Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta ÚLOHY Z ASTROFYZIKY Vladimír Steŕl, Daniela Korčáková, Jiří Krtička Brno 2010 2 Předmluva Elektronická podoba upravené sbírky úloh z astrofyziky vznikla díky podpoře grantu FRVŠ 796/2002/F4. Elektronická podoba rozšířeného druhého vydání sbírky úloh z astrofyziky vznikla díky podpoře grantu FRVŠ 8/2010/F4. Bez řešení úloh nelze astrofyziku studovat a porozumět jí. K tomu má napomoci předkládaná sbírka, která je určena především vysokoškolským studentům. Sbírka úloh doplňuje v širším slova smyslu některé kapitoly vysokoškolské učebnice Vanýsek, V.: Základy astronomie a astrofyziky, Academia, Praha 1980. Současná vědecká astrofyzika vychází důsledně z fyziky, což se odráží v obsahu a pojetí úloh zařazených do sbírky. Jejich studium a osvojení umožňuje hlubší pochopení fyzikální podstaty stavby kosmických těles a jevů na nich probíhajících. Řešení úloh se proto logicky opírá o znalosti z experimentální a teoretické fyziky, v naší sbírce na úrovni učitelského studia. Jako optimální postup doporučujeme řešit nejprve úlohy samostatně, na základě vlastních vědomostí a dovedností, teprve následně je vhodné se přesvědčit o správnosti postupu i dosažených numerických hodnot. Stručně naznačené řešení jistě poslouží při sebevzdělávání studentů. Některé náročnější úlohy vyžadují samostatný přístup, slouží k prohloubení znalostí a jsou určeny i pro studenty odborného magisterského astrofyzikálního studia. Sbírka obsahuje na 350 úloh různého stupně obtížnosti. Přibližně polovina z nich byla převzata z literatury, především z [2], [3], [4], [6], [10], [11], [12], [15], [16], [18], [19], [27], [28]. druhá polovina je však původních. První úlohovou část kapitoly 1-13 připravil Vladimír Štefl, kapitolu 14 Jiří Krtička. Autoři budou vděčni všem uživatelům sbírky za připomínky. Náměty a připomínky lze zaslat na adresu stefl@astro.sci. muni.cz, krticka@physics.muni.cz. S ohledem na omezený rozsah sbírky byl výběr témat úloh zvolen tak, aby doplňoval osvědčenou vysokoškolskou učebnici Široký, J., Široká, M.: Základy astronomie v příkladech, která však vyšla naposledy v SPN, Praha 1973. Autoři děkují oběma recenzentům, RNDr. Pavlu Kotrčovi, CSc, z AsÚ AV ČR v Ondřejově a doc. RNDr. Miroslavě Široké, CSc, z Olomouce, kteří svými připomínkami podstatně přispěli ke zkvalitnění úrovně i obsahu sbírky v prvním vydání. V druhém vydání byly doplněny úlohy nových kapitol Astrofyzikální metody, Sluneční soustava, Kosmická mechanika sluneční soustavy, a Proměnné hvězdy a podstatně rozšířeny Počítačové úlohy. Jejich zpracování provedli Vladimír Stefl a Jiří Krtička. Brno, prosinec 2010 Vladimír Stefl, Daniela Korčáková, Jiří Krtička 3 A. S. Eddington (1882-1944) „Není nic jednoduššího, než jsou hvězdy" 4 Obsah 1 Astrofyzikální metody ................................................. 7 2 Sluneční soustava ..................................................... 12 3 Kosmická mechanika .................................................. 18 4 Záření hvězd .......................................................... 25 5 Základy hvězdné spektroskopie ........................................ 30 6 Nitro hvězd ........................................................... 36 7 Hvězdné atmosféry .................................................... 43 8 Dvojhvězdy ........................................................... 50 9 Proměnné hvězdy ..................................................... 56 10 Pozdní stadia vývoje hvězd, novy, supernovy .......................... 63 11 Závěrečná stadia vývoje hvězd ......................................... 70 12 Hvězdy a mezihvězdná látka ........................................... 75 13 Extragalaktická astronomie ............................................ 82 14 Počítačové úlohy ...................................................... 88 15 Astronomické a fyzikální konstanty, převody a zákony ................. 112 Literatura ................................................................115 5 OBSAH 400.0 500.0 600.0 vlnová délka [nm] 700.0 800.0 6 1 Astrofyzikální metody Úloha 1.1 Odvoďte teoretický vztah pro rozlišovací schopnost dalekohledu sin© = l,22A/£> respektive 0 = 1,22A/L>. Řešení: Vycházíme ze vztahu pro difrakci na kruhovém otvoru, Besselova funkce I. řádu má nulovou hodnotu pro x = 3,84, proto platí \kDsin© = 3,84. Po dosazení za k = 2n/\ dostáváme sin© = a odtud pro malé úhly při úpravě sin© = l,22A/£>, tedy 0 = = 1,22A/L>. Úloha 1.2 Dokažte, že lidské oko bez vad má teoretickou rozlišovací schopnost asi V. Řešení: Předpokládáme A = 550 nm, D = 2 mm. 0 = 1,22A/D = 1,22 5^°;9 = = 3,4 • l(T4rad = 69" = ľ. Reálná hodnota je zhruba 2'. Úloha 1.3 Hubbleův kosmický dalekohled obíhající nad Zemí ve výšce 600 km používá primární zrcadlo o průměru D = 2,4 m. Určete jeho rozlišovací schopnost na vlnové délce čáry La, A = 121,6 nm. Řešení: 0 = l,22A/£> = 6,2 • 10~8rad = 0,0127". Pod tímto úhlem bychom pozorovali minci o nominální hodnotě 20 Kč ze vzdálenosti 400 km. Úloha 1.4 Úhel mezi dvěma hvězdami je 10~6rad. Lze tyto hvězdy rozlišit pomocí dalekohledu s průměrem primárního zrcadla 2,54 m? Přepokládáme pozorování na vlnové délce A = 510 nm. Řešení: 0 = l,22A/£> = 2,4- 10~7rad. Úhlová vzdálenost mezi hvězdami převyšuje 4krát limitní hodnotu, použitým dalekohledem lze obě hvězdy rozlišit. Úloha 1.5 Předpokládejte, že hvězdy z předcházející úlohy vyzařují rádiové vlny na frekvenci 400 MHz. Můžeme obě hvězdy rozlišit při detekci rádiového záření pomocí rádiového teleskopu v Arecibu, jehož průměr je 305 m? Řešení: Vlnová délka je A = c/f = 0,75m. Dosazením do 0 = l,22A/£> = 3 • 10~3rad. K rozlišení obou hvězd na této vlnové délce bychom potřebovali 3 OOOkrát větší rozlišení. Toho lze dosáhnout sdružením rádiových teleskopů na vzdálenosti řádově tisíce kilometrů. Úloha 1.6 Určete rozlišovací schopnost dalekohledu o průměru D = 1,3 m na vlnové délce A = 500 nm. Jaký by musel mít poloměr rádiový teleskop pracující na vlnové délce A = 4 m se stejnou rozlišovací schopností? Řešení: Dosadíme do vztahu 0 = l,22A/£> = 4,7 • 10~7rad = 1". Teoreticky uvažovaný rádiový teleskop se stejnou rozlišovací schopností by musel mít průměr D = 107m, což je technicky nemožné. Proto jsou používány interferometrické soustavy rádiových teleskopů. Úloha 1.7 Jak velký bude obraz Marsu při opozici, jestliže pozorujeme planetu dalekohledem o průměru 62 cm s ohniskovou vzdáleností / = 2,8 m? Průměr Marsu je 6 794 km, jeho vzdálenost je 0,37 AU = 55 mil. km. 7 1 ASTROFYZIKÁLNÍ METODY Řešení: Pozorovaný úhlový průměr je 0 = ^ = ^^e> = 1,2-10 4rad = 25". Při ohniskové vzdálenost / = 2,8 m je obraz velký 0/ = 0,3 mm. Úloha 1.8 Hvězda a Centauri A má roční paralaxu n = 0,742" a průměr 1,7- 109m. Můžeme rozlišit v Hubbleově kosmickém dalekohledu její kotouček při pozorování na vlnové délce A = = 550 nm? Řešení: Platí 0 = d/r = 4 • 10~8rad = 0,0086". Hubbleovým kosmickém dalekohledem nelze pozorovat kotouček hvězdy, neboť jeho rozlišovací schopnost je 0 = l,22A/£> = = 2,8- 10~7 rad. Úloha 1.9 Stanovte úhlové rozlišení mezi Plutem a Charonem při jejich pozorování v opozici ze Země v perihéliu dráhy s excentricitou e = 0,25. Velikost velké poloosy dráhy Pluta je 39,5 AU, velikost velké poloosy dráhy Charona je d = 19 600 km. Jaký průměr dalekohledu je nezbytný k úhlovému rozlišení obou těles na vlnové délce A = 550 nm? Řešení: Perihéliová vzdálenost od Slunce je r = a(l — e) = 29,6 AU, vzdálenost od Země je 28,6 • 1,5 • 1011 m = 4,3 • 1012 m. Dosadíme do vztahu 0 = f = ^f^^ = 4,6 • ÍO"6 rad = = 0,9". Toto rozlišení je dosažitelné jen při velmi dobrých pozorovacích podmínkách, kvalitním seeingu. Ke stanovení průměru dalekohledu využijeme vztah D = l,22A/0 = 0,13m. Úloha 1.10 Nechť u hypotetické hvězdy spektrální třídy G2 V byla stanovena roční paralaxa 7t = 0,004". Předpokládejte, že kolem ní obíhá planeta s oběžnou dobou T = 64 roků. Ověřte, zda lze rozlišit od sebe tělesa při sledování dalekohledem o průměru 10 m na vlnové délce A = 510 nm. Řešení: Vzdálenost hvězdy je r = 1/n = 250 pc. Při stejné spektrální třídě jako Slunce můžeme předpokládat obdobnou hmotnost. Dále určíme velikost velké poloosy dráhy planety a = T2/3 = 16 AU. Ze vzdálenosti 1 pc bychom pozorovali velkou poloosu dráhy 16 AU pod úhlem 16", tedy ze vzdálenosti 250 pc pod úhlem 0,06". Rozlišovací schopnost dalekohledu je 0 = l,22A/£> = 0,01", planetu můžeme pozorovat. Úloha 1.11 Stará kulová hvězdokupa M 13 v souhvězdí Herkula se nachází ve vzdálenosti 7,2 kpc. Její úhlový průměr je 23'. Hustota zářivého toku detekovaná od této hvězdokupy bolometrem v horní vrstvě zemské atmosféry je 2,45-10~10 W-m~2. Určete průměr hvězdokupy v pc. Za zjednodušujícího předpokladu, že všechny hvězdy hvězdokupy mají zářivý výkon shodný se Sluncem stanovte, kolik hvězd hvězdokupa obsahuje. Řešení: Průměr hvězdokupy je d = 6r = 223,^5 • 7,2 • 103 = 50 pc. Počet hvězd tvořících hvězdokupu je N = Anr2Fhoi/LQ = 4 • 105. Úloha 1.12 Vzdálenost kosmických těles, v našem případě hvězd, určujeme ze vztahu r = ^Q0,2(m-M+5) j)0 jake vzdálenosti můžeme pozorovat hvězdy hlavní posloupnosti G0 V, jejichž absolutní bolometrická hvězdná velikost je 4,4 mag. Předpokládejte, že hvězdy s nejmenší jasností, které můžeme pozorovat, se vyznačují pozorovanou bolometrickou hvězdnou velikostí 16,4 mag. Řešení: Dosazením do vztahu r = io°'2(m~M+5) obdržíme r = 2 500pc = 2,5 kpc. 8 Úloha 1.13 CCD detektor je umístěn v ohnisku reflektoru s ohniskovou vzdáleností / = 15 m a s průměrem zrcadla 8,2 m. Detektor obsahuje 500 x 500 pixelů, každý z nich má šířku 20 /im. Jaká je úhlová velikost v arcsec oblohy, která je zobrazena na pixelu. Určete úhlovou velikost pole v arcmin celého CCD čipu. Řešení: Pro závislost mezi velikostí obrazu objektu d v ohniskové rovině dalekohledu, ohniskovou vzdáleností / a úhlovou velikostí objektu 0 na obloze platí d = /O, kde 0 je vyjádřené v radiánech. Dosazením obdržíme 0 = d/f = 1,3 • 10~6rad = 0,275" pixel-1. Pro celý čip obdržíme 500 • 0,275" = 137,5" = 2'17". Úloha 1.14 Zvažte, zda lze pomocí Hubbleova kosmického dalekohledu s primárním zrcadlem o průměru D = 2,4 m a ohniskovou vzdáleností / = 31 m vybaveného CCD detektorem 1600 x 1600 pixelů, jeden pixel má šířku d = 15 /im, pozorovat aktivní galaxii NGC 6240, jejíž úhlová velikost je 2'. Určete úhlovou velikost pole připadající na jeden pixel a na celý CCD čip (prvek). Řešení: Na jeden čip připadá 0 = d/f = 4,8 • 10~7rad = 0,1". Celkové pole detektoru je 1600 • 0,1" = 160" = 2'40", tedy Hubbleův kosmický dalekohled můžeme k pozorování této galaxie použít. Úloha 1.15 Obraz slabě jasné vzdálené galaxie na CCD detektoru pokrývá 50 pixelů. V průběhu pětisekundové expozice bylo na těchto pixelech zachyceno 104 fotoelektronů. Na sousedních 2500 pixelech detektoru vně obrazu galaxie, bylo při stejné expoziční době zachyceno 105 fotoelektronů. Určete poměr signál/šum. Vypočtěte potřebnou délku expozice t, jestliže budeme vyžadovat poměr signál/šum rovný 100. Řešení: Poměr § =--c°b' 1/2 = jg^j = 73. Platí závislost S/N « ŕ1/2, tedy poža- (C0bj+2C0bi) ' dováný poměr bude dosažen při expozici t = 10 s. Úloha 1.16 Mřížkový spektrograf s kolimační soustavou má ohniskovou vzdálenost fi = = 0,5 m a dále je vybaven obrazovou čočkou o ohniskové vzdálenosti f2 = 0,2 m. Spektrum je fokusováno na CCD detektor, jednotlivé pixely mají šířku 15 /im. Světlo směřované na mřížku prochází přes štěrbinu o šířce s = 50 /im. Mřížka má 600 čar/mm, její šířka je 10 cm. Mřížka je užívána v prvním řádu k pozorování spektrální čáry o vlnové délce A = 500,7nm. Pro výsledné zachycené spektrum musí být rozlišení takové, aby alespoň dva pixely byly rozlišeny. Určete reciproční lineární disperzi dX/dx v Á/mm a v Á/pixel. V extrémním případě, kdy je rozlišení spektra určováno výhradně šířkou štěrbiny, stanovte šířku lineárního rozlišovacího prvku, Ax (v /im) a spektrálního rozlišení W\ (v Á). Je rozlišovací prvek adekvátní vzorkování pixelů v CCD? Řešení: Reciproční lineární disperze je dána vztahem £ = d• sin 9 = mX/d, cosi smz9) 1/2 1/2 - . Dosazením za cos 9 obdržíme £ = ^ 1 - Numerickým dosazením obdržíme £ = 80 Á/mm. Vyjádříme vše v jednotkách Á/pixel, šířka pixelu je a = 15 /im, což znamená, že 1 mm = l/a pixelů. Reciproká lineární disperze je v Á/pixel d(p^x) = a£ = 1,2 Á/pixel. Jestliže rozlišení je určováno výhradně šířkou štěrbiny, pak dostáváme Ax = s' = sf2/f\ = 50 • 20/50 = 20 /im. Převedení na spektrální rozlišení v Á 9 1 ASTROFYZIKÁLNÍ METODY realizujeme vynásobením reciproční lineární disperzí W\ = Axj^ = 1,6 Á. Tudíž rozlišovací prvek je Ax = 20 fim, pixel má velikost a = 15 //m. Rozlišovací prvek pokrývá méně než 2 pixely, tudíž není vhodným. Úloha 1.17 Jaký zvolíte typ pozorovacího přístroje k detekci záření přicházejícího ze spi-rálních ramen Galaxie. Záření vzniká v atomech vodíku při změně orientace spinu elektronu z původně paralelní na antiparalelní vzhledem k protonu. Teoreticky propočítaný rozdíl mezi oběma energetickými hladinami je 1,1 • 10~24 J. Řešení: Výpočtem stanovíme vlnovou délku A = hej E = 0,21 m. Vhodným detekčním přístrojem je rádiový teleskop pracující na vlnových délkách řádově desítek cm, např. v Effel-sberku v Německu. Úloha 1.18 Mars pozorovaný pod úhlem 18" vyzařuje jako absolutně černé těleso o teplotě 210 K. Určete tok záření od planety na vlnové délce 3 cm. Řešení: Známe T = 210 K, A = 0,03 m, 0 = 8,72 • 10~5rad. Dosadíme do vztahu Sv = = B(v)íl = ^ (tt^) = 3,8 • 10-26 W • m-2 Hz"1. Úloha 1.19 Tok záření přijímaný od Jupitera na frekvenci 20 MHz je 106 Jy. Určete celkový zářivý výkon v jednotkovém rozsahu frekvence, tedy ve WHz-1. Předpokládáme izotropní vyzařování planety a vzdálenost planety v okamžiku pozorování 4,8 AU. Řešení: Platí převodní vztah 1 Jy = 10~26W • m_2Hz_1. Celkový zářivý výkon je dán vztahem L = Anr2S = 6,5 • 104WHz_1. Úloha 1.20 Určete minimální detekovatelný tok záření rádiovým teleskopem v Jodrell Bank, který má průměr antény 64 m. Šířka pásma je 10 MHz, anténní teplota na pozorované frekvenci je 130 K, předpokládaná časová délka pozorování je 10 minut. Řešení: SmÍD = p^1/2 = 1,4 • ÍO"29 W • m"2 Hz \ Úloha 1.21 Very Large Array v Socorru ve státě Nové Mexiko v USA se skládá ze soustavy dvaceti sedmi rádiových teleskopů poskládaných do tvaru písmene Y, každý o průměru 25 metrů. Předpokládejte, že VLA souvisle pozoruje zdroj o rádiovém toku 1 Jy v pásmu 10 MHz od roku 1976. Určete celkové množství energie detekované do roku 2006. Řešení: Úhrnná plocha všech rádiových teleskopů je 1,3 • 104m2. Dále platí vztah P = = S{v)AAv = 1 • 10~26 • 1,3 • 104 • 107 = 1,3 • lO^Js-1. Vzhledem k době pozorování 30 roků = 9,47 • 108 s je celková detekovaná energie 1,2 • 10~6 J. Úloha 1.22 Jak dlouho družice COBE určená na detekci reliktního záření, musí zachycovat anizotropie záření na úrovni AT « 3 • 10~5 K při poměru signál/šum rovnému 10, jestliže je teplota detekčního systému 250 K a šířka pásma 800 MHz. Řešení: Ze vztahu = (Aur)1^2 určíme integrační čas r = 8,68 • 106s = 100 dnů. Úloha 1.23 Aktivní galaxie ve vzdálenosti 1 Gpc, s černou dírou obklopenou akrečním 10 diskem, je zdrojem rentgenového záření o výkonu Lx = 1034 W. Určete hustotu rentgenového zářivého toku od tohoto zdroje u Země. Kolik fotonů zachytí detektor na družici Chandra, jestliže jeho sběrná plocha je 0,04 m2, expoziční doba 106s a průměrná energie fotonu je 5keV. Řešení: Fx = Lxj [Aur2) = 8,4-10~19 W-m~2. Celkové množství energie zachycené během expoziční doby je Wx = FxSt = 3,3 • 10~14 J. Při průměrné energii Wef = 5keV = 8 • 10~16 J je počet detekovaných fotonů Nx = Wx/Wf = 42. Úloha 1.24 V první polovině 19. století určili nezávisle na sobě tři astronomové paralaxu různých hvězd. Proveďte srovnání přesnosti měření, jestliže je známo: V. J. Struve stanovil ^Vega = 0,125", zatímco správná hodnota je 7rsoue = 0,129". F. W. Bessel určil paralaxu 7r61 Cygni = 0,314", správná hodnota činila 7rsouC = 0,287". T. Henderson v prvních předběžných výsledcích zjistil paralaxu na CenA Rigii = 1,16", správná hodnota byla 7rsouC = 0,742". Řešení: Absolutní hodnota rozdílu původně historicky naměřené a současné správné pa-ralaxy, podělená správnou současnou hodnotou určuje relativní chybu měření. U Vegy byla přesnost měření 0,004 0,129 •100 = 3,1%, u 61 Cygni 0,027 0,314 •100 ,6 % a u a Cen A 0,418 0,742 •100 56,3 %. Nejpřesnější měření tak provedl V. J. Struve a nejméně přesná T. Henderson. Úloha 1.25 Ve vzdálené galaxii byla pozorována supernova typu la. V jejím spektru byla zjištěna absorpční čára K Ca II o naměřené vlnové délce 409,10 nm. Předpokládaná pozorovaná hvězdná velikost v barvě B supernovy v maximu jasnosti je Mb = — 19,5mag. Zvažte, zda bude pozorovatelná dalekohledem o průměru 70 cm. Řešení: Laboratorní vlnová délka čáry K Ca II je Ai = 393,4 nm. Dosazením do vztahu z = v/c = (Ap — Ai) /Ai = 0,04 stanovíme v = 0,04c =>- v = 1,2 • 104km • s_1. Vzdálenost galaxie r určíme z Hubbleova zákona r = v/H = 160 Mpc = 1,6 • 108pc. Úpravou vztahu pro modul vzdálenosti obdržíme m b = Mb + 5 log r — 5 = 16,5 mag. Pro limitní hvězdnou velikost m b dalekohledu o průměru D v mm platí vztah m b = 2,5 + 5 log D. Dosazením získáme D = 631 mm = 63,1 cm, tudíž dalekohled o průměru 70 cm je postačující pro pozorování supernovy. Úloha 1.26 Určete optickou hloubku zemské atmosféry od povrchu k sodíkové vrstvě zemské atmosféry, jejíž výška nad Zemí D je přibližně 90 km. Na povrchu Země měříme hustotu toku záření, které je stimulováno pomocí sodíkového laseru se zářivým výkonem Lvn;. Laserové světlo ozařuje vrstvu sodíku, excituje elektrony. Následně jsou sodíkové atomy deexcitovány a vyzařují světlo do všech směrů. Na Zemi pozorujeme zářivý bod - „umělou hvězdu", která slouží jako srovnávací zdroj k provedení korekce na atmosférické deformace. Řešení: Pro hustotu zářivého toku platí Fvně = Fvn;e_T, což lze vyjádřit prostřednictvím zářivého výkonu Lvně = Lvn;e_T. Rozvedeno LT0Z = Lvn; — Lvně = Lvn; — Lvn;e_T = = Lvni(l — e~T). Neznáme Lroz, ale známe hustotu zářivého toku F = j^fi- Dosazením obdržíme vztah F = -^g? = — e T)> ze kterého určíme optickou hloubku r = — _ln(l_£4sDiy \ ^vni J 11 2 Sluneční soustava Úloha 2.1 Vysvětlete, proč za běžných podmínek pozorujeme okraj slunečního disku ostře ohraničený zatímco při úplném zatmění se sluneční koróna jeví neostrá? Teplota fotosféry Slunce je 5 780 K, koróny 2 • 106 K. Řešení: Tlaková škálová výška atmosféry Slunce ie dána vztahem H = —, kde m ie molekulová hmotnost, v našem případě uvažujme vodíku. Povrchové gravitační zrychlení g = = G^r- = 2,7 ■ 102m • s~2. Pro fotosféru po dosazení obdržíme H = 1,8 • 105m. Vzhledem -K© k tomu, že H < 10 3 i?0 pozorujeme okraj slunečního disku ostrý. U koróny H = 6 • 107m, tedy H = 0,1 RQ, proto je okraj koróny neostrý a rozmazaný. Úloha 2.2 Průměrně jeden den po chromosférické erupci na Slunci vznikají různé geofyzikální poruchy. Stanovte kinetickou energii protonů, které je vyvolávají. Řešení: Průměrnou rychlost protonů stanovíme ze vztahu v = ^s. = g'^1^ = 1,7-106 m-s Rychlosti odpovídá kinetická energie protonů Ek = \mvv2 = 2 • 10~15 J = lOkeV. Úloha 2.3 Můžeme lidským zrakem chráněným vhodným filtrem pozorovat na Slunci sluneční skvrnu o velikosti Země respektive Jupitera? Připomínáme, že lidské oko je schopno rozlišit předměty pozorované přibližně pod úhlem nejméně 2'. Řešení: Dosadíme do vztahu 0 = -D/rzs, v případě skvrny o velikosti Země D = = 12 756 km, 0 = 18", skvrnu nelze pozorovat. Skvrnu o velikosti Jupitera D = 143 000 km, 0 = 197" = 3'17" naopak můžeme vidět. Úloha 2.4 Určete úbytek hmotnosti Slunce prostřednictvím slunečního větru. Předpokládejte sféricky symetrické šíření slunečního větru meziplanetárním prostorem, nechť veškerá hmota ze Slunce prochází sférou ve vzdálenosti r = 1 AU. V okolí Země je průměrná rychlost slunečního větru v = 500 km • s_1, hustota částic je n = 7 ■ 106m~3. Řešení: Sférickou vrstvou o poloměru r za čas dí projde dM = pdV = (nm-g) (4nr2vdt). Zmenšení hmotnosti lze vyjádřit vztahem dM/dt = AiTr2nm-g = AiTr2pv. Numerickým dosazením obdržíme úbytek hmotnosti Slunce 3 • 10~14 M0 rok-1. Úloha 2.5 Stanovte stáří vzorku horniny Země z jihozápadního Grónska, u kterého byl zjištěn poměr 28°26Pb/293fU = 0,623. Rozpadová reakce je dána vztahem 293fU —► 28°26Pb + S^He, poločas rozpadu r = 4,5 • 109 roků. Řešení: Radioaktivní rozpad popisujeme vztahem N/N0 = exp (—^^), kde N0 = N + + ^rozpad = N + 0,623iV = l,1623iV. Po dosazení a úpravě obdržíme t = — r ln -^-/ln 2 = = 3,65-109 roků. Úloha 2.6 Jaké bylo stáří jednoho ze vzorků horniny Měsíce získaného při výpravě Apolla 17 v roce 1972, jestliže byl u něho zjištěn poměr ^Sr/^Rb = 0,065? Rozpadová reakce ^Rb —► 3^Sr + e~, poločas rozpadu r = 4,7 • 1010 roků. 12 Řešení: Opět použijeme vztah N/N0 = exp (-^), kde N0 = N + iVr0Zpad = N + + 0,065iV = l,065iV. Po dosazení t = -r ln ^/ln2 = 4^3 • 109roků. Úloha 2.7 Určete tlakové škálové výšky pro kyslík a dusík v atmosféře Země, předpokládejte g = 9,8 m • s~2 a průměrnou teplotu 280 K. Řešení: Tlaková škálová výška je pro kyslík m = 32 • 1,67- 1CT27 kg rovna H = kT / (gm) = = 7,4 km. V případě dusíku m = 28 • 1,67 • lCT27kg obdržíme H = kT/{gm) = 8,4 km. Úloha 2.8 Nej vyšší hora na Zemi Mount Everest má výšku h = 8 848 m nad úrovní moře. Horolezci k jejímu zdolání zpravidla používají kyslíkové přístroje. Zdůvodněte proč, stanovte koncentraci kyslíku n na vrcholu hory. Střední teplotu atmosféry Země v této vrstvě atmosféry pokládáme rovnou 280 K. Řešení: Škálová tlaková výskaje pro kyslík při molekulové hmotnosti m = 32-l,67-10~27 kg rovna H = kT/(gm) = 7,4km. U ideálního plynu n ~ p. Platí p{h)/p(ho) = exp(—h/H) = = 0,3. Koncentrace kyslíku je na vrcholu Mount Everestu rovna přibližně 1/3 hodnoty u mořské hladiny. Úloha 2.9 Keckovy dalekohledy byly postaveny na vrcholu hory Mauna Kea na Havaji ve výšce h = 4100 m nad úrovní moře v místě s průměrnou teplotou T = 280 K. Jedním z důvodů tohoto umístění je snížený obsah vodních par v této výšce, tudíž zlepšení podmínek pro pozorování. Tento úsudek doložte výpočtem. Řešení: U vodních par je tlaková škálová výška při m = 18 • 1,67 • 10~27kg, H = = kT/(gm) = 12,9 km. Pro ideální plyn n ~ p. Vypočteme p(h)/p(h0) = exp(—h/H) = 0,73. Úloha 2.10 Tlaková škálová výška atmosféry Země je Hz = 8,4 km, proveďte její výpočet pro Mars, jestliže MM = 6,4 • 1023 kg, MM = 0,11MZ, RM = 3 397km, RM = 0,53i?z, střední teplota atmosféry Země je 280 K, Marsu 190 K. Řešení: Pro škálovou výšku platí H = kT/(gm), kde u Země předpokládáme složení atmosféry N2, tedy m = 28 • 1,67 • 10~27kg. V případě Marsu u složení atmosféry převládá CO2, tudíž m = 44 • 1,67 • 10~27kg. Připomínáme, že g ~ M/R2. Po dosazení obdržíme Hm = 9,6 km. Úloha 2.11 Určete efektivní teplotu rovnovážného záření Země, jestliže je známo Bondovo albedo Země A = 0,30, efektivní povrchová teplota Slunce 5 780 K, poloměr Slunce 7 • 108 m a vzdálenost Slunce - Země aSz = 1 AU = 1,5 • 1011 m. Albedo definujeme jako poměr velikosti záření rozptýleného povrchem koule do všech směrů k celkovému množství záření, jež dopadá na povrch při rovnoběžném svazku záření. Řešení: Pro zářivý výkon povrchu Země platí AnR^aT^, Země absorbuje od Slunce zářivý výkon (1 — A)AnR2r)aT^QnR2:/(Analz). Předpokládáme, že tok záření je u Země absorbován plochou 7tí?!, ale vyzařován plochou 47ri?| vzhledem k relativně rychlé rotaci Země. Po 1 /2 úpravě obdržíme TefZ = Tef0 ^2^) — A)1^4 = 255 K. Atmosférická teplota je vzhledem ke skleníkovému efektu vyšší, dosahuje zhruba 290 K. 13 2 SLUNEČNÍ SOUSTAVA Úloha 2.12 Stanovte efektivní teplotu rovnovážného záření Marsu, známe Bondovo albedo Marsu A = 0,25, efektivní povrchovou teplotu Slunce 5 780K, poloměr Slunce 7 • 108m a vzdálenost Slunce - Mars aM = 1,52 AU = 2,28 • 1011 m. Řešení: U Marsu použijeme stejnou úvahu jako u Země, TefM = = 210 K. Úloha 2.13 Hodnota solární konstanty pro Zemi je ve vzdálenosti 1 AU od Slunce 1 370 W-m~2. Určete hodnotu solární konstanty pro Jupiter, který obíhá v průměrné vzdálenosti 5,2 AU od Slunce. Stanovte celkový přijímaný zářivý výkon od Slunce, který získává Jupiter, jestliže Bondovo albedo planety je 0,70. Řešení: Solární konstanta Jupitera je Sj = Sz/5,22 = 51 W • m~2. Celkový přijímaný zářivý výkon je L0^j = S^R]{1 - A) = 2,4 • 1017 W. Úloha 2.14 Oběžná doba planetky Icarus obíhající kolem Slunce po eliptické dráze je 1,12 roku, excentricita její dráhy je 0,83. Určete vzdálenost planetky od Slunce v perihéliu a aféliu, stanovte efektivní teplotu rovnovážného záření planetky ve zmíněných bodech její dráhy při znalosti Bondova albeda A = 0,1. Řešení: Nejprve určíme velikost velké poloosy, následně perihéliovou a aféliovou vzdálenost. Z T2 = a3 a = 1,08 AU, rp = a(l - e) = 0,19 AU, ra = a(l + e) = 1,97 AU. Efektivní teplotu stanovíme obdobně jako u úloh 2.12, 2.13, Tef, p = 624 K, Tef, a = 194 K. Úloha 2.15 Ze spektroskopických studií Neptuna v infračerveném oboru kosmickou sondou Voyager 2 byla stanovena teplota planety na 56 K. Dokažte, že Neptun má vnitřní zdroje energie, jestliže Bondovo albedo je A = 0,29, střední vzdálenost od Slunce je a^e = 30 AU. Řešení: Nejprve určíme hodnotu solární konstanty Neptuna S^e = Sz/302 = 1,5 W-m~2. Planetou získávaný zářivý výkon od Slunce je LQ^e = S^enR^^l — A) = 2-1015 W. Efektivní í l \ 1/4 teplota rovnovážného záření planety je Tef; Ne = í 4u°^2e ) = 46 K. Spektroskopicky zjištěná teplota je vyšší, Neptun má vnitřní zdroje energie. Úloha 2.16 Hypoteticky předpokládejte, že jediným zdrojem energie vyzařování Jupitera je gravitační potenciální energie. Jak dlouho by mohl vyzařovat při zachování charakteristik, jestliže současný celkový vyzářený výkon Jupitera je L = 4 • 1017 W. Řešení: Gravitační potenciální energie homogenní koule je Ep = —^GM2/R, úbytek energie je dL/dr = dEp/dt = -\GM2jR2 áR/át. Po dosazení obdržíme áR/át = -10"4m-rok" Při současném poloměru 7,1 • 107m může planeta vyzařovat energii ještě miliardy roků. Úloha 2.17 Podle kosmogonických hypotéz o vzniku sluneční soustavy před 4,7 miliardami roků byl původní zářivý výkon Jupitera 0,02 LQ při povrchové teplotě 1 000 K. Za předpokladu, že vyzařoval jako absolutně černé těleso určete jeho tehdejší poloměr. / \l/2 Řešení: Původní poloměr stanovíme ze vztahu R = (a^ta J = 3,3 • 109m. Úloha 2.18 Můžeme ze Země vidět na Marsu údolní útvar Valley Marineris, jehož šířku 14 odhadujeme na 200 km? Předpokládejte pozorování v době opozice, při které je Mars vzdálen od Země 5,6 • 1010m. Řešení: Při zadané vzdálenosti Marsu je šířka údolí Valley Marineris pozorována pod úhlem a = 1,5 • 10~4°, tedy přibližně 0,5", což je na hranici rozlišitelnosti největšími pozemskými dalekohledy za ideálních podmínek. Naopak z Marsu by za stejných podmínek bylo možné pozorovat například ústí Amazonky do Atlantického oceánu, jehož šířka přesahuje 250 km. Úloha 2.19 Merkur má průměrnou hustotu pc = 5,4 • 103kg • m~3. Předpokládaná hustota povrchových vrstev p0 = 4,5 • 103 kg • m~3, jádra pj = 8 -103 kg • m~3. Určete relativní velikost poloměru jádra planety. Řešení: Celková hmotnost Merkuru se skládá z hmotností jádra a obalu Mc = Mj + M0, tedy f7rpCJR3 = ^PiRf + l-np0(R3 - Rf). Po úpravě obdržíme Rj/Rc = í gf^J = 0,64. Úloha 2.20 Objasněte, proč měsíc Saturna Titan si zachoval svoji atmosféru zatímco Merkur nikoliv. Maximální teplota v dusíkové atmosféře Titanu je 100 K, na povrchu Merkuru až 800 K. Řešení: K dlouhodobému udržení atmosfér kosmických těles musí být splněna zhruba podmínka vp > 10vsk (kde vp je parabolická rychlost, vsk je střední kvadratická rychlost molekul plynu), tedy {^-f12 > 10 (^)1/2. Mariner 10 v roce 1974 bezúspěšně hledal u Merkuru případnou tenkou vrstvu atmosféry z hélia. Pro tento prvek platí vv/vsk = 4,2/2,1 = = 2, atmosféra by tak mohla existovat pouze několik dnů. Titan má atmosféru složenou převážně z molekulárního dusíku. Po dosazení obdržíme vp/vsk = 2,7/0,3 = 9, tedy podmínka pro dlouhodobou existenci atmosféry je téměř splněna. Úloha 2.21 Dokažte pro dostatečně malé částice prachu v kometárním ohonu, že síla tření způsobená slunečním větrem je větší než gravitační síla Slunce. Řešení: Gravitační síla Slunce působící na částici prachu kulového tvaru má velikost Fg = = GMqTiiz/R2 = GM^nr^pt/R2. Pro gravitační sílu platí Fg = Ar3, kde A = GM^pt/R2. Síla tření způsobená slunečním větrem má podle Stokesova vztahu velikost Ft = Br2, kde B je konstanta závislá na vlastnostech meziplanetárního prostředí. Odtud dostáváme poměr Ft/Fs = B/(Ar). Tedy pro dostatečně malé hodnoty poloměru částice prachu je síla tření větší než gravitační síla Slunce. Sluneční vítr tak odfoukává malé prachové částice z blízkosti jádra komety a ty vytvářejí prachový kometární ohon. Úloha 2.22 Prověřte, zda molekuly CN (emisní pás A = 388,3 nm) jsou uvolňovány z povrchu jádra komety Hale - Bopp v heliocentrické vzdálenosti r = 2,9 AU při teplotě T = 200 K. Kometární jádro má hustotu přibližně p = 103 kg • m~3 a poloměr R = 10 km. Řešení: M = ^irR3p = 4,2 • 1015kg. Úniková rychlost z jádra vp = (2GM/R)1'2 = = 7,5 m-s-1, zatímco střední kvadratická rychlost vsk = (3/cT/m)1/2 = 436 m-s-1. Působením slunečního záření již molekuly CN opustily povrch jádra komety. Úloha 2.23 Častým námětem katastrofických filmů je dopad komet na povrch Země. Hypoteticky předpokládejte pád jádra komety do Tichého oceánu rychlostí 10 km • s-1. Nechť 15 2 SLUNEČNÍ SOUSTAVA má sférický tvar o průměru R = 3 km a hustotě p = 103kg • m~3. Určete velikost uvolněné energie a porovnejte ji s energií uvolňovanou při erupcích sopek, která dosahuje 100MTNT. Připomínáme, že 1 megatuna TNT odpovídá energii 4,2 • 1015 J. Jak velké množství vody se při pádu vypaří? Řešení: Určíme hmotnost jádra komety M = pV = 1,4 • 1013kg, kinetická energie uvolněná při dopadu je \Mv2 = 7 ■ 1020 J, tedy mnohem větší než při erupcích sopek. Množství vypařené vody stanovíme ze vztahu m = Ek/lY, kde /v = 2,26 • 106kJ • kg-1. Po dosazení za zjednodušujících předpokladů pv = 103kg • m~3 dostaneme V = 300 km3. Úloha 2.24 Určete pomocí empirického vztahu D = D0(Ek/EkQ)°'29/í, kde D0 = 15 km, EkQ = = 1020 J přibližnou hmotnost a poloměr meteoritu Ries, po jehož dopadu zůstal v Německu kráter o průměru D = 24km. Předpokládejte modelovou rychlost dopadu 25km-s~1 a hustotu p = 3-103kg-m-3. Řešení: Ze vztahu D = D0(Ek/Ekfi)°>294 nejprve stanovíme Ek = 5-1020 J. Odtud určíme při předpokladu v = 25 km • s_1 hmotnost meteoritu m = 1,6 • 1012kg. Poloměr stanovíme ze Úloha 2.25 Měsíc Charon obíhá kolem Pluta ve vzdálenosti aCh = 19 640 km za dobu TCh = 6,39 dne. Poloměr Pluta je RP\ = 1150 km, RCh = 600 km. Za zjednodušujícího předpokladu, že obě tělesa mají stejnou hustotu, určete jejich hmotnosti. Řešení: Z III. Keplerova zákona ctch/^ch = G(Mp\ + MCh)/(47r2) stanovíme hmotnost soustavy Pluto - Charon Mpi + MCh = 1,4 • 1022 kg. Vzhledem k objemům těles dostaneme Mpi = 1,2 • 1022 kg, MCh = 1,7 • 1021 kg. Ve skutečnosti je poměr hustot přibližně pPi : pCh = = 2:1. Úloha 2.26 V jaké vzdálenosti od Pluta se nachází hmotný střed soustavy Pluto - Charon? Pluto má hmotnost Mpi = 1,2 • 1022 kg a Charon MCh = 1,7 • 1021 kg, velká poloosa dráhy Charona je 19,6 • 103 km. Řešení: Platí vztah MP1aP1 + MChaCh = (MP1 + MCh)aspol.Zvolme souřadnou soustavu, kde api = 0, ach je vzdálenost mezi oběma objekty, aspoi je vzdálenost středu hmotnosti a Pluta. Řešením dostaneme aspoi = MChOch/(Aípi + MCh) = 2 100 km. Tedy hmotný střed leží asi 1 000 km nad povrchem Pluta. Úloha 2.27 Jak se mění tlaková škálová výška atmosféry Pluta při přechodu z afélia do pe-rihélia při excentricite dráhy planety e = 0,25? Řešení: Tlaková škálová výška atmosféry je dána vztahem H = kT/(gm), přičemž pro teplotu rovnovážného záření Pluta platí T r-1/2, kde r je vzdálenost od Slunce. Aféliová a periheliová vzdálenost jsou dány vztahy ra = a(l + e) a rp = a(l — e). Dosazením obdržíme Úloha 2.28 Astrologové tvrdí, že kosmická tělesa, zejména planety svými astrologickými silami v okamžiku narození lidí ovlivňují jejich charaktery. Vypočtěte poměr gravitačních sil vztahu R 500 m. 1,3. V tomto poměru se mění škálová výška atmosféry. 16 Jupitera a Země na nově narozené dítě v okamžiku, kdy se Jupiter nachází v opozici ve vzdálenosti 4,2 AU od Země. Řešení: Určíme poměr gravitačních sil Jupitera a Země |ř = Zlmz = 3,3 • 1CT8. Gravi-tační vliv Jupitera je zcela zanedbatelný. 17 3 Kosmická mechanika Úloha 3.1 Odvoďte vztahy a vyjádřete hodnoty pro I. II. a III. kosmickou rychlost při povrchu Země. Řešení: Pro I. kosmickou rychlost platí vj = \JGj^ = 7,9 km • s-1, pro II. kosmickou rychlost vu = ^2G^ = 11,2 km • s-1. Parabolická rychlost vzhledem ke Slunci je vpS = = ^2G^ = 42,3 km-s"1, střední rychlost Země kolem Slunce 29,8 km-s"1, tedy potřebujeme rychlost 12,5 km • s-1 na hranici oblasti přitažlivosti Země. Pro startovací rychlost ze Země platí v = v/11,22 + 12,52 = 16,7km • s-1. Úloha 3.2 Kolikrát je I. kosmická rychlost na Zemi větší než na Měsíci? Hmotnost Země je 81krát větší než hmotnost Měsíce, poloměr Země je 3,75krát větší než poloměr Měsíce. Řešení: Platí ^ = = 4,65. vím V mm rz ' Úloha 3.3 Pozorováním z povrchu Země byla určena rychlost pohybu umělé družice Země na kruhové oběžné dráze na 7,5 km • s-1. V jaké výšce nad povrchem se pohybuje? Řešení: Pro rychlost na kruhové dráze platí vztah vk = G j^+h, odtud určíme h = = 710 km. Úloha 3.4 Jedna ze spojových družic série Molnija měla po vypuštění následující parametry oběžné dráhy: výšku perigea Hp = 500 km a výšku apogea Ha = 40 000 km. Vypočtěte rychlost družice v perigeu a apogeu. Řešení: Nejprve stanovíme ra = Rz + Ha = 4,64 • 107 m a rp = Rz + Hp = 6,9 • 106 m, pro ±1 2 velikost hlavní poloosy platí a = r&V'p = 2,67 • 107m. Rychlost v apogeu určíme ze vztahu GMZ (i-i) = 1,5 km • s"1 a v perigeu vp = ^JGMZ (j; - i) = 10,0 km • s"1. Úloha 3.5 Umělá družice Země byla navedena na oběžnou kruhovou dráhu ve výšce h = = 600 km. Vypočtěte její kruhovou rychlost v km • s-1 s platností na dvě desetinná čísla. Určete parametry dráhy, zvýšíme-li její rychlost o 2,95 km • s_1. Řešení: Pro kruhovou dráhu obdržíme vk = \Jg= 7,58 km-s-1. Po zvýšení rychlosti se družice dostane na eliptickou dráhu, pro velikost její hlavní poloosy a platí a = 101 000 km, odtud H& = 2a - (2RZ - Hp) = 189 000 km. 2GMz-rpi)2 Úloha 3.6 Umělá družice Země se pohybuje po oběžné kruhové dráze ve výšce h = 760 km. Potřebujeme ji převést na eliptickou dráhu s maximální vzdáleností od povrchu Země H& = = 40 000 km a minimální vzdáleností Hp = 760 km. Určete velikost potřebné změny rychlosti družice a velikost nové oběžné doby. Řešení: Předpokládejme, že změna rychlosti družice proběhne za velmi krátký časový okamžik ve srovnání s velikostí oběžné doby. Platí vk = \/G fíM^h = 7,48 km • s-1, dále ze 18 vztahu 2a = Hp + Ha + 2RZ určíme a = 26 754 km. Rychlost v perigeu eliptické dráhy je vp = yjGMZ (jr — j^J = 9,84 km-s-1, změna rychlosti Av = vp — vk = 2,36 km-s-1. Oběžnou dobu stanovíme z III. Keplerova zákona % = kde ak = Rz + h, a = ae. Odtud při Tk = = 2"(i?z+ft) = l,7hod. Te = 12,1 hod. Úloha 3.7 Jaká minimální práce byla vykonána při převedení Hubbleova dalekohledu o hmotnosti rnn = 1,1 • 104kg z kruhové oběžné dráhy ve výšce h\ = 500 km na h2 = 600 km. Řešení: Vykonaná práce při přechodu z jedné na druhou oběžnou dráhu je rovna A = = (Wkl + Wpl)- (Wk2 + Wp2) = [\mgvl - g^ä) - (imH%2 - Gf^g), pr0 rychlosti na kruhových oběžných drahách platí = \/G J^+h- Po dosazení obdržíme A = Úloha 3.8 Nalezněte minimální práci, kterou je třeba vynaložit, abychom těleso o hmotnosti 1 kg přenesli z povrchu Země na povrch Měsíce. Odpor atmosféry Země zanedbáváme, stejně jako vliv Slunce a planet. Řešení: Minimální práce je rovna A = mRzgz — i^RmQm = 6,1 • 1012 J. Úloha 3.9 Lze na oběžnou dráhu kolem Venuše umístit stacionární družici bez aktivního pohonu? Údaje o siderické oběžné době a hmotnosti planety vyhledejte například na adrese http://ads .harvard.edu/books/hsaa/. Siderická doba rotace je Tv = 243,019 dne a hmotnost Mv = 6,4 • 1023 kg. Řešení: Ze vztahu T = — = ^ stanovíme r = () ° = 1 528 000 km. Oblast r aktivity Venuše vzhledem ke Slunci má přibližný poloměr 615 000 km, tudíž družice bude velmi rychle zachycena gravitační silou Slunce. Úloha 3.10 Které těleso, Země nebo Slunce, působí větší gravitační silou na Měsíc? Proveďte diskusi, proč Měsíc obíhá kolem Země a nikoliv kolem Slunce. M0 = 330000 Mz, rMs = 390 rMz- qMMMq Řešení: Platí y^- = —= 2,17. Kolem Slunce obíhá barycentrum soustavy Země mz q-m-z rmz - Měsíc. Úloha 3.11 Určete poměr slapových působících na Zemi, vyvolaných Sluncem a Měsícem. Jak by se situace změnila, jestliže by se hypoteticky vzdálenost Měsíce zvětšila 2krát. Nezbytné číselné údaje o hmotnostech těles a jejich vzdálenostech nalezněte v tabulkách. Řešení: Vztah pro slapovou sílu, kde Země je rušené kosmické těleso a Měsíc respektive Slunce jsou rušícími, je dán vztahem F = 2GMzMruSicf^z ^ ^e r je vzdálenost středů obou uvažovaných kosmických těles. Připomínáme, že vztah udává převrácenou kubickou závislosti s mnohem rychlejším poklesem síly. Po dosazení číselných hodnot obdržíme pro velikost působících slapových sil Měsíce na Zemi FMZ = 6,7-1018 N a Slunce na Zemi Fsz =3,0-1018 N. Tedy 19 3 KOSMICKÁ MECHANIKA prvně počítané slapové působení činí 2/3 a druhé 1/3 z celkového slapového působení obou kosmických těles. Slapové síly vyvolávané Měsícem jsou přibližně 2,2krát větší než slapové síly Slunce. Jinak vyjádřeno slapové síly vytvářené Sluncem dosahují přibližně pouze 46% slapových sil Měsíce. Při hypotetickém zvětšení vzdálenosti Měsíce 2krát, by jeho slapové působení pokleslo 8krát a stalo by se 4krát slabší než slapové působení od Slunce. Úloha 3.12 Síly přílivového tření vyvolané především měsíčními slapy zpomalují rotaci Země. Tento proces bude pokračovat, dokud úhlová rychlost rotace Země nebude rovna úhlové rychlosti oběžného pohybu Měsíce kolem Země. Určete vzdálenost Měsíce od Země akon a jeho oběžnou dobu Tkon při této tzv. oboustranné vázané rotaci obou těles při předpokládaném lineárním vzdalování Měsíce od Země. Rotační moment hybnosti Měsíce na počátku a konci uvažovaného procesu jakož i Země v konečném stavu budeme zanedbávat. Pro zjednodušení dále předpokládejme, že rotační osa Země je kolmá k oběžné rovině měsíční dráhy. Rotační moment hybnosti Země v současnosti je LZrot = 6 • 1033 kg • m2 • s_1, moment setrvačnosti Země J z = 8 • 1037 kg • m2, předpokládáme znalost rZM, MM, TpoC. Řešení: V izolované soustavě, za kterou můžeme zjednodušeně považovat soustavu Země - Měsíc, platí zákon zachování momentu hybnosti. Pro počáteční a koncový stav platí Lc\ = Lc2. Z platnosti podmínek v zadání vyplývá Lc\ = Lzrot + -^Mpoe a Lc2 = i^Mdrah- Moment setrvačnosti Měsíce vzhledem k rotační ose Země je Jmpoč = MMapoi = 1,08 • 1040 kg • m2, jeho současná dráhová úhlová rychlost ujpoi = || = 2,7 • 10~6rad • s-1. Dráhový moment hybnosti Měsíce nyní LMhpoe = ^Mpoe^poe = 2,9 • 1034kg • m2 • s_1. Počáteční celkový moment hybnosti je L d = Lzrot + -^Mpoe = 3,5 • 1034kg • m2 • s_1. Aplikujeme zákon zachování momentu hybnosti Lci = Lc2, kde Lc2 =MMa2;onc<->kon■ Dále platí III. Keplerův zákon upravený do tvaru ^oe^poe = akonwkon- Po dosazení a úpravách obdržíme akon = apoi (j^^j = 1,45 apoi = = 5,6 • 108 m. Rovněž z III. Keplerova zákona získáme konečnou úhlovou rychlost ukon = = ^poe 2 = 1)5 • 10~6rad • s-1 s konečnou oběžnou dobou Tkon = Tpoe|^ = 48 dnů. Úloha 3.13 Jak bychom hypoteticky museli změnit hmotnost Země, aby Měsíc obíhal ve stejné vzdálenosti kolem Země s oběžnou dobou 3krát menší? Řešení: Použijeme III. Keplerův zákon v přesném znění ^[j^zi+Mm) = af' ^e nm°t" nost MM Měsíce zanedbáváme, MZ1 je změněná hmotnost Země. Úpravou vztahu obdržíme Úloha 3.14 Jaká by musela být hmotnost Slunce, aby Země obíhající kolem něho se stejnou oběžnou dobou, se nacházela ve dvojnásobné vzdálenosti? Řešení: Dosadíme do rovnice vyjadřující, že dostředivé zrychlení je vytvářeno silou při- iMQ0Mz _ Mzv27i , , Mzvl _ Mzi^z \ 2 tažlivosti Slunce G^f^ = ^fc, kde = v lz ' . Obdobně v případě hypotetického »gz rsz ' rsz rsz r r J *" přesunu na dvojnásobnou vzdálenost platí G^^p- =--—--. Podělením druhé rovnice první obdržíme po úpravě M01 = 8M0O. Úloha 3.15 Úbytek hmotnosti Slunce vyvolaný jeho vyzařováním činí za 1 s 4,3 • 109kg, 20 ročně 6,7- 1CT14M0 -rokT1, úbytek vyvolaný slunečním větrem 1CT14 M0 - rok-1. Jak se změní poloměr dráhy Země kolem Slunce v důsledku těchto jevů? Zjednodušeně předpokládejme kruhový tvar dráhy Země. Řešení: Dosadíme do rovnice vyjadřující zákon zachování mechanické energie pro pohyb Země \Mzv2m - G^f^ = \Mzv2zl - g^gf1. Při zjednodušení na kruhovou dráhu dostáváme G Mz2Mg> = MzĺEz. vz = qM&_ Následně dosadíme do rovnice pro zákon zacho- rgs rzs L° rzs ľ vání energie « - = igm^ _ gmzM^_ Po u g obdržíme v_ i^. Po_ ° 2 rzso rzso 2 rzsi rzsi ^ M0O rzso AMQ0 ArZso dělením čitatelů Ar, zvolíme At = 1 rok, rzso = 1 AU získáme vztah Aí — Aí ^ = 8-10 14 rzso • rok 1. Přepočtením získáme = 1 cm • rok -i Mqq rzso Úloha 3.16 Kometa prošla perihéliem ve vzdálenosti r = 0,587 AU rychlostí v = 54,52 km-s 1. Po jaké dráze se pohybuje, určete její parametry. Řešení: Ke stanovení typu dráhy určíme kruhovou a parabolickou rychlost v dané vzdálenosti od Slunce, vk = ^G^ = 38,87km-s-1, vp = ^2G^ = 54,96km-s-1. Protože platí vk < v < vp, kometa se pohybuje pro eliptické dráze. Ze vztahu pro rychlost komety v perihéliu v = yjGM& (jr — vyjádříme velikost velké poloosy a = 18 AU. Oběžnou dobu stanovíme z III. Keplerova zákona T = ayfä = 76 roků. Excentricitu vypočítáme e = -a = g^L = 0,967. Rychlost komety v aféliu je rovna v& = GM& (jr — = 0,9 km • s_1. Úloha 3.17 V román Julese Vernea Hector Servadac (u nás známého pod názvem Na kometě) se autor zmiňuje o planetce Galia s oběžnou dobou Tq =2 roky a vzdáleností v aféliu 820 000 000 km. Může se planetka pohybovat po takové dráze? v 3 3 Řešení: Platí III. Keplerův zákon % = ^f-. Při předpokládané oběžné době 2 roky je velikost hlavní poloosy dráhy clq = 1,59 AU. Planetka s těmito parametry nemůže existovat. Úloha 3.18 Vypočítejte rychlost planetky Hektor v perihéliu a aféliu, jestliže její kruhová rychlost se blíží 13,1 km • s-1 a excentricita její dráhy je e = 0,024. Přibližně na jaké střední heliocentrické vzdálenosti se planetka nachází? Řešení: Pro rychlost v perihéliu platí vper = vk-y/l^f = 13,4km-s_1, pro rychlost v aféliu ^aféi = -\/lT§ = 12,8 km • s_1. Pro kruhovou dráhu platí vztah vk = ^ŕ, kde rychlost je km • s-1 a r v AU. Dosazením obdržíme r = 5,17 AU. Úloha 3.19 Jakou metodou mohou kosmonaute nacházející se v kosmické lodi pohybující se po nízké kruhové oběžné dráze kolem planety určit pomocí hodin její hustotu? Řešení: Za předpokladu h < R platí T = ^ = = fíŽ-j=, kde 1 - ■ /47rR V r Vp y 3m Oběžná doba kosmické lodi závisí na hustotě planety. 21 3 KOSMICKÁ MECHANIKA Úloha 3.20 Na čem závisí velikost celkové mechanické energie družice pohybující se kolem Země po eliptické dráze? Řešení: Vyjdeme ze zákona zachování energie — gmdmz = = gmdmz a zákona zachování momentu hybnosti m^rvvv = m^r&v&. Řešením rovnic obdržíme vztah pro celkovou mechanickou energie wc = —g™^^ = — g"1"^2, která závisí na velikosti velké poloosy. Úloha 3.21 Družice o hmotnosti md = 103 kg se pohybuje po kruhové oběžné dráze nad povrchem Země ve výšce h = 103 km. Jaká je její kinetická, potenciální a celková energie? Údaje o hmotnosti a poloměru Země naleznete v tabulkách http://ads.harvard.edu/books/hsaa/. Řešení: Nejprve stanovíme velikost kruhové rychlosti družice vk = ^Jg J^zh, po dosazení obdržíme vk = 7,34 • 103 m • s-1. Pro kinetickou energii obdržíme wk = ^mdv^ = 2,7 • 1010 J, pro potenciální energii wp = —g"^^% = —5,4 • 1010 J. Připomínáme, že platí viriálová věta (wk) = -i. Úloha 3.22 Určete rychlost družice Orbiter 1 v periseleniu a aposeleniu, jestliže její střední výška nad povrchem Měsíce byla h = 1 027 km a excentricita dráhy e = 0,298. Údaje o Měsíci, jeho hmotnosti a poloměru najděte v tabulkách http://ads.harvard.edu/books/hsaa/. Řešení: Pro rychlost na kruhové dráze platí vk = \Jg J^™h = 1,33 • 103m • s_1. Pro rychlost v periseleniu platí vpeT = ^k-y/i^f = 1 810m • s-1 a pro rychlost v aposeleniu v&pos = = vk\f^£ = 978m-s~1. Úloha 3.23 Kosmická loď o hmotnosti m\ = 12 • 103kg se pohybuje po kruhové oběžné dráze nad povrchem Měsíce ve výšce h = 100 km. Pro přechod na přistávací dráhu je na krátkou dobu zapnut brzdící motor. Rychlost vyletujících plynů z reaktivního motoru je vv&\ = = H^m-s-1. a) Jaké množství paliva bude spotřebováno, jestliže po zapnutí brzdících motorů sestoupí kosmická loď z bodu A dráhy do bodu B na povrchu Měsíce? b) Jaké množství paliva je nezbytné pro sestup kosmické lodi na povrch Měsíce, jestliže v bodě A dráhy je přidán impuls ve směru na hmotný střed Měsíce, tak aby loď přistála v bodě C? Řešení: a) Při pohybu po kruhové dráze kolem Měsíce platí G^'^a = ^^h, kde vk = g J^™h- Po zapnutí brzdícího motoru udílejícího kosmické lodi impuls, se loď bude pohybovat po eliptické dráze s ohniskem ve středu Měsíce. Při označení v a a v b rychlostí 2 kosmické lodi v bodech A a B zapíšeme zákon zachování energie a momentu hybnosti — - = ^ - G^g^ a mivA (RM + h) = mxvBRM. Řešením posledně dvou uvedených rovnic nalezneme vA = y 2G ^M^f^2RM+h) a P° uPravě získáme vA = vk\J 2R^+h ■ Změna rychlosti Av = vk — vA = vk ^1 — ■sj2r^+h) = 24m-s_1. Brzdící motor se zapíná na krátkou dobu, proto můžeme zákon zachování hybnosti soustavy kosmická loď - vyletující palivo zapsat ve 22 tvaru (mi - mpal) Av = mp3yvpsX. Úpravou obdržíme mpal = Vp^+Avm , odtud při Av < vpaX platímpal = ^m1 = 29kg. b) Vektor Av2 směřuje kolmo k vektoru vk, proto vA = \Jv^ + Av\. Ze zákona zachování mechanické energie dostaneme m'(t'k^At'2) _ ^slMm. = Iľípz _ qíbMm. a zákona zachování momentu hybnosti rriivk (RM + h) = m\vcRM- Řešením posledních dvou uvedených rovnic obdržíme Av2 = R^+fi = 97m-s~1. Při využití zákona zachování hybnosti mpa\ = ^f^rri\ = 116 kg. Úloha 3.24 V kterých tělesech sluneční soustavy je uložen největší moment hybnosti? Určete dráhový moment hybnosti Země, Jupitera, Saturnu a Uranu, porovnejte s momentem hybnosti Slunce. Nezbytné údaje nalezněte v http://ads.harvard.edu/books/hsaa/. Řešení: Za předpokladu kruhových drah planet můžeme jejich dráhový moment hybnosti zachytit vztahem L = mvr = m^jr-r. Při znalosti hmotností, poloměrů drah a oběžných dob planet můžeme vypočítat dráhové momenty hybnosti vybraných planet L% = = 2,7 • 1040kg • m2 • s"1, Lj = 1,9 • 1043kg • m2 • s"1, Ls = 7,8 • 1042 kg • m2 • s"1, Lv = = 1,7-1042 kg-m2-s-1. U Slunce je rotační moment hybnosti LQ = 1,1 • 1042 kg-m2 • s_1, činící méně než zhruba 3 % celkového momentu hybnosti všech planet, přestože jeho hmotnost je 99,9 % celkové hmotnosti sluneční soustavy. Úloha 3.25 Vypočtěte hmotnost Saturna, jestliže víme, že jeho měsíc Hyperion se pohybuje ve střední vzdálenosti od planety 1,48 • 106km s oběžnou dobou 21,28 dne. ^ 3 Řešení: Úpravou III. Keplerova zákona při zanedbání hmotnost Hyperiona |f = ^Ms, odtud Ms = 5,7 • 1026 kg. Úloha 3.26 V roce 1978 byl objeven měsíc Pluta Charón, který kolem této trpasličí planety obíhá ve střední vzdálenosti 19 640 km za dobu 6,39 dne. Určete hmotnost dvojsystému Pluto - Charón za zjednodušujícího předpokladu stejné hustoty obou těles, určete její hodnotu. V roce 1988 byly upřesněny poloměry obou těles, RP\ = 1150 km, RCh = 593 km, stanovte hmotnosti jednotlivých těles. Řešení: Platí ^ = Ä (MP1 + MCh), odtud MP1 + MCh = 1,26 • 1022kg. Za zvoleného předpokladu stejné hustoty obou těles a s ohledem na poloměry respektive objemy těles obdržíme Mpi = 1,2-1022 kg, MCh = 0,6-1023kg. Střední hustota je rovna p = 1,9 • 103 kg-m~3. Úloha 3.27 Určete Rocheovu mez pro soustavu Země - Měsíc, stanovte její velikost. Řešení: Rozdíl gravitačních zrychlení ve středu Měsíce a na jeho vzdálenějším okraji vyvolaných Zemí nacházející se ve vzdálenosti rZM je roven a = 2GM?>zRm . Pro určitou kritic-kou vzdálenost rkr Země - Měsíc bude dostředivé zrychlení působící na povrch Měsíce rovné odstředivému zrychlení Gj^- = 2GMzRm _ p0 Upravg r^r = 2J^R3Ä a dosazení za hmotnosti obou těles obdržíme rkr = 1,26 R% {jj^j 3 ■ Kritická vzdálenost Měsíce je rovna 1,26 násobku poloměru Země násobenému třetí odmocninou z poměru hustot Země a Měsíce, což platí v případě, že obě tělesa lze považovat za tuhá. Po dosazení hodnot hustot pz = 5,5 • 103 kg • m~3 23 3 KOSMICKÁ MECHANIKA a pm = 3,3 • 103kg • m 3 dostaneme rkr = 9 500 km. V případě, že obě tělesa jsou kapalná je násobným faktorem 2,4 a platí rkr = 2,4 Rz {jj^j 3 a tudíž rkr = 18 260 km. Úloha 3.28 Určete dobu letu kosmické sondy k Marsu po poloeliptické tzv. hohmannovské dráze, nazývané na počest německého matematika a fyzika Waltera Hohmanna (1880-1943). Řešení: Nezbytná heliocentrická rychlost k dosažení Marsu má hodnotu 32,7 km • s_1, Země se pohybuje po dráze kolem Slunce se střední oběžnou rychlostí 29,8 km • s_1, nutná rychlost kosmické sondy při opouštění oblasti aktivity Země (sahající do vzdálenosti přibližně 930 000 km) je dána rozdílem obou rychlostí, tedy 2,9 km • s_1. Minimální počáteční tzv. startovací rychlost z povrchu Země je určena vztahem v = a/11,22 + 2,92 = 11,6 km • s_1, kde 11,2 km-s-1 je hodnota druhé kosmické rychlosti. Přechod ze Země A k Marsu B se uskutečňuje po poloeliptické přechodové dráze, velikost jejíž velké poloosy as vypočítáme as = \ (a\ + a2) v souladu s obrázkem. Excentricitu přechodové dráhy určíme ze vztahu es = . Dobu letu získáme z III. Keplerova zákona |% = odkud po dosazení obdržíme hodnotu = 0,7 roku. B Je vhodné, aby se v okamžiku startu nacházela Země v perihéliu své dráhy, kde je rychlost planety asi o 1 km • s_1 vyšší než v aféliu a má hodnotu 30,4 km • s-1. Vyšší startovací rychlost umožňuje zkrácení dráhy letu a také výhodnější kratší rádiové spojení s případnými přistávacími moduly v okamžiku přiblížení a přistání kosmických lodí, neboť Mars je v menší vzdálenosti od Země. Kosmické sondy nesoucí na palubě Mars Pathfinder se pohybovaly po přechodových drahách blížících se hohmannovským. 24 4 Záření hvězd Úloha 4.1 Pomocí bolometrů umístěných na družicích byla zjištěna přesná hodnota solární konstanty K. Určete efektivní povrchovou teplotu Slunce, známe-li dále hodnoty poloměru R& a střední vzdálenosti Země od Slunce r. / 2\1/4 Řešení: Efektivní povrchovou teplotu určíme ze vztahu Tef = () = 5 780 K. Úloha 4.2 Známe absolutní bolometrickou hvězdnou velikost a zářivý výkon Slunce. Stanovte vzájemné vztahy mezi absolutní bolometrickou hvězdnou velikostí hvězdy Mboi v mag, jejím zářivým výkonem L ve W, pozorovanou bolometrickou hvězdnou velikostí mbol v mag, vzdáleností hvězdy r v pc a hustotou zářivého toku Fbol ve W • m~2. Řešení: Vyjdeme z upravené Pogsonovy rovnice: 2,5 log= 4,75 — Mbol; obdržíme log L = 28,49 - 0,4Mbol, Mbol = 71,23 - 2,5 log L, mbol - Mbol =Q51ogr - 5, mbol = -19,01 --2,51ogFbol. Úloha 4.3 Stanovte změnu zářivého výkonu hvězdy, jejíž poloměr se zmenší o 2% a efektivní povrchová teplota se zvětší o 2%. Řešení: Ze Stefanova-Boltzmannova zákona vyplývá ^ = 2^ + 4^. Pro malé změny poloměru a teploty obdržíme přibližně ^ = 2-^- + 4^*. Podle zadání úlohy dosadíme ^ = — e a = +e a získáme = 2e. Při e = 0,02 se zářivý výkon hvězdy zvětší o 4%. Úloha 4.4 Hvězda má efektivní povrchovou teplotu 10 000 K. Jak se zvýší zářivý výkon hvězdy, jestliže teplota naroste o 500 K? Řešení: Ze Stefanova-Boltzmannova zákona vyplývá L0 ~ Tef, při nárůstu teploty platí L~ [(i + é)7^]4-1'22^. Úloha 4.5 Určete rozdíl absolutních bolometrických hvězdných velikostí dvou hvězd stejných poloměrů, jejichž efektivní povrchové teploty se liší o 10%. Řešení: Při stejném poloměru obou hvězd platí M\ — M2 = —2,5 log |j = —10 log ^. Při § = 1,1 je Mboll - Mbol2 = -0,414 mag. Úloha 4.6 U hvězdy a Tau Aldebarana K5 III byl zjištěn úhlový průměr 2a = 0,021". Naměřená hodnota hustoty zářivého toku dopadajícího na vnější část atmosféry Země od této hvězdy je Fbol = 3,2 • 10~8 W • m~2. Roční paralaxa n = 0,050". Stanovte poloměr a efektivní povrchovou teplotu hvězdy. Řešení: Určíme vzdálenost hvězdy r = ^ = 20 pc, úhlový poloměr a = 0,5 • 10~7rad. Skutečný poloměr R = ar = 3,09 • 1010m = 44i?0. Efektivní povrchová teplota je Tef = = = 3 900K. Úloha 4.7 Úhlový průměr hvězdy a CMi Procyona F5 IV-V je 2a = 0,005" a roční paralaxa 25 4 ZÁŘENÍ HVĚZD 7t = 0,292". Naměřená hodnota hustoty zářivého toku Fboi = 1,6-10 8 W-m 2. Určete poloměr a efektivní povrchovou teplotu hvězdy. Řešení: Obdobným postupem jako u předcházejících úloh stanovíme R = 1,7 RQ, Tef = = 6 550K. Úloha 4.8 U hvězdy a Cas Schedar K0 III s efektivní povrchovou teplotou 4 500 K, nacházející se ve vzdálenosti 70 pc byla zjištěna hustota zářivého toku Fboi = 1,65 • 10~9W • m~2. Určete L, R, Mbol, mbol, modul vzdálenosti a Amax. Řešení: Zářivý výkon určíme ze vztahu L = Anr2Fhoi = 9,67 • 1028 W = 251 LQ. Polo- / \l/2 měr hvězdy stanovíme ze vztahu R = í a^ta ) ■ Absolutní bolometrickou hvězdnou velikost stanovíme ze vztahu logL = 0,4 (4,75 — Mboi), odkud Mboi = —l,24mag. Pozorovanou bolometrickou hvězdnou velikost získáme z upravené Pogsonovy rovnice mbol = Mbol+ 5 logr —5 = = 2,99 mag. Modul vzdálenosti je mbol — Mbol = 4,23 mag. Vlnová délka hodnoty maximální intenzity záření zjištěná z Wienova posunovacího zákona je Amax = 644 nm. Úloha 4.9 Pro hvězdu nacházející se ve vzdálenosti r = 10,4 pc byla zjištěna hustota zářivého toku Fboi = 1 • 10~8 W • m~2 a efektivní povrchová teplota T = 4 800 K. Určete úhlový průměr hvězdy a zvažte, zda ho lze současnými interferometrickými metodami změřit. Odhadněte bolometrickou korekci, jestliže absolutní vizuální hvězdná velikost je My = 1,03 mag. Údaje odpovídají hvězdě (3 Gem Pollux K0 III. Řešení: Nejprve určíme zářivý výkon hvězdy L = 47rr2Fboi = 1,5 • 1028 W, tedy L = ( T \1/2 = 39 LQ. Dále stanovíme poloměr hvězdy R = í 47rcrT4 ) vyjádřeno v jednotkách poloměru Slunce R = 9 RQ. Úhlový průměr 2a = 2-^ = 3,9 • 10~8 rad, tedy 0,008". Hodnota je měřitelná současnými prostředky. Ze vztahu log L = 0,4 (4,75 — Mbol) nalezneme Mbol = 0,77 mag, BC = Mbol — My = —0,26 mag, což odpovídá tabulkovým hodnotám. Úloha 4.10 U Vegy byl zjištěn úhlový průměr 2a = 0,00324" a hustota zářivého toku Fbol = = 2,84 • 10~8W • m~2. Její vzdálenost je r = 7,8 pc. Stanovte poloměr, efektivní povrchovou teplotu a zářivý výkon. Řešení: a = ^, skutečný poloměr R = ar = 1,89- 109m, tedy 2,7R&. Efektivní povrcho- vou teplotu získáme ze vztahu Tef = ŕ ^ j = 9 500 K. Zářivý výkon stanovíme ze vzorce L = Anr2Fhol = 2,07 • 1028 W = 54 LG. Úloha 4.11 Efektivní povrchová teplota Vegy je 9 500K, její poloměr 2,7RQ. Vypočtěte zářivý výkon hvězdy a její absolutní bolometrickou hvězdnou velikost. Řešení: Využijeme řešení předchozích úloh, L = 54 L0. Absolutní bolometrickou hvězdnou velikost stanovíme ze vztahu log L = 0,4 (4,75 — Mboi), Mboi = 0,42 mag- Úloha 4.12 Interferometrickou metodou byl určen úhlový průměr u hvězdy a Boo Arktura Kl III na 0,021". Zjištěná hodnota roční paralaxy je n = 0,089" a hustota zářivého toku -^boi = 4,9 • 10~8 W • m~2. Stanovte poloměr a efektivní povrchovou teplotu Arktura. 26 Řešení: R = 25 RQ, Tef = 4 300 K. Úloha 4.13 U Siria B byla zjištěna pozorovaná bolometrická hvězdná velikost mbol = 6,0 mag. Z výsledků měření družice Hipparcos byla stanovena roční paralaxa n = 0,379". Určete absolutní bolometrickou hvězdnou velikost hvězdy. Řešení: Dosadíme do vztahu Mbol = mboi + 5 + 5 log7r, Mbol = 8,9 mag. Úloha 4.14 Červený trpaslík spektrální třídy M4 Ve má efektivní povrchovou teplotu 3200 K a absolutní vizuální hvězdnou velikost My = 13,4 mag. Pomocí v tabulkách nalezené bolome-trické korekce BC = —2,3 mag nalezněte zářivý výkon a poloměr hvězdy. Řešení: Mbol = BC + My = 11,1 mag. Zářivý výkon v jednotkách zářivého výkonu Slunce stanovíme podle vztahu log L = 0,4(4,75 — 11,1) = —2,54, tedy L = 0,003LQ, L = = 1,2 • 1024 W. Poloměr určíme ze vztahu R = í J = 1,2 • 108 m, tedy 0,17/2©. Údaje v podstatě odpovídají Barnardově hvězdě, která má největší známý vlastní pohyb 10,34" za rok. Byla objevena E. E. Barnardem roku 1916. Úloha 4.15 Rozdělení energie ve spojitém spektru Slunce G2 V je blízké rozložení intenzity záření černého tělesa s teplotou 5 800 K. Proč rozložení intenzity záření ve spojitém spektru Vegy A0 V příliš neodpovídá rozložení intenzity záření černého tělesa s teplotou 9 500 K? Řešení: Fotosféru Slunce můžeme považovat v prvním přiblížení za šedou (šedý zářič). Zdrojem neprůzračnosti je H absorbující procházející záření u všech vlnových délek téměř stejně, neselektivně. Proto lze zjednodušeně pokládat spojité záření Slunce za téměř odpovídající zákonům záření černého tělesa (ZZCT). U Vegy je základním zdrojem absorpce v atmosféře neutrální vodík, jehož absorpce je výrazně selektivní. Spojité záření tak přichází z odlišných hloubek o různé teplotě, intenzita záření spojitého spektra se tudíž odlišuje od planckov-ské intenzity. Ta je dále narušena balmerovským skokem, jehož velikost roste s teplotou od spektrální třídy G k A, u Vegy je mnohem větší než u Slunce. Úloha 4.16 Pod rozdělením energie ve spektru obvykle rozumíme rozdělení intenzity podle vlnových délek. Na jaké vlnové délce se však nachází maximum v rozdělení intenzity podle frekvence? Jako příklad použijeme Slunce, předpokládejme, že vyzařuje jako absolutní černé těleso s teplotou 5 780 K. Řešení: V prvním případě, rozdělení podle vlnových délek I\, má Wienův posunovací zákon tvar AmaxT = 0,0029. Křivka, zachycující intenzitu jako funkci vlnové délky, dosahuje maxima při Amax = 500 nm. Méně častější je vyjádření rozdělení intenzity podle frekvence Iv = ~F ehuihT_v Z podmínky ^ dostaneme v = 2'83fcT, odkud po úpravě obdržíme AmaxT = = 0,0051, což dává polohu maxima Amax = 800 nm. Tedy obě vlnové délky se výrazně odlišují. Úloha 4.17 Určete úbytek hmotnosti Slunce prostřednictvím slunečního větru. Předpokládejte sféricky symetrické šíření slunečního větru meziplanetárním prostorem a výpočet proveďte za předpokladu, že veškerá hmotnost ze Slunce prochází sférou ve vzdálenosti 1 AU Je zadáno v = 500 km • s-1, r = 1 AU, n = 7 protonů.cm-3. 27 4 ZÁŘENÍ HVĚZD Řešení: Sférickou vrstvou o poloměru r projde dM = pdV = (nm-s) (4nr2vdt). Zmenšení hmotnosti lze vyjádřit ^ = Anr2nm^ = Anr2pv. Numerickým dosazením obdržíme úbytek hmotnosti Slunce 3 • 1(T14M0 • rok"1. Úloha 4.18 Vztah hmotnost - zářivý výkon pro hvězdy hlavní posloupnosti s velkou hmotností lze přibližně vyjádřit vztahem log = 0,781 + 2,760 log kde M je počáteční hmotnost. Úbytek hmotnosti hvězd v jednotkách M0 • rok-1 lze zachytit vztahem log^ = — -12,76 + 1,3 log j^. Doba pobytu na hlavní posloupnosti je dána vztahem logrHp = 7,719 — - 0,655 log -jjj-. Určete úbytek hmotnosti hvězdy na hlavní posloupnosti, jestliže počáteční hmotnosti hvězd byly 25M0, 60M0, 120M0. Řešení: Nejprve určíme dobu pobytu rHp hvězd na hlavní posloupnosti; postupně je tato doba pro jednotlivé hvězdy 6,4 • 106 roků, 3,9 • 196 roků a 2,3 • 106 roků. Dále stanovíme log - 4,639, 5,689, 6,520. Následuje výpočet úbytku hmotnosti vyjádřený v jednotkách M0 - rok-1 - 1,9-10~7, 4,3-10~6, 5,2-10~5, což dává celkové úbytky hmotnosti 1,18M0, 17M0 a 119M0, v procentech 5%, 28% a 99% původní hmotnosti. Úloha 4.19 V jaké vzdálenosti od Slunce se nachází fokusační bod F gravitační čočky? Mohou Slunce respektive Proxima Centauri sloužit jako gravitační čočky? Řešení: Z obrázku je zřejmé, že tan 9 = -|, =>- F = V přiblížení slabého gravitačního pole s ohledem na malý úhel 9 obdržíme F ps | ps j?- ps při 9 = Dále při b ps R =>- F pí Příkladně pro Slunce F pí 1,7 • 1014m. Protože ZS ps / = 1,5 • 1011 m, potom F 3> /. Tudíž ze Země nemůžeme pozorovat efekt gravitační čočky v gravitačním poli Slunce. Nejbližší hvězda Proxima Centauri se od Země nachází ve vzdálenosti / ~ 4 • 1016 m 3> F. Libovolná z hvězd tak může sloužit jako gravitační čočka. Je však nutné, aby zdroj záření hvězda čočka a pozorovatel se nacházeli na jedné přímce. V rámci OTR, silném gravitačním poli, je ohnisková vzdálenost určována z Einsteinova vztahu F ps ps ^jg. Pro Slunce b ps R obdržíme F ps 8,3 • 1013 m. Proto zůstávají v platnosti předchozí závěry pro slabé gravitační pole. Úloha 4.20 Hvězda 18 Sco (HD 146 233) je svými charakteristikami velmi podobná našemu Slunci. Její zářivý výkon je o 5 % větší než sluneční, zatímco efektivní teplota je o 90 K nižší než sluneční. Určete poloměr hvězdy. Řešení: Při LQ = 3,86 • 1026 W a teplotě Slunce T0 = 5 777 K stanovíme zářivý výkon a teplotu hvězdy 18 Sco takto LSco = 4,05 • 1026 W a teplota TSco = 5 687K. Poloměr hvězdy Úloha 4.21 Nejjasnější hvězda na obloze Sirius A se nachází ve vzdálenosti r = 2,64 pc. Bolometrickým měřením na družicích obíhajících kolem Země byla naměřena od této hvězdy hustota zářivého toku 1,33 • 10~7W • m~2. Její teplota je 10 300 K, určete poloměr. Řešení: Nejprve stanovíme zářivý výkon Siria A, L = 47rr2Fb0i = 1,11 • 1028 W. Poloměr 28 Úloha 4.22 Hvězda a Cen A má roční paralaxu n = 0,742", interferometricky zjištěný úhlový poloměr je a = 4,3-10~3". Bolometrem na družici obíhající kolem Země byla zjištěna hustota zářivého toku od této hvězdy Fbol = 2,7 • 10~8 W • m~2. Určete efektivní povrchovou teplotu hvězdy. Řešení: Ze vztahů r = l/naR = ar určíme poloměr hvězdy R = 8,7 • 108m, tedy 1,25 RQ. Dále stanovíme zářivý výkon hvězdy L = Anr2Fhoi = 5,9-1026 W = 1,53 LQ. Konečně ^ef=(4^)1/4 = 5 750K. Úloha 4.23 U hvězdy a Cen A byl naměřen pokles hustoty zářivého toku o 1 %. O kolik stupňů poklesla efektivní povrchová teplota a Cen A, jestliže původní teplota dosahovala 5 790 K? Řešení: Efektivní teplotu hvězdy můžeme vyjádřit vztahem Teí = ( ^^r^-) = \Lwr) Předpokládáme, že r, i? jsou konstantní, tudíž Tef = konst.F^4. Pro malé změny platí = = = 0,0025. Odpovídající změna teploty je dTef = 0,0025 Tef = 14 K. 4 ^bol ^ef Úloha 4.24 Hvězda Altair se nachází ve vzdálenosti r = 5,14 pc, její úhlový poloměr je a = = 0,8 • 10~8rad, efektivní teplota Tef = 7680K. Na základě těchto údajů lze vypočítat zářivý výkon hvězdy. Můžeme ověřit správnost vypočítané hodnoty zářivého výkon bolometrickým měřením hustoty zářivého toku, jestliže prahová citlivost bolometru umístěného na družici k určení hustoty zářivého toku je 10~8 W • m~2? Řešení: Nejprve stanovíme poloměr hvězdy R = ar = 1,3 • 109m = 1,9 RQ. Propočítaný zářivý výkon hvězdy je AnR2aT^ = 4,2 • 1027W. Odtud vypočítaná hustota zářivého toku Fboi = 1,3 • 10~8W • m~2, bolometr má dostatečnou prahovou citlivost. Úloha 4.25 První objevený hnědý trpaslík Gl 229 B se vyznačuje roční paralaxou n = = 0,175". Maximum intenzity vyzařování jeho spojitého spektra připadá na vlnovou délku 2,9 fim, poloměr je 0,94 Rj. Odhadněte, jaká musí být minimální prahová citlivost bolometru umístěného na družici obíhající Zemi k detekci hustoty zářivého toku od tohoto hnědého trpaslíka. Řešení: Při paralaxe n = 0,175" je vzdálenost hvězdy r = 5,7 pc. Teplotu určíme z Wi-enova posunovacího zákona T = b/\ = 1000 K. Zářivý výkon L = AnR2aT^ = 3,2 • 1021 W. Požadovaná minimální prahová citlivost je Fbol = = g2 ■ 10~15 W • m~2. Úloha 4.26 Předpokládejte znalost zářivého výkonu 3,86 • 1026 W a absolutní bolometrickou hvězdnou velikost Slunce Mbol = 4,75 mag. Stanovte vzdálenost, do které by bylo možné pozorovat lidským zrakem Slunce při jeho hypotetickém vzdalování od Země. Odhadněte počet fotonů n dopadajících do oka za jednu sekundu. Pro jednoduchost předpokládejte, že všechny fotony mají stejnou vlnovou délku A = 550 nm, plochu lidského oka zvolte 1 cm2. Řešení: Dosazením do vztahu m — M = 5 log r — 5, m = 6 mag určíme hledanou vzdálenost r = 17,8 pc. Odtud je hustota zářivého toku Fbol = = 10~10W • m~2. Při předpokládané ploše lidského oka P = 1 cm2 je celková přijímaná energie za jednu sekundu E = = Fho\P = 10~14 J. Energie jednoho fotonu je e = hu = hc/X = 3,6 • 10~19 J. Počet fotonů je tak roven n = E/e = 2,8 • 104s"1. 29 5 Základy hvězdné spektroskopie Úloha 5.1 Vyjádřete energii fotonů [eV] charakterizujících a) Lymanovu hranu o A = 91,2 nm b) nebulární čáru O III A = 500,7nm c) čáru Ha Balmerovy série vodíku A = 656,3 nm d) emisní čáru NH3 A = 1,3 cm. e) čáru neutrálního vodíku A = 21 cm. Řešení: 2,17 • 10~18 J = 13,55 eV, 2,46 eV, 1,88 eV, 9,49 • 10~5 eV, 5,87 • 10~6 eV. Úloha 5.2 Vypočtěte pět nejnižších energetických hladin atomu vodíku. Ve spektrech kvasarů je zpravidla dominantní spektrální čára La, vznikající při přechodu z energetické hladiny n = 2 na hladinu n = 1. Určete její vlnovou délku. Řešení: -13,583eV, -3,390eV, -1,511 eV, -0,849eV, -0,543eV; 121,6nm. Úloha 5.3 Stanovte vlnovou délku světla vyzářeného atomem vodíku při přechodu z energetické hladiny n = 6 na hladinu n = 2. O jakou sérii a barvu jde? Řešení: Balmerova série, čtvrtá čára H<$ s A = 410,2 nm, fialová barva. Úloha 5.4 Lze z povrchu Země pozorovat čáry mezihvězdného vodíku vznikající při přechodu z desáté na devátou energetickou hladinu? Řešení: Dosadíme do vztahu A = El^lE = 4-10~5 m, čáry leží v submilimetrovém pásmu v infračervené oblasti spektra a nemůžeme je z povrchu Země pozorovat. Úloha 5.5 Jakou spektrální čáru můžeme očekávat ve viditelné části spektra protuberance při excitaci vodíkových atomů elektrony o energii 2,0 eV? Řešení: A > f = 621,5 nm, podmínku splňuje čára Balmerovy série Ha o vlnové délce A = 656,28 nm, pro kterou platí ^ = R — Úloha 5.6 Vypočítejte minimální energii elektronů, které jsou schopny excitovat kyslíkové ionty O III na první B - XD2 a druhou C - 1So metastabilní energetickou hladinu, na které mohou atomy v astrofyzikálních podmínkách setrvávat sekundy až minuty. Víme, že zakázaná čára vznikající při přechodu C^B má vlnovou délku [O III] A = 436,3 nm a při přechodu z B^A [O III] A = 500,7 nm. Jaká je potřebná kinetická teplota Tk k tomu, aby se atomy dostaly na energetické metastabilní hladiny B a C? Řešení: E = h\, \mv2 = |fcTk, přechod A^B, E = 3,9 • 10~19 J, Tk = 19 000 K, přechod A^C, E = 8,5 • 10~19 J, Tk = 40 000 K. Úloha 5.7 Prvek helium byl poprvé pozorován francouzským astronomem P. J. C. Jansenem 18. srpna 1868 v Indii ve spektru protuberance v průběhu úplného zatmění Slunce. Žlutá spektrální čára, tehdy označená D3, o vlnové délce 587,6 nm, se nacházela v blízkosti čar sodíku Dx a D2. Ve skutečnosti je tripletem čar 587,562 nm, 587,565 nm a 587,599 nm, rozlišitelným 30 pouze vysokodisperzními spektrografy. Stanovte energii vyšší energetické hladiny, z níž při přechodu na nižší hladinu 20,88 eV čára vzniká. Řešení: 22,98 eV. Úloha 5.8 Vypočítejte nej pravděpodobnější rychlost atomů vodíku a železa ve sluneční koróně při teplotě 106 K. Porovnejte tuto rychlost s parabolickou rychlostí u Slunce. 1/2 Řešení: vm = (^)1/2, ^km-s"1, líkm-s"1, vp = (2G^j = ô^km-s"1. Hodnoty rychlostí atomů vodíku a železa jsou nižší než hodnota únikové rychlosti Slunce, proto zůstávají v koróně. Úloha 5.9 Dokažte, že gravitační pole Slunce nemůže udržet elektrony ve sluneční koróně, která má teplotu 106 K. Zdůvodněte, proč však přesto zůstávají v koróně Slunce. Řešení: vm = i^-J = 5500km • s_1, vp = Í2G-^j = 617km • s_1, coulombovská přitažlivá síla elektronů k protonům způsobuje, že zůstávají v koróně Slunce. Úloha 5.10 Kolik vrypů na mm musí mít difrakční mřížka, aby ve spektru II. řádu bylo možné rozlišit čáry sodíkového dubletu, u kterých jsou vlnové délky 589,0 nm a 589,6 nm? Stanovte lineární vzdálenost mezi uvedenými čarami na spektrogramu ve spektru I. řádu získaného mřížkou s 600 vrypy na mm, jestliže ohnisková vzdálenost kamery je / = 0,8 m? Řešení: A = Al+A2 = 589,3 nm, N = = 491. Hledaná vzdálenost je Ax = x2 — - xi, x\ = f tg cti, x2 = / tg «2, úhly určíme sin cti = sin a2 = ^j. Dosazením dostaneme Ax = 0,36 mm. Úloha 5.11 Ve spektrech některých obrů spektrální třídy K pozorujeme výrazné čáry lithia s vlnovými délkami 670,776nm a 670,791 nm. Patří přechodům 22P1/2 —► 22Si/2, 22P3/2 —► 22Si/2- Kolik vrypů na 1 mm musí mít difrakční mřížka s šířkou D = 4cm, aby umožňovala v prvním řádu rozlišit uvedené vlnové délky? Řešení: Počet vrypů určíme dosazením do vztahu ^ = Dl^AX = 1120 mm-1. Úloha 5.12 Určete, který z posuvů spektrálních čar, gravitační či dopplerovský vyvolaný rotací u Slunce převládá. Rovníková rychlost převracející vrstvy Slunce je 1,93 km-s-1, k zjištění posuvů použijte čáru H^ o vlnové délce A = 486,1 nm. Řešení: Velikost gravitačního rudého posuvu AA = ^fA = 10~3nm porovnáme s velikostí dopplerovského posuvu AA = ~c\ = 3 • 10~3nm. Úloha 5.13 Při zvláště přesných měřeních radiálních rychlostí je třeba provádět rovněž opravu na pohyb Země kolem hmotného středu soustavy Země - Měsíc, tzv. barycentra. Střední rychlost tohoto pohybu je 12,4 m • s-1. Porovnejte velikost této opravy s relativistickou korekcí na příčný kvadratický Dopplerův jev při změnách rychlosti o a) 30 km • s_1 b) SOOkm-s-1. 31 5 ZÁKLADY HVĚZDNÉ SPEKTROSKOPIE Řešení: Pro příčný Dopplerův jev, při zanedbání členů s vyššími mocninami, platí vztah A' =-Y^ii předpokládáme platnost vztahu v = c^. 1 + 2l? b)^ = 0,5 • 10-6, v = 150m • s-1. V prvním případě příčný Dopplerův jev nemusíme uvažovat, v druhém ano. Úloha 5.14 Ve vysocedisperzním spektru Slunce u vodíkové čáry o vlnové délce A = = 486,133 nm byla nalezena další čára o vlnové délce A = 485,998 nm. Předpokládejme, že tato čára patří izotopu vodíku. Určete o jaký izotop jde. R Řešení: Z atomové fyziky je znám vztah Ah-Rh = Ad-Rd, R = -~zr- Při zanedbání malých veličin dostaneme 1 — ^ = ^ — Dosadíme = ^5 a obdržíme = 3^7, tedy = 2, izotopem je deuterium. Úloha 5.15 Nalezněte šířku spektrální čáry Fe XIV o vlnové délce A = 530,3 nm pocházející ze sluneční emisní koróny o teplotě 106 K. Řešení: AA = 0,08 nm. Úloha 5.16 Stanovte šířku AA pro teplotní rozšíření čáry K Ca II o vlnové délce A = 393,4 nm pro atmosféry červených obrů s teplotami 3 000 K, 5 000 K. Diskutujte výsledek s ohledem na význam teploty pro rozšíření této čáry. Jak ovlivňuje velikost šířky spektrálních čar rozdílná hmotnost jednotlivých atomů např. u vodíku, helia, vápníku a železa? v 1 /2 Řešení: AA = ^ (^r) , jednotlivé hodnoty šířek AA se liší členem T1/2. Pro čáru K Call a jednotlivé teploty dostaneme AAi = 0,0029 nm, AA2 = 0,0037nm. Při fyzikální podmínkách ve fotosférách je teplotní rozšíření zpravidla dominantní. S rostoucí hmotností atomů klesá šířka čar. Úloha 5.17 Určete šířku spektrální čáry kyslíku O III s vlnovou délkou A = 500,7 nm, kterou můžeme identifikovat ve spektru plynné emisní mlhoviny o teplotě 10 000 K. Řešení: AA = 0,01 nm. Úloha 5.18 Vypočítejte šířku čáry Ha, znáte-li že pro rozšíření spektrálních čar srážkami platí AA = — —n- = — — Í^ML)1^2. Předpokládáme vodíkové atomy ve sluneční fotosféře při teplotě 5 780 K a hustotě atomů 1,5 • 1023 m~3, a = 3,6 • 10~20 m2. Řešení: Pro vodíkovou čáru Ha je AA = 2,4 • 10~5nm, což je hodnota velmi malá, srovnatelná s přirozeným rozšířením spektrální čáry. Při narůstání hustoty atomů ve fotosféře se srážkové rozšíření zvyšuje. Úloha 5.19 Odhadněte pomocí výpočtu minimální šířku Fraunhoferových čar vodíku ve 32 spektru Slunce. Porovnejte vypočtené šířky spektrálních čar s tabelovanými údaji o ekvivalentních šířkách nej mohutnějších čar v následující tabulce. Přitom mějte na paměti definici ekvivalentní šířky. A [nm] ekvivalentní šířka [nm] prvek, iont 393,3682 2,0253 Ca II 396,8492 1,5467 Ca II 656,2808 0,4020 Ha 486,1342 0,3680 410,1748 0,3133 434,0475 0,2855 518,3619 0,1584 Mg I 385,9922 0,1554 Fe I 422,6740 0,1476 Ca I 517,2698 0,1259 Mg I 404,5825 0,1174 Fe I 438,3557 0,1008 Fe I 516,7327 0,0935 Mg I 388,6294 0,0920 Fe I 440,4761 0,0898 Fe I 390,5532 0,0816 Si I 406,3605 0,0787 Fe I 588,9973 0,0752 Na I 407,1749 0,0723 Fe I 589,5940 0,0564 Na I Řešení: Vedle jiných příčin je rozhodující rozšíření čar vyvolané tepelným pohybem atomů. Při teplotě 5 780 K je rychlost vodíkových atomů asi 12 km • s_1. Vlnová délka 500 nm viditelného světla se při takové rychlosti posouvá o AA = \-c = 0,02 nm. Šířka čáry je tak 2AA = 0,04 nm. Ve skutečnosti jsou však balmerovské čáry mnohem širší než činí tento hrubý odhad, důležité je rozšíření křídel čar srážkami. Jednotlivé části zejména mohutných spektrálních čar vznikají v různých vrstvách atmosféry. Úloha 5.20 Doba existence elektronu v prvním a druhém excitovaném stavu u atomu vodíku je přibližně Aŕ = 10~8s. Určete velikost přirozené šířky čáry Ha o vlnové délce A = 656,3 nm. Řešení: Dosazením obdržíme AA = £ + = 4,6 • 10~5 nm. Úloha 5.21 Spektrální čára o vlnové délce A = 532,0 nm vzniká jako výsledek přechodu mezi dvěma nabuzenými stavy atomu, jejichž střední doba života je rovna 12 ns a 20 ns. Určete přirozenou šířku čáry A A. Řešení: AA = 2 • 10~5 nm. Úloha 5.22 Určete přirozenou šířku spektrální čáry pro A = 500 nm a konstantu útlumu 7 = 108s-\ 33 5 ZÁKLADY HVĚZDNÉ SPEKTROSKOPIE Řešení: Au = \ , AA = ^ Au = ^ = 1(T5 nm. Úloha 5.23 Nechť teoreticky uvažovaná hvězda spektrální třídy BO V má periodu vlastní rotace P = 2 dny. Nalezněte charakteristickou šířku čáry ve spektru této hvězdy ve vizuální oblasti spektra pro čáru H^, A = 486,1 nm, předpokládáme-li, že osa rotace je kolmá k zornému paprsku. Uvedená hvězda má poloměr 7,5 RQ. Řešení: Rotační obvodová rovníková rychlost je rovna vr = = 200 km • s_1. Rozšíření čáry podmíněné rotací je dáno vztahem AAr = A2^, po dosazení obdržíme AAr = 0,3 nm. Úloha 5.24 Velmi široké čáry způsobené rotačním rozšířením pozorujeme u hvězd spektrální třídy A. Jestliže pro čáru H7 o vlnové délce 434,0 nm jedné hvězdy byla zjištěna šířka čáry AAr = 0,08 nm, jakých hodnot dosahuje vTOt sin i? Řešení: A\r = ^vTOt sin i, vTOt sin i = 55 km • s_1. Úloha 5.25 Jaký vliv má ztemnění na okraji disku hvězdy na rozšíření spektrálních čar vyvolaném rotací hvězdy? Řešení: Okrajové ztemnění zmenšuje rozšíření čar spojené s rotací hvězdy. Úloha 5.26 Spektrograf může rozlišit posun vlnových délek 0,001 nm. Jaká je minimální velikost magnetické indukce, kterou lze zjistit u hvězdy na vlnové délce 450 nm. Řešení: Využijeme vztah pro Zeemanův jev AA = 47\2B, odkud B = 0,1 T. Úloha 5.27 Odhadněte očekávanou velikost magnetické indukce hvězdy stejného typu jako Slunce s dobou rotace 106 s, R = 108 m, T = 6 -103 K, kterou lze na základě měření Zeemanova jevu zjistit v optické oblasti spektra prostřednictvím čáry Fe I o vlnové délce 630,25 nm. Řešení: Pro spektroskopickou zjistitelnost musí platit AAz > AArot+AAtep, tedy 47A25 > Aiv + 2A /2fcr\i/2 dosazením obdržíme B > 0,4T. Úloha 5.28 U hvězdy HD 215 441 o povrchové teplotě 15 000 K a rotační rovníkové rychlosti v radiálním směru 5 km • s-1 bylo zjištěno rozštěpení spektrální čáry Cr II o vlnové délce 455,8 nm v důsledku Zeemanova jevu AA = 0,03 nm. Určete velikost magnetické indukce B. Je rozštěpení reálně zjistitelné při fotosférických podmínkách této hvězdy? Řešení: Pro rozšíření vyvolané Zeemanovým jevem vyjádřeným v SI platí: AAz = 47A25, odtud B = 3,4 T. Jev bude spektroskopicky zjistitelný, při AAz > AArot + AAtep, tedy AAz > + ¥ (^f")172' P° dosazení obdržíme: 0,03 nm > 0,01 nm. Úloha 5.29 Zeemanovské rozštěpení můžeme rovněž pozorovat u velkých slunečních skvrn, kde se vyskytují silná magnetická pole směřující radiálně k povrchu Slunce. Určete velikost magnetické indukce skvrny, jestliže rozštěpení zelené spektrální čáry železa o vlnové délce A = 525,0216 nm činí AA = 0,004 nm. Jaké rychlosti by odpovídal tento posuv, jestliže by byl vyvolán dopplerovským posuvem v důsledku radiálního pohybu. 34 Řešení: Ze vztahu AAz = A7X2B stanovíme B = 0,3 T. Různost vlnových délek rozštěpených čar odpovídá rychlosti vr = = 2 km • s_1. Úloha 5.30 Rotační osa hvězdy je kolmá ke směru k Zemi, její rotační rovníková rychlost je 100 km • s_1. Lze při této hodnotě rychlosti pozorovat zeemanovské rozštěpení čáry o vlnové délce A = 430 nm, předpokládáme-li velikost magnetické indukce 0,1 T? Řešení: AArot = A^ = 0,14 nm, AAZ = 47\2B = 8,7 • 10~4nm. Nelze tedy spektroskopicky rozšíření čar zjistit. 35 6 Nitro hvězd Úloha 6.1 Určete množství uvolněné energie při vzniku 1 jádra atomu helia ze čtyř jader atomů vodíku. Porovnejte s množstvím energie uvolňovaným při 3a procesu. Řešení: pp řetězec: Am = 4\R -f He = 4,76 • 1(T29 kg, AE = Amc2 = 4,29 • 1(T12 J, tedy 26,8 MeV. Pro 3a proces: Am = 34He - = 1,29 • 1(T29 kg, AE = Amc2 = 1,16 • 1(T12 J, tudíž 7,2 MeV. Úloha 6.2 Najděte vazebnou energii jádra atomu lithia |Li, jestliže hmotnost atomu MLi = = 7,01601 u, Hmotnost protonu je 1,00783u, hmotnost neutronu je l,00867u. Řešení: Obdobným postupem jako u první úlohy určíme AE = 39,3 MeV. Úloha 6.3 Určete minimální hmotnost hvězdy, aby centrální teplota umožňovala průběh termonuklárních reakcí. Předpokládáme rozložení hustoty p = pc 1 — (-^)2 , chemické složení shodné se Sluncem, p = 0,61, hvězdná látka je nedegenerována. Pro pp řetězec je nezbytná minimální teplota 4 • 106 K, pro CNO cyklus 15 • 106 K, 3a reakce 108 K. Řešení: Užijeme vztahy pc = Jf^, Pc = \56^4 a dosadíme do stavové rovnice pro ideální plyn P = fpT Tc = \>f f. Odtud obdržíme^M = 2Zgd. Úloha 6.4 Termonukleární reakce probíhající ve Slunci byly v šedesátých létech minulého století ověřovány R. Davisem při sledování toku neutrin ze Slunce pomocí chlór-argonové reakce v + f^Cl ->■ e~ + f|Ar - 0,814 MeV- Při ní jádro izotopu chlóru zachytí neutrino a přemění se na jádro izotopu argonu, má-li energii větší než 0,814 MeV. Střední účinný průřez reakce je o = 2 • 10~46 m2. Předpokládáme, že Slunce vyzařuje za sekundu N = 3 • 1033 vysoce energetických neutrin s energií 6,7 MeV, vznikajících při reakci 8B —► 8Be + e+ + v. Určete nezbytné množství perchloretylénu C2CI4, aby v něm vzniklo za rok 100 atomů f|Ar. V přírodní směsi izotopů chlóru je obsaženo podle hmotnosti rj = 25% jader fy Cl, střední poloměr dráhy Země kolem Slunce volte r = 1,5-1011 m. Řešení: Počet atomů f|Ar je n = (f)atNC\, kde t = 1 rok = 3,2 • 107 s, A^i je počet atomů chlóru, (j) = ^2 je tok neutrin na Zemi. Odtud obdržíme NC\ = 4Jfa™■ Při experimentu je nezbytné použít C2C14 o hmotnosti M = = pNC\, M = 560 tun. V této úloze je p molekulární hmotnost. Úloha 6.5 Centrální teploty dvou hvězd jsou 7\ = 2 • 108 K a T2 = 1,8 • 108 K. Stanovte poměr množství uvolňované energie v nitrech obou hvězd. Řešení: Z uvedených hodnot centrálních teplot vyplývá, že jde o hvězdy s velkými hmotnostmi, kde probíhá CNO cyklus, u něhož množství uvolňované energie ~ T18. Hledaný poměr je (|§) , k jehož výpočtu využijeme vztah limn^oo (l + = ex, tedy (||) = = (l + A)18^e2-7. 36 Úloha 6.6 Porovnejte vlastnosti elektromagnetického záření ve středu Slunce a na jeho povrchu, předpokládáme-li Tc = 1,5 • 107 K a TP = 5,8 • 103 K. Řešení: Vyjdeme z vlastností fotonového plynu. Počet fotonů v objemové jednotce je n = í kT\3 ľ00 x2 8nk3 = 8tt — / -dx = 2,404——T3 = 2,03 • 107T3, hustotu energie fotonů vyjádříme \hc J J0 ex — 1 hócó íkT\3 f'°° x3 u = 8n I —— J kT / —--dx = 7,57 • 10~16T4. Pro střední energii připadající na jeden \hc J J q ex — 1 foton lze odvodit E{ = 2,70kT = 3,73 • 10~23T. Pro tlak záření platí PT = f^T4, intenzitu záření vyjádříme I = aTA. Propočítané výsledky shrneme v tabulce:_ Vlastnosti Povrch Slunce 5,8 ■ IQ3 K Střed Slunce 1,5 ■ IQ7 K Střední energie fotonu [eV] 1,3 3,5 • 103 Hustota fotonů n [m~3] 4 • 1018 7 • 1028 Hustota energie u [J ■ m~3] 0,9 4 • 1013 Tlak záření Pr[Pa] 0,1 5 • 1012 Intenzita záření I [W • m~3] 6,4 • 107 29 • 1020 Úloha 6.7 Odhadněte poměr počtu fotonů a neutrin vyzařovaných Sluncem za 1 sekundu. Při termonukleární syntéze prostřednictvím pp řetězce se uvolňuje energie 26,8 MeV, přičemž neutrina odnáší asi 2-5% této energie. Řešení: Počet fotonů vyzářených Sluncem za 1 sekundu je dán vztahem ^^tAtvRq = 1,8 • 1045. Počet neutrin se střední energií lze odhadnout takto. V první úloze jsme vypočetli energii 4,29 • 10~12 J uvolňovanou při syntéze vodík —► helium. Slunce za jednu sekundu vyzáří 3,8 • 1026 J. Tedy za jednu sekundu vznikne přibližně 1038 heliových jader. Při vzniku jednoho heliového jádra vzniknou dvě neutrina, proto za každou sekundu vznikne 2-1038 elektronových neutrin. Poměr počtu fotonů a neutrin je přibližně 107. Úloha 6.8 Odhadněte hodnotu centrálního tlaku v nitru Slunce. Řešení: V zjednodušeném přiblížení platí pro tlakovou sílu na jednotkovou plochu tedy tlak Pc = 4G^, po dosazením číselných hodnot hmotnosti a poloměru Slunce a průměrné hustoty p = 1,4 • 103kg • m~3 dostaneme pro tlak Pc = 1015 Pa. Podle standardních modelů Bahcalla je ve skutečnosti centrální tlak o řád vyšší. Úloha 6.9 Předpokládejme v nitru Slunce jednoatomový plyn, pro adiabatickou rychlost 1/2 zvuku platí vztah vz = (^j^j ■ Za jak dlouho zvukové vlny projdou poloměrem Slunce? / \l/2 Řešení: Při 7 = | lze zjednodušeně předpokládat vz = í ~ J , kde P = ^f. Po dosazení obdržíme vz = 8 • 105m • s_1. Poloměrem Slunce projdou zvukové vlny za t = — = 17 min. Úloha 6.10 Odhadněte centrální tlak a teplotu ve hvězdě hlavní posloupnosti s poloměrem 1,3 RQ a hmotností 1,8 MQ. Pro zjednodušení předpokládáme stejnou stavbu a chemické složení jako má Slunce. Řešení: ^ = (irV {fi^f ~ M, ý - ifi^ - 1A 37 6 NITRO HVĚZD Úloha 6.11 Podle standardního modelu nitra má hvězdná látka v centrální části Slunce hustotu 1,48 • 105kg • m~3 a teplotu 1,56 • 107K, hmotnostní zastoupení vodíku X = 0,73 a helia Y = 0,27, příspěvek těžších prvků lze v prvním přiblížení zanedbat. Vypočtěte tlak, který zde působí za předpokladu, že vodík a helium jsou plně ionizovány a chovají se jako ideální plyn. Vypočtěte rovněž tlak záření a oba tlaky porovnejte. Střední relativní hmotnost připadající na jednu částici směsi označíme pr Řešení: Pg = fpT = 3,2 • 1016 Pa, PT = f^T4 = 1,5 • 1013 Pa. Podstatný je tlak plynu, tlak záření je zanedbatelný. Úloha 6.12 Posuďte, zda může existovat degenerace v nitru Slunce (Tc = 1,5 • 107K, pc = = 1,5- 105kg-m-3). Řešení: Dosazením do podmínky degenerace p > (^g^)3^2 103 zjistíme, že není splňována. V současné fázi vývoje Slunce je v jeho nitru degenerace nepodstatná. Úloha 6.13 Odvoďte vztah pro rovnováhu gravitační a tlakové síly v nitru hvězd při předpokládané polytropní závislosti tlaku na hustotě. Řešení: Úvahy lze zjednodušit následujícím způsobem. Pro gravitační sílu platí Fgrav ~ — -jj2. Tlaková síla je dána součinem tlaku p ~ p7 a povrchu S ~ R2, tudíž Ftiak ~ p"'R2 ~ R-^R2 ~ ^37_2. Obe síly za normálních podmínek klesají s rozmery hvězdy, pri jejich rovnosti nastane rovnovážný stav. Obě síly klesají stejně při koeficientu 7 = §■ Diskutujme dvě možnosti, nejprve nechť 7 > |. V tomto případě je tlaková křivka strmější než gravitační. Jestliže hvězda náhodně zvětší své rozměry, převládne gravitační síla a hvězda se smrští. Zmenší-li hvězda své rozměry, převládne tlaková síla a hvězda zvětší svůj rozměr. Shrnuto změny objemu hvězdy nemají za následek její rozpad. V případě 7 < I je situace odlišná. Jestliže hvězda náhodně zvětší své rozměry, převládne tlaková síla a dojde ke zvětšování objemu. Hvězda se stane nestabilní, například může odhodit vnější vrstvy. Zmenší-li své rozměry dojde ke gravitačnímu kolapsu. Hvězdná látka bílých trpaslíků se vyznačuje polytropním indexem blízkým |, ten se však mění s hmotností bílého trpaslíka. Při kritické Chandrasekharově hmotnosti přibližně 1,44 M& má hodnotu právě 7 = | a bílý trpaslík se stává nestabilní. Úloha 6.14 Určete centrální tlak ve hvězdě spektrální třídy BO o poloměru 8RQ, hmotnosti 15 M0, centrální teplota je odhadována na 3,4 • 107 K, pr = 0,7. Řešení: Po dosazení Pg = f^pT = 1,6 • 1013 Pa, PT = ^T4 = 3,2 • 1014 Pa. Úloha 6.15 Ve hvězdě o hmotnosti M hustota klesá od středu k povrchu jako funkce radiální vzdálenosti r podle vztahu p = pc 1 — (-^) , kde pc je daná konstanta a i? je poloměr hvězdy. Nalezněte: a) m(r), b) odvoďte závislost mezi M a R, c) ukažte, že průměrná hustota hvězdy je 0,4 pc. Řešení: a) Dosadíme do rovnice kontinuity m(r) = Jo 47rr2p(r)dr = 47rpc [JQr r2dr - ^ JQr r4dr] = 47rpc (j ~ 38 b) M c) p = m(R) 87rpc,R3 15 M = 0,4pc. Úloha 6.16 Pro hvězdu o hmotnosti M a poloměru R nalezněte centrální tlak a prověřte platnost nerovnice pc > pro případy a) stejné, konstantní hustoty ve hvězdě b) pro hustotu platí závislost p = pc X. V r) Řešení: a) Při konstatní hustotě platí p = p, m(r) = JQr Aur2p(r)ár = ^-p = M Dosadíme m(r) do rovnice hydrostatické rovnováhy ^ = —Gp^ a integrujeme od středu r) gm2 P = Pck povrchu P = 0. Obdržíme Pc = G p JQR ^dr = fgí; ^Ml > ^. b) Užijeme výrazy p(r), m(r) a M(R) z předchozích úloh, budeme integrovat rovnici hydrostatické rovnováhy Pc = G/0i?p^dr = 47rGPc2/c; i rM2 y ^3 1 ~ \r) 3 ~~ ~bW dr 15GM2 16tt_R4 ' 16tt_R4 15gm2 > gm2 8ttR4' Úloha 6.17 Hvězda spektrální třídy BO V má hmotnost ~ 15 MQ. S využitím vztahu hmotnost - zářivý výkon L ~ M4 odhadněte střední hustotu hvězdy. Řešení: Pro hmotnost 15 M0 obdržíme L = 5 • 1O4L0. Efektivní teplotu BO V lze odhadnout na přibližně 30 000 K. Poloměr hvězdy je 8 RQ, tudíž střední hustota p = 40 kg • m~3. Úloha 6.18 Jsou zadány dvě hvězdy se spektrálními třídami K0 V a K0 I. a) určete poměr zrychlení na povrchu obou hvězd b) stanovte poměr středních hustot těchto hvězd Tabulkové hodnoty charakteristik hvězd jsou pro K0 V: 0,8 M0; 0,85 RQ; 5 100 K a pro K0 1:13 M0; 200 RQ; 4100K. Řešení: Pro gravitační zrychlení platí g = Gj^, pro gy = 3-103 m-s~2, g\ = 9-10~2 m-s~2, poměr zrychlení je roven ^ = 3400. Střední hustoty určíme ze vztahu p = ±^R3 , poměr hustot je roven = 8 • 105. Úloha 6.19 Efektivní povrchová teplota Siria A je 9 400K, poloměr 1,8 i?© a hmotnost 2,2 MQ. Určete zářivý výkon v jednotkách zářivého výkonu Slunce, absolutní bolometrickou hvězdnou velikost, průměrnou hustotu a odhadněte centrální teplotu. Řešení: 22,7L0, 1,35 mag, 530kg-m-3, 1,7- 107K. Úloha 6.20 Dokažte, že střední relativní hmotnost připadající na jednu částici směsi plně 2 l+3X+0,5y' ionizovaných atomů v nitru hvězd je rovna pr = -, sy2 w, kde X, Y, Z označuje relativní množství vodíku, helia a ostatních prvků. 1 1 Řešení: pH = \, Pile = f, ftov, = 2, pr = -y-— = 3 1 Protože --1---1--2A + 7 y + MH MHe Mkovy 4 z O platí X + Y + Z = 1 dostaneme pr = 3X + 0,5F 39 6 NITRO HVĚZD Úloha 6.21 Jak se bude měnit střední relativní hmotnost /xr částic sluneční látky, při předpokladu X = 0,70, Y = 0,30 budeme-li hypoteticky postupovat od středu k povrchu Slunce. Rozlišujte případy: a) helium a vodík jsou plně ionizovány b) helium a vodík jsou 1 x ionizovány c) helium je neutrální a vodík je zcela ionizován d) oba plyny jsou neutrální. Řešení: Postupným dosazováním podle jednotlivých případů do vztahu z předcházející úlohy obdržíme 0,615, 0,645, 0,678, 1,29. Úloha 6.22 Odvoďte vztah hmotnost - zářivý výkon pro hvězdy na hlavní posloupnosti (HP) za předpokladu, že koeficient střední opacity k je konst. v celém průřezu hvězdy, tedy opacita nezávisí na teplotě a je stejná u hvězd různých hmotností. Jde o Thomsonův rozptyl na volných elektronech. ň „ pTGM M ífjjGM\4 L aT4 a (lhGM\ Reseni: Tc = Pc = 4Gp—, aTr = a , —— =-- =-- ľ R c \ MR J ' AttR2 3kPR 3kPR \ MR J => L =-—r——M3. Úloha 6.23 Odvoďte vztah pro Eddingtonovu limitu maximálního zářivého výkonu hvězdy. Při odvození předpokládáme platnost rovnice hydrostatické rovnováhy, rovnost gravitační síly a síly tlaku záření, v chemickém složení uvažujeme pouze vodík. Řešení: Gradient tlaku je dán vztahem ^ = —^4^2, kde k je střední hodnota opacity. Rovnice hydrostatické rovnováhy ^ = —G^f je uvažovaná na povrchu hvězdy, tedy pro r = R. Dosadíme a upravíme: LEd = 4^£M, což je hodnota maximálního zářivého výkonu, při kterém je hvězda ještě ve stavu zářivé rovnováhy. Užívají se rovněž i tyto vztahy: LEd = 1,5-1O31^ = 3,9-1O4L0^. Úloha 6.24 Stanovte Eddingtonovu limitu zářivého výkonu hvězdy s hmotností 0,085 M0 za předpokladu, že pro opacitu v blízkosti povrchu hvězdy je dominantní elektronový rozptyl, jehož hodnota je dána vztahem k = (1 + X) 0,02 m2 • kg-1. Při X = 0,7 dostáváme k = 0,034 m2 • kg-1. Je tlak záření podstatný pro stabilitu hvězd nízké hmotnosti na hlavní posloupnosti? Řešení: Dosadíme do vztahu pro Eddingtonův limitní zářivý výkon LEd = ^^-M = = 1,3 • 1030 W. U hvězd nízké hmotnosti na hlavní posloupnosti, viz řešení úlohy č. 10, lze tlak záření zanedbávat. Úloha 6.25 Užitím podmínky L < LEd, kde LEd je dán rovnicí LEd = ^^-M odvoďte k horní limitu pro hmotnost a zářivý výkon hvězd hlavní posloupnosti za zjednodušujícího předpokladu vztahu hmotnost - zářivý výkon — > M 3 Lq - \Mq) A-kGc m.v t^q™oq+ L ^ 4ttGc Mq M Řešení: Podmínku L < ^pM můžeme přepsat < ^fj^- Odtud při využití 1/2 vztahu hmotnost - zářivý výkon obdržíme < í ^^7^) ■ Dosazením = 180. 40 Úloha 6.26 Prostřednictvím rovnice hydrostatické rovnováhy určete, za jak dlouho se zmenší poloměr Slunce o 2%, jestliže by 10% gravitačních sil nebylo vyrovnáváno tlakovými silami. Řešení: Rovnice hydrostatické rovnováhy má v zadaném případě tvar ^ = —gp — 0,lgp. Pro zjednušení budeme předpokládat konstantnost dodatečného povrchového gravitačního zrychlení na povrchu Slunce v průběhu smršťování g = 27,41 m • s~2, očekávaná změna poloměru je přibližně 14000 km. Ze vztahu s = |ŕ2 stanovíme čas t = 1000 s, tedy asi 17 minut. Změna poloměru by byla pozorovatelná ze Země. Úloha 6.27 Za předpokladu přenosu energie v nitru hvězdy zářením dokažte, že teplotní gradient je určen výrazem g = ~e4l^2T3p- Řešení: Předpokládáme ze zadání platnost zářivé rovnováhy ve hvězdě. Tok zářivé energie jednotkovou plochou sféry o poloměru r je dán vztahem F = -^ri- Energie absorbovaná ve zvoleném objemovém elementu je -^^updr. Tlakový gradient je ^ = —^4^2, kde dPr = = ^T3dT. Dosazením obdržíme rovnici pro teplotní gradient. Úloha 6.28 Určete, zda v místě r = 0,9 RQ od středu Slunce probíhá přenos energie konvekcí nebo zářením. Parametry zvoleného místa jsou následující: p = 1,5 kg-m-3, k = 10 m2 - kg-1, T = 4 • 105 K, 7 = ^ = f, P = 8,7 • 109 Pa. Řešení: Konvekce je dominatní při splnění podmínky —— > —--7;—^, což lze zapsat dr 7 P dr 3pn L(r) 7- 1T G M (r) , , , , >--—--—p. Po dosazení obdržíme 0,06 > 0,009, tedy podmínka nastolení lQaT3 Anr2 7 P r2 konvekce je splňována. Úloha 6.29 Dokažte, že v centrálni oblasti Slunce nenastává přenos energie konvekcí. Velikost zářivého výkonu uvolňovaného na jednotku hmotnosti je odhadována na 1,35 • 10~3 W • kg-1, 7 = |, P = 3,20 • 1016 Pa, T = 1,56 • 107 K, k = 0,138 m2 • kg"1. Řešení: Minimální kritická hodnota zářivého výkonu na jednotku hmotnosti přenášená konvekcí ie dána vztahem 1^1 ^-kGc ď[± 1 ^ a _ 4a pQ gíseinem dosazení obdržíme •> 'y K or' c 1,36 • 10~3 W • kg~\ Protože propočítaná hodnota je větší, přenos konvekcí nenastává. Úloha 6.30 Předpokládejme střední hustotu Slunce 1,4 • 103 kg-m~3 a střední opacitu v nitru Slunce pro ionizovaný vodík k = 0,1 m2 • kg-1. Určete střední volnou dráhu fotonu ve středu Slunce a střední teplotní gradient. Za zjednodušujícího předpokladu, že střední volná dráha fotonu směrem k povrchu je stále stejná, odhadněte charakteristický čas, za který foton dospěje z nitra k povrchu Slunce. Řešení: Střední volná dráha fotonu ie / = — = 7 • 10~3m. Při centrální teplotě Slunce Tc = 1,4 • 107 K a přibližné povrchové teplotě Tp = 6 • 103 K je střední teplotní gradient roven ^ = crqp ~ ^ ' 10 2 K • m-1. Pro šíření fotonu nitrem Slunce k povrchu platí RQ = \[zl, kde z udává počet absorpcí a emisí. Dosazením dostaneme z = 1022. Každá emise respektive reemise proběhne průměrně za 10~8 s, tedy za 1022 1 0~8 = 1014s = 3 • 106 roků dospěje foton k povrchu. 41 6 NITRO HVĚZD Úloha 6.31 Odvoďte vztah pro periodu radiálních pulsací cefeid s využitím rovnice hydrostatické rovnováhy. Oscilace pulsujících hvězd jsou důsledkem rezonance zvukových vln rezonujících ve hvězdném nitru. / p\l/2 Řešení: Adiabatická rychlost zvuku je dána vztahem vz = í ^- J , tlak vyjádříme z rovnice hydrostatické rovnováhy za předpokladu konstantní hustoty ^ = — ^nGp2r, pro tlak obdržíme P(r) = ^nGp2 (R2 — r2). Pulsační perioda je dána vztahem II = 2 ^ = 2^[l77rGp(^-^)]-1/2dr^n~(^)1/2. 42 7 Hvězdné atmosféry Úloha 7.1 Vyjádřete Boltzmannovu a Sahovu rovnici v logaritmickém tvaru vhodném pro výpočty. Řešení: Nejčastěji uváděný tvar pro Boltzmannovu rovnici je log ^ = — '^jt-Xab + log ^ respektive pro Sahovu rovnici log ^ = | log T — ^p-Xí ~ l°g Pe + log 2bb+(t)^ ~ ^de Xab je excitační potenciál v eV, Xí Je ionizační potenciál v eV, teplota v K a elektronový tlak v Pa. Úloha 7.2 Jaká část atomů vodíku bude excitována na druhou energetickou hladinu ve fotosféře Slunce, předpokládáme-li její teplotu 5 780 K? Nechť A je základní první energetická hladina, B je druhá hladina, dále je zadáno xab = 10,16 eV, qb = 4, g a = 1- Řešení: Dosadíme do Boltzmannovy rovnice log ^ = — 10,16 + 0,6 = —8,26. Odtud dostaneme Nb = 5,5 • 10~9ÍVa, přibližně na jednu miliardu vodíkových atomů ve fotosféře připadá jeden, který má obsazenu druhou energetickou hladinu. Při pouze řádových výpočtech lze výraz log^- zanedbat, zpravidla qb a qa jsou nevelká čísla stejného řádu. Úloha 7.3 Vypočítejte podíl atomů vodíku excitovaných na druhou energetickou hladinu u hvězd s hodnotami teplot fotosfér (zaokrouhleno) 5 780 K - Slunce, 9 500 K - Vega a 15 000 K - Rigel. Jaký závěr odtud vyplývá pro intenzitu spektrálních čar atomu vodíku? Řešení: Pro Slunce platí NB = 5,5 • 10~9NA, u Vegy NB = 1,6 • 10~5NA a pro Rigel NB = = 1,5 • 10~3ÍVa. S rostoucí teplotou narůstá počet atomů na druhé energetické hladině, odkud při přechodech vznikají absorpční čáry vodíku. Jestliže záměrně modelově neuvažujeme vliv ionizace, s rostoucí teplotou se zvětšuje intenzita vodíkových čar. Úloha 7.4 Nechť A je základní první energetická hladina iontu O III (ve skutečnosti se skládá ze tří velmi blízkých hladin 3-Po,1,2)- Excitační potenciál xab = 2,48 eV, g a = 9, gs = 5. Určete počet atomů nacházejících se na druhé energetické hladině B (přesnější označení je 1D2) při teplotě 10 000 K? Řešení: Dosazením obdržíme Nb = 3,2 • 10~2ÍVa. Při přechodu B —► A vznikají „zelené" nebulární čáry N2 a Ni. Úloha 7.5 Užitím Sahovy rovnice vypočítejte poměr počtu H~ iontů a neutrálních vodíkových atomů ve fotosféře Slunce. Za teplotu zvolte 5 780 K, tedy efektivní povrchovou teplotu, elektronový tlak předpokládejte logPe = 0,2 Pa, Xí = 0,75 eV. Pauliho vylučovací princip vyžaduje existenci jednoho stavu pro iont, tudíž oba elektrony musí mít opačné spiny. V atmosféře Slunce pouze jeden z 107 vodíkových atomů vytváří podle reakce H + e~ —► H~ + 7 iont H . Řešení: Dosazením do Sahovy rovnice při volbě korekčního členu log 2^HI| = log 2f = = 0,602, log^py = 7,88 N (El) = 7,6 • 107iV(ir). Pouze jeden z 108 vodíkových atomů je ve formě H~, tedy převážná část fotosféry je složena z neutrálních vodíkových atomů s hustotou asi 1017cm~3. Pouze ionty H~ však přispívají podstatně ke spojité absorpci. Volné 43 7 HVĚZDNÉ ATMOSFÉRY elektrony poskytují kovy s nízkým ionizačním potenciálem 4,34 eV draslík, 5,14 eV sodík a 6,11 e V vápník. Úloha 7.6 Stanovte poměr počtu atomů Nx ionizovaného a N0 neutrálního sodíku ve fotosféře Slunce při teplotě T = 5 780 K a elektronovém tlaku log Pe = 0,2 Pa, ionizační potenciál Na II je xi = 5,14 eV, korekční člen log^^ = -0,08. Řešení: Do Sahovy rovnice dosadíme log ^ = § log 5780 - §§5,14 - 0,2 - 0,08 - 1,48, obdržíme log ^ = 3,24, tedy g = 1,7 • 103. Stupeň ionizace je = 0,9994, tedy 99,94% atomů sodíku ve fotosféře Slunce je v ionizovaném stavu. Úloha 7.7 Určete relativní množství Fe II ve fotosféře Siria A, kde předpokládáme přibližně T = 10 000 K, logPe = 1,48 Pa. První ionizační potenciál je Xi = 7,87 eV, korekční člen log 2QqIt) = 0)36. Do jaké míry je železo dvakrát ionizováno, jestliže druhý ionizační potenciál je X2 = 16,18 eV a logfg = -0,08 Řešení: Dosazením obdržíme log g = 3,44 Nľ = 2,7- 103iV0. Celkově = 0,9996, tudíž 99,96% atomů je Fe II. Při výpočtu počtu atomů Fe III opět použijeme Sahovu rovnici log g = -1,18 N2 = 6,6- l(T2iVi. Celkově j^fc = 0,062, takže přibližně 6% atomů železa je ve stavu Fe III. Úloha 7.8 Teplota fotosféry bílého trpaslíka DF Procyonu B je rovna T = 8 400 K při elektronovém tlaku logPe = 1,36 Pa. Jaká musí být teplota obra, aby prvky s ionizačními potenciály = 4eV a = 8eV se vyznačovaly stejným stupněm ionizace. Předpokládejme elektronový tlak ve fotosféře obra logPe = 1,00 Pa. Řešení: Dosazením do Sahovy rovnice vypočteme stupeň ionizace u bílého trpaslíka log^ = 5,05 při ionizačním potenciálu x% = 4eV. Dále řešíme Sahovu rovnici pro obra se zadaným stupněm ionizace, hledaná teplota obra je T = 7 600 K. Obdobně pro ionizační potenciál Xí = 8 eV dostaneme stupeň ionizace log = 2,65, hledaná teplota je T = 7900 K. Úloha 7.9 V kterém typu hvězdy, u červeného obra nebo trpaslíka hlavní posloupnosti bude probíhat výrazněji ionizace; u trpaslíka předpokládáme teplotu fotosféry T = 5 200 K a elektronový tlak logPe = —0,50Pa u obra T = 4 500 K a logPe = —1,80 Pa. Ionizační potenciály nechť jsou Xí = 5,14 eV pro Na a Xí = 7,87eV pro Fe. Řešení: Na základě propočtu stupně ionizace ze Sahovy rovnice pro Na dostaneme u obra log^ = 3,69, u trpaslíka log j± = 3,32, dospějeme k závěru, že při ionizačním potenciálu 5,14eV je ionizace větší ve fotosféře obra. Obdobně obdržíme u obra log j± = 1,14, ve fotosféře trpaslíka log-j^ = 1,18, při ionizačním potenciálu 7,87eV železa. Ve fotosféře trpaslíka je ionizace mírně vyšší. Úloha 7.10 Výpočtem doložte závěry spektroskopických pozorování, že čáry neutrálního vápníku Ca I mají větší intenzitu u trpaslíků než obrů pozdních spektrálních tříd. Předpokládáme stejnou teplotu obou hvězd 3150K, ionizační potenciál vápníku je Xí = 6,11 eV. Hodnota elektronového tlaku u obra logPe = —2,7Pa, v případě trpaslíka logPe = —1,2 Pa. Korekční člen pro vápník má při zadané teplotě hodnotu 0,59. 44 Řešení: Dosazením do Sahovy rovnice pro obra obdržíme log = 0,78 =>- N± = 6,03 N0, takže počet neutrálních atomů je N^Nl = 0,143, tudíž pouze 14% atomů je neutrálních. U trpaslíka log j± = —0,72 =>- Ni = 0,19 N0, počet neutrálních atomů je N^Ni = 0,840, takže 84% atomů vápníku je u trpaslíka neutrálních. Úloha 7.11 Ve viditelné části spektra Slunce jsou nej intenzivnějšími čáry H a K Ca II, nikoliv čáry balmerovské série vodíku. Objasněte, proč tomu tak je, závěry doložte výpočtem! Řešení: Zavedeme označení celkového počtu atomů vodíku Nc, počet atomů v základním stavu Na, v prvním excitovaném stavu Nb, N0 počet neutrálních atomů a Ni počet ionizovaných atomů. K určení počtu ionizovaných atomů použijeme Sahovu rovnici a k stanovení rozložení atomů mezi základní první energetickou hladinou a druhou excitovanou hladinou použijeme Boltzmannovu rovnici. Předpokládáme elektronový tlak v atmosféře Slunce 1,6 Pa. Pro vodík ze Sahovy rovnice obdržíme Ni = 7,5 • 10~5iV0. Jeden vodíkový iont H II připadá na každých 13 000 neutrálních vodíkových atomů H I v atmosféře Slunce. Dosazením do Bol-tzmannovy rovnice dostaneme Nb = 5,0 • 10~9íva. Pouze jeden z 200 miliónů vodíkových atomů se nachází na druhé energetické hladině a může vyvolat vznik absorpčních čar Balme-rovy série. Celkově ^ = n]^+na ^ = 5 • 10~9. Vápník Ca I má ionizační potenciál pouze 6,1 eV, tedy poloviční vzhledem k ionizačnímu potenciálu vodíku 13,6 eV. To má podstatný vliv na počet ionizovaných atomů, neboť Sahova rovnice je velmi citlivá k hodnotě ionizačního potenciálu, protože ^ je v exponentu a kT = 0,5 eV - Ni 128^-3 3,3 • 10 m . Tedy pouze velmi malá část atomů vodíku zůstane neutrální. Úloha 7.16 Jaká by byla teplota Slunce, kdyby neexistovaly spektrální čáry? i-)T'4 Řešení: Platí: W ef4, kde / je zlomek celkového toku záření, které je blokováno, v případě Slunce / = 0,14. Úpravou vztahu dostaneme Tef = (1 — /)_1^4Tef ~ (l + f) Tef. Po dosazení Tef = 5 780 K dostanemeTef = 5 997 K, efektivní teplota by byla vyšší o 3,5 % tedy asi o 200 K. 46 Úloha 7.17 Hvězdný obr spektrální třídy K má efektivní teplotu 4 300K. Zjištěná hodnota mikroturbulentní rychlosti je vmt = 2 km • s_1. Stanovte šířku čáry Fe I o vlnové délce A = = 553,93 nm. v 1 /2 v Řešení: Pro rychlost tepelného pohybu platí vnejpr = (^-) = 1,13 km-s-1. Šířku čáry určíme ze vztahu AA = ^ (v^ + ^ejpr)1/2 = 10~2nm. Úloha 7.18 Dokažte, že rovnici hydrostatické rovnováhy lze napsat ve tvaru používaném například u modelů hvězdných atmosfér ^ = K Řešení: Vyjdeme ze vztahů g = a dr = —npdr a dosadíme do rovnice 4p = — pg. Úloha 7.19 Předpokládejme, že provádíme pozorování skrz plazmu o konstantní hustotě a teplotě, příkladně 2,5 • lCT4kg • m~3 a 5 780K, což odpovídá dolním fotosférickým vrstvám Slunce. Nechť opacita plynu na vlnové délce Ai je kxi = 0,026 m2 • kg-1 a na vlnové délce A2 je k\2 = 0,03 m2 • kg-1. Určete vzdálenost, ve které je optická hloubka rovna 2/3 pro každou vlnovou délku. Řešení: Zjednodušeně dosadíme do vztahu pro optickou hloubku rx = Jq n^pds. Řešením dostaneme si = —— = 103 km, obdobně pro So = —— = 89 km. Úloha 7.20 Dokažte, že ve fotosféře Slunce předpoklad lokální termodynamické rovnováhy (LTE) není naplňován. Nechť teplota ve zvolené vrstvě fotosféry se mění v intervalu 5 890 K— - 5 650 K v průběhu vzdálenosti 28 km. Řešení: Teplotní škálová výška je rovna HT = |dTydr| = 674 km. Střední volná dráha fotonů je / = Při volbě k = 0,026m2-kg-1 a p = 2,5- 10~4kg-m~3 dostaneme / = 150km, což je řádově srovnatelné s HT. Vzhledem k velikosti střední volné dráhy fotony vycházejí bez interakce z fotosféry. Předpoklad LTE není splňován. -i Úloha 7.21 Fotosféru Slunce lze pokládat v prvním přiblížení za šedou. Znamená to, že záření všech vlnových délek ve viditelné části spektra je zeslabováno stejně. Proč tedy okrajové ztemnění slunečního disku narůstá se zmenšováním vlnové délky? Řešení: Z blízkosti okraje disku přichází záření z chladnějších vrstev o teplotě T0, ve středu disku z vrstev o teplotě Ti, platí T\ > T0, tedy Bv (Ti) > Bv (T0). Proto je střed disku jasnější než okraj. V šedé atmosféře záření všech vlnových délek je zeslabováno stejně, avšak poměr Bv (T0) jBv (Ti) udávající velikost okrajového ztemnění závisí na v. Protože Tí se příliš neodlišuje od T0 užijeme vztahu fii0ry ~ (jj^J , kde a = a(v) = -j^r 1 — exp (^—Jt£^j Odtud vyplývá, že velikost okrajového ztemnění je určována gradientem teploty v atmosféře. Čím rychleji roste teplota s hloubkou, tím větší je rozdíl Tx a T0 a důsledkem je větší okrajové ztemnění. Při konstantním gradientu teploty, t.j. při konstantním poměru Ti/T$ je ztemnění odlišné na různých vlnových délkách v důsledku rozdílnosti hodnot členu Z analýzy výše uvedených vztahů vyplývá, že v dlouhovlnné oblasti spektra ^ 1 tedy okrajové ztemnění je podstatně větší a narůstá při přechodu ke kratším vlnovým délkám. 47 7 HVĚZDNÉ ATMOSFÉRY Úloha 7.22 Nalezněte výšku stejnorodé vodíkové fotosféry u a) Slunce, T0 = 6 000 K b) bílého trpaslíka, T = 30 000 K, M = M0, R = 10~2 RQ. Řešení: Výšku stejnorodé fotosféry určíme ze vztahu H = kT . Fotosféra Slunce ie složena především z neionizovaného vodíku. Při volbě T = 6 000 K, pT = 1 dostaneme H = 200 km. U bílého trpaslíka předpokládáme fotosféru složenou z ionizovaného vodíku, pT = 0,5, pro její výšku obdržíme H = 200 m. Úloha 7.23 Odhadněte počet částic v 1 m3 sluneční fotosféry předpokládáme-li teplotu 5 780 K a tlak 104 Pa v optické hloubce r = 0,5. Porovnejte s koncentrací molekul v atmosféře u povrchu Země. Řešení: V hlubších fotosférických vrstvách je při hustotě asi 10~4 kg • m~3 je počet částic přibližně 1022 m~3. Při normálních podmínkách se v atmosféře Země nachází v lm3 asi 1025 částic. Tedy koncentrace v uvažované vrstvě fotosféry je zhruba 103 krát menší než v zemské atmosféře. Zatímco ve fotosféře Slunce jde především o atomy neionizovaného vodíku, v atmosféře Země jde o molekuly N2 a 02. Úloha 7.24 Předpokládejme, že Slunce bude vyzařovat konstantním zářivým výkonem pouze na úkor energie uložené ve fotosféře o tloušťce 300 km a hustotě asi 1023 částic m~3. Za jaký čas bychom pozorovali změny v slunečním záření, jestliže by energie fotosféry nebyla neustále doplňována z nitra Slunce. Zářivý výkon 1 m2 povrchu Slunce je 6 • 107 W. Řešení: Počet částic v sloupci o výšce 300 km a průřezu 1 m2 je 3 • 1051023 = 3 • 1028 částic. Při průměrné teplotě fotosféry 6 000 K je energie jedné částice \ VT = 10~19 J. Celková energie ve vytčeném sloupci je E = 10~193 • 1028 ^ 3 • 109 J. Tedy za čas t = f = 50 s by došlo k vyčerpání zásob energie a nutně bychom pozorovali změny ve vyzařování a teplotě povrchu Slunce. Úloha 7.25 Dokažte, že ve fotosféře Slunce je předpoklad o přenosu energie zářením oprávněný. Řešení: Konvekce ve fotosféře nastane za podmínky 14n I , < I I . Po dosazení ^ = — ľ J I dr lad I dr Iz dr -§f a úpravě obdržíme (f^f)ad < (jS) • Za předpokladu adiabatických změn p1-^' = = konst- při 7 = | dostaneme ^^ = |. Z rovnice zářivé rovnováhy při k = konst-nalezneme (^f^J = \- Tedy úvodní nerovnice není splněna a konvekce nenastává. Úloha 7.26 Vypočtěte konvektivní tok ve fotosféře Slunce, předpokládáme AT = 300 K, p ^ 10~4kg • m~3, v = 5 • 102 m • s-1, pro vodík cp ^ |^ ^ 104 J • kg-1 • KT1. Dále určete tok záření při T = 5800 K, k = 0,026 m2 • kg"1, r = 3 • 105m. Výsledky porovnejte a diskutujte. Řešení: Konvektivní tok energie je roven Fk = cppvAT = 105J • s-1 • m~2. Tok energie přenášené zářením je FT = 1 ^3 ^ = 2,3 • 107 J • s-1 • m-2. Výrazně převládá přenos energie zářením. Konvektivní přenos může narůstat při změně k či při nárůstu stupně ionizace s hloubkou. 48 Úloha 7.27 Dominantním detailem ve spojitých spektrech hvězd spektrální třídy AO v optické části spektra je balmerovský skok při A = 364,6 nm. Jak velké je okrajové ztemnění na discích těchto hvězd na vlnových délkách Ai = 360,6 nm a A2 = 368,6 nm? Řešení: Balmerovský skok při A = 364,6 nm ve spojitém spektru je způsoben tím, že v krátkovlnné části spektra od této vlnové délky je záření schopné ionizovat atomy vodíku počínaje z druhé energetické hladiny. V dlouhovlnné části spektra od tohoto skoku je možná ionizace pouze z třetí a vyšších energetických hladin. Fotosféra je v důsledku toho na vlnové délce A2 = 368,6 nm více průzračná a lze ji pozorovat do větší hloubky, tedy vrstvy s vyšší teplotou, záření má vyšší intenzitu. Neprůzračnost fotosféry je velká v krátkovlnné části od skoku, např. na vlnové délce Ai = 360,6 nm, záření přichází téměř ze stejných vrstev položených v blízkosti povrchu. Proto je okrajové ztemnění malé. V dlouhovlnné části spektra od skoku přichází záření ve středu disku z relativně větších hloubek, z fotosférických vrstev o vyšší teplotě. Na okraji disku přichází záření z vrstev blízko povrchu. Shrnuto je okrajové ztemnění na delších vlnových délkách výraznější, což platí pouze v optickém oboru. 49 8 Dvojhvězdy Úloha 8.1 Určete vzdálenost dvojhvězdy, známe-li její oběžnou dobu T = 27roků, hmotnosti jednotlivých složek 3M0, 5M0 a velikost hlavní poloosy a" = 0,45". Řešení: Podle III. Keplerova zákona platí M\ + M2 = (v)3 T2- Určíme n a stanovíme vzdálenost r = ^ = 40 pc. Úloha 8.2 Můžeme pomocí Hubbleova dalekohledu rozlišit dvě hvězdy spektrální třídy O, mezi kterými je úhel 10~7rad, na vlnové délce čáry La s A = 121,6 nm. Řešení: 0 = l,22A/£> = 6,2 • 10~8rad = 0,01". Ano, neboť úhlová vzdálenost mezi hvězdami převyšuje tuto hodnotu. Úloha 8.3 Sirius je vizuální dvojhvězda s oběžnou dobou 49,94 roků a roční paralaxou n = = 0,379". Zjednodušeně předpokládejme, že dráhová rovina je kolmá k zornému paprsku. Velikost velké poloosy je a" = 7,62" Poměr vzdáleností složek A a B od středu hmotnosti je ^ = 0,466. Nalezněte hmotnosti jednotlivých složek. Určete jejich zářivé výkony, jestliže Sirius A má Mbol = 1,36 mag a Sirius B Mbol = 8,9 mag. Řešení: Dosazením do III. Keplerova zákona stanovíme součet hmotností obou složek (MA + MB) = f|^£ = 3,3M0, kde a = ^. Pomocí vztahu ^ = |^ nalezneme MA = = 2,2 MQ a MB = 1,1 MQ. Zářivé výkony nalezneme ze vztahu log l = 0,4 (4,75 — Mboi), la = 22,7L0, lb = 0,022LQ. Úloha 8.4 Uvažovaná modelová fyzická dvojhvězda se skládá ze dvou složek-obrů o přibližně stejné hmotnosti, obíhajících kolem společného hmotného středu s oběžnou dobou T = 12 dní. Velikost velké poloosy dvojhvězdy je a = 2 • 107km. Určete celkový počet vrypů difrakční mřížky N nezbytných pro pozorování ve viditelném oboru spektra vodíku tak, aby ve spektru II. řádu bylo možné pozorovat vzájemný oběh obou složek. Dále zjednodušeně předpokládáme, že teplota atmosfér obou hvězd je stejná a činí 6 000 K. Řešení: Pro měřitelnost rozštěpení spektrálních čar AA podmíněného dopplerovským posuvem je třeba, aby rychlost hvězd převyšovala střední kvadratickou rychlost pohybu atomů vodíku ve fotosférách hvězd. Dostaneme již známou podmínku R = rriN = A/AA, kde v případě pohybu dvojhvězd platí ^ = ^. Rychlost vypočteme ze vztahu v = Po dosazení obdržíme podmínku N > 1,25 • 103. Úloha 8.5 Fyzická dvojhvězda 2masswj0746425+2000321, se skládá z červeného a hnědého trpaslíka. Z pozorování byla zjištěna oběžná doba T = 10 roků, úhlová velikost velké poloosy a" = 0,20" a roční paralaxa n" = 0,08". Určete součet hmotností obou složek! Řešení: Lineární velikost velké poloosy je a = a"/n" = 2,5 AU, součet hmotností je roven a3/T2 = Mi + M2, tedy a3/T2 = 0,16 M&. Observačně zjištěné hodnoty hmotností jednotlivých složek jsou Mi = 0,085 M0 a M2 = 0,066 MQ. První hvězda je červeným trpaslíkem z nejspodnější části hlavní posloupnosti zatímco druhá hvězdy je již hnědým trpaslíkem. 50 Úloha 8.6 Ze studia čárového spektra spektroskopické zákrytové dvojhvězdy byla zjištěna oběžná doba 8,6 roků. Maximální hodnota Dopplerova posuvu čáry Ha o vlnové délce A = = 656,273 nm pro první složku je Ax = 0,026 nm, pro druhou složku A2 = 0,052 nm. Ze sinusového charakteru křivky radiálních rychlostí vyplývá, že dráhy jsou blízké kruhovým. Předpokládáme sklon dráhy 90°.Určete hmotnosti jednotlivých složek dvojhvězdy. Řešení: Pro poměr hmotností obou složek platí jjfe = ^ = = 2. Z dopplerovského posuvu určíme radiální rychlosti vi = = 1,2 • 104m • s-1 = 12 km • s_1, v2 = 24 km • s_1. Poloměry drah jsou a\ = ^ = 3,5 AU, a2 = 6,9 AU. Velká poloosa a = a\ + a2 = 10,4 AU. 3 Pro celkovou hmotnost soustavy platí Mx + M2 = = 15,3 M&. Jednotlivé hmotnosti složek jsou Mi = 10,2 M. a .U> 5.1 M0. Úloha 8.7 Ve spektru zákrytové dvojhvězdy, jejíž jasnost se mění s periodou 3,953 dne, se spektrální čáry posouvají na opačné strany o hodnoty (AA/A)1 = 1,9 • 10~4 a (AA/A)2 = = 2,9 • 10~4 od normální vlnové délky. Určete hmotnosti jednotlivých složek dvojhvězdy. Řešení: Obdobně jako u předcházejících úloh určíme rychlosti obou složek v\ = c (^) 1 = = 57km-s~1, v2 = c (^)2 = 87km-s~1. Dále určíme velikosti jednotlivých poloos ax = ^ = = 3,1 • 109m, a2 = 4,7 • 109m. Velká poloosa a = ax + a2 = 7,8 • 109m. Při výpočtu celkové hmotnosti soustavy dosadíme do III. Keplerova zákona M\ + M2 = ^-f? = 2,4 • 1030kg, hmotnost jednotlivých složek určíme ze vztahu j± = ^ =3- M\ = 1,4 • 1030kg = 0,7M0, M2 = 1,0 • 1030kg = 0,5 M0 Úloha 8.8 U zákrytové proměnné dvojhvězdy s oběžnou dobou T = 50 dní byl pozorován zákryt Í4 — t\ trvající 8 hodin. Minimum r3 — t2 pozorované v dráhové rovině trvalo 1 hodinu 18 minut. Radiální rychlost první složky je v\ = 30 km • s-1 a druhé složky v2 = = 40 km • s_1. Pro rovinu oběžné dráhy i = 90°. Určete poloměry obou hvězd a hmotnosti složek. Řešení: Velikosti velkých poloos jsou ax = ^ = 2,1 • 1010m aa2 = f = 2,7- 1010m. Velká poloosa a = ax + a2 = 4,8 • 1010m. Celkovou hmotnost soustavy určíme z III. Keplerova zákona Mx + M2 = = 3,5 • 1030kg. Dále dosadíme do vztahů pro zákrytové proměnné ti=tí = 2(R£aR2) a ^ = 2(R2~a2), kde Ri a R2 jsou poloměry složek. Poloměr první složky Rt = 5,9 • 108m = 0,85 RQ a dľuhé složky R2 = 4,2 • 108m = O,6i?0. Hmotnosti jednotlivých složek určíme ze vztahu f| = ^ M1 = 2 • 1030kg = 1M0, M2 = 1,5 • 1030kg = 0,75 M0. Úloha 8.9 Spektroskopická dvojhvězda má oběžnou dobu T = 1,67 dne. U první složky byla zjištěna poloviční amplituda rychlosti K a = 131,0 km-s-1 a u druhé složky KB = 201,8 km-s-1. Excentricita dráhy je rovna nule, sklon dráhy nelze určit. Proto při výpočtu statisticky volíme sin3 i = |. Odhadněte hmotnosti jednotlivých složek. Řešení: Součet hmotností obou složek vyjádřený v jednotkách hmotnosti Slunce určíme za vztahu (MA + MB) sin3 i = 1,036 • 10~7 (1 - e2)3/2 (KA + í^b)3 T, obdržíme 10,6 M0. Jednotlivé hmotnosti stanovíme pomocí vztahu ^ = Ma = 6,4M0 a MB = 4,2 M0. Úloha 8.10 Přítomnost extrasolárních planet s hmotností řádově srovnatelnou s hmotností Jupitera zjišťujeme na základě změn radiálních rychlostí hvězd. Vypočtěte periodu a ampli- 51 8 DVOJHVĚZDY tudy změn radiální rychlosti vyvolaných hypotetickou planetou o stejné hmotnosti jako Jupiter. Předpokládáme hvězdu o hmotnosti 1M0. Posuďte měřitelnost těchto změn současnými astronomickými prostředky. Řešení: Budeme zjednodušeně předpokládat, že kolem hvězdy obíhá pouze jedna planeta s hmotností Jupitera. Střední oběžná rychlost pohybu extrasolární planety vj by tudíž byla 13 km • s_1. Protože = ^ =>- že očekávaná rychlost pohybu hvězdy bude vh = 13 m • s-1 v dráhové rovině exoplanety. Požadovaná přesnost optických metod určování radiálních rychlostí by měla být ještě 2 x větší, v roce 1998 již byla dostatečná, dosahovala zhruba 7 m • s-1. Úloha 8.11 Těsná dvojhvězda se skládá ze dvou složek, bílého trpaslíka s hmotností 1 M0 a podobra o hmotnosti 0,5 M0, který vyplňuje svůj rocheovský prostor. Předpokládáme kruhové dráhy obou složek, jejichž vzdálenost je a = 109m. Nalezněte oběžnou dobu, rychlosti obou složek a polohu /i prvního Lagrangeova bodu. Kvalitativně odhadněte změny velké poloosy a oběžné doby dvojhvězdy, jestliže předpokládáme přenos hmoty od podobra k bílému trpaslíku. Řešení: Oběžnou dobu stanovíme z III. Keplerova zákona T 47rV ^ 1/2 G (Mi + M2) í G \1/2 = 1,4 • 104s = 3,9 hod. Rychlost první složky je vx = M2 ——:--r- = 149 km • s_1, \a (Mi + M2)) druhé v2 = Mt (——--- ) = 298 km • s_1. Hodnota h = a fo,500 - 0,227 log ^) = \a(M1 + M2)J V x> = 4,3 • 108m = 8,87 • 10~3AU Při přenosu hmoty od složky s menší hmotností ke složce s větší hmotností narůstá oběžná doba T a zvětšuje se velká poloosa a dvojhvězdy. Úloha 8.12 Při přenosu hmoty mezi složkami dvojhvězdy předpokládáme platnost zákonů zachování hmotnosti a dráhového momentu hybnosti, tedy Mx + M2 = Mc, = 0; L = m11_^2 [Ga (Mi + M2)]1^2, ^ = 0. Nechť M\ je hmotnost složky přijímající hmotu, zavedeme 1 Mi , , . , , da 2/1-1 dMi a = ——. Dokazte, ze pro relativní zmenu poloosy a lze odvodit — = 2—--- . Mc a // (1 — //) Mc Řešení: Vyjdeme ze vztahu pro velikost momentu hybnosti L = ^^2 [Ga (Mx + M2)]1^2, odkud vyjádříme a = GM2^L1M ý ■ Rovnici logaritmujeme a derivujeme (logaritmická derivace) a odvodíme ^ = 2 2^\ ^ . Úloha 8.13 Dokažte, že pro relativní změnu oběžné doby dvojhvězdy s přenosem hmoty platí = 3 ^(il^) m Předpokládáme platnost stejných zákonů zachování jako v předcházející úloze. Řešení. Vyjdeme z III. Keplerova zákona, ze kterého logaritmickou derivací dostaneme 3äa = 2dz Dosazením ^ = 2^f\^ obdržíme ^ = 3-^^. Úloha 8.14 Dokažte, že u těsných dvojhvězd je časová změna oběžné doby způsobená přenosem hmoty dána vztahem = 3^dy-J^i^2. Řešení: Předpokládáme platnost zákona zachování hmotnosti a dráhového momentu hybnosti při přenosu hmoty, tedy Mx + M2 = Mc, ^ = 0; L = [Ga (Mt + M2)]1/2, 52 f = 0. Z posledně uvedeného dostaneme £ (jf^fe) y/E + #^2^ f = 0, odkud při platnosti vztahu £f = é§ obdržíme If = 3^%^. Úloha 8.15 U dvojhvězdné soustavy U Cephei s oběžnou dobu T = 2,49 dne byl zjištěn její nárůst ^ = 2,3 • 1CT9. Za předpokladu, že tato změna je vyvolána přenosem hmoty, určete rychlost tohoto přenosu. Hmotnosti složek jsou M\ = 4,2 M0 a M2 = 2,8 M0. Která z hvězd přijímá hmotu? Řešení: Při nárůstu oběžné doby je hmota přenášena od druhé složky M2 k první M\. Ze vztahu ±% = 3d^ M'-^ určíme ^ = 6 • 1016kg • s"1 = 1Q-6M0 • rok"1. Úloha 8.16 U dvojhvězdné soustavy s hmotnostmi jednotlivých složek M\ = 4,9 M0 a M2 = = 4,1 MQ byla zjištěna rychlost přenosu hmoty = 1CT5M0 • rok-1. Je-li oběžná doba T = 1,94 dne, určete její nárůst. Řešení: Dosadíme do vztahu ^ = 3Td^ M'~^ = 6,3 • 1(T9 . Úloha 8.17 Jakou část hmoty může ztratit jedna složka dvojhvězdného systému, aby fyzikální dvojhvězdný systém vázaný gravitací ještě zůstal zachován? Vyjděte ze zjednodušujícího předpokladu, že dráhy složek jsou kruhové, ztráta hmoty probíhá sféricko-symetricky a prakticky okamžitě, t.j. za čas mnohem menší, než je velikost oběžné doby dvojhvězdy. V případě, že se soustava nerozpadne po ztrátě hmoty, zůstane dráha kruhovou? Získá střed hmotnosti dvojhvězdy doplňkovou rychlost? Řešení: Celková mechanická energie fyzikálního dvojhvězdného systému o hmotnostech jednotlivých složek Mi, M2 je Ec, vzdálenost složek je a. Jde o gravitačně vázanou soustavu, platí Ec = \MlV\ + \M2v\ - gMiMl = _qMiMl < 0_ Pr0 rychlosti platí: MlVl = M2v2. Předpokládejme, že u první hvězdy proběhla sférickosymetrická exploze, při níž nedošlo ke změně rychlosti v\ a nechť pozůstatek první složky po výbuchu má hmotnost Mz. Platí M\ — -AM = Mz. Celková mechanická energie systému po explozi je Ece = \Mzv\ + \M2v\—G Mz^2. 1/2 Pro gravitačně vázanou soustavu platí Ece < 0. Dále platí vx = MM+M2 {^Mi±MiL^ a v<2 = _ %m (^±^)1/2. Dosazením obdržíme pro Ece = ^TM) [Mi + M2-2(MZ + M2)]. 1/2 LVI z [ \jt\iv-LL-tiv-LZ ) I ' m. Podmínka pro zachování dvojhvězdného systému je M\ — M2 < 2MZ. Úloha 8.18 Zkoumejme fyzický dvojhvězdný systém HZ Her + Her X 1 s celkovou hmotností soustavy přibližně 4M0. Hmotnost první složky HZ Her je odhadována na 2,5 MQ. Předpokládáme, že při dalším vývoji se z této hvězdy po explozi obálky o hmotnosti asi 1 M0 stane neutronová hvězda s hmotností 1,5 M0. Druhou složkou soustavy je neutronová hvězda Her X 1 o hmotnosti 1,5 MQ. Zůstane dvojhvězdný systém zachován? Řešení: Dosadíme do závěrečné nerovnice předchozí úlohy, M\ = 2,5M0, M2 = 1,5M0, .U. 1.5.1/.. Tudíž je splněna podmínka M1 - M2 < 2MZ. Úloha 8.19 Hvězda o hmotnosti 20 M0 exploduje jako supernova Ic typu, jejím pozůstatkem je neutronová hvězda o hmotnosti 1,4 MQ. Zůstane dvojhvězdný systém zachován, jestliže hmotnost druhé hvězdy je 6 M0? 53 8 DVOJHVĚZDY Řešení: Dosadíme 20 U.. .U> (i U.. U. 1,1 M.. podmínka Mx-M2< 2MZ není splněna, dvojhvězdný systém se rozpadne. Úloha 8.20 Nechť hmotnosti složek dvojhvězdy jsou Mx a M2. Vyjádřete zákon zachování energie pro zkušební částici pohybující se v gravitačním poli dvojhvězdy v dráhové rovině hvězd. Souřadnou soustavu zvolíme s počátkem v hmotném středu dvojhvězdy kolem kterého rotuje úhlovou rychlostí u, jde o tzv. korotující soustavu. Řešení: Pro pohyb v dráhové rovině má integrál energie tvar GM1 GM2 to2(x2 + y2) v2 -------1--= konst- r\ r2 2 2 Úloha 8.21 Dotyková dvojhvězda se skládá z červeného obra a neutronové hvězdy s hmotností 1 M0 a poloměrem 10 km. Určete množství hmoty za rok přetékající od červeného obra na neutronovou hvězdu, které při tomto přenosu způsobuje vyzařování v rtg. oboru 1031W. Předpokládejte, že změna gravitační potenciální energie částic plynu je přibližně rovna zářivému výkonu, především v rtg. oboru záření. Dále předpokládáme, že vzdálenost obou hvězd je mnohem větší než poloměr neutronové hvězdy. Řešení: ^ 9á Gf ^, L = Gf ^ ^ ^ 9á 1,5 • 1015kg • s"1 = 2 • 1O-8M0 - rok-1. Úloha 8.22 Neutronovou hvězdu - pulsar s hmotností 2M0 a poloměrem 20 km a periodě 0,15 s obklopuje akreční disk vznikající přetokem hmoty z druhé hvězdy s tempem akrece přibližně 1O~8M0 • rok-1. Odhadněte áP/át pro tento pulsar. Řešení: Zářivý výkon, především v rtg. oblasti záření, je přibližně roven rychlosti ztráty gravitační potenciální energie plynu při akreci, L = G^^f a ^ = G^-^-. Dosazením získáme zářivý výkon L = 8 • 1030W. Pro zářivý výkon pulsaru platí L = ^n2MR2P~3^-, odtud určíme ^ ^ 10~12. Úloha 8.23 Rtg. pulsar s periodou P = 100 s je jednou ze složek fyzické dvojhvězdy. Dop-plerův posuv vyvolaný vyvolaný dráhovým pohybem pulsaru vede k periodické změně času příchodu pulsů, což dovoluje proměřit křivku radiálních rychlostí pulsaru. Jak se změní pozorovaná perioda pulsaru, jestliže druhou složkou je hvězda o hmotnosti 20 MQ, oběžná doba soustavy je 20 dnů. Hmotnost pulsaru přijměte 1,5 MQ, excentricita dráhy je nulová, sklon dráhy dosahuje 90°. Řešení: Z III. Keplerova zákona ^ = -£5 (Mi + M2) určíme velikost velké poloosy a = = 5,9 • 1010m = 0,4 AU. Oběžná dráha pulsaru je kruhová, v = ^ = 2,1 • 104m • s"1 = = 21 km • s_1. Dopplerovský posuv způsobený radiálním pohybem je v = c^, AA = cAT. Úplná amplituda změny periody je 2AT = 0,15 s. Úloha 8.24 Dvojhvězda s oběžnou dobou 10 dnů má složky o hmotnostech 10 M0 a 2M0. Složka s menší hmotností je rtg. pulsarem s periodou 0,1 s. Nalezněte, v jakém intervalu se mění pozorovaná perioda pulsací. Předpokládáme kruhovou dráhu se sklonem 90°, pozorovací paprsek leží v dráhové rovině. 54 Řešení: Z III. Keplerova zákona stanovíme velikost velké poloosy a = (Mi + M2) T2/3 = 0,2 AU. Vzdálenost pulsaru od hmotného středu je r = M^M a = 0,17 AU. Rychlost oběžného pohybu pulsaru je v = = 190 km • s-1. V důsledku Dopplerova jevu se mění perioda pulsací, její relativní změna je ^ = ^ = ^ = 6 • 10~4. Jev pozorujeme jako zpožďování příchodu pulsů. Na dráze 2r = 0,34 AU je maximální hodnota zpožďování 0,34 x 500 = 170 s. Úloha 8.25 Binární pulsar PSR 1913 + 16 v souhvězdí Orla, objevený na rádiovém teleskop u v Arecibu roku 1974 R. Hulsem a J.Taylorem, představuje systém dvou neutrono vých hvězd o hmotnostech 1,44 M0 a 1,39 M0. Velká poloosa soustavy a = 8,6 • 108m, excentricita dráhy je e = 0,617 a oběžná doba je T = 27 907s. Podle výkladu objevitelů -nositelů Nobelovy ceny za fyziku z roku 1993, v souladu s OTR tento systém ztrácí svoji energii vyzařováním gravitačních vln, úbytek gravitační energie je vyjádřen vzorcem ^jf = — -WjM^ka*"*f (£)> kde / (£) = í1 + W + I6') (X - eT7/2- Stanovte gravitační zářivý výkon tohoto podvojného pulsaru a určete rovněž změnu oběžné doby pulsaru podle vzorce 4/3 ^ = -ffMlM2(M1 + M, 4tH g(m1+m2) m T5/3 ■ Řešení: Dosazením do uvedených vztahů dostaneme pro gravitační zářivý výkon soustavy = 3-1023 W, což je numericky hodnota nesrovnatelně menší než gravitační vazebná energie soustavy Ec = -GM21aM2 = -3 • 1041 J. Pro změnu oběžné doby obdržíme g = -2,4 • 10~12, tedy hodnotu odpovídající téměř přesně naměřené. 55 9 Proměnné hvězdy Úloha 9.1 Předpokládejme modelovou miridu o průměrné absolutní bolometrické hvězdné velikosti Mboi = —5mag s efektivní povrchovou teplotou Tef = 2300 K. Efektivní povrchová teplota Slunce je 5 780 K. Určete poloměr miridy. Řešení: Nejprve určíme zářivý výkon = = ^9, ^ále platí 560. Úloha 9.2 Dlouhoperiodicky proměnná hvězda - mirida o Ceti se v maximu jasnosti vyznačuje hvězdnou velikostí 2,5 mag, zatímco v minimu jasnosti je její hvězdná velikost 9,2 mag. Kolikrát je jasnější v maximu než v minimu? Řešení: Dosadíme do Pogsonovy rovnice ^ = 2,512(m2~mi) = 480. Úloha 9.3 V jakém rozmezí se mění lineární poloměr proměnné hvězdy Betelgeuse, je-li její roční paralaxa n = 0,0076" a dosahuje-li v maximu jasnosti úhlový poloměr hvězdy hodnoty 0,034", v minimu jasnosti 0,047". Řešení: Pro úhlový poloměr platí vztah a = ^, odtud R = ar. Dosazením pro poloměr v maximu jasnosti obdržíme i?max = 4 • 1011 m = 570 R& a v minimu jasnosti Amin = 8 • 10nm = 1140/2©. Úloha 9.4 Odvoďte prostřednictvím rozměrové analýzy vztah pro základní periodu radiálních pulsací proměnných hvězd. Řešení: Lze předpokládat závislost periody P ~ G,p,R. Platí P ~ GxpyRz, rozměr jednotlivých parametrů je [P] = s, [G] = m3 • kg-1 • s~2, [p] = kg • m~3, [R] = m. Porovnáním rozměrů levé a pravé části vztahu obdržíme s = m3x ■ kg~x ■ s~2x ■ kgy ■ m~3y • mz. K platnosti rozměrové rovnice musí být splněny algebraické rovnice [s] 1 = -2x, [m] 0 = 3x — 3y + z, [kg] 0 = -x + y. Jejich řešením dostaneme x = —|, y = —|, z = 0. Po úpravě a dosazení získáme závislost _i pro základní periodu radiálních pulsací hvězd P ~ (Gp) 2. Perioda nezávisí na poloměru R hvězdy. Úloha 9.5 Pulsující proměnná hvězda mění svoje charakteristiky, přičemž poměr střední kvadratické rychlosti pohybu atomů v atmosféře hvězdy a druhé kosmické rychlosti na povrchu hvězdy zůstává konstantní. Nalezněte poměr lineárních poloměrů proměnné hvězdy v maximu a minimu jasnosti, je-li amplituda změn jasnosti 1 mag. Řešení: Předpokládejme, že v atmosféře hvězdy převládá látka složená z neutrálních atomů. Pro střední kvadratickou rychlost atomů platí vkvad = J—, kde T je teplota a p 56 hmotnost atomů, teplotou rozumíme efektivní povrchovou teplotu hvězdy. Druhá kosmická rychlost v2 = \J^jj^i kde M je hmotnost hvězdy a i? její poloměr. Poměr uvedených rychlostí je auad = ^/^fcrfi _ 2^^TR = konst. Hmotnost hvězdy i neutrálních atomů se nemění, proto platí T ■ R = konst., součin teploty a poloměru hvězdy je stálý. Nechť 7\ a Ri jsou teplota a poloměr proměnné hvězdy v maximu jasnosti, T2 a R2 analogicky teplota a poloměr v minimu jasnosti. V obou případech teplota odpovídá efektivní povrchové teplotě. Po r2t4 r2 dosazení do Pogsonovy rovnice obdržíme m2 — nii = — 2,5 log-^§7^ = — 2,5 log= 1, odtud je poměr poloměrů ^ = 10~0'2 = 0,63. V úlohách v této kapitole lze nahradit rozdíl absolutních bolometrických hvězdných velikostí rozdílem z pozorování přímo zjištěných pozorovaných hvězdných velikostí. _ i Úloha 9.6 Nechť pro základní periodu radiálních pulsací platí vztah P = (Gp) 2. Předpokládejme bílého trpaslíka o hmotnosti 0,6 M0 a poloměru 1,3 • 10~2 RQ, hvězdu typu ô Cephei o hmotnosti 7M0 a poloměru 80 RQ, miridu o hmotnosti 1,1 M0 a poloměru 370 RQ. Stanovte průměrné hustoty hvězd a jejich základní periody. Řešení: Z uvedených charakteristik spočítáme průměrnou hustotu a dosadíme do uvedeného vztahu P = (GpY2. Obdržíme u bílého trpaslíka p = 4 • 108 kg • m~3, P = 6,2 s, u hvězdy typu ô Cephei p = 1,9 • 10~2kg-m~3, P = 10,3 dne a u miridy p = 3,1 • 10~5kg-m~3, P = 254,6 dne. Úloha 9.7 Předpokládáme-li při pulsacích cefeid malé relativní změny poloměru a efektivní teploty, platí pro změnu pozorované bolometrické hvězdné velikosti Amb = —2,17-^ — 4,34-^?. Určete amplitudu bolometrické hvězdné velikosti při AR = RQ, R = 40RQ, AT = —1000K, T = 5300 K. Řešení: Dosadíme číselně do uvedeného vztahu Amb = —2,17^ + 4,34||^ = 0,77mag. Úloha 9.8 Nechť jasnost zvolené modelové cefeidy se mění o 2 mag. Je-li její efektivní povrchová teplota 6 000 K v maximu a 5 000 K v minimu, jak se mění poloměr? Řešení: Platí aplikace Stefanova-Boltzmannova zákona Lmax = AnR2ainaT^ímax a £min = 47TÍ?2 Yo-T4frnin, dále Am = -2,5 log -H2- = -5 log §^ - 10 log Dostáváme iiioa ci unii ^ Lmax JÍ max J max log = -0,2 Am - 2 log I™-, po dosazení log §^ = -0,24 Rmin = 0,57i?max. Amax -í max Amax Úloha 9.9 U cefeid populace I ze vztahu perioda - zářivý výkon vyplývá závislost mezi absolutní hvězdnou velikostí M a periodou T: M = —2,76 logTdny — 1,37. Jaká je vzdálenost cefeidy, jestliže činí její perioda pulsace T = 5,3 dne a střední pozorovaná hvězdná velikost je m = 3,9 mag. Řešení: Nejprve určíme z uvedeného vztahu absolutní hvězdnou velikost M = —2,76 logTdny — 1,37 = —3,38 mag. Vzdálenost stanovíme dosazením do vztahu r = = l(f^i+1 = 102<46 = 285pc. Úloha 9.10 U cefeidy z Velkého Magellanova mračna byla zjištěna pozorovaná hvězdná 57 9 PROMĚNNÉ HVĚZDY velikost m = 14,3 mag při periodě pulsace T = 10,0 dne. Stanovte vzdálenost cefeidy a tím i celé galaxie. Řešení: Nejprve určíme z uvedeného vztahu absolutní hvězdnou velikost M = —2,76 logTdny — 1,37 = —4,13 mag. Vzdálenost stanovíme dosazením do vztahu r = = l(f^i+1 = 104<68 = 48kpc. Úloha 9.11 Absolutní vizuální hvězdná velikost hvězd typu RR Lyrae dosahuje Mv = = (0,6 ± 0,3) mag. Jaká je relativní chyba vzdálenosti? Řešení: Pro vzdálenost platí r = 10mv5Mv+1, dále obdržíme ^ = —0,46 AMV. Úloha 9.12 Bolometrická hvězdná velikost dlouhoperiodických proměnných m^i se mění o lmag, v maximu efektivní povrchová teplota dosahuje 4500 K. Jaká je teplota v minimu, jde-li pouze o teplotní změny hvězdy? Zůstává-li teplota konstantní, jaké jsou relativní změny poloměru? Řešení: V prvním případě platí mbol = — lOlogTp11"1-, odtud po dosazení obdržíme -í max logTmin = 3,55, Tmin = 3 550K. V druhém případě platí log §^ = -0,2 Ambol, tedy max #^ = 0,63. Jimax Úloha 9.13 Určování vzdálenosti a poloměru cefeid Baadeovou-Wesselinkovou metodou vychází ze srovnání naměřených změn úhlového poloměru při expanzi fotosféry (měření posuvu v optickém spektru absorpčních čar, umožňující určit změna poloměru fotosférických vrstev, kde dochází k formování čar) cefeidy proměřením radiální rychlosti. Stanovte vzdálenost hvězdy i] Aql, jestliže z pozorování bylo určeno AR = 7,6 P0 a Ad = 0,2 mas. Řešení: Pro vzdálenost r platí vztah r = 9'30^R; kde r je v pc, změna poloměru R v R& a změna úhlového poloměru 9 v mas. Dosazením obdržíme r = 354 pc. Úloha 9.14 U hvězdy ô Cep byla zjištěna změna úhlového poloměru Ad = 0,075 mas a vzdálenost r = 285 pc. Stanovte hodnotu změny poloměru AR. Řešení: Pro vzdálenost r platí vztah r = 9'3^f"R, odtud AR = ^§j|, dosazením obdržíme AR = 2,3 RQ, což odpovídá stanovenému poměru = 1,119. Úloha 9.15 U proměnných hvězd typu RR Lyrae je pozorován tzv. Blažkův efekt, který byl původně historicky vysvětlován jako důsledek interference dvou kmitů. Jestliže hvězda kmitá s blízkými periodami Px a P2, potom pro periodu n odpovídající interferenci obou kmitů platí ji = jq — j^- Tedy za čas n proběhne n základních kmitů n = nP\ a n = = (n + 1) P2. Vyloučením n z rovnic obdržíme výše uvedený vztah. U proměnné hvězdy XZ Cyg bylo z pozorování zjištěno P\ = 0,470 dne a n = 54,945 dne. Stanovte P2. Řešení: Dosadíme do vztahu j[ = j\ — j\ vyjádříme P2 a dosazením obdržíme P2 = = 0,466 dne. Úloha 9.16 U proměnné hvězdy ô Set bylo z pozorování zjištěno Pi = 0,193775 dne a P2 = = 0,186871 dne. Stanovte interferenční periodu n. 58 Řešení: Dosadíme do vztahu ^ = — a určíme vyjádříme ľ! = 5,248 dne. Úloha 9.17 U hvězdy ô Cep je perioda změn jasnosti 5,3 dne, průměrná hvězdná velikost dosahuje zhruba 3,9 mag a její změny činí ±0,35 mag. S ohledem na tato data lze jasnost hvězdy v závislosti na čase t, kde t je ve dnech, modelovat funkcí j (t) = 3,9 + 0,35 sin (%r± j. Vyjádřete s přesností na dvě desetinná místa jasnosti hvězdy v prvních třech dnech. Řešení: Při t = 0, j (0) = 3,90 mag, t = 1, j (1) = 4,22 mag, t = 2, j (2) = 4,15 mag. Úloha 9.18 Pro cefeidy platí tzv. P—R vztah vyjadřující závislost mezi poloměrem a periodou pulsace ve tvaru log R = a + b log P, kde R vyjadřujeme v R& a periodu P ve dnech. Nalezněte poloměr hvězdy q Gem, jestliže známe teoreticky odvozené hodnoty a = 1,188, b = 0,655, z pozorování byla zjištěna hodnota P = 10,1507 dne. Řešení: Dosadíme do vztahu log i? = a + blogP, odkud obdržíme R = 70 RQ, což je ve velmi dobré shodě s hodnotou, kterou bychom dostali Baadeovou-Wesselinkovou metodou, viz úloha 9.13. Úloha 9.19 Předpokládejme dvě hvězdy obíhající kolem společného hmotného středu po kruhových drahách s konstantní úhlovou rychlostí. Pozorujeme je ze Země přímo v dráhové rovině dvojhvězdy. Hvězdy se vyznačují povrchovými teplotami Tí a T2, 7\ > T2, jejich poloměr je R±, R2, Ri > R2- Světelná křivka soustavy je na obrázku. lilo Minimální intenzita dosahuje 90 % respektive 63 % celkové intenzity I0 obou hvězd I0 = = 4,8 • 10~9 W • m~2. Nalezněte periodu oběžného pohybu hvězd a úhlovou rychlost rotace soustavy. Za předpokladu platnosti Stefanova-Boltzmannova zákona pro záření hvězd určete poměry Tx/T2, R1/R2. Řešení: Perioda P = 3,0 dne = 2,6-105 s, u = ^ = 2,4 • 10~5 rad-s"1. Zavedeme.^ = a = = 0,90 a | = p = 0,63, odtud platí £ = 1+ (f)' (g)4 = I a £ = = f. Po úpravách obdržíme f = = 1,6 a g = {f^ = 1,4. / \2 / \ 4" í M i - U; 59 9 PROMĚNNÉ HVĚZDY Úloha 9.20 Ve spektru dvojhvězdy byla pozorována absorpční čára sodíku Di o laboratorní vlnové délce A = 589,59 nm. V důsledku pohybu obou hvězd a následného posuvu polohy této čáry byly zjištěny údaje z tabulky: t [den 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1 2,4 Ai [nm] 589,75 589,77 589,72 589,62 589,51 589,43 589,41 589,46 A2 [nm] 589,31 589,28 589,37 589,62 589,73 589,87 589,90 589,81 t [den 2,7 3,0 3,3 3,6 3,9 4,2 4,5 4,8 Ai [nm] 589,56 589,67 589,73 589,77 589,72 589,62 589,50 589,43 A2 [nm] 589,64 589,45 589,31 589,28 589,37 589,62 589,74 589,87 S využitím tabulky nalezněte oběžné rychlosti vi a v2 jednotlivých hvězd, poměr hmotností Mi/M2 a hmotnost každé hvězdy, vzdálenosti r\ a r2 jednotlivých hvězd od hmotného středu soustavy a vzdálenost r obou hvězd. Řešení: Platí Dopplerův vztah ^ = -c. Maximální a minimální vlnové délky jsou Aimax = 589,77nm, Aim;n = 589,41 nm a A2max = 589,90 nm, A2m;n = 589,28 nm. Rozdíly AAi = 0,36 nm a AA2 = 0,62 nm. Odtud získáme vt = = 9,2 • 104m • s"1 a v2 = cf^ = = 1,6 • 105m • s_1. Pro poměr hmotností = ^ = 1,7. Platí r = ^, určíme r\ = 3,8 • 109m a r2 = 6,5 • 109m, r = r\ + r2 = 1010m. Hmotnosti jednotlivých hvězd stanovíme ze vztahu G 2 = Mi-1 a obdobně pro druhou složku. Získáme M\ = a M2 = -pr^, dosazením Mi = 6 • 1030 kg a M2 = 3 • 1030 kg. Úloha 9.21 Určete periodu změn jasnosti modelové zákrytové dvojhvězdy, jestliže některá minima byla pozorována v následujících okamžicích, vyjádřených v juliánskych dnech 2416604,701 2418112,739 2416641,572 2418138,548 2417334,753 2418477,764 Řešení: Analýzou časových údajů v J.D. nalezneme periodu P = 3,68713 dne. Úloha 9.22 Určete periodu změn jasnosti zákrytové dvojhvězdy GS Cep, jejíž fotometrická měření dala následující časové údaje minim v juliánskych dnech 2447414,4350 2447776,4542 2448060,4842 2448085,4936 2448088,4363 2448102,4202 Řešení: Analýzou časových údajů v J.D. nalezneme periodu P = 1,471625 dne. Úloha 9.23 Jakou maximální a minimální možnou amplitudu změny jasnosti zákrytové proměnné soustavy můžeme určit soudobou fotometrickou technikou, skládá-li se soustava ze dvou hvězd o povrchové teplotě 6 000 K, jedna z nich je obrem o absolutní hvězdné velikosti 0 mag. 60 Zákryt předpokládáme centrální, hvězdy považujme za sférickosymetrické. Přesnost detekce fotometrických změn v současné době je 0,005 mag. Okrajové ztemnění u hvězd zanedbáváme. Řešení: Amplitudy změn jasnosti při zákrytu hvězdy s menším poloměrem za s větším poloměrem a naopak při průchodu hvězdy s menším poloměrem před s větším jsou stejné a lze je popsat vztahem Am = -2,5 log R^R2 = -2,5 log iro,4M„X-o,4Mm, kde Rv a Rm jsou poloměry větší a menší hvězdy, Mv a Mm jejich absolutní hvězdné velikosti. Při stejných teplotách obou hvězd je větší jasnější. Maximální amplituda změn jasnosti zákrytové proměnné nastane tehdy, jestliže druhá hvězda bude mít stejný poloměr a absolutní hvězdnou velikost jako hvězda první. Amplituda je rovna Arrii = —2,5 log (|) = 0,753 mag, soudobá fotometrická technika umožňuje určovat jasnosti na tři desetinná čísla. Minimální amplituda změn jasnosti při centrálním zákrytu nastane při maximálním rozdílu poloměrů a absolutních hvězdných velikostí. Nechť druhá složka se vyznačuje malým poloměrem a nízkou jasností. Například jde o hvězdu hlavní posloupnosti slunečního typu, s absolutní hvězdnou velikostí 5 mag, podtrpaslíka s absolutní hvězdnou velikostí 6 mag, respektive bílého trpaslíka s nízkou jasností. První složkou může být veleobr la o absolutní hvězdné velikosti —8 mag. Proto minimální amplituda změn jasností zákrytové proměnné je rovna Am2 = —2,5 log 10o,41(8+10o,4-o = 0,0007mag. Tato veličina je podstatně menší než měřitelné možnosti soudobé fotometrie. Proto existují zákrytové proměnné, jejichž změnu jasnosti fotometrický nemůžeme zjistit, minimální detekovaná amplituda je nulová. Úloha 9.24 Zákrytová proměnná hvězda každých 30 dnů zmenšuje svoji jasnost o 0,2 mag, při čemž všechna minima jsou stejná. Spektroskopická pozorování ukázala, že čára Ha o laboratorní vlnové délce A = 656,3 nm je zdvojená, její složky se periodicky rozdvojují na 0,2 nm. Předpokládejme centrální zákryt, střední hustoty obou složek jsou stejné, určete poměr jejich hmotností. Okrajové ztemnění hvězd zanedbáváme. Řešení: Stejné hlavní a vedlejší minimum zákrytové proměnné znamenají, že obě složky mají stejnou jasnost, tudíž shodné efektivní povrchové teploty. Označíme Rv a Rm poloměry ttR2 ( R2 \ větší a menší hvězdy, pro velikost minim platí Am = —2,5 log g2 vr2 = 2,5 log (1 + -řjf ). 7Tíi.v -\-7TJr(im \ *i.v J Odtud nalezneme poměr poloměrů hvězd = \Jio°'4Am — 1 =0,45. Z podmínky shodných TÍ.V hustot můžeme určit poměr jejich hmotností ^ = (jjj0^ = 0,091 = yj. Minima nastávají za stejné časové intervaly, tudíž dráhy obou složek jsou kruhové, oběžná doba je 60 dnů. Při centrálním zákrytu můžeme stanovit z pozorování čáry Ha rychlost hvězd. Platí v = = 91,4 km • s-1. Odtud stanovíme vzdálenost mezi hvězdami a = ^- = = 7,5- 107km = 0,5 AU. Znalost velké poloosy umožňuje určení součtu hmotností obou složek Mv + Mm = £ = 4,6 a odtud Mv = 4,2 .\I. a M,„ 0,4M0. Úloha 9.25 Určete u modelové zákrytové dvojhvězdy poměr poloměrů j^, je-li poměr teplot ^=2 a klesne-li hvězdná velikost při centrálním zákrytu hvězdy A hvězdou B o 2,5mag vzhledem k celkové hvězdné velikosti obou hvězd. Řešení: Vyjdeme ze vztahu |£ = £f|^§| = 16 (g) a -2,5 = -2,5 log L^s-, odkud = 9. Při numerickém dosazení dostáváme = 0,75. Lb Rb Úloha 9.26 Modelová zákrytová dvojhvězda má oběžnou dobu P = 2 dny 22 hodin. Doba 61 9 PROMĚNNÉ HVĚZDY částečného zatmění je 18 hodin a úplného 4 hodiny. Nalezněte poloměry hvězd prostřednictvím poloměru dráhy a oběžné doby, jestliže ze spektroskopických údajů byla zjištěna relativní oběžná rychlost 200 km • s_1. Řešení: Platí vztahy = Rv+Rm, ^ý2- = R\Rm, 2nr = Pv. Z posledního vztahu obdržíme r = g= 8 • 109 m, Rv = 7,9 -lo9 m, Rm = 5,cT- 109 m. Úloha 9.27 Na základě fotometrických pozorování zákrytové trpasličí dvojhvězdy AA Dor byly zjištěny čtyři doby kontaktů t\ = 0,3400 dne, t2 = 0,3462 dne, í3 = 0,3510 dne, í4 = 0,3576 dne. Oběžná doba dvojhvězdy je 0,261540 dne. Určete relativní poloměry obou hvězd za zjednodušujícího předpokladu i = 90°, r je vzdálenost složek. Řešení: Řešíme rovnice t-á^x = Rv+Rm ía__Í2 = rv-rm 0(jkud získáme Rv = 0,135 r a P Trr ' P Trr ' ví Rm = 0,077 r. Úloha 9.28 U zákrytové dvojhvězdy 2MASS J05352184-0546085 byly určeny z fotometrického proměření světelných křivek a křivek radiálních rychlostí následující parametry: K\ = = 18,5 km • s-1, K2 = 29,3 km • s-1, P = 9,779621 dne, i = 89,2°, a sin i = 0,0406. Určete hmotnosti jednotlivých složek M1; M2, a1; a2. Řešení: Nejprve určíme a = ^6 = 6,15 • 109m. Dále platí Ml + M2 = fl4^, M1 + M2 = 1,9 • 1029 kg. Platí = ||7 odtud Mt = 0,058M0, M2 = 0,037M0. Parametr 1 = Jh = následně ai = a, dále a2 = a. Po dosazení obdržíme ai = 2,36 • 109 m, a2 = 3,73- 109m. Úloha 9.29 Ve spektru modelové zákrytové proměnné hvězdy, jejíž jasnost se mění s periodou P = 3,953 dne, se spektrální čáry vzhledem k normálním vlnovým délkám periodicky posouvají na opačné strany, ze spektroskopických měření bylo zjištěno = 1,9 • 10~4 a (^)2 = 2,9 • 10~4. Určete hmotnosti jednotlivých složek. Řešení: Střední oběžná rychlost první složky je v\ = c = 57 km • s_1, druhé složky je v2 = c (^)2 = 87km • s-1. Velikost at = f£P = 3,1 • 106km, a2 = §P = 4,7- 106km. Dále platí a = ax + a2 = 7,8 • 106km. Dosazením do III. Keplerova zákona a úpravou získáme Mi + M2 = fs^-, odkud po dosazení Mx + M2 = 2,4 • 1030 kg = 1,2 M0. Při platnosti Mu. = M2a2 obdržíme Mx = 0.7.1/. a M2 = 0.5 M.. 62 10 Pozdní stadia vývoje hvězd, novy, supernovy Úloha 10.1 Červený obr o poloměru 102 RQ se nachází ve vývojovém stadiu, kdy vodík v centrální části již vyhořel na helium, ale hoření samotného helia ještě nezačalo. Hlavním zdrojem energie je hoření vodíku v slupce obklopující heliové jádro. Vodíková slupka ve vzdálenosti (1,8 — 2,0) • 107m se vyznačuje hustotou 5 • 104kg • m~3 a teplotou 5 • 107K. Určete zářivý výkon a efektivní povrchovou teplotu červeného obra. Při výpočtu uvolňované energie volte X = 0,5, XCN = 0,005. Řešení: Energie, uvolňovaná za časovou jednotku v jednotkové hmotnosti hvězdné látky [W • kg-1] při CNO cyklu, který je dominantní při zadané teplotě je dána vztahem 106\ 2/3 ecNO = 3,4 • 1029pX xcno ( ~jr J exP 106\ i/a" ■152,3 ( - Ve slupkovém zdroji o objemu 1022m3 je uvolňovaná energie za sekundu v jednotkovém objemu 4 • 107J • m~3 • s_1, zářivý výkon červeného obra je 4 • 1029W = 103 LQ. Při zadaném poloměru 7 • 1010m je efektivní povrchová teplota obra 3 300 K. Úloha 10.2 Určete gravitační potenciální energii vnější konvektivní obálky červeného obra Arktura, u kterého je hmotnost jádra Mj = 0,8 M0 a vnější obálky Mob = 0,3 MQ, poloměr dosahuje 30 i?0. Stanovte celkovou energii hvězdy. Řešení: Gravitační potenciální energie je rovna Ep = —GMjMoh/R = —3,0 • 1039 J. Za předpokladu 7 = 5/3 má viriálová věta tvar 2(Ek) + (Ep) = 0. Celková energie hvězdy -červeného obra je (Ec) = (Ek) + (Ep) = -1,5 • 1039 J. Úloha 10.3 Modelový červený obr má poloměr 20 i?0. Kompaktní jádro o hmotnosti Mj = = 0,6 MQ je obklopeno rozsáhlou vnější konvektivní obálkou o hmotnosti Mob = 0,2 MQ. Určete gravitační potenciální energii obálky! Aplikací viriálové věty, za předpokladu 7 = 5/3 stanovte tepelnou energii Ek plynu. Za zjednodušujícího předpokladu, že obálka je složena z plně ionizovaného vodíku, určete velikost energie, která by se uvolnila při ochlazování a rekombinaci na neutrální vodík. Rekombinační energie je 13,6 eV. Řešení: Gravitační potenciální energie je Ep = —GMjMoh/R = —2,3-1039 J. Při platnosti viriálové věty (Ep) + 2(Ek) = 0 obdržíme Ek = 1,15 • 1039 J. Celková rekombinační energie obálky je EKk = ^2,18 • 10~18 = 5,2 • 1038 J. Úloha 10.4 Hmotnost jádra atomu uhlíku q2c je mc = 1,99 • 10~26 kg, hořčíku 2|Mg je mMg = 3,96 • 10~26 kg. Předpokládejte, že hvězda o hmotnosti M = 10 M0 a zářivém výkonu L = 1O7L0 v nitru přemění 10% hmotnosti uhlíku na hořčík v průběhu svého vývoje. Jaká je doba života hvězdy v tomto vývojovém stadiu? Řešení: Počet atomů uhlíku je N = 0,1 M/mc = 1056. Celková uvolněná energie je W = = (Nmc — NrriMg/2) c2 = 1045 J. Přepokládáme-li, že veškerá uvolněná energie se vyzáří a že hvězda bude vyzařovat stále stejným zářivým výkonem, potom její doba života v tomto stadiu je t = E/L = 3 • 1011 s = 104roků. 63 10 POZDNÍ STADIA VÝVOJE HVĚZD, NOVY, SUPERNOVY Úloha 10.5 Dokážte, že pro úbytek hmotnosti hvězd v pozdních stadiích vývoje platí ^ ~ respektive ^ ~ Při přesnějších kvantitativních výpočtech používáme Reimersův vztah = — 4 • 10~13^, kde L, g, R dosazujeme v patřičných jednotkách Slunce, úbytek hmotnosti je v M0 • rok-1. Odhadněte úbytek hmotnosti hvězdy asymptotické větve obrů o hmotnosti 1 M0, zářivém výkonu 7 • 1O3L0 a teplotě 3 000 K. Řešení: Platí Ep ~ L ~ ^ (^jfj ^ ~ . Ze Stefanova-Boltzmannova zákona určíme poloměr 310 RQ, dále stanovíme g = lO~5g0 a dosazením obdržíme ^ = 1O~6M0 - rok"1. Úloha 10.6 Zářivý výkon hvězdného větru je dán jeho kinetickou energií Lv = \^rv2 za sekundu. Odhadněte zářivé výkony hvězdného větru o rychlosti v = 25 km • s-1 u veleobra Betelgeuze 15 M0, 1160 RQ, 2 • 1O5L0. Řešení: Pro hvězdný vítr platí ^ = -4 • 10~13^f = 6 • 1O~6M0 • rok"1. Zářivý výkon větru při zadané rychlosti je roven Lv = 1026W, zatímco samotné hvězdy LB = 1032W. Úloha 10.7 Podle Kraftova výkladu z r. 1963 je jev novy výsledkem termonukleární exploze obálky na povrchu bílého trpaslíka, která na něj byla přenesena ze sousední hvězdy bohaté na vodík. Určete hmotnost látky vstupující do reakce, jestliže budeme předpokládat, že při explozi se uvolňuje energie 1039 J. Řešení: Při eplozivním spalování vodíku je koeficient účinnosti uvolňování energie přibližně 1%, množství určíme ze vztahu Am = = — 1024kg. Úloha 10.8 Uvažujme vrstvu vodíku o hmotnosti 1O~6M0 na povrchu bílého trpaslíka. Vodík se při termonukleárních reakcích přemění na helium. Jak dlouhou dobu bude nova zářit, jestliže předpokládáme, že její zářivý výkon je roven eddingtonovskému? V chemickém složení uvažujeme pouze vodík, pro opacitu platí k = (1 + X) 0,02 m2 • kg-1, při X = 1 dostaneme k = 0,04 m2 - kg"1. Řešení: Při reakcích přeměny vodíku na helium, kdy ze čtyř protonů vzniká jádro helia, je množství energie uvolňované při vzniku jednoho jádra helia 4,3 • 10~12J. Ve vrstvě vodíku o hmotnosti 2 • 1024kg je zhruba 1 62711°0-27 — 1051 protonů. Celková uvolněná energie je J 4,3 • 10~12 • 1051J = 1039J. Pro Eddingtonovu limitu zářivého výkonu platí LEd = ^K = 1031W. Nova stejným výkonem může zářit |§5r — 108s = 3 roky. Úloha 10.9 Při hoření vodíku na povrchu bílého trpaslíka se uvolňuje energie E = 1039 J. Velikost uvolňované energie na hmotností jednotku je e = 6,42 • 1014 Jkg-1. Jaké množství vodíku je při explozi spáleno? Řešení: MYOd = E/e = 1,6 • 1024kg, což přibližně odpovídá hmotnosti Venuše. Úloha 10.10 Explozivní hoření na dně tenké vodíkem bohaté vrstvy na povrchu bílého trpaslíka může eventuálně vrcholit expanzí této vrstvy. Pro bílého trpaslíka o hmotnosti M = MQ a s poloměrem R ^ 0,01 R& vypočtěte zlomek / hmotnosti vrstvy, která bude přeměněna na 64 helium a dodá energii nezbytnou na expanzi, předpokládejme, že vrstva má sluneční chemické složení. Odvoďte závislost f na M pro M < MCh- Řešení: Nechť AM ŕ, kde R je vzdálenost od místa exploze supernovy. Řešení: Lineární průměr mlhoviny 2R = 40 pc, stáří je odhadováno na 10 000 roků. Úloha 10.26 Z Cha je typem kataklyzmické proměnné zvané trpasličí nova. Skládá se z bílého trpaslíka o hmotnosti 0,85 M0 a poloměru 0,01 RQ, druhou složkou je hvězda hlavní posloupnosti pozdní spektrální třídy M o hmotnosti 0,17MQ. Oběžná doba soustavy je T = 0,0745 d. Objasněte astrofyzikální podstatu soustavy, určete maximální teplotu Tmax a hodnotu zářivého výkonu disku při jeho akreci, jestliže áM/át = 1,3 • 1O~9M0 - rok-1, přibližně 1013kg- s_1. Řešení : Z III. Keplerova zákona obdržíme pro velikost velké poloosy dvojhvězdy, tedy pro vzdálenost obou složek a = [^GT2 (Mi + M2)] = 5,2 • 108m. Vzdálenost mezi primární složkou a vnitřním Lagrangeovým bodem L\ je dána l\ = a ^0,500 — 0,227 log jj^ j = = 3,4- 108m. Z Cha je polodotykovým systémem, sekundární složka zaplňuje Rocheův prostor, vzdálenost mezi sekundární složkou a vnitřním Lagrangeovým bodem je zároveň velikostí druhé složky. Platí R2 = h = a — l\ = 1,8 • 108m. To zhruba souhlasí s poloměry hvězd HP spektrální třídy M6. Poloměr oběžné kruhové dráhy je rkr = a (^)4 ^1 + jg^j = 1,2 • 108m. Odhad vnějšího poloměru disku je -Rdisk — 2rkr = 2,4 • 108m. Přenos hmoty je přibližně = = 1,3 • 1O~9M0 • rok"1 = 7,9 • 1013kg • s_1. Maximální hodnota teploty disku je Tmax = 0,488 (3G8^3/dr)1/4 = 4,4 • 104K. Při pohybu směrem k vnějším oblastem disku teplota klesá z 44 000 K na 8 000K. Podle Wienova posunovacího zákona to odpovídá změně Amax z 66 nm na 363 nm. Celkový zářivý výkon disku, integrovaný přes všechny vlnové délky je M— Aiisk = G—^- = 6,8 • 1026W. Zři Úloha 10.27 Akrece je nárůst hmoty hvězdy vyvolaný např. přitažlivostí. Jestliže padající hmota při srážce s povrchem hvězdy vyzáří svoji energii získanou v gravitačním poli, můžeme její zářivý výkon zapsat vztahem L = G^-^f, kde je rychlost akrece, množství dopadající hmoty za 1 s na povrch hvězdy, M, R jsou hmotnost a poloměr hvězdy. Určete koeficient uvolňování energie, který je roven poměru uvolňované energie a klidové energie hmoty, která se účastní procesu uvolňování energie. Propočtěte tento koeficient pro a) neutronovou hvězdu M = 1,5 M0, R = 10 km, b) bílého trpaslíka M = 1,4 M0, R = 5000 km. Porovnejte s efektivitou uvolňování energie v pp řetězci. Řešení: Efektivita uvolňování energie při akreci je rj = |-^r 100%. Konkrétně pro neutronovou hvězdu i] = 20% a pro bílého trpaslíka r\ = 0,04%. V případě pp řetězce je r\ = 0,7%, obvykle zaokrouhlujeme r\ = 1%. Úloha 10.28 Porovnejte maximální teploty disku Tmax a zářivé výkony disku při akreci u bílého trpaslíka a neutronové hvězdy. Je zadáno: a) bílý trpaslík - 0,85 M0, 0,0095 RQ, áM/át = 1013kg • s"1 = 1,6 • 1O-1OM0 • rok"1, b) neutronová hvězda - 1,4 M0, R = 10 km, áM/át = 1014kg • s"1 = 1,6 • 1O~9M0 • rok"1. Řešení: Pro maximální teplotu disku platí Tmax = 0,488 (^G^^Ját^ ■ V prvním případě obdržíme Tmax = 2,6 • 104K, což odpovídá Amax = HOnm. Zářivý výkon disku určíme ze 68 vztahu Ldisk = G—2R' , dostaneme 8,6-1025W, tedy 0,22 LQ. Obdobně pro disk u neutronové hvězdy stanovíme Tmax = 6,9 • 106K, což odpovídá Amax = 0,4 nm, tudíž rtg. části spektra. Zářivý výkon disku je 9,3 • 1029W, tedy 2,4 • 1O3L0. Úloha 10.29 Planetární mlhovina s úhlovým průměrem 7 se nachází ve vzdálenosti r = = 150 pc. Rychlost expanze planetární mlhoviny zjištěná spektroskopicky je 25 km-s-1. Určete skutečný průměr planetární mlhoviny a její stáří za předpokladu, že expanze probíhala stále stejnou rychlostí. Řešení: Skutečný průměr mlhoviny při a = 0,00204 rad je D = ra = 0,3 pc. Stáří určíme ze vztahu T = £ = °'32ffi/6 = 4 • 10ns = 104roků. Úloha 10.30 U supernovy 1987 a byl zjištěn rozdíl energií mezi první a poslední skupinou neutrin AE = 10 MeV, časový rozdíl činil 0,3 s. Při znalosti vzdálenosti r Velkého Magellanova mračna 50kpc stanovte horní hranici hmotnosti neutrina. Předpokládáme střední rychlost pohybu neutrin v. Řešení: Rozdíl rychlostí mezi částicemi za předpokladu v = c je Av = — ^ = Dále platí \Jl-$ = = = 3,5 • 10"7, tudíž mvc2 = AE^l - f = 3,5eV. Horní hranice hmotnosti je mv = 6 • 10_36kg. 69 11 Závěrečná stadia vývoje hvězd Úloha 11.1 Odvoďte vztah pro gravitační rudý posuv u bílého trpaslíka o hmotnosti M a poloměru R. Řešení: V přiblížení klasické fyziky platí vztahy: E = mc2, E = hu =>- m = . Gravitační potenciální energie na povrchu hvězdy je Ep = —G^r. Celková energie je Ec = = hu (l — Energie detekovaného fotonu na Zemi je hu' = hu (l — ^r§), Au = u — u'. Úpravou pro hmotnost hvězdy obdržíme M = ^r^T, nebo při využití vlnových délek M = = ^r4f > kde jsme volili |^| = |^|- V rámci OTR lze změnu vlnové délky záření vyjádřit přibližně ^ = (l-ff)4/2-l-f|. Úloha 11.2 K ověření gravitačního rudého posuvu, relativistické dilatace času uvažujme následující zadání: Mějme dvoje hodiny, první ukazují čas T\ ve vzdálenosti R\ od středu níže uvedených kosmických těles o hmotnosti M. Druhé hodiny ukazují čas T2 ve vzdálenosti R2. T2 fl-WY/2 Pro poměr časů platí — = -^HM I ■ Ja^ý poměr obou časů ukazují hodiny v připaží \1-^J dech, jestliže: a) Jedny hodiny jsou umístěny na povrchu bílého trpaslíka, druhé ve velké vzdálenosti. b) Jedny hodiny jsou umístěny na povrchu neutronové hvězdy, druhé ve velké vzdálenosti. c) Jedny hodiny jsou umístěny ve vzdálenosti Schwarzschildova poloměru u tělesa o hmotnosti 3M0, druhé ve velké vzdálenosti. Řešení: Dosadíme do uvedeného vztahu: a) T2/T1 = 1,000212 , b) T2jTx = 1,191828 , c) T2/Tx oo. Úloha 11.3 Odhadněte tepelnou a gravitační energii bílého trpaslíka s teplotou nitra 107K, hmotností 1M0, poloměru 0,01 RQ, zářivém výkonu 0,01 LQ a celkovým počtem částic 1057 ve hvězdě. Určete předpokládanou dobu existence bílého trpaslíka. Řešení: Vyjádříme gravitační potenciální enegii Ep = — = —2,3 • 1043J, kine- tickou energii Ek = \NkT = 2,1 • 1041J, tedy \{Ek)\ < \(EP)\. Hydrostatická rovnováha u bílých trpaslíků je udržována tlakem degenerovaného elektronového plynu, nikoliv tlakem plynu vyvolaným tepelným pohybem. Předpokládanou dobu existence stanovíme T = = = 5,4- 1016s = 109roků. Úloha 11.4 Odvoďte závislost poloměru bílého trpaslíka na hmotnosti za předpokladu nere-lativistické degenerace p ~ ps. Řešení: Vyjdeme z rovnice hydrostatické rovnováhy: ^ = — p, ^ —► Platí ^ ~ J|-p, pi ~ ^ =>- R ~ M~s. S rostoucí hmotností bílého trpaslíka se zmenšuje poloměr a hustota především v centrální, části do 1/4 poloměru se zvětšuje. Úloha 11.5 Radiální rychlosti hvězd, jak známo, určujeme pomocí Dopplerova jevu. Skupinové určování radiálních rychlostí bílých trpaslíků ukázalo na jejich systematické vzdalování 70 střední rychlostí 38 km • s 1. Co můžeme konstatovat o průměrné hmotnosti bílých trpaslíků, jestliže přijmeme jejich průměrný poloměr 7700 km? Řešení: Z uvedených údajů lze odhadovat střední hmotnost bílých trpaslíků za předpokladu platnosti vztahu pro gravitační rudý posuv na z = y = M = 1,3 • 1030kg = = O,65M0. Úloha 11.6 Určete teplotu nitra bílého trpaslíka se zářivým výkonem L = 0,03 LQ o hmotnosti MQ, X = 0, Y = 0,9, p = 1,4. ~LZ (1+ X) MQl2/r Řešení: Pro teplotu nitra platí Tj 7,3 • 10V M 2,8- 10' K Úloha 11.7 Odhadněte hustotu, při které nastává proces neutronizace, tedy slučování elektronů a protonů na neutrony podle reakce p+ + e~ —► n + ue. Řešení: V limitním případě, jestliže neutrino neodnáší energii, užijeme relativistické vyjá- dření kinetické energie pro elektron mec2 h tivistické elektrony je rychlost v 1 - v- (mn — mp — me) c2. Pro nerela- 2nmP -n 1/3 2nmP AI mH 1/3 odtud mn — mT Aniji f 2iTmec . Pro hustotu obdržíme p = ——- —-— Z \ h 2,3 • 1010kg • m-3 při předpokladu 4 = 1 pro vodík. h2 lc2 A) mH m„ — mr 3/2 Úloha 11.8 Zářivý výkon Siria B je 0,022 LQ, efektivní povrchová teplota dosahuje 24 800 K, naměřená hodnota gravitačního rudého posuvu je z = 3 • 10~4. Určete hmotnost Siria B a jeho průměrnou hustotu. Stanovte teplotu nitra a dokažte, že elektrony se nacházejí ve stavu degenerace. Řešení: Rb ~ l rudý posuv dostaneme Mb 1/2 5,6 • 106m tudíž 0,008 R&. Úpravou vztahu pro gravitační C'7RB^ = 2,1 • 1030kg, tedy 1,03M0. Průměrná hustota p = g' 2,86 • 109 kg • m~3. Teplotu nitra stanovíme ze vztahu Tť = 7 • 107 ( 7 /lb MQ\ 2/7 LQ Mg I 2,3- 107K. odkud po částečném dosazení obdržíme p > Podmínka degenerace stanovuje Kľps > \ 3/2 7 5^04 J 103. Nerovnice dává pro p > 5,4-106 kg-m~3, tudíž podmínka degenerace elektronů je splněna. Úloha 11.9 Zářivý výkon hvězdy 40 Eri B je 0,017LQ, efektivní teplota 17000 K. Naměřená hodnota gravitačního rudého posuvu z = 6 • 10~5. Určete hmotnost tohoto bílého trpaslíka. / \l/2 Řešení: Poloměr určíme RB = ) = 107m tedy 0,015 a©. Hmotnost MB = = §RB^ = 8 • 1029 kg, přibližně 0,43 M0. Úloha 11.10 Stanovte horní hranici poloměru pulsaru - neutronové hvězdy o hmotnosti 1,4 MQ, s periodou rotace 1,5 • 10~3 s. Řešte v newtonovském přiblížení. 71 11 ZÁVĚREČNÁ STADIA VÝVOJE HVĚZD Řešení: Pro hmotný bod na rovníku rotující neutronové hvězdy musí platit Fp > F^. Dosazením obdržíme R < (^ffř-J , R < 20km. Úloha 11.11 Jeden z prvních objevených bílých trpaslíků 40 Eri B má efektivní povrchovou teplotu 17 000 K a absolutní bolometrickou hvězdnou velikost 9,2 mag. Nalezněte jeho poloměr. Řešení: Zářivý výkon stanovíme ze vztahu L = l0°'4(4'75~Mbo1) = 0,017LQ. Poloměr / \1/2 určíme ze vztahu R = í J = 107 m = 0,015 RQ. Úloha 11.12 Neutronová hvězda vzniklá po výbuchu supernovy má v průběhu prvních 100 roků po vzniku povrchovou teplotu T větší než 2 • 106 K. Na jaké vlnové délce leží maximum intenzity vyzařování předpokládáme-li, že vyzařuje jako černé těleso s výše uvedenou teplotou. Určete zářivý výkon, jestliže poloměr neutronové hvězdy je 10 km. Řešení: Z Wienova posunovacího zákona určíme Amax = -f = 1,44 nm, zářivý výkon stanovíme ze Stefanova-Boltzmannova zákona L = AnR2aT^ = 1,14 • 1027 W. Úloha 11.13 S využitím vztahu z = ^ = ^| dokažte, že maximální hodnota rudého posuvu z pro záření z povrchu neutronové hvězdy je 0,14. Řešení: Dosadíme charakteristiky typických neutronových hvězd M = 2,8 • 1030kg = = 1,4 MQ, R = 1,5 • 104 m = 15 km. Úloha 11.14 Zjištěný časový rozdíl příchodu signálů z pulsaru v Krabí mlhovině PSR 0531+21 na frekvencích f2 = 430 MHz a fi = 196 MHz má hodnotu 4,796 s. Určete vzdálenost pulsaru, jestliže hustota elektronů v mezihvězdném prostoru ve směru Krabí mlhoviny je ne = = 2,8 • 104m-3. Řešení: Pulsar je zdrojem elektromagnetického záření v širokém intervalu frekvencí. Na Zemi je nejprve přijímáno záření o vyšších kmitočtech, následně teprve záření o nižších kmitočtech. Velikost tohoto časového posunu, tzv. disperzní míra, závisí na koncentraci volných elektronů v mezihvězdném prostředí ve směru pulsaru a na vzdálenosti pulsaru. Při řešení využijeme již upravený vzorec, ve kterém je časový rozdíl vyjádřen v sekundách, hustota elektronů ne je dána jejich počtem v cm3, vzdálenost d je v pc a frekvence f\ a f2 jsou v MHz. Platí vztah At = 4,15 • 10~3 ned — j^j, odkud pro vzdálenost dostaneme d = 2000 pc. Tzv. disperzní míra DM = nedl = 5,6 • 107pc • m~3. Úloha 11.15 Určete hustotu elektronů v mezihvězdném prostoru ve směru pulsaru PSR 0901 -jestliže na frekvencích f2 = 405 MHz a f\ = 234 MHz byl zjištěn časový rozdíl příchodu signálů 3,797 s. Vzdálenost pulsaru d = 3000 pc. Řešení: Ze vztahu At = 4,15 • 10~3 ned — -j^j určíme ne = 2,5 • 104 m~3. Úloha 11.16 Určete energii, kterou ztrácí pulsar - neutronová hvězda o hmotnosti 1,4 M0 a poloměru R = 10 km v Krabí mlhovině každou sekundu při zmenšování úhlové rychlosti rotace prostřednictvím změny rotační energie. Je zadáno P = 0,033 s a 4j = 4 • 10~13. 72 Řešení: d-§ft = -\-n:2MR2p-^ = 5 • 1031 W což odpovídá zářivému výkonu Krabí ml- hoviny. Lze také vyjádřit změnu rotační kinetické energie za sekundu, tedy AETOt = 47r5p2R— - 54gg2 = \k2MR2 [(-^) - - ^)] = 1032 J. Samotná Krabí mlhovina má zářivý výkon asi 5 • 1031 W. Úloha 11.17 Pulsar v Krabí mlhovině má zářivý výkon 5 • 1031 W, jeho perioda rotace P = = 0,033 s, hmotnost 1,4 M0, R = 10 km. Určete nárůst periody rotace a odhadněte stáří pulsaru. Řešení: Rotační kinetická energie je dána vztahem ETOt = \lu)2, I = %MR2. Předpokládejme, že veškerá energie se přeměňuje na záření, platí zákon zachování energie: ^ff^ + ^ff1 = = 0. Dále platí L = ^ = = ^2MR2p-3d£. Odtud dostaneme ^ = gfy^, po dosazení obdržíme pro nárůst periody rotace = 4 • 10~13. Přibližný odhad stáří pulsaru dává t *á T^Pä ^ 1011 = 3 • 103 roků. Ve skutečnosti je stáří pulsaru asi 103 roků. Úloha 11.18 Určete velikost magnetické indukce magnetického pole pulsaru v Krabí mlhovině. Perioda rotace P = 0,033 s, časová změna áP/át = 4 • 10~13, 9 = 90°. , , , , 64n5B2R6 sin2 9 Řešení: Zářivý výkon rotujícího magnetického dipólu je L =--——-. Před- 6cóP4fi0 pokládáme, že d-|j2k = — ^n2MR2P~3d£. Za předpokladu, že rotační kinetická energie se plně přeměňuje na záření platí -^2MR2p-3^ = -An2IP-3^ = %^Sp^fe. Pro hod- ( 2 \xl2 notu magnetické indukce dostáváme B = R3ling ( f^s-f-P) ■ Dosazením obdržíme hodnotu B = 8 • 108 T, což je řádově srovnatelné s hodnotou zjištěnou z pozorování B = 4 • 108 T. Úloha 11.19 Stanovte charakteristickou energii relativistických elektronů v Krabí mlhovině vyvolávajících v optickém oboru záření o vlnové délce A = 600 nm. Velikost magnetické indukce je 1 • 10~8 T. Střední energie vyzářených fotonů synchrotronovým mechanismem je e = 2,0 • 10~16 T"1 • eV. Řešení: e = h f = 2 eV, E2 = -§ Ee = 1012 eV. Úloha 11.20 Pulsar o zářivém výkonu 7,8-1029 W, hmotnosti 1,4 M& a poloměru R = 10 km má periodu rotace P = 0,089 s. Určete nárůst periody rotace a jeho přibližné stáří. Řešení: Postup obdobný jako v předcházejících úlohách, áP/át = 1,2-10~13, t = 5-104roků. Úloha 11.21 Zdroje rtg. záření v Galaxii se vyznačují zářivými výkony v intervalu (1026 — - 1031) W . Odhadněte lineární velikost zdrojů, jestliže vlnová délka maximální intenzity ve spojitém spektru je Am = 0,3 nm, tudíž teplota dosahuje asi 107K. Jakou akreční rychlostí musí hmota padat na objekt, aby produkovala pozorovaný zářivý výkon? Řešení: Pro náš výpočet zvolme zářivý výkon 1030 W. Poloměr vypočteme ze vztahu 1/2 R = (47r^r4) . Numerická velikost akrečního disku kolem černé díry 2R = 20 km. Nechť na objekt o poloměru R a hmotnosti M dopadá hmota tempem dM/dí za s. Produkovaná gravitační potenciální energie je dE^v = G^^r. Jestliže energie se přeměňuje na záření se 100% účinností, dostaneme ze vztahu L = Gf^, ^M- = -§h = 7,5 • 1013kg • s-1. Reálnější 73 11 ZÁVĚREČNÁ STADIA VÝVOJE HVĚZD předpoklad účinnosti je asi 50%. Úloha 11.22 Určete velikost energie, kterou Krabí mlhovina vyzařuje a částečně spotřebuje na svoji expanzi, víte-li, že ztrátu ETOt v důsledku zbržďování rotující neutronové hvězdy způsobené interakcí magnetického pole s plazmatickou obálkou můžeme vyjádřit vztahem = lu^j;. Fyzikální charakteristiky neutronové hvězdy jsou 1,4 M0, R = 10 km, uj = = 190,3 s-1, = -2,4 • 10~9 s-2. Řešení: Po dosazení hodnot obdržíme = —5 • 1031 W. Úloha 11.23 Rtg. pulsary ve dvojhvězdách představují neutronové hvězdy, na které dopadá hmota. K takovým objektům patří rtg. pulsar Her X 1 s periodou P = 1,24 s, jehož zářivý výkon je L = 8 • 1030 W. Odhadněte rychlost akrece u tohoto pulsaru v M0 • rok-1. Údaje pro R = 1,5 • 104 m, M = 3 • 1030 kg. Řešení: Akreční zářivý výkon je dán vztahem L = Gj^-^f, odtud určíme ^ = = = 6- 1014kg-s-1 2á 1O~8M0 -rok-1. Úloha 11.24 Rtg. pulsar má periodu P = 3,61 s a zářivý výkon Lx = 3,8 • 1029 W. Předpokládejme, že jde o neutronovou hvězdu o hmotnosti 1,4 M0 a poloměru 10 km, s magnetickou indukcí na povrchu 108 T. Nalezněte áP/át a hodnotu -^^j- Můžeme rtg. pulsar vysvětlit jako rádiový? Řešení: Ze vztahu L = -\-k2MR2P~^ určíme ^ = -^M^R^P3 = 4- ÍO"9. Odtud -p^j = 1 • 10_9s_1. Pulsar by se rychle zastavil. Úloha 11.25 Porovnejte velikost maximálního úhlového momentu hybnosti černé díry o hmotnosti 1,4 MQ s velikostí úhlového momentu hybnosti následně uvedeného pulsaru. Z dosud nám známých pulsarů je nejrychleji rotujícím pulsar s periodou P = 0,00156 s, hmotností 1,4 M0 a poloměrem 10 km. Řešení: Pro černou díru je velikost úhlového momentu hybnosti Lmax = = 1,7 • 1042 kg • m • s~2, pro pulsar L = mur2 = 1,1 • 1042 kg • m • s~2. Uhlové momenty hybnosti jsou u obou těles srovnatelné. 74 12 Hvězdy a mezihvězdná látka Úloha 12.1 V typickém mezihvězdném mračně při T = 50 K je n = 5 • 10~4m~3. Budeme předpokládat, že mračno je složeno z vodíku H I, p0 = ^h^h = 8,4 • 10~19kg • m~3. Určete kritickou Jeansovu hmotnost. Řešení: Zvolíme molekulární hmotnost p = 1 a dosadíme do vztahu / \ 3/2 / \ 1/2 Mj = Í^f-J Í^J -Po dosazení obdržíme Mj = 1500 M0. Úloha 12.2 Stanovte teoretickou hodnotu Jeansovy hmotnosti mezihvězdných mračen, pro tři možné případy: a) chladné oblasti s T = 102 K, p0 = 10~19 kg • m"3 b) oblasti H II, kde T = 104 K, p0 = 10~21 kg • m"3 c) horké oblasti, ve kterých T = 106 K, p0 = 10~23 kg • m~3 Molekulární hmotnost p přijměte rovnu 1 v případě a), v dalších případech pokládáme p = \. Řešení: Mj = 1,2 • 104 M0 , Mj = 3,4 • 108 M0, Mj = 3,4 • 1012 M0 Úloha 12.3 Určete dobu smršťování mračna volným pádem, jestliže průměrná hustota mračna je p = 3 • 10~15 kg • m~3 Řešení: Dosadíme do vztahu pro dobu volného pádu t = ^32 Gp = • 1013 s = = 1,3 • 105roků. Úloha 12.4 Stanovte střední zářivý výkon protohvězdy v průběhu počátečního smršťování, které probíhalo na časové škále 3-105 roků = 1013 s. Smršťující se mračno o hmotnosti 1,5 M0 = 3-1030 kg se vyznačovalo původní velikostí mračna ~ 1011 m, po proběhlé gravitační kontrakci mělo jádro mračna velikost R = 1,6-1011 m. Předpokládáme, že smršťování probíhalo relativně pomalu „kvazirovnovážně", platila pro něj viriálová věta (Ek) + 2(Ep) = 0. Řešení: Při smršťování je polovina uvolněné gravitační potenciální energie vyzářena — ~2~črm Velikost vyzářené energie určíme ze vztahu vyjádřeném v absolutních hodno- dEc dt tách \R vyz| 2Ev\ gm2 2r (L) = Evyz/t = 1,9- 1027W = 1,9-5L0. 10 J. Střední hodnota zářivého výkonu protohvězdy je Úloha 12.5 Určete střední dobu mezi dvěma srážkami atomů neionizovaného vodíku při teplotě mezihvězdného mračna 80 K, jestliže účinný srážkový průřez atomů je přibližně o = 10~19m2, předpokládaná hustota atomů je nH = 10~6m~3. / \-1/2 Řešení: Pro střední dobu platí r = -±- (|^ ) = 1,5 • 1010 s = 500 roků. 1 trnu \ Smu I ' Úloha 12.6 V mezihvězdném prostředí, jehož vlastnosti se blíží vlastnostem ideálního jed-noatomového plynu, je teplota určována pomocí vztahu \kT = |mní)2. Určete teplotu je-li rychlost rozšiřování vláknových struktur mlhoviny rovna v = 102km • s_1. Řešení: Dosazením obdržíme T = 230 000 K. 75 12 HVĚZDY A MEZIHVĚZDNÁ LÁTKA Úloha 12.7 Určete dobu pobytu atomu vodíku v ionizovaném stavu v planetární mlhovině, je-li zadána koncentrace volných elektronů ne = 1010 m~3, teplota mlhoviny T = 104K. Řešení: Doba pobytu je tp = 2'5n1Ql8 \J~-^ž = 2,5 • 108s = 8 roků při uvedených podmínkách. Úloha 12.8 Uvažujte atomu vodíku nacházející se v mezihvězdném mračně. Teplota mračna určuje rychlost pohybu atomů vt = y/2kT/m^, úniková rychlost atomů na okraji mračna je dána vztahem vu = ^2GM/R. Zdůvodněte výpočtem, proč emisní mlhoviny drží pohromadě. Řešení: Dosadíme do uvedených vztahů a vytvoříme tabulku. Tepelná rychlost atomů vodíku je o řád vyšší, než úniková rychlost atomů na okraji mračna, které drží pohromadě vlastní expanzí nikoliv gravitací. Mlhovina Průměr Hmotnost T [PC] [M0] [km • s_1] [K] [km • s_1] M 8 14 2 600 1,8 7500 11,1 M 17 7 500 1,1 8 700 12,0 Úloha 12.9 Jak se mění poloha hvězdy na diagramu barva - pozorovaná hvězdná velikost pro kulové hvězdokupy, jestliže a) vzdálenost hvězdokupy se zvětší 10 x b) mezi hvězdokupou a pozorovatelem leží mračno prachu pro které A = 5 mag. Řešení: Vyjdeme ze vztahu m — M = 5 log r — 5. Při zvětšení vzdálenosti 10 x se zvětší pozorovaná hvězdná velikost o 5 mag, tedy poloha hvězdy se posune směrem dolů. V případě mezihvězdného mračna prachu se zvětší pozorovaná hvězdná velikost rovněž o 5 mag, tudíž poloha hvězdy se posune dolů na H R diagramu. Úloha 12.10 Odhadněte teplotu prachové částice nacházející se ve vzdálenosti rv = 100 AU od nově vzniklé hvězdy hlavní posloupnosti spektrální třídy F0. Předpokládejme, že rotující částice je ve stavu termodynamické rovnováhy, to znamená, že množství energie absorbované částicí v daném časovém intervalu je přesně rovno množství vyzářené energie touto částicí. Dále předpokládáme, že částice je sféricky symetrická a absorbuje záření jako černé těleso. Uvažovaná hvězda hlavní posloupnosti má povrchovou teplotu 8 200 K a poloměr 1,8 R&. Řešení: Dosazením do Stefanova-Boltzmannova zákona určíme zářivý výkon hvězdy L = = 5,1 • 1034W. Za podmínek zadání přibližně platí 4^2§7""c = |7rr3o-T4ef, odkud Tcef = - r^lV/4- (^ÍT4 V/4-75K Úloha 12.11 Ve středu planetární mlhoviny Helix se nachází horká hvězda - bílý trpaslík s povrchovou teplotou T = 100 000 K. Velká část záření centrální hvězdy je pohlcována mlhovinou. Objasněte proč můžeme skrze ni pozorovat vzdálenější galaxie. Řešení: Při tak vysoké povrchové teplotě hvězdy připadá velká část záření na lymanov-ské kontinuum A < 91,2 nm, které je absorbováno mlhovinou a ionizuje přitom vodík. Ve 76 viditelném oboru spektra je mlhovina průzračná pro záření jak centrální hvězdy tak i objektů umístěných v radiálním směru za ní. Úloha 12.12 Odvoďte vztah pro geometrickou délku zorného paprsku uvnitř prstencové mlhoviny, skládající se z obálky o tloušťce d a vnějším poloměru r. Bude mlhovina vypadat jako planetární, jestliže hustota uvnitř obálky se zmenší o jeden řád a d/r = 0,1? Řešení: Geometrická délka zorného paprsku je / = 2 |[r2 — x2]1^2 — [(r — d)2 — x2] ^ j, kde x je vzdálenost záměrného paprsku do středu mlhoviny. Při zadaných podmínkách bude mlhovina vypadat jako planetární. Úloha 12.13 Uprostřed emisní mlhoviny Růžice se nachází hvězda spektrální třídy 05 s povrchovou teplotou asi 50 000 K a odhadovaným poloměrem 18 RQ. Kolik mezihvězdných atomů vodíku dokáže tato hvězda ionizovat za 1 sekundu? Jak by se změnil počet fotonů, jestliže by se teplota hvězdy zvýšila na 100 000 K? Řešení: Při zadané povrchové teplotě a poloměru je zářivý výkon hvězdy L = 5,6-1032 W, tedy 1,5 • 106 LQ. Z Wienova posunovacího zákona obdržíme \m = = 58 nm, což je podstatně méně než 91,2 nm nezbytných pro ionizaci vodíku za základního stavu. Většina fotonů je schopna vyvolat ionizaci, pro zjednodušení předpokládejme, že všechny emitované fotony mají Xm stejné. Jejich střední energie je E = -y = 3,4 • 10~18 J. Celkový počet fotonů je JV/ = -§ = 1050. Počet fotonů vyzařovaných z 1 m2 za 1 sekundu lze vyjádřit ^fíř = 2JkT3-Při zadaných povrchových teplotách téměř každý foton může ionizovat atom, tedy počet ionizací je roven počtu fotonů vyzařovaných za 1 sekundu. Celkový počet fotonů vyzařovaných hvězdou je -^j^T3 4nR2 = 1050, což odpovídá výsledkům získávaným jinými způsoby. Jestliže dojde ke zvýšení teploty na 100 000 K, tedy na dvojnásobek, počet fotonů se zvýší osminásobně. Úloha 12.14 Doložte výpočtem vznik oblasti H II ionizujícím zářením v prostoru kolem hvězdy spektrální třídy 06, Tef ^ 45 000 K, L = 1,3 • 105 LQ. Řešení: Podle Wienova posunovacího zákona Amax = 64 nm, tedy existují podmínky pro ionizaci vodíku ze základního stavu. Nezbytná energii je rovna E = -y = 3,1 • 10~18 J. Při zjednodušujících předpokladech, že všechny emitované fotony mají stejnou vlnovou délku, je celkový počet fotonů produkovaných hvězdou za sekundu N f = -| = 1,6 • 1049. Při znalosti rekombinačního koeficientu a = 3,1 • 10~19m3 • s-1 a hodnotě hustoty mračna vodíku n-^ = (37V \ ^"/^ 2/3 5 • 109 m~3 dostaneme dosazením pro poloměr Strômgrenovy oblasti rs = í J nn = 7,9 • 1015m ^ 0,25 pc. Úloha 12.15 Které jsou dva hlavní faktory určující velikost oblasti H II? Objasněte astrofyzikální podstatu své odpovědi, odvoďte velikost Strômgrenovy sféry. Řešení: Velikost H II oblasti je určována poloměrem a teplotou ionizující hvězdy a hus- (37V \ _2/3 totou látky v Stromgrenově oblasti. Platí vztah rs = () nn ' . Úloha 12.16 Dokažte, že Stromgrenův poloměr zóny H II závisí na koncentraci atomů vodíku v závislosti r s ~ rT2!3. 77 12 HVĚZDY A MEZIHVĚZDNÁ LÁTKA Řešení: Základní složkou mezihvězdné látky je vodík, který je v oblastech H II prakticky plně ionizován. V stacionárním stavu počet ionizací je roven počtu rekombinací, které probíhají při srážkách protonů a elektronů. Jejich počet v objemové jednotce je proto ~ nenp nebo n2, n = np + ne. Celkový počet rekombinací v oblasti H II je ~ n2r3s = konst-, kde r$ je poloměr oblasti H II. Z druhé strany počet rekombinací je roven počtu ionizací, které jsou určeny parametry vyzařující hvězdy. Shrnuto z výše uvedeného platí r$ ~ rT2!3 . Pro číselnou představu uvádíme tabulku poloměrů oblastí vodíku H II u hvězd hlavní posloupnosti různých spektrálních tříd při nH = 106 m~3. Spektrální třída r [pc] Spektrální třída r [pc] 05 140 Bl 17 06 110 B2 11 07 87 B3 7,2 08 66 B4 5,2 09 46 B5 3,7 BO 26 AO 0,5 Úloha 12.17 Nalezněte poloměr Strômgrenovy oblasti kolem hvězdy Spicy, B2V, T = 24 000 K, R = 5 RQ . Předpokládaná hustota nH = 106m~3, koeficient rekombinace na všechny energetické hladiny vyjma první základní je a = 2,3 • 10~19 m3 • s_1. Řešení: Nejprve určíme počet kvant záření - fotonů uvolňovaných zim2 povrchu hvězdy za ls, N = ^fv2 exp (—j^), kde v = f = 3,29 • 1015s_1. Dosazením obdržíme počet kvant lymanovského kontinua N = 1026 fotonů.m2-s_1. Při poloměru hvězdy R = 3,5 • 109m dostaneme celkový počet fotonů uvolňovaných hvězdou N f = Au R2 N = 1046 fotonů. s_1. Poloměr (37V \ ^"/^ 2/3 Strômgrenovy oblasti určíme rs = í ] nH 7 = 2,2 • 1017 m = 7pc. Úloha 12.18 Hvězda s povrchovou teplotou 16 000 K je pohroužena do mezihvězdného mračna. Odhadněte, jaká část její vyzařované energie připadá na ionizaci mezihvězdného vodíku. Předpokládejme, že hvězda vyzařuje jako černé těleso. Řešení: Ionizovat vodík je schopné záření s vlnovou délkou A < 91,2 nm, tedy s frekvencí v > u1} kde ^i=3- 1015s_1. Hledaná část energie záření je ô = (^J™ Bváv^ (/0°° Bváv) 1, kde Bv = Vg- [exp (H) -I]'1 ^ ^exp Pro vodík xx = ^ ^ ™, při T = = 16 000 K xi = 10, tudíž ó = (f™x3e-xdx) (f™ x3e-xdx)~1. Při x > 1 platí /~ x3e-xdx 2á 103 /~ e-xdx = 103e-10. Dále /0°° x3e-xdx = 3! = 6. Celkově ó 2á ±103e-10 2á 10~2 připadá na ionizaci vodíku, hvězda má příliš nízkou teplotu pro výraznější ionizaci. Úloha 12.19 Boltzmannův člen exp (—|íf) umožňuje určení relativního obsazení energetických hladin. Užijte tento člen k výpočtu teploty nezbytné pro atomy vodíku, aby proton a elektrony přešly z antiparalelního do paralelního spinu. Jsou teploty mračen H I dostatečné k produkování této nízké energie? Řešení: Stupeň excitace atomů vyjadřujeme z Boltzmannovy rovnice = |f exP (—fíf), kde = 3, při v = 1420,4 MHz ^ = 0,07 K. Boltzmannova rovnice má tvar ^ = 9a ' ť ' k ' N a = 3exp(—^p). Kinetická teplota mezihvězdného vodíku je vždy větší než 0,07 K, tedy 78 exp (—^7jP) = 1, poměr ^ = 3 se nepatrně mění s teplotou mezihvězdného plynu. Ve vyšším stavu s antiparalelním spinem (přesněji v důsledku rozdílnosti orientací magnetických momentů protonu a elektronu) se bude nacházet 75% atomů vodíku. Úloha 12.20 Emisní čára HI je pozorována na kmitočtu v = 1 420,4057 MHz. Určete poměr obsazení horních a dolních energetických hladin při teplotách T = 100 K, T = 10 K. Řešení: Dosadíme do vztahu f- = exp = exp (-ff) pro T = 100 K a T = 10 K. 2 expl kT ) Obdržíme NJNq = 0,9993 při T = 100 K, NJNq = 0,9932 při T = 10 K. Úloha 12.21 U planetární mlhoviny byl spektroskopicky zjištěn Balmerův dekrement, poměr intenzit spektrálních čar Ha a H^ rovný 3,50. Teoreticky propočítaná hodnota tohoto poměru je 2,86. Rozdíl velikostí intenzit spektrálních čar na různých vlnových délkách je způsoben zčervenáním v mezihvězdném prostředí, které je větší v krátkovlnné než v dlouhovlnné (červené) oblasti optického spektra. Jev je vyvolán prachovými částicemi, hovoříme o zčervenání. Určete vzdálenost planetární mlhoviny, jestliže závislost mezihvězdné absorpce na vzdálenosti je v Galaxii dána empirickým vztahem A\ = ^4^- ■ 2 • 10_4magpc_1. Řešení: Podle uvedeného vztahu spektrální čáry Ha, H^ budou zeslabeny v mezihvězdném prostředí absorpcí závislou na vlnové délce, tedy rozdílně pro obě čáry. Proto poměr naměřených zářivých toků v uvedených čarách je odlišný od teoretické hodnoty, závisí na vzdálenosti. Hodnoty absorpce A\ v magnitudách a zeslabení v čarách Ha a H^ jsou: AHa = 656,3 nm ARar = 0,79 • 10~3 magpc"1 • r zeslabení io-0<00032r, AH/3 = 486,1 nm Aupr = 1,14- 10_3magpc_1 -r => zeslabení io~°'00046r. Pro pozorovaný a teoretický poměr intenzit spektrálních čar Ha a H^ platí: (^) = g^gl"^ = (^) • 10°<00014r. Obdržíme vztah mezi pozorovaným a teoretickým Balmerovým dekrementem a vzdáleností. Dosazením číselných hodnot obdržíme 3,5 = 2,86 • l0-°<00014r 0,00014r = log (3,5/2,86) r = 626 pc. Úloha 12.22 Ze spektroskopických pozorování planetární mlhoviny NGC 7027 v souhvězdí Labutě byla zjištěna její teplota 1,1 • 104 K. Vyzařovací schopnost plynu mlhoviny, jak ve spektrálních čarách tak ve spojitém spektru, charakterizujeme veličinou nazývanou emisní míra, je zavedena obecně EM = jlQn2eál. V celém rozsahu vlnových délek je povrchová jasnost mlhoviny prakticky úměrná EM. V naší úloze je střední emisní míra EM = 5,4 • 1019 pc • m~6. Nalezněte koncentraci elektronů ne v mlhovině a stanovte její hmotnost. Předpokládáme ne = =konst. a sférický tvar mlhoviny o průměru D = 0,1 pc Řešení: Ze zadání úlohy dostaneme EM = n2D ne = 2,3 • 1010m~3. Hmotnost elektronů v mlhovině odhadneme M = |7r(y)3neme = 1025 kg. Tento odhad se zvýší na M = 1029 kg při započtení hmotnosti protonů a dále atomů helia, kterých je v mlhovině přibližně 16% počtu atomů vodíku a započtením hmotnosti i těžších prvků. Úloha 12.23 Mezihvězdný vodíkový plyn má teplotu 100 K .Určete šířku spektrální čáry za předpokladu pouze teplotního rozšíření. Dále stanovte šířku čáry v případě rozšíření srážkami, při hustotě n = 106 m~3 a a = 3,6 • 10~20 m2. Řešení: AA = = 1,8 • 10-4m, AA = ^^xf^- = 2,2 • 10~21 m. Rozšíření srážkami je vzhledem k nízké teplotě a malé hustotě velmi malé. 79 12 HVĚZDY A MEZIHVĚZDNÁ LÁTKA Úloha 12.24 Zjištěné šířky čar Ha s A = 656,3 nm a N II s A = 658,4 nm jsou AAi = 0,05 nm a AA2 = 0,04 nm. Nalezněte teplotu a rychlost pohybu oblastí plynu v mlhovině. v 1 /2 Řešení: Využijeme vztah AA = ^ (—^ + v2) pro šířky obou čar, řešíme dvě rovnice, obdržíme kinetickou teplotu T = 3 100 K avt = 9 km • s_1. Úloha 12.25 Ve spektrech plynných mlhovin pozorujeme pozorujeme rádiové čáry vznikající přechody mezi vysoce položenými energetickými hladinami. Určete vlnovou délku rekombi-nační čáry vodíku Hna, n 3> 1. Řešení: Vlnová délka fotonu vyzařovaného při přechodu z energetické hladiny m na n 2 2 je dána vztahem Xnm = \i™2mn2, kde Ai = 91,2nm. Položíme m = n + 1 a předpokládáme, že n > 1. Dosazením obdržíme \n,n+i = Ai ^ + n2^j. Podle tohoto vztahu spektrální čára H 100a má vlnovou délku přibližně 5 cm. Úloha 12.26 Dokažte, že rekombinační čáry vodíku na, rip, n7, n§ jsou ekvidistantní podle frekvence. Řešení: Řešení: Vyjdeme ze vztahu pro frekvenci fotonu vyzařovaného při přechodu atomu vodíku z energetické hladiny m na n unm = vx — ^2), kde vx = 3,29 • 1015 Hz. Položíme m = n + An a předpokládáme, že n > la An 1. Obdržíme vn,ri+/±ri = = v\ {^2, — (n+an)ž) ~ ^nF^n- Odtud je zřejmé, že při zvětšení An o jednotku narůstá frekvence odpovídajícího přechodu o stejnou velikost která je frekvencí čáry Hna. Úloha 12.27 Nechť mračno mezihvězdného plynu má hmotnost M a jeho úhlový poloměr je ip. Dokažte, že pro vzdálenost mračna platí r ~ ^fpí/s 1 kde F je tok záření z mračna detekovaný na Zemi. Tento vztah odvodil Šklovskij pro určení vzdálenosti mlhovin za předpokladu, že pro jejich hmotnost platí M ~ \JĽV. Řešení: Pro objem mlhoviny platí V ~ R3 ~ r3(^3, pro zářivý výkon platí L ~ R2 ~ r2ip2F. Úpravou dostaneme r ~ ™pl% ■ Úloha 12.28 Odhadněte hustotu neutrálního vodíku podél zorného paprsku procházejícího přes mračno, při 10% absorpci ve středu čáry La. Koeficient absorpce ve středu čáry v přepočtu na 1 atom je kc = 10~16m2, při předpokládané teplotě plynu přibližně 100 K. Řešení: Při průchodu záření přes mračno plynu se zeslabuje eT krát, kde r je optická tloušťka vrstvy plynu. Ve středu čáry La je rovna KcN, kde N je celkový počet atomů vodíku podél procházejícího se paprsku. Absorpce se stává podstatnou, jestliže kcN = 0,1. Odpovídající hustota na paprsku je mpN = 0,1^ = 2 • 10~10kg • m~3. Spektrální analýza je tudíž velmi citlivou metodou. Úloha 12.29 Mračno H I emituje spektrální čáru o vlnové délce 21 cm s optickou hloubkou v jejím středu th = 0,5, jde o opticky tenkou čáru. Průměrná hustota plynu atomů v mračnu je nH = 10 cm~3, teplota plynu je 100 K a šířka čáry, přepočítaná na rychlost je Av = 10 km-s-1. Nalezněte tloušťku mračna /. 80 Řešení: Ze vztahu rH = 5,2 • 1(T14^ určíme / ^ 1018 m = 32 pc. Úloha 12.30 Částice kosmického záření jsou udržovány v Galaxii prostřednictvím magnetického pole. Určete poloměr dráhy relativistické částice s nábojem e a energií 103 GeV kolem siločar magnetického pole o magnetické indukci _B = 5-1CT10T. Řešení: Platí E = eBr, odtud pro poloměr r v pc dostaneme r = 1,08 • 10~16-§, je-li E v [GeV] a B [T]. Dosazením obdržíme r = 2 • 10~4pc = 41 AU. 81 13 Extragalaktická astronomie Úloha 13.1 Naše Galaxie s hmotností přibližně 2,5 • 1011 M0 a galaxie v souhvězdí Andromedy M 31 o hmotnosti 3,6 • 1011 M0 jsou dvě největší galaxie v Místní soustavě galaxií. Předpokládejme, že tvoří dvojnou soustavu a obíhají kolem společného hmotného středu po kruhových drahách. Určete velikost oběžné doby, jestliže vzdálenosti mezi nimi je asi 700 kpc. /4tt2 a3 \1/2 Řešení: T = — —-— = 7 ■ 1010 roků, tedy asi 70 miliard let. V G M1 + M2J ' y Úloha 13.2 Maximální zploštění, tzv. míra eliptičnosti, u eliptických galaxií je definována vztahem ^10 = 7. Určete největší poměr velké a malé osy elipsoidu eliptických galaxií. Řešení: Dosazením obdržíme | = 3,3 Úloha 13.3 Které z emisních čar v následující tabulce můžeme z povrchu Země pozorovat v optickém oboru spektra u kvasaru s následujícím rudým posuvem a) z = 0,1 b) z = 1,0 c) z = 4,0. Tabulka hlavních emisních čar u aktivních galaxií a kvasarů: 121,6 nm H/9 486,1 nm N V 124,0 nm O III 495,9 nm C IV 154,9 nm O III 500,7 nm C III 190,9 nm N II 654,8 nm Mg II 279,8 nm Ha 656,3 nm O II 372,7 nm N II 658,4 nm Ne III 386,8 nm S II 671,7 nm H5 410,2 nm S II 673,1 nm H7 434,1 nm Řešení: Při výběru vhodných čar vyjdeme ze vztahu {z + 1) A/ = Ap, kde Ap musí být v optické části spektra. Tedy v případě a) všechny čáry od Ne III, b) čáry C III až po čáru Ne III, c) čáry La až C IV. Úloha 13.4 Ve spektru kvasaru byl optickou spektroskopií zjištěn rudý posuv z = 2,5. Které emisní čáry byly při tomto zjištění použity? Viz tabulka předcházející úlohy. Řešení: Využijeme vztah (z + 1) A; = Ap. Nejvhodnější a nejčastěji používanou čarou je La. Úloha 13.5 Ve spektru kvasaru 3C 273 byly zjištěny široké intenzivní emisní čáry o naměřených vlnových délkách 761,3 nm, 563,9 nm a 503,4 nm. Určete, kterém prvku náleží. Stanovte vzdálenost kvasaru. Jaký je jeho zářivý výkon, jestliže hustota zářivého toku zjištěná v horních vrstvách atmosféry Země je rovna 6,2 • 10~14 W • m~2. 82 Řešení: Použitím vztahu (z + 1)Ai = Ap zjistíme, že jde postupně o čáry Ha, H^, H7 vodíku. Vzdálenost je r = cz/H = 640 Mpc. Zářivý výkon kvasaru stanovíme ze vztahu L = Anr2Fhol = 3 • 1038 W. Úloha 13.6 Ve spektru kvasaru 3C 273 je emisní čára vodíku o laboratorní vlnové délce 486,1 nm posunuta o 77,8 nm směrem k dlouhovlnnému konci spektra. Určete a) vzdálenost kvasaru b) lineární rozměry kvasaru, jestliže úhlový průměr činí 2a = 0,24" b) lineární velikost výtrysku / z kvasaru, jehož úhlová velikost je 19,5" c) jeho zářivý výkon, jestliže absolutní bolometrická hvězdná velikost je - 25 mag. Řešení: Vzdálenost kvasaru určíme ze vztahu r = jjZ = 640 Mpc. Přibližný skutečný průměr kvasaru je D = r2a = 2 ■ 1019 m = 700 pc. Velikost výtrysku je / = 2 • 1021 m = 70 kpc. Zářivý výkon kvasaru je 7,9 • 1011 LQ. Úloha 13.7 Zářivý výkon kvasarů dosahuje 1040 W. Fyzikální podstata procesů umožňujících tak obrovské uvolňování energie není dosud definitivně objasněna. Vypočtěte množství hmoty v jednotkách M0 za rok, které se přemění, aby pokrývalo odpovídající zářivý výkon při a) termonukleárním hoření s účinností rj = 0,01 b) akreci na relativistický objekt s účinností r\ = 0,1 — 0,3. Řešení: Úbytek hmoty je roven = 1,5?7-1M0 • rok-1. Při termonukleárním hoření je úbytek přibližně 150 M0 • rok-1, při akreci a volbě r\ = 0,2 obdržíme 7,5 M0 • rok-1. Úloha 13.8 Dosud nej vzdálenější klasické cefeidy (s typickými periodami 1-50 dnů) byly objeveny za pomoci Hubbleova kosmického dalekohledu v galaxii M 100, která je součástí bohaté kupy galaxií v souhvězdí Panny. Na obr. je znázorněna závislost pozorované vizuální hvězdné velikosti a periody pulsace, tedy závislost perioda - zářivý výkon. Užitím dvou cefeid nejblíže položených k přímkové závislosti, na grafu označených, stanovte jejich vzdálenost a tudíž vzdálenost galaxie M 100. Řešení: U první cefeidy mv = 26,3 mag, log P = 1,39 dne. Ze závislosti My = — -2,80 log P—1,43 stanovíme My = —5,3 mag. Dosazením do vztahu log r = 1+0,2 (mv — My) = 7,32, r = 20 Mpc. U druhé cefeidy analogicky mv = 25,6 mag, log P = 1,61 dne, My = — -5,94 mag. Vzdálenost log r = 7,31 pc, tudíž r = 20 Mpc. Úloha 13.9 Odhadněte hmotnost černé díry v jádře Galaxie, jestliže bylo zjištěno, že oběžné doby hvězd obíhajících ve vzdálenosti 275 AU od jádra jsou 2,8 roků. Řešení: Hmotnost centrálního tělesa - černé díry určíme z III. Keplerova zákona v přesném tvaru M = (tjt)2 = 2,6 • 106 M0. Úloha 13.10 Na základě studia rudého posuvu velkého počtu galaxií bylo prokázáno, že existuje jejich značná koncentrace v směru souhvězdí Centaura, ve vzdálenosti odpovídající rychlosti 4 350 km -s-1. Galaxie tvoří útvar nazývaný Great Attractor, česky Velká zeď. V jaké vzdálenosti leží hmotný střed tohoto útvaru a jaká je jeho hmotnost? Naše Galaxie se pohybuje směrem k Velké zdi rychlostí 570 km • s_1. 83 13 EXTRAGALAKTICKÁ ASTRONOMIE Řešení: Podle Hubbleova zákona r = v/H = 4350/75 = 58Mpc. Předpokládejte, že Velká zeď je tvořena gigantickou kupou galaxií, pro kterou platí viriálová věta. Po dosazení údajů naší Galaxie obdržíme pro hmotnost kupy galaxií M = 2R(v2)/G = 1,7 • 1046kg 1O16M0. Úloha 13.11 V kupě galaxií čítající asi 10 000 galaxií v souhvězdí Vlas Bereničin, byl u 100 nejjasnějších galaxií spektroskopicky zjištěn průměrný rudý posuv (z) = 0,0232. Při znalosti Hubbleovy konstanty H = 75 km • s_1 • Mpc-1 určete vzdálenost kupy galaxií. Řešení: Rychlost vzdalování je v = cz = 6 960 km • s-1, vzdálenost r = v/H = 93 Mpc. Úloha 13.12 Určete zářivý výkon černé díry o hmotnosti 107 M0, je-li účinnost procesu 5 %. Řešení: Vyjdeme ze vztahu pro Eddingtonův zářivý výkon L-^ = 4:ircGmpM/'ctt. Při 5% účinnosti je zářivý výkon aktivního galaktického jádra 6 • 1036 W. Úloha 13.13 Model jádra aktivní galaxie předpokládá, že kolem černé díry s velkou hmotností krouží akreční disk, jehož typický poloměr je ra = 1014m. Určete velikost vyzářeného výkonu při dopadu plynu o hmotnosti 1 M0 za rok z akrečního disku na černou díru o hmotnosti 1O8M0. Řešení: Schwarzschildův poloměr černé díry je rs = 2^f- = 3 • 1011 m. Předpokládáme tempo pádu látky o hmotnosti m = 2 • 1030 kg • rok-1 = 6 • 1022 kg • s_1. Uvolněná gravitační potenciální energie je E„ = G Mm ( —---- ) = 3 • 1039 J, což pro zářivý výkon aktivní galaxie dává = 1039 W. Úloha 13.14 Šířka čáry ve spektru jádra seyfertovské galaxie je zhruba 3nm. Jaké jsou charakteristické rychlosti pohybu mračen plynu v jádře takové galaxie? Řešení: V důsledku pohybu mračen dochází k rozšíření čáry. Platí vztah pro Dopple-rův jev ^ = -c. Polovina pozorované šířky 1,5nm odpovídá maximálnímu posuvu čar do červené respektive fialové části optického spektra pro mračna pohybující se nej větší rychlostí podél zorného paprsku. Pro vlnovou délku A = 486,1 nm obdržíme při dosazení v = = = lOOOkm-s-1. Úloha 13.15 Emisní čáry plynu ve středu gigantické eliptické galaxie M 87, NGC 4486 byly zkoumány spektrografem na Hubbleově kosmickém dalekohledu. Ze spektrální diagnostiky čáry O II 372,7 nm byla určena oběžná rychlost 500 km • s_1 plynu při poloměru 0,25". Odhadněte hmotnost centrální oblasti uvnitř prstence. Za předpokladu, že se jedná o černou díru určete její Schwarzschildův poloměr. U galaxie M 87 byla zjištěna hodnota z = 0,004. Řešení: Nejprve z Hubbleova zákona stanovíme vzdálenost r = = || = 16 Mpc. Úhlový poloměr převedeme, a = 1,2 • 10~6rad. Skutečný poloměr prstence je R = ar = 5,9 • 1017m. Při zanedbání hmotnosti látky vně disku a jejím sféricko-symetrickém rozložení můžeme psát ^- = G_M^M=v^tgá2 - 1039kg = 1O9M0. Dosazením do vztahu pro Schwarzschildův poloměr Rs = ^ = 3 • 1012 m = 10~4pc. Úloha 13.16 Vnitřní okraj plynného disku aktivního galaktického jádra galaxie M 106, 84 NGC 4258 byl pozorován ve vzdálenosti 0,004" od středu. Zjištěná hodnota radiální rychlosti u této galaxie je 580 km • s_1. Stanovte vzdálenost a určete poloměr vnitřního okraje disku v pc, plyn obíhá kolem středu rychlostí 1100 km • s_1. Určete hmotnost disku. Řešení: Z Hubbleova zákona stanovíme vzdálenost r = 7,7 Mpc. Při známé úhlové velikosti poloměru a = 1,9 • 10~8rad obdržíme pro skutečný poloměr R = ar = 4,5 • 1015 m = 0,15 pc. Hmotnost určíme ze vztahu M = ^ = 8 • 1037 kg = 4 • 107 M0. Úloha 13.17 Rádiový zdroj v jádře aktivní galaxie má úhlovou velikost 0,001", kosmologický rudý posuvu je z = 0,5. Určete lineární rozměry zdroje v pc. Řešení: Rychlost vzdalování stanovíme ze vztahu v = c^+z\^] = 0,38c. Vzdálenost J (l+z) +1 určíme z Hubbleova zákona r = jj = 1500 Mpc. Skutečná lineární velikost zdroje je D = = 10~3 1,5 • 109 = 1,5 • 106 AU = 7,5 pc. Úloha 13.18 U rádiové galaxie Centaurus A, nacházející se ve vzdálenosti 5 Mpc, byl na frekvenci 1400 MHz zjištěn monochromatický tok F = 103 Jy. Určete zářivý výkon v rádiovém oboru (107Hz — 1010 Hz) této galaxie, jestliže spektrální index a = 0,8. Řešení: Rádiový výkon galaxie vypočteme Lr = Anr2 Fvdv = 1034 W. Úloha 13.19 U kvasaru PC 1247+3406 byly ve spektru identifikovány emisní vodíkové čáry, mimo jiných také čára La A/ = 121,6 nm. Detekována na Zemi má čára vlnovou délku Ap = = 721,4 nm. Určete rychlost vzdalování kvasaru. Řešení: Při hodnotě z = Xp~Xl = 4,93 je rychlost v = c|^^2~^ = 0,95c. Úloha 13.20 Druhý nejsilnější rádiový zdroj na obloze po Slunci je rádiová galaxie Cygnus A, vyznačuje se rudým posuvem z = 0,057. Na frekvenci v = 2000 MHz byla zjištěna spektrální hustota toku záření 103 Jy, tedy 10~23W • m~2 • Hz-1. Při znalosti spektrálního indexu a = = 0,75 určete zářivý výkon v rádiovém oboru galaxie Cyg A, předpokládáme kmitočtový rozsah v1 = 107Hz a v2 = 1010Hz. Řešení: Nejprve určíme vzdálenost r = || = 230 Mpc. Zářivý výkon v rádiovém oboru je Lr = Anr2 Fudu 2á 1037 W. Úloha 13.21 Zdůvodněte hypotézu, že široké vodíkové emisní čáry vznikají při pohybech velkých oblastí látky v kvasarech. Jejich šířky jsou v optické oblasti asi Az = 5 • 10~3. Teplotu těchto oblastí odhadujeme na 104K. Řešení: Při Az = — =>• Av = 1,5 • 106km • s_1. Rychlost tepelného pohybu při zadané teplotě je vt = (f^-J = 104m • s_1, kde předpokládáme hmotnost atomu vodíku mH = = 1,7 • 10~27kg. Tudíž vznik spektrálních čar v kvasarech bude spojen s pohybem celých oblastí - mračen vyzařujícího plynu, jejich rychlost podstatně převyšuje rychlost tepelného pohybu částic. Úloha 13.22 Předpokládaným zdrojem aktivity jader galaxií a kvasarů může být akrece látky na černou díru s velkou hmotností. Minimální velikost oblasti vyzařování je v takovém 85 13 EXTRAGALAKTICKÁ ASTRONOMIE případě řádově rovna gravitačnímu poloměru černé díry Rg = -^3—. Maximální zářivý výkon zpravidla klademe LEd = —fpM. Předpokládáme-li akreci jako zdroj energie u kvasaru 3C 273 určete minimální hodnotu hmotnosti černé díry a minimální dobu proměnnosti záření. Zářivý výkon položte L = 1040 W. Řešení: Minimální hmotnost černé díry je 8-108 M0, minimální doba proměnnosti je 2,1 hod. Úloha 13.23 Určete charakteristickou hmotnost jádra seyfertovské galaxie předpokládáme-li, že pozorované široké emisní čáry vznikají v kvazistacionární obálce plynu kolem jádra o poloměru 0,1 pc. Spektroskopicky určená rychlost plynu je přibližně 930 km • s_1. Řešení: M = ^R = 2 • 107 M0. Úloha 13.24 Ve vymezené oblasti prostoru o poloměru R = 5,2 • 105 pc existuje kupa galaxií obsahující 670 pozorovatelných galaxií. Jejich střední rychlost vzhledem k inerciálnímu systému spojenému s hmotným středem kupy činí 1050 km-s-1. Určete tzv. viriálovou hmotnost této kupy. Řešení: Pro gravitačně vázanou kupu platí viriálová věta (Ek) = —\{EP), dosazením obdržíme mv2 = G^, odkud M = ^§{v2) = 1014 M&. Úloha 13.25 Pohyb Země (Galaxie) ve směru souhvězdí Lva způsobuje tzv. dipólovou anizot-ropii reliktního záření vzhledem k jeho střednímu rozložení. Zjištěná rozdílnost teplot ve směru apexu a antiapexu je rovna AT = 7 • 10~3 K, střední teplota reliktního záření je T0 = 2,7 K. Tedy v důsledku platnosti Dopplerova jevu se reliktní záření ve směru pohybu jeví jako teplejší, v protilehlém směru chladnější. Určete rychlost pohybu Země v, předpokládáme-li, že úhel ů mezi směrem vektoru rychlosti a směrem pozorování je nulový, tedy cosů = 1. Řešení: Pro teplotu záření ve směru apexu platí T = T0 (l + ^cos-#), T — T0 = 4r. Dosazením určíme v = 400 km • s_1. Úloha 13.26 Předpokládejme, že kosmický prostor je rovnoměrně vyplněn galaxiemi se stejnou absolutní hvězdnou velikostí a je dokonale průzračný. Dokažte, že podíl počtu galaxií do (m +1) pozorované hvězdné velikosti a počtu galaxií m-té hvězdné velikosti je roven Nj^^ = = 3,98. Řešení: Z upravené Pogsonovy rovnice, při zadaných podmínkách, dostaneme pro vzdálenost vztah r = io1_0'2M10°'2m. Celkový počet galaxií s hvězdnou velikostí m je roven jV(m) ~ r3 ~ 10°<6m • ÍO3*1-0'2^. Odtud pro poměr dostaneme = ^ff^ = 10°'6 = = 3,98. Úloha 13.27 Kterých částic je v současné době ve vesmíru více, reliktních fotonů nebo protonů? Střední hustota látky ve vesmíru je 10~27kg • m~3. Teplota reliktních fotonů je 2,7K. Řešení: Celkový počet fotonů v 1 m3 je N = J0°° ^—= 2 • 107T3. V každém m3 exp { kTX ) 1 je v současné době 2 • 1072,7 • 103 = 4 • 108 fotonů. Předpokládáme-li, že základní příspěvek pro střední hustotu vesmíru dává vodík, potom počet protonů je roven 1 ^.^-27 — 0,6 m~3. Při započtení části skryté hmoty, kterou by mohla tvořit např. neutrina s nenulovou klidovou 86 hmotností, by koncentrace protonů byla ještě nižší. Shrnuto ve vesmíru je reliktních fotonů asi 109 krát více než protonů. Základní jednotky stavební hierarchie vesmíru - hvězdy však jsou složeny převážně z protonů. Úloha 13.28 Odvoďte v rámci klasické fyziky vztah mezi kritickou hustotou a Hubbleovou konstantou. Odhadněte stáří vesmíru. Řešení: Zkoumejme sférickou oblast prostoru o hmotnosti M = konst-, p = p{t), R = = R{t). V ní se pohybují částice - galaxie o hmotnosti m, částice na povrchu koule má rychlost vR. Platí vztah pro celkovou mechanickou energii \rav\ — G111^- = Wc. Odtud pro hustotu energie w dostaneme \v2R — G^ = w. V určitém čase t = t0, platí podle Hubbleova zákona vR = HR(t) a dále p = p(t0). Úpravou obdržíme R2 (\H2 — ^Gnp) = w. V kritickém stavu při R —► oo je —► oo platí \H2 — ^Gnpk = 0, odtud pk = Při střední rychlosti expanze vR = j, odkud s použitím Hubbleova zákona vR = H R obdržíme t=jj. Přijmeme-li Hubbleovu konstantu H = 75 km • s_1 • Mpc-1 je t = 1010roků. 87 14 Počítačové úlohy 14.1 Astrofyzikální metody Úloha 14.1 Pomocí databáze SIMBAD (http://simbad.u-strasbg.fr/simbad/) nalezněte souřadnice, radiální rychlost a paralaxu a) hvězdy Arcturus, b) hvězdy HD 37776, c) galaxie Řešení: Na stránce http://simbad.u-strasbg.fr/simbad/ zvolíme hledání prostřednictvím názvu ("Query by identifier") a jako "Identifier" zadáme název hvězdy. a) a = 14h15m39,6720s, 5 = 19°10/56,677//, vrad = -5,2±0,9 km-s-1, tt = (88,85±0,74)-l(T3 arcsec, b) a = 5h40m56,3704s, 5 = -1°30'25,852", vrad = 27±5km-s-1, tt = (1,96±0,98) • 1(T3 arcsec, c) a = 0h42m44,31s, 5 = 41°16/09,4", vrad = -301 ± 7km • s_1. Úloha 14.2 Na základě dat z článku autorů M. Asplund, N. Grevesse a A. J. Sauval "The Solar Chemical Composition" (2005, ASP Conference Series, Vol. 336, str. 25) nakreslete graf relativního zastoupení jednotlivých prvků (vzhledem k vodíku) ve sluneční atmosféře. Stanovte hmotnostní podíl prvků těžších než helium. Řešení: Na stránce http://adsabs.harvard.edu zvolíme "Search", "Astronomy and Astrophysics Search", hledáme např. články autora "Asplund" z roku 2005. Vybereme hledaný článek, který je možné získat prostřednictvím stránek xxx.lanl.gov (volba "arXiv e-print"). V Tabulce 1 tohoto článku jsou uvedeny hodnoty relativního zastoupení jednotlivých prvků jako log(Airprvek/AřH) + 12. S jejich pomocí nakreslíme graf a spočteme relativní hmotnostní zastoupení těžších prvků Z = 0,0122. M 31. 10' 10 20 30 40 50 60 70 80 Z Obrázek 1: Relativní zastoupení jednotlivých prvků v atmosféře Slunce Úloha 14.3 Nalezněte deset nejbližších hvězd viditelných pouhým okem. 88 Řešení: Na stránkách CDS (http://cds.u-strasbg.fr) zvolíme VizieR, databáze "HIP" (Hipparcos), klepneme na "Find Catalogue", zvolíme "I/239/hip_main", v políčku Vmag vyplníme "<6", zvolíme "Sort" podle políčka "Pix", zvolíme "Output Order" jako "-" a klepneme na "Submit Query" a získáme seznam nej bližších a nejjasnějších hvězd (viz tabulka, ve které je zaneseno prvních deset z nich). Označení bylo získáno pomocí databáze SIMBAD. HIP hvězda my [mag tt [10 3 arcec 71681 a Cen B 1,35 742,12 ± 1,40 71683 a Cen A -0,01 742,12 ± 1,40 32349 a CMa (Sirius) -1,44 379,21 ± 1,58 16537 e Eri 3,72 310,75 ±0,85 104214 61 Cyg 5,20 287,13 ± 1,51 37279 a CMi (Prokyon) 0,40 285,93 ± 0,88 108870 e Ind 4,69 275,76 ± 0,69 8102 r Cet 3,49 274,17 ±0,80 19849 o Eri 4,43 198,24 ±0,84 88601 70 Oph 4,03 196,62 ± 1,38 14.2 Sluneční soustava Úloha 14.4 V jedné ze svých knih A. C. Čiarke píše o tom, že Halleyova kometa má dvě oddělená jádra. Pomocí databáze NASA ADS (http://adsabs.harvard.edu) ověřte, zdaje toto tvrzení hodnověrné. Řešení: Na stránce http://adsabs.harvard.edu zvolíme vyhledávání ("Search"), "Astronomy and Astrophysics Search" a jako položku "Title Words" zvolíme klíčová slova "Halley comet splitting". Získáme několik odkazů věnujících se rozpadu jádra Halleyovy komety během jejího posledního průchodu kolem Slunce. Tvrzení je jednou z úspěšných předpovědí autora. 14.3 Záření hvězd Úloha 14.5 Nakreslete křivku vyzařování černého tělesa pro teploty 5 000 K a 5 780 K. Čím se liší? Řešení: Pro spektrální hustotu energie vyzařování černého tělesa platí = 8nch 1 ^ ^5 ehc/XkT _ l Pro výpočet lze použít například následující funkci: function b(tep,lam:double):double; const h=6.6256e-34; {Planckova konstanta} c=2.99792e8; {rychlost svetla} bolk=l.38054e-23; {Boltzmannova konstanta} 89 14 POČÍTAČOVÉ ÚLOHY var lam5:double; begin lam5 := lam* lam* lam* lam* lam; b:=8.0*pi*h*c/lam5/(exp(h*c/lam/bolk/tep)-1.0); end; 1,2.106 1,0.106 8,0.105 I 5 5. 6,0.10 w 4.0.105 2,0.10s 0,0.10° 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 X [nm] Obrázek 2: Závislost spektrální hustoty vyzařování černého tělesa na vlnové délce. Graf závislosti Planckovy funkce na vlnové délce pro teploty 5 000 K a 5 780 K je na obrázku 2. Jsou patrné dva závěry. V celém intervalu vlnových délek platí, že spektrální hustota vyzařovaná tělesem s vyšší teplotou je větší. Patrný je posuv maxima obou křivek, pro vyšší teploty směrem k nižším vlnovým délkám. Úloha 14.6 Pomocí katalogů CDS nalezněte pět nejjasnějších hvězd v rentgenovém oboru, které mají spektrální typ O nebo B. Řešení: Na stránce http://cdsweb.u-strasbg.fr zvolíme "VizieR", jako "Wavelength" zvolíme "X-ray", jako "Astronomical keywords" zvolíme "Stars:early-type" a zadáme hledání ("Find Catalogues"). Vybereme katalog odpovídající úloze, "ROSAT all-sky survey catalogue of OB stars", "Detections". V prohledávání zvoleného katalogu zaškrtneme třídění ("Sort") podle pozorované hustoty toku rentgenového záření ("Apparent X-ray flux"). Aby se třídění opravdu provedlo, je nutné ještě zadat vhodnou podmínku ("Constraint", vzhledem k velikosti pozorovaného toku např. "< 0"). Je nutné navíc zvolit "Output Order" jako Z tabulky zjistíme, že nejjasnějšími hvězdami spektrálních typů O nebo B v rentgenovém oboru jsou X Per (Fx = 1,0 • 10~13 W • m"2), /? Per (Fx = 6,6 • 10~14 W • m"2), 7 Cas (Fx = 3,0-10-14W-m-2), 91 Ori (Fx = 2,8 • 10~14 W • m"2) a 1 Ori (Fx = 2,5 • 10~14 W • m"2). T=5780 K 90 14.4 Základy hvězdné spektroskopie Úloha 14.7 Pomocí atlasu slunečního spektra http://bass2000.obspm.fr/solar_spect.php nakreslete sluneční spektrum v intervalu vlnových délek 587 — 593 nm a pokuste se identifikovat nej silnější čáry. Řešení: Na uvedené stránce získáme potřebná data. Zdroj pro identifikaci čar nalezneme v katalozích CDS, http://cdsweb.u-strasbg.fr/cats/Cats.htx, zvolíme hledání "identification spectrum", katalog "VI/26 Identification list of lines in Stellar Spectra (Moore, 1959)" a jeho novou verzi "VI/71A Revised version of the ILLSS Catalogue (Coluzzi 1993-1999)", v prohledávání zvoleného katalogu ("VizieR query form") zadáme podmínku pro vlnové délky jako "> 5870 && < 5930" a identifikujeme čáry. Výsledný graf je na obrázku 3. 587 588 589 590 591 592 593 X [nm] Obrázek 3: Sluneční spektrum v oblasti sodíkového dubletu 14.5 Nitro hvězd Úloha 14.8 S použitím programu STATSTAR vypočtěte model hvězdy se sluneční hmotností (s parametry1 hmotnost, zářivý výkon a efektivní teplota rovnými 1,0 M0, 0,86071 LQ a 5 500,2K, chemické složení odpovídá Slunci, X = 0,7, Y = 0,292 a Z = 0,008). 1. Nakreslete závislost P, Mr, Lr a T na r. 2. Pro jakou teploty a pro jaký poloměr dosahuje Lr 99% a 50% své povrchové hodnoty? Jaká tomu odpovídá hodnota Mr? Řešení: Graf jednotlivých závislostí je na obr. 4. Úloha 14.9 Pomocí programu STATSTAR vypočtěte model hvězdy na hlavní posloupnosti 1 Přesné hodnoty parametrů hvězd jsou uvedeny pouze pro získání daného modelu stavby hvězdy (jsou vybrány tak, aby byly splněny příslušné okrajové podmínky diferenciálních rovnic popisujících stavbu hvězd) a nemají tedy astrofyzikální smysl. 91 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 100 200 300 400 500 600 700 800 r [103 km] Obrázek 4: Model hvězdy se sluneční hmotností s hmotností 1,0 M0 (pro tuto hvězdu jsou zářivý výkon a efektivní teplota rovny 0,86071 LQ a 5 500,2 K) a porovnejte ho s modelem hvězdy o hmotnosti 0,75 M0 (pro tuto hvězdu jsou zářivý výkon a efektivní teplota rovny O,1877L0 a 3 839,1 K). Pro obě hvězdy předpokládejte chemické složení odpovídající Slunci (X = 0,7, Y = 0,292 a Z = 0,008). Řešení: Centrální tlak a teplota hvězdy se sluneční hmotností (Tc = 1,4 • 107K, pc = = 7,7 • 104kg • m~3) jsou vyšší než odpovídající hodnoty pro hvězdu s hmotností nižší (Tc = = 1,1 • 107K, pc = 6,8 • 104kg-m-3). Úloha 14.10 Porovnejte parametry hvězd s hmotností 1,0 M& s různými chemickými složeními X = 0,7, Y = 0,292, Z = 0,008 a X = 0,7, Y = 0,29, Z = 0,01. Vysvětlete případné rozdíly. Řešení: Hvězda s vyšším obsahem kovů má nižší efektivní teplotu (Tef = 5 280 K) a zářivý výkon (L = O,761O4L0) než hvězda s chemickým složením shodným se Sluncem (viz. příklad 14.8). Důvodem je větší opacita látky hvězdy s vyšším obsahem kovů. U hvězdy s menším zářivým výkonem je nižší centrální teplota. Úloha 14.11 Pomocí programu STATSTAR vypočtěte teoretickou hlavní posloupnost pro hvězdy s hmotnostmi 0,5 M0 - 13,0 M0. Zvolte sluneční chemické složení (X = 0,7, Y = 0,292 a Z = 0,008). Řešení: Charakteristiky2 hvězd hlavní posloupnosti získané programem STATSTAR jsou uvedeny v tabulce. 2Viz poznámka k úloze 14.8. 92 M[M0] L [LQ] Tef[K] 0,50 0,0213005 2321,4 0,70 0,129867 3523,0 1,00 0,86071 5500,2 1,50 6,39 8726,4 2,00 22,5809 11218,4 3,00 116,58 15007,3 4,00 341,1 17904,0 7,00 2260,2 24074,0 10,00 6641,5 28263,6 13,00 13789,5 31493,0 Úloha 14.12 Podle dat z článku Allende Prieto C, Lambert D. L., Astronomy & Astrophysics 352, 555, dostupných v databázi CDS http://cdsweb.u-strasbg.fr nakreslete HR diagram nejbližších hvězd nacházejících se do vzdálenosti 100 pc. Řešení: Na uvedené stránce zvolíme např. "Catalogues ", hledání podle "Allende Prieto Lambert", zvolíme hledaný článek a získáme potřebný soubor (např. zvolíme stahování prostřednictvím http, soubor "tablel .dat .gz". Formát souboru je popsán v popisu katalogu. Pomocí získaného souboru nakreslíme HR diagram (obrázek 5). 10000 1000 ■ 100 ■ 0,1 '-■-■-■-■-■-■— 14000 12000 10000 8000 6000 4000 7"ef [K] Obrázek 5: HR diagram nejbližších hvězd 93 14 POČÍTAČOVÉ ÚLOHY Úloha 14.13 Nakreslete vývojový HR diagram. Potřebné soubory získejte na stránkach CDS http://cdsweb.u-strasbg.fr z článku Schaller G. a kol., Astronomy & Astrophysics Suppl. Ser. 96, 269. S pomoci nakresleného grafu odhadněte hmotnost hvězdy a Ori E, pro kterou byla z pozorování zjištěna efektivní teplota 22 500 K a poloměr 5,3 RQ. Řešení: Na uvedené stránce zvolíme např. "Catalogues ", hledání podle "Schaller" a zvolíme hledaný článek. Například prostřednictvím http získáme potřebné soubory "table*" a nakreslíme graf 6. Odhadovaná hmotnost hvězdy a Ori E je 9M0. 7,0 ■ hlavní posloupnost nulového stáří iog(7ef/i K) Obrázek 6: Vývojový HR diagram 14.6 Hvězdné atmosféry Úloha 14.14 Nakreslete graf závislosti poměru koncentrace neutrálního vodíku k celkové koncentraci vodíku v závislosti na teplotě za předpokladu termodynamické rovnováhy. Pro zjednodušení předpokládejte, že koncentrace elektronů je ne = 1017m~3. Řešení: Pro Sahovo rozdělení platí iVx = 2B1 Í2nmekT\3/2 _Xi/kT N0 neB0 V h2 J 6 kde Ni je koncentrace iontu, No neutrálního atomu, B\ a B0 jsou příslušné rozdělovači funkce a Xi ionizační potenciál. Celková koncentrace atomů vodíku N = Ni + N0. Pro získání hodnot v grafu je možné použít následující program: 94 program sahav; var tep,nel,x:double; i:integer; function saha(tep,nel:double):double; const em=9.10956e-31; {hmotnost elektronu} bolk=l.38054e-23; {Boltzmannova konstanta} h=6.6256e-34; {Planckova konstanta} exc=13.598; {excitacni energie H v eV} enab=l.6022e-19; {naboj elektronu} var bl,b2,x:double; begin bl:=2.0; b2:=1.0; x:-2.O*pi*em*bolk*tep/h/h; saha:-2.0*b2*sqrt(x)*x*exp(-exc*enab/bolk/tep)/nel/bl; end; begin tep:=1000; nel:=1.0el7; for i:=l to 200 do begin tep:=tep+100.0; x:=saha(tep,nel); writeln(tep,1.0/(1.0+x)); end; end. Výsledný graf je na obrázku 7. Úloha 14.15 Nakreslete graf závislosti poměru koncentrace vodíku s elektronem, nacházejícím se na druhé energetické hladině k celkové koncentraci vodíku v závislosti na teplotě za předpokladu termodynamické rovnováhy. Pro zjednodušení předpokládejte, že koncentrace elektronů je ne = 1020m~3. Vysvětlete tvar získaného grafu. Jaký závěr lze učinit pro čáry Balmerovy série vodíku? Řešení: Využijeme výsledku předcházejícího příkladu (14.14) pro výpočet relativního zastoupení neutrálního vodíku. Pro výpočet podílu koncentrace vodíku na druhé hladině k celkovému množství neutrálního vodíku využijeme Boltzmannovy rovnice NA 9a 95 ío- 5000 10000 15000 20000 T [K] Obrázek 7: Graf závislosti relativní koncentrace atomů HI na teplotě. kde N b a je koncentrace atomu vodíku na druhé hladině a NA celková koncentrace neutrálního vodíku, qb a gA jejich statistické váhy, xab excitační energie. Pro získání grafu na obrázku 8 je možné použít následující program, program sahav2; const em=9.10956e-31; {hmotnost elektronu} bolk=1.38054e-23; {Boltzmannova konstanta} h=6.6256e-34; {Planckova konstanta} exc=13.598; {excitační energie H v~eV} enab=l.6022e-19; {naboj elektronu} var tep,nel,x,n,gh,g2,x2:double; i:integer; function saha(tep,nelrdouble)rdouble; const em=9.10956e-31; {hmotnost elektronu} bolk=1.38054e-23; {Boltzmannova konstanta} h=6.6256e-34; {Planckova konstanta} exc=13.598; {excitacni energie H v~eV} enab=l.6022e-19; {naboj elektronu} var gl,g2,x:double; begin gl:=2.0; g2:=1.0; x:-2.O*pi*em*bolk*tep/h/h; saha:=2.0*g2*sqrt(x)*x*exp(-exc*enab/bolk/tep)/nel/gl; 96 end; begin tep:=1000; nel:=1.0e20; gh:=2.0; n:=2.0; g2:=2.0*n*n; for i:=l to 200 do begin tep:=tep+100.0; x:=saha(tep,nel); x2:=g2/gh*exp(-exc*enab/bolk/tep*(1.0-1.0/n/n)); writeln(tep,x2/(l.0+x)); end; end. ve kterém jsme využili funkci saha z předcházejícího příkladu. 7,0.10" 6,0.10" 5,0.10" 4,0.10" 3,0.10" 2,0.10" 1,0.10" 0,0.10 5000 10000 15000 T [K] 20000 Obrázek 8: Graf teplotní závislosti relativní koncentrace atomů vodíku na druhé energetické hladině na teplotě. Tvar křivky je dán jednak tím, že s rostoucí teplotou roste podíl excitovaných atomů vodíku k atomům v základním stavu. Proto křivka pro nízké teploty zprvu roste. Pro vyšší teploty se začíná vodík ionizovat, ubývá celkového množství atomů vodíku v základním stavu a tedy i podíl atomů vodíku na druhé hladině klesá. Balmerovy čáry vznikají přechody mezi hladinou s kvantovým číslem 2 a vyššími hladinami. Proto jsou za dané elektronové koncentrace nejvýraznější právě pro teplotu T = 9800K. 97 14 POČÍTAČOVÉ ÚLOHY Úloha 14.16 Intenzita vycházející z izotermické vrstvy nacházející se v lokální termodynamické rovnováze je dána přesným řešením rovnice přenosu záření kde I\(0) je dopadající intenzita záření v bodě s nulovou optickou hloubkou r = 0, r0 je optická hloubka vrstvy a B\{T{r)) Planckova funkce. V případě zmiňované izotermické vrstvy lze Planckovu funkci vytknout před integrál a provést integraci, Zvolte B\{T) = 2B0 a nakreslete závislost vystupující intenzity na optické tloušťce vrstvy pro hodnoty dopadající intenzity záření I\(0) = 0,1B0, 2B0, 3B0. Diskutujte získané výsledky. Co platí pro opticky tenkou vrstvu (r0 1)? Řešení: Pro výpočet závislosti vystupující intenzity na tloušťce vrstvy je možné použít následující program: program izotv; var i: integer; b.tau,int,iO: double; begin b:=2.0; i0:=3.0; for i:=l to 100 do begin tau:=(i-l)/10.0; int:=i0*exp(-tau)+b*(l.O-exp(-tau)); writeln(tau,int); end; end. Nejprve diskutujme případ, kdy na vrstvu nedopadá žádné záření (I\(0) = 0, viz. obr. 9). Je patrné, že pro opticky tenké vrstvy je intenzita záření závislá na optické hloubce lineárně, pro rostoucí optické hloubky vrstvy se blíží k Planckově funkci. Obecně, pro libovolnou intenzitu dopadajícího záření platí, že intenzita vystupujícího záření pro případ opticky tenké vrstvy je přibližně rovna intenzitě dopadajícího záření. Příkladem opticky tenkých prostředí mohou být například některé hvězdné větry. Naopak, pro opticky tlustá prostředí intenzita vystupujícího záření se blíží Planckově funkci, nezávisí tedy na intenzitě dopadajícího záření a na optické hloubce vrstvy. Příkladem opticky tlustého prostředí může být sluneční atmosféra v čáře Ha. Úloha 14.17 Předpokládejte, že nad povrchem hvězdy, který září jako černé těleso o teplotě Tp = 5 780 K se nachází vrstva s optickou hloubkou r = 1 ve stavu lokální termodynamické rovnováhy. V pozorované oblasti spektra hvězdy se nachází atomární čára, která má střed na .r. Ix = Ix(0)e-TO + Bx(T)(l-e-TO) 98 o Ľ-1-1-1-1-1 0 1 2 3 4 5 Obrázek 9: Závislost intenzity vyzářené vrstvou na její optické hloubce pro různé hodnoty dopadající intenzity. vlnové délce A0 = 500nm. S využitím výsledku předcházejícího příkladu vypočtěte pozorovanou relativní intenzitu v závislosti na vlnové délce (vyjádřené v násobcích Dopplerovské šířky čáry AXD) v případě, že teplota vrstvy je a) Tv = 5 000 K, b) Tv = 7 000 K, c) Tv = Tp. Přitom položte zdrojovou funkci S(\0,T) = V(a,v)B(\,Tv), kde V (a,v) je tzv. Voigtova funkce s parametry v = (A—Ao)/AAb a parametrem a, charakterizujícím Lorentzovské rozšíření čáry (zvolte např. a = 1). Voigtovu funkci aproximujte vztahem V (a,v) = ^exp(—v2) + ^(£2+a2)) -světlete získané výsledky. Řešení: Pro intenzitu záření černého tělesa je možné odvodit vztah 2/ic2 1 ' ' ' ~ ehc/XkT _ l ' Se znalostí předcházejícího příkladu 14.16 je možné napsat následující program, který vypočítá záření emitované vrstvou: program prof; const a=1.0; tau0=1.0; ts=5780.0; tl=5000.0; lam0=5000.0e-10; var i,j:integer; iO,u:double; function voigt(v,agam:double):double; {Voigtova funkce} begin if(abs(v)>8.0) then 99 14 POČÍTAČOVÉ ÚLOHY voigt:=agam/sqrt(pi)/(agam*agam+v*v)/sqrt(pi) else voigt:=(exp(-v*v)+agam/sqrt(pi)/(agam*agam+v*v))/sqrt(pi); end; function b(tep,lam:double):double; const h=6.6256e-34; {Planckova konstanta} c=2.99792e8; {rychlost svetla} bolk=1.38054e-23; {Boltzmannova konstanta} var lam5:double; begin lam5:= lam* lam* lam* lam* lam; b:=2.0*h*c*c/lam5/(exp(h*c/lam/bolk/tep)-1.0); end; function profil(a,tauO,u:double):double; var tau: double; begin tau:=tauO*voigt(u,a); profil:=b(ts,lamO)*exp(-tau)+b(tl,lamO)*(1.0-exp(-tau)); end; begin u:=-10.0; iO:=profil(a,tauO,u); for i:=0 to 2000 do begin u:=u+0.01; writeln(u,profil(a,tauO,u)/iO); end; end. Na obrázku 10 jsou nakresleny profily čar, získané uvedeným programem. Jednotlivým případům uvedeným v zadání se budeme věnovat podrobněji. Obecně však platí (viz. výsledek předcházejícího příkladu 14.16), že v centru čáry, kde je optická hloubka vrstvy vysoká, se pozorovaná intenzita blíží Planckově funkci s teplotou rovnou teplotě vrstvy. Naopak v křídlech čáry, kde je optická hloubka vrstvy nízká, se pozorovaná intenzita blíží Planckově funkci s teplotou rovnou teplotě dopadajícího záření. Tento poznatek je také klíčem k pochopení jednotlivých případů. V případě a), kdy je teplota vrstvy nižší než teplota dopadajícího záření, je také hodnota Planckovy funkce v centru čáry nižší, než hodnota Planckovy funkce dopadajícího záření a my pozorujeme absorpční čáry. Tento model je možné použít pro vysvětlení vzniku absorpčních čar např. ve viditelném spektru Slunce. Opačný jev nastává v případě b), kdy je teplota vrstvy vyšší než teplota dopadajícího záření. Tento model popisuje vznik emis- 100 2 1,8 1,6 1,4 O 1,2 1 0,8 0,6 -10 -5 0 5 10 (X - X0)/AXD Obrázek 10: Profily čar vyzařované vrstvou nacházející se v lokální termodynamické rovnováze pro různé teploty látky. nich čar. V případě c), kdy je teplota vrstvy rovna teplotě dopadajícího záření se vrstva spolu s okolním zářením nachází ve stavu termodynamické rovnováhy a žádné čáry nepozorujeme. Úloha 14.18 Pro situaci popsanou v předcházejícím příkladě nakreslete závislost ekvivalentní šířky čáry na optické hloubce čáry. Řešení: Pro výpočet ekvivalentní šířky čáry v závislosti na její optické hloubce, je možné využít následující program: program krivrust; const taumin=0.5; taumax=100.0; ntau=300; nlam=200; u0=-800.0; a=1.0; ts=5780.0; tl=5000.0; lam0=5000.0e-10; var x,gam: double; i,j:integer; tauO,w,it,iO,u,dltau,dlam:double; begin tauO:=taumin; dltau:=exp((ln(taumax)-ln(taumin))/(ntau-1)); dlam:=2.0*abs(uO)/nlam; for j:=0 to ntau do 101 14 POČÍTAČOVÉ ÚLOHY begin u:=uO; iO:=profil(a,tauO,u); w:=0; for i:=0 to nlam do begin it:=(iO-profil(a,tauO,u))/iO; u:=u+dlam; if(i>0) and (i 3R$, nad kterým v případě nerotující černé díry existují stabilní dráhy hmotných částic. Řešení: Pro získání grafů 16 a 17 je možné použít následující program: 10' H 10" 10J 10 10000 Obrázek 16: Průběh teploty v akrečním disku program disk; const ms=1.989e30; m=3.82*ms; g=6.67e-ll; dmdt=1.0dl4; sig=5.67051d-8; c=2.99792e8; b=0.0029; {hmotnost Slunce} {gravitační konstanta} {konstanta Stefan-Boltzmannova zákona} {rychlost svetla} {konstanta Wienova zákona} var rs,tdisk,r,dr,ddr,t,mlam: double; i: integer; 107 1000 0,1 1-■—........-■—........-■—........-■—.......1 1 10 100 1000 10000 r/Rs Obrázek 17: Vlnová délka získaná z Wienova posunovacího zákona begin rs:=2.0*g*m/c/c; tdisk:=3.0*g*m*dmdt/8.0/pi/sig/rs/rs/rs; tdisk:=sqrt(sqrt(tdisk)); r:=3.0*rs; for i:=l to 500 do begin r:=1.015*r; dr:=sqrt(rs/r); ddr:=sqrt(dr); t:=tdisk*ddr*ddr*ddr*sqrt(sqrt(1.0-dr)); mlam:=b/t; writeln(r/rs,t,mlam*l.0e9); end; end. 14.10 Hvězdy a mezihvězdná látka Úloha 14.25 S pomocí katalogu TYCHO nakreslete histogram počtu hvězd na obloze podle jejich pozorované hvězdné velikosti. Předpokládejte, že jsou hvězdy v prostoru rozloženy rovnoměrně a že všechny hvězdy mají stejnou hvězdnou velikost. Spočtěte za těchto předpokladů rozdělovači funkci hvězd podle jejich hvězdné velikosti a porovnejte se získaným histogramem. Co můžeme na základě těchto úvah usuzovat o mezihvězdné extinkci? Řešení: Na stránce CDS http://cdsweb.u-strasbg.fr/cats/Cats.htx, na které je možné hledat astronomické katalogy, zadáme hledání "TYCHO". Zvolíme "I/197A Tycho Input Catalogue, Revised version (Egret+ 1992)", ("VizieR query form"). Pro úsporný výpis zvolíme "Maximum Entries per table" jako "unlimited", "Output layout" jako "tiny ascii" a 108 zaškrtneme výpis pouze položky "Vmag". Jako kritérium pro hledání zadáváme např. "4+/-0.5" (postupujeme např. po celých magnitudách). Na základě počtu nalezených hvězd získáme následující obrázek 18. 10000000 1000000 -o 100000 N > ^ 10000 (J °- 1000 100 10 123456789 hvězdná velikost [mag] Obrázek 18: Histogram počtu hvězd podle jejich hvězdné velikosti. Přímka označuje počet hvězd spočtený za předpokladu, že je mezihvězdné zčervenání zanedbatelné. Počet hvězd N v kouli o poloměru r je úměrný N ~ r3. Vzdálenost, do které uvidíme hvězdy hvězdné velikosti m, které mají stejnou absolutní hvězdnou velikost M je dána vztahem m — M = 5 log r — 5, kde r je vyjádřeno v parsecích. Počet hvězd je tedy úměrný N ~ ^go,6(m-M+5)^ p0get hvězd s danou hvězdnou velikostí je úměrný áN/ám ~ io°'6m. Tato křivka je nakreslena nepřerušovanou čarou v obrázku 18. Slabých hvězd pozorujeme nápadně méně, než by to odpovídalo uvažovanému modelu, důvodem je vliv mezihvězdné extinkce. 14.11 Extragalaktická astronomie Úloha 14.26 Určete zářivý výkon aktivní galaxie Cygnus A v rádiovém oboru pomocí zářivého toku uvedeného v tabulce, víte-li, že galaxie je vzdálena 250 Mpc. log v [Hz] logF, [J • m 2 • Hz-1] log v [Hz] logF, [J • m 2 • Hz 7,0 -21,88 8,7 -22,38 7,3 -21,55 9,0 -22,63 7,7 -21,67 9,3 -22,96 8,0 -21,66 9,7 -23,43 8,3 -22,09 10,0 -23,79 Řešení: Abychom získali zářivý výkon v radiovém oboru, musíme integrovat zářivý tok přes všechny frekvence a sečíst tok na kouli o poloměru 250 Mpc. S použitím lichoběžníkového pravidla je možné napsat následující program: 109 14 POČÍTAČOVÉ ÚLOHY program agn; const nf=10; d=250.0; mpc=3.09e22; var nu,nus,f,fs,lr,r: double; i: integer; function des(x: double) : double; begin des:=exp(x*ln(10.0)); end; begin lr:=0.0; for i: = l to nf do begin read(nu,f); nu:=des(nu); f:=des(f); if(i > 0) then lr:=lr+0.5*(fs+f)*(nu-nus); fs:=f; nus:=nu; end; r:=d*mpc; lr:=4.0*pi*r*r*lr; writeln(lr); end. Zářivý výkon galaxie Cygnus A v rádiovém oboru je 9 1 037 J • s_1, což je o šest řádů více, než je zářivý výkon galaxie m31 v rádiové oblasti a asi desetkrát více než zářivý výkon naší Galaxie ve všech oborech elektromagnetického spektra. Úloha 14.27 Nalezněte článek autorů Penziase a Wilsona, za který jim byla udělena Nobelova cena. Řešení: Na adrese http: //adsabs.harvard. edu zvolíme "Search", "Astronomy and Astrophysics Search" a jako autory (na každý řádek jednoho) napíšeme Penzias a Wilson, zaškrtněte AND, klepneme na "Send Query". Hledaným článkem je A Measurement of Excess Antenna Temperature at 4080 Mc/s (Astrophysical Journal, číslo 142, strana 419). Kliknutím na odkaz vybraného článku pak získáte jeho abstrakt, je možné získat přímo samotný článek. Úloha 14.28 Pomocí vzáleností galaxií a jejich radiálních galaxií uvedených v článku W. A. Fre-edman a kol., Astrophysical Journal, číslo 553, strana 47, spočtěte hodnotu Hubbleovy konstanty. 110 Řešení: Článek získáme například na adrese http: //adsabs .harvard. edu. Z tabulky 4 tohoto článku převezmeme vzdálenosti galaxií Dz, z tabulky 5 jejich radiální rychlosti (Vshapiey)-Získanými daty proložíme přímku a spočteme hodnotu Hubbleovy konstanty H = 77±4km • s"1 • Mpc"1 111 15 Astronomické a fyzikální konstanty, převody a zákony Většina konstant je zaokrouhlena na 3 platná místa. Základní charakteristiky Slunce: Hmotnost M0 1,99 • 1030 kg Poloměr RQ 6,96 • 108 m Zářivý výkon LQ 3,86 • 1026 W Mbol 4,75 mag mbol —26,85 mag Solární konstanta K 1,37 ■ 103W • m"2 Střední vzdálenost od Země AU 1,496 • 1011 m lpc = 3,086 • 1016m 1 rad = 206 265" lrok = 3,156- 107s Uy = 10-26W-m-2-Hz"1 4ncGM Zářivý výkon hvězdy L = A-nR2aT^. Vztah hmotnost - zářivý výkon pro hvězdy HP L ~ —M3. Rovnice hydrostatické rovnováhy —— = — G— dr r2 dT ZkLt Teplotní gradient pri prenosu zářením —— =--^rP- dr 647iarzTó , dT 7 - 1 TdP Podmínka konvekce —— >---—. dr 7 P dr Eddingtonova limita zářivého výkonu LeGM^j-\~A Maximální hodnota teploty disku při akreci Tmax = 0,488 —- \ 8iro-Rá Gravitační rudý posuv z =-= . A c2R Podmínka degenerace Kipž > -. p 8 dP Zářivý výkon pulsaru L = -n2MR2P~3 — . 112 Disperzní míra DM = I nedl. ( 5kT Jeansova kritická hmotnost Mj = ( —- \Gpm h Í3Nf\3 -i Poloměr Strômgrenovy oblasti r g = I —- %r3- \4na J (1 ~t~ z}2 1 Relativistická rychlost vzdalování v = c—-^- (i + zy + i 3 H2 Kritická hodnota hustoty pk = 8 7rG Hubbleův zákon v = Hr. 113 15 ASTRONOMICKÉ A FYZIKÁLNÍ KONSTANTY, PŘEVODY A ZÁKONY Fyzikální konstanty a zákony: Wienův posunovací zákon AmaxT = b. Energetické hladiny atomu vodíku En me4 1 8eg/i2 n2' Spektrální rozlišovací schopnost R = niN = 2A 2kT Šířka spektrální čáry při teplotním rozšíření A A = —\ -. c V m M 4(7 Tlak plynu a tlak záření P„ = —pT, Pr = —T4. p 3c R H • 1 Nb 5040 ^ 1 9B Boltzmannova rovnice log-=--xab + log —■ NA T gA . , -Ni 5, ^ 5040 , „ , 2Br+1(T) Sahova rovnice log — = - log T--—\í - log Pe + log ^--l,4í 3 M2 Gravitační potenciální energie sférického tělesa E„ = —-G——. 5 R Viriálová věta pro gravitačně vázané soustavy 2{Ek) + (Ep) = 0. Planckova konst. h = 6,63 • 10~34 J-s Rychlost světla ve vakuu c = 2,99 • 108 m • s-1 Gravitační konst. G = 6,67 • 10~n N • m2 • kg"2 Boltzmannova konst. k = 1,38 • 10~23 J • K 1 Stefanova-Boltzmannova konst. a = 5,67 • 10~8 W • m~2 • KT4 Konstanta Wienova posunavacího zákona b = 2,89 • 10~3m • K Plynová konstanta M = 8,31 • 103 J - kg"1 • K 1 Hmotnost elektronu me = 9,11 • 10~31 kg Hmotnost protonu mp = 1,67 • 10~27kg Hmotnost neutronu mn = 1,67 • 10~27kg Atomová hmotnostní jednotka u = 1,66 • 10~27kg Hubbleova konstanta H = 75 km • s_1 • Mpc-1 leV= 1,60- 10~19 J leV= 1,60- 10~12erg 1 Pa = 10 dyn • cm~2 mH = 1,67352- 10-24 g aT = 6,6524 • 10~25 cm"2 114 Literatura [1] Böhm - Vitense, E.: Introduction to Stellar Astrophysics. Cambridge University Press, Cambridge 1992. [2] Bowers, R., Deeming, T.: Astrophysics I - Stars, II - Interstellar Matter and Galaxies. Jones and Bartlett Publishers. Boston 1984. [3] Bradt, H.: Astronomy Methods. Cambridge University Press, Cambridge 2009. [4] Carroll, B. W., Ostlie, D. A.: An Introduction to Modern Astrophysics. Addison - Wesley Publishing Company, Inc. Reading, Massachusetts, 1996. [5] Cox, A. N.: Allen's Astrophysical Quantities. Springer Verlag, New York 2000. [6] Dagaev, M. M.: Sbornik zadač po astrononomii. Prosvěščenije, Moskva 1980. [7] Gray, D. F.: The Observation and Analysis of Stellar Photospheres. John Wiley and Sons, London 1993. [8] Harwit, M.: Astrophysical Concepts. Springer, New York 1998. [9] Hilditch, R. W.: An Introduction to Close Binary Stars. Cambridge University Press, Cambridge 2001. [10] Ivanov, V. V, Krivov, A. V., Denisenkov, P. A.: The Paradoxical Universe. Peterburg 1998. [11] Kozel, S. M., Rašba, E. I., Slavatinskij, S. A.: Sbornik zadač po fizike. Nauka, Moskva 1987. [12] Kutner, M. L.: Astronomy: A Physical Perspective. Cambridge University Press, Cambridge 2009. [13] Lang, K. R.: Astrophysical Formulae. Springer Verlag, Berlin 1974. [14] Le Blanc, F.: An Introduction to Stellar Astrophysics. John Wiley and Sons, Ltd., Chichester 2010. [15] Martynov, D. J., Lipunov, V.M.: Sbornik zadač po astrofizike. Nauka, Moskva 1986. [16] Mikulášek, Z.: Sbírka úloh z fyziky hvězd, http://www.hvezdarna.cz [17] Murray, C. D., Dermott, S. F.: Solar System Dynamics. Cambridge University Press, Cambridge 2009. [18] Phillips, A.C.: The Physics of Stars. John Wiley & Sons, New York 1999. [19] Prialnik, D.: An Introduction to the Theory of Stellar Structure and Evolution. Cambridge University Press, Cambridge 2000. [20] Rutten, R. J.: Radiative Transfer in Stellar Atmospheres. Sterrekunding Instituut, Utrecht 1999. 115 LITERATURA [21] Schrijver, H.: The Hipparcos and Tycho Catalogues. Volume 5-11. ESA Publications Division, Noordwijk 1997. [22] Sobolev, V.V.: Kurs těoretičeskoj astrofiziki. Nauka, Moskva 1985. [23] Swihart, T. L.: Basic Physics of Stellar Atmospheres. Pachart Publishing House, Tuscon 1971. [24] Unsold, A., Baschek, B.: The New Cosmos, Springer Verlag, Berlin 2001. [25] Zeilik, M., Gregory, S. A.: Introductory Astronomy and Astrophysics. Sanders College Publishing, Fort Worth 1998. [26] Zombeck, M. V.: Handbook of Space Astronomy and Astrophysics. Cambridge University Press, Cambridge 1990. http://ads.harvard.edu/books/hsaa/ [27] www.jyu.fi/ipho [28] www.issp.ac.ru/iao/russia/2004/agr04.html 116