa hvězdy ti = 0,25", zdánlivá hvězdná velikost 8.9W, prostorová rychlost V — 290 km s-1; úhel, který tato rychlost svírá se zorným paprskem 0 = 34,5°.
[před 11 000 lety; r 2,3 pc; mx = 7,7m]
230. Určete součet hmotností dvojhvězdy Capelly, je-li velká poloosa relativní dráhy a = 0,85 AU, oběžná doba P — 0,285 roku.
[mx + m2 = 7,6 ER0]
231. Určete hmotnosti složek dvojhvězdy Procyona, která má oběžnou dobu P = 39 roků, velkou poloosu relativní dráhy 15 AU a poměr vzdáleností složek od těžiště % : a2 — 3.
[39Í! + wt2 = 2,2 m0; mt = 0,6 mQ, = i,e sr0]
232. Velká poloosa dvojhvězdy x Centauri je 17,65"; kolikrát je skutečná velká poloosa dráhy vetší než vzdálenost Země od Slunce? Paralaxa hvězdy ti = 0,76". Vypočtěte součet hmotností složek, víte-li, že oběžná doba P — 79 roků.
[a = 23,2 AU; 3WX f % - 2,0 Wí0]
233. Dvojhvězda e Hydrae má oběžnou dobu P = 15,3 roku, paralaxu n — 0,02", úhlový rozměr velké poloosy a = 0,23". Určete délku velké poloosy v astronomických jednotkách a součet hmotností složek.
[a = 11,5 AU; SR, + Tl2 = 6,5 2JÍ0]
234. Dvojhvězda o2 Eridani má oběžnou dobu P = 248 roků, úhlový rozměr velké poloosy a = 6.9", poměr vzdáleností složek od těžiště % : a2 — 1 "• 2. Paralaxa - 0,2". Určete hmotnosti složek.
!«, 0,44 1U : 9Jc2 - 0,22 gjcG]
235. Předpokládejte, že hustota složek dvojhvězdy je rovna střední sluneční hustotě a obě složky (kulového tvaru) jsou tak blízko sebe, že se jejich povrchy dotýkají; jaká bude jejich doba oběžná, je-li hmotnost každé hvězdy rovna
1
— hmotnosti Slunce? Jaká bude relativní rychlost složek? 10
[Řešení: Jsou-li obě složky tak blízko u sebe, že se jejich povrchy dotýkají, pak poloměr relativní oběžné dráhy je rovný součtu poloměrů obou složek; v našem případě jsou obě složky stejné. Označíme-li tedy poloměr jedné složky
120
R, je poloměr a relativní dráhy rovný a = 2 R.
Při výpočtu uvažujme, že jedna složka je v klidu a druhá kolem ní obíhá po kruhové dráze o poloměru a (obr. 41); ve skutečnosti obě složky obíhají kolem společného těžiště, které leží v místě dotyku povrchů, po stejných drahách o poloměru R.
K výpočtu poloměru a relativní dráhy potřebujeme poloměr R hvězdy. Tento poloměr vypočteme v jednotkách poloměru Slunce pomocí známé
hmotnosti a hustoty hvězd. Objem V hvězdy kulového tvaru je
V
9Ji\
Obr. 41. K příkladu 235
4 m
3 o
Dosadíme-li 9JÍ
a odtud
10
4
3 10 q0
R =
Rr
1 4 10 " 3
0,464 R ,
a poloměr relativní dráhy
1 1<»
2 R == 0,928 R0.
K výpočtu oběžné doby potřebujeme tento poloměr vyjádřený v astronomických jednotkách; protože poloměr Slunce RQ — 6,96 . 105 km, astronomická jednotka AU = 1,495 . 108 km, je poloměr relativní dráhy
6,96 . 105
a = 0,928 •
1,495 . 108
Oběžnou dobu dvojhvězdy vypočteme ze vzorce
4,32 . I0~3 AU.
kde a je velká poloosa (v našem případě rovná poloměru) relativní dráhy, l$fl1
121
a 3Jř3 jsou hmotnosti složek. Prodanou dvojhvězdu je Tlx 4- 3Jia — 0,2 SJÍq, neboť hmotnosti složek jsou stejné. Dosadímedi do vztahu poloměr v astronomických jednotkách a hmotnost v jednotkách hmotnosti Slunce, vyjde oběžná doba v rocích. Pro danou dvojhvězdu je oběžná doba velmi malá, proto ji vypočteme ve dnech:
Číselně je P = 0,232 dne.
Při výpočtu relativní rychlosti opět uvažujeme, že jedna složka je v klidu a druhá kolem ní obíhá rychlostí v po kruhové dráze o poloměru a. Za dobu P jednoho oběhu vykoná tato složka dráhu 27ia, je tedy oběžná rychlost (jež je rovna hledané relativní rychlosti)
Protože rychlosti hvězd udáváme obvykle v jednotkách km s 1, musíme převést poloměr dráhy na kilometry a oběžnou dobu na sekundy:
a = 4,32 . 10-3 . 1,495 . 10s = 6,46 . 105 km,
P = 0,232 . 86 400 = 2,004 . 104 s
a relativní rychlost v — 202 km s-1.
Skutečná rychlost každé složky po dráze kolem společného těžiště je 101 kms"1.]
23G. Určete dynamickou paralaxu dvojhvězdy m2 = 1,3 SR 9KG, StTř2 = 1,4 SR 3)i0, 3Ji2 = 1,4 3Jl0.]
0. Ve druhé aproximaci ti2 = 0,0041", hmotnosti 3Jř3 = 1,7 0. Výsledná hodnota ji = 0,039", hmotnosti složek Mľ = 1,7
o-
240. Vypočtěte metodou postupných aproximací dynamickou paralaxu dvojhvězdy Furuhjelm 46, jsou-li zdánlivé bolometrické hvězdné velikosti složek mx = 7,30m, m2 — 7,70'", oběžná doba P = 13,12 roku. velká poloosa dráhy a = 0,71".
[Čtvrtá aproximace: n — 0,140", hmotnosti složek SJJj = 0,40 W0, äJL = = 0,36 m0.]
241. Určete poměr hmotností složek spektroskopické dvojhvězdy /? Scorpii, je-li poloviční amplituda radiálních rychlostí hlavní hvězdy K± — 126 km
= 152 km s"1. A", " 1,2]
s 1, průvodce K2 [Wi : Wl2 - K2
242. Určete poloměr dráhy spektroskopické dvojhvězdy Lacaille 3105, je-li maximální relativní rychlost složek 020 km s"1, oběžná doba 3d 2h 46mln. Předpokládejte, že dráha je kruhová, sklon dráhy i = 90° a hmotnosti obou složek jsou stejné.
[Řešení: Jsou-h obě složky stejně hmotné, pak obíhají kolem společného těžiště T po stejných drahách o poloměru R (obr. 42). Největší rozdíl rychlostí pozorujeme v okamžiku, kdy složky jsou v bodech A a B a směry rychlostí leží v zorném paprsku. Rychlost každé složky je tedy Obr. 42. K příkladu 242 rovna polovině relativní rychlosti,
124
v — 310 km s 1. Za dobu P jednoho oběhu vykoná každá složka dráhu 2tcR; lze tedy poloměr dráhy počítat z rovnice
vP "-to'
Dosadímedi do tohoto vztahu rychlost v km s-1, oběžnou dobu v sekundách (P = 269 160 s), vyjde poloměr dráhy v km. Číselně je R = 1,328 . 107 km. Poloměr relativní dráhy, neboli střední vzdálenost obou složek je a = 2R, tedy 2,656 . 107 km.]
243. Určete poloměr relativní dráhy, opisované Spicou (« Vir) jako složkou spektroskopické dvojhvězdy, je-li relativní rychlost po dráze v = 91 km s-1, oběžná doba P = 4d 0h 19m,u. Předpokládejte, že dráha je kruhová se sklonem i =s 90°.
[a = 5,02 . 10« km]
244. Určete hmotnost spektroskopické dvojhvězdy, je-li poloměr relativní dráhy a = 26,6 . 10« km, sklon dráhy i = 90°, perioda P = 3d 2h 46min. Dráhu pokládejte za kruhovou.
[SJii + SK, 79 M0]
245. Zákrytová proměnná hvězda VV Ursae Maioris má excentricitu dráhy rovnu nule, sklon dráhy i = 90°. Pro průměty poloos drah, které opisují složky kolem společného těžiště, byly naměřeny hodnoty at sin i == 0,6 . 106 km, aa sin i = 0,86 . 10B km. Oběžná doba P = 0,334 dne. Vypočtěte hmotnosti složek této dvojhvězdy.
[SDli = 0,67 mo; Wl2 = 0,47 3JÍ01
246. Kruhová dráha vizuální dvojhvězdy má sklon dráhy i = 45°, hmotnosti složek jsou stejné. Největší pozorovaná relativní radiální rychlost obou složek je 20 km s_1, největší úhlová rychlost jedné složky vzhledem k druhé složce je ji' = 0,05" za rok. Oběžná doba P — 6 roků. Určete hmotnosti složek této dvojhvězdy, paralaxu a poloměr relativní dráhy.
[Řešeni: Známe excentricitu dráhy e = 0 (kruhová dráha) a sklon dráhy i = 45°; součet polovičních amplitud rychlostí K1 -f- Kt = Fr = 20 km s-1. Vyjádříme-li oběžnou dobu ve dnech, P = 2 191,5 dne, můžeme součet hmotností vypočítat dosazením do vztahu
1,036 . 10~7 (K, + Ä',)3 . P
m, + m2) =-~4—---
sin3 %
Z této rovnice dostáváme 3Rt + 3U2 = 5 WlQ. Protože hmotnosti složek jsou stejné, je ^ = SDl2 = 2,5 W0.
125
Největší úhlovou rychlost pozorujeme v době, kdy relativní rychlost je kolmá k zornému paprsku a je tedy rovna tangenciální rychlosti; tato rychlost je současně rovna rychlosti po kruhové dráze. Protože relativní radiální rych-
lost VT je průmět kruhové rychlosti v do směru zorného paprsku, je v = . . —
sin %
— 28,3 km s-1. Paralaxu vypočteme pomocí rychlosti v a úhlové rychlosti fi': fi'
n - 4,74 . — = 0,008 4".
v
Poloměr relativní dráhy vypočteme z 3. Keplerova zákona
3__
a = ]/Pz(Wt1 + SR,) ;
dosadímedi P v rocích a hmotnosti v jednotkách hmotnosti Slunce, vyjde a = 5,7 AU J
247. Na obr. 43 je znázorněn průběh rychlostí spektroskopické dvojhvězdy p Velorum. Za předpokladu, že sklon dráhy i = 90°, určete: a) oběžnou dobu, b) rychlost těžiště soustavy, c) délku periastra, d) excentricitu dráhy, e) hmotnosti složek dvojhvězdy.
—I I-1_I_I_I_I_I_|_i i_L
-2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9
dny
Obr. 43. Křivky radiálních rychlostí hvězdy p Velorum
126
[Řešení: a) Z grafu vidíme, že průběh rychlostí se opakuje za dobu P == = t2— tx. odečteme t2 — 8,0 dne, tx = -1,7 dne; je tedy oběžná doba P — = 9,7 dne.
b) Křivky radiálních rychlostí obou složek se protínají u hodnoty +20 km s-1, je tedy rychlost těžiště vT = +20 km s-1, dvojhvězda se od nás vzdaluje.
c) Srovnáme-li průběh radiálních rychlostí s obr. 37, vidíme, že v daném případě je délka periastra co = 0°.
d) Je-li co — 0°, pak rychlost první složky vzhledem k těžišti v periastru vjx = í>T — vA1 — 66 km s_1, rychlost této složky v apoastru vA = vA2— vT — -
vn
— 22 km s 1. Je tedy poměr rychlostí v periastru a v apoastru-= 3. Stejný
poměr bychom dostali pro druhou složku. Pro poměr rychlostí v periastru a v apoastru platí
t'n 1 -f e vA 1 — e
a odtud excentricita e = 0,5.
e) Hmotnosti složek počítáme z rovnice
(mi + 3Jy sin3 i -- 1,036 . 10"7 (1 — e2)* {Kx + ÄVpP, pro poměr hmotností platí
Wi K2
kde Ky je poloviční amplituda rychlosti první složky, K2 je poloviční amplituda
va2--va1
rychlosti druhé složky. V našem případě Kx = ——- = 44 km s_1,
K2 = ----1 = 53kms-1. Je tedy součet hmotností 9KX + £R2 = 0,61 9Jř0;
—<
hmotnost první složky SJíj = 0,33 3JřG, hmotnost druhé složky Wl2 = 0,28 3RQ.]
248. Určete hmotnost složek spektroskopické dvojhvězdy SW Lacertae: oběžná doba je 0,321 dne, poloviční amplituda rychlosti hlavní hvězdy Kx = = 172 km s-1, průvodce K2 = 202 km s_1. Sklon dráhy nelze pro tuto dvojhvěz-
2
du určit; pro výpočet berte střední hodnotu sin3 i = —. Excentricita dráhy je
ó
rovna nule. Určete jaký je pravděpodobně poloměr relativní dráhy této dvojhvězdy.
rafli = 1,41 fflQ, % - 1,20 9JřQ; o = 1,88 . 10« km]
127
249. Na obr. 44 je vynesena křivka radiálních rychlostí spektroskopické dvojhvězdy V 502 Ophiuchi. Určete: a) rychlost těžiště, b) celkovou hmotnost soustavy a hmotnosti složek; sklon dráhy není možno určit, při výpočtu
2
použijte střední hodnotu sin3 i — —. Excentricita dráhy je rovna nule, oběžná doba P = 0,45 dne.
[a) vT = —40 km s"1, b) 3^ +- % = 2,1 3R0, Wlt = 1,5 W0, M2 = 0,6 Wíe]
t-300
Obr. 44. Křivky radiálních rychlostí hvězdy V 502 Ophiuchi
250. Proměnná hvězda Mira Ceti má v maximu zdánlivou hvězdnou velikost 2,5m, v minimu 9,2W. Kolikrát je její jasnost v maximu větší než v minimu?
[480krát]
251. Jasnost proměnné hvězdy je v maximu 16krát větší než v minimu. Jaký je rozdíl hvězdných velikostí?
[A m = 3m]
252. Kolikrát se zvětší poloměr cefeidy, je-li rozdíl hvězdných velikostí v maximu a v minimu Am = 1,5™ a je-li jasnost jednotky povrchu konstantní?
[dvakrát]
253. Určete periodu a amplitudu změny jasnosti hvězdy % Cygni podle obr. 45 a vypočtěte poměr jasnosti hvězdy v maximu a v minimu.
[Perioda asi 400 dní, rozdíl hvězdných velikostí Sm, jasnost v maximu je 1600krát větší než v minimu].
128
2500 í
6
8
10 12
3000
3500
íQOO
4500
m
\ 0 ) <ž> o°o u n f\ .Pi ,
o o % -( o o o o o < \ 'n á1 „8 ' b i -. o c P "V cP 0
0 o o o o 1 b o ' t o oa O i-ť-1 ú oo —1- 0 1
1922
1923
1924
1925
"•Obr. 45. K příkladu 253
254. Sestrojte křivku hvězdné velikosti cefeidy, jsou-li pro určité okamžiky (odečítané ve dnech) změřené hvězdné velikosti:
0,01d 7,36™ 0,21d 7,60™ 0,53d 7,72'»
0,03 7,28 0,26 7,68 0,55 7,64
0,06 7,28 0,34 7,74 0,56 7,49
0,09 7,36 0,38 7,76 0,58 7,36
0,12 7,42 0,44 7,77 0,60 7,28
0,17 7,52 0,49 7,78 0,62 7,28
Určete amplitudu a periodu změny hvězdné velikosti. [Am = 7,78 — 7,27 = 0,51™, perioda P = 0,565 dne]
255. Určete absolutní fotografickou hvězdnou velikost cefeidy 'Q Geminorum, jejíž perioda je 10 dní. Určete vzdálenost této hvězdy od Slunce, je-li její
střední zdánlivá fotografická hvězdila velikost mn
4,80™.
[Mvg = —2,43J,Í, r = 279 pc]
256. Proměnná hvězda ô Cephei má periodu 5 dní a zdánlivou fotografickou hvězdnou velikost 4,40™. Určete její vzdálenost od Slunce.
[r - 183 pc]
257. Určete paralaxu cefeidy, jejíž zdánlivá střední fotografická hvězdná velikost mos = 11,2m, perioda P = 0,56 dne.
[n - 0,000 54"] i
258. Zdánlivá fotografická hvězdná velikost cefeidy v kulové hvězdokupě je TOpg = 14,1™, perioda této cefeidy P = 0,141 dne. Určete: a) vzdálenost této hvězdokupy od Slunce, b) skutečný průměr hvězdokupy, je-li táhlový průměr d = 21', c) absolutní fotografickou hvězdnou velikost hvězdokupy,
je-li zdánlivá hvězdná velikost mv
6,-
[a) r ="6 600 pc; b) D = 40 pc; c) Mvt ~ — 7,4M]
9 Základy astronomie
129
259. Střední zdánlivá fotografická hvězdná velikost krátkoperiodických cefeid (se střední periodou P — 0,54 dne) v kulové hvězdokupě M 3 je + 14,80w. Vypočtěte: a) vzdálenost této hvězdokupy, b) skutečný průměr hvězdokupy, je-li úhlový průměr d — 20', c) skutečný průměr jádra hvězdokupy, je-li úhlový průměr jádra dx = 0,7', d) absolutní hvězdnou velikost hvězdokupy, je-li zdánlivá hvězdná velikost +7,2™.
[a) r = 9,64 kpc, b) D = 56 pc, c) Dx = 2 pc, d) M = —7,7*]
260. Vzdálenost spirální galaxie M 31 (NGC 224) v souhvězdí Andromedy je r = 440 kpc. Roku 1885 tam vzplála nova, která dosáhla maximální zdánlivé hvězdné velikosti +7,0m. Jaká byla její absolutní hvězdná velikost?
[M = —16,2*]
261. Perioda cefeidy ve spirální galaxii M 33 v souhvězdí Trojúhelníka je P — 13 dní, zdánlivá fotografická hvězdná velikost wpg = 20,6m< Úhlový průměr galaxie je 70', zdánlivá fotografická hvězdná velikost 6,6m. Určete: a) vzdálenost galaxie, b) skutečný průměr galaxie, c) absolutní fotografickou hvězdnou velikost galaxie, d) celkovou hmotnost v jednotkách hmotnosti Slunce, e) srovnejte úhlový průměr galaxie s průměrem vypočteným podle vztahu
kde j = 14,6.
[a) r = 450 kpc, b) D = 9,1 kpc, c) Mev = —16,7*, d) W = 7,6 . 109 S0ío, e) d = 40']
262. *) Určete poměr poloměrů — tmavé a jasné hvězdy, které tvoří zákry-
Obr. 46. K příkladu 262
*) TJ příkladů č. 262 až 265 předpokládáme, že poloměr jasné složky je větší než poloměr tmavé složky.
mm =3 — 5l°S d>
r
tovou proměnnou hvězdu, jestliže bylo pozorováním zjištěno, že intenzita světla v minimu je &krát menší než intenzita v maximu. Na obr. 46 je nakreslena dvojhvězda v okamžiku centrálního zatmění jasné hvězdy A tmavou hvězdou B. Předpokládejte, že průvodce je zcela tmavý a že jasnosti svítící hvězdy neubývá směrem k okraji.
130
263. Určete poměr poloměrů tmavé a jasné hvězdy u zákrytové proměnné RZ Cas, je-li zdánlivá hvězdná velikost v maximu mx — 6,4m, v minimu m2 == — 7,7™.
poměr intenzit k
- = 3,31; poměr poloměrů — = 0,84
In XI
264. Vypočtete poloměr a relativní dráhy tmavého průvodce zákrytové proměnné kvězdy v jednotkách poloměru R jasné složky, znátedi poměr r
poloměrů - obou složek, periodu P změny jasnosti (tj. oběžnou dobu tmavého Ji
průvodce) a dobu T, po kterou trvá zatmění. Na obr. 47 je A hlavní hvězda, Bx a B2 temný průvodce v okamžicích začátku a konce zatmění.
ľ T r + R
úhel « = -=-. 180°, -
P a
sin a:
a Ř
1 ( r Y|
sin a \ R JJ
265. Zákrytová proměnná hvězda TW Andromedae má periodu změny jasnosti P = 4,122 7 dne, délka trvání zatmění T = 8,8 hodin, hvězdná velikost v maximu m1 = 8,6m, v minimu m2 = 11,5TO. Vypočtěte: a) poměr poloměrů tmavé a jasné hvězdy, b) poměr poloměrů relativní dráhy a jasné složky.
I a) poměr intenzit k — 14,45;
R
= 0,965; b) a = 16°
a
~R
.13
Obr. 47. K příkladu 264
266. Dvě hvězdy se stejnou absolutní hvězdnou velikostí patří ke hvězdokupě, jejíž úhlový poloměr je «. Jedna hvězda leží
na předním, druhá na zadním okraji hvězdokupy. Dokažte, že zdánlivé hvězdné velikosti těchto hvězd se liší o hodnotu
Am = 5 log
sin a
sin a
Absorpci světla uvnitř hvězdokupy zanedbejte. Zjednodušte tento vztah pro malé úhly a a vypočtěte rozdíl zdánlivých hvězdných velikostí pro hvězdy na předním a zadním okraji hvězdokupy Omega Centauri, jejíž úhlový poloměr je a = 33'.
131
[Řeše/ní: Označme R skutečný poloměr hvězdokupy a r vzdálenost středu hvězdokupy od pozorovatele P (obr. 48). Pak hvězda na předním okraji hvězdokupy je ve vzdálenosti r —- R od pozorovatele, hvězda na zadním okraji je ve vzdálenosti r + R.
Zdánlivá hvězdná velikost hvězdy o absolutní hvězdné velikosti M, ležící na předním okraji, je
mx = M —-5 — 5 log (r — R),
zdánlivá hvězdná velikost stejné hvězdy ležící na zadním okraji je
M — 5 4- 5 log (r +■ R)-
Obr. 48. K přikladu 266
Rozdíl hvězdných velikostí je
Am = m2 —■ mx = 5 log (r + R) — 5 log (r — R)
neboli - ,
r | li
Arn = 5 loe-77 •
fc r — R
Poloměr R hvězdokupy lze vyjádřit pomocí úhlového poloměru oí a vzdálenosti r středu hvězdokupy od pozorovatele vztahem
R, = r sin oí,
je tedy po dosazení rozdíl hvězdných velikostí
1
sm a sin ,x
Am = 5 log — Je-li úhel oí malý, lze položit sin « = a a tedy
A m
1 ■+' oc
& 1 - Oí
Je-li úhel oí, vyjádřený v radiánech, malý proti 1, lze tento vztah napsat ve tvaru
Am = 5 log (1 + 2oí).
Úhlové poloměry kulových hvězdokup se obvykle udávají v obloukových minutách. Protože jedna oblouková minuta je 0,000 29 rad, lze rozdíl hvězdných velikostí počítat podle vzorce :
Am = 5 log (1 !- 0,000 58 oí),
132
do nějž dosazujeme úhlový poloměr hvězdokupy v obloukových minutách. Úhlový poloměr hvězdokupy Omega Centauri je « = 33', je tedy rozdíl hvězdných velikostí
ám = 5 log (1 + 0,000 58 . 33) = 5 log 1,019 1,
cil i
Am = 0,04»».]
267. Vypočtěte střední hustotu látky v kulové hvězdokupě M 13 (NGC 6205), jejíž celková hmotnost je 5 . JO5 SIRQ, úhlový průměr je 21' a vzdálenost 6,6 kpc.
[q = 15 1G . pc"3 = 10~18 kg m-3]
268. Vypočtěte střední hustotu látky v galaxii, je-li poloměr galaxie 13 kpc a celková hmotnost 1011 3JlG.
[e = 0,01 Wí0 . pc"3 7 . 10-22 kg nr3]
133
KAPITOLA 5.
ASTRONOMICKÉ PŘÍSTROJE
V poslední kapitole probíráme základní vlastnosti astronomických dalekohledů: zvětšení, rozlišovací schopnost, propustnost a světelnost dalekohledu. Příklady jsou poměrně jednoduché; pouze u příkladů na optický interferometr je připojeno řešení.
Interferometr slouží k měření zdánlivých průměrů hvězd (v obloukových vteřinách) a byl sestrojen na hvězdárně Mount Wilson ve spojení s reflektorem o průměru 250 cm.
501 DALEKOHLEDY
dělíme na čočkové (refraktory) a zrcadlové (reflektory). Z refraktorů se v astronomii používá výhradně Keplerův refraktor (popsaný v r. 16IITTCeplerem a sestrojený r. 1615 Scheinebem). Hlavní vadou refraktoru byla barevná vada, o níž se např. Newton domníval, že ji nebude možno korigovat. Tato korekce se podařila r. 1758 DokLONDOVT, který sestrojil achromatický objektiv, složený ze spojky (korunové sklo) a z rozptylky (flintové sklo). V jeho práci pokračoval Fratjnhoper, který vybrousil řadu achromatic-kých objektivů až do průměru 245 mm. Nej větší objektiv o průměru 102 cm byl vybroušen v r. 1897 pro Yerkesovu hvězdárnu v Chicagu.
Na obr. 49 je schéma Keple.rova dalekohledu s achromatickým objektivem Ob (ohnisková vzdálenost/), který vytváří v ohniskové rovině skutečný a pře-
Ok
Obr. 49. Keplerův dalekohled
134
vrácený obraz pozorovaného předmětu; pozorujeme jej okulárem Ok s ohniskovou vzdáleností f0.
Zrcadlové dalekohledy mají vzhledem k refraktorům tu výhodu, že jsou zbaveny chromatické vady (světlo se neláme). Zrcadla však mají vadu kulovou, takže lze užít poměrně malého zorného pole. Základem reflektoru je parabolické zrcadlo Z (obr. 50) a podle toho, jakým způsobem jsou odchýleny pa-
Obr. 50. Hlavní typy reflektorů
prsky odražené od hlavního zrcadla, rozlišujeme tyto hlavní typy zrcadlových dalekohledů:
a) Newtonův reflektor má odrazné zrcátko Zx rovinné a je skloněno pod úhlem 45° k optické ose hlavního zrcadla Z. Okulár je stranou tubusu; obraz je stranově i výškově obrácen;
b) Cassegrainův reflektor má odrazné zrcátko Z2 konvexní. Obraz je opět převrácený, ale délka tubusu je kratší. Cassegrainův typ je vhodný k montáži spektrografů a fotoelektrických fotometrů.
c) Gregoryův reflektor používá konkávního odrazného zrcátka Zs ve spojení s hlavním zrcadlem Z. Obraz je v tomto dalekohledu přímý. Odrazné eliptické zrcátko je za ohniskem hlavního zrcadla.
Hlavní zrcadlo u typu Cassegrainova i Gresroryova musí být uprostřed provrtáno; ohnisková rovina u těchto dalekohledů je v dolní části tubusu, zatímco u Newtonova typu je v horní části tubusu. Zrcadla bývala původně zhotovována z bronzu, který odrážel pouze 60 % dopadajícího světla. Od r. 1856 byla Fotjoaxjltem zhotovována skleněná zrcadla, jejichž optický povrch byl pokryt vrstvou stříbra. Čerstvý povrch stříbrné vrstvy odráží ve viditelné části spektra asi 95 % dopadajícího záření. V novější době se používá vrstvy hliníku (rozprášením ve vakuu), který je navíc trvanlivější.
Základní optické vlastnosti dalekohledů jsou tyto:
135
502 zvětšení (úhlové) r
vyjadřujeme pomocí ohniskových vzdáleností / objektivu a/0 okuláru vztahem
r ' f,
anebo pomocí průměru D vstupní a D' výstupní pupily, tj.
D
D
Zvětšení, které se pohybuje mezi — až 2D, se nazývá užitečné zvětšení dalekohledu.*) Zvětšení, které je větší než 2D, je tzv. prázdné zvětšení, při němž již další podrobnosti nevidíme. Prakticky nejvýhodnější je užívat střední hodnotu, tj. r na D. Maximální zvětšení astronomického dalekohledu je ohraničeno nejen průměrem a kvalitou objektivu, ale především neklidem ovzduší (v praxi nelze obvykle použít větší zvětšení než 800).
503 rozlišovací schopnost W
Teoretická rozlišovací schopnost W pro vlnovou délku A = 550 n m je dána vztahem
""^ 120"
kde D je průměr vstupní pupily (objektivu) vyjádřený v mm. Tento vztah udává ne j menší úhlovou vzdálenost mezi dvěma body, které dalekohledem ještě rozlišíme. Rozlišovací schopnost závisí na kvalitě objektivu; zkoušíme ji pomocí nižných testů nebo pozorováním těsných dvojhvězd v nocích s optimálními pozorovacími podmínkami.
D
504 relativní otvor objektivu —
/
je poměr průměru D vstupní pupily objektivu k ohniskové vzdálenosti /.
505 propustnost dalekohledu T
*) Průměr vstupní pupily zde vyjadřujeme v milimetrech (viz 503).
136
ľ
je podíl — , kde / je intenzita dopadajícího světla a ľ je intenzita světla lomeného.
506 světelnost dalekohledu S (8P, 8b)
Světelností 8V dalekohledu při pozorovaní plošných předmětů nazýváme podíl osvětlení obrazů na sítnici oka (subjektivní jas) při pozorování s dalekohledem a bez dalekohledu. Platí
kde T je propustnost dalekohledu, D je průměr vstupní pupily, D0 je průměr oční pupily a F je zvětšení dalekohledu.
Zvětšení, při kterém je světelnost Sp = 1, se nazývá normální zvětšení JHn. Světelnost bodového zdroje Sh je dána vzorcem
PRI KLADY
269. Jaká je rozlišovací schopnost dalekohledu, který má průměr objektivu D 8 cm? Jaká je zdánlivá hvězdná velikost hvězd, které lze vidět v tomto dalekohledu? Okem lze pozorovat hvězdy do Gm, průměr oční pupily D0 =
--- 8 mm.
[f = 1,5"; lze vidět hvězdy do llm]
279. Jaký by musel být průměr objektivu (nebo zrcadla) astronomického dalekohledu, aby v něm byle možné vidět skutečný průměr obří hvězdy Betel-geuzc. jejíž úhlový průměr d 0,04" ?
[D = 3 m]
271. Jaký musí být průměr objektivu dalekohledu, abychom v něm rozlišili složky dvojhvězdy, jejichž úhlová vzdálenost je 0,16"?
[D = 750 mm]
272. Jaká je nejmenší úhlová vzdálenost středů dvou hvězd, které lze rozlišit v dalekohledTi o průměru objektivu D = 60 cm?
[a = 0,2"]
137
273. Vypočtěte rozlišovací schopnost dalekohledu, jehož objektiv má průměr D = 75 cm. Jaká je hvězdná velikost hvězd, které lze pozorovat tímto dalekohledem? Průměr oční pupily D0 = 8 mm, pouhým okem lze pozorovat hvězdy do 6m.
[W = 0,16"; lze pozorovat hvězdy do 15,9m]
274. Jaké musí být zvětšení dalekohledu, aby při pozorování Jupitera (úhlový průměr d = 40") byl průměr Jupitera stejný, jako průměr Měsíce v úplňku při pozorování pouhým okem? Úhlový průměr Měsíce je 3ľ.
[P = 46]
275. Astronomický dalekohled má ohniskovou vzdálenost objektivu / = = 150 cm, okuláru /0 = 5 cm. Pod jakým úhlem « v něm vidíme Měsíc, je-li iihlový průměr Měsíce 31'?
[a = 15° 30']
276. Zvětšení dalekohledu je Pt = 200 při ohniskové vzdálenosti objektivu fr = 160 cm. a) Jaká je ohnisková vzdálenost/„ okuláru? b) Jaké bude zvětšení P2 dalekohledu, jestliže se ohnisková vzdálenost objektivu změní na /2 = = 200 cm?
[/o - 8 mm; P, = 250]
277. Ohnisková vzdálenost objektivu jednoho z refraktorů hvězdárny v Pul-kově je / = 14,1 m. Jaké je zvětšení tohoto refraktoru při použití okuláru s ohniskovou vzdáleností/„ = 2,5 cm?
[P = 564]
278. Keplerův astronomický dalekohled má objektiv o ohniskové vzdálenosti/ = 42 cm a okulár o ohniskové vzdálenosti /„ = 1,4 cm. Jak dlouhý je dalekohled a jaké je jeho zvětšení?
[d = 43,4 cm; ľ = 30]
279. Nej větší refraktor na světě má ohniskovou vzdálenost objektivu / = 19,5 m. Jaké jsou ohniskové vzdálenosti okuláru, při nichž je zvětšení tohoto dalekohledu: a) 300, b) 1 000, c) 3 000?
[a)/o — 65 mm; b)/0 = 19,5 mm; c) f0 = 6,5 mm]
280. Jaký průměr x bude mít obraz Slunce v ohnisku objektivu, jehož ohnisková vzdálenost / = 40 cm? Zdánlivý úhlový průměr Slunce d — 32'.
d 1
* = 2/ ^ ~2 =f d = 3'72 mm
138
281. Uhlový průměr Měsíce je d = 31'. Jaký bude průměr x jeho obrazu v ohnisku objektivu s ohniskovou vzdáleností / = 254 cm?
[x = 22,9 mm]
282. Úhlový průměr Marsu v době perihéliové opozice je d = 25". Jaký bude průměr obrazu Marsu, vytvořeného v ohnisku dalekohledu s ohniskovou
vzdáleností / — 19,5 m?
[x — 2,36 mm]
283. Průměr objektivu dalekohledu D = 1,25 m, relativní otvor je 0,2. Jaký bude průměr obrazu Marsu v ohnisku tohoto dalekohledu, jedi úhlový průměr Marsu d = 25"?
[x = 0,75 mm]
284. Hvězda prošla zorným polem nehybného dalekohledu (podél průměru) za t sekund. Vypočtěte v úhlové míře průměr d zorného pole dalekohledu, jedi ô deklinace hvězdy.
[d = 15 t cos d]
285. Určete úhlovou vzdálenost dvou svislých vláken v ohnisku okuláru meridiánového kruhu, jestliže doba průchodu hvězdy ô UMi mezi těmito vlákny byla t = 184 s. Deklinace hvôzdy ô = 86° 36,6'.
[d - 163"]
286. Určete velikost obrazu Slunce, vytvořeného reflektorem o poloměru křivosti 16 m. Průměr Slunce je 1,4 . 106 km, vzdálenost Země od Slunce je 150 . 106 km.
\x = 75 mm]
287. Dalekohled se skládá z objektivu o ohniskové vzdálenosti / — 300 mm a průměru D = 50 mm a z okuláru o ohniskové vzdálenosti /„ = 15 mm. Propustnost dalekohledu T — 0,6. Určete světelnost dalekohledu: a) pro plošné předměty, b) pro bodové zdroje. Průměr oční pupily D0 = 5 mm.
[a)£p=0,15; b) jST- = 60]
288. Ohnisková vzdálenost objektivu astronomického dalekohledu / = 1,5 m, průměr objektivu D = 10 cm, ohnisková vzdálenost okuláru /„ = 25 mm. Určete: a) velikost detailů, které lze dalekohledem rozlišit ve vzdálenosti 10 km, b) světelnost dalekohledu pro plošné předměty, c) světelnost dalekohledu
139
pro bodové zdroje. Propustnost dalekohledu T = 0,75, průměr oční pupily D0 = 5 mm.
[a) d = 58 mm, b) Sp = 0,083, o) Sb = 300]
289. Jaká je zdánlivá hvězdná velikost hvězd, které můžeme pozorovat dalekohledem s průměrem objektivu D — 2 m? Pouhým okem vidíme hvězdy do 6m. Priiměr oční pupily D0 — 3 mm. Ztráty světla zanedbejte.
[20™]
290. Vypočtěte jas obrazu Měsíce, pozorovaného dalekohledem, jehož objektiv má průměr D = 75 mm při zvětšení: a) ľ = 20, b) ľ = 25, c) r = 50. Jas Měsíce, pozorovaného pouhým okem, zvolte za jednotku. Předpokládejte, že průměr oční pupily je D0 = 3 mm. Ztráty světla zanedbejte.
[a) 1,56, b) 1,0 c) 0,25]
291. Astronomický dalekohled má průměr objektivu D — 18 cm, propustnost dalekohledu T = 0,5. Předpokládejte, že průměr oční pupily D0 — 3 mm a že pouhým okem můžeme pozorovat hvězdy do Qm. Vypočtěte: a) zdánlivou hvězdnou velikost nej slabších hvězd, které lze pozorovat tímto dalekohledem, b) nejvýhodnější zvětšení pro pozorování hvězd, c) zdánlivou hvězdnou velikost hvězd, které budou viditelné při desetinásobném zvětšení.
r d
a) 14.6'«, b) ľ - - - 60, c) 10,2*
L "o
292. Jakou nejmenší délku musí mít úsečka na Měsíci a úsečka na Slunci, aby jejich obraz v zrcadlovém dalekohledu s průměrem zrcadla 6 m bylo možno odlišit od bodu? Vzdálenost Měsíce od Země je 384 000 km. vzdálenost Země od Slunce je 150 . 106 km.
[na Měsíci 37 m, na Slunci kolem 15 km]
293. Jaká musí být nejmenší vzdálenost dvou bodů na povrchu Marsu, abchom je rozlišili v dalekohledu s objektivem o průměru D = 60 cm. Předpokládejte, že Mars je v perihéliové opozici, tj. ve vzdálenosti 56 ..106 km od Země.
[54 km]
294. Disperze spektrografu u čáry Hy je 6 nm mm-1. Tato čára je ve spektru hvězdy posunuta o 0,005 mm směrem k fialovému konci spektra. Jaká je radiální rychlost hvězdy? Vlnová délka čáry Hr je A = 434,1 nm.
[Hvězda se přibližuje ke Slunci rychlostí VT = —21 km s-1.]
140
295. Disperze spektrografu je 5 rim mm-1. Ve spektru spirální .-galaxie je čára o vlnové délce 434 nm posunuta o 0,40 mm směrem k červenému konci spektra. Jaká je radiální rychlost této galaxie?
[Galaxie se vzdaluje rychlostí Vz = 1 3.80. km s-1.]
296. Na obr. 51 je schéma optického interferometru, tj. zařízení pro měření úhlových průměrů hvězd. Zrcadla Z1: Z2, Zs, Z4, mající kruhové clonky, odrážejí do objektivu dalekohledu dva svazky světelných paprsků, které spolu interferují v ohniskové rovině objektivu. Jaký tvar má ohybový obrazec pozorovaný v ohniskové rovině?
[Řešení: Při jednom svazku světelných paprsků (zrcadlo Zx nebo Z2 je zakryté) vidíme v ohniskové rovině soustavu ohybových kroužků, které vznikly ohybem na kruhové cloně zrcadla. Průměry kroužků jsou dány rozměrem clony. Při dvou svazcích světelných paprsků (zrcadla Zx a Z2 jsou odkryta) pozorujeme současně dvě soustavy kroužků, ktoré v obecném případě spolu nesplývají. Pootočením zrcadel Z2 a Z4 lze dosáhnout toho, že druhá soustava kroužků splyne s první. V tomto případě btidou spolu oba svazky interferovat a kroužky budou proťaty světlými a tmavými proužky kolmými ke spojnici Zx Z2.\
297. Za jakých podmínek zmizí v předešlém příkladu interferenční proužky, je-li zdroj světla: a) dvojhvězda, b) jednoduchá hvězda s konečným úhlovým průměrem.
[Řešení: a) Podle Huygensova principu můžeme skutečné zdroje světla nahradit virtuálními zdroji v rovinách clon umístěných před zrcadly Zx a Zt. Pro jednoduchost pokládejme clony za tak malé, že je můžeme nahradit body. Tím převedeme úlohu na určení interfenčních obrazů od dvou navzájem koherentních bodových zdrojů H1 a H2 (obr. 52). Dřivé než světelné svazky dopadnou na objektiv, odrazí se na zrcadlech Zx, Z2, Z3, Zt. Z našich úvah vyloučíme odrazy tak, že zdroje Hl a H2 nahradíme zdroji Hl a H2, které vznikly zobrazením v rovinných zrcadlech. Po této záměně bude fáze paprsků ze zdrojů II1 a Hl táž, rovněž paprsky ze zdrojů H2 a H2 budou ve fázi.
Předpokládejme, že jedna hvězda vysílá světlo ve směru kolmém ke spojnici HiH^. Tedy paprsky ze zdrojů Hl a £ř2'(tím i HL a H i): budou ve fázL K tomu,
Obr. 51. K příkladu 296
141
aby druhá hvězda dala soustavu proužků posunutých vzhledem k proužkům vyvolaným první hvězdou o polovinu šířky proužku, jc třeba, aby fáze virtuál-
H,.
*1
3 /
/
V
Obr. 52. K příkladu 297
nich zdrojů vytvořených druhou hvězdou Hx a H2 se lišila o n. Z toho plyne
X
2 '
r sm = r a
kde a je úhlová vzdálenost obou hvězd a r vzdálenost středů zrcadel Z± a Z2. Tak dostaneme
a =
2r
Jsoudi hvězdy stejně jasné, potom při splnění této podmínky interferenční proužky zmizí. Obecně proužky zmizí tehdy, platí-li
b) Předpokládejme pro jednoduchost, že hvězda má tvar čtverce a její povrch má stálý jas. Pak lze tento čtverec rozdělit na lineární zdroje rovnoběžné se stranou čtverce a kolmé ke spojnici R^H^. Je-li úhlový průměr strany čtverce roven
X
d = — >
potom každý lineární zdroj, jehož délka se rovná polovině strany čtverce.
142
zruší interferenční proužky vytvořené lineárními zdroji z druhé poloviny čtverce. Interferenční proužky zmizí, je-li splněna podmínka
Výpočet pro hvězdy kruhového tvaru, které mají na povrchu všude stejný jas, je mnohem složitější. Bylo zjištěno, že interferenční proužky zmizí za podmínky
X
d = 1,22 , r
kde d je úhlový průměr hvězdy.]
298. Vypočtěte úhlovou vzdálenost složek těsné dvojhvězdy, jestliže při pozorování interferometrem vymizely interferenční proužky při vzdálenosti zrcadel r = 206 cm. Efektivní vlnová délka světla vysílaného hvězdou je X = 550 nm.
[a = 0,028"]
299. Úhlový průměr hvězdy Betelgeuze byl měřen optickým interferometrem a bylo zjištěno, že interferenční proužky vymizely při vzdálenosti zrcadel r = 306,5 cm. Efektivní vlnová délka světla vysílaného touto hvězdou je X = 575 nm. Vypočtěte úhlový průměr Betelgeuze.
[d = 0,047"]
300. Jaká musí být vzdálenost zrcadel optického interferometru, kterým by bylo možné změřit úhlový průměr novy, která má paralaxu ti — 0,002", je-li při maximu jasnosti novy její zdánlivá vizuální hvězdná velikost mv = = l,0m • Povrchová teplota novy T = 10 000 K, efektivní vlnová délka světla vysílaného novou X = 500 nm.
[Úhlový průměr novy je d = 0,002 3", vzdálenost zrcadel, při které vymizí interferenční proužky, je r = 55 m.]
143
TAB U LKY
Str.
Tab. 1. Slunce............................. 144
Tab. IT. Zenie............................ 145
Tab. 111. Měsíc............................. 145
Tab. IV. Měsíce planet........................... 146
Tab. V. Některé periodické komety ................... 147
Tab. VI. Pravidelné meteorické roje................... 147
Tab. VII. Seznam souhvězdí a označování hvězd.............. 148
Tab. VIII. Nej bližší hvězdy....................... 150
Tab. IX. Nová soustava astronomických konstant............. 151
TABULKA I. Slunce
Hmotnost Slunce . . ..............3R© = 1,991 . 103* kg
Poloměr .................. . . Rq — 6,960 . 10» m
Plocha povrchu Slunce...........• • ■ =5 6,087 . 1018 m2
Objem . • ■ ... ■.......Vq = 1,412 . 10" m3
Střední hustota.................g© = 1,410. 103kgm-3
v , / standardní hodnota (1896) .... 43min04,7a
Anomalistický měsíc.................. 27ta33,7ä
Drakonický měsíc................... 27